Picha ya tufe na sehemu zake. Ensaiklopidia kubwa ya mafuta na gesi

Utangulizi

Mpira ni mwili ambao una alama zote katika nafasi ambazo ziko kwa umbali sio zaidi ya umbali uliopewa kutoka kwa sehemu fulani. Hatua hii inaitwa katikati ya mpira, na umbali huu unaitwa radius ya mpira.

Mpaka wa tufe huitwa uso wa duara, au tufe. Kwa hivyo, pointi za nyanja ni pointi zote za mpira ambazo ziko umbali kutoka katikati sawa na radius. Sehemu yoyote ya mstari inayounganisha katikati ya mpira kwa uhakika kwenye uso wa mpira, pia huitwa radius.

Sehemu inayounganisha pointi mbili za uso wa spherical kupita katikati ya mpira inaitwa kipenyo. Miisho ya kipenyo chochote huitwa alama za diametrically kinyume cha mpira.

Mpira, kama silinda na koni, ni mwili wa mapinduzi. Inapatikana kwa kuzungusha semicircle kuzunguka kipenyo chake kama mhimili.

Sehemu ya tufe kwa ndege

Sehemu yoyote ya tufe kwa ndege ni duara. Katikati ya mduara huu ni msingi wa perpendicular imeshuka kutoka katikati ya mpira hadi ndege ya kukata.

Uthibitisho: Hebu iwe ndege ya kukata na O - katikati ya mpira (Mchoro 1) Hebu tuondoe perpendicular kutoka katikati ya mpira hadi ndege na kuashiria msingi wa perpendicular hii na O ".

Acha X iwe sehemu ya kiholela ya mpira wa ndege. Kulingana na nadharia ya Pythagorean, OX2 \u003d OO "2 + O" X2. Kwa kuwa OX sio kubwa kuliko radius R ya mpira, basi O "X?, i.e. sehemu yoyote ya sehemu ya mpira na ndege iko kutoka kwa uhakika O" kwa umbali sio mkubwa, kwa hivyo, ni ya a. mduara na kituo cha O "na radius. Kinyume chake: hatua yoyote ya X ya mduara huu ni ya mpira, ambayo ina maana kwamba sehemu ya mpira na ndege ni mduara unaozingatia hatua ya O". Nadharia imethibitishwa.

Eneo linalopita katikati ya tufe linaitwa ndege ya diametrical. Sehemu ya msalaba ya mpira yenye ndege ya diametral inaitwa mduara mkubwa, na sehemu ya msalaba wa nyanja inaitwa mduara mkubwa.

Mpira kwa ndege ni sawa na radius ya ndege, basi ndege inagusa mpira kwa hatua moja tu, na eneo la sehemu ya msalaba litakuwa sifuri, ambayo ni, ikiwa b \u003d R, basi S \u003d 0. Ikiwa b \u003d 0, basi ndege ya kukata hupita katikati ya mpira. Katika kesi hii, sehemu itakuwa mduara, radius ambayo inafanana na radius ya mpira. Eneo la mduara huu litakuwa, kulingana na formula, sawa na S = πR ^2.

Kesi hizi mbili kali zinapeana mipaka ambayo eneo linalohitajika litakuwa kila wakati: 0< S < πR^2. При этом любое сечение шара плоскостью всегда является кругом. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти радиус окружности сечения. Тогда площадь этого сечения вычисляется по формуле площади круга.

Kwa kuwa umbali kutoka kwa uhakika hadi kwa ndege hufafanuliwa kama urefu wa sehemu ya perpendicular kwa ndege na kuanzia kwa uhakika, mwisho wa pili wa sehemu hii utafanana na mzunguko wa sehemu. Hitimisho kama hilo linafuata kutoka kwa ufafanuzi wa mpira: ni dhahiri kwamba pointi zote za mduara wa sehemu ni za nyanja, na kwa hiyo hulala kwa umbali sawa kutoka katikati ya mpira. Hii inamaanisha kuwa miduara ya sehemu hiyo inaweza kuzingatiwa kama vertex ya pembetatu ya kulia, hypotenuse ambayo ni radius ya mpira, moja ambayo ni sehemu ya perpendicular inayounganisha katikati ya mpira na ndege, na mguu wa pili ni radius ya mduara wa sehemu.

Kati ya pande tatu za pembetatu hii, mbili hutolewa - radius ya mpira R na umbali b, yaani, hypotenuse. Kulingana na nadharia ya Pythagorean, urefu wa mguu wa pili lazima uwe sawa na √(R^2 - b^2). Hii ni radius ya mduara wa sehemu. Kubadilisha thamani iliyopatikana katika fomula ya eneo la duara, ni rahisi kuhitimisha kuwa eneo la sehemu ya msalaba ya mpira na ndege ni: S = π (R ^ 2 - b^ 2). kupatikana matokeo.

Video zinazohusiana

Vyanzo:

• sehemu ya tufe kwa ndege

Sayari zote katika mfumo wa jua zina umbo mpira. Kwa kuongeza, vitu vingi vilivyoundwa na mwanadamu, ikiwa ni pamoja na maelezo ya vifaa vya kiufundi, vina spherical au karibu na sura hiyo. Mpira, kama mwili wowote wa mapinduzi, una mhimili unaoendana na kipenyo. Walakini, hii sio mali pekee muhimu. mpira. Chini ni mali kuu ya takwimu hii ya kijiometri na njia ya kupata eneo lake.

Maagizo

Ikiwa unachukua duara na kuzungusha kuzunguka mhimili wake, unapata mwili unaoitwa mpira. Kwa maneno mengine, tufe ni mwili uliofungwa na tufe. Tufe ni ganda mpira, na mduara wake. Kutoka mpira inatofautiana kwa kuwa ni tupu. Axis kama mpira, na tufe sanjari na kipenyo na hupita katikati. Radius mpira inayoitwa sehemu kutoka katikati yake hadi sehemu yoyote ya nje. Kinyume na nyanja, sehemu mpira ni miduara. Umbo lililo karibu na duara lina idadi kubwa ya miili ya mbinguni. Katika pointi tofauti mpira kuna kufanana kwa sura, lakini kutofautiana kwa ukubwa, sehemu zinazojulikana - miduara ya maeneo tofauti.

Mpira na tufe ni miili inayobadilishana, tofauti na koni, licha ya kuwa pia ni chombo cha mapinduzi. Nyuso za spherical daima huunda mduara katika sehemu yao, bila kujali jinsi ilivyo - kwa usawa au kwa wima. Uso wa conical unapatikana tu kwa kuzunguka pembetatu kando ya mhimili wake perpendicular kwa msingi. Kwa hiyo, koni, tofauti na mpira, na haizingatiwi kuwa kundi la mapinduzi linaloweza kubadilishwa.

Mduara mkubwa unaowezekana unapatikana kwa kukata mpira kupita katikati O. Miduara yote inayopita katikati ya O inaingiliana kwa kipenyo sawa. Radi daima ni nusu ya kipenyo. Kupitia pointi mbili A na B ziko popote juu ya uso mpira, inaweza kupitia idadi isiyo na kikomo ya miduara au miduara. Ni kwa sababu hii kwamba kupitia

Sehemu ya uso wa mpira

Sehemu yoyote ya uso wa mpira kwa ndege ni mduara, ambayo inakadiriwa bila kupotosha tu ikiwa ndege ya kukata ni sawa na ndege ya makadirio. Kwa ujumla, tutapata duaradufu. Katika tukio ambalo ndege ya kukata ni perpendicular kwa ndege ya makadirio, kwenye ndege hii makadirio ya mduara ni sehemu ya mstari wa moja kwa moja ambayo ni sawa na kipenyo cha mduara huu.

Mchoro 109 unaonyesha makutano ya uso wa mpira na ndege inayoonyesha mlalo. R. Sehemu hiyo itakadiriwa kwenye ndege iliyo mlalo kama sehemu ya makadirio R ndege R, ambayo imefungwa kati ya contour ya mpira na ni sawa na kipenyo cha mduara wa sehemu. Kwenye ndege ya mbele tunapata duaradufu. O 1 ni katikati ya duara, ambayo hupatikana katika sehemu ya mpira. Iko kwenye urefu sawa na katikati ya mpira O. Makadirio ya mlalo kuhusu 1 kituo O Mduara 1 iko katikati ya sehemu ab. Perpendicular ambayo imeshuka kutoka hatua o hadi mstari wa moja kwa moja ab, inapiga hatua kuhusu 1, ambayo ni makadirio ya usawa ya katikati ya mduara wa sehemu. makadirio ya mbele kuhusu 1 ya katikati ya duara ni katikati ya duaradufu tunayovutiwa nayo.

Ikiwa tutazingatia duaradufu kama makadirio ya duara fulani, basi mhimili wake mkuu daima utakuwa makadirio ya kipenyo cha duara, ambayo ni sambamba na ndege ya makadirio, na mhimili mdogo wa duaradufu itakuwa makadirio ya kipenyo. perpendicular yake. Matokeo yake, mhimili mkubwa wa duaradufu ya makadirio daima ni sawa na kipenyo cha mduara uliopangwa. Hapa kipenyo cha mduara CD perpendicular kwa ndege H na inakadiriwa bila kuvuruga kwenye ndege ya mbele. Ili kupata miisho ya mhimili mkuu wa duaradufu, ni muhimu kuweka chini na juu kutoka katikati. kuhusu 1 duaradufu (perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja oo 1) sehemu kuhusu 1 Na na kuhusu 1 d, ambayo ni sawa na nusu ya kipenyo cha mduara wa sehemu kuhusu 1 Na = kuhusu 1 d = 1/2(ab) Wakati huo huo, kipenyo AB duara ni sambamba na ndege ya mlalo, na makadirio yake ya mbele ab′ ni mhimili mdogo wa duaradufu inayozingatiwa.

Pointi zinazotenganisha sehemu inayoonekana ya duaradufu na isiyoonekana. Wacha tuanze kwa kuchora ndege ya mbele Q, ambayo hugawanya mpira mara mbili. Ndege Q itaingilia uso wa mpira kando ya duara iliyoonyeshwa kwenye ndege ya mbele kwa namna ya kontua. Kisha sehemu ya mstari wa sehemu iko mbele ya mpira itaonekana ikiwa unatazama mpira kutoka mbele, na wengine hautaonekana. Ndege Q itavuka ndege R mbele F moja. Kuingiliana na contour, makadirio yake ya mbele F itaamua pointi 1 , ambayo hutenganisha sehemu inayoonekana ya curve kutoka kwa sehemu isiyoonekana. Pointi za kati 2′ za duaradufu zinaweza kupatikana kwa kutumia ndege ya mbele ya R inayokatiza uso wa mpira kwenye duara la radius. r 2 na ndege R- kando ya mbele F 2.

Mpira ni mwili unaojumuisha alama zote kwenye nafasi ambazo ziko kwa umbali sio zaidi ya umbali fulani kutoka kwa sehemu fulani. Hatua hii inaitwa katikati ya mpira, na umbali huu unaitwa radius ya mpira. Mpaka wa tufe huitwa uso wa duara au tufe. Pointi za nyanja ni alama zote za mpira ambazo ziko kwa umbali sawa na radius kutoka katikati. Sehemu yoyote inayounganisha katikati ya mpira na hatua kwenye uso wa spherical pia inaitwa radius. Sehemu inayopita katikati ya mpira, ambayo inaunganisha pointi mbili za uso wa spherical, inaitwa kipenyo. Miisho ya kipenyo chochote huitwa alama za diametrically kinyume cha mpira.

Mpira ni mwili wa mapinduzi, kama koni na silinda. Mpira hupatikana kwa kuzungusha nusu duara kuzunguka kipenyo chake kama mhimili.

Sehemu ya uso wa tufe inaweza kupatikana kwa kutumia fomula:

ambapo r ni radius ya mpira, d ni kipenyo cha mpira.

Kiasi cha tufe hupatikana na formula:

V = 4 / 3 pr 3 ,

ambapo r ni radius ya mpira.

Nadharia. Sehemu yoyote ya tufe kwa ndege ni duara. Katikati ya mduara huu ni msingi wa perpendicular imeshuka kutoka katikati ya mpira hadi ndege ya kukata.

Kulingana na nadharia hii, ikiwa mpira ulio na kituo cha O na kipenyo cha R umekatizwa na ndege α, basi mduara wa radius r na kituo K hupatikana katika sehemu hiyo. Radi ya sehemu ya mpira na ndege inaweza kupatikana. kwa fomula

Inaweza kuonekana kutoka kwa fomula kwamba ndege za usawa kutoka katikati huingiliana na mpira katika miduara sawa. Radi ya sehemu ni kubwa zaidi, karibu na ndege ya secant iko katikati ya mpira, yaani, umbali mdogo ni sawa. Radi kubwa zaidi ina sehemu iliyo na ndege inayopita katikati ya mpira. Radi ya mduara huu ni sawa na radius ya mpira.

Ndege inayopita katikati ya mpira inaitwa ndege ya diametrical. Sehemu ya mpira kwa ndege ya diametral inaitwa mduara mkubwa, na sehemu ya nyanja inaitwa mduara mkubwa, na sehemu ya nyanja inaitwa mduara mkubwa.

Nadharia. Ndege yoyote ya diametral ya mpira ni ndege yake ya ulinganifu. Katikati ya mpira ni kituo chake cha ulinganifu.

Ndege ambayo hupitia hatua A ya uso wa spherical na ni perpendicular kwa radius inayotolewa kwa uhakika A inaitwa ndege ya tangent. Pointi A inaitwa sehemu ya kugusa.

Nadharia. Ndege ya tangent ina hatua moja tu ya kawaida na mpira - hatua ya kuwasiliana.

Mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua A ya uso wa spherical perpendicular kwa radius inayotolewa kwa hatua hii inaitwa tangent.

Nadharia. Kupitia hatua yoyote ya uso wa spherical kuna tangents nyingi sana, na zote ziko kwenye ndege ya tangent ya mpira.

Sehemu ya duara ni sehemu ya tufe iliyokatwa nayo na ndege. Mduara ABC ndio msingi wa sehemu ya spherical. Sehemu ya MN ya perpendicular inayotolewa kutoka katikati ya N ya mduara ABC hadi makutano na uso wa spherical ni urefu wa sehemu ya spherical. Pointi M ni kipeo cha sehemu ya spherical.

Sehemu ya uso wa sehemu ya spherical inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula:

Kiasi cha sehemu ya spherical inaweza kupatikana kwa formula:

V \u003d πh 2 (R - 1/3h),

ambapo R ni radius ya duara kubwa, h ni urefu wa sehemu ya spherical.

Sekta ya spherical hupatikana kutoka kwa sehemu ya spherical na koni, kama ifuatavyo. Ikiwa sehemu ya spherical ni chini ya hemisphere, basi sehemu ya spherical inakamilishwa na koni ambayo vertex iko katikati ya mpira na ambayo msingi wake ni msingi wa sehemu. Ikiwa sehemu ni kubwa kuliko hemisphere, basi koni iliyoonyeshwa imeondolewa kutoka kwayo.

Sekta ya spherical ni sehemu ya nyanja iliyofungwa na uso uliopindika wa sehemu ya duara (katika takwimu yetu ni AMCB) na uso wa conical (katika takwimu ni OABC), ambayo msingi wake ni msingi wa sehemu ( ABC), na kilele ndio kitovu cha mpira O.

Kiasi cha sekta ya spherical hupatikana na formula:

V = 2/3 πR 2 H.

Safu ya duara ni sehemu ya tufe iliyofungwa kati ya ndege mbili sambamba (ndege ABC na DEF katika takwimu) zinazokatiza uso wa duara. Uso uliopinda wa safu ya spherical inaitwa ukanda wa spherical (zone). Miduara ABC na DEF ni misingi ya ukanda wa spherical. Umbali NK kati ya besi za ukanda wa spherical ni urefu wake.

tovuti, na kunakili kamili au sehemu ya nyenzo, kiunga cha chanzo kinahitajika.