Формула за хоризонтална скорост. Движение на тяло, хвърлено хоризонтално със скорост

Помислете за движението на тяло, хвърлено хоризонтално и движещо се само под действието на гравитацията (пренебрегвайки въздушното съпротивление). Например, представете си, че една топка, лежаща на маса, е бутната и тя се търкаля към ръба на масата и започва да пада свободно, като първоначалната й скорост е насочена хоризонтално (фиг. 174).

Нека проектираме движението на топката по вертикалната ос и по хоризонталната ос. Движението на проекцията на топката върху оста е движение без ускорение със скорост ; движението на проекцията на топката върху оста е свободно падане с ускорение над началната скорост под действието на гравитацията. Познаваме законите и на двете движения. Компонентът на скоростта остава постоянен и равен на . Компонентът нараства пропорционално на времето: . Получената скорост се намира лесно с помощта на правилото на успоредника, както е показано на фиг. 175. Ще се наклони надолу и наклонът му ще се увеличи с времето.

Ориз. 174. Движение на топка, която се търкаля от масата

Ориз. 175. Топка, хвърлена хоризонтално със скорост, има скорост в момента

Намерете траекторията на тяло, хвърлено хоризонтално. Координатите на тялото в момента имат значение

За да намерим уравнението на траекторията, ние изразяваме от (112.1) времето през и заместваме този израз в (112.2). В резултат на това получаваме

Графиката на тази функция е показана на фиг. 176. Ординатите на точките на траекторията се оказват пропорционални на квадратите на абсцисите. Знаем, че такива криви се наричат параболи. Парабола изобразява графика на пътя на равномерно ускорено движение (§ 22). Така свободно падащо тяло, чиято начална скорост е хоризонтална, се движи по парабола.

Изминатият път във вертикална посока не зависи от началната скорост. Но изминатият път в хоризонтална посока е пропорционален на началната скорост. Следователно при голяма хоризонтална начална скорост параболата, по която пада тялото, е по-издължена в хоризонтална посока. Ако струя вода се изстреля от хоризонтално разположена тръба (фиг. 177), тогава отделни частици вода ще се движат като топката по парабола. Колкото по-отворен е кранът, през който водата влиза в тръбата, толкова по-голяма е началната скорост на водата и толкова по-далече от крана струята стига до дъното на кюветата. Чрез поставяне на екран с предварително начертани параболи зад струята може да се провери дали водната струя наистина има формата на парабола.

Ориз. 176. Траектория на хоризонтално хвърлено тяло

Ориз. 174. Движение на топка, която се търкаля от масата

Ориз. 175. Топка, хвърлена хоризонтално със скорост, има скорост в момента

Намерете траекторията на тяло, хвърлено хоризонтално. Координатите на тялото в момента имат значение

112.1. Каква ще бъде скоростта на тяло, хвърлено хоризонтално със скорост 15 m/s след 2 секунди полет? В кой момент скоростта ще бъде насочена под ъгъл 45° спрямо хоризонталата? Игнорирайте въздушното съпротивление.

112.2. Топка, търкулнала се от маса с височина 1 m, падна на разстояние 2 m от ръба на масата. Каква беше хоризонталната скорост на топката? Игнорирайте въздушното съпротивление.

Актуализирано:

Използвайки няколко примера (които първоначално реших, както обикновено, на otvet.mail.ru), ще разгледаме клас задачи на елементарната балистика: полетът на тяло, изстреляно под ъгъл спрямо хоризонта с определена начална скорост, без като се вземе предвид съпротивлението на въздуха и кривината на земната повърхност (т.е. векторът на ускорението на свободното падане g се приема непроменен).

Задача 1.Далечината на полета на тялото е равна на височината на полета му над земната повърхност. Под какъв ъгъл е хвърлено тялото? (в някои източници по някаква причина е даден грешен отговор - 63 градуса).

Нека означим времето на полета като 2*t (тогава през t тялото се издига, а през следващия интервал t се спуска). Нека хоризонталната компонента на скоростта е V1, а вертикалната компонента V2. Тогава обхватът на полета S = V1*2*t. Височина на полета H \u003d g * t * t / 2 \u003d V2 * t / 2. Приравнете
S=H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
Съотношението на вертикалната и хоризонталната скорост е тангенса на необходимия ъгъл α, откъдето α = arctan(4) = 76 градуса.

Задача 2.Тяло се изхвърля от повърхността на Земята със скорост V0 под ъгъл α спрямо хоризонта. Намерете радиуса на кривина на траекторията на тялото: а) в началото на движението; б) в горната част на траекторията.

И в двата случая източникът на криволинейното движение е гравитацията, тоест ускорението на свободното падане g, насочено вертикално надолу. Всичко, което се изисква тук, е да се намери проекцията g, перпендикулярна на текущата скорост V, и да се приравни към центростремителното ускорение V^2/R, където R е желаният радиус на кривина.

Както се вижда от фигурата, за да започнем движението, можем да напишем
gn = g*cos(a) = V0^2/R
откъдето желаният радиус R = V0^2/(g*cos(a))

За горната точка на траекторията (виж фигурата) имаме
g = (V0*cos(a))^2/R
откъдето R = (V0*cos(a))^2/g

Задача 3. (вариация по тема)Снарядът се премести хоризонтално на височина h и се разпадна на два еднакви фрагмента, единият от които падна на земята за време t1 след експлозията. Колко време след падането на първото парче ще падне второто?

Каквато и вертикална скорост V да придобие първият фрагмент, вторият ще придобие същата вертикална скорост по абсолютна стойност, но насочена в обратна посока (това следва от еднаквата маса на фрагментите и запазването на импулса). Освен това V е насочено надолу, защото в противен случай вторият фрагмент ще пристигне на земята ПРЕДИ първия.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g*t1^2/2)/t1
Вторият ще излети нагоре, ще загуби вертикална скорост след времето V/g и след същото време ще полети надолу до първоначалната височина h и времето t2 на забавянето му спрямо първия фрагмент (а не времето на полет от моментът на експлозия) ще бъде
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

актуализиран на 03.06.2018 г

цитат:
Хвърля се камък със скорост 10 m/s под ъгъл 60° спрямо хоризонталата. Определете тангенциалното и нормалното ускорение на тялото след 1,0 s след началото на движението, радиуса на кривината на траекторията в този момент от време, продължителността и обхвата на полета. Какъв ъгъл образува векторът на пълното ускорение с вектора на скоростта при t = 1,0 s

Началната хоризонтална скорост Vg = V*cos(60°) = 10*0,5 = 5 m/s и не се променя по време на целия полет. Начална вертикална скорост Vв = V*sin(60°) = 8,66 m/s. Времето за полет до най-високата точка е t1 = Vv/g = 8,66/9,8 = 0,884 сек, което означава, че продължителността на целия полет е 2*t1 = 1,767 сек. През това време тялото ще лети хоризонтално Vg * 2 * t1 = 8,84 m (обхват на полета).

След 1 секунда вертикалната скорост ще бъде 8,66 - 9,8*1 = -1,14 m/s (надолу). Това означава, че ъгълът на скоростта спрямо хоризонта ще бъде arctan(1,14/5) = 12,8° (надолу). Тъй като общото ускорение тук е уникално и непроменено (това е ускорението на свободното падане жсочеща вертикално надолу), след това ъгълът между скоростта на тялото и жв този момент от време ще бъде 90-12,8 = 77,2°.

Тангенциалното ускорение е проекция жспрямо посоката на вектора на скоростта, което означава, че е g*sin(12.8) = 2.2 m/s2. Нормалното ускорение е проекция, перпендикулярна на вектора на скоростта ж, то е равно на g*cos(12,8) = 9,56 m/s2. И тъй като последното е свързано със скоростта и радиуса на кривината чрез израза V^2/R, имаме 9,56 = (5*5 + 1,14*1,14)/R, откъдето необходимият радиус R = 2,75 m.

Тялото може да бъде хвърлено по такъв начин, че началната му скорост v0ще бъде насочен хоризонтално (α = 0). Това е посоката например на началната скорост на тяло, отделило се от хоризонтално летящ самолет. Лесно е да се разбере по коя траектория ще се движи тялото. Нека се обърнем към фигура 15, която показва параболичната траектория на тяло, хвърлено под ъгъл α спрямо хоризонта. В най-високата точка на траекторията на параболата скоростта на тялото е насочена точно хоризонтално. Както вече знаем, отвъд тази точка тялото се движи по десния клон на параболата. Очевидно всяко тяло, хвърлено хоризонтално, също ще се движи по клона на параболата.

Траекторията на движение на тела, хвърлени хоризонтално или под ъгъл спрямо хоризонта, може да се изследва визуално в прост експеримент. Съд, пълен с вода, се поставя на определена височина над масата и се свързва с гумена тръба към накрайник, снабден с кран. Излъчените струи вода директно показват траекториите на движение на водните частици. По този начин е възможно да се наблюдават траектории при различни стойности на ъгъла на падане α и скоростта v0.

Времето на движение на тяло, хвърлено хоризонтално от определена начална височина, се определя само от времето, необходимо за свободното падане на тялото от тази начална височина. Следователно, например, куршум, изстрелян от стрелец от пистолет в хоризонтална посока, ще падне на земята едновременно с куршум, паднал случайно в момента на изстрела (при условие, че стрелецът изпусне куршума от същия височина, на която се намира в пистолета в момента на изстрела!. .). Но изпуснатият куршум ще падне в краката на стрелеца, а куршумът, изстрелян от дулото на пистолета, ще падне на много стотици метри от него.

Пример за решение на проблем

Този пример е избран поради причината, че разглежданият проблем е от доста общ характер и позволява, като се използва примерът за неговото решение, да се разберат по-добре всички характеристики на движението на тялото под действието на гравитацията.

Първоначални допускания, наложени на условията за решаване на проблема

При решаването на този проблем ще използваме само две първоначални допускания:

ще пренебрегнем зависимостта на абсолютната стойност на вектора на ускорението на свободното падане от височината, на която се намира тялото във всеки момент на движение (виж фиг. 11 и коментара към нея)
ние ще пренебрегнем кривината на земната повърхност, когато анализираме движението на тялото (виж фиг. 11 и коментара към нея)

Задачата:

Тяло се хвърля от точка с координати x 0 , y 0 под ъгъл α 0 спрямо хоризонта със скорост v 0 (виж Фигура 16). Намирам:

позиция и скорост на тялото след време t;
уравнение на траекторията на полета;
нормални и тангенциални ускорения и радиуса на кривината на траекторията в момента t;
общо полетно време;
най-висока височина на повдигане;
ъгълът, под който тялото трябва да бъде хвърлено, така че височината на издигането му да е равна на обхвата на полета (при условие, че x 0 \u003d y 0 \u003d 0).

Решение

Нека насочим осите на правоъгълната координатна система X и Y по направленията на хоризонталните и вертикалните премествания на точката. Тъй като векторът на гравитационното ускорение няма компонент, успореден на оста X, т.е. векторните уравнения на движение на тялото имат формата:

В ясна форма изразът за проекциите на векторните величини, включени в първото уравнение върху осите на координатната система, има формата, която определя позицията на тялото в момент t:

Тъй като всеки вектор може да се представи като сбор от неговите проекции (те също са вектори) върху координатните оси, всяко векторно уравнение може да се представи като две векторни уравнения, но за проекции. След като изразихме проекциите на векторните величини, включени във второто уравнение върху осите на координатната система, намираме компонентите на скоростта

и изразът за резултантната скорост (използвайки Питагоровата теорема) Тангенсът на ъгъла между посоката на резултантната скорост и оста X е равен, т.е. променя се с времето. Това е разбираемо, тъй като стойността на скоростта има геометрична интерпретация под формата на допирателната на наклона на допирателната към зависимостта на координатния или радиус вектора от времето.

Елиминирайки t от двете уравнения, които определят позицията на тялото в момент t, получаваме уравнението на траекторията на полета

За да определим тангенциалните и нормалните ускорения на тялото в точка с координати x, y, отбелязваме, че общото ускорение на тялото винаги е насочено надолу и представлява само ускорението на гравитацията (няма други сили и ускорения според условието на проблема). Тангенциалното ускорение е равно на проекцията на вектора върху допирателната към траекторията (т.е. −g sinγ , както се вижда на пояснителната фигура за проблема), а ускорението, нормално към допирателната, е равно на проекцията на −g cosγ (виж Фиг. 16)

тогава

Нека намерим по пътя приблизителната стойност на радиуса на кривина (R) на траекторията в момента t. Ако приемем, че точката се движи по дъга от окръжност (това е приближение, което опростява крайната математическа формула на резултата, което всъщност не се случва и се изпълнява най-добре близо до точката на максимално повдигане на тялото), използваме формулата

тогава

Ако тялото се хвърли от точка на повърхността, където и y = 0, проблемът става много по-прост. Намалявайки с (x max − x 0) , намираме това

Общото време на полета може да се определи от формулата където

Най-голямата височина на повдигане на тялото се достига в момента t, когато v y = 0 . Тъй като компонентът на вектора на скоростта по оста Y е , то в точката на максимално повдигане на тялото се изпълнява равенството v y = 0, от което получаваме