대수 형식의 예에서 복소수를 나타냅니다. 복소수와 대수 연산

이차 방정식을 고려하십시오.

그 뿌리를 정의해보자.

제곱이 -1인 실수는 없습니다. 그러나 공식이 연산자를 정의하는 경우 나허수 단위로, 이 방정식의 해는 다음 형식으로 쓸 수 있습니다. . 어디에서 그리고 - -1이 실수부인 복소수, 2 또는 두 번째 경우 -2가 ​​허수부입니다. 허수 부분도 실수(실수) 숫자입니다. 허수 부분에 허수 단위를 곱한 값은 이미 허수.

일반적으로 복소수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

지 = 엑스 + 이이 ,

어디 x, y실수, 허수 단위입니다. 예를 들어 전기 공학, 전자 공학, 신호 이론과 같은 많은 응용 과학에서 허수 단위는 다음과 같이 표시됩니다. 제이. 실수 x = Re(z)그리고 y=나는(지)~라고 불리는 실제 부분과 허수 부분번호 지.표현이라고 합니다 대수 형식복소수의 표기법.

모든 실수는 다음 형식의 복소수의 특수한 경우입니다. . 허수는 복소수의 특별한 경우이기도 합니다. .

복소수 집합의 정의 C

이 표현식은 다음과 같습니다. 에서, 다음과 같은 요소로 구성 엑스그리고 와이실수 집합에 속하다 아르 자형그리고 허수단위입니다. 등등 참고하세요.

두 개의 복소수 그리고 실수 부분과 허수 부분이 동일한 경우에만 동일합니다. 그리고 .

복소수와 함수는 과학 기술, 특히 역학, AC 회로의 분석 및 계산, 아날로그 전자, 신호 이론 및 처리, 자동 제어 이론 및 기타 응용 과학에서 널리 사용됩니다.

1. 복소수의 산술

두 개의 복소수를 더하는 것은 실수부와 허수부를 더하는 것으로 구성됩니다.

따라서 두 복소수의 차이

복소수 ~라고 불리는 복잡한 결합한숫자 z=x +아이.이.

복소수 켤레 번호 z와 z *는 허수부의 부호가 다릅니다. 그것은 분명하다

.

이 평등이 모든 곳에서라면 복잡한 표현식 사이의 모든 평등은 유효합니다. 나~로 교체되다 - 나, 즉. 켤레 수의 평등으로 이동하십시오. 번호 나그리고 – 나대수적으로 구별할 수 없기 때문에 .

두 복소수의 곱(곱셈)은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

두 복소수의 나눗셈:

예시:

1. 복잡한 평면

복소수는 직교 좌표계에서 그래픽으로 나타낼 수 있습니다. 평면에 직교 좌표계를 설정합시다. (x, y).

차축에 황소우리는 실제 부품을 정렬합니다 엑스, 그것은이라고 실제(실제) 축, 축에 오이– 가상 부품 와이복소수. 그녀는 이름을 품다 가상의 축. 또한 각 복소수는 평면의 특정 지점에 해당하며 이러한 평면을 복잡한 평면. 가리키다 하지만복소 평면은 벡터에 해당합니다. OA.

숫자 엑스~라고 불리는 횡좌표복소수, 숫자 와이 – 세로.

한 쌍의 복소수 켤레 번호는 실수 축에 대해 대칭으로 위치한 점으로 표시됩니다.

비행기에서 설정하는 경우 극좌표계, 모든 복소수 지극좌표에 의해 결정됩니다. 어디에서 기준 치수번호 는 점의 극 반지름이고 각도는 - 극각 또는 복소수 인수 지.

복소수 계수 항상 음수가 아닙니다. 복소수의 인수는 고유하게 정의되지 않습니다. 인수의 주요 값은 조건을 충족해야 합니다. . 복소 평면의 각 점은 또한 인수의 총 값에 해당합니다. 2π의 배수만큼 다른 인수는 동일한 것으로 간주됩니다. 숫자 인수 0이 정의되지 않았습니다.

인수의 주요 값은 다음 표현식에 의해 결정됩니다.

그것은 분명하다

어디에서
, .

복소수 표현 지~처럼

~라고 불리는 삼각법복소수.

예시.

1. 복소수의 지수 형식

분해 맥클로린 시리즈실제 인수 함수의 경우 다음과 같이 보입니다.

복잡한 인수의 지수 함수의 경우 지분해는 비슷하다

.

허수 인수의 지수 함수에 대한 Maclaurin 급수 전개는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

결과 ID는 오일러 공식.

부정적인 주장의 경우 다음과 같습니다.

이러한 표현식을 결합하여 사인 및 코사인에 대해 다음 표현식을 정의할 수 있습니다.

.

오일러 공식을 사용하여 복소수 표현의 삼각법 형식에서

사용 가능 분명히 나타내는(지수, 극성) 복소수의 형태, 즉 형식으로 표현

,

어디 - 직교 좌표가 있는 점의 극좌표( 엑스,와이).

복소수의 켤레는 다음과 같이 지수 형식으로 작성됩니다.

지수 형식의 경우 복소수의 곱셈과 나눗셈에 대한 다음 공식을 정의하기 쉽습니다.

즉, 지수 형식에서 복소수의 곱과 나눗셈은 대수 형식보다 쉽습니다. 곱할 때 요소의 모듈이 곱해지고 인수가 추가됩니다. 이 규칙은 여러 요인에 적용됩니다. 특히 복소수를 곱할 때 지에 나벡터 지시계 반대 방향으로 90도 회전

나눗셈에서는 분자의 계수를 분모의 계수로 나누고 분자 인수에서 분모의 인수를 뺍니다.

지수 형태의 복소수를 사용하여 잘 알려진 삼각 항등식에 대한 표현을 얻을 수 있습니다. 예를 들어, 신원에서

오일러 공식을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이 표현에서 실수 부분과 허수 부분을 동일시하면 각도의 합에 대한 코사인과 사인에 대한 표현을 얻습니다.

1. 복소수의 거듭제곱, 근 및 로그

복소수를 자연 거듭제곱으로 올리기 N공식에 따라 생성

예시. 계산 .

숫자를 상상해보세요 삼각법 형태로

’

지수 공식을 적용하면 다음을 얻습니다.

표현식에 값 넣기 아르 자형= 1, 우리는 소위 드 무아브르의 공식, 이를 사용하여 여러 각도의 사인 및 코사인에 대한 표현식을 결정할 수 있습니다.

뿌리 N복소수의 제곱 지그것은 가지고있다 N표현식에 의해 결정되는 다른 값

예시. 찾아보자.

이를 위해 복소수()를 삼각법 형식으로 표현합니다.

.

복소수의 근을 계산하는 공식에 따르면

복소수의 로그 지숫자이다 승, . 복소수의 자연 로그는 무한한 수의 값을 가지며 다음 공식으로 계산됩니다.

실수(코사인) 및 허수(사인) 부분으로 구성됩니다. 이러한 응력은 길이의 벡터로 나타낼 수 있습니다. 음, 초기 위상(각도), 각속도로 회전 ω .

또한 복잡한 기능이 추가되면 실수부와 허수부가 추가됩니다. 복소수 함수에 상수 또는 실수 함수를 곱하면 실수 부분과 허수 부분에 동일한 인수가 곱해집니다. 이러한 복잡한 함수의 미분/적분은 실수부와 허수부의 미분/적분으로 축소됩니다.

예를 들어, 복잡한 응력 표현의 미분

를 곱하는 것입니다. iω는 함수 f(z)의 실수부이고, 함수의 허수 부분입니다. 예: .

의미 지복소수 z 평면의 한 점으로 표시되며 해당 값은 승- 복소평면의 한 점 승. 표시될 때 w = f(z)평면선 지비행기의 선으로 통과 승, 한 평면의 도형이 다른 평면의 도형으로 바뀌지만 선이나 도형의 모양은 크게 바뀔 수 있습니다.