큐브를 줄이는 공식입니다. 약식 곱셈 공식. 수업의 결론

약식 곱셈 공식(FMF)은 숫자와 표현식을 거듭제곱하고 곱하는 데 사용됩니다. 종종 이러한 수식을 사용하면 더 간결하고 빠르게 계산을 수행할 수 있습니다.

이 기사에서는 약식 곱셈에 대한 기본 공식을 나열하고, 이를 표로 그룹화하고, 이러한 공식을 사용하는 예를 고려하고, 약식 곱셈에 대한 공식 증명의 원칙에 대해서도 설명합니다.

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처음으로 FSU 주제가 7학년 대수 과정의 틀 내에서 고려됩니다. 다음은 7가지 기본 공식입니다.

약식 곱셈 공식

합의 제곱 공식: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
제곱 차이 공식: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
합 세제곱 공식: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
차이 입방체 공식: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
제곱 차이 공식: a 2 - b 2 = a - b a + b
세제곱합 공식: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
세제곱의 차이 공식: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

이 표현식의 문자 a, b, c는 숫자, 변수 또는 표현식이 될 수 있습니다. 사용하기 쉽도록 7가지 기본 공식을 암기하는 것이 좋습니다. 그것들을 테이블에 놓고 아래에 액자로 둘러싸서 제시합시다.

처음 네 개의 수식을 사용하면 두 표현식의 합이나 차이의 제곱이나 세제곱을 각각 계산할 수 있습니다.

다섯 번째 공식은 합과 차이를 곱하여 표현식의 제곱 간의 차이를 계산합니다.

여섯 번째와 일곱 번째 공식은 각각 식의 합과 차에 차이의 불완전 제곱과 합의 불완전 제곱을 곱한 것입니다.

약식 곱셈 공식은 때때로 약식 곱셈 항등식이라고도 합니다. 모든 평등은 정체성이기 때문에 이것은 놀라운 일이 아닙니다.

실제 예제를 풀 때 왼쪽과 오른쪽이 바뀌는 약식 곱셈 공식이 자주 사용됩니다. 이는 다항식을 인수분해할 때 특히 편리합니다.

추가 약식 곱셈 공식

7학년 대수학 과정에만 국한되지 않고 FSU 표에 몇 가지 공식을 더 추가해 봅시다.

먼저 뉴턴의 이항식을 살펴보겠습니다.

a + bn = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · bn - 1 + C n n · bn

여기서 Cnk는 파스칼 삼각형의 라인 번호 n에 나타나는 이항 계수입니다. 이항 계수는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

C n k = n ! 케이! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

보시다시피, 차이와 합의 제곱과 세제곱에 대한 FSF는 각각 n=2와 n=3에 대한 뉴턴 이항식의 특별한 경우입니다.

하지만 거듭제곱해야 하는 합에 두 개 이상의 항이 있는 경우에는 어떻게 될까요? 3개, 4개 또는 그 이상의 항의 합을 제곱하는 공식이 유용할 것입니다.

1 + 2 + . . + 2 = 1 2 + 2 2 + . . + 2 + 2 1 2 + 2 1 3 + . . + 2a 1an + 2a 2a 3 + 2a 2a 4 + . . + 2 2 AN + 2 AN - 1 AN

유용할 수 있는 또 다른 공식은 두 항의 n제곱 간의 차이를 구하는 공식입니다.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + 2 bn - 2 + bn - 1

이 공식은 일반적으로 짝수 거듭제곱과 홀수 거듭제곱에 대한 두 가지 공식으로 나뉩니다.

2m 표시기의 경우:

a 2m - b 2m = a 2 - b 2 a 2m - 2 + a 2m - 4b 2 + a 2m - 6b 4 + . . + b 2m - 2

홀수 지수 2m+1의 경우:

a 2m + 1 - b 2m + 1 = a 2 - b 2 a 2m + a 2m - 1b + a 2m - 2b 2 + . . + b 2m

짐작하셨듯이 제곱의 차이와 세제곱의 차이 공식은 각각 n = 2 및 n = 3에 대한 이 공식의 특별한 경우입니다. 큐브 차이의 경우 b도 -b로 대체됩니다.

약식 곱셈 공식을 읽는 방법은 무엇입니까?

각 수식에 적합한 수식을 제시하지만 먼저 수식을 읽는 원리를 이해하겠습니다. 이를 수행하는 가장 편리한 방법은 예제를 사용하는 것입니다. 두 숫자의 합을 제곱하는 첫 번째 공식을 살펴보겠습니다.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

그들은 다음과 같이 말합니다. 두 표현식 a와 b의 합의 제곱은 첫 번째 표현식의 제곱의 합, 표현식의 곱의 두 배 및 두 번째 표현식의 제곱과 같습니다.

다른 모든 공식도 비슷하게 읽습니다. 차이 a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2의 제곱에 대해 다음과 같이 씁니다.

두 표현식 a와 b 사이의 차이의 제곱은 이들 표현식의 제곱의 합에서 첫 번째와 두 번째 표현식의 곱의 두 배를 뺀 것과 같습니다.

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 공식을 읽어 봅시다. 두 표현식 a와 b의 합의 세제곱은 이 표현식의 세제곱의 합과 같습니다. 첫 번째 표현식의 제곱에 두 번째 곱을 곱하고 두 번째 표현식의 제곱에 다음을 곱한 세 배입니다. 첫 번째 표현.

큐브 a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3의 차이에 대한 공식을 읽어 보겠습니다. 두 표현식 a와 b 사이의 차이의 세제곱은 첫 번째 표현식의 세제곱에서 첫 번째 표현식과 두 번째 표현식의 제곱의 삼중 곱을 뺀 값과 두 번째 표현식의 제곱과 첫 번째 표현식의 삼중 곱을 더한 것과 같습니다. , 두 번째 표현식의 큐브를 뺍니다.

다섯 번째 공식 a 2 - b 2 = a - b a + b(제곱의 차이)는 다음과 같이 읽습니다. 두 표현식의 제곱의 차이는 차이의 곱과 두 표현식의 합과 같습니다.

편의상 a 2 + a b + b 2 및 a 2 - a b + b 2와 같은 표현식을 각각 합의 불완전 제곱 및 차이의 불완전 제곱이라고 합니다.

이를 고려하여 세제곱의 합과 차이에 대한 공식은 다음과 같이 읽을 수 있습니다.

두 표현식의 세제곱의 합은 이러한 표현식의 합과 차이의 부분 제곱을 곱한 것과 같습니다.

두 표현식의 세제곱 간의 차이는 이들 표현식 간의 차이와 해당 합의 부분 제곱의 곱과 같습니다.

FSU 증명

FSU를 증명하는 것은 매우 간단합니다. 곱셈의 속성에 따라 괄호 안의 수식 부분을 곱합니다.

예를 들어, 차이 제곱에 대한 공식을 생각해 보세요.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

표현식을 2승하려면 이 표현식 자체를 곱해야 합니다.

a - b 2 = a - b a - b .

대괄호를 확장해 보겠습니다.

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

공식이 입증되었습니다. 나머지 FSU도 유사하게 입증되었습니다.

FSU 적용 사례

축약된 곱셈식을 사용하는 목적은 빠르고 간결하게 곱셈하여 수식을 거듭제곱하는 것입니다. 그러나 이것이 FSU의 전체 적용 범위는 아닙니다. 이는 표현식 축소, 분수 축소 및 다항식 인수분해에 널리 사용됩니다. 예를 들어 보겠습니다.

예시 1. FSU

식 9 y - (1 + 3 y) 2를 단순화해 보겠습니다.

제곱합 공식을 적용하여 다음을 얻습니다.

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

예시 2. FSU

분수 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4를 줄여보겠습니다.

분자의 표현은 세제곱의 차이이고 분모의 표현은 제곱의 차이입니다.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

우리는 다음을 줄이고 얻습니다.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU는 표현식의 값을 계산하는 데도 도움이 됩니다. 가장 중요한 것은 공식을 적용할 위치를 알 수 있다는 것입니다. 이를 예를 들어 보여드리겠습니다.

79를 제곱해 봅시다. 번거로운 계산 대신 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

축약된 구구단과 구구단만 이용하면 복잡한 계산이 빠르게 이루어지는 것 같습니다.

또 다른 중요한 점은 이항식의 제곱을 선택하는 것입니다. 4 x 2 + 4 x - 3이라는 표현은 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4로 변환될 수 있습니다. 이러한 변환은 통합에 널리 사용됩니다.

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대수 다항식을 단순화하기 위해 다음이 있습니다. 약식 곱셈 공식. 그다지 많지 않고 기억하기 쉽지만 기억해야합니다. 공식에 사용되는 표기법은 어떤 형식(숫자 또는 다항식)을 취할 수 있습니다.

첫 번째 약식 곱셈 공식은 다음과 같습니다. 제곱의 차이. 이는 두 번째 숫자의 제곱에서 한 숫자의 제곱을 빼는 것으로 구성되며, 이는 이 숫자와 그 곱의 차이와 같습니다.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

명확성을 위해 살펴 보겠습니다.

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

두 번째 공식은 대략 제곱의 합. 두 수량의 제곱의 합은 첫 번째 수량의 제곱과 같고, 첫 번째 수량에 두 번째 수량을 곱한 이중 곱이 더해지고, 두 번째 수량의 제곱이 더해지는 것처럼 들립니다.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

이 공식 덕분에 컴퓨터 기술을 사용하지 않고도 큰 수의 제곱을 계산하는 것이 훨씬 쉬워졌습니다.

예를 들면 다음과 같습니다. 112의 제곱은 다음과 같습니다.
1) 먼저 112를 우리에게 익숙한 사각형의 숫자로 나누어 보겠습니다.
112 = 100 + 12
2) 대괄호 안에 결과를 입력합니다.
112 2 = (100+12) 2
3) 공식을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

세 번째 공식은 제곱 차이. 이는 정사각형에서 서로 뺀 두 양이 동일하다는 것을 의미합니다. 첫 번째 양의 제곱에서 첫 번째 양에 두 번째 양을 곱한 두 배의 곱을 빼고 두 번째 양의 제곱을 더하기 때문입니다.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

여기서 (a - b) 2는 (b - a) 2와 같습니다. 이를 증명하기 위해 (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

약식 곱셈의 네 번째 공식은 다음과 같습니다. 큐브의 합계. 다음과 같이 들립니다: 큐브의 두 합산 수량은 1 수량의 큐브와 같습니다. 1 수량의 제곱에 2번째 수량을 곱한 삼중 곱이 추가되고, 여기에 1 수량의 삼중 곱에 2의 제곱을 곱한 값이 더해집니다. 수량에 세제곱된 두 번째 수량을 더합니다.

(a+b) 3 = ㄱ 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

이미 이해했듯이 다섯 번째는 차이 큐브. 큐브의 첫 번째 표기법에서 첫 번째 표기법의 삼중 곱을 두 번째 표기법에 곱한 값을 빼고, 여기에 첫 번째 표기법의 삼중 곱에 두 번째 표기법의 제곱을 곱한 값을 더하는 방식으로 수량 간의 차이를 찾습니다. 표기법에서 큐브의 두 번째 표기법을 뺀 값입니다.

(a-b) 3 = 가 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

여섯 번째는 - 큐브의 합. 세제곱의 합은 두 가수의 곱에 차이의 부분 제곱을 곱한 것과 같습니다. 중간에 double 값이 없기 때문입니다.

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

큐브의 합을 말하는 또 다른 방법은 두 개의 괄호 안에 곱을 부르는 것입니다.

일곱 번째이자 마지막 것의 이름은 큐브의 차이(차이입방체 공식과 쉽게 혼동될 수 있지만 이는 다른 것입니다). 세제곱의 차이는 중간에 이중 값이 없기 때문에 두 수량의 차이에 합계의 부분 제곱을 곱한 것과 같습니다.

a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

따라서 약식 곱셈에 대한 공식은 7개뿐입니다. 서로 비슷하고 기억하기 쉽습니다. 유일한 중요한 것은 기호를 혼동하지 않는 것입니다. 또한 역순으로 사용하도록 설계되었으며 교과서에는 이러한 작업이 꽤 많이 포함되어 있습니다. 조심하세요. 그러면 모든 것이 잘 될 것입니다.

공식에 대해 궁금한 점이 있으면 댓글에 적어주세요. 기꺼이 답변해 드리겠습니다!

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이전 강의에서는 인수분해를 다루었습니다. 우리는 두 가지 방법, 즉 괄호에서 공통 인수를 제거하고 그룹화하는 방법을 익혔습니다. 이 강의에서는 다음과 같은 강력한 방법을 사용합니다. 약식 곱셈 공식. 한마디로 - FSU.

약식 곱셈 공식(합과 차의 제곱, 합과 차의 세제곱, 제곱의 차, 세제곱의 합과 차)은 수학의 모든 분야에서 매우 필요합니다. 표현식 단순화, 방정식 풀기, 다항식 곱하기, 분수 줄이기, 적분 풀기 등에 사용됩니다. 등등. 요컨대, 그것들을 처리해야 할 모든 이유가 있습니다. 그것들이 어디서 왔는지, 왜 필요한지, 어떻게 기억하고 적용하는지 이해하십시오.

우리는 이해합니까?)

축약된 곱셈 공식은 어디에서 왔습니까?

등식 6과 7은 매우 친숙한 방식으로 작성되지 않습니다. 그것은 정반대입니다. 이는 의도적인 것입니다.) 모든 평등은 왼쪽에서 오른쪽으로, 오른쪽에서 왼쪽으로 모두 적용됩니다. 이 항목을 통해 FSU의 출처가 더욱 명확해집니다.

이는 곱셈에서 가져옵니다.) 예를 들면 다음과 같습니다.

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

그게 다야, 과학적인 트릭은 없습니다. 우리는 단순히 괄호를 곱하고 비슷한 것을 제공합니다. 결과는 다음과 같습니다 모든 약식 곱셈 공식. 약칭곱셈은 수식 자체에 괄호의 곱셈과 유사한 괄호의 감소가 없기 때문입니다. 축약되었습니다.) 결과가 즉시 제공됩니다.

FSU는 마음 속으로 알아야 합니다. 처음 세 개가 없으면 C를 꿈꿀 수 없고, 나머지가 없으면 B나 A를 꿈꿀 수 없습니다.)

축약된 곱셈 공식이 필요한 이유는 무엇입니까?

이 공식을 배우고, 심지어 외워야 하는 두 가지 이유가 있습니다. 첫 번째는 기성 답변이 자동으로 오류 수를 줄여준다는 것입니다. 그러나 이것이 주된 이유는 아닙니다. 그런데 둘째..

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대수학 과정에서 공부하는 첫 번째 주제 중 하나는 약식 곱셈 공식입니다. 7학년에서는 표현식의 공식 중 하나를 인식하고 다항식을 인수분해해야 하거나 반대로 합이나 차이를 빠르게 제곱하거나 세제곱해야 하는 가장 간단한 상황에서 사용됩니다. 앞으로는 FSU를 사용하여 부등식과 방정식을 빠르게 풀고 심지어 계산기 없이 일부 수치식을 계산할 수도 있습니다.

수식 목록은 어떤 모양인가요?

괄호 안의 다항식을 빠르게 곱할 수 있는 7가지 기본 공식이 있습니다.

때때로 이 목록에는 제시된 정체성을 따르고 다음과 같은 형식을 갖는 4급 확장도 포함됩니다.

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

제곱의 차이를 제외하고 모든 등식에는 쌍(합 - 차이)이 있습니다. 제곱합 공식은 제공되지 않습니다..

나머지 평등은 기억하기 쉽습니다.:

FSU는 어떤 경우에도 어떤 값에도 작동한다는 점을 기억해야 합니다. ㅏ그리고 비: 임의의 숫자 또는 정수 표현식이 될 수 있습니다.

갑자기 수식에서 특정 용어 앞에 어떤 기호가 있는지 기억나지 않는 상황에서는 괄호를 열고 수식을 사용한 후와 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. 예를 들어 차분입방체 FSU를 적용할 때 문제가 발생했다면 원래의 식을 적어두고, 곱셈을 하나씩 수행:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

그 결과 비슷한 항을 모두 모은 결과 표와 같은 다항식이 얻어졌다. 다른 모든 FSU에도 동일한 조작을 수행할 수 있습니다.

방정식을 풀기 위한 FSU 적용

예를 들어, 다음을 포함하는 방정식을 풀어야 합니다. 3차 다항식:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

학교 커리큘럼에서는 삼차 방정식을 풀기 위한 보편적인 기술을 다루지 않으며 이러한 문제는 더 간단한 방법(예: 인수분해)을 사용하여 해결되는 경우가 가장 많습니다. 항등식의 왼쪽이 합의 세제곱과 유사하다는 것을 알게 되면 방정식은 더 간단한 형식으로 작성될 수 있습니다.

(x + 1)³ = 0.

이러한 방정식의 근은 구두로 계산됩니다. x = -1.

불평등도 비슷한 방식으로 해결됩니다. 예를 들어, 불평등을 해결할 수 있습니다. x³ – 6x² + 9x > 0.

우선 식을 인수분해해야 합니다. 먼저 괄호를 묶어야합니다 엑스. 그 다음에는 괄호 안의 표현이 차이의 제곱으로 변환될 수 있다는 점에 유의하세요.

그런 다음 표현식이 0 값을 취하는 지점을 찾아 수직선에 표시해야 합니다. 특별한 경우에는 0과 3이 됩니다. 그런 다음 간격 방법을 사용하여 x가 부등식 조건에 해당하는 간격을 결정합니다.

FSU는 수행할 때 유용할 수 있습니다. 계산기의 도움 없이 일부 계산:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

또한 식을 인수분해하면 쉽게 분수를 줄이고 다양한 대수식을 단순화할 수 있습니다.

7-8학년 문제의 예

결론적으로 우리는 대수학에서 약식 곱셈 공식의 사용에 관한 두 가지 과제를 분석하고 해결할 것입니다.

작업 1. 표현식을 단순화합니다.

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

해결책. 작업 조건에 따라 표현식을 단순화해야 합니다. 즉, 괄호를 열고, 곱셈과 지수 연산을 수행하고, 유사한 용어를 모두 가져와야 합니다. 표현식을 조건부로 (용어 수에 따라) 세 부분으로 나누고 가능한 경우 FSU를 사용하여 괄호를 하나씩 열어 보겠습니다.

(m + 3)² = m² + 6m + 9(합계);
(3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(제곱의 차이);
마지막 항에서는 다음을 곱해야 합니다. 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

얻은 결과를 원래 표현식으로 대체해 보겠습니다.

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

표시를 고려하여 괄호를 열고 유사한 용어를 제시합니다.

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

문제 2. 미지의 k가 포함된 방정식을 5제곱합니다.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

해결책. 이 경우에는 FSU와 그룹화 방법을 사용해야 합니다. 마지막 두 번째 용어를 ID의 오른쪽으로 이동해야 합니다.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

공통 인수는 오른쪽과 왼쪽에서 파생됩니다. (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

오른쪽에 0이 남도록 모든 것이 방정식의 왼쪽으로 이동됩니다.

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

이번에도 공통인수를 꺼내야 합니다:

(k² - k)(k² + 4k + 4) = 0.

얻은 첫 번째 요소로부터 우리는 다음을 도출할 수 있습니다. 케이. 짧은 곱셈 공식에 따르면 두 번째 요소는 다음과 동일합니다. (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

제곱의 차이 공식 사용:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

요소 중 하나 이상이 0이면 곱은 0과 같으므로 방정식의 모든 근을 찾는 것은 어렵지 않습니다.

k = 0;
k - 1 = 0; k = 1;
k + 1 = 0; k = -1;
(k + 2)² = 0; k = -2.

예시를 바탕으로 공식을 기억하는 방법과 차이점을 이해하고 FSU를 사용하여 몇 가지 실제 문제를 해결할 수도 있습니다. 작업은 간단하며 완료하는 데 어려움이 없어야 합니다.