Harmonijska jednadžba. Oscilacije. Harmonijske vibracije. Oscilacijske karakteristike: amplituda, period, frekvencija, ciklička frekvencija, faza

Harmonijska oscilacija je pojava periodične promjene bilo koje veličine, kod koje ovisnost o argumentu ima karakter sinusne ili kosinusne funkcije. Na primjer, veličina harmonično oscilira i mijenja se tijekom vremena na sljedeći način:

gdje je x vrijednost promjenjive veličine, t je vrijeme, ostali parametri su konstantni: A je amplituda oscilacija, ω je ciklička frekvencija oscilacija, je puna faza oscilacija, je početna faza oscilacija.

Generalizirano harmonijsko titranje u diferencijalnom obliku

(Svako netrivijalno rješenje ove diferencijalne jednadžbe je harmonijska oscilacija s cikličkom frekvencijom)

Vrste vibracija

Slobodne vibracije nastaju pod utjecajem unutarnjih sila sustava nakon što se sustav pomakne iz ravnotežnog položaja. Da bi slobodne oscilacije bile harmonične, potrebno je da je oscilatorni sustav linearan (opisan linearnim jednadžbama gibanja), te da u njemu nema disipacije energije (koja bi uzrokovala slabljenje).

Prisilne vibracije nastaju pod utjecajem vanjske periodične sile. Da bi one bile harmonične, dovoljno je da je oscilatorni sustav linearan (opisan linearnim jednadžbama gibanja), a sama vanjska sila se tijekom vremena mijenja kao harmonijska oscilacija (odnosno da je vremenska ovisnost te sile sinusoidalna) .

Harmonijska jednadžba

daje ovisnost fluktuirajuće vrijednosti S o vremenu t; ovo je jednadžba slobodnih harmonijskih oscilacija u eksplicitnom obliku. Međutim, obično se jednadžba vibracija shvaća kao drugačiji prikaz ove jednadžbe, u diferencijalnom obliku. Za određenost, uzmimo jednadžbu (1) u obliku

Razlikujmo to dvaput s obzirom na vrijeme:

Vidi se da vrijedi sljedeći odnos:

koja se naziva jednadžba slobodnih harmonijskih oscilacija (u diferencijalnom obliku). Jednadžba (1) je rješenje diferencijalne jednadžbe (2). Budući da je jednadžba (2) diferencijalna jednadžba drugog reda, potrebna su dva početna uvjeta za dobivanje potpunog rješenja (to jest, određivanje konstanti A i   uključenih u jednadžbu (1); na primjer, položaj i brzina oscilatornog sustava pri t = 0.

Matematičko njihalo je oscilator, koji je mehanički sustav koji se sastoji od materijalne točke koja se nalazi na bestežinskoj nerastezljivoj niti ili na bestežinskom štapu u jednoličnom polju gravitacijskih sila. Period malih vlastitih oscilacija matematičkog njihala duljine l, nepomično ovješenog u jednoličnom gravitacijskom polju s akceleracijom slobodnog pada g, jednak je

a ne ovisi o amplitudi i masi njihala.

Fizičko njihalo je oscilator, koji je čvrsto tijelo koje oscilira u polju bilo koje sile u odnosu na točku koja nije središte mase tog tijela, ili fiksna os okomita na smjer djelovanja sila, a ne prolazeći kroz središte mase ovog tijela.

Najjednostavniji tip oscilacija su harmonijske vibracije- oscilacije kod kojih se pomak oscilirajuće točke iz ravnotežnog položaja mijenja tijekom vremena po sinusnom ili kosinusnom zakonu.

Dakle, s ravnomjernom rotacijom lopte u krugu, njezina projekcija (sjena u paralelnim zrakama svjetlosti) izvodi harmonično oscilatorno gibanje na okomitom ekranu (slika 13.2).

Pomak iz ravnotežnog položaja tijekom harmonijskih vibracija opisuje se jednadžbom (naziva se kinematički zakon harmonijskog gibanja) oblika:

\(x = A \cos \Bigr(\frac(2 \pi)(T)t + \varphi_0 \Bigl)\) ili \(x = A \sin \Bigr(\frac(2 \pi)(T) t + \varphi"_0 \Bigl)\)

Gdje x- pomak - veličina koja karakterizira položaj oscilirajuće točke u trenutku vremena t u odnosu na ravnotežni položaj i mjereno udaljenošću od ravnotežnog položaja do položaja točke u danoj vremenskoj točki; A- amplituda oscilacija - najveći pomak tijela iz ravnotežnog položaja; T- period oscilacije - vrijeme potrebno da se izvrši jedan potpuni titraj; oni. najkraće vremensko razdoblje nakon kojeg se ponavljaju vrijednosti fizičkih veličina koje karakteriziraju oscilaciju; \(\varphi_0\) - početna faza; \(\varphi = \frac(2 \pi)(T)t + \varphi"_0\) - faza oscilacije u trenutku t. Faza titranja je argument periodičke funkcije, koji za zadanu amplitudu titranja određuje stanje oscilatornog sustava (pomak, brzinu, ubrzanje) tijela u bilo kojem trenutku.

Ako u početnom trenutku vremena t0 = 0 oscilirajuća točka maksimalno pomaknuta iz ravnotežnog položaja, tada \(\varphi_0 = 0\), a pomak točke iz ravnotežnog položaja mijenja se po zakonu

\(x = A \cos \frac(2 \pi)(T)t.\)

Ako je oscilirajuća točka u t 0 = 0 u stabilnom ravnotežnom položaju, tada se pomak točke iz ravnotežnog položaja mijenja prema zakonu

\(x = A \sin \frac(2 \pi)(T)t.\)

Veličina V, naziva se inverzna vrijednost perioda i jednaka broju potpunih oscilacija dovršenih u 1 s frekvencija osciliranja:

\(\nu = \frac(1)(T) \)(u SI jedinica frekvencije je hertz, 1Hz = 1s -1).

Ako tijekom vremena t tijelo radi N potpuno oklijevanje, dakle

\(T = \frac(t)(N) ; \nu = \frac(N)(t).\)

Količina \(\omega = 2 \pi \nu = \frac(2 \pi)(T)\) koja pokazuje koliko oscilacija tijelo napravi u 2 \(\pi\) S, nazvao ciklička (kružna) frekvencija.

Kinematički zakon harmonijskog gibanja može se napisati kao:

\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)

Grafički se ovisnost pomaka oscilirajuće točke o vremenu prikazuje kosinusnim valom (ili sinusom).

Na slici 13.3a prikazan je graf vremenske ovisnosti pomaka oscilirajuće točke od ravnotežnog položaja za slučaj \(\varphi_0=0\), tj. \(~x=A\cos \omega t.\)

Otkrijmo kako se brzina oscilirajuće točke mijenja s vremenom. Da bismo to učinili, nalazimo vremensku derivaciju ovog izraza:

\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac(\pi)(2) \Bigl) ,\)

gdje je \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\) amplituda projekcije brzine na os x.

Ova formula pokazuje da se tijekom harmonijskih oscilacija projekcija brzine tijela na x-os također mijenja prema harmonijskom zakonu s istom frekvencijom, s različitom amplitudom i ispred je pomaka u fazi za \(\frac(\ pi)(2)\) (slika 13.3, b).

Utvrditi ovisnost akceleracije sjekira (t) Nađimo vremensku derivaciju projekcije brzine:

\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)

gdje je \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) amplituda projekcije ubrzanja na os X.

Za harmonijske vibracije, projekcija ubrzanje unaprijedi fazni pomak za k (sl. 13.3, c).

Slično, možete iscrtati ovisnosti \(~x(t), \upsilon_x (t)\) i \(~a_x(t),\) ako je \(~x = A \sin \omega t\) na \( \varphi_0 =0.\)

Uzimajući u obzir da \(A \cos \omega t = x\), može se napisati formula za ubrzanje

\(~a_x = - \omega^2 x,\)

oni. kod harmonijskih oscilacija projekcija akceleracije upravno je proporcionalna pomaku i suprotnog je predznaka, tj. ubrzanje je usmjereno u smjeru suprotnom od pomaka.

Dakle, projekcija ubrzanja je druga derivacija pomaka i x =x" ", tada se rezultirajući odnos može napisati kao:

\(~a_x + \omega^2 x = 0\) ili \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)

Posljednja jednakost zove se jednadžba harmoničnih vibracija.

Fizikalni sustav u kojem mogu postojati harmonijske oscilacije naziva se harmonijski oscilator, a jednadžba harmoničnih titraja je jednadžba harmonijskog oscilatora.

Književnost

Aksenovich L. A. Fizika u srednjoj školi: teorija. Zadaci. Testovi: Udžbenik. dodatak za ustanove općeg obrazovanja. okoliš, obrazovanje / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; ur. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 368-370.

Maksimalne vrijednosti brzine i ubrzanja

Analizirajući jednadžbe ovisnosti v(t) i a(t), možemo pretpostaviti da brzina i ubrzanje poprimaju maksimalne vrijednosti u slučaju kada je trigonometrijski faktor jednak 1 ili -1. Određeno formulom

Kako dobiti ovisnosti v(t) i a(t)

7. Slobodne vibracije. Brzina, ubrzanje i energija oscilatornog gibanja. Dodavanje vibracija

Slobodne vibracije(ili prirodne vibracije) su oscilacije oscilatornog sustava koje nastaju samo zbog prvobitno dodijeljene energije (potencijalne ili kinetičke) bez vanjskih utjecaja.

Potencijalna ili kinetička energija može se prenijeti, na primjer, u mehaničkim sustavima kroz početni pomak ili početnu brzinu.

Tijela koja slobodno osciliraju uvijek međusobno djeluju s drugim tijelima i zajedno s njima čine sustav tijela tzv oscilatorni sustav.

Na primjer, opruga, kuglica i okomiti stup na koji je pričvršćen gornji kraj opruge (vidi sliku dolje) uključeni su u oscilatorni sustav. Ovdje kuglica slobodno klizi po žici (sile trenja su zanemarive). Pomaknete li kuglicu udesno i prepustite je samoj sebi, ona će slobodno oscilirati oko ravnotežnog položaja (točka OKO) zbog djelovanja elastične sile opruge usmjerene prema ravnotežnom položaju.

Još jedan klasičan primjer mehaničkog oscilatornog sustava je matematičko njihalo (vidi sliku ispod). U u ovom slučaju kuglica slobodno oscilira pod utjecajem dviju sila: gravitacije i elastične sile niti (u oscilatorni sustav spada i Zemlja). Njihova rezultanta je usmjerena prema ravnotežnom položaju.

Sile koje djeluju između tijela titrajnog sustava nazivaju se unutarnje sile. Vanjskim silama nazivamo silama koje na sustav djeluju tijela izvan njega. S ove točke gledišta, slobodne oscilacije mogu se definirati kao oscilacije u sustavu pod utjecajem unutarnjih sila nakon što se sustav pomakne iz ravnotežnog položaja.

Uvjeti za pojavu slobodnih oscilacija su:

1) pojava u njima sile koja vraća sustav u položaj stabilne ravnoteže nakon što je uklonjen iz ovog stanja;

2) nedostatak trenja u sustavu.

Dinamika slobodnih vibracija.

Vibracije tijela pod utjecajem elastičnih sila. Jednadžba oscilatornog gibanja tijela pod djelovanjem elastične sile F(vidi sliku) može se dobiti uzimajući u obzir drugi Newtonov zakon ( F = ma) i Hookeov zakon ( F kontrola= -kx), Gdje m je masa lopte, a je ubrzanje koje lopta postiže pod djelovanjem elastične sile, k- koeficijent krutosti opruge, x- pomak tijela iz ravnotežnog položaja (obje jednadžbe su napisane u projekciji na horizontalnu os Oh). Izjednačujući desne strane ovih jednadžbi i uzimajući u obzir da ubrzanje A je druga derivacija koordinate x(pomak), dobivamo:

.

Ovo je diferencijalna jednadžba gibanja tijela koje oscilira pod djelovanjem elastične sile: druga derivacija koordinate u odnosu na vrijeme (akceleracija tijela) izravno je proporcionalna njegovoj koordinati, uzetoj sa suprotnim predznakom.

Oscilacije matematičkog njihala. Da bi se dobila jednadžba titranja matematičkog njihala (slika), potrebno je proširiti silu teže F T= mg u normalu Fn(usmjeren duž navoja) i tangencijalni F τ(tangenta na putanju lopte – krug) komponente. Normalna komponenta gravitacije Fn i elastična sila niti Fynp ukupno pridaju njihalu centripetalno ubrzanje, koje ne utječe na veličinu brzine, već samo mijenja njezin smjer, a tangencijalna komponenta F τ je sila koja vraća loptu u ravnotežni položaj i uzrokuje njezino oscilatorno kretanje. Korištenje, kao iu prethodnom slučaju, Newtonovog zakona za tangencijalno ubrzanje ma τ = F τ a s obzirom na to F τ= -mg sinα, dobivamo:

a τ= -g sinα,

Znak minus pojavio se jer sila i kut odstupanja od ravnotežnog položaja α imaju suprotne predznake. Za male kutove otklona sin α ≈ α. Sa svoje strane, α = s/l, Gdje s- luk O.A., ja- duljina niti. S obzirom na to i τ= s", konačno dobivamo:

Oblik jednadžbe sličan je jednadžbi . Samo su ovdje parametri sustava duljina niti i ubrzanje slobodnog pada, a ne krutost opruge i masa kuglice; ulogu koordinate ima duljina luka (tj. prijeđena udaljenost, kao u prvom slučaju).

Dakle, slobodne vibracije opisuju se jednadžbama iste vrste (podvrgnute istim zakonima) bez obzira na fizičku prirodu sila koje uzrokuju te vibracije.

Rješavanje jednadžbi i funkcija je oblika:

x = xmcos ω 0t(ili x = xmsin ω 0t).

Odnosno, koordinata tijela koje vrši slobodne oscilacije mijenja se tijekom vremena prema kosinusnom ili sinusnom zakonu, pa su te oscilacije harmonijske:

U jednadžbi x = xmcos ω 0t(ili x = xmsin ω 0t), x m- amplituda vibracija, ω 0 - vlastita ciklička (kružna) frekvencija oscilacija.

Ciklička frekvencija i period slobodnih harmonijskih oscilacija određeni su svojstvima sustava. Dakle, za vibracije tijela pričvršćenog na oprugu vrijede relacije:

.

Što je krutost opruge veća ili masa tereta manja, to je vlastita frekvencija veća, što iskustvo u potpunosti potvrđuje.

Za matematičko njihalo zadovoljene su sljedeće jednakosti:

.

Ovu je formulu prvi dobio i eksperimentalno ispitao nizozemski znanstvenik Huygens (Newtonov suvremenik).

Period titranja raste s povećanjem duljine njihala i ne ovisi o njegovoj masi.

Posebnu pozornost treba obratiti na činjenicu da su harmonijske oscilacije strogo periodične (budući da se pokoravaju sinusnom ili kosinusnom zakonu) te da su čak i za matematičko njihalo, koje je idealizacija stvarnog (fizičkog) njihala, moguće samo pri malom osciliranju. kutovi. Ako su kutovi otklona veliki, pomak tereta neće biti proporcionalan kutu otklona (sinus kuta) i ubrzanje neće biti proporcionalno pomaku.

Brzina i ubrzanje tijela koje slobodno oscilira također će doživjeti harmonijske oscilacije. Uzimanje vremenske derivacije funkcije ( x = xmcos ω 0t(ili x = xmsin ω 0t)), dobivamo izraz za brzinu:

v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

Gdje v m= ω 0 x m- amplituda brzine.

Sličan izraz za ubrzanje A dobivamo diferenciranjem ( v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0t,

Gdje a m= ω 2 0x m- amplituda ubrzanja. Dakle, amplituda brzine harmonijskog titranja razmjerna je frekvenciji, a amplituda ubrzanja razmjerna je kvadratu frekvencije titranja.

HARMONIČKE VIBRACIJE
Oscilacije kod kojih se promjene fizikalnih veličina događaju prema kosinusnom ili sinusnom zakonu (harmonijski zakon), nazivaju se. harmonijske vibracije. Na primjer, u slučaju mehaničkih harmoničnih vibracija:. U ovim formulama ω je frekvencija titranja, x m je amplituda titranja, φ 0 i φ 0 ' su početne faze titranja. Gore navedene formule razlikuju se u definiciji početne faze i pri φ 0 ’ = φ 0 +π/2 potpuno se podudaraju.
Ovo je najjednostavniji tip periodičkog titranja. Specifični oblik funkcije (sinus ili kosinus) ovisi o načinu pomicanja sustava iz ravnotežnog položaja. Ako se uklanjanje dogodi guranjem (kinetička energija se prenosi), tada je pri t=0 pomak x=0, stoga je prikladnije koristiti sin funkciju, postavljajući φ 0 '=0; pri odstupanju od ravnotežnog položaja (prijavljuje se potencijalna energija) pri t = 0, pomak x = x m, stoga je prikladnije koristiti cos funkciju i φ 0 = 0.
Izraz pod znakom cos ili sin zove se. faza oscilacije:. Faza titranja mjeri se u radijanima i određuje vrijednost pomaka (veličinu osciliranja) u određenom trenutku.
Amplituda titranja ovisi samo o početnom otklonu (početnoj energiji predanoj oscilatornom sustavu).
Brzina i akceleracija tijekom harmonijskih oscilacija.
Prema definiciji brzine, brzina je derivacija položaja u odnosu na vrijeme
Dakle, vidimo da se brzina tijekom harmonijskog oscilatornog gibanja također mijenja po harmonijskom zakonu, ali su oscilacije brzine ispred oscilacija pomaka faze za π/2.
Vrijednost - najveća brzina oscilatornog gibanja (amplituda fluktuacija brzine).
Dakle, za brzinu tijekom harmonijskog titranja imamo: , i za slučaj nulte početne faze (vidi grafikon).
Prema definiciji ubrzanja, ubrzanje je derivacija brzine u odnosu na vrijeme: je druga derivacija koordinate u odnosu na vrijeme. Zatim: . Akceleracija tijekom harmonijskog oscilatornog gibanja također se mijenja prema harmonijskom zakonu, ali su oscilacije ubrzanja ispred oscilacija brzine za π/2 i oscilacije pomaka za π (kaže se da oscilacije nastaju u protufazi).
Vrijednost - maksimalno ubrzanje (amplituda fluktuacija ubrzanja). Dakle, za ubrzanje imamo: , a za slučaj nulte početne faze: (vidi grafikon).
Iz analize procesa oscilirajućeg gibanja, grafikona i odgovarajućih matematičkih izraza, jasno je da kada tijelo koje oscilira prođe ravnotežni položaj (pomak je nula), akceleracija je nula, a brzina tijela najveća ( tijelo prolazi ravnotežni položaj po inerciji), a kada se postigne vrijednost amplitude pomaka, brzina je jednaka nuli, a ubrzanje maksimalno po apsolutnoj vrijednosti (tijelo mijenja smjer kretanja).
Usporedimo izraze za pomak i akceleraciju pri harmonijskim titrajima: i .
Možete napisati: - tj. druga derivacija pomaka izravno je proporcionalna (sa suprotnim predznakom) pomaku. Ova se jednadžba zove jednadžba harmonijske vibracije. Ova ovisnost vrijedi za bilo koje harmonijsko titranje, bez obzira na njegovu prirodu. Budući da nikada nismo koristili parametre određenog oscilatornog sustava, o njima može ovisiti samo ciklička frekvencija.
Često je zgodno napisati jednadžbe za vibracije u obliku: , gdje je T period oscilacije. Zatim, ako je vrijeme izraženo u dijelovima perioda, izračuni će biti pojednostavljeni. Na primjer, ako trebamo pronaći pomak nakon 1/8 razdoblja, dobivamo: . Isto za brzinu i ubrzanje.

Česti su slučajevi kada sustav istovremeno sudjeluje u dvije ili više oscilacija neovisno jedna o drugoj. U tim slučajevima nastaje složeno oscilatorno gibanje, koje nastaje međusobnim nadmetanjem (zbrajanjem) oscilacija. Očito, slučajevi zbrajanja oscilacija mogu biti vrlo različiti. Oni ne ovise samo o broju dodanih oscilacija, već io parametrima oscilacija, njihovim frekvencijama, fazama, amplitudama i smjerovima. Nije moguće pregledati svu moguću raznolikost slučajeva dodavanja oscilacija, pa ćemo se ograničiti na razmatranje samo pojedinačnih primjera.
1. Zbrajanje oscilacija jednog smjera. Dodajmo dvije oscilacije iste frekvencije, ali različitih faza i amplituda.

(4.40)
Kada se oscilacije međusobno superponiraju


Uvedimo nove parametre A i j prema jednadžbama:

(4.42)
Sustav jednadžbi (4.42) lako je riješiti.

(4.43)

(4.44)
Dakle, za x konačno dobivamo jednadžbu

(4.45)
Dakle, kao rezultat zbrajanja jednosmjernih oscilacija iste frekvencije, dobivamo harmonijsku (sinusoidnu) oscilaciju, čija je amplituda i faza određena formulama (4.43) i (4.44).
Razmotrimo posebne slučajeve u kojima su odnosi između faza dviju dodanih oscilacija različiti:


(4.46)
Zbrojimo sada jednosmjerne oscilacije iste amplitude, identičnih faza, ali različitih frekvencija.


(4.47)
Razmotrimo slučaj kada su frekvencije blizu jedna drugoj, tj. w1~w2=w
Tada ćemo približno pretpostaviti da je (w1+w2)/2= w, a (w2-w1)/2 mala vrijednost. Jednadžba za rezultirajuću oscilaciju izgledat će ovako:

(4.48)
Njegov graf je prikazan na sl. 4.5 Ovo njihanje naziva se otkucaji. Javlja se s frekvencijom w, ali mu amplituda oscilira s velikim periodom.

2. Zbrajanje dvaju međusobno okomitih oscilacija. Pretpostavimo da se jedna oscilacija događa duž x-osi, druga duž y-osi. Rezultirajuće gibanje očito se nalazi u ravnini xy.
1. Pretpostavimo da su frekvencije i faze titranja iste, ali su amplitude različite.

(4.49)
Da biste pronašli putanju rezultirajućeg kretanja, trebate eliminirati vrijeme iz jednadžbi (4.49). Da bismo to učinili, dovoljno je jedan član jednadžbe podijeliti s drugim, kao rezultat toga dobivamo

(4.50)
Jednadžba (4.50) pokazuje da u ovom slučaju dodavanje oscilacija dovodi do osciliranja u pravoj liniji, čiji je nagib određen omjerom amplituda.
2. Neka se faze zbrojenih oscilacija međusobno razlikuju za /2 i jednadžbe imaju oblik:

(4.51)
Da biste pronašli putanju rezultirajućeg kretanja, isključujući vrijeme, trebate kvadrirati jednadžbe (4.51), prvo ih podijeliti na A1 odnosno A2, a zatim ih zbrojiti. Jednadžba putanje će imati oblik:

(4.52)
Ovo je jednadžba elipse. Može se dokazati da će se za bilo koje početne faze i bilo koje amplitude dviju dodanih međusobno okomitih oscilacija iste frekvencije, rezultirajuća oscilacija pojaviti duž elipse. Njegova orijentacija ovisit će o fazama i amplitudama dodanih oscilacija.
Ako dodane oscilacije imaju različite frekvencije, putanje rezultirajućih kretanja ispadaju vrlo raznolike. Samo ako su frekvencije osciliranja u x i y višestruke jedna drugoj, dobivaju se zatvorene putanje. Takva kretanja mogu se klasificirati kao periodična. U ovom slučaju putanje kretanja nazivaju se Lissajousove figure. Razmotrimo jednu od Lissajousovih figura, koja se dobiva zbrajanjem oscilacija s omjerima frekvencija 1:2, s identičnim amplitudama i fazama na početku kretanja.

(4.53)
Oscilacije se javljaju dva puta češće duž y-osi nego duž x-osi. Dodavanje takvih oscilacija dovest će do putanje kretanja u obliku osmice (slika 4.7).

8. Prigušene oscilacije i njihovi parametri: dekrement i koeficijent oscilacije, vrijeme relaksacije

)Period prigušenih oscilacija:

T = (58)

Na δ << ω o vibracije se ne razlikuju od harmonijskih: T = 2π/ ω o.

2) Amplituda prigušenih oscilacija izražava se formulom (119).

3) Smanjenje prigušenja, jednak omjeru dviju uzastopnih amplituda vibracija A(t) I A(t+T), karakterizira stopu smanjenja amplitude tijekom razdoblja:

= e d T (59)

4) Logaritamsko smanjenje prigušenja- prirodni logaritam omjera amplituda dviju uzastopnih oscilacija koje odgovaraju trenucima vremena koji se razlikuju za period

q = ln = ln e d T =dT(60)

Logaritamski dekrement prigušenja je konstantna vrijednost za dati oscilatorni sustav.

5) Vrijeme opuštanja uobičajeno je nazvati razdoblje ( t) pri čemu se amplituda prigušenih oscilacija smanjuje za e puta:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

Usporedbom izraza (60) i (61) dobivamo:

q= = , (62)

Gdje N e - broj oscilacija izvedenih tijekom opuštanja.

Ako tijekom vremena t sustav obvezuje Ν oklijevanje, dakle t = Ν . Τ a jednadžba prigušenih oscilacija može se prikazati kao:

S = A 0 e -d N T cos(w t+j)= A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Faktor kvalitete oscilatornog sustava(Q) obično se naziva veličina koja karakterizira gubitak energije u sustavu tijekom perioda oscilacije:

Q = 2str , (63)

Gdje W- ukupna energija sustava, ΔW- energija raspršena tijekom određenog razdoblja. Što se manje energije rasipa, to je veći faktor kvalitete sustava. Izračuni to pokazuju

Q = = pN e = = . (64)

Međutim, faktor kvalitete je obrnuto proporcionalan dekrementu logaritamskog prigušenja. Iz formule (64) proizlazi da je faktor kvalitete proporcionalan broju oscilacija N e izvodi sustav tijekom opuštanja.

7) Potencijalna energija sustava u trenutku t, može se izraziti u smislu potencijalne energije W 0 pri najvećem odstupanju:

W = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

Obično se konvencionalno smatra da su oscilacije praktički prestale ako im se energija smanjila za 100 puta (amplituda se smanjila za 10 puta). Odavde možemo dobiti izraz za izračunavanje broja oscilacija koje izvodi sustav:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Prisilne vibracije. Rezonancija. Aperiodične oscilacije. Samooscilacije.

Da bi sustav mogao izvoditi neprigušene oscilacije, potrebno je nadoknaditi gubitak energije osciliranja uslijed trenja izvana. Kako se energija titranja sustava ne bi smanjivala, obično se uvodi sila koja periodički djeluje na sustav (nazvat ćemo je tjeranje, a oscilacije su prisiljene).

DEFINICIJA: prisiljeni To su oscilacije koje se javljaju u oscilatornom sustavu pod utjecajem vanjske periodički promjenjive sile.

Ova sila obično ima dvostruku ulogu:

prvo, ljulja sustav i daje mu određenu količinu energije;

drugo, povremeno nadoknađuje gubitke energije (potrošnja energije) kako bi se prevladale sile otpora i trenja.

Neka se pokretačka sila mijenja tijekom vremena prema zakonu:

.

Sastavimo jednadžbu gibanja sustava koji oscilira pod utjecajem takve sile. Pretpostavljamo da na sustav također djeluje kvazielastična sila i sila otpora medija (što je točno uz pretpostavku malih oscilacija). Tada će jednadžba gibanja sustava izgledati ovako:

Ili .

Zamjenom , , – vlastite frekvencije oscilacija sustava dobivamo nehomogenu linearnu diferencijalnu jednadžbu 2 th narudžba:

Iz teorije diferencijalnih jednadžbi poznato je da je opće rješenje nehomogene jednadžbe jednako zbroju općeg rješenja homogene jednadžbe i partikularnog rješenja nehomogene jednadžbe.

Poznato je opće rješenje homogene jednadžbe:

,

Gdje ; a 0 i a– proizvoljan konst.

.

Pomoću vektorskog dijagrama možete provjeriti je li ova pretpostavka točna, a također odrediti vrijednosti " a"I" j”.

Amplituda oscilacija određena je sljedećim izrazom:

.

Značenje " j”, što je veličina faznog zaostajanja prisilnog titranja od pogonske sile koja ga je odredila, također se određuje iz vektorskog dijagrama i iznosi:

.

Konačno, posebno rješenje nehomogene jednadžbe će imati oblik:

(8.18)

Ova funkcija, u kombinaciji s

(8.19)

daje opće rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe koja opisuje ponašanje sustava pod prisilnim oscilacijama. Član (8.19) ima značajnu ulogu u početnoj fazi procesa, tijekom tzv. uspostavljanja oscilacija (slika 8.10). Tijekom vremena, zbog eksponencijalnog faktora, uloga drugog člana (8.19) sve više opada, a nakon dovoljno vremena može se zanemariti, zadržavajući samo član (8.18) u rješenju.

Dakle, funkcija (8.18) opisuje stacionarne prisilne oscilacije. Predstavljaju harmonijske oscilacije s frekvencijom jednakom frekvenciji pogonske sile. Amplituda prisilnih oscilacija proporcionalna je amplitudi pogonske sile. Za dani oscilatorni sustav (definiran s w 0 i b), amplituda ovisi o frekvenciji pogonske sile. Prisilne oscilacije fazno zaostaju za pogonskom silom, a veličina zaostatka “j” ovisi i o frekvenciji pogonske sile.

Ovisnost amplitude prisilnih oscilacija o frekvenciji pogonske sile dovodi do toga da pri određenoj frekvenciji određenoj za dati sustav amplituda oscilacija doseže maksimalnu vrijednost. Pokazalo se da oscilatorni sustav posebno reagira na djelovanje pogonske sile na ovoj frekvenciji. Ova pojava se zove rezonancija, a odgovarajuća frekvencija je rezonantna frekvencija.

DEFINICIJA: pojava u kojoj se opaža nagli porast amplitude prisilnih oscilacija naziva se rezonancija.

Rezonantna frekvencija određena je iz maksimalnog uvjeta za amplitudu prisilnih oscilacija:

. (8.20)

Zatim, zamjenom ove vrijednosti u izraz za amplitudu, dobivamo:

. (8.21)

U nedostatku srednjeg otpora, amplituda oscilacija pri rezonanciji bi se pretvorila u beskonačnost; rezonantna frekvencija pri istim uvjetima (b=0) poklapa se s vlastitom frekvencijom oscilacija.

Ovisnost amplitude prisilnih oscilacija o frekvenciji pogonske sile (ili, što je isto, o frekvenciji oscilacija) može se prikazati grafički (sl. 8.11). Pojedinačne krivulje odgovaraju različitim vrijednostima "b". Što je manji "b", to je viši i desno maksimum ove krivulje (vidi izraz za w res.). S vrlo visokim prigušenjem, rezonancija se ne opaža - s povećanjem frekvencije, amplituda prisilnih oscilacija monotono opada (donja krivulja na sl. 8.11).

Poziva se skup prikazanih grafova koji odgovaraju različitim vrijednostima b krivulje rezonancije.

Bilješke u vezi s krivuljama rezonancije:

kako w®0 teži, sve krivulje dolaze do iste vrijednosti različite od nule jednake . Ova vrijednost predstavlja pomak iz ravnotežnog položaja koji sustav prima pod utjecajem konstantne sile F 0 .

kao w®¥ sve krivulje asimptotski teže nuli, jer na visokim frekvencijama, sila mijenja svoj smjer tako brzo da sustav nema vremena da se primjetno pomakne iz svog ravnotežnog položaja.

što je b manji, što se amplituda u blizini rezonancije više mijenja s frekvencijom, to je maksimum "oštriji".

Fenomen rezonancije često se pokazuje korisnim, osobito u akustici i radiotehnici.

Samooscilacije- neprigušene oscilacije u disipativnom dinamičkom sustavu s nelinearnom povratnom spregom, podržane konstantnom energijom, tj. neperiodičan vanjski utjecaj.

Autooscilacije se razlikuju od prisilne oscilacije jer su potonji uzrokovani periodički vanjskog utjecaja i javljaju se učestalošću tog utjecaja, dok su pojava autooscilacija i njihova učestalost određene unutarnjim svojstvima samog autooscilirajućeg sustava.

Termin samooscilacije u rusku terminologiju uveo A. A. Andronov 1928. godine.

Primjeri[

Primjeri vlastitih oscilacija uključuju:

· neprigušeni titraji satnog njihala zbog stalnog djelovanja sile teže namotanog utega;

vibracije žica violine pod utjecajem jednoliko gibajućeg gudala

· pojava izmjenične struje u multivibratorskim krugovima i drugim elektroničkim generatorima pri konstantnom naponu napajanja;

· osciliranje zračnog stupca u cijevi orgulja, uz ravnomjeran dotok zraka u nju. (vidi također Stojeći val)

· rotacijske vibracije mjedenog satnog zupčanika s čeličnom osi obješenom na magnet i upletenom (Gamazkovljev pokus) (kinetička energija kotača, kao u unipolarnom generatoru, pretvara se u potencijalnu energiju električnog polja, potencijalnu energiju električnog polja, kao u unipolarnom motoru, pretvara se u kinetičku energiju kotača itd.)

Maklakov čekić

Čekić koji udara pomoću energije izmjenične struje s frekvencijom mnogo puta manjom od frekvencije struje u električnom krugu.

Zavojnica L titrajnog kruga postavlja se iznad stola (ili drugog predmeta koji treba udariti). Odozdo ulazi željezna cijev čiji je donji kraj udarni dio čekića. Cijev ima okomiti utor za smanjenje Foucaultovih struja. Parametri oscilatornog kruga su takvi da se vlastita frekvencija njegovih oscilacija podudara s frekvencijom struje u krugu (npr. izmjenična gradska struja, 50 herca).

Nakon uključivanja struje i uspostavljanja oscilacija, uočava se rezonancija struja strujnog kruga i vanjskog strujnog kruga, te se željezna cijev uvlači u zavojnicu. Povećava se induktivitet zavojnice, titrajni krug izlazi iz rezonancije, a amplituda strujnih oscilacija u zavojnici opada. Zbog toga se cijev vraća u svoj prvobitni položaj - izvan zavojnice - pod utjecajem gravitacije. Tada oscilacije struje unutar kruga počinju rasti, a rezonancija se ponovno javlja: cijev se ponovno uvlači u zavojnicu.

Cijev čini samooscilacije, odnosno periodične pokrete gore-dolje, a istovremeno glasno kuca po stolu, poput čekića. Period tih mehaničkih samooscilacija desetke je puta duži od perioda izmjenične struje koja ih podržava.

Čekić je dobio ime po M. I. Maklakovu, asistentu na Moskovskom institutu za fiziku i tehnologiju, koji je predložio i izveo takav eksperiment kako bi pokazao samooscilacije.

Mehanizam samoosciliranja

Sl. 1. Mehanizam samoosciliranja

Samooscilacije mogu imati različitu prirodu: mehaničku, toplinsku, elektromagnetsku, kemijsku. Mehanizam nastanka i održavanja samooscilacija u različitim sustavima može se temeljiti na različitim zakonima fizike ili kemije. Za točan kvantitativni opis samooscilacija različitih sustava može biti potreban drugačiji matematički aparat. Ipak, moguće je zamisliti dijagram zajednički za sve samooscilirajuće sustave koji kvalitativno opisuje ovaj mehanizam (slika 1).

Na dijagramu: S- izvor stalnog (neperiodičnog) utjecaja; R- nelinearni regulator koji konstantan učinak pretvara u promjenjivi (npr. u isprekidani u vremenu), koji se "ljulja" oscilator V- oscilirajući element(i) sustava, te oscilacije oscilatora putem povratne sprege B kontrolirati rad regulatora R, pitajući faza I frekvencija njegove radnje. Disipacija (rasipanje energije) u samooscilirajućem sustavu kompenzira se protokom energije u njega iz izvora stalnog utjecaja, zbog čega se autooscilacije ne gase.

Riža. 2 Dijagram zapornog mehanizma sata s njihalom

Ako je oscilirajući element sustava sposoban za vlastitu prigušene oscilacije(takozvani harmonijski disipativni oscilator), vlastite oscilacije (s jednakom disipacijom i unosom energije u sustav tijekom razdoblja) uspostavljaju se na frekvenciji blizu rezonantna za ovaj oscilator, njihov oblik postaje blizak harmonijskom, a amplituda, u određenom rasponu vrijednosti, što je veća veličina stalnog vanjskog utjecaja.

Primjer ove vrste sustava je zaporni mehanizam sata s njihalom, čiji je dijagram prikazan na sl. 2. Na osovini zapornog kotača A(koja u ovom sustavu obavlja funkciju nelinearnog regulatora) postoji konstantan moment sile M, prenosi se kroz zupčanik od glavne opruge ili od utega. Kad se kotač okreće A njegovi zubi šalju visak kratkotrajne impulse sile P(oscilator), zahvaljujući čemu njegove oscilacije ne blijede. Kinematika mehanizma ima ulogu povratne veze u sustavu, sinkronizirajući rotaciju kotača s oscilacijama njihala na takav način da se tijekom cijelog perioda titranja kotač okreće za kut koji odgovara jednom zubu.

Nazivaju se samooscilirajući sustavi koji ne sadrže harmonijske oscilatore opuštanje. Titraji u njima mogu biti vrlo različiti od harmonijskih, te imaju pravokutni, trokutasti ili trapezoidni oblik. Amplituda i period relaksacijskih autooscilacija određeni su omjerom veličine konstantnog udara i karakteristikama tromosti i rasipanja sustava.

Riža. 3 Električno zvono

Najjednostavniji primjer relaksacijskih autooscilacija je rad električnog zvona, prikazan na sl. 3. Izvor stalne (neperiodične) izloženosti ovdje je električna baterija U; Ulogu nelinearnog regulatora obavlja sjeckalica T, zatvaranje i otvaranje električnog kruga, zbog čega se u njemu pojavljuje povremena struja; oscilirajući elementi su magnetsko polje periodički inducirano u jezgri elektromagneta E, i sidro A, krećući se pod utjecajem izmjeničnog magnetskog polja. Oscilacije armature aktiviraju prekidač, koji stvara povratnu vezu.

Tromost ovog sustava određena je dvjema različitim fizikalnim veličinama: momentom tromosti armature A i induktiviteta namota elektromagneta E. Povećanje bilo kojeg od ovih parametara dovodi do povećanja perioda samoosciliranja.

Ako u sustavu postoji više elemenata koji titraju neovisno jedan o drugome i istodobno utječu na nelinearni regulator ili regulatore (kojih također može biti više), samooscilacije mogu poprimiti složeniju prirodu, npr. aperiodičan, ili dinamički kaos.

U prirodi i tehnici

Autooscilacije su u osnovi mnogih prirodnih pojava:

· vibracije lišća biljaka pod utjecajem jednolikog strujanja zraka;

· formiranje turbulentnih tokova na pukotinama i brzacima rijeka;

· djelovanje pravilnih gejzira itd.

Princip rada velikog broja raznih tehničkih uređaja i uređaja temelji se na samooscilacijama, uključujući:

· upravljanje svim vrstama satova, mehaničkih i električnih;

· zvuk svih puhačkih i žičanih glazbala;

©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne polaže pravo na autorstvo, ali omogućuje besplatnu upotrebu.
Datum izrade stranice: 04.04.2017

Oscilacije nazivaju se kretanja ili procesi koje karakterizira stanovita ponovljivost u vremenu. Oscilacijski procesi vrlo su rašireni u prirodi i tehnici, npr. njihanje satnog njihala, izmjenična električna struja itd. Kad njihalo oscilira, mijenja se koordinata njegova središta mase, kod izmjenične struje napon i struja u krugu fluktuirati. Fizička priroda vibracija može biti različita, dakle postoje mehaničke, elektromagnetske itd. Međutim, različiti oscilatorni procesi opisuju se istim karakteristikama i istim jednadžbama. Otuda svrhovitost zajednički pristup proučavanju vibracija različite fizičke prirode.

Oscilacije se nazivaju besplatno, ako nastaju samo pod utjecajem unutarnjih sila koje djeluju između elemenata sustava, nakon što je sustav vanjskim silama izbačen iz ravnoteže i prepušten sam sebi. Slobodne vibracije uvijek prigušene oscilacije , jer su u stvarnim sustavima gubici energije neizbježni. U idealiziranom slučaju sustava bez gubitka energije, slobodne oscilacije (koje traju onoliko koliko se želi) nazivaju se vlastiti.

Najjednostavniji tip slobodnih neprigušenih oscilacija su harmonijske vibracije - oscilacije kod kojih se oscilirajuća veličina mijenja tijekom vremena prema zakonu sinusa (kosinusa). Vibracije koje se nalaze u prirodi i tehnici često imaju karakter blizak harmonijskom.

Harmonijske oscilacije opisuju se jednadžbom koja se naziva jednadžba harmonijskih oscilacija:

Gdje A- amplituda oscilacija, najveća vrijednost oscilirajuće veličine x; - kružna (ciklička) frekvencija vlastitih oscilacija; - početna faza oscilacije u trenutku vremena t= 0; - faza titranja u trenutku vremena t. Faza titranja određuje vrijednost oscilirajuće veličine u određenom trenutku. Budući da kosinus varira od +1 do -1, onda x može uzeti vrijednosti od + A prije - A.

Vrijeme T tijekom kojeg sustav izvrši jedan potpuni titraj naziva se period oscilacije. Tijekom T faza oscilacije se povećava za 2 π , tj.

Gdje . (14.2)

Recipročna vrijednost perioda titranja

tj. Broj potpunih titraja izvršenih u jedinici vremena naziva se frekvencija titranja. Usporedbom (14.2) i (14.3) dobivamo

Jedinica frekvencije je herc (Hz): 1 Hz je frekvencija na kojoj se dogodi jedan potpuni titraj u 1 s.

Sustavi u kojima se mogu pojaviti slobodne vibracije nazivaju se oscilatori . Koja svojstva mora imati sustav da bi se u njemu pojavile slobodne vibracije? Mehanički sustav mora imati stabilan položaj ravnoteže, nakon izlaska koji se pojavljuje povratna sila usmjerena prema ravnotežnom položaju. Ovaj položaj odgovara, kao što je poznato, minimalnoj potencijalnoj energiji sustava. Razmotrimo nekoliko oscilatornih sustava koji zadovoljavaju navedena svojstva.

Oscilacije koje nastaju pod utjecajem vanjskih, periodički promjenjivih sila (s periodičkim dovodom energije izvana u oscilatorni sustav)

Pretvorba energije

Opružno njihalo

Ciklička frekvencija i period titranja jednaki su:

Materijalna točka pričvršćena na savršeno elastičnu oprugu

Ø graf ovisnosti potencijalne i kinetičke energije opružnog njihala o x koordinati.

Ø kvalitativni grafikoni kinetičke i potencijalne energije u odnosu na vrijeme.

Ø Prisilno

Ø Frekvencija prisilnih oscilacija jednaka je frekvenciji promjene vanjske sile

Ø Ako se Fbc mijenja prema zakonu sinusa ili kosinusa, tada će prisilne oscilacije biti harmonijske

Ø Kod samooscilacija potrebno je povremeno dobaviti energiju iz vlastitog izvora unutar oscilatornog sustava

Harmonijske oscilacije su titraji kod kojih se oscilirajuća veličina mijenja tijekom vremena prema sinusnom ili kosinusnom zakonu.

jednadžbe harmonijskih oscilacija (zakoni gibanja točaka) imaju oblik

Harmonijske vibracije nazivaju se takve oscilacije kod kojih se oscilirajuća veličina mijenja s vremenom prema zakonusinus ilikosinus .
Harmonijska jednadžba ima oblik:

,
gdje - amplituda vibracija (veličina najvećeg odstupanja sustava od ravnotežnog položaja); -kružna (ciklička) frekvencija. Argument kosinusa koji se periodički mijenja naziva se faza oscilacije . Faza titranja određuje pomak oscilirajuće veličine iz ravnotežnog položaja u određenom trenutku t. Konstanta φ predstavlja vrijednost faze u trenutku t = 0 i zove se početna faza osciliranja . Vrijednost početne faze određena je izborom referentne točke. Vrijednost x može imati vrijednosti u rasponu od -A do +A.
Vremenski interval T kroz koji se ponavljaju određena stanja oscilatornog sustava, naziva periodom oscilacije . Kosinus je periodična funkcija s periodom od 2π, stoga će se tijekom vremenskog razdoblja T, nakon kojeg će faza oscilacije dobiti prirast jednak 2π, stanje sustava koji izvodi harmonijske oscilacije ponoviti. Taj vremenski period T nazivamo periodom harmonijskih oscilacija.
Period harmonijskih oscilacija jednak je : T = 2π/.
Naziva se broj oscilacija u jedinici vremena frekvencija vibracija ν.
Harmonijska frekvencija jednaka je: ν = 1/T. Frekvencijska jedinica herc(Hz) - jedan titraj u sekundi.
Kružna frekvencija = 2π/T = 2πν daje broj oscilacija u 2π sekundi.

Generalizirano harmonijsko titranje u diferencijalnom obliku

Grafički, harmonijske oscilacije mogu se prikazati kao ovisnost x o t (slika 1.1.A), i metoda rotirajuće amplitude (metoda vektorskog dijagrama)(Sl.1.1.B) .

Metoda rotirajuće amplitude omogućuje vizualizaciju svih parametara uključenih u jednadžbu harmonijske vibracije. Doista, ako je vektor amplitude A koja se nalazi pod kutom φ u odnosu na x-os (vidi sliku 1.1. B), tada će njegova projekcija na x-os biti jednaka: x = Acos(φ). Kut φ je početna faza. Ako vektor A dovesti u rotaciju s kutnom brzinom jednakom kružnoj frekvenciji oscilacija, tada će se projekcija kraja vektora kretati duž osi x i poprimiti vrijednosti u rasponu od -A do +A, a koordinata ove projekcije će promijeniti tijekom vremena prema zakonu:
.
Dakle, duljina vektora jednaka je amplitudi harmonijskog titranja, smjer vektora u početnom trenutku čini s osi x kut jednak početnoj fazi titranja φ, a promjena smjera kut s vremenom je jednaka fazi harmonijskih oscilacija. Vrijeme za koje vektor amplitude napravi jedan puni krug jednako je periodu T harmonijskih oscilacija. Broj okretaja vektora u sekundi jednak je frekvenciji titranja ν.