Számok. Egész számok. Egész számok tulajdonságai. Legnagyobb közös többszörös és legkisebb közös osztó. Oszthatósági kritériumok és csoportosítási módszerek (2019)

77. § Az egység törtrészeiről.

Tanulmányoztuk az egész számok tulajdonságait és a rajtuk végzett műveleteket. Az egész számok mellett vannak törtszámok is, amelyekkel most megismerkedünk. Amikor egy diák azt mondja, hogy fél órát kell gyalogolnia otthonról az iskolába, akkor nem egész órákban fejezi ki az időt, hanem egy óra részében. Amikor az orvos azt tanácsolja a páciensnek, hogy a port negyed pohár forró vízben oldja fel, akkor a vizet nem egész pohárban, hanem egy pohár részeiben mérik. Ha egy görögdinnyét egyenlő arányban kell elosztani három fiú között, akkor mindegyikük csak a görögdinnye harmadát, vagy harmadát kaphatja meg.

Minden esetben nem egész egységekről beszéltünk, hanem részekről vagy egy egység töredékeiről. A részvények nagyon sokfélék lehetnek, például egy gramm a kilogramm ezredrésze, a milliméter a kilométer egy milliomod része. Először a legegyszerűbb részvényekről (fél, harmadik, negyed stb.) fogunk beszélni.

A nagyobb áttekinthetőség érdekében ezeket a részeket egyenes vonalú szegmensekként ábrázoljuk.

Ha az AB szakaszt egységnek vesszük (9. ábra), akkor két egyenlő részre osztva azt mondhatjuk, hogy az így kapott AC és CB szakaszok az AB szakasz felei lesznek.

Továbbá, ha a DE szakaszt (10. ábra) egységnek vesszük és 3 egyenlő részre osztjuk, akkor a kapott DF, FH, HE szakaszok mindegyike egyenlő lesz a DE szakasz egyharmadával és a DH szakasz egyharmadával. egyenlő lesz a DE szegmens kétharmadával. Hasonlóképpen, az FE szegmens egyenlő lesz a DE szegmens kétharmadával.

Vegyünk egy másik MN szakaszt (11. ábra), vegyük egységnek, és osszuk négy egyenlő részre; akkor az MP, PQ, QR, RN szegmensek mindegyike egyenlő lesz az MN szegmens egynegyedével; az MQ, PR, QN szegmensek mindegyike ennek kétnegyede, az MR és PN szegmensek mindegyike pedig az MN háromnegyedével egyenlő.

A vizsgált példákban megismerkedtünk egy felével, harmadával, negyedével, kétharmadával, kétnegyedével, háromnegyedével, vagyis vagy egy egységrésszel, vagy kettővel, vagy három egyenlő részével. .

Az egy vagy több egyenlő részből álló számot nevezzük lövés.

Azt már mondtuk, hogy a „részesedés” szó helyett kimondhatjuk a „rész” szót is; ezért egy tört egy egység egy vagy több azonos részét kifejező számnak nevezhető.

Így az ebben a bekezdésben említett számok: fél, egy másodperc, egyharmad, egy negyed, kétharmad és mások, törtek lesznek.

Gyakran nem csak az objektumok részeit kell figyelembe venni, hanem velük együtt egész tárgyakat is. Például két fiú úgy dönt, hogy egyenlő arányban osztozik az öt almán. Nyilvánvalóan mindegyik először vesz két almát, és a maradék utolsó almát két egyenlő részre vágja. Ezután mindegyikben lesz két és fél alma. Itt az egyes fiúk almáinak számát egész számként (kettő) fejezzük ki, valamilyen törttel (fele).

Azokat a számokat, amelyek egész számot és törtet tartalmaznak, hívják vegyes számok.

78. § Törtek képe.

Tekintsük az előző bekezdés utolsó rajzát (11. ábra). Azt mondtuk, hogy az MR szegmens az MN szegmens háromnegyede. Felmerül a kérdés, hogyan írható fel ez a tört, azaz háromnegyed számok segítségével. Emlékezzünk vissza, hogyan keletkezett a háromnegyed tört. Az MN szegmenst egységnek vettük, 4 egyenlő részre osztottuk, és ezekből a részekből vettünk 3-at. A tört kialakulásának ezt a folyamatát kell tükröznie a rekordjában, vagyis ebből a rekordból látni kell, hogy a Az egységet 4 egyenlő részre osztjuk, és a kapott részeket 3-ra vesszük. Emiatt a tört két számmal van ábrázolva, amelyeket vízszintes vonal választ el egymástól. A sor alá egy számot írunk, amely azt jelzi, hogy hány egyenlő részre van osztva az egység, amelyből a törtet veszik, a sor fölé pedig egy másik számot írunk, amely azt mutatja, hogy hány részesedést tartalmaz

ebben a törtrészben. A háromnegyed töredéke így lesz írva: 3/4.

A sor feletti számot hívják számláló frakciók; ez a szám az adott törtben lévő részek számát jelzi.

A sor alatti számot hívják névadó frakciók; megmutatja, hogy hány egyenlő részre van osztva az egység.

3 - számláló,
_
4 a nevező.

A számlálót a nevezőtől elválasztó kötőjelet törtvonalnak nevezzük. A számlálót és a nevezőt együttesen törttagnak nevezzük. Példaként írjunk egy törtet:

kétharmada - 2/3; öt tizenketted - 5/12.

A vegyes számokat a következőképpen írjuk: először egy egész számot írnak, és mellé egy tört kerül a jobb oldalon. Például egy kettőből és négy ötödből álló vegyes számot így kell írni: 2 4 / 5.

79. § A törtek keletkezése.

Fontolja meg a kérdést, hogyan és hol keletkeznek törtek, miért és milyen körülmények között jelennek meg.

Vegyük például ezt a tényt. A tábla hosszát egy méterrel kell megmérni. Fogunk egy méteres fa vonalzót, és balról jobbra haladva a tábla alsó szélére helyezzük. Hadd férjen bele kétszer, de van még olyan része a táblának, ahova harmadszorra nem fér bele a vonalzó, mert a maradék rész hossza kisebb, mint a vonalzóé.

Ha a tábla többi része például fél métert tartalmaz, akkor a tábla hossza két és fél (2 1/2) méter.

Most ugyanazzal a vonalzóval mérjük meg a tábla szélességét. Tegyük fel, hogy egyszer megtette, de ez után az egyetlen késleltetés után a tábla egy kis része megmaradt, kevesebb mint egy méter. A tábla ezen részére egy mérőt alkalmazva, mondjuk, azt lehetett találni, hogy az egyenlő a méter egynegyedével (1/4).

Tehát a tábla teljes szélessége 1 1/4 m.

Így a tábla hosszának és szélességének mérésekor a 2 1/2 m és 1 1/4 m számokat kaptuk (azaz törtszámokat).

Nemcsak az objektumok hosszát és szélességét, hanem sok más mennyiséget is gyakran törtszámokban fejeznek ki.

Az időt nemcsak órákban, percekben és másodpercekben mérjük, hanem gyakran egy óra, egy perc és akár egy másodperc részében is.

Nagyon gyakran a törtszámok súlyt fejeznek ki, például azt mondják: 1/2 kg, l 1/2 kg, 1/2 g, 3/4 g, 1/2 t stb.

Eddig a mérésből származó törtek eredetéről beszéltünk, de van egy másik forrás is a törteknek - ez az osztás művelete. Itt álljunk meg. Legyen megkövetelve, hogy 3 almát osszon el 4 fiú között; nyilván ebben az esetben minden fiú nem kap egy egész almát, mert kevesebb az alma, mint a gyerekek. Először vegyünk 2 almát, és vágjuk félbe mindegyiket. 4 fele lesz, és mivel négy fiú van, mindegyiknek egy-egy fél alma adható. A maradék harmadik almát 4 részre vágjuk, majd minden fiúnak hozzáadjuk, amije van, még egy negyedet. Ezután az összes almát kiosztják, és minden fiú kap egy fél és egy negyed almát. De mivel minden fele 2 negyedet tartalmaz, így végre elmondható, hogy minden fiúnak két negyede és plusz egy negyede lesz, azaz összesen háromnegyed (3/4) alma.

80. § A törtek méretbeli összehasonlítása.

Ha bármilyen mennyiséget összehasonlítunk egymással, például két szegmenst, akkor kiderülhet, hogy az egyik pontosan egyenlő a másikkal, vagy nagyobb, mint a másik, vagy kisebb, mint a másik.

A 12. ábrán az AB szegmens egyenlő a CD szegmenssel; az EF szegmens nagyobb, mint a QH szegmens; A KL szegmens kisebb, mint az MN szegmens.

Ugyanazzal a három esettel fogunk találkozni a törtek összehasonlításakor. Próbáljunk meg néhány törtet összehasonlítani egymással.

1. Két törtet egyenlőnek tekintünk, ha az ezeknek a törtrészeknek megfelelő mennyiségek egyenlőek egymással (azonos mértékegységgel). Vegyük az SC szegmenst, és vegyük egységnek.

Az SK szakaszt a D ponttal kettéosztjuk (13. ábra). Ezután ennek a CD szegmensnek a részét az 1/2 törttel jelöljük. Ha ugyanazt az SK szegmenst 4 egyenlő részre osztjuk, akkor a CD szegmens 2/4 törtként lesz kifejezve; ha az SK szakaszt 8 egyenlő részre osztjuk, akkor a CD szegmens a 4/8 törtnek felel meg. Mivel ugyanazt a szakaszt háromszor vettük fel, az 1/2, 2/4 és 4/8 törtek egyenlőek egymással.

2. Vegyünk két tört egyenlő számlálóval: 1/4 és 1/8, és nézzük meg, milyen értékek felelnek meg ezeknek. Az első esetben valamilyen értéket 4 egyenlő részre osztanak, a második esetben pedig szintén 8 egyenlő részre.

A 14. ábra azt mutatja, hogy az 1/4 nagyobb, mint az 1/8. Ezért két azonos számlálójú tört közül a nagyobb tört a kisebb nevezővel rendelkező tört.

3. Vegyünk két egyenlő nevezővel rendelkező törtet: 5/8 és 3/8. Ha az elõzõ rajzon mindegyik törtet megjelöljük, látni fogjuk, hogy az elsõ törtnek megfelelõ szakasz nagyobb, mint a másodiknak megfelelõ szakasz. Tehát két azonos nevezővel rendelkező tört közül a nagyobb tört az, amelynek a számlálója nagyobb.

4. Ha két tört különböző számlálóval és nevezővel van megadva, akkor az értékük úgy ítélhető meg, hogy mindegyiket eggyel összehasonlítjuk. Például a 2/3 kisebb, mint 4/5, mert az első tört 1/3-al, a második pedig 1/5-tel tér el az egységtől, vagyis a második tört kevesebb egységnyi, mint az első.

Az ilyen törteket azonban a legegyszerűbb úgy összehasonlítani, hogy közös nevezőre redukáljuk őket, amiről az alábbiakban lesz szó.

81. § A törtek szabályosak és nem megfelelőek. Vegyes számok.

Vegyük két lineáris egységgel egyenlő AB szakaszt (15. ábra). Minden egységet 10 egyenlő részre osztunk, majd mindegyik rész 1/10 lesz, azaz.

AD = DE = EF = FH = ... = 1/10 AC.

Tekintsen más szegmenseket, és gondolja át, hogy milyen törtekben fejeződnek ki. Például AF - 3/10, AK - 5/10, AM - 7/10; AO-9/10, AS-10/10, AR-11/10, AR-13/10. Az összes tört számot 10-es nevezővel fejeztük ki. Az első négy tört (3/10, 5/10, 7/10; 9/10) számlálója kisebb, mint a nevező, mindegyik kisebb, mint 1.

Az ötödik tört (10 / 10) számlálója megegyezik a nevezővel, maga a tört pedig 1, az AC szegmensnek felel meg, egységnek vesszük.

Az utolsó két tört (11/10, 13/10) számlálói nagyobbak, mint a nevezők, és minden tört nagyobb 1-nél.

Azt a törtet, amelynek a számlálója kisebb, mint a nevező, megfelelő törtnek nevezzük. Ahogy fentebb említettük, a megfelelő tört kisebb egynél. Ez azt jelenti, hogy az első négy tört helyes, ezért ezt írhatjuk: 3/10<1, 5 / 10 <1, 7 / 10 <1, 9 / 10 <1.

Azt a törtet, amelynek a számlálója egyenlő vagy nagyobb, mint a nevező, helytelen törtnek nevezzük. Így egy helytelen tört egyenlő eggyel, vagy nagyobb annál. Tehát az utolsó három tört helytelen, és ezt írhatja:

10 / 10 =1 ; 11 / 10 >1 ; 13 / 10 >1 ;

Koncentráljunk az utolsó két (nem megfelelő) törtre. A 11/10 tört egy egész egységből és a helyes tört 1/10-ből áll, ami azt jelenti, hogy így írható: 1 1/10. Az eredmény egy olyan szám, amely egy egész szám és egy megfelelő tört kombinációja, azaz egy vegyes szám. Ugyanez megismételhető a 13/10 nem megfelelő tört esetében is. Képviselhetjük 1 3/10-ként. Ez is vegyes szám lesz.

Meg kell tanulnia, hogyan cserélje ki a helytelen törtet vegyes számmal. Az előző két helytelen törtet könnyedén helyettesítettük vegyes számokkal. De ha találkoztunk egy törttel, például 545/32-vel, akkor abból nehezebb kivonni az egész részt, és az egész rész kinyerése nélkül nehéz megítélni ennek a számnak az értékét.

Másrészt, amikor különféle számításokat végez, néha kényelmesebb nem vegyes számokat, hanem helytelen törteket használni. Ez azt jelenti, hogy szükség esetén el kell tudni végezni az inverz transzformációt, vagyis a kevert számot helytelen törtre cserélni.

82. § Nem megfelelő tört vegyes számmá alakítása és inverz átalakítása.

Vegyünk egy helytelen tört 9/4-et, és próbáljuk meg egy vegyes számmal helyettesíteni. A következőképpen érvelünk: ha egy egység 4 negyedet tartalmaz, akkor 9 negyed annyi egész egységet tartalmaz, ahányszor 4 negyed van 9 negyedben. A kérdés megválaszolásához elegendő 9-et elosztani 4-gyel. A kapott hányados az egész számok számát, a maradék pedig azoknak a negyedeknek a számát adja meg, amelyek nem alkotnak egész egységet. A 4-et kétszer tartalmazza a 9, 1-es maradékkal. Tehát 9 / 4 = 2 1 / 4, mivel 9: 4 = 2 és 1 a maradékban.

A fent említett 545/32 nem megfelelő törtet alakítsuk vegyes számmá.

545; 32 \u003d 17 és 1 a maradékban, tehát 545 / 32 \u003d 17 1 / 32.

Egy helytelen tört vegyes számmá alakításához el kell osztania a tört számlálóját a nevezővel, és meg kell találnia a maradékot; a hányados az egész egységek számát mutatja, a maradék pedig az egység töredékeinek számát.

Mivel egy helytelen tört vegyes számmá alakításával minden alkalommal egy egész részt választunk ki, ezt a transzformációt általában egy egész szám nem megfelelő törtből való eltávolításának nevezzük.

Tekintsük azt az esetet, amikor egy helytelen tört egyenlő egy egész számmal. Legyen kötelező egy egész szám kizárása a helytelenből

törtek 36/12 A szabály szerint 36-ot kapunk: 12 = 3 és 0 a maradékban, azaz a számlálót maradék nélkül osztjuk el a nevezővel, ami 36/12 = 3-at jelent.

Térjünk most át az inverz transzformációra, azaz egy vegyes szám helytelen törtté alakítására.

Vegyük a 3 3/4 vegyes számot, és alakítsuk nem megfelelő törtté. Indokljunk így: minden teljes egység 4 negyedet tartalmaz, 3 egység pedig háromszor több negyedet, azaz 4 x 3 = 12 negyedet. Ez azt jelenti, hogy 3 egész egység 12 negyedet tartalmaz, és a vegyes szám törtrészében is van 3 negyed, és összesen 15 negyed lesz, vagyis 15/4. Ezért 3 3/4 = 15/4.

Példa. A 8 4/9 vegyes szám átalakítása nem megfelelő törtté:

Ahhoz, hogy egy vegyes számot nem megfelelő törtté alakítsunk, meg kell szorozni a nevezőt egy egész számmal, hozzá kell adni a számlálót a kapott szorzathoz, és ezt az összeget kell megadni a szükséges tört számlálójává, és a nevezőt meg kell hagyni.

83. § Egész szám átalakítása nem megfelelő törtté.

Bármely egész szám kifejezhető az egy tetszőleges számú törtjével. Ez néha hasznos a számításoknál. Legyen például az 5-ös szám egység hatodában kifejezve.

A következőképpen vitatkozunk: mivel egy egységben hat hatod van, akkor ezekből a részvényekből 5 egységben nem hat, hanem ötször több lesz, azaz 6 x 5 = 30 hatod. Az akció a következőképpen van elrendezve:

Ugyanígy tetszőleges nevezővel tetszőleges egész számot alakíthatunk helytelen törtté. Vegyük a 10-es számot, és ábrázoljuk helytelen törtként különböző nevezőkkel:

akkor a nevező 2

nevező 3, akkor

nevező 5, akkor

Így ahhoz, hogy egy egész számot nem megfelelő törtként fejezzünk ki adott nevezővel, meg kell szorozni ezt a nevezőt egy adott számmal, a kapott szorzatot számlálóvá kell tenni, és ezt a nevezőt alá kell írni.

A legkisebb lehetséges nevező egy (1). Ezért amikor egy egész számot törtként akarnak ábrázolni, gyakran egyet vesznek nevezőnek (l2 = 12 / 1). Ezt a gondolatot néha a következőképpen fejezik ki: bármely egész szám egy eggyel egyenlő nevezővel rendelkező törtnek tekinthető (2 = 2 / 1; 3 = 3 / 1; 4 = 4 / 1; 5 = 5 / 1 stb.). )

84. § Tört értékének változása tagjainak változásával.

Ebben a részben megvizsgáljuk, hogyan változik egy tört értéke, ha tagjai megváltoznak.

1. kérdés. Mi történik a tört értékével ahogy a számlálója növekszik többször? Vegyük az 1/12 törtet, és fokozatosan növeljük a számlálóját kétszer, három, négy stb. Ezután a következő törteket kapja:

Ha elkezdjük összehasonlítani ezeket a törteket egymással, látni fogjuk, hogy fokozatosan növekednek: a második tört kétszer akkora, mint az első, mert kétszer annyi része van, a harmadik tört háromszor akkora, mint az első, stb.

Ebből arra következtethetünk: Ha egy tört számlálóját többször megnöveljük, akkor a tört ugyanannyival növekszik.

2. kérdés. Mi történik a tört értékével, amikor csökkentve a számlálóját többször? Vegyük a 24/25 törtet, és fokozatosan csökkentjük a számlálóját kétszer, háromszor, négyszer, stb. Ekkor a következő törteket kapjuk:

Nézze meg ezeket a törteket egyenként balról jobbra, és látni fogja, hogy a második tört (12/25) fele az első 24/25-nek, mert benne van a részek fele, vagyis a számláló fele; a negyedik tört 6/25 négyszer kisebb, mint az első és fele a második.

Eszközök, Ha egy tört számlálóját többször csökkentjük, akkor a tört ugyanannyival csökken.

3. kérdés. Mi történik a tört értékével, amikor növeli a nevezőjét többször? Erre a kérdésre úgy válaszolhatunk, hogy veszünk valamilyen törtet, például 1/2-t, és a nevezőjét a számláló megváltoztatása nélkül növeljük. Duplázzuk meg a nevezőt, háromszorozzuk meg stb., és nézzük meg, mi történik a törttel:

Fokozatosan növelve a nevezőt, végül 100-ra hoztuk. A nevező elég nagy lett, de a részesedés értéke nagyon lecsökkent, egyenlő lett egy századdal. Ebből világosan látszik, hogy a tört nevezőjének növekedése elkerülhetetlenül magának a törtnek a csökkenéséhez vezet.

Eszközök, Ha egy tört nevezőjét többször megnöveljük, akkor a tört ugyanannyival csökken.

4. kérdés. Mi történik egy tört értékével, ha a nevezőjét megszorozzuk? Fogjuk azokat a törteket, amelyeket nemrég írtunk, és átírjuk őket a végétől; akkor az első törtünk lesz a legkisebb, és az utolsó a legnagyobb, de az elsőnek lesz a legnagyobb nevezője, és az utolsó törtnek lesz a legkisebb nevezője:

Könnyű arra következtetni: Ha egy tört nevezőjét 1-szeresére csökkentjük, akkor a tört ugyanennyivel nő.

5. kérdés. Mi történik egy törttel, ha a számláló és a nevező is azonos mértékben nő vagy csökken?

Vegyük az 1/2 törtet, és szekvenciálisan és egyidejűleg növeljük a számlálóját és a nevezőjét. A tört mellé néha egy tényezőt tesznek, amellyel az első tört tagjait megszorozzák:

Hat törtet írtunk, megjelenésükben különböznek, de könnyen kitalálható, hogy mind egyforma méretű. Valójában legalább az első törtet hasonlítsuk össze a másodikkal. Az első tört 1/2; ha megduplázzuk a számlálóját, akkor a tört megduplázódik, de ha azonnal megduplázzuk a nevezőjét, akkor a felére csökken, vagyis változatlan marad. Tehát 1/2 = 2/4. Ugyanez az érvelés megismételhető más törteknél is.

Következtetés: ha egy tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal szorozzuk(ugyanannyiszor növelje), a tört értéke nem változik.

Ezt a tulajdonságot általános formában írjuk le. Jelöljük a törtet -vel a / b , az a szám, amellyel a számlálót és a nevezőt megszorozzuk - a betűvel t ; akkor a megadott tulajdonság egyenlőség formáját ölti:

Továbbra is mérlegelni kell a számláló és a nevező egyidejű, ugyanannyiszori csökkentésének kérdését. Írjunk egymás után több törtet, ahol az első helyen egy 36/48-as tört lesz, az utolsóban pedig a 3/4:

Mindegyik egyenlő lesz egymással, amit tetszőleges két szomszédos tört összehasonlításával találhatunk meg, például az első tört számlálóját felezve (36), a törtet kétszeresére csökkentjük, de a nevezőjét (48) megfelezzük. , a törtet 2-szeresére növeljük, azaz ennek hatására változatlanul hagyjuk.

Következtetés: ha egy tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal osztjuk (ugyanannyiszor csökkentjük), akkor a tört értéke nem változik:

Az utolsó két következtetés lényege, hogy a számláló és a nevező egyidejű, ugyanannyiszori növelésével vagy csökkentésével a tört értéke nem változik.

A törtnek ez a figyelemre méltó tulajdonsága nagy jelentőséggel bír majd a következőkben, ezért nevezzük tört alaptulajdonsága.

85. § Törtszámok csökkentése.

Vegyük az AB szakaszt (16. ábra), és osszuk fel 20 egyenlő részre, akkor ezek a részek mindegyike egyenlő lesz 1/20-dal; A 15 ilyen részt tartalmazó AC szegmenst egy 15/20 tört képviseli.

Most próbáljuk meg nagyítani a megosztásokat, például a szegmenst nem 20 részre osztjuk, hanem 4 egyenlő részre. Az új részvények nagyobbnak bizonyultak, mint a korábbiak, mivel minden új részvény 5 korábbi részvényt tartalmaz, ami jól látható a rajzon. Most gondoljuk át, hogy az AC szegmens mit jelent az új zúzásnál, ami az első zúzásnál az AB szakasz 15/20-a volt. A rajzból látható, hogy ha az AB szakaszt 4 részre osztjuk, akkor az AC szakasz az AB szakasz 3/4-ével egyenlő.

Tehát az AC szegmens attól függően, hogy hány részre van felosztva az AB szegmens, 15/20 törttel és 3/4 törttel is ábrázolható. Nagyságrendileg ez ugyanaz a tört, mert ugyanazt a szegmenst méri azonos mértékegységekkel. Tehát a 15/20 tört helyett használhatjuk a 3/4-et és fordítva.

Felmerül a kérdés, melyik törtet kényelmesebb használni? Kényelmesebb a második tört használata, mert annak számlálója és nevezője kisebb számokban van kifejezve, mint az első, és ebben az értelemben egyszerűbb.

Az érvelés során kiderült, hogy egy érték (AC szegmens) két törtben van kifejezve, amelyek megjelenése eltérő, de értékük megegyezik (15/20, 3/4) Nyilvánvalóan nem lehet két ilyen tört. , de megszámlálhatatlan készlet. A tört alaptulajdonsága alapján e törtek közül az elsőt olyan alakra hozhatjuk, hogy a számláló és a nevező legyen a legkisebb. Valójában, ha a 15/20 tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk 5-tel, akkor ez 3/4 lesz, azaz 15/20 = 3/4.

Ez a transzformáció (a számláló és a nevező egyidejű redukálása ugyanannyiszor), amely lehetővé teszi, hogy nagy számlálóval és nevezővel rendelkező törtet kapjunk a nagy számlálójú és nevezőjű, de kisebb tagokkal azonos méretű törtből. törtek redukciójának nevezzük.

Ezért egy tört redukciója egy másik, vele azonos törttel való helyettesítése kisebb tagokkal, úgy, hogy a számlálót és a nevezőt elosztjuk azonos számmal.

Lecsökkentettük a 15/20-as törtet, és eljutottunk a 3/4-hez, ami már nem redukálható, mert a 3-as és 4-es tagjának nincs közös osztója (egy kivételével). Az ilyen tört úgynevezett nem csökkenthető. A törtek csökkentésének két módja van. Az első módszer az, hogy a törtet fokozatosan csökkentjük, és nem azonnal, azaz az első redukció után ismét egy redukálható törtet kapunk, amelyet aztán újra redukálunk, és ez a folyamat hosszadalmas lehet, ha a számlálót és a nevezőt nagy számban fejezzük ki. és sok közös elválasztójuk van.

Vegyük a 60/120-as törtet és csökkentsük szekvenciálisan, először 2-vel, 60/120 = 30/60-at kapunk Az új tört (30/60) 2-vel is csökkenthető, 30/60 = 15/30-at kapunk. Az új tört 15/30 tagjainak közös osztói vannak, így ezt a törtet 3-mal csökkentheti, így 15/30 = 5/10 lesz. Végül az utolsó tört 5-tel csökkenthető, azaz 5/10 = 1/2. Ez a törtek egymást követő redukciója.

Könnyen kitalálható, hogy ezt a törtet (60 / 120) azonnal le lehetne csökkenteni 60-al, és ugyanazt az eredményt kapnánk. Mennyi a 60 a 60 és 120 számokhoz? Legnagyobb közös osztó. Ez azt jelenti, hogy egy törtnek a tagok legnagyobb közös osztójával való csökkentése lehetővé teszi, hogy azonnal redukálhatatlan törtté alakítsuk, megkerülve a közbenső osztásokat. Ez a frakciók csökkentésének második módja.

86. § Törtek csökkentése a legkisebb közös nevezőre.

Vegyünk néhány törtet:

Ha elkezdjük összehasonlítani az első törtet a másodikkal (1/2 és 1/3), akkor némi nehézséget fogunk érezni. Természetesen megértjük, hogy a fele több, mint egyharmad, hiszen az első esetben az érték két egyenlő részre, a második esetben három egyenlő részre oszlik; de mi a különbség köztük, arra még nehéz válaszolni. Másik dolog a második és a harmadik (1/3 és 2/3), ezeket könnyű összehasonlítani, hiszen azonnal látható, hogy a második tört egyharmaddal kisebb, mint a harmadik. Könnyen érthető, hogy azokban az esetekben, amikor azonos nevezőjű törteket hasonlítunk össze, nincs nehézség, ugyanazokban az esetekben, amikor az összehasonlított törtek nevezője eltérő, némi kellemetlenség adódik. Ellenőrizze ezt a tört többi adatának összehasonlításával.

Felmerül tehát a kérdés: lehetséges-e két tört összehasonlításakor biztosítani, hogy a nevezők azonosak legyenek? Ezt megtehetjük egy tört alaptulajdonsága alapján, vagyis ha többször növeljük a nevezőt, akkor ahhoz, hogy a tört értéke ne változzon, a számlálóját ugyanennyivel kell növelni.

Így a különböző nevezőjű törteket közös nevezőre tudjuk redukálni.

Ha néhány törtet közös nevezőre szeretne redukálni, akkor először meg kell találnia egy számot, amely osztható lenne ezen törtek mindegyikének nevezőjével. Ezért a törtek közös nevezőre való redukálásának első lépése az a legkisebb közös többszörös megtalálása adott nevezőkre. A legkisebb közös többszörös megtalálása után, minden nevezővel elosztva, minden törtre meg kell kapni az ún. további szorzó. Ezek olyan számok lesznek, amelyek azt mutatják, hogy az egyes törtek számlálóját és nevezőjét hányszor kell növelni, hogy a nevezőik egyenlővé váljanak. Vegye figyelembe a példákat.

1. Csökkentsük a 7/30 és 8/15 törteket közös nevezőre. Keresse meg a 30 és 15 nevezők legkisebb közös többszörösét. Ebben az esetben ez lesz az első tört nevezője, azaz 30. Ez lesz a 7/30 és 8/15 törtek legkisebb közös nevezője. Most keressünk további tényezőket: 30: 30 = 1, 30: 15 = 2. Tehát az első törtnél a további tényező 1 lesz, a másodiké pedig 2. Az első tört változatlan marad. A második tört tagját megszorozva egy további tényezővel, a 30-as nevezőre hozzuk:

2. Hozzunk három törtet közös nevezőre: 7/30, 11/60 és 3/70.

Keressük meg a 30, 60 és 70 nevezők legkisebb közös többszörösét:

A legkisebb közös többszörös 2 2 3 5 7 = 420 lesz.

Ez lesz ezeknek a törteknek a legkisebb közös nevezője.

Most keressünk további tényezőket: 420: 30 = 14; 420:60 = 7; 420: 70 = 6. Tehát az első törtnél a járulékos tényező 14, a másodiké 7, a harmadiké pedig 6 lesz. A törtek tagjait megszorozva a megfelelő további tényezőkkel, egyenlő nevezőjű törteket kapunk:

3. Csökkentsük a törtet közös nevezőre: 8/25 és 5/12. Ezen törtek (25 és 12) nevezői másodprím számok. Ezért szorzásukból a legkisebb közös többszöröst kapjuk: 25 x 12 \u003d 300. Az első tört további tényezője 12, a másodiké pedig 25. Ezek a törtek a következő formában lesznek:

Ha a törteket a legkisebb közös nevezőre szeretné csökkenteni, először meg kell találnia az összes nevező legkisebb közös többszörösét, és meg kell határoznia egy további tényezőt minden nevezőhöz, majd meg kell szoroznia az egyes törtek mindkét tagját a megfelelő további tényezővel.

Miután megtanultuk, hogyan lehet a törteket közös nevezőre redukálni, a törtek méret szerinti összehasonlítása többé nem okoz nehézséget. Most össze tudjuk hasonlítani bármely két tört értékét, először közös nevezőre hozva őket.

Sokféle szám létezik, az egyik az egész szám. Az egész számok azért jelentek meg, hogy ne csak pozitív, hanem negatív irányba is lehessen számolni.

Vegyünk egy példát:
Napközben 3 fok volt kint. Estére 3 fokkal csökkent a hőmérséklet.
3-3=0
Kint 0 fok volt. És éjszaka a hőmérséklet 4 fokkal csökkent, és -4 fokot kezdett mutatni a hőmérő.
0-4=-4

Egész számok sorozata.

Természetes számokkal nem írhatunk le ilyen problémát, ezt egy koordinátaegyenesen fogjuk megvizsgálni.

Van egy számsorunk:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Ezt a számsort nevezzük egész számok mellé.

Egész pozitív számok. Egész negatív számok.

Az egész számok sorozata pozitív és negatív számokból áll. A nullától jobbra vannak a természetes számok, vagy hívják őket egész pozitív számok. És a nullától balra menj egész negatív számok.

A nulla nem pozitív és nem negatív. Ez a határ a pozitív és a negatív számok között.

természetes számokból, negatív egész számokból és nullából álló számok halmaza.

Egész számok sorozata pozitív és negatív irányban az végtelen sokaság.

Ha bármilyen két egész számot veszünk, akkor az ezen egész számok közötti számokat hívjuk meg végkészlet.

Például:
Vegyünk egész számokat -2-től 4-ig. Az ezen számok közötti összes szám benne van a véges halmazban. A véges számkészletünk így néz ki:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

A természetes számokat a latin N betű jelöli.
Az egész számokat a latin Z betű jelöli. A természetes számok és egész számok teljes halmaza ábrázolható az ábrán.


Nem pozitív egész számok más szóval, ezek negatív egész számok.
Nem negatív egész számok pozitív egész számok.

Nak nek egész számok tartalmazzák a természetes számokat, a nullát és a természetes számokkal ellentétes számokat.

Egész számok pozitív egész számok.

Például: 1, 3, 7, 19, 23 stb. Ilyen számokat használunk a számoláshoz (5 alma van az asztalon, az autó 4 kerekes, stb.)

Latin betű \mathbb(N) - jelölve természetes számok halmaza.

A természetes számok nem tartalmazhatnak negatívat (egy széknek nem lehet negatív lábaszáma) és törtszámokat (Iván nem tudott eladni 3,5 kerékpárt).

A természetes számokkal ellentétes számok negatív egészek: -8, -148, -981, ....

Aritmetikai műveletek egész számokkal

Mit lehet csinálni egész számokkal? Egymásból szorozhatók, összeadhatók és kivonhatók. Elemezzük az egyes műveleteket egy konkrét példán.

Egész számok összeadása

Két azonos előjelű egész szám összeadódik a következőképpen: ezeknek a számoknak a moduljait összeadjuk, és a kapott összeget megelőzi a végső előjel:

(+11) + (+9) = +20

Egész számok kivonása

Két különböző előjelű egész számot adunk hozzá a következőképpen: a kisebb szám modulusát kivonjuk a nagyobb szám modulusából, és a válasz elé kerül a nagyobb modulusszám előjele:

(-7) + (+8) = +1

Egész szám szorzás

Egy egész szám egy másikkal való szorzásához meg kell szorozni ezeknek a számoknak a moduljait, és a „+” jelet kell a kapott válasz elé tenni, ha az eredeti számok azonos előjelűek voltak, és a „-” jelet, ha az eredeti számok voltak. különböző jelzésekkel:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Emlékeznie kell a következőkre egész számszorzási szabály:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Van egy szabály több egész szám szorzására. Emlékezzünk rá:

A szorzat előjele „+” lesz, ha a negatív előjelű tényezők száma páros, és „-”, ha a negatív előjelű tényezők száma páratlan.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Egész számok felosztása

Két egész szám felosztása a következőképpen történik: az egyik szám modulusát elosztjuk a másik modulusával, és ha a számok előjele megegyezik, akkor a kapott hányados elé egy „+” jel kerül. , és ha az eredeti számok előjele eltérő, akkor a „−” jel kerül elhelyezésre.

(-25) : (+5) = -5

Egész számok összeadásának és szorzásának tulajdonságai

Elemezzük az összeadás és szorzás alapvető tulajdonságait tetszőleges a , b és c egész számokra:

1. a + b = b + a - összeadás kommutatív tulajdonsága;
2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - az összeadás asszociatív tulajdonsága;
3. a \cdot b = b \cdot a - a szorzás kommutatív tulajdonsága;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- a szorzás asszociatív tulajdonságai;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c a szorzás elosztó tulajdonsága.

Első szint

Legnagyobb közös többszörös és legkisebb közös osztó. Oszthatósági kritériumok és csoportosítási módszerek (2019)

Ahhoz, hogy SOKKAL leegyszerűsítsd az életedet, ha valamit ki kell számolnod, értékes időt nyerhetsz az OGE-n vagy a USE-n, hogy kevesebb hülyeséget véts – olvasd el ezt a részt!

A következőket tanulhatja meg:

• hogyan lehet gyorsabban, könnyebben és pontosabban számolniszámok csoportosításaösszeadáskor és kivonáskor,
• hogyan lehet gyorsan szorozni és osztani hiba nélkül szorzási szabályok és oszthatósági kritériumok,
• segítségével jelentősen felgyorsíthatja a számításokat legkisebb közös többszörös(NOC) és legnagyobb közös osztó(GCD).

A szekció technikáinak birtoklása egy vagy másik irányba billentheti a mérleget... akár bekerülsz álmaid egyetemére, akár nem, neked vagy szüleidnek sok pénzt kell fizetnie az oktatásért, vagy bekerülsz a költségvetésbe .

Merüljünk bele... (Menjünk!)

Fontos jegyzet!Ha képletek helyett halandzsát lát, törölje a gyorsítótárat. Ehhez nyomja meg a CTRL+F5 (Windows rendszeren) vagy a billentyűkombinációt Cmd+R (Mac rendszeren)

Sok egész számok 3 részből áll:

1. egész számok(az alábbiakban részletesebben foglalkozunk velük);
2. a természetes számokkal ellentétes számok(minden a helyére kerül, amint megtudja, mik a természetes számok);
3. nulla - " " (hol nélküle?)

Z betű.

Egész számok

„Isten teremtette a természetes számokat, minden más emberi kéz munkája” (c) Kronecker német matematikus.

A természetes számok a számok, amelyeket az objektumok számlálására használunk, és ezen alapul az előfordulásuk története - a nyilak, bőrök stb. megszámlálásának szükségessége.

1, 2, 3, 4...n

N betű.

Ennek megfelelően ez a meghatározás nem tartalmazza (nem tudod megszámolni, ami nincs?), és még inkább nem tartalmazza a negatív értékeket (van alma?).

Ráadásul az összes törtszámot nem tartalmazza (nem mondhatjuk azt sem, hogy "laptopom van", vagy "autót adtam el")

Bármi természetes szám 10 számjegyből írható:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Tehát a 14 nem szám. Ez egy szám. Milyen számokból áll? Így van, számokból ill.

Kiegészítés. Csoportosítás hozzáadásakor a gyorsabb számlálás és a kevesebb hiba érdekében

Milyen érdekes dolgokat tud elmondani erről az eljárásról? Természetesen most azt válaszolja, hogy "az összeg értéke nem változik a feltételek átrendezésétől". Úgy tűnik, hogy az első osztályból ismert primitív szabály, de a nagy példák megoldásakor azt azonnal feledésbe merült!

Ne feledkezz meg rólahasználja a csoportosítást, annak érdekében, hogy megkönnyítse a számolás folyamatát és csökkentse a hibák valószínűségét, mert nem lesz számológépe a vizsgához.

Nézze meg saját szemével, melyik kifejezést egyszerűbb hozzáadni?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Természetesen a második! Bár az eredmény ugyanaz. De! A második módot figyelembe véve kisebb az esélye a hibázásra, és mindent gyorsabban megtesz!

Tehát a fejedben így gondolkodsz:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Kivonás. Csoportosítás kivonáskor a gyorsabb számlálás és a kevesebb hiba érdekében

Kivonáskor csoportosíthatjuk a kivont számokat is, pl.

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Mi van akkor, ha a példában a kivonást összeadjuk? Csoportosíthatsz is, válaszolsz, és jogosan. Csak kérem, ne feledkezzen meg a számok előtti jelekről, például: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Ne feledje: a helytelenül elhelyezett táblák hibás eredményhez vezetnek.

Szorzás. Hogyan szaporodj gondolatban

Nyilvánvaló, hogy a termék értéke a tényezők helyének változásától sem fog változni:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Nem azt mondom, hogy „használd ezt a problémamegoldásnál” (magad értetted a tippet, igaz?), hanem inkább azt, hogyan szorozhatsz be gyorsan néhány számot a fejedben. Tehát figyelmesen nézze meg a táblázatot:

És még egy kicsit a szorzásról. Természetesen emlékszel két különleges alkalomra… Találd ki, mire gondolok? Itt van róla:

Ó, igen, nézzük meg az oszthatóság jelei. Összesen 7 szabály van az oszthatóság jeleire, amelyek közül az első 3-at már biztosan tudod!

De a többit egyáltalán nem nehéz megjegyezni.

A számok oszthatóságának 7 jele, amely segít gyorsan fejben számolni!

• Természetesen ismeri az első három szabályt.
• A negyedik és az ötödik könnyen megjegyezhető - az osztással és megnézzük, hogy a számot alkotó számjegyek összege osztható-e ezzel.
• Osztáskor a szám utolsó két számjegyére figyelünk – osztható-e az általuk alkotott szám?
• Ha egy számmal osztunk, akkor oszthatónak kell lennie számmal és -vel is. Ez minden bölcsesség.

Arra gondolsz most, hogy "miért kell nekem ez az egész"?

Először is a vizsga számológép nélkülés ezek a szabályok segítenek eligazodni a példákban.

Másodszor pedig hallottad a feladatokat kb GCDés NEM C? Ismerős rövidítés? Kezdjünk el emlékezni és megérteni.

Legnagyobb közös osztó (gcd) - a törtek csökkentéséhez és a gyors számításokhoz szükséges

Tegyük fel, hogy két számod van: és. Melyik a legnagyobb szám, amely osztható mindkét számmal? Habozás nélkül válaszolsz, mert tudod, hogy:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Mely számok gyakoriak a bővítésben? Így van, 2 * 2 = 4. Ez volt a válaszod. Ezt az egyszerű példát szem előtt tartva nem felejti el a keresés algoritmusát GCD. Próbáld meg "felépíteni" a fejedben. Megtörtént?

A NOD megtalálásához szüksége lesz:

1. Bontsa fel a számokat prímtényezőkre (olyan számokra, amelyek nem oszthatók mással, mint önmagával, vagy például 3-mal, 7-tel, 11-gyel, 13-mal stb.).
2. Szaporítsd meg őket.

Érted, miért volt szükségünk az oszthatóság jeleire? Úgy, hogy megnézi a számot, és elkezdheti az osztást maradék nélkül.

Például keressük meg a 290 és 485 számok GCD-jét

Első szám - .

Ha ránézünk, azonnal megállapítható, hogy mivel osztható, írjuk:

nem oszthatod másra, de igen - és kapjuk:

290 = 29 * 5 * 2

Vegyünk egy másik számot - 485.

Az oszthatóság jelei szerint oszthatónak kell lennie maradék nélkül, mivel így végződik. Mi megosztjuk:

Elemezzük az eredeti számot.

• Nem osztható ezzel (az utolsó számjegy páratlan),
• - nem osztható vele, így a szám sem osztható vele,
• szintén nem osztható és -vel (a szám számjegyeinek összege nem osztható -vel és -vel)
• szintén nem osztható, mert nem osztható és
• szintén nem osztható és-el, mivel nem osztható és-el.
• nem lehet teljesen felosztani

Tehát a szám csak és-re bontható.

És most keressük meg GCD ezek a számok (és). Mi ez a szám? Helyesen,.

Gyakoroljunk?

1. számú feladat. Keresse meg a 6240 és 6800 számok GCD-jét

1) Azonnal osztom vele, mivel mindkét szám 100%-ban osztható:

2) Osztom a fennmaradó nagy számokkal (k), mivel maradék nélkül vannak osztva (ugyanakkor nem bontom - ez már közös osztó):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Elmegyek egyedül, és elkezdem mérlegelni a számokat és. Mindkét szám pontosan osztható -val (vége páros számjegyekkel történik (ebben az esetben adjuk meg, de osztható vele)):

4) Számokkal dolgozunk és. Vannak közös osztóik? Ez olyan egyszerű, mint az előző lépésekben, és nem is lehet megmondani, ezért csak egyszerű tényezőkre bontjuk őket:

5) Amint látjuk, igazunk volt: és nincs közös osztójuk, és most szoroznunk kell.
GCD

2. számú feladat. Keresse meg a 345 és 324 számok GCD-jét

Itt nem találok gyorsan legalább egy közös osztót, ezért csak prímtényezőkre bontom (a lehető legkevesebb):

Pontosan, GCD, és kezdetben nem ellenőriztem az oszthatósági kritériumot, és talán nem is kell annyi műveletet megtennem. De ellenőrizted, igaz? Szép munka! Amint látja, ez meglehetősen egyszerű.

Least common multiple (LCM) - időt takarít meg, segít a problémák megoldásában

Tegyük fel, hogy két számod van – és. Mi a legkisebb szám, amivel osztható nyom nélkül(azaz teljesen)? Nehéz elképzelni? Íme egy vizuális támpont az Ön számára:

Emlékszel, mit jelent a levél? Így van, csak egész számok. Tehát mi a legkisebb szám, amelyre belefér x? :

Ebben az esetben.

Ebből az egyszerű példából számos szabály következik.

Szabályok a NOC gyors megtalálásához

1. szabály: Ha két természetes szám közül az egyik osztható egy másik számmal, akkor e két szám közül a nagyobb a legkisebb közös többszörösük.

Keresse meg a következő számokat:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Természetesen könnyedén megbirkózott ezzel a feladattal, és megkapta a válaszokat -, és.

Vegye figyelembe, hogy a szabályban KÉT számról beszélünk, ha több szám van, akkor a szabály nem működik.

Például az LCM (7;14;21) nem egyenlő 21-gyel, mivel nem osztható maradék nélkül vele.

2. szabály: Ha két (vagy kettőnél több) szám másodprím, akkor a legkisebb közös többszörös egyenlő a szorzatukkal.

megtalálja NEM C a következő számokhoz:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

számoltál? Íme a válaszok - , ; .

Amint érti, nem mindig olyan egyszerű ugyanazt az x-et felvenni, ezért valamivel összetettebb számokhoz a következő algoritmus létezik:

Gyakoroljunk?

Keresse meg a legkisebb közös többszöröst – LCM (345; 234)

Bontsuk fel az egyes számokat:

Miért éppen most írtam? Emlékezz az oszthatóság jeleire: osztható vele (az utolsó számjegy páros) és a számjegyek összege osztható vele. Ennek megfelelően azonnal oszthatjuk vele, így írva.

Most a leghosszabb bővítést írjuk ki egy sorban - a másodikat:

Adjuk hozzá az első bővítésből származó számokat, amelyek nem szerepelnek abban, amit kiírtunk:

Megjegyzés: mindent kiírtunk, kivéve, mert már megvan.

Most meg kell szoroznunk ezeket a számokat!

Keresse meg saját maga a legkisebb közös többszöröst (LCM).

Milyen válaszokat kaptál?

Íme, mi történt velem:

Mennyi ideig tartott megtalálni NEM C? Az időm 2 perc, tényleg tudom egy trükk, amelyet javaslok, hogy azonnal nyissa meg!

Ha nagyon figyelmes, akkor valószínűleg észrevette, hogy a megadott számokhoz már kerestünk GCDés ebből a példából átveheti ezeknek a számoknak a faktorizálását, ezzel leegyszerűsítve a feladatot, de ez messze nem minden.

Nézze meg a képet, talán más gondolatok is eszébe jutnak:

Jól? Adok egy tippet: próbálj meg szorozni NEM Cés GCD egymás között, és írják fel az összes tényezőt, amely a szorzáskor lesz. Sikerült? A végén egy ilyen láncot kell készítenie:

Nézze meg közelebbről: hasonlítsa össze a tényezőket a hogyan és a lebontással.

Milyen következtetést vonhatsz le ebből? Helyesen! Ha az értékeket megszorozzuk NEM Cés GCD egymás között, akkor ezeknek a számoknak a szorzatát kapjuk.

Ennek megfelelően számokkal és jelentéssel bír GCD(vagy NEM C), megtaláljuk NEM C(vagy GCD) a következő módon:

1. Keresse meg a számok szorzatát:

2. A kapott terméket elosztjuk a miénkkel GCD (6240; 6800) = 80:

Ez minden.

Írjuk fel a szabályt általános formában:

Próbáld megtalálni GCD ha ismert, hogy:

Sikerült? .

Negatív számok - "hamis számok" és az emberiség általi felismerésük.

Amint már megértette, ezek a természetes számokkal ellentétes számok, azaz:

A negatív számok összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók és oszthatók – akárcsak a természetes számok. Úgy tűnik, hogy olyan különlegesek? De tény, hogy a negatív számok egészen a 19. századig „elvették” megillető helyüket a matematikában (addig nagy mennyiség vitatja, hogy léteznek-e vagy sem).

Maga a negatív szám egy olyan természetes számokkal végzett művelet miatt keletkezett, mint a "kivonás". Valóban, vonjon le ebből - ez egy negatív szám. Ezért a negatív számok halmazát gyakran "a halmaz kiterjesztésének" nevezik természetes számok».

A negatív számokat sokáig nem ismerték fel az emberek. Tehát az ókori Egyiptom, Babilon és az ókori Görögország - koruk fényei - nem ismerte fel a negatív számokat, és ha az egyenletben negatív gyökereket kaptak (például, ahogy mi is), a gyökereket lehetetlennek minősítették.

A negatív számok először Kínában, majd a 7. században Indiában kaptak létjogosultságot. Mi a véleményed erről a vallomásról? Így van, negatív számok kezdték jelölni az adósságokat (egyébként - hiányokat). Úgy gondolták, hogy a negatív számok átmeneti érték, ami ennek eredményeként pozitívra változik (vagyis a pénzt továbbra is visszaadják a hitelezőnek). Brahmagupta indiai matematikus azonban már akkor a negatív számokat egyenrangúnak tekintette a pozitívakkal.

Európában jóval később, vagyis egy évezreddel jelent meg a negatív számok hasznossága, valamint az, hogy adósságot jelölhetnek. Az első említést 1202-ben, Pisai Leonárd „Az abakusz könyvében” láthattuk (azonnal mondom, hogy a könyv szerzőjének semmi köze a pisai ferde toronyhoz, de a Fibonacci-számok az ő munkái (a Pisai Leonardo beceneve Fibonacci)). Továbbá az európaiak arra a következtetésre jutottak, hogy a negatív számok nemcsak adósságot jelenthetnek, hanem valaminek a hiányát is, azonban ezt nem mindenki ismerte fel.

Tehát a XVII. században Pascal ezt hitte. Szerinted mivel indokolta? Így van, "semmi sem lehet kevesebb, mint a SEMMI". Ezeknek az időknek a visszhangja marad az a tény, hogy a negatív számot és a kivonás műveletét ugyanaz a szimbólum jelöli - mínusz "-". És igaz: . Pozitív a " " szám, amelyet kivonunk, vagy negatív, amelyhez hozzáadunk? ... Valami a sorozatból, hogy "amelyik előbb van: a tyúk vagy a tojás?" Itt van egy ilyen matematikai filozófia.

A negatív számok az analitikus geometria megjelenésével biztosították létjogosultságukat, más szóval, amikor a matematikusok egy ilyen dolgot valós tengelyként vezettek be.

Ettől a pillanattól kezdve jött az egyenlőség. Azonban továbbra is több volt a kérdés, mint a válasz, például:

arány

Ezt az arányt Arno-paradoxonnak nevezik. Gondolj bele, mi a kétséges ebben?

Beszéljünk együtt " " több mint " ", igaz? Tehát a logika szerint az arány bal oldalának nagyobbnak kell lennie, mint a jobb oldalnak, de egyenlők... Itt van a paradoxon.

Ennek eredményeként a matematikusok egyetértettek abban, hogy Karl Gauss (igen, igen, ez az, aki a számok összegét (vagy) tekintette) 1831-ben véget vetett ennek – szerinte a negatív számoknak ugyanazok a jogai, mint a pozitívaknak, az, hogy nem mindenre vonatkoznak, semmit nem jelent, hiszen a törtek sem sok mindenre vonatkoznak (nem történik meg, hogy ásó kátyút ás, nem lehet mozijegyet venni stb.).

A matematikusok csak a 19. században nyugszanak meg, amikor William Hamilton és Hermann Grassmann megalkotta a negatív számok elméletét.

Ennyire ellentmondásosak ezek, ezek a negatív számok.

Az „üresség” megjelenése, vagy a nulla életrajza.

A matematikában egy speciális szám. Első pillantásra ez nem semmi: összeadás, kivonás - semmi sem fog változni, de csak hozzá kell rendelnie a "" jobbhoz, és a kapott szám sokszorosa lesz az eredetinek. A nullával való szorzással mindent semmivé változtatunk, de osztani nem tudunk "semmivel". Egyszóval a mágikus szám)

A nulla története hosszú és bonyolult. A nulla nyomát megtalálják a kínaiak írásaiban i.sz. 2000-ben. és még korábban a majákkal. A nulla szimbólum első használatát, ahogyan ma is, a görög csillagászok körében tapasztalták.

Számos változat létezik arra vonatkozóan, hogy miért választották ezt a „semmi” megjelölést. Egyes történészek hajlamosak azt hinni, hogy ez egy omikron, i.e. A semmit jelző görög szó első betűje az ouden. Egy másik változat szerint az „obol” szó (szinte értéktelen érme) adott életet a nulla szimbólumnak.

A nulla (vagy nulla) mint matematikai szimbólum először az indiánoknál jelenik meg (megjegyezzük, hogy ott kezdtek „fejlődni” a negatív számok). A nulla írásának első megbízható bizonyítéka 876-ból származik, és bennük a "" a szám összetevője.

A nulla is megkésve érkezett Európába - csak 1600-ban, és akárcsak a negatív számok, ellenállásba ütközött (mit tehetsz, ők európaiak).

„A nullát időtlen idők óta gyakran gyűlölték, féltették vagy akár tiltották is” – írja Charles Seif amerikai matematikus. Tehát a török ​​szultán Abdul-Hamid II a 19. század végén. megparancsolta a cenzorainak, hogy töröljék ki a H2O vízképletet az összes kémia tankönyvből, az "O" betűt nullának véve, és nem akarták, hogy kezdőbetűit rágalmazzák az aljas nullához való közelség miatt.

Az interneten megtalálható a következő mondat: „A nulla a legerősebb erő az Univerzumban, bármire képes! A nulla rendet teremt a matematikában, és káoszt is hoz benne. Teljesen korrekt álláspont :)

A szakasz összefoglalása és az alapképletek

Az egész számok halmaza 3 részből áll:

• természetes számok (az alábbiakban részletesebben foglalkozunk velük);
• a természetesekkel ellentétes számok;
• nulla - " "

Az egész számok halmazát jelöljük Z betű.

1. Természetes számok

A természetes számok azok a számok, amelyeket az objektumok számlálására használunk.

A természetes számok halmazát jelöljük N betű.

Az egész számokkal végzett műveleteknél meg kell találnia a GCD-t és az LCM-et.

Legnagyobb közös osztó (GCD)

A NOD megtalálásához szüksége lesz:

1. Bontsd fel a számokat prímtényezőkre (olyan számokra, amelyek nem oszthatók mással, mint önmagával vagy pl. stb.).
2. Írja le azokat a tényezőket, amelyek mindkét szám részét képezik!
3. Szaporítsd meg őket.

Legkevésbé közös többszörös (LCM)

A NOC megtalálásához szüksége lesz:

1. Tényezősítse a számokat prímtényezőkké (ezt már nagyon jól tudja).
2. Írja ki az egyik szám bővítésében szereplő tényezőket (jobb a leghosszabb láncot venni).
3. Adjuk hozzá a hiányzó tényezőket a fennmaradó számok bővítéséből.
4. Keresse meg a kapott tényezők szorzatát!

2. Negatív számok

Ezek olyan számok, amelyek ellentétesek a természetes számokkal, azaz:

Most hallani akarok rólad...

Remélem, értékelte ennek a résznek a rendkívül hasznos "trükkjeit", és megértette, hogyan segítenek a vizsgán.

És ami még fontosabb, az életben. Nem erről beszélek, de hidd el, ez az. A gyors és hibamentes számolás képessége sok élethelyzetben megment.

Most te jössz!

Írd, használsz majd csoportosítási módszereket, oszthatósági kritériumokat, GCD-t és LCM-et a számításoknál?

Esetleg használtad már őket? Hol és hogyan?

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben, hogy tetszett a cikk.

És sok sikert a vizsgákhoz!

A cikk tartalma

A szám fogalma a matematikában más jellegű objektumokra vonatkozhat: a számolás során használt természetes számokra (pozitív egész számok 1, 2, 3 stb.), számokra, amelyek (idealizált) mérések lehetséges eredményei (ezek olyan számok, mint pl. 2/ 3, - valós számoknak, negatív számoknak, képzeletbeli számoknak (mondjuk k) és más, a matematika magasabb szakaszaiban használt elvontabb számosztályoknak (például hiperkomplex és transzfinit számoknak) nevezik. A számot meg kell különböztetni a szimbólumától vagy az azt ábrázoló jelöléstől. Megvizsgáljuk a különböző számosztályok közötti logikai kapcsolatokat.

Az ilyen találós kérdések könnyen megfejthetők, ha figyelembe vesszük, hogy a számok különböző osztályai egészen más jelentéssel bírnak; bár van bennük annyi közös, hogy mind számoknak nevezhetők, nem szabad azt hinni, hogy mindegyikük ugyanazoknak a szabályoknak fog megfelelni.

pozitív egész számok.

Bár mindannyian tanulunk pozitív egész számokat (1, 2, 3 stb.) kora gyermekkorban, amikor eszünkbe sem jut definíciókra gondolni, ennek ellenére ezek a számok a formális logika minden szabályával meghatározhatók. Az 1-es szám szigorú meghatározása több mint egy tucat oldalt venne igénybe, és egy olyan képlet, mint az 1 + 1 = 2, ha teljes részletességgel írjuk le, mindenféle rövidítés nélkül, több kilométerre nyúlna. Azonban minden matematikai elmélet kénytelen néhány meghatározatlan fogalommal és axiómával vagy az ezekre vonatkozó posztulátummal kezdeni. Mivel a pozitív egész számok jól ismertek, és nehéz egyszerűbb módszerrel definiálni őket, ezeket tekintjük az eredeti definiálatlan fogalmaknak, és feltételezzük, hogy ezeknek a számoknak az alapvető tulajdonságai ismertek.

Negatív egész számok és nulla.

Manapság gyakoriak a negatív számok: például nulla alatti hőmérsékletek ábrázolására használják őket. Ezért meglepőnek tűnik, hogy néhány évszázaddal ezelőtt még nem volt konkrét értelmezése a negatív számoknak, és a számítások során megjelenő negatív számokat "képzetesnek" nevezték. Bár a negatív számok intuitív értelmezése önmagában is hasznos, amikor megpróbálunk megérteni olyan "szabályokat", mint például a (-4)ґ(-3) = +12, a negatív számokat pozitív számok formájában kell meghatároznunk. Ehhez olyan matematikai objektumok halmazát kell felépíteni, amelyek pontosan úgy fognak viselkedni az aritmetikában és az algebrában, ahogy az a negatív számoktól elvárható. Egy ilyen halmaz megalkotásának egyik módja, ha figyelembe vesszük a pozitív számok rendezett párjait ( a,b). A „rendezett” azt jelenti, hogy például a (2,3) pár különbözik a (3,2) pártól. Az ilyen rendezett párok a számok új osztályának tekinthetők. Most meg kell mondanunk, hogy mikor egyenlő két ilyen új szám, és mit jelent összeadásuk és szorzásuk. A definíciók kiválasztását az a vágy vezérli, hogy a pár ( a,b) különbségként működött ( a – b), amelyet eddig csak akkor határoztak meg a több b. Mivel az algebrában ( a-b) + (CD) = (a+c) – (b+d), eljutunk az új számok hozzáadásának definiálásához, mint ( a,b) + (c,d) = (a+c, b+d); mert ( a – b)ґ(c – d) = ac + bd – (bc + hirdetés), a szorzást a ( a,b)ґ(c,d) = (ac+bd, bc + hirdetés); és azóta ( a-b) = (CD), ha a + d = b + c, az új számok egyenlőségét a ( relációval definiáljuk a,b) = (c,d), ha a + d = b + c. Ily módon

A párok egyenlőségének definícióit felhasználva egyszerűbb formában is felírhatjuk a párok összegét és szorzatát:

Minden pár ( a,a) egyenlőek (a párok egyenlőségének definíciója szerint), és úgy működnek, ahogy azt a nullától várjuk. Például (2,3) + (1,1) = (3,4) = (2,3); (2.3)ґ(1.1) = (2 + 3, 2 + 3) = (5,5) = (1,1). Párok ( a,a) szimbolizálhatjuk a 0-t (amit még nem használtunk).

Párok ( a,b), ahol b több a, úgy viselkednek, ahogy a negatív számoknak kell, és jelölhetjük a ( a,b) szimbólum -( b – a). Például -4 értéke (1,5) és -3 értéke (1,4); (–4)ґ(–3) = (21,9), vagy (13,1). Szeretnénk az utolsó számot 12-nek jelölni, de ez biztosan nem azonos a 12 pozitív egész számmal, mivel ez egy pozitív egész számpárt jelöl, nem egyetlen pozitív egész számot. Hangsúlyozni kell, hogy mivel a párok ( a,b), ahol b Kevésbé a, pozitív egész számként működnek ( a – b), olyan számokat fogunk írni, mint ( a – b). Ugyanakkor el kell felejtenünk azokat a pozitív egész számokat, amelyekkel indultunk, és ezentúl csak az új számainkat használjuk, amelyeket hívni fogunk. egész számok. Az a tény, hogy egyes új számok esetében a régi neveket kívánjuk használni, nem lehet félrevezetni abban, hogy az új számok valójában más típusú objektumok.

Frakciók.

Intuitív módon a 2/3 törtre úgy gondolunk, hogy az 1-et három egyenlő részre bontjuk, és ebből kettőt veszünk. A matematikus azonban arra törekszik, hogy a lehető legkevésbé támaszkodjon az intuícióra, és a racionális számokat egyszerűbb objektumok - egész számok - alapján határozza meg. Ezt úgy lehet megtenni, hogy a 2/3-ot (2,3) egész számok rendezett párjaként kezeljük. A definíció kiegészítéséhez szükséges a törtek egyenlőségének, valamint az összeadás és szorzás szabályainak megfogalmazása. Természetesen ezeknek a szabályoknak egyenértékűnek kell lenniük az aritmetikai szabályokkal, és természetesen különbözniük kell az általunk egész számként meghatározott rendezett párokra vonatkozó szabályoktól. Íme a szabályok:

Könnyen belátható, hogy a párok ( a,1) egész számokként működnek a; Folytatva az okoskodást, ugyanúgy, mint a negatív számok esetében, 2-vel jelöljük a (2.1), vagy (4.2) törtet, vagy a (2.1) bármely más törtet. Most felejtsük el az egész számokat, és csak bizonyos törtek írásának eszközeként őrizzük meg őket.

Racionális és irracionális számok.

A törteket racionális számoknak is nevezik, mivel alakban ábrázolhatók kapcsolatokat(a lat. hányados aránya) két egész szám. De ha olyan számra van szükségünk, amelynek négyzete 2, akkor nem boldogulhatunk racionális számokkal, mert nincs olyan racionális szám, amelynek négyzete egyenlő 2-vel. Ugyanez világossá válik, ha rákérdezünk a kör kerületének és átmérőjének arányát kifejező számra. Ezért, ha meg akarjuk kapni az összes pozitív szám négyzetgyökét, akkor ki kell bővítenünk a racionális számok osztályát. Az irracionálisnak (azaz nem racionálisnak) nevezett új számok többféleképpen definiálhatók. A rendezett párok erre nem jók; az egyik legegyszerűbb módszer az irracionális számok végtelen, nem ismétlődő tizedesjegyekként történő meghatározása.

Valós számok.

A racionális és irracionális számokat együtt valós vagy valós számoknak nevezzük. Geometriailag ábrázolhatók egyenes vonalon lévő pontokkal, az egész számok között törtekkel, a törtek között pedig irracionális számokkal, amint az az ábrán látható. 1. Megmutatható, hogy a valós számok rendszerének van egy olyan tulajdonsága, amelyet "teljességnek" neveznek, ami azt jelenti, hogy az egyenes minden pontja megfelel valamilyen valós számnak.

Komplex számok.

Mivel a pozitív és negatív valós számok négyzete pozitív, a valós számok sorában nincs olyan pont, amely megfelelne egy olyan számnak, amelynek négyzete -1. De ha másodfokú egyenleteket próbálnánk megoldani, mint pl x 2 + 1 = 0, akkor úgy kellene viselkedni, mintha valami szám lenne én, amelynek négyzete -1 lenne. De mivel ilyen szám nincs, nincs más dolgunk, mint „képzetes” vagy „képzetes” számot használni. Ennek megfelelően a "szám" énés kombinációi közönséges számokkal (például 2 + 3 én) képzeletbeli néven vált ismertté. A modern matematikusok előszeretettel nevezik az ilyen számokat „összetettnek”, mert mint látni fogjuk, ezek éppoly „valósak”, mint azok, amelyekkel korábban találkoztunk. A matematikusok sokáig szabadon használták a képzeletbeli számokat, és hasznos eredményeket értek el, bár nem teljesen értették, mit csinálnak. század elejéig Eszébe sem jutott senkinek, hogy a képzeletbeli számokat explicit definíciójuk segítségével "újjáélesztje". Ehhez létre kell hoznia néhány matematikai objektumot, amelyek az algebra szempontjából kifejezésként viselkednének a+bi, ha ebben egyetértünk én 2 = -1. Az ilyen objektumok a következőképpen definiálhatók. Tekintsük új számunknak rendezett valós számpárokat, amelyek összeadását és szorzását a következő képletek határozzák meg:

Az ilyen rendezett párokat komplex számoknak nevezzük. privát űrlap párok ( a,0), amelynek második tagja nulla, valós számként viselkednek, ezért megegyezünk, hogy ugyanúgy jelöljük őket: például 2 azt jelenti, hogy (2,0). Másrészt a komplex szám (0, b) a szorzás definíciója szerint a (0, b)ґ(0,b) = (0 – b 2 , 0 + 0) = (–b 2 ,0) = –b 2. Például (0.1)ґ(0.1) esetén megtaláljuk a szorzatot (-1.0); ezért (0,1) 2 = (–1,0). Már megegyeztünk abban, hogy a komplex számot (-1.0) -1-nek írjuk, tehát ha a számot (0.1) jellel jelöljük én, akkor egy komplex számot kapunk én, oly módon, hogy én 2 = -1. Ezenkívül a komplex szám (2,3) most 2 + 3-ként írható fel én.

Fontos különbség a komplex számok e megközelítése és a hagyományos megközelítés között, hogy ebben az esetben a szám én nem tartalmaz semmi rejtélyes vagy képzeletbeli dolgot: ez valami jól meghatározott számok segítségével, amelyek már korábban is léteztek, bár természetesen egyikkel sem esik egybe. Hasonlóképpen, a 2 valós szám nem összetett, bár a 2-es szimbólumot használjuk egy komplex szám ábrázolására. Mivel a képzeletbeli számokban valójában nincs semmi „képzetes”, nem meglepő, hogy széles körben használják valós helyzetekben, például az elektrotechnikában (ahol betű helyett énáltalában a betűt használja j, mint az elektrotechnikában én- az áram aktuális értékének szimbóluma).

A komplex számok algebrája sok tekintetben hasonlít a valós számok algebrájára, bár vannak jelentős különbségek. Például a komplex számokra vonatkozó szabály nem teljesül: , ezért , while .

A komplex számok összeadása egyszerű geometriai értelmezést tesz lehetővé. Például a 2 + 3 számok összege énés 3- én van egy 5+2 szám én, amely megfelel a paralelogramma negyedik csúcsának, amelynek három csúcsa van a 0, 2 + 3 pontokban énés 3- én.

Egy pont egy síkon nem csak derékszögű (derékszögű) koordinátákkal adható meg ( x,y), hanem poláris koordinátái alapján is ( r,q) megadva a pont és az origó közötti távolságot és a szöget. Ezért a komplex szám x+iy polárkoordinátákkal is felírható (2. ábra, b). A sugárvektor hossza r egyenlő az origó és a komplex számnak megfelelő pont távolságával; nagyságrendű r komplex szám modulusának nevezzük, és a képlet határozza meg. Gyakran egy modult úgy írnak, hogy . Sarok q egy komplex szám "szögének", "argumentumának" vagy "fázisának" nevezik. Egy ilyen számnak végtelen sok szöge van, amelyek 360° többszörösével különböznek egymástól; például, én szöge 90°, 450°, -270°, ј Mivel ugyanannak a pontnak a derékszögű és poláris koordinátáit az összefüggések összefüggenek x = r kötözősaláta q, y = r bűn q, az egyenlőség x + iy = r(kötözősaláta q + én bűn q).

Ha egy z = x + iy, majd a szám x-iy komplex konjugátumának nevezzük zés n z = re iq jelöléssel. Komplex szám logaritmusa re iq definíció szerint egyenlő az ln-vel r + iq, ahol ln bázislogaritmust jelent e, a q felveszi az összes lehetséges radiánban mért értéket. Így egy komplex számnak végtelen sok logaritmusa van. Például ln (–2) = ln 2 + ip+ 2 tetszőleges egész számú többszöröse p. Általánosságban elmondható, hogy a fokok most már a reláció segítségével definiálhatók a b = e b ln a. Például, én –2én = e–2ln én. Mivel a szám argumentuma értékei én egyenlő p/2 (90° radiánban kifejezve) plusz egy egész szám többszöröse, majd a szám én –2énügy ep, e 3 p, e -p stb., amelyek mind érvényesek.

hiperkomplex számok.

A komplex számokat azért találták ki, hogy minden másodfokú egyenletet valós együtthatókkal meg lehessen oldani. Kimutatható, hogy valójában a komplex számok sokkal többet tesznek lehetővé: bevezetésükkel bármilyen fokú algebrai egyenletek megoldhatóvá válnak, még összetett együtthatókkal is. Következésképpen, ha csak az algebrai egyenletek megoldására lennénk kíváncsiak, akkor megszűnne az új számok bevezetésének szükségessége. Más célokra azonban olyan számokra van szükség, amelyek az összetettekhez hasonlóan vannak elrendezve, de több összetevőt tartalmaznak. Néha az ilyen számokat hiperkomplexnek nevezik. Ilyenek például a kvaterniók és a mátrixok.