번호. 정수입니다. 정수의 속성. 최대공약수와 최소공약수. 분할 기준 및 그룹화 방법(2019)

§ 77. 단위의 분수.

정수의 속성과 그에 대한 동작을 연구했습니다. 정수 외에도 분수가 있습니다. 이제 우리가 익숙해질 것입니다. 한 학생이 집에서 학교까지 걸어서 30분이 걸린다고 말할 때, 그는 시간을 전체 시간이 아니라 한 시간의 부분으로 표현합니다. 의사가 환자에게 1/4의 뜨거운 물에 분말을 녹이라고 조언하면 물은 전체 유리가 아니라 유리 부분으로 측정됩니다. 한 수박을 세 소년에게 균등하게 나누면 각자는 수박의 3분의 1 또는 3분의 1만 얻을 수 있습니다.

모든 경우에 우리는 전체 단위에 대해 이야기한 것이 아니라 단위의 부분 또는 부분에 대해 이야기했습니다. 주식은 매우 다양할 수 있습니다. 예를 들어 1그램은 1000분의 1킬로그램이고 밀리미터는 백만분의 1킬로미터입니다. 먼저 가장 간단한 주식(절반, 3분의 1, 분기 등)에 대해 이야기하겠습니다.

더 명확하게 하기 위해 이러한 주식을 직선 세그먼트로 표시합니다.

세그먼트 AB를 단위로 취하면 (그림 9) 두 개의 동일한 부분으로 나누면 결과 세그먼트 AC와 CB가 세그먼트 AB의 절반이 될 것이라고 말할 수 있습니다.

또한 세그먼트 DE (그림 10)를 단위로 사용하여 3 개의 동일한 부분으로 나누면 얻은 각 세그먼트 DF, FH, HE는 세그먼트 DE의 1/3과 같고 세그먼트 DH 세그먼트 DE의 2/3와 같습니다. 마찬가지로 세그먼트 FE는 세그먼트 DE의 2/3와 같습니다.

다른 세그먼트 MN(그림 11)을 하나의 단위로 취하여 4개의 동일한 부분으로 나눕니다. 그러면 각 세그먼트 MP, PQ, QR, RN은 세그먼트 MN의 1/4과 동일합니다. 세그먼트 MQ, PR, QN 각각은 그것의 2/4와 같을 것이고, 세그먼트 MR과 PN 각각은 MN의 3/4와 같을 것입니다.

고려한 예에서 우리는 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, 2/4, 3/4, 즉 단위의 1분의 1 또는 2, 또는 단위의 3등분에 대해 알게 되었습니다. .

하나 또는 그 이상의 동일한 부분으로 구성된 수를 발사.

우리는 이미 "share"라는 단어 대신 "part"라는 단어를 말할 수 있다고 말했습니다. 따라서 분수는 단위의 하나 이상의 동일한 부분을 나타내는 숫자라고 할 수 있습니다.

따라서이 단락에서 언급 된 숫자 : 절반 또는 1 초, 1/3, 1/4, 2/3 및 기타는 분수가 될 것입니다.

종종 대상의 일부뿐만 아니라 전체 대상을 함께 고려해야 합니다. 예를 들어, 두 소년이 사과 다섯 개를 똑같이 나누기로 결정했습니다. 분명히, 그들 각각은 먼저 두 개의 사과를 취하고 나머지 마지막 사과를 두 개의 동일한 부분으로 자릅니다. 그러면 각각은 두 개 반의 사과를 갖게 될 것입니다. 여기서 각 소년의 사과 수는 일부 분수(절반)를 포함하는 정수(2)로 표시됩니다.

정수와 분수를 포함하는 수를 수라고 합니다. 혼합 숫자.

§ 78. 분수의 이미지.

이전 단락의 마지막 그림을 고려하십시오(그림 11). 세그먼트 MR은 세그먼트 MN의 4분의 3이라고 했습니다. 이제 이 분수, 즉 4분의 3을 숫자를 사용하여 쓸 수 있는 방법에 대한 질문이 발생합니다. 분수의 4분의 1이 어떻게 생겼는지 기억하십시오. 우리는 세그먼트 MN을 하나의 단위로 취하여 4개의 동일한 부분으로 나누고 이 부분에서 3개를 취했습니다. 기록에 반영되어야 하는 분수의 출현 과정입니다. 단위를 4등분하여 결과 부분을 3으로 취합니다. 이 때문에 분수는 수평선으로 구분된 두 개의 숫자를 사용하여 표시됩니다. 단위가 몇 개로 나누어져 있는지를 나타내는 숫자가 줄 아래에 쓰여지고, 그 부분에서 분수가 취해지는 또 다른 숫자가 줄 위에 기록되어 포함된 주식 수를 나타냅니다.

이 부분에서. 3/4의 분수는 다음과 같이 작성됩니다. 3 / 4.

라인 위의 숫자는 분자분수; 이 숫자는 주어진 분수에 포함된 부분의 수를 나타냅니다.

라인 아래의 숫자는 분모분수; 단위가 몇 개의 동일한 부분으로 나누어져 있는지 보여줍니다.

3 - 분자,
_
4는 분모입니다.

분자와 분모를 구분하는 대시를 분수 막대라고 합니다. 분자와 분모는 모두 집합적으로 분수의 항이라고 합니다. 예를 들어 분수를 작성해 보겠습니다.

2/3 - 2/3; 5/12 - 5/12.

대분수는 다음과 같이 작성됩니다. 먼저 정수를 쓰고 그 옆에 분수가 오른쪽에 표시됩니다. 예를 들어, 5분의 2와 5분의 4를 섞은 숫자는 2 4 / 5와 같이 작성해야 합니다.

§ 79. 분수의 출현.

분수가 어떻게 그리고 어디서 발생하는지, 왜 그리고 어떤 상황에서 나타나는지에 대한 질문을 고려하십시오.

예를 들어 이 사실을 생각해 보십시오. 미터로 칠판의 길이를 측정해야 합니다. 우리는 1 미터 길이의 나무 통치자를 잡고 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하면서 보드의 아래쪽 가장자리를 따라 적용합니다. 두 번 맞도록 하되 나머지 부분의 길이가 자의 길이보다 작기 때문에 세 번째에서 눈금자가 맞지 않는 보드의 일부가 여전히 있습니다.

예를 들어 보드의 나머지 부분에 0.5미터가 포함된 경우 보드의 길이는 2.5미터(2 1/2)입니다.

이제 동일한 눈금자로 보드의 너비를 측정합니다. 그녀가 한 번 했다고 가정해 보겠습니다. 그러나 이 한 번의 지연 후에 보드의 작은 부분이 1미터도 채 남지 않았습니다. 보드의 이 부분에 미터를 적용하면 미터의 1/4과 같다는 것을 알 수 있었습니다.

따라서 보드의 전체 너비는 1 1/4m입니다.

따라서 보드의 길이와 너비를 측정할 때 2 1/2 m 및 1 1/4 m(즉, 분수)라는 숫자를 얻었습니다.

물체의 길이와 너비뿐만 아니라 다른 많은 양도 종종 분수로 표현됩니다.

우리는 시간을 시, 분, 초 단위로 측정할 뿐만 아니라 종종 한 시간 단위, 분 단위 단위, 심지어 1초 단위 단위로도 측정합니다.

매우 자주 분수는 무게를 나타냅니다. 예를 들어 1/2 kg, l 1/2 kg, 1/2 g, 3/4 g, 1/2 t 등입니다.

지금까지 측정에서 분수의 기원에 대해 이야기했지만 분수의 또 다른 소스가 있습니다. 이것이 나눗셈의 작용입니다. 거기서 멈추자. 4명의 소년에게 사과 3개를 나누어야 한다고 하자. 분명히, 이 경우 각 소년은 사과 한 개를 얻지 못할 것입니다. 왜냐하면 사과가 아이들보다 적기 때문입니다. 먼저 사과 2개를 반으로 자릅니다. 4개의 반쪽이 나올 것이고, 4명의 소년이 있기 때문에 각각 사과 반쪽을 받을 수 있습니다. 우리는 나머지 세 번째 사과를 4등분으로 자른 다음 각 소년을 자신이 가지고 있는 것, 즉 다른 4분의 1에 추가할 것입니다. 그런 다음 모든 사과가 배포되고 각 소년은 사과 1/2과 4분의 1을 받게 됩니다. 그러나 각 절반에는 2/4가 포함되어 있으므로 최종적으로 각 소년은 2/4와 각 1/4씩, 즉 사과의 총 3/4(3/4)을 가질 것이라고 말할 수 있습니다.

§ 80. 분수의 크기 비교.

예를 들어 두 개의 세그먼트와 같이 수량을 서로 비교하면 그 중 하나가 다른 것과 정확히 같거나 다른 것보다 크거나 다른 것보다 작을 수 있습니다.

그림 12에서 세그먼트 AB는 세그먼트 CD와 같습니다. 세그먼트 EF는 세그먼트 QH보다 큽니다. 세그먼트 KL은 세그먼트 MN보다 작습니다.

분수를 비교할 때 동일한 세 가지 경우를 만납니다. 일부 분수를 서로 비교하려고 합니다.

1. 이 분수에 해당하는 양이 서로 같으면 두 분수는 동일한 것으로 간주됩니다(같은 측정 단위 사용). 세그먼트 SC를 하나의 단위로 취합시다.

세그먼트 SK를 점 ​​D로 반으로 나눕니다(그림 13). 그런 다음 이 세그먼트 CD의 일부를 분수 1/2로 표시합니다. 동일한 세그먼트 SK를 4개의 동일한 부분으로 나누면 세그먼트 CD는 분수 2/4로 표시됩니다. 세그먼트 SK를 8개의 동일한 부분으로 나누면 세그먼트 CD는 분수 4/8에 해당합니다. 동일한 세그먼트를 세 번 취했기 때문에 분수 1/2, 2/4 및 4/8은 서로 같습니다.

2. 분자가 같은 두 분수(1/4와 1/8)를 취하고 어떤 값에 해당하는지 봅시다. 첫 번째 경우에는 일부 값을 4등분하고 두 번째 경우에도 8등분합니다.

그림 14는 1/4이 1/8보다 크다는 것을 보여줍니다. 따라서 분자가 같은 두 분수 중에서 분모가 작은 분수가 큰 분수입니다.

3. 분모가 같은 두 분수(5/8과 3/8)를 취합니다. 앞의 그림에서 이러한 분수를 각각 표시하면 첫 번째 분수에 해당하는 세그먼트가 두 번째 분수에 해당하는 세그먼트보다 큰 것을 알 수 있습니다. 따라서 분모가 같은 두 분수 중에서 분자가 큰 분수가 큰 분수입니다.

4. 분자와 분모가 다른 두 분수가 주어졌을 때, 각각의 분수를 하나로 비교하여 그 값을 판단할 수 있습니다. 예를 들어, 2/3은 4/5보다 작습니다. 첫 번째 분수는 1/3만큼, 두 번째 분수는 1/5만큼 다르기 때문입니다.

그러나 이러한 분수를 공통 분모로 줄임으로써 비교하는 것이 가장 쉽습니다. 이에 대해서는 아래에서 설명합니다.

§ 81. 분수는 규칙적이고 부적절합니다. 혼합 숫자입니다.

2개의 선형 단위와 동일한 세그먼트 AB를 취합시다(그림 15). 우리는 각 단위를 10개의 동일한 부분으로 나눕니다. 그러면 각 부분은 1/10과 같습니다.

AD = DE = EF = FH = ... = 1/10 AC.

다른 세그먼트를 고려하고 그들이 표현되는 분수에 대해 생각하십시오. 예를 들어 AF - 3/10, AK - 5/10, AM - 7/10, AO-9/10, AS-10/10, AR-11/10, AR-13/10. 우리는 모든 세그먼트를 분모가 10인 분수로 표현했습니다. 처음 4개의 분수(3/10, 5/10, 7/10; 9/10)는 분자가 분모보다 작으며, 각각은 1보다 작습니다.

다섯 번째 분수 (10 / 10)는 분자가 분모와 같고 분수 자체는 1과 같으며 단위로 취한 세그먼트 AC에 해당합니다.

마지막 두 분수(11/10, 13/10)는 분자가 분모보다 크고 각 분수는 1보다 큽니다.

분자가 분모보다 작은 분수를 고유분수라고 합니다. 위에서 언급했듯이 고유 분수는 1보다 작습니다. 이것은 처음 4개의 분수가 정확하므로 다음과 같이 쓸 수 있음을 의미합니다. 3 / 10<1, 5 / 10 <1, 7 / 10 <1, 9 / 10 <1.

분자가 분모보다 크거나 같은 분수를 가분수라고 합니다. 따라서 가분수는 1보다 크거나 같습니다. 따라서 마지막 세 분수는 부적절하며 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

10 / 10 =1 ; 11 / 10 >1 ; 13 / 10 >1 ;

마지막 두 개의 (부적절한) 분수에 집중합시다. 분수 11/10은 하나의 전체 단위와 올바른 분수 1/10으로 구성되어 있습니다. 즉, 1 1/10과 같이 쓸 수 있습니다. 결과는 정수와 고유분수, 즉 대분수를 조합한 수였습니다. 가분수 13/10에 대해서도 동일하게 반복할 수 있습니다. 1 3/10으로 나타낼 수 있습니다. 이것은 또한 혼합 숫자가 될 것입니다.

가분수를 대분수로 바꾸는 방법을 배워야 합니다. 우리는 앞의 두 개의 가분수를 대분수로 쉽게 대체했습니다. 그러나 예를 들어 545/32와 같은 분수를 만난다면 정수 부분을 추출하는 것이 더 어렵고 정수 부분을 추출하지 않고는 이 숫자의 값을 판단하기가 어렵습니다.

반면에 다양한 계산을 할 때 대분수가 아닌 가분수를 사용하는 것이 더 편리한 경우가 있습니다. 즉, 필요한 경우 역변환, 즉 대분수를 가분수로 대체할 수 있어야 합니다.

§ 82. 가분수를 대분수 및 역변환으로 변환.

가분수 9/4를 취하여 대분수로 대치해 봅시다. 우리는 다음과 같이 논증할 것입니다. 하나의 단위에 4개의 분기가 포함되어 있으면 9개의 분기에 4개의 분기가 포함된 것과 같은 수의 정수 단위가 9개의 분기에 포함됩니다. 이 질문에 답하려면 9를 4로 나누면 됩니다. 결과 몫은 정수의 수를 나타내고 나머지는 전체 단위를 구성하지 않는 4분의 1 수를 나타냅니다. 4는 나머지가 1인 9에 두 번 포함됩니다. 따라서 9 / 4 = 2 1 / 4이므로 9: 4 = 2이고 나머지는 1입니다.

위에서 언급한 가분수 545/32를 대분수로 바꿔봅시다.

545; 나머지는 32 \u003d 17이고 1이므로 545 / 32 \u003d 17 1 / 32입니다.

가분수를 대분수로 변환하려면 분수의 분자를 분모로 나누고 나머지를 찾아야 합니다. 몫은 전체 단위의 수를 표시하고 나머지는 단위의 분수 수를 표시합니다.

가분수를 대분수로 변환하여 정수 부분을 선택할 때마다 이 변환을 일반적으로 가분수에서 정수 제거라고 합니다.

가분수가 정수인 경우를 고려하십시오. 잘못된 숫자에서 정수를 제외해야 합니다.

분수 36/12 규칙에 따르면 나머지는 36: 12 = 3이고 0입니다. 즉, 분자를 나머지 없이 분모로 나눕니다. 즉, 36/12 = 3을 의미합니다.

이제 역변환, 즉 대분수를 가분수로 변환하는 방법을 살펴보겠습니다.

대분수 3 3/4을 취하여 가분수로 바꾸자. 다음과 같이 추론해 보겠습니다. 각 전체 단위에는 4/4가 포함되고 3개에는 3배 더 많은 4/4가 포함됩니다. 즉, 4 x 3 \u003d 12/44입니다. 이것은 3개의 전체 단위가 12개의 4분의 1을 포함하고, 대분수의 소수 부분에도 3개의 4분의 1이 있고 총 15개의 4분의 1이 있다는 것을 의미합니다. 따라서 3 3 / 4 = 15 / 4 입니다.

예시. 대분수 8 4 / 9를 가분수로 변환:

대분수를 가분수로 바꾸려면 분모에 정수를 곱하고 분자를 결과 곱에 더하고 이 합을 필요한 분수의 분자로 만들고 분모를 그대로 두어야 합니다.

§ 83. 정수를 가분수로 변환하기.

모든 정수는 1의 분수로 표현할 수 있습니다. 이것은 때때로 계산에 유용합니다. 예를 들어 숫자 5를 단위의 1/6로 표현한다고 가정해 보겠습니다.

우리는 다음과 같이 주장할 것입니다. 한 단위에 6/6이 있기 때문에 이 주식의 5개 단위에는 6이 아니라 5배, 즉 6 x 5 \u003d 30 6이 있습니다. 작업은 다음과 같이 정렬됩니다.

같은 방식으로 모든 정수를 분모가 있는 가분수로 바꿀 수 있습니다. 숫자 10을 분모가 다른 가분수로 표현해 보겠습니다.

분모 2, 그러면

분모 3, 그러면

분모 5, 다음

따라서 정수를 주어진 분모를 갖는 가분수로 표현하려면 이 분모에 주어진 숫자를 곱하고 결과 곱을 분자로 만들고 이 분모에 부호를 붙일 필요가 있습니다.

가능한 가장 작은 분모는 일(1)입니다. 따라서 정수를 분수로 나타내려면 1을 분모로 사용하는 경우가 많습니다(l2 = 12 / 1). 이 생각은 때때로 다음과 같이 표현됩니다. 모든 정수는 분모가 1인 분수로 간주될 수 있습니다(2 = 2/1, 3 = 3/1, 4 = 4/1, 5 = 5/1 등). )

§ 84. 용어가 변경된 분수 값의 변경.

이 섹션에서는 분수의 구성원이 변경될 때 분수의 값이 어떻게 변경되는지 고려할 것입니다.

1번 질문.분수 값은 어떻게 되나요? 분자가 증가함에 따라여러번? 분수 1/12를 취하여 분자를 점차적으로 2배, 3배, 4배 등으로 늘릴 것입니다. 그런 다음 다음 분수를 얻습니다.

이 분수를 서로 비교하기 시작하면 점차적으로 증가하는 것을 볼 수 있습니다. 두 번째 분수는 첫 번째보다 두 배 더 큽니다. 두 번째 부분이 있기 때문에 세 번째 분수는 첫 번째보다 세 배 크고, 등.

이것으로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 분수의 분자가 여러 번 증가하면 분수는 같은 양만큼 증가합니다.

두 번째 질문입니다.다음과 같은 경우 분수의 값은 어떻게 됩니까? 분자 감소여러번? 분수 24/25를 취하고 분자를 점차적으로 2배, 3배, 4배 등으로 줄입니다. 그러면 다음과 같은 분수가 나옵니다.

이 분수를 왼쪽에서 오른쪽으로 하나씩 살펴보면 두 번째 분수(12 / 25)가 첫 번째 24 / 25의 절반이라는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면 절반의 부분, 즉 분자의 절반이 있기 때문입니다. 네 번째 분수 6/25는 첫 번째와 두 번째 절반보다 4배 작습니다.

수단, 분수의 분자를 여러 번 줄이면 분수도 같은 양만큼 줄어듭니다.

세 번째 질문입니다.다음과 같은 경우 분수의 값은 어떻게 됩니까? 분모 증가여러번? 예를 들어 1 / 2와 같은 분수를 취하고 분자를 변경하지 않고 분모를 늘리면 이 질문에 답할 수 있습니다. 분모를 두 배로 늘리고 세 배로 늘리고 분수에 어떤 일이 일어나는지 봅시다.

점차적으로 분모를 증가시켜 마침내 100에 이르렀습니다. 분모는 상당히 커졌지만 몫의 가치는 크게 감소하여 백분의 일과 같았습니다. 이것으로부터 분수의 분모의 증가는 필연적으로 분수 자체의 감소로 이어질 것이 분명합니다.

수단, 분수의 분모가 여러 번 증가하면 분수는 같은 양만큼 감소합니다.

4번째 질문입니다.분모를 곱하면 분수의 값은 어떻게 됩니까? 우리는 최근에 작성된 분수를 가져와서 끝에서 다시 씁니다. 그러면 첫 번째 분수가 가장 작고 마지막 분수가 가장 큽니다. 그러나 첫 번째 분수는 분모가 가장 크고 마지막 분수는 분모가 가장 작습니다.

다음과 같이 쉽게 결론을 내릴 수 있습니다. 분수의 분모가 1의 인수로 감소하면 분수는 동일한 인수로 증가합니다.

다섯 번째 질문.분자와 분모가 같은 양만큼 증가하거나 감소할 때 분수는 어떻게 됩니까?

분수 1/2을 취하고 분자와 분모를 순차적으로 동시에 동시에 증가시킵니다. 때로는 첫 번째 분수의 구성원이 곱해지는 분수 옆에 인수가 놓입니다.

우리는 여섯 개의 분수를 썼습니다. 모양은 다르지만 크기가 모두 같다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 사실, 적어도 첫 번째 분수와 두 번째 분수를 비교합시다. 첫 번째 분수는 1/2입니다. 분자를 두 배로 늘리면 분수는 두 배가 될 것이지만 분모를 즉시 두 배로 늘리면 반으로 줄어들 것입니다. 즉, 변경되지 않은 상태로 유지됩니다. 따라서 1/2 = 2/4입니다. 다른 분수에 대해서도 같은 추론을 반복할 수 있습니다.

결론: 분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱한 경우(동일한 횟수만큼 증가), 분수의 값은 변경되지 않습니다.

우리는 이 속성을 일반적인 형태로 씁니다. 분수를 다음과 같이 표시합시다. ㅏ / 비 , 분자와 분모를 곱한 숫자 - 문자 티 ; 그러면 지정된 속성은 평등 형식을 취합니다.

분자와 분모를 동시에 같은 횟수로 줄이는 문제를 고려해야 합니다. 처음에는 분수 36/48이 있고 마지막 3/4에는 분수가 있는 여러 분수를 연속으로 작성해 보겠습니다.

그들 모두는 서로 같을 것입니다. 예를 들어 첫 번째 분수(36)의 분자를 반으로 줄이고 분모(48)를 반으로 줄이는 것과 같이 두 개의 인접한 분수를 비교하여 찾을 수 있습니다. , 분수를 2배로 늘립니다. 결과적으로 변경되지 않은 상태로 둡니다.

결론: 분수의 분자와 분모를 같은 수로 나눈 경우(같은 횟수만큼 감소), 분수의 값은 변경되지 않습니다.

마지막 두 결론의 본질은 분자와 분모가 같은 횟수만큼 동시에 증가하거나 감소하더라도 분수의 값은 변하지 않는다는 것입니다.

분수의 이 놀라운 속성은 다음에서 매우 중요합니다. 분수의 기본 속성.

§ 85. 분수의 감소.

세그먼트 AB(그림 16)를 20개의 동일한 부분으로 나누면 이 부분의 각각은 1/20이 됩니다. 15개의 이러한 부분을 포함하는 세그먼트 AC는 분수 15/20으로 표시됩니다.

이제 지분을 확대해 보겠습니다. 예를 들어 세그먼트를 20개 부분이 아니라 4개의 동일한 부분으로 나눕니다. 각각의 새 몫에는 5개의 이전 몫이 포함되어 있기 때문에 새 몫은 이전 몫보다 더 큰 것으로 판명되었으며, 이는 그림에서 명확하게 볼 수 있습니다. 이제 첫 번째 파쇄에서 세그먼트 AB의 15/20과 동일한 새로운 파쇄에서 세그먼트 AC가 무엇인지 생각해 봅시다. 그림에서 세그먼트 AB를 4부분으로 나누면 세그먼트 AC는 세그먼트 AB의 3/4과 같다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 세그먼트 AC는 세그먼트 AB가 얼마나 많은 부분으로 분할되는지에 따라 분수 15/20과 분수 3/4로 나타낼 수 있습니다. 크기 면에서 이것은 동일한 측정 단위로 동일한 세그먼트를 측정하기 때문에 동일한 분수입니다. 따라서 분수 15/20 대신 분수 3/4를 사용할 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

어떤 분수를 사용하는 것이 더 편리합니까? 두 번째 분수를 사용하는 것은 분자와 분모가 첫 번째 분수보다 작은 숫자로 표현되기 때문에 더 편리하고 이런 의미에서 더 간단합니다.

추론하는 과정에서 하나의 값(Segment AC)이 두 개의 분수로 표현되었고, 모양은 다르지만 값은 같은 것으로 밝혀졌습니다(15/20, 3/4). , 그러나 셀 수 없는 집합. 분수의 기본 속성을 기반으로 이러한 분수 중 첫 번째 분수를 분자와 분모가 가장 작은 형태로 만들 수 있습니다. 사실, 분수 15/20의 분자와 분모를 5로 나누면 3/4, 즉 15/20 = 3/4가 됩니다.

분자와 분모가 큰 분수에서 분자와 분모가 큰 분수를 얻을 수 있는 이 변환(분자와 분모를 같은 횟수로 동시에 줄임)은 분자와 분모가 큰 분수를 얻을 수 있지만 구성원이 작을수록 크기는 같습니다. 분수의 감소라고 합니다.

따라서 분수의 감소는 분자와 분모를 같은 숫자로 나누어 더 작은 항을 가진 동일한 분수로 바꾸는 것입니다.

우리는 분수 15/20을 줄이고 더 이상 줄일 수 없는 분수 3/4에 이르렀습니다. 그 이유는 항 3과 4에 공약수가 없기 때문입니다(1 제외). 그러한 분수를 줄일 수 없는. 분수를 줄일 때 취할 수 있는 두 가지 경로가 있습니다. 첫 번째 방법은 분수가 즉시 감소하는 것이 아니라 점진적으로 감소하는 것입니다. 즉, 첫 번째 감소 후에 환원 가능한 분수를 다시 얻은 다음 다시 감소시키는 것입니다. 분자와 분모를 큰 숫자로 표현하면 이 과정이 길어질 수 있습니다. 그리고 많은 공통 분배기가 있습니다.

분수 60/120을 가져 와서 순차적으로 줄입니다. 먼저 2로 줄이면 60/120 = 30/60이 됩니다. 새 분수 (30/60)도 2로 줄일 수 있으므로 30/60 = 15/30이 됩니다. 새로운 분수 15/30의 항은 공약수가 있으므로 이 분수를 3으로 줄이면 15/30 = 5/10이 됩니다. 마지막으로 마지막 분수는 5, 즉 5/10 = 1/2로 줄일 수 있습니다. 이것은 분수의 연속적인 감소입니다.

이 분수(60 / 120)를 60으로 즉시 줄일 수 있으며 동일한 결과를 얻을 수 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 숫자 60과 120의 60은 무엇입니까? 최대 공약수. 이것은 구성원의 최대 공약수로 분수를 줄이면 중간 나눗셈을 우회하여 즉시 기약 분수의 형태로 가져올 수 있음을 의미합니다. 이것은 분수를 줄이는 두 번째 방법입니다.

§ 86. 분수를 가장 작은 공통 분모로 줄입니다.

몇 가지 분수를 살펴보겠습니다.

첫 번째 부분과 두 번째 부분(1/2 및 1/3)을 비교하기 시작하면 약간의 어려움을 느낄 것입니다. 물론 첫 번째 경우에는 값을 두 개의 동일한 부분으로 나누고 두 번째 경우에는 세 개의 동일한 부분으로 나누기 때문에 절반이 1/3 이상임을 이해합니다. 그러나 그들 사이의 차이점은 무엇입니까? 여전히 대답하기 어렵습니다. 또 다른 것은 두 번째 분수와 세 번째 분수(1/3 및 2/3)로, 두 번째 분수가 세 번째 분수보다 1/3만큼 작다는 것이 바로 분명하기 때문에 비교하기 쉽습니다. 분모가 같은 분수를 비교하는 경우에는 어려움이 없고, 비교되는 분수의 분모가 다른 동일한 경우에도 약간의 불편이 발생한다는 것을 이해하기 쉽습니다. 나머지 분수 데이터를 비교하여 이를 확인합니다.

따라서 문제가 발생합니다. 두 분수를 비교할 때 분모가 동일한지 확인할 수 있습니까? 이것은 분수의 기본 속성을 기반으로 할 수 있습니다. 즉, 분모를 여러 번 증가시키면 분수의 값이 변경되지 않기 위해서는 분자가 같은 양만큼 증가해야 합니다.

이렇게 하면 분모가 다른 분수를 공통 분모로 줄일 수 있습니다.

일부 분수를 공통 분모로 줄이려면 먼저 이러한 각 분수의 분모로 나눌 수 있는 숫자를 찾아야 합니다. 따라서 분수를 공통 분모로 줄이는 과정의 첫 번째 단계는 최소공배수 구하기주어진 분모에 대해. 최소공배수를 구한 후에는 분모별로 나누어 각 분수에 대해 다음을 얻을 필요가 있습니다. 추가 승수. 이것은 분모가 같아지기 위해 각 분수의 분자와 분모를 몇 배나 늘려야 하는지를 나타내는 숫자입니다. 예를 고려하십시오.

1. 분수 7/30과 8/15를 공통 분모로 줄이자. 분모 30과 15의 최소공배수를 구합니다. 이 경우, 이것은 첫 번째 분수, 즉 30의 분모가 됩니다. 이것은 분수 7/30 및 8/15에 대한 가장 낮은 공통 분모가 됩니다. 이제 추가 요소를 찾아보겠습니다. 30: 30 = 1, 30: 15 = 2. 따라서 첫 번째 분수의 경우 추가 요소는 1이 되고 두 번째 분수의 경우 2가 됩니다. 첫 번째 분수는 변경되지 않은 상태로 유지됩니다. 두 번째 분수의 항에 추가 요소를 곱하여 분모 30으로 가져옵니다.

2. 7/30, 11/60, 3/70의 세 분수를 공통 분모로 가져오겠습니다.

분모 30, 60, 70의 최소공배수를 구해봅시다.

최소 공배수는 2 2 3 5 7 = 420입니다.

이것은 이러한 분수의 최소 공통 분모가 됩니다.

이제 추가 요소를 찾아보겠습니다. 420: 30 = 14; 420: 60 = 7; 420: 70 = 6. 따라서 첫 번째 분수의 경우 추가 요소는 14, 두 번째 7의 경우 및 세 번째 6의 경우 6이 됩니다. 분수의 항에 해당하는 추가 요소를 곱하면 분모가 같은 분수를 얻습니다.

3. 분수를 공통 분모인 8/25와 5/12로 줄여봅시다. 이 분수(25 및 12)의 분모는 동소수입니다. 따라서 최소 공배수는 25 x 12 \u003d 300의 곱셈에서 얻어집니다. 첫 번째 분수의 추가 인수는 12이고 두 번째 분수의 경우 25입니다. 이러한 분수의 형식은 다음과 같습니다.

분수를 최소 공통 분모로 줄이려면 먼저 모든 분모의 최소 공배수를 찾고 각 분모에 대한 추가 인수를 결정한 다음 각 분수의 두 항에 해당하는 추가 인수를 곱해야 합니다.

분수를 공통 분모로 줄이는 방법을 배운 후에는 크기의 분수를 비교하는 것이 더 이상 어려움이 없을 것입니다. 이제 두 분수의 값을 비교하여 공통 분모를 먼저 찾을 수 있습니다.

숫자에는 여러 유형이 있으며 그 중 하나는 정수입니다. 양의 방향뿐만 아니라 음의 방향으로도 계산하기 쉽도록 정수가 나타났습니다.

예를 고려하십시오.
낮에는 바깥 기온이 3도였다. 저녁이 되자 기온이 3도까지 떨어졌다.
3-3=0
밖은 0도였다. 그리고 밤에는 온도가 4도 떨어졌고 온도계에 -4도가 표시되기 시작했습니다.
0-4=-4

일련의 정수입니다.

우리는 이러한 문제를 자연수로 설명할 수 없으며 좌표선에서 이 문제를 고려할 것입니다.

일련의 숫자가 있습니다.
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

이 일련의 숫자를 정수 옆에.

정수 양수. 전체 음수입니다.

일련의 정수는 양수와 음수로 구성됩니다. 0의 오른쪽에는 자연수가 있습니다. 정수 정수. 그리고 0의 왼쪽으로 이동 전체 음수.

0은 양수도 음수도 아닙니다. 양수와 음수의 경계입니다.

자연수, 음의 정수 및 0으로 구성된 숫자 집합입니다.

양수 및 음수 방향의 일련의 정수는 다음과 같습니다. 끝없는 무리.

두 개의 정수를 취하면이 정수 사이의 숫자가 호출됩니다. 끝 세트.

예를 들어:
-2에서 4까지의 정수를 취합시다. 이 숫자 사이의 모든 숫자는 유한 집합에 포함됩니다. 유한 숫자 집합은 다음과 같습니다.
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

자연수는 라틴 문자 N으로 표시됩니다.
정수는 라틴 문자 Z로 표시됩니다. 자연수와 정수의 전체 집합을 그림에 나타낼 수 있습니다.


양수가 아닌 정수즉, 음의 정수입니다.
음이 아닌 정수양의 정수입니다.

에게 정수자연수, 0 및 자연수와 반대되는 숫자를 포함합니다.

정수양의 정수입니다.

예: 1, 3, 7, 19, 23 등 우리는 계산을 위해 이러한 숫자를 사용합니다(테이블에 5개의 사과가 있고, 자동차에는 4개의 바퀴가 있습니다).

라틴 문자 \mathbb(N) - 표시 자연수의 집합.

자연수는 음수(의자는 음수 다리를 가질 수 없음) 및 분수(Ivan은 3.5대의 자전거를 판매할 수 없음)를 포함할 수 없습니다.

자연수와 반대되는 숫자는 음의 정수입니다: -8, -148, -981, ....

정수를 사용한 산술 연산

정수로 무엇을 할 수 있습니까? 그들은 서로 곱하고, 더하고, 뺄 수 있습니다. 특정 예에서 각 작업을 분석해 보겠습니다.

정수 더하기

동일한 부호를 가진 두 개의 정수가 다음과 같이 추가됩니다. 이러한 숫자의 모듈이 추가되고 결과 합계 앞에 최종 부호가 옵니다.

(+11) + (+9) = +20

정수 빼기

부호가 다른 두 개의 정수가 다음과 같이 추가됩니다. 더 작은 수의 계수는 큰 수의 계수에서 빼고 더 큰 계수의 부호는 답 앞에 놓입니다.

(-7) + (+8) = +1

정수 곱셈

하나의 정수에 다른 정수를 곱하려면 이 숫자의 모듈을 곱하고 원래 숫자가 동일한 부호를 가진 경우 수신된 답변 앞에 "+" 기호를 넣고 원래 숫자가 동일한 부호이면 "-" 기호를 입력해야 합니다. 다른 표시:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

다음을 기억해야 합니다. 정수 곱셈 규칙:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

여러 정수를 곱하는 규칙이 있습니다. 기억합시다:

곱의 부호는 음수 부호가 있는 요인의 수가 짝수이면 "+"이고 음수 부호가 있는 요인 수가 홀수이면 "-"입니다.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

정수의 나눗셈

두 정수의 나눗셈은 다음과 같이 수행됩니다. 한 숫자의 모듈러스를 다른 숫자의 모듈러스로 나누고 숫자의 부호가 같으면 결과 몫 앞에 "+" 기호가 배치됩니다. , 원래 숫자의 부호가 다르면 "-"기호를 넣습니다.

(-25) : (+5) = -5

정수의 덧셈과 곱셈의 속성

정수 a , b 및 c 에 대한 덧셈과 곱셈의 기본 속성을 분석해 보겠습니다.

1. a + b = b + a - 덧셈의 교환 속성;
2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - 덧셈의 연관 속성;
3. a \cdot b = b \cdot a - 곱셈의 교환 속성;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- 곱셈의 연관 속성;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c곱셈의 분배 속성입니다.

첫 번째 수준

최대공약수와 최소공약수. 분할 기준 및 그룹화 방법(2019)

무언가를 계산해야 할 때 삶을 훨씬 단순화하고, OGE 또는 USE에서 귀중한 시간을 확보하고, 어리석은 실수를 줄이기 위해 - 이 섹션을 읽으십시오!

배울 내용은 다음과 같습니다.

• 사용하여 더 빠르고 쉽고 정확하게 계산하는 방법숫자의 그룹화덧셈과 뺄셈을 할 때,
• 오류 없이 빠르게 곱하고 나누는 방법 곱셈 규칙과 나눗셈 기준,
• 다음을 사용하여 계산 속도를 크게 높이는 방법 최소 공배수(NOC) 및 최대 공약수(GCD).

이 섹션의 기술을 소유하면 저울이 한 방향 또는 다른 방향으로 기울 수 있습니다 ... 꿈의 대학에 입학하든 그렇지 않든 귀하 또는 귀하의 부모님은 교육에 많은 돈을 지불해야하거나 예산을 입력해야합니다 .

바로 뛰어들자... (가자!)

중요 사항!공식 대신 횡설수설이 보이면 캐시를 지우십시오. 이렇게 하려면 Ctrl+F5(Windows의 경우)를 누르거나 Cmd+R(Mac)

많은 정수 3 부분으로 구성:

1. 정수(아래에서 더 자세히 고려할 것입니다);
2. 자연수와 반대되는 숫자(자연수가 무엇인지 아는 즉시 모든 것이 제자리에 들어갈 것입니다);
3. 영 - " " (그것 없이 어디?)

편지 Z.

정수

"신은 자연수를 창조했고 그 외의 모든 것은 인간의 손으로 만든 것입니다." (c) 독일 수학자 Kronecker.

자연수는우리가 물건을 세는 데 사용하는 숫자는 이것에 기반을 두고 있습니다. 화살표, 스킨 등을 셀 필요가 있습니다.

1, 2, 3, 4...n

편지 N.

따라서 이 정의에는 포함되지 않으며(없는 것을 셀 수 없습니까?) 음수 값은 포함하지 않습니다(사과가 있습니까?).

또한 모든 분수는 포함되지 않습니다("나는 노트북이 있습니다" 또는 "나는 자동차를 판매했습니다"라고 말할 수도 없습니다).

어느 자연수 10자리를 사용하여 작성할 수 있습니다.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

따라서 14는 숫자가 아닙니다. 이것은 숫자입니다. 어떤 숫자로 구성되어 있습니까? 맞습니다. 숫자와.

덧셈. 더 빠른 계산과 더 적은 실수를 위해 추가할 때 그룹화

이 절차에 대해 어떤 흥미로운 점을 말할 수 있습니까? 물론 이제 "합계의 가치는 항의 재배열로 인해 변하지 않는다"라고 답할 것입니다. 첫 번째 클래스에서 친숙한 원시 규칙처럼 보이지만 큰 예제를 풀 때 순식간에 잊혀졌다!

그를 잊지 마세요그룹화 사용, 계산 과정을 용이하게 하고 오류 가능성을 줄이기 위해 시험용 계산기가 없기 때문입니다.

어떤 표현이 더하기 쉬운지 직접 확인해 보세요.

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

물론 두 번째! 결과는 동일하지만. 하지만! 두 번째 방법을 고려하면 실수할 가능성이 적고 모든 작업을 더 빨리 수행할 수 있습니다!

그래서 마음속으로 다음과 같이 생각합니다.

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

빼기. 더 빠른 계산과 더 적은 오류를 위해 빼기 시 그룹화

뺄 때 뺀 숫자를 그룹화할 수도 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

예제에서 뺄셈이 덧셈과 함께 인터리브되면 어떻게 될까요? 당신은 또한 그룹화할 수 있고, 당신은 대답할 것이고, 당연히 그렇게 할 것입니다. 숫자 앞에 있는 기호를 잊지 마세요. 예를 들면 다음과 같습니다. 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

기억하십시오: 잘못 부착된 표지판은 잘못된 결과를 초래할 수 있습니다.

곱셈. 당신의 마음에 곱하는 방법

제품의 가치는 요소의 위치를 ​​​​변경해도 변하지 않을 것이 분명합니다.

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

나는 "문제를 풀 때 이것을 사용하라"는 말을 하지 않고(당신 스스로 힌트를 얻었습니다. 맞습니까?), 오히려 당신의 머리 속에 있는 몇 가지 숫자를 빠르게 곱하는 방법을 알려줍니다. 따라서 테이블을주의 깊게 살펴보십시오.

그리고 곱셈에 대해 조금 더. 물론, 당신은 두 가지 특별한 경우를 기억하고 있습니다... 무슨 말인지 알아요? 이에 대해 다음과 같습니다.

오 그래, 좀 보자 분할의 징후. 총 7개의 나눗셈 기호에 대한 규칙이 있으며, 그 중 처음 3개는 이미 확실히 알고 있습니다!

그러나 나머지는 기억하기가 전혀 어렵지 않습니다.

머리 속으로 빠르게 세는 데 도움이 되는 숫자의 나눗셈의 7가지 징후!

• 물론 처음 세 가지 규칙은 알고 있습니다.
• 네 번째와 다섯 번째는 기억하기 쉽습니다. 나눌 때 숫자를 구성하는 숫자의 합이 이것으로 나누어 떨어지는지 확인합니다.
• 나눌 때 숫자의 마지막 두 자리에주의를 기울입니다. 그들이 구성하는 숫자는 나눌 수 있습니까?
• 숫자로 나눌 때는 로 나눌 수 있고 동시에 나눌 수 있어야 합니다. 그것이 지혜의 전부입니다.

이제 "이 모든 것이 필요한 이유"를 생각하고 계십니까?

먼저 시험은 계산기 없이이러한 규칙은 예제를 탐색하는 데 도움이 됩니다.

그리고 두 번째로, 당신은에 대한 작업을 들었습니다. GCD그리고 NOC? 익숙한 줄임말? 기억하고 이해하기 시작합시다.

최대공약수(gcd) - 분수를 줄이고 빠른 계산에 필요

두 개의 숫자가 있다고 가정해 보겠습니다. 이 두 수로 나누어 떨어지는 가장 큰 수는? 다음을 알고 있기 때문에 주저하지 않고 대답할 것입니다.

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

확장에서 공통적인 숫자는 무엇입니까? 맞습니다. 2 * 2 = 4입니다. 그것이 당신의 대답이었습니다. 이 간단한 예를 염두에두면 다음을 찾는 알고리즘을 잊지 못할 것입니다. GCD. 당신의 머리에 그것을 "구축"하려고 노력하십시오. 일어난?

NOD를 찾으려면 다음이 필요합니다.

1. 숫자를 소인수로 분해합니다(자신 이외의 다른 것으로 또는 예를 들어 3, 7, 11, 13 등으로 나눌 수 없는 숫자로).
2. 곱하십시오.

왜 우리가 나눌 수 있다는 표시가 필요했는지 이해합니까? 숫자를 보고 나머지 없이 나누기를 시작할 수 있도록 합니다.

예를 들어 숫자 290과 485의 GCD를 구해 보겠습니다.

첫 번째 숫자 - .

그것을 보면, 무엇으로 나눌 수 있는지 즉시 알 수 있습니다. 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

다른 것으로 나눌 수는 없지만 다음을 얻을 수 있습니다.

290 = 29 * 5 * 2

또 다른 숫자인 485를 봅시다.

나눗셈의 기호에 따르면 로 끝나기 때문에 나머지 없이 로 나눌 수 있어야 합니다. 우리는 나눈다:

원래 숫자를 분석해 보겠습니다.

• (마지막 숫자는 홀수)로 나눌 수 없습니다.
• - 로 나눌 수 없으므로 숫자도 다음으로 나눌 수 없습니다.
• 또한 and로 나눌 수 없음(숫자의 자릿수의 합은 and로 나눌 수 없음)
• 는 and로 나눌 수 없기 때문에 나눌 수 없습니다.
• 또한 and로 나눌 수 없기 때문에 and로 나눌 수 없습니다.
• 완전히 나눌 수 없다

따라서 숫자는 and로만 분해될 수 있습니다.

그리고 이제 찾자 GCD이 숫자(및). 이 숫자는 무엇입니까? 정확히, .

연습해볼까요?

작업 번호 1. 숫자 6240 및 6800의 GCD 찾기

1) 두 숫자 모두 100%로 나눌 수 있으므로 즉시 나눕니다.

2) 나머지 큰 수(들)로 나눌 것입니다. 왜냐하면 그것들은 나머지 없이 나누어지기 때문입니다(동시에 나는 분해하지 않을 것입니다 - 그것은 이미 공약수입니다):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) 혼자 떠나고 숫자와 생각을 시작합니다. 두 숫자 모두 다음으로 정확히 나눌 수 있습니다(짝수로 끝남(이 경우 로 표시하지만 나눌 수 있음)).

4) 우리는 숫자와 작업을 합니다. 그들은 공약수가 있습니까? 이전 단계처럼 쉽고 말할 수 없으므로 간단한 요소로 분해하겠습니다.

5) 보시다시피 우리가 옳았고 공약수가 없었으므로 이제 곱해야 합니다.
GCD

작업 번호 2. 숫자 345와 324의 GCD 찾기

여기서 최소한 하나의 공약수를 빨리 찾을 수 없으므로 소인수로 분해합니다(가능한 한 적게).

정확히, GCD와 나는 처음에 가분성 기준을 확인하지 않았으며 아마도 그렇게 많은 작업을 수행할 필요가 없었을 것입니다. 하지만 확인했잖아요? 잘했어요! 보시다시피, 매우 쉽습니다.

LCM(최소공배수) - 시간을 절약하고 기본적으로 문제를 해결하는 데 도움이 됩니다.

두 개의 숫자가 있다고 가정해 보겠습니다. 로 나누어 떨어지는 가장 작은 수는 무엇입니까? 흔적없이(즉, 완전히)? 상상하기 어렵나요? 다음은 시각적 단서입니다.

편지의 의미를 기억하십니까? 맞아요 그냥 정수.그렇다면 x에 맞는 가장 작은 수는 무엇입니까? :

이 경우.

이 간단한 예에서 몇 가지 규칙을 따릅니다.

NOC를 빠르게 찾기 위한 규칙

규칙 1. 두 자연수 중 하나가 다른 수로 나누어 떨어지는 경우 이 두 수 중 큰 수는 최소 공배수입니다.

다음 숫자를 찾으십시오.

• NOC (7:21)
• NOC (6;12)
• NOC (5:15)
• NOC (3;33)

물론이 작업에 쉽게 대처하고 답을 얻었습니다.

규칙에서 우리는 두 개의 숫자에 대해 이야기하고 있습니다. 숫자가 더 많으면 규칙이 작동하지 않습니다.

예를 들어, LCM(7;14;21)은 나머지 없이 나눌 수 없기 때문에 21과 같지 않습니다.

규칙 2. 2개(또는 2개 이상)의 숫자가 공소인 경우 최소 공배수는 해당 곱과 같습니다.

찾기 NOC다음 숫자에 대해:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

계산하셨나요? 여기에 답이 있습니다 - , ; .

당신이 이해하는 바와 같이, 이 동일한 x를 취하고 선택하는 것이 항상 쉬운 것은 아니므로 약간 더 복잡한 숫자의 경우 다음 알고리즘이 있습니다.

연습해볼까요?

최소공배수 찾기 - LCM(345; 234)

각 숫자를 분해해 보겠습니다.

내가 왜 글만 썼지? 나눗셈의 기호를 기억하십시오: 로 나눌 수 있음(마지막 자릿수가 짝수임) 및 자릿수의 합은 로 나눌 수 있습니다. 따라서 다음과 같이 즉시 나눌 수 있습니다.

이제 우리는 줄에서 가장 긴 확장을 씁니다 - 두 번째 :

여기에 우리가 작성한 것에는 없는 첫 번째 확장의 숫자를 추가해 보겠습니다.

참고: 우리는 이미 가지고 있기 때문에 제외하고 모든 것을 썼습니다.

이제 이 모든 숫자를 곱해야 합니다!

최소공배수(LCM)를 직접 구하십시오.

어떤 답변을 얻었습니까?

나에게 일어난 일은 다음과 같습니다.

찾는 데 얼마나 걸렸어요 NOC? 내 시간은 2분, 정말 알아 한 가지 트릭, 지금 바로 여는 것이 좋습니다!

세심한주의를 기울이면 주어진 숫자에 대해 이미 검색한 것을 알 수 있습니다. GCD그 예에서 이 숫자를 인수분해하여 작업을 단순화할 수 있지만 이것은 모든 것과는 거리가 멉니다.

그림을 보면 다른 생각이 떠오를 수도 있습니다.

잘? 내가 힌트를 줄게: 곱하기를 해봐 NOC그리고 GCD곱할 때의 모든 요소를 ​​기록하십시오. 관리하셨나요? 다음과 같은 체인으로 끝나야 합니다.

자세히 살펴보십시오. 요인과 분해 방법을 비교하십시오.

이로부터 어떤 결론을 내릴 수 있습니까? 바르게! 값을 곱하면 NOC그리고 GCD그들 사이에, 우리는 이 숫자의 곱을 얻습니다.

따라서 숫자와 의미를 갖는 GCD(또는 NOC), 우리는 찾을 수있어 NOC(또는 GCD) 다음과 같은 방법으로:

1. 숫자의 곱 찾기:

2. 결과 제품을 다음으로 나눕니다. GCD (6240; 6800) = 80:

그게 다야.

일반적인 형식으로 규칙을 작성해 보겠습니다.

찾아봐 GCD다음 사항이 알려진 경우:

관리하셨나요? .

음수 - "거짓 숫자"와 인류의 인식.

이미 이해했듯이 이들은 자연수와 반대되는 숫자입니다.

음수는 자연수와 마찬가지로 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기가 가능합니다. 그들이 그렇게 특별할 것 같습니까? 그러나 사실은 음수가 19세기까지 수학에서 정당한 위치를 "얻었다"(그 순간까지는 큰 금액존재 여부에 대한 논쟁).

음수 자체는 "빼기"와 같은 자연수를 사용한 연산으로 인해 발생했습니다. 실제로, ~에서 빼십시오. 음수입니다. 이것이 음수의 집합을 종종 "집합의 확장"이라고 부르는 이유입니다. 자연수».

음수는 오랫동안 사람들에게 인식되지 않았습니다. 따라서 고대 이집트, 바빌론 및 고대 그리스 - 그 시대의 빛은 음수를 인식하지 못했고 방정식에서 음수 뿌리를 얻는 경우 (예 : 우리와 같이) 뿌리가 불가능한 것으로 거부되었습니다.

처음으로 음수는 중국에서, 그리고 7세기에는 인도에서 존재할 권리를 얻었습니다. 이 고백에 대해 어떻게 생각하세요? 맞습니다. 음수는 부채를 나타내기 시작했습니다(그렇지 않으면 부족). 음수는 일시적인 값으로 결과적으로 양수로 변경됩니다(즉, 돈은 여전히 ​​채권자에게 반환됨). 그러나 인도의 수학자 브라마굽타는 이미 음수를 양수와 동등하게 간주했습니다.

유럽에서는 음수의 유용성과 부채를 나타낼 수 있다는 사실이 훨씬 나중에, 즉 천년기에 나타났습니다. 첫 번째 언급은 1202년 피사의 레오나르드(Leonard of Pisa)가 쓴 "주판의 책(Book of the Abacus)"에서 볼 수 있습니다. 피사의 레오나르도의 별명은 피보나치)). 또한 유럽인들은 음수가 부채뿐만 아니라 아무것도 없다는 것을 의미 할 수 있지만 모든 사람이 이것을 인식하는 것은 아니라는 결론에 도달했습니다.

그래서 XVII 세기에 Pascal은 그렇게 믿었습니다. 그가 그것을 어떻게 정당화했다고 생각합니까? 맞습니다. "아무것도 NOTHING보다 작을 수 없습니다". 그 시대의 반향은 음수와 빼기 연산이 동일한 기호 - 빼기 "-"로 표시된다는 사실로 남아 있습니다. 그리고 사실: . 숫자 " "에서 빼는 것이 양수입니까, 더해지는 음수입니까? ... "닭이 먼저입니까, 계란이 먼저입니까?" 시리즈의 무엇입니까? 여기에 이런 종류의 수학적 철학이 있습니다.

음수는 해석기하학의 출현, 즉 수학자들이 실수축과 같은 것을 도입하면서 존재할 권리를 확보했습니다.

이 순간부터 평등이 왔습니다. 그러나 답변보다 질문이 더 많았습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

비율

이 비율을 아르노 역설이라고 합니다. 그것에 대해 의심스러운 것은 무엇입니까?

' '보다 ' '함께 이야기합시다. 따라서 논리에 따르면 비율의 왼쪽은 오른쪽보다 커야하지만 동일합니다 ... 여기에 역설이 있습니다.

결과적으로 수학자들은 1831년에 Karl Gauss(예, 예, 이것은 숫자의 합(또는)를 고려한 사람입니다)가 그것을 끝냈다는 데 동의했습니다. 그는 음수가 양수와 동일한 권리를 가진다고 말했습니다, 분수가 많은 것에도 적용되지 않기 때문에 그것들이 모든 것에 적용되지 않는다는 사실은 아무 의미가 없습니다.

수학자들은 음수 이론이 William Hamilton과 Hermann Grassmann에 의해 창안된 19세기에만 진정되었습니다.

그것이 그들이 얼마나 논쟁의 여지가 있는지, 이 음수입니다.

"공허함"의 출현, 또는 0의 전기.

수학에서 특별한 숫자. 언뜻보기에 이것은 아무것도 아닙니다. 더하기, 빼기 - 아무 것도 변경되지 않지만 ""에 대한 권리로 귀속해야하며 결과 숫자는 원래 숫자보다 몇 배나 큽니다. 0을 곱하면 모든 것이 무로 바뀌지만 "무"로 나눌 수는 없습니다. 한마디로 매직넘버)

제로의 역사는 길고 복잡합니다. 서기 2000년 중국인의 저술에서 0의 흔적이 발견됩니다. Maya에서는 훨씬 더 일찍. 오늘날과 같이 0 기호의 첫 번째 사용은 그리스 천문학자들 사이에서 나타났습니다.

그러한 지정 "아무것도"가 선택된 이유에 대한 많은 버전이 있습니다. 일부 역사가들은 이것이 오미크론이라고 믿는 경향이 있습니다. 무에 대한 그리스어 단어의 첫 글자는 ouden입니다. 다른 버전에 따르면 "obol"(거의 가치가 없는 동전)이라는 단어는 0의 상징에 생명을 불어넣었습니다.

수학적 기호로서의 0(또는 0)은 인디언들 사이에서 처음으로 나타납니다(음수가 그곳에서 "발전"하기 시작했음을 주목하십시오). 0을 쓰는 첫 번째 신뢰할 수 있는 증거는 876년으로 거슬러 올라가며, 그 중 ""는 숫자의 구성 요소입니다.

제로도 뒤늦게 유럽에 왔는데 1600년에야 음수와 마찬가지로 저항에 직면했습니다.

미국 수학자 Charles Seif는 “제로는 태곳적부터 미움을 받거나, 두려워하거나, 금지되기까지 하는 경우가 많았습니다. 따라서 19 세기 말 터키 술탄 압둘 하미드 II. 그는 검열관에게 모든 화학 교과서에서 H2O 물 공식을 삭제하도록 명령했으며 문자 "O"를 0으로 사용하고 그의 이니셜이 비열한 0에 근접하여 명예를 훼손하는 것을 원하지 않았습니다.

인터넷에서 다음과 같은 문구를 찾을 수 있습니다. "제로는 우주에서 가장 강력한 힘이며 무엇이든 할 수 있습니다! 0은 수학에서 질서를 만들고 혼란을 가져오기도 합니다. 정말 정확한 지적입니다 :)

섹션 요약 및 기본 공식

정수 집합은 세 부분으로 구성됩니다.

• 자연수 (아래에서 더 자세히 고려할 것입니다);
• 자연수와 반대되는 숫자;
• 영 - " "

정수 집합은 다음과 같이 표시됩니다. 편지 Z.

1. 자연수

자연수는 우리가 물체를 세는 데 사용하는 숫자입니다.

자연수의 집합은 다음과 같이 표시됩니다. 편지 N.

정수 연산에서는 GCD와 LCM을 찾는 기능이 필요합니다.

최대공약수(GCD)

NOD를 찾으려면 다음이 필요합니다.

1. 숫자를 소인수로 분해합니다(예를 들어, 그 자체 또는 다른 것으로 나눌 수 없는 숫자로).
2. 두 숫자의 일부인 요인을 기록하십시오.
3. 곱하십시오.

최소공배수(LCM)

NOC를 찾으려면 다음이 필요합니다.

1. 숫자를 소인수로 분해합니다(이를 수행하는 방법을 이미 잘 알고 있습니다).
2. 숫자 중 하나의 확장에 포함 된 요소를 작성하십시오 (가장 긴 체인을 사용하는 것이 좋습니다).
3. 나머지 숫자의 확장에서 누락 된 요소를 추가하십시오.
4. 결과 요인의 곱을 찾으십시오.

2. 음수

다음은 자연수와 반대되는 숫자입니다.

이제 당신의 말을 듣고 싶습니다...

이 섹션의 매우 유용한 "요령"을 이해하고 시험에서 어떻게 도움이 될 것인지 이해하셨기를 바랍니다.

그리고 더 중요한 것은 인생에서. 내가 그것에 대해 말하는 것이 아니라, 이것이 하나입니다. 오류 없이 신속하게 계산하는 능력은 많은 생활 상황에서 절약됩니다.

이제 당신 차례입니다!

쓰기, 계산에 그룹화 방법, 나눌 수 있는 기준, GCD 및 LCM을 사용하시겠습니까?

아마도 당신은 전에 그들을 사용 했습니까? 어디서 어떻게?

아마도 당신은 질문이 있습니다. 또는 제안.

당신이 기사를 어떻게 좋아하는지 의견에 쓰십시오.

그리고 시험 잘 치세요!

기사의 내용

수학에서 숫자의 개념은 다른 성격의 대상을 나타낼 수 있습니다. 계산에 사용되는 자연수(양의 정수 1, 2, 3 등), (이상화된) 측정의 가능한 결과인 숫자(이들은 다음과 같은 숫자입니다. 2/ 3, - 그들은 실수, 음수, 허수(예: k) 및 수학의 상위 섹션에서 사용되는 기타 추상적인 숫자 클래스(예: 초복소수 및 초한수)라고 합니다. 숫자는 해당 기호 또는 이를 나타내는 표기법과 구별되어야 합니다. 다른 클래스의 숫자 사이의 논리적 관계를 고려할 것입니다.

이러한 수수께끼는 다른 종류의 숫자가 상당히 다른 의미를 갖는다고 생각하면 쉽게 풀 수 있습니다. 그것들은 모두 숫자라고 할 수 있을 만큼 충분한 공통점을 가지고 있지만, 모두가 같은 규칙을 만족할 것이라고 생각해서는 안 됩니다.

양의 정수.

우리는 모두 어린 시절에 양의 정수(1, 2, 3 등)를 배우지만 정의에 대해 생각하는 일이 거의 일어나지 않을 때 그러한 숫자는 형식 논리의 모든 규칙으로 정의될 수 있습니다. 숫자 1에 대한 엄격한 정의는 12페이지가 넘게 걸리며, 1 + 1 = 2와 같은 공식은 약어 없이 자세히 작성하면 몇 킬로미터에 걸쳐 늘어납니다. 그러나 모든 수학적 이론은 정의되지 않은 개념과 이에 대한 공리 또는 가정으로 시작해야 합니다. 양의 정수는 잘 알려져 있고 더 간단한 것을 사용하여 정의하기 어렵기 때문에 원래의 정의되지 않은 개념으로 간주하고 이러한 숫자의 기본 속성을 알고 있다고 가정합니다.

음의 정수와 0입니다.

음수는 요즘 일반적입니다. 예를 들어 영하의 온도를 나타내는 데 사용됩니다. 따라서 몇 세기 전에는 음수에 대한 구체적인 해석이 없었고 계산 과정에서 나타나는 음수를 "허수"라고 불렀다는 것이 놀랍습니다. 음수에 대한 직관적인 해석은 그 자체로 유용하지만 (-4)ґ(-3) = +12와 같은 "규칙"을 이해하려고 할 때 음수를 양수로 정의해야 합니다. 이렇게 하려면 음수에서 기대하는 것과 똑같이 산술과 대수학에서 동작하는 수학적 개체 집합을 구축해야 합니다. 그러한 집합을 구성하는 한 가지 방법은 양수의 순서쌍을 고려하는 것입니다( ㅏ,비). "Ordered"는 예를 들어 쌍(2,3)이 쌍(3,2)과 다르다는 것을 의미합니다. 이러한 순서 쌍은 새로운 종류의 숫자로 간주될 수 있습니다. 이제 우리는 그러한 두 개의 새로운 숫자가 같을 때 그리고 그들의 덧셈과 곱셈이 무엇을 의미하는지 말해야 합니다. 정의의 선택은 쌍( ㅏ,비) 차이로 작용했습니다( ㅏ – 비), 이것은 지금까지 다음 경우에만 정의되었습니다. ㅏ더 비. 대수학에서 ( a-b) + (CD) = (a+c) – (b+d), 우리는 새로운 숫자의 추가를 다음과 같이 정의할 필요가 있습니다. ㅏ,비) + (씨,디) = (a+c, b+d); 왜냐하면 ( ㅏ – 비)ґ(씨 – 디) = 교류 + BD – (BC + 광고), 우리는 평등에 의한 곱셈을 정의합니다( ㅏ,비)ґ(씨,디) = (ac+bd, BC + 광고); 이후 ( a-b) = (CD), 만약에 a + d = b + c, 우리는 관계에 의해 새로운 숫자의 평등을 정의합니다 ( ㅏ,비) = (씨,디), 만약에 a + d = b + c. 이런 식으로,

쌍의 평등의 정의를 사용하여 쌍의 합과 곱을 더 간단한 형식으로 작성할 수 있습니다.

모든 커플( ㅏ,ㅏ)는 동일하고(동등한 쌍의 정의에 따라) 0이 작동할 것으로 예상하는 대로 작동합니다. 예를 들어, (2.3) + (1.1) = (3.4) = (2.3); (2.3) ґ(1.1) = (2 + 3, 2 + 3) = (5.5) = (1.1). 커플( ㅏ,ㅏ) 0(아직 사용되지 않음)을 기호화할 수 있습니다.

커플( ㅏ,비), 어디 비더 ㅏ, 음수처럼 행동하고 쌍을 나타낼 수 있습니다( ㅏ,비) 기호 –( 비 – ㅏ). 예를 들어 -4는 (1.5)이고 -3은 (1.4)입니다. (-4) ґ(-3) = (21.9) 또는 (13.1). 마지막 숫자를 12로 표시하고 싶지만 단일 양의 정수가 아니라 한 쌍의 양의 정수를 나타내기 때문에 이것은 양의 정수 12와 확실히 동일하지 않습니다. 쌍( ㅏ,비), 어디 비더 적은 ㅏ, 양의 정수( ㅏ – 비), 우리는 ( ㅏ – 비). 동시에, 우리는 우리가 시작했을 때 사용한 양의 정수를 잊어버려야 하고, 앞으로는 우리가 호출할 새로운 숫자만 사용해야 합니다. 정수. 일부 새 숫자에 대해 이전 이름을 사용하려는 사실이 새 숫자가 실제로 다른 종류의 대상이라는 오해의 소지가 있어서는 안 됩니다.

분수.

직관적으로, 우리는 분수 2/3을 1을 3개의 동일한 부분으로 나누고 그 중 2개를 취한 결과로 생각합니다. 그러나 수학자는 가능한 한 직관에 의존하지 않고 유리수를 더 단순한 대상(정수)으로 정의하려고 노력합니다. 이것은 2/3을 (2,3) 정수의 순서 쌍으로 처리하여 수행할 수 있습니다. 정의를 완료하려면 분수의 평등과 덧셈과 곱셈에 대한 규칙을 공식화해야 합니다. 물론 이러한 규칙은 산술 규칙과 동일해야 하며 물론 정수로 정의한 순서쌍에 대한 규칙과도 달라야 합니다. 규칙은 다음과 같습니다.

쌍( ㅏ,1) 정수로 작용 ㅏ; 음수의 경우와 같은 방식으로 추론을 계속하면 분수 (2.1) 또는 (4.2) 또는 (2.1)과 같은 다른 분수를 2로 표시합니다. 이제 정수는 잊어버리고 특정 분수를 쓰는 수단으로만 유지합시다.

유리수와 무리수.

분수는 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있으므로 유리수라고도 합니다. 처지(위도에서. 비율비율) 두 정수의. 그러나 제곱이 2인 숫자가 필요한 경우 유리수를 사용할 수 없습니다. 제곱이 2인 유리수는 없습니다. 원의 둘레와 지름의 비율을 나타내는 숫자에 대해 묻는 경우에도 마찬가지입니다. 따라서 모든 양수의 제곱근을 얻으려면 유리수 클래스를 확장해야 합니다. 비합리적(즉, 합리적이지 않음)이라고 하는 새로운 숫자는 다양한 방식으로 정의될 수 있습니다. 정렬된 쌍은 이에 적합하지 않습니다. 가장 간단한 방법 중 하나는 무리수를 반복되지 않는 무한 소수로 정의하는 것입니다.

실수.

유리수와 무리수를 함께 실수 또는 실수라고 합니다. 기하학적으로, 그것들은 그림 1과 같이 정수 사이에 분수가 있고 분수 사이에 무리수가 있는 직선상의 점으로 나타낼 수 있습니다. 1. 실수 시스템은 "완전성"으로 알려진 속성을 가지고 있음을 알 수 있습니다. 이는 선의 모든 점이 일부 실수에 해당함을 의미합니다.

복소수.

양수 및 음수 실수의 제곱은 양수이므로 제곱이 -1인 숫자에 해당하는 실수의 선 위에 점이 없습니다. 그러나 우리가 다음과 같은 이차 방정식을 풀려고 한다면 엑스 2 + 1 = 0이면 어떤 숫자가 있는 것처럼 행동해야 합니다. 나, 제곱은 -1이 됩니다. 하지만 그런 수가 없기 때문에 "허수" 또는 "허수" 수를 사용할 수밖에 없습니다. 따라서 "숫자" 나일반 숫자와의 조합(예: 2 + 3 나) 가상으로 알려지게 되었습니다. 현대 수학자들은 그러한 숫자를 "복잡한" 숫자라고 부르는 것을 선호합니다. 왜냐하면 앞으로 보게 되겠지만, 그것들은 우리가 이전에 접했던 것과 마찬가지로 "실제"이기 때문입니다. 오랫동안 수학자들은 허수를 자유롭게 사용하고 자신이하는 일을 완전히 이해하지 못했지만 유용한 결과를 얻었습니다. 19세기 초까지 명백한 정의의 도움으로 허수를 "소생"시키는 것은 누구도 생각하지 못했습니다. 이렇게 하려면 대수학의 관점에서 표현식처럼 동작하는 수학적 개체 집합을 만들어야 합니다. 에이+비, 우리가 동의하는 경우 나 2 = -1. 이러한 객체는 다음과 같이 정의할 수 있습니다. 새로운 숫자로 실수의 순서 쌍을 고려하십시오. 덧셈과 곱셈은 공식에 의해 결정됩니다.

우리는 이러한 순서쌍을 복소수라고 부릅니다. 개인 양식 쌍( ㅏ,0) 두 번째 항이 0인 경우 실수처럼 작동하므로 동일한 방식으로 표시하는 데 동의합니다. 예를 들어 2는 (2,0)을 의미합니다. 한편, 복소수(0, 비) 곱셈의 정의에 의해 속성은 (0, 비)ґ(0,비) = (0 – 비 2 , 0 + 0) = (–비 2 ,0) = –비 2. 예를 들어, (0.1)ґ(0.1)의 경우 제품 (-1.0)을 찾습니다. 따라서 (0.1) 2 = (-1.0). 우리는 이미 복소수(-1.0)를 -1로 쓰기로 동의했으므로 숫자(0.1)가 기호로 표시되면 나, 우리는 복소수를 얻습니다 나, 그렇게 나 2 = -1. 또한 복소수(2,3)는 이제 2 + 3으로 쓸 수 있습니다. 나.

복소수에 대한 이러한 접근 방식과 기존 접근 방식 간의 중요한 차이점은 이 경우 숫자 나미스터리하거나 상상의 어떤 것도 포함하지 않습니다. 물론 그 중 어느 것과도 일치하지 않지만 이전에 이미 존재했던 숫자로 잘 정의된 것입니다. 마찬가지로 실수 2는 복소수가 아니지만 기호 2를 사용하여 복소수를 나타냅니다. 허수에는 실제로 "허수"가 없기 때문에 전기 공학과 같은 실제 상황에서 널리 사용되는 것은 놀라운 일이 아닙니다. 나일반적으로 문자를 사용 제이, 전기 공학에서와 같이 나- 전류의 현재 값에 대한 기호).

많은 면에서 복소수의 대수학은 상당한 차이가 있지만 실수의 대수학과 유사합니다. 예를 들어, 복소수에 대한 규칙은 , 따라서 , while 을 유지하지 않습니다.

복소수를 추가하면 간단한 기하학적 해석이 가능합니다. 예를 들어 숫자 2 + 3의 합 나그리고 3 - 나숫자 5 + 2가 있습니다 나, 점 0, 2 + 3에 세 개의 꼭짓점이 있는 평행사변형의 네 번째 꼭짓점에 해당합니다. 나그리고 3 - 나.

평면상의 한 점은 직사각형(직교) 좌표( 엑스,와이) 뿐만 아니라 극좌표( 아르 자형,큐) 점에서 원점까지의 거리와 각도를 지정합니다. 따라서 복소수 x+iy극좌표로도 쓸 수 있습니다(그림 2, 비). 반경 벡터의 길이 아르 자형원점에서 복소수에 해당하는 점까지의 거리와 같습니다. 크기 아르 자형복소수의 계수라고 하며 공식에 의해 결정됩니다. 종종 모듈은 로 작성됩니다. 모서리 큐복소수의 "각도", "인수" 또는 "위상"이라고 합니다. 이러한 수는 360°의 배수만큼 다른 무한히 많은 각도를 가지고 있습니다. 예를 들어, 나각이 90°, 450°, -270°, ј입니다. 같은 점의 직교좌표와 극좌표는 관계식으로 연결되기 때문에 엑스 = 아르 자형코사인 큐, 와이 = 아르 자형죄 큐, 평등 엑스 + 이이 = 아르 자형(코사인 큐 + 나죄 큐).

만약 z = x + iy, 다음 번호 x-iy의 복합 켤레라고 합니다. 지 n z = re iq 로 표시됩니다. 복소수의 로그 다시 iq, 정의에 따라 ln과 같습니다. r + iq, 여기서 ln은 밑 로그를 의미합니다. 이자형, ㅏ 큐라디안으로 측정된 모든 가능한 값을 취합니다. 따라서 복소수에는 무한히 많은 로그가 있습니다. 예를 들어, ln(–2) = ln 2 + 아이피+ 2의 정수배 피. 일반적으로 차수는 이제 관계식을 사용하여 정의할 수 있습니다. b = e b인 ㅏ. 예를 들어, 나 –2나 = 이자형-2ln 나. 숫자 인수의 값 때문에 나동일한 피/2(라디안으로 표시되는 90°)에 정수배를 더한 다음 숫자 나 –2나문제 에피, 이자형 3 피, 이자형 -피등 모두 유효합니다.

초복소수.

복소수는 실수 계수로 모든 이차 방정식을 풀 수 있도록 발명되었습니다. 사실, 복소수를 사용하면 훨씬 더 많은 일을 할 수 있다는 사실을 알 수 있습니다. 복소수를 도입하면 복잡한 계수를 사용하더라도 모든 대수 방정식을 풀 수 있습니다. 결과적으로 우리가 대수 방정식을 푸는 데에만 관심이 있다면 새로운 숫자를 도입할 필요성이 사라질 것입니다. 그러나 다른 목적을 위해 복잡한 숫자와 다소 유사하지만 구성 요소가 더 많은 숫자가 필요합니다. 때때로 그러한 숫자를 초복합체라고 합니다. 예로는 쿼터니언과 행렬이 있습니다.