Дефинирайте комплексно число. Какво е комплексно число? Примери

§едно. Комплексни числа

1°. Определение. Алгебрична нотация.

Определение 1. Комплексни числанаречени подредени двойки реални числа и , ако концепцията за равенство е дефинирана за тях, операциите събиране и умножение, които отговарят на следните аксиоми:

1) Две числа
и
равно тогава и само ако
,
, т.е.

2) Сумата от комплексни числа
и

и равни
, т.е.

3) Произведението на комплексни числа
и
номерът се нарича
и равни, т.е.

Означава се множеството от комплексни числа ° С.

Формули (2),(3) за числа от вида
вземете формата

откъдето следва, че операциите събиране и умножение за числа от вида
съвпадат със събиране и умножение за реални числа комплексно число от вида
се идентифицира с реално число .

Комплексно число
Наречен имагинерна единицаи означено , т.е.
Тогава от (3)

От (2), (3)  което означава

Извиква се израз (4). алгебрична нотациякомплексно число.

В алгебрична форма операциите събиране и умножение приемат формата:

Комплексното число е означено
,- същинската част, е въображаемата част, е чисто имагинерно число. Обозначаване:
,
.

Определение 2. Комплексно число
Наречен конюгатс комплексно число
.

Свойства на комплексното спрежение.

1)

2)
.

3) Ако
, тогава
.

4)
.

5)
е реално число.

Доказателството се извършва чрез директно изчисление.

Определение 3. Номер
Наречен модулкомплексно число
и означено
.

Очевидно е, че
, и


. Формулите също са очевидни:
и
.

2°. Свойства на операциите събиране и умножение.

1) Комутативност:
,
.

2) Асоциативност:,
.

3) Дистрибутивност: .

Доказателството 1) - 3) се извършва чрез директни изчисления, базирани на подобни свойства за реални числа.

4)
,
.

5) , ° С ! , удовлетворяващи уравнението
. Такива

6) ,° С, 0, ! :
. Такива се намира чрез умножаване на уравнението по



.

Пример. Представете си комплексно число
в алгебрична форма. За да направите това, умножете числителя и знаменателя на дробта по конюгата на знаменателя. Ние имаме:

3°. Геометрична интерпретация на комплексни числа. Тригонометрична и експоненциална форма на запис на комплексно число.

Нека на равнината е дадена правоъгълна координатна система. Тогава
° Счовек може да свърже точка от равнината с координати
.(виж Фиг. 1). Очевидно е, че такава кореспонденция е едно към едно. В този случай реалните числа лежат на абсцисната ос, а чисто въображаемите числа лежат на ординатната ос. Следователно, абсцисната ос се нарича реална ос, и оста y − въображаема ос. Равнината, на която лежат комплексните числа, се нарича сложна равнина.

Забележи, че и
са симетрични относно произхода и и са симетрични по отношение на Ox.

Всяко комплексно число (т.е. всяка точка от равнината) може да бъде свързано с вектор с начало в точка O и край в точка
. Съответствието между вектори и комплексни числа е едно към едно. Следователно векторът, съответстващ на комплексното число , обозначен със същата буква

д векторна линия
съответстваща на комплексното число
, е равно на
, и
,
.

Използвайки векторната интерпретация, може да се види, че векторът
− сума от вектори и , а
− сума от вектори и
.(виж Фиг. 2). Следователно са верни следните неравенства:

Заедно с дължината вектор въвеждаме ъгъла между вектор и оста Ox, преброена от положителната посока на оста Ox: ако броенето е обратно на часовниковата стрелка, тогава знакът на ъгъла се счита за положителен, ако е по часовниковата стрелка, тогава отрицателен. Този ъгъл се нарича аргумент комплексно числои означено
. Ъгъл не се определя еднозначно, но с точност
…. За
аргументът не е дефиниран.

Формули (6) определят т.нар тригонометрична нотациякомплексно число.

От (5) следва, че ако
и
тогава

от (5)
какво от и Комплексното число е еднозначно определено. Обратното не е вярно: а именно чрез комплексното число неговия модул е уникален и аргументът , поради (7), − с точност
. От (7) също следва, че аргументът може да се намери като решение на уравнението

Въпреки това, не всички решения на това уравнение са решения на (7).

Сред всички стойности на аргумента на комплексно число се избира една, която се нарича основна стойност на аргумента и се обозначава
. Обикновено основната стойност на аргумента се избира или в интервала
, или в интервала

В тригонометрична форма е удобно да се извършват операции за умножение и деление.

Теорема 1.Модул на произведението на комплексни числа и е равно на произведението на модулите, а аргументът е равен на сбора от аргументите, т.е.

, a .

по същия начин

,

Доказателство.Позволявам ,. Тогава чрез директно умножение получаваме:

по същия начин

.■

Последица(формулата на Де Моавър). За
Формулата на Moivre е валидна

П пример. Нека Намерете геометричното място на точката
. От теорема 1 следва, че .

Следователно, за да го конструирате, първо трябва да конструирате точка , което е обратното относно единичната окръжност и след това намерете точка, симетрична на нея спрямо оста x.

Позволявам
,тези.
Комплексно число
означено
, т.е. Рформулата на Ойлер е валидна

защото
, тогава
,
. От теорема 1
какво ще кажете за функцията
възможно е да се работи като с обикновена експоненциална функция, т.е. равенствата са верни

,
,
.

От (8)
експоненциална нотациякомплексно число

, където
,

Пример. .

4°. корени та степен на комплексно число.

Помислете за уравнението

Позволявам
, а решението на уравнение (9) се търси във вида
. Тогава (9) приема формата
, откъдето намираме това
,
, т.е.

,
,
.

Така уравнение (9) има корени

Нека покажем, че сред (10) има точно различни корени. Наистина ли,

са различни, защото техните аргументи са различни и се различават по-малко от
. Освен това,
, защото
. по същия начин
.

Така уравнение (9) за
има точно корени
разположени във върховете на правилна -гон, вписан в окръжност с радиус с център T.O.

Така е доказано

Теорема 2.извличане на корени та степен на комплексно число
винаги е възможно. Всички коренни стойности та степен на разположен в горната част на правилния -ъгълник, вписан в окръжност с център нула и радиус
. при което,

Последица.корени -та степен на 1 се изразяват с формулата

.

Произведението на два корена от 1 е корен, 1 е корен -та степен от единството, корен
:
.

При изследване на свойствата на квадратно уравнение беше поставено ограничение - за дискриминант, по-малък от нула, няма решение. Веднага беше уточнено, че става дума за набор от реални числа. Любознателният ум на математика ще се заинтересува - каква е тайната, съдържаща се в уговорката за реалните стойности?

С течение на времето математиците въведоха концепцията за комплексни числа, където условната стойност на втория корен от минус едно се приема като единица.

История справка

Математическата теория се развива последователно, от просто към сложно. Нека да разберем как възниква понятието, наречено "комплексно число", и защо е необходимо.

От незапомнени времена основата на математиката е обичайната сметка. Изследователите знаеха само естествения набор от ценности. Събирането и изваждането бяха прости. Тъй като икономическите отношения станаха по-сложни, започна да се използва умножение вместо добавяне на едни и същи стойности. Имаше обратна операция на умножението - деление.

Концепцията за естествено число ограничава използването на аритметични операции. Невъзможно е да се решат всички задачи за деление върху множеството от цели числа. доведе първо до концепцията за рационални значения, а след това до ирационални значения. Ако за рационалното е възможно да се посочи точното местоположение на точката на правата, то за ирационалното е невъзможно да се посочи такава точка. Можете да определите само приблизително интервала. Обединението на рационални и ирационални числа образува реално множество, което може да бъде представено като определена линия с даден мащаб. Всяка стъпка по линията е естествено число, а между тях има рационални и ирационални стойности.

Започва ерата на теоретичната математика. Развитието на астрономията, механиката, физиката изискваше решаването на все по-сложни уравнения. Като цяло бяха намерени корените на квадратното уравнение. При решаването на по-сложен кубичен полином учените се натъкнаха на противоречие. Концепцията за кубичен корен от минус има смисъл, но за квадратен корен се получава несигурност. Освен това квадратното уравнение е само частен случай на кубичното.

През 1545 г. италианецът Дж. Кардано предлага да се въведе понятието въображаемо число.

Това число беше втори корен от минус едно. Терминът комплексно число е окончателно оформен едва триста години по-късно, в трудовете на известния математик Гаус. Той предложи формално разширяване на всички закони на алгебрата до въображаемото число. Реалната линия се разшири до равнина. Светът стана по-голям.

Основни понятия

Спомнете си редица функции, които имат ограничения върху реалния набор:

• y = arcsin(x), дефиниран в диапазона от стойности между отрицателна и положителна.
• y = ln(x), има смисъл за положителни аргументи.
• квадратен корен y = √x, изчислен само за x ≥ 0.

Означавайки i = √(-1), ние въвеждаме такава концепция като имагинерно число, това ще премахне всички ограничения от областта на дефиниране на горните функции. Изрази като y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) имат смисъл в някакво пространство от комплексни числа.

Алгебричната форма може да бъде записана като израз z = x + i×y върху набор от реални стойности x и y и i 2 = -1.

Новата концепция премахва всички ограничения върху използването на всяка алгебрична функция и по външния си вид наподобява графика на права линия в координатите на реални и имагинерни стойности.

Сложна равнина

Геометричната форма на комплексните числа ни позволява визуално да представим много от техните свойства. На оста Re(z) маркираме реалните стойности на x, на Im(z) - въображаемите стойности на y, тогава точката z на равнината ще покаже необходимата комплексна стойност.

Определения:

• Re(z) - реална ос.
• Im(z) - означава въображаемата ос.
• z е условна точка на комплексно число.
• Числената стойност на дължината на вектора от нулевата точка до z се нарича модул.
• Реалните и въображаемите оси разделят равнината на четвъртини. При положителна стойност на координатите - I кв. Когато аргументът на реалната ос е по-малък от 0, а имагинерната ос е по-голяма от 0 - II четвърт. Когато координатите са отрицателни - III кв. Последното, четвърто тримесечие съдържа много положителни реални стойности и отрицателни имагинерни стойности.

Така на равнина със стойности на координатите x и y винаги може да се визуализира точка от комплексно число. Символът i е въведен, за да отдели реалната част от въображаемата.

Имоти

1. Когато стойността на имагинерния аргумент е нула, получаваме просто число (z = x), което се намира на реалната ос и принадлежи на реалното множество.
2. В специален случай, когато стойността на реалния аргумент стане нула, изразът z = i×y съответства на местоположението на точката върху въображаемата ос.
3. Общата форма z = x + i×y ще бъде за ненулеви стойности на аргументите. Това означава местоположението на точката, характеризираща комплексното число в една от четвъртите.

тригонометрична нотация

Припомнете си полярната координатна система и дефиницията на sin и cos. Очевидно е, че с помощта на тези функции е възможно да се опише местоположението на всяка точка от равнината. За да направите това, достатъчно е да знаете дължината на полярния лъч и ъгъла на наклон спрямо реалната ос.

Определение. Запис от формата ∣z ∣, умножен по сумата от тригонометричните функции cos(ϴ) и имагинерната част i ×sin(ϴ), се нарича тригонометрично комплексно число. Тук обозначението е ъгълът на наклон спрямо реалната ос

ϴ = arg(z) и r = ∣z∣, дължината на лъча.

От определението и свойствата на тригонометричните функции следва много важната формула на De Moivre:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

С помощта на тази формула е удобно да се решават много системи от уравнения, съдържащи тригонометрични функции. Особено когато възникне задачата за степенуване.

Модул и фаза

За да завършим описанието на сложно множество, предлагаме две важни определения.

Познавайки теоремата на Питагор, е лесно да се изчисли дължината на лъча в полярната координатна система.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), такава нотация на комплексното пространство се нарича "модул" и характеризира разстоянието от 0 до точка на равнината.

Ъгълът на наклона на комплексния лъч към реалната линия ϴ обикновено се нарича фаза.

От дефиницията се вижда, че реалните и имагинерните части са описани с помощта на циклични функции. а именно:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

Обратно, фазата е свързана с алгебричните стойности чрез формулата:

ϴ = arctan(x / y) + µ, корекцията µ се въвежда, за да се вземе предвид периодичността на геометричните функции.

Формула на Ойлер

Математиците често използват експоненциалната форма. Числата на комплексната равнина се записват като израз

z = r × e i × ϴ , което следва от формулата на Ойлер.

Такъв запис стана широко разпространен за практическото изчисляване на физически величини. Формата на представяне под формата на експоненциални комплексни числа е особено удобна за инженерни изчисления, където е необходимо да се изчислят вериги със синусоидални токове и е необходимо да се знае стойността на интегралите на функции с даден период. Самите изчисления служат като инструмент при проектирането на различни машини и механизми.

Дефиниране на операции

Както вече беше отбелязано, всички алгебрични закони за работа с основни математически функции се прилагат за комплексни числа.

операция сума

При добавяне на комплексни стойности се събират и техните реални и имагинерни части.

z = z 1 + z 2 , където z 1 и z 2 са общи комплексни числа. Трансформирайки израза, след отваряне на скобите и опростяване на нотацията, получаваме реалния аргумент x \u003d (x 1 + x 2), въображаемия аргумент y \u003d (y 1 + y 2).

На графиката това изглежда като събиране на два вектора, съгласно добре известното правило на успоредника.

операция изваждане

Счита се за специален случай на добавяне, когато едното число е положително, другото е отрицателно, т.е. намира се в огледалната четвърт. Алгебричната нотация изглежда като разликата между реални и въображаеми части.

z \u003d z 1 - z 2, или, като се вземат предвид стойностите на аргументите, подобно на операцията за добавяне, получаваме за реални стойности \u200b\u200bx \u003d (x 1 - x 2) и въображаеми y \u003d (y 1 - y 2).

Умножение в комплексната равнина

Използвайки правилата за работа с полиноми, извеждаме формула за решаване на комплексни числа.

Следвайки общите алгебрични правила z=z 1 ×z 2 , ние описваме всеки аргумент и даваме подобни. Реалните и въображаемите части могат да бъдат записани по следния начин:

• x \u003d x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Изглежда по-красиво, ако използваме експоненциални комплексни числа.

Изразът изглежда така: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

дивизия

Когато разглеждаме операцията деление като обратна на операцията умножение, получаваме прост израз в експоненциална форма. Разделянето на стойността на z 1 на z 2 е резултат от разделянето на техните модули и фазовата разлика. Формално, когато се използва експоненциалната форма на комплексни числа, изглежда така:

z \u003d z 1 / z 2 \u003d r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i (ϴ 1- ϴ 2) .

Под формата на алгебрична нотация операцията за разделяне на числата на комплексната равнина е написана малко по-сложно:

Чрез писане на аргументите и извършване на полиномни трансформации е лесно да се получат стойностите x \u003d x 1 × x 2 + y 1 × y 2, съответно, y \u003d x 2 × y 1 - x 1 × y 2, но в описаното пространство този израз има смисъл, ако z 2 ≠ 0.

Извличаме корена

Всичко по-горе може да се приложи в дефиницията на по-сложни алгебрични функции - повдигане на произволна степен и обратна към нея - извличане на корена.

Използвайки общата концепция за повишаване на степен n, получаваме определението:

z n = (r × e i ϴ) n.

Използвайки общи свойства, можем да го пренапишем във формата:

z n = r n × e i ϴ n.

Имаме проста формула за повдигане на комплексно число на степен.

От дефиницията на степента получаваме много важно следствие. Четната степен на въображаемата единица винаги е 1. Всяка нечетна степен на имагинерната единица винаги е -1.

Сега нека изучим обратната функция - извличане на корена.

За опростяване на записа приемаме n = 2. Квадратният корен w от комплексната стойност z в комплексната равнина C обикновено се счита за израза z = ±, който е валиден за всеки реален аргумент, по-голям или равен на нула. За w ≤ 0 няма решение.

Нека да разгледаме най-простото квадратно уравнение z 2 = 1. Използвайки формулите на комплексните числа, пренаписваме r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 . Може да се види от записа, че r 2 = 1 и ϴ = 0, следователно имаме уникално решение, равно на 1. Но това противоречи на концепцията, че z = -1, също съответства на дефиницията за квадратен корен.

Нека да разберем какво не вземаме предвид. Ако си припомним тригонометричната нотация, тогава възстановяваме твърдението - с периодична промяна на фазата ϴ комплексното число не се променя. Нека p означава стойността на периода, тогава имаме r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p) , откъдето 2ϴ = 0 + p, или ϴ = p / 2. Следователно имаме e i 0 = 1 и e i p / 2 = -1. Получихме второто решение, което отговаря на общото разбиране за квадратния корен.

И така, за да намерим произволен корен на комплексно число, ще следваме процедурата.

• Записваме експоненциалната форма w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) , k е произволно цяло число.
• Желаното число може също да бъде представено във формата на Ойлер z = r × e i ϴ.
• Нека използваме общата дефиниция на функцията за извличане на корен r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• От общите свойства на равенството на модули и аргументи, записваме r n = ∣w∣ и nϴ = arg (w) + p×k.
• Крайният запис на корена на комплексно число се описва с формулата z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n .
• Коментирайте. Стойността ∣w∣ по дефиниция е положително реално число, така че всеки степенен корен има смисъл.

Поле и спрежение

В заключение даваме две важни дефиниции, които нямат голямо значение за решаване на приложни задачи с комплексни числа, но са съществени за по-нататъшното развитие на математическата теория.

Твърди се, че изразите за събиране и умножение образуват поле, ако удовлетворяват аксиомите за всеки елемент от комплексната равнина z:

1. От промяна на местата на сложните членове комплексната сума не се променя.
2. Твърдението е вярно - в сложен израз всяка сума от две числа може да бъде заменена с тяхната стойност.
3. Има неутрална стойност 0, за която z + 0 = 0 + z = z е вярно.
4. За всяко z има противоположно - z, добавянето към което дава нула.
5. Когато местата на сложните фактори се променят, сложният продукт не се променя.
6. Умножението на произволни две числа може да бъде заменено с тяхната стойност.
7. Има неутрална стойност 1, умножението с която не променя комплексното число.
8. За всяко z ≠ 0 има реципрочна стойност на z -1, която, когато се умножи, дава 1.
9. Умножаването на сумата от две числа по една трета е еквивалентно на умножаването на всяко от тях по това число и събирането на резултатите.
10. 0 ≠ 1.

Числата z 1 = x + i×y и z 2 = x - i×y се наричат ​​спрегнати.

Теорема.За спрежение твърдението е вярно:

• Конюгацията на сумата е равна на сумата от спрегнатите елементи.
• Конюгацията на продукт е равна на произведението на конюгациите.
• равно на самото число.

В общата алгебра такива свойства се наричат ​​автоморфизми на полето.

Примери

Следвайки горните правила и формули за комплексни числа, можете лесно да оперирате с тях.

Нека разгледаме най-простите примери.

Задача 1.Като използвате уравнението 3y +5 x i= 15 - 7i, определете x и y.

Решение. Спомнете си дефиницията на комплексни равенства, тогава 3y = 15, 5x = -7. Следователно x = -7/5, y = 5.

Задача 2.Изчислете стойностите 2 + i 28 и 1 + i 135 .

Решение. Очевидно 28 е четно число, от следствието от дефиницията на комплексно число на степен, имаме i 28 = 1, което означава, че изразът е 2 + i 28 = 3. Втората стойност, i 135 = - 1, тогава 1 + i 135 = 0.

Задача 3.Изчислете произведението на стойностите 2 + 5i и 4 + 3i.

Решение. От общите свойства на умножението на комплексни числа получаваме (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Новата стойност ще бъде -7 + 26i.

Задача 4.Изчислете корените на уравнението z 3 = -i.

Решение. Има няколко начина да намерите комплексно число. Нека разгледаме един от възможните. По дефиниция ∣ - i∣ = 1, фазата за -i е -p / 4. Оригиналното уравнение може да бъде пренаписано като r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk , откъдето z = e - p / 12 + pk /3 , за всяко цяло число k.

Наборът от решения има формата (e - ip/12 , e ip /4 , e i 2 p/3).

Защо са необходими комплексни числа

Историята познава много примери, когато учените, докато работят върху теория, дори не мислят за практическото приложение на своите резултати. Математиката е преди всичко игра на ума, стриктно спазване на причинно-следствените връзки. Почти всички математически конструкции се свеждат до решаване на интегрални и диференциални уравнения, а тези от своя страна с известно приближение се решават чрез намиране на корените на полиноми. Тук за първи път се сблъскваме с парадокса на въображаемите числа.

Естествените учени, решавайки напълно практически задачи, прибягвайки до решения на различни уравнения, откриват математически парадокси. Тълкуването на тези парадокси води до абсолютно удивителни открития. Двойствената природа на електромагнитните вълни е един такъв пример. Комплексните числа играят решаваща роля за разбирането на техните свойства.

Това от своя страна е намерило практическо приложение в оптиката, радиоелектрониката, енергетиката и много други технологични области. Друг пример, много по-труден за разбиране физически феномен. Антиматерията беше предсказана на върха на писалка. И едва след много години започват опити да се синтезира физически.

Не трябва да се мисли, че такива ситуации има само във физиката. Не по-малко интересни открития се правят в дивата природа, в синтеза на макромолекули, по време на изучаването на изкуствения интелект. И всичко това се дължи на разширяването на нашето съзнание, избягвайки простото събиране и изваждане на естествени стойности.

Припомнете си необходимата информация за комплексните числа.

Комплексно числое израз на формата а + би, където а, bса реални числа и аз- т.нар имагинерна единица, символът, чийто квадрат е -1, т.е. аз 2 = -1. Номер аНаречен реална част, и числото b - въображаема часткомплексно число z = а + би. Ако b= 0, тогава вместо а + 0азпиши просто а. Може да се види, че реалните числа са частен случай на комплексните числа.

Аритметичните операции с комплексни числа са същите като с реалните: те могат да се събират, изваждат, умножават и делят едно на друго. Събирането и изваждането се извършват по правилото ( а + би) ± ( ° С + ди) = (а ± ° С) + (b ± д)аз, а умножението - по правилото ( а + би) · ( ° С + ди) = (ак – бд) + (реклама + пр.н.е)аз(тук се използва само това аз 2 = -1). Число = а – биНаречен комплексно спрегнатда се z = а + би. Равенство z · = а 2 + b 2 ви позволява да разберете как да разделите едно комплексно число на друго (различно от нула) комплексно число:

(Например, .)

Комплексните числа имат удобно и визуално геометрично представяне: числото z = а + биможе да се представи като вектор с координати ( а; b) на декартовата равнина (или, което е почти същото, точка - краят на вектора с тези координати). В този случай сумата от две комплексни числа се изобразява като сума от съответните вектори (които могат да бъдат намерени по правилото на успоредника). По теоремата на Питагор дължината на вектора с координати ( а; b) е равно на . Тази стойност се нарича модулкомплексно число z = а + бии се означава с | z|. Ъгълът, който този вектор сключва с положителната посока на оста x (броено обратно на часовниковата стрелка), се нарича аргументкомплексно число zи означен с Arg z. Аргументът не е еднозначно дефиниран, а само до добавяне на кратно на 2 π радиани (или 360°, ако броите в градуси) - в крайна сметка е ясно, че завъртането под такъв ъгъл около началото няма да промени вектора. Но ако векторът на дължината rобразува ъгъл φ с положителната посока на оста x, тогава нейните координати са равни на ( r cos φ ; rгрях φ ). Следователно се оказва тригонометрична нотациякомплексно число: z = |z| (cos(Arg z) + азгрях (Арг z)). Често е удобно да се записват сложни числа в тази форма, тъй като това значително опростява изчисленията. Умножението на комплексни числа в тригонометрична форма изглежда много просто: zедин · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+арг z 2) + азгрях (Арг z 1+арг z 2)) (при умножение на две комплексни числа техните модули се умножават и аргументите се събират). Оттук следвайте Формули на Де Моавър: z n = |z|н(защото( н(Арг z)) + азгрях( н(Арг z))). С помощта на тези формули е лесно да се научите как да извличате корени от произволна степен от комплексни числа. n-ти корен от zе толкова сложно число w, Какво w n = z. Това е ясно , И къде кможе да приема произволна стойност от набора (0, 1, ..., н- един). Това означава, че винаги има точно нкорени нстепен от комплексно число (на равнината те са разположени във върховете на правилна н-гон).

ТемаКомплексни числа и полиноми

Лекция 22

§едно. Комплексни числа: основни определения

Символ въведете съотношението
и се нарича имагинерна единица. С други думи,
.

Определение. Изразяване на формата
, където
, се нарича комплексно число, а числото наречена реална част от комплексно число и обозначават
, номер - въображаема част и обозначават
.

От тази дефиниция следва, че реалните числа са тези комплексни числа, чиято имагинерна част е равна на нула.

Удобно е комплексните числа да се представят като точки от равнина, на която е дадена декартова правоъгълна координатна система, а именно: комплексно число
мач точка
и обратно. на ос
се показват реални числа и се нарича реална ос. Комплексни числа от вида

се наричат ​​чисто въображаеми. Те са показани като точки по оста.
, която се нарича въображаема ос. Тази равнина, която служи за представяне на комплексни числа, се нарича комплексна равнина. Комплексно число, което не е реално, т.е. такова, че
, понякога наричан въображаем.

За две комплексни числа се казва, че са равни тогава и само ако имат еднакви реални и имагинерни части.

Събирането, изваждането и умножението на комплексни числа се извършват съгласно обичайните правила на полиномната алгебра, като се вземе предвид фактът, че

. Операцията деление може да се дефинира като обратна на операцията умножение и може да се докаже уникалността на резултата (ако делителят е различен от нула). На практика обаче се използва различен подход.

Комплексни числа
и
се наричат ​​спрегнати, на комплексната равнина те са представени от точки, симетрични спрямо реалната ос. Очевидно е, че:

1)

;

2)
;

3)
.

Сега се разделете на може да се направи по следния начин:

.

Не е трудно да се покаже това

,

където символ означава всяка аритметична операция.

Позволявам
някакво въображаемо число и е реална променлива. Произведението на два бинома

е квадратен трином с реални коефициенти.

Сега, като имаме комплексни числа на наше разположение, можем да решим всяко квадратно уравнение
.Ако , тогава

и уравнението има два комплексно спрегнати корена

.

Ако
, тогава уравнението има два различни реални корена. Ако
, тогава уравнението има два еднакви корена.

§2. Тригонометрична форма на комплексно число

Както бе споменато по-горе, комплексното число
удобен за представяне с точка
. Човек може също да идентифицира такова число с радиус вектора на тази точка
. С тази интерпретация събирането и изваждането на комплексни числа се извършва съгласно правилата за събиране и изваждане на вектори. За умножение и деление на комплексни числа е по-удобна друга форма.

Въвеждаме на сложната равнина
полярна координатна система. Тогава къде
,
и комплексно число
може да се запише като:

Тази форма на запис се нарича тригонометрична (за разлика от алгебричната форма
). В тази форма числото се нарича модул и - аргумент комплексно число . Те са маркирани:
,

. За модула имаме формулата

Числовият аргумент е дефиниран нееднозначно, но до член
,
. Стойността на аргумента, който удовлетворява неравенствата
, се нарича главен и се обозначава
. Тогава,
. За основната стойност на аргумента можете да получите следните изрази:

,

числов аргумент
се счита за недефиниран.

Условието за равенство на две комплексни числа в тригонометрична форма има формата: модулите на числата са равни, а аргументите се различават с кратно
.

Намерете произведението на две комплексни числа в тригонометрична форма:

Така че, когато се умножават числа, техните модули се умножават и аргументите се добавят.

По същия начин може да се установи, че при разделяне модулите на числата се разделят, а аргументите се изваждат.

Разбирайки степенуването като многократно умножение, можем да получим формулата за повишаване на комплексно число на степен:

Извеждаме формула за
- корен та степен на комплексно число (да не се бърка с аритметичния корен на реално число!). Операцията за извличане на корен е обратна на операцията за степенуване. Ето защо
е комплексно число такова, че
.

Позволявам
известен, и
изисква се да бъдат намерени. Тогава

От равенството на две комплексни числа в тригонометрична форма следва, че

,
,
.

Оттук
(това е аритметичен корен!),

,
.

Лесно е да се провери това може само да приеме по същество различни стойности, например, когато
. Накрая имаме формулата:

,
.

Така че коренът та степен от комплексно число има различни стойности. В сложната равнина тези стойности са разположени правилно във върховете -гон, вписан в окръжност с радиус
центриран в началото. „Първият“ корен има аргумент
, аргументите на два „съседни“ корена се различават по
.

Пример. Нека вземем кубичния корен на въображаемата единица:
,
,
. Тогава:

,