अंक। पूर्ण संख्याएं। पूर्णांकों के गुण। सबसे बड़ा सामान्य गुणक और सबसे छोटा सामान्य भाजक। विभाज्यता मानदंड और समूहीकरण के तरीके (2019)

77. एक इकाई के भिन्नों पर।

हमने पूर्णांकों के गुणों और उन पर होने वाली क्रियाओं का अध्ययन किया। पूर्णांकों के अतिरिक्त भिन्नात्मक संख्याएँ भी होती हैं, जिनसे हम अब स्वयं परिचित होंगे। जब कोई छात्र कहता है कि उसे घर से स्कूल जाने में आधा घंटा लगता है, तो वह समय को पूरे घंटों में नहीं, बल्कि एक घंटे के कुछ हिस्सों में व्यक्त करता है। जब डॉक्टर रोगी को एक चौथाई गिलास गर्म पानी में पाउडर घोलने की सलाह देते हैं, तो पानी को पूरे गिलास में नहीं, बल्कि एक गिलास के कुछ हिस्सों में मापा जाता है। यदि एक तरबूज को तीन लड़कों में बराबर-बराबर बाँटना हो, तो उनमें से प्रत्येक को तरबूज का केवल एक तिहाई या उसका एक तिहाई ही मिल सकता है।

सभी मामलों में, हम पूरी इकाइयों के बारे में नहीं, बल्कि एक इकाई के भागों या भिन्नों के बारे में बात कर रहे थे। शेयर बहुत विविध हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक ग्राम एक किलोग्राम का हजारवां हिस्सा होता है, एक मिलीमीटर एक किलोमीटर का दस लाखवां हिस्सा होता है। पहले हम सबसे सरल शेयरों (आधा, तीसरा, तिमाही, आदि) के बारे में बात करेंगे।

अधिक स्पष्टता के लिए, हम इन शेयरों को सीधी रेखा के खंडों के रूप में चित्रित करेंगे।

यदि हम खंड AB को एक इकाई (चित्र 9) के रूप में लेते हैं, तो इसे दो समान भागों में विभाजित करते हुए, हम कह सकते हैं कि परिणामी खंड AC और CB खंड AB के आधे होंगे।

इसके अलावा, यदि हम खंड DE (चित्र। 10) को एक इकाई के रूप में लेते हैं और इसे 3 समान भागों में विभाजित करते हैं, तो प्रत्येक प्राप्त खंड DF, FH, HE खंड DE के एक तिहाई और खंड DH के बराबर होगा। खंड DE के दो तिहाई के बराबर होगा। इसी तरह, खंड FE खंड DE के दो-तिहाई के बराबर होगा।

आइए एक और खंड MN (चित्र 11) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे चार बराबर भागों में विभाजित करें; तब प्रत्येक खंड MP, PQ, QR, RN खंड MN के एक चौथाई के बराबर होगा; प्रत्येक खंड MQ, PR, QN इसके दो चौथाई के बराबर होगा, और प्रत्येक खंड MR और PN MN के तीन चौथाई के बराबर होगा।

विचार किए गए उदाहरणों में, हम आधा, एक तिहाई, एक चौथाई, दो तिहाई, दो चौथाई, तीन चौथाई, यानी या तो एक इकाई के एक हिस्से के साथ, या दो के साथ, या एक इकाई के तीन बराबर भागों से परिचित हुए। .

एक के एक या अधिक समान भागों से बनी संख्या कहलाती है गोली मारना.

हम पहले ही कह चुके हैं कि "शेयर" शब्द के बजाय आप "भाग" शब्द कह सकते हैं; इसलिए, एक भिन्न को एक इकाई के एक या अधिक समान भागों को व्यक्त करने वाली संख्या कहा जा सकता है।

इस प्रकार, इस अनुच्छेद में उल्लिखित संख्याएँ: आधा, या एक सेकंड, एक तिहाई, एक चौथाई, दो तिहाई और अन्य, भिन्न होंगी।

अक्सर न केवल वस्तुओं के कुछ हिस्सों पर विचार करना आवश्यक होता है, बल्कि उनके साथ-साथ संपूर्ण वस्तुओं पर भी विचार करना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, दो लड़के अपने पाँच सेबों को समान रूप से बाँटने का निर्णय लेते हैं। जाहिर है, उनमें से प्रत्येक पहले दो सेब लेगा, और वे शेष अंतिम सेब को दो बराबर भागों में काट लेंगे। तब प्रत्येक के पास ढाई सेब होंगे। यहां प्रत्येक लड़के के लिए सेबों की संख्या को कुछ अंश (आधे) के साथ एक पूर्ण संख्या (दो) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

वे संख्याएँ जिनमें पूर्ण संख्या और भिन्न शामिल होती हैं, कहलाती हैं मिश्रित संख्या।

78. भिन्नों की छवि।

पिछले पैराग्राफ (चित्र 11) के अंतिम चित्र पर विचार करें। हमने कहा कि खंड MR, खंड MN का तीन चौथाई है। अब प्रश्न यह उठता है कि संख्याओं का प्रयोग करके इस भिन्न, अर्थात तीन चौथाई को कैसे लिखा जा सकता है। याद कीजिए कि भिन्न तीन-चौथाई कैसे उत्पन्न हुआ। हमने खंड एमएन को एक इकाई के रूप में लिया, इसे 4 बराबर भागों में विभाजित किया और इन भागों से 3 लिया। यह एक अंश के उभरने की प्रक्रिया है जिसे इसके रिकॉर्ड में प्रतिबिंबित किया जाना चाहिए, यानी इस रिकॉर्ड से यह देखा जाना चाहिए कि इकाई को 4 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है और परिणामी भागों को 3 लिया जाता है। इस वजह से, भिन्न को एक क्षैतिज रेखा द्वारा अलग की गई दो संख्याओं का उपयोग करके दर्शाया जाता है। रेखा के नीचे एक संख्या लिखी जाती है, जो दर्शाती है कि इकाई को कितने बराबर भागों में विभाजित किया गया है, जिसमें से अंश लिया गया है, और रेखा के ऊपर एक और संख्या लिखी गई है, जिसमें दिखाया गया है कि कितने हिस्से निहित हैं

इस अंश में। तीन तिमाहियों का अंश इस प्रकार लिखा जाएगा: 3/4.

रेखा के ऊपर की संख्या कहलाती है मीटरभिन्न; यह संख्या दिए गए भिन्न में निहित भागों की संख्या को इंगित करती है।

रेखा के नीचे की संख्या कहलाती है भाजकभिन्न; यह दर्शाता है कि इकाई को कितने बराबर भागों में बांटा गया है।

3 - अंश,
_
4 भाजक है।

वह डैश जो अंश को हर से अलग करता है, भिन्नात्मक बार कहलाता है। अंश और हर दोनों सामूहिक रूप से भिन्न के पद कहलाते हैं। आइए एक उदाहरण के रूप में भिन्न लिखें:

दो तिहाई - 2/3; पांच बारहवीं - 5/12।

मिश्रित संख्याएँ इस प्रकार लिखी जाती हैं: पहले वे एक पूर्णांक लिखते हैं और उसके आगे दाईं ओर एक अंश लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, दो और चार पांचवें की मिश्रित संख्या इस प्रकार लिखी जानी चाहिए: 2 4/5.

79. भिन्नों का उद्भव।

इस प्रश्न पर विचार करें कि भिन्न कैसे और कहाँ उत्पन्न होते हैं, क्यों और किन परिस्थितियों में प्रकट होते हैं।

उदाहरण के लिए, इस तथ्य को लें। आपको ब्लैकबोर्ड की लंबाई एक मीटर से मापनी होगी। हम एक मीटर लंबा लकड़ी का शासक लेते हैं और इसे बोर्ड के निचले किनारे पर बाएं से दाएं घुमाते हुए लगाते हैं। इसे दो बार फिट होने दें, लेकिन अभी भी बोर्ड का कुछ हिस्सा ऐसा है जहां शासक तीसरी बार फिट नहीं होगा, क्योंकि शेष भाग की लंबाई शासक की लंबाई से कम है।

यदि शेष बोर्ड में, उदाहरण के लिए, आधा मीटर है, तो बोर्ड की लंबाई ढाई (2 1/2) मीटर है।

अब हम उसी रूलर से बोर्ड की चौड़ाई नापेंगे। मान लीजिए कि उसने इसे एक बार किया था, लेकिन इस एक देरी के बाद, बोर्ड का एक छोटा सा हिस्सा एक मीटर से भी कम लंबा रह गया। बोर्ड के इस हिस्से पर मीटर लगाने से मान लीजिए कि यह पता लगाना संभव था कि यह एक मीटर के एक चौथाई (1/4) के बराबर है।

तो बोर्ड की पूरी चौड़ाई 1 1/4 मीटर है।

इस प्रकार, बोर्ड की लंबाई और चौड़ाई को मापते समय, हमें संख्याएँ 2 1/2 मीटर और 1 1/4 मीटर (अर्थात, भिन्नात्मक संख्याएँ) प्राप्त हुईं।

न केवल वस्तुओं की लंबाई और चौड़ाई, बल्कि कई अन्य मात्राएँ भी अक्सर भिन्नात्मक संख्याओं में व्यक्त की जाती हैं।

हम समय को न केवल घंटों, मिनटों और सेकंडों में मापते हैं, बल्कि अक्सर एक घंटे के कुछ हिस्सों में, एक मिनट के कुछ हिस्सों में और यहां तक ​​कि एक सेकंड के कुछ हिस्सों में भी मापते हैं।

बहुत बार, भिन्नात्मक संख्याएं वजन व्यक्त करती हैं, उदाहरण के लिए, वे कहते हैं: 1/2 किग्रा, एल 1/2 किग्रा, 1/2 ग्राम, 3/4 ग्राम, 1/2 टी, आदि।

अभी तक हम मापन से भिन्नों की उत्पत्ति के बारे में बात करते रहे हैं, लेकिन भिन्नों का एक और स्रोत है - यह विभाजन की क्रिया है। चलो वहीं रुक जाते हैं। माना 3 सेबों को 4 लड़कों में बाँटना है; जाहिर है, इस मामले में, प्रत्येक लड़के को एक पूरा सेब नहीं मिलेगा, क्योंकि बच्चों की तुलना में कम सेब हैं। सबसे पहले 2 सेब लें और प्रत्येक को आधा काट लें। यह 4 हिस्सों को बदल देगा, और चूंकि चार लड़के हैं, प्रत्येक को आधा सेब दिया जा सकता है। हम शेष तीसरे सेब को 4 भागों में काटेंगे और फिर प्रत्येक लड़के को उसके पास एक और चौथाई जोड़ देंगे। फिर सभी सेब बांटे जाएंगे और प्रत्येक लड़के को एक चौथाई सेब दिया जाएगा। लेकिन चूंकि प्रत्येक आधे में 2 क्वार्टर होते हैं, अंत में यह कहा जा सकता है कि प्रत्येक लड़के के पास दो क्वार्टर और प्लस एक चौथाई होगा, यानी एक सेब का कुल तीन चौथाई (3/4)।

§ 80. आकार में भिन्नों की तुलना।

यदि हम एक दूसरे के साथ किसी भी मात्रा की तुलना करते हैं, उदाहरण के लिए, दो खंड, तो यह पता चल सकता है कि उनमें से एक दूसरे के बराबर है, या यह दूसरे से बड़ा है, या दूसरे से कम है।

चित्र 12 में, खंड AB, खंड CD के बराबर है; खंड EF खंड QH से बड़ा है; खंड केएल खंड एमएन से कम है।

भिन्नों की तुलना करते समय हम उन्हीं तीन स्थितियों से मिलेंगे। आइए कुछ भिन्नों की आपस में तुलना करने का प्रयास करें।

1. दो भिन्नों को समान माना जाता है यदि इन भिन्नों की संगत मात्राएँ एक-दूसरे के बराबर हों (माप की एक ही इकाई के साथ)। आइए खंड एससी को लें और इसे एक इकाई के रूप में लें।

हम खंड SK को बिंदु D (चित्र 13) से आधे में विभाजित करते हैं। फिर हम इस खंड सीडी के भाग को अंश 1/2 से निरूपित करेंगे। यदि हम उसी खंड SK को 4 बराबर भागों में विभाजित करते हैं, तो खंड CD को भिन्न 2/4 के रूप में व्यक्त किया जाएगा; यदि हम खंड SK को 8 बराबर भागों में विभाजित करते हैं, तो खंड CD भिन्न 4/8 के अनुरूप होगा। चूँकि हमने एक ही खंड को तीन बार लिया, भिन्न 1/2, 2/4 और 4/8 एक दूसरे के बराबर हैं।

2. आइए समान अंशों वाली दो भिन्नें लें: 1/4 और 1/8, और देखें कि उनके अनुरूप कौन-से मान हैं। पहले मामले में, कुछ मान को 4 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, और दूसरे मामले में, इसे भी 8 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है।

चित्र 14 दिखाता है कि 1/4 1/8 से बड़ा है। इसलिए, एक ही अंश के साथ दो भिन्नों में, बड़ा अंश वह होता है जिसमें छोटे भाजक होते हैं।

3. समान हर वाली दो भिन्न लें: 5/8 और 3/8। यदि हम पिछली ड्राइंग में इनमें से प्रत्येक भिन्न को चिह्नित करते हैं, तो हम देखेंगे कि पहली भिन्न का संगत खंड दूसरे के संगत खंड से बड़ा है। तो, एक ही हर के साथ दो भिन्नों में, बड़ा अंश वह होता है जिसमें बड़ा अंश होता है।

4. यदि दो भिन्न भिन्न अंशों और हरों के साथ दिए गए हैं, तो उनमें से प्रत्येक की एक के साथ तुलना करके उनके मूल्य का अनुमान लगाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 2/3 4/5 से कम है, क्योंकि पहला अंश एकता से 1/3 और दूसरा 1/5 से भिन्न है, अर्थात दूसरा अंश पहले की तुलना में एकता से कम है।

हालांकि, ऐसे भिन्नों को एक सामान्य हर से कम करके तुलना करना सबसे आसान है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी।

81. भिन्न नियमित और अनुचित हैं। मिश्रित संख्याएँ।

आइए खंड AB को दो रैखिक इकाइयों के बराबर लें (चित्र 15)। हम प्रत्येक इकाई को 10 बराबर भागों में बाँटते हैं, तो प्रत्येक भाग 1/10 के बराबर होगा, अर्थात्।

एडी = डीई = ईएफ = एफएच = ... = 1/10 एसी।

अन्य खंडों पर विचार करें और सोचें कि वे किन भिन्नों में व्यक्त किए गए हैं। उदाहरण के लिए, वायुसेना - 3/10, एके - 5/10, पूर्वाह्न - 7/10; एओ - 9/10, एएस - 10/10, एआर - 11/10, एआर - 13/10। हमने 10 के हर के साथ भिन्नात्मक संख्याओं के रूप में लिए गए सभी खंडों को व्यक्त किया। पहले चार अंशों (3/10, 5/10, 7/10; 9/10) में हर से कम अंश हैं, उनमें से प्रत्येक 1 से कम है।

पांचवें अंश (10/10) में हर के बराबर अंश होता है, और अंश स्वयं 1 के बराबर होता है, यह एक इकाई के रूप में लिया गया खंड एसी से मेल खाता है।

अंतिम दो भिन्नों (11/10, 13/10) में हर से अधिक अंश होते हैं, और प्रत्येक भिन्न 1 से बड़ा होता है।

जिस भिन्न का अंश हर से कम हो उसे उचित भिन्न कहते हैं। जैसा कि ऊपर कहा गया है, एक उचित भिन्न एक से कम है। इसका मतलब है कि पहले चार भिन्न सही हैं और इसलिए हम लिख सकते हैं: 3/10<1, 5 / 10 <1, 7 / 10 <1, 9 / 10 <1.

जिस भिन्न का अंश हर के बराबर या उससे बड़ा होता है, वह अनुपयुक्त भिन्न कहलाता है। इस प्रकार, एक अनुचित भिन्न या तो एक के बराबर या उससे बड़ी होती है। अतः अंतिम तीन भिन्न अनुचित हैं और आप लिख सकते हैं:

10 / 10 =1 ; 11 / 10 >1 ; 13 / 10 >1 ;

आइए अंतिम दो (अनुचित) भिन्नों पर ध्यान दें। भिन्न 11/10 में एक पूर्ण इकाई और सही भिन्न 1/10 है, जिसका अर्थ है कि इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: 1 1/10। परिणाम एक संख्या थी जो एक पूर्णांक और एक उचित अंश का संयोजन है, जो कि एक मिश्रित संख्या है। अनुचित भिन्न 13/10 के लिए भी यही दोहराया जा सकता है। हम इसे 1 3/10 के रूप में निरूपित कर सकते हैं। यह भी मिश्रित संख्या होगी।

आपको यह सीखने की जरूरत है कि एक मिश्रित संख्या के साथ एक अनुचित अंश को कैसे बदला जाए। हमने पिछली दो अनुचित भिन्नों को आसानी से मिश्रित संख्याओं से बदल दिया। लेकिन अगर हम एक अंश से मिले, उदाहरण के लिए 545/32, तो उसमें से पूर्णांक भाग निकालना अधिक कठिन है, और पूर्णांक भाग को निकाले बिना इस संख्या के मूल्य का न्याय करना मुश्किल है।

दूसरी ओर, विभिन्न गणना करते समय, मिश्रित संख्याओं का नहीं, बल्कि अनुचित अंशों का उपयोग करना कभी-कभी अधिक सुविधाजनक होता है। इसका मतलब यह है कि, यदि आवश्यक हो, तो आपको व्युत्क्रम परिवर्तन करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, अर्थात मिश्रित संख्या को अनुचित अंश से बदलें।

82. एक अनुचित भिन्न का मिश्रित संख्या में रूपांतरण और प्रतिलोम परिवर्तन।

आइए एक अनुचित भिन्न 9/4 लें और इसे मिश्रित संख्या से बदलने का प्रयास करें। हम इस प्रकार तर्क देंगे: यदि एक इकाई में 4 क्वार्टर होते हैं, तो 9 क्वार्टर में कई पूर्णांक इकाइयाँ समाहित होती हैं, जितनी बार 4 क्वार्टर 9 क्वार्टर में समाहित होते हैं। इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, 9 को 4 से विभाजित करना पर्याप्त है। परिणामी भागफल पूर्णांकों की संख्या को इंगित करेगा, और शेष भाग उन तिमाहियों की संख्या देगा जो एक पूरी इकाई का गठन नहीं करते हैं। 4, 9 में दो बार समाहित है 1 के शेष के साथ। तो 9 / 4 = 2 1/4, क्योंकि 9: 4 = 2 और 1 शेष में।

आइए ऊपर वर्णित अनुचित भिन्न 545/32 को मिश्रित संख्या में बदलते हैं।

545; 32 \u003d 17 और 1 शेष में, इसलिए 545/32 \u003d 17 1/32।

एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए, आपको भिन्न के अंश को हर से भाग देना होगा और शेषफल निकालना होगा; भागफल पूर्ण इकाइयों की संख्या दिखाएगा, और शेष एक इकाई के भिन्नों की संख्या दिखाएगा।

चूंकि, एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करके, हम हर बार एक पूर्णांक भाग का चयन करते हैं, इस परिवर्तन को आमतौर पर एक अनुचित अंश से पूर्णांक का विलोपन कहा जाता है।

उस स्थिति पर विचार करें जब एक अनुचित भिन्न एक पूर्णांक के बराबर हो। एक पूर्णांक को गलत से बाहर करने की आवश्यकता होने दें

भिन्न 36/12 नियम के अनुसार, हमें शेषफल में 36:12 = 3 और 0 मिलता है, अर्थात अंश को हर से बिना शेष भाग के विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ 36/12 = 3 होता है।

आइए अब हम व्युत्क्रम परिवर्तन की ओर मुड़ें, अर्थात मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने की ओर।

आइए मिश्रित संख्या 3 3/4 लें और इसे एक अनुचित भिन्न में बदल दें। आइए इस तरह से तर्क करें: प्रत्येक पूरी इकाई में 4 क्वार्टर होते हैं, और 3 इकाइयों में 3 गुना अधिक चौथाई होगा, यानी 4 x 3 \u003d 12 चौथाई। इसका मतलब है कि 3 पूर्ण इकाइयों में 12 क्वार्टर होते हैं, और मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग में भी 3 क्वार्टर होते हैं, और कुल 15 क्वार्टर होंगे, या 15 / 4। इसलिए, 3 3/4 = 15/4 ।

उदाहरण। मिश्रित संख्या 8 4/9 को अनुचित भिन्न में बदलें:

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने के लिए, आपको हर को एक पूर्णांक से गुणा करना होगा, परिणामी उत्पाद में अंश जोड़ना होगा और इस योग को आवश्यक भिन्न का अंश बनाना होगा, और हर को वही छोड़ देना होगा।

83. एक पूर्णांक को एक अनुचित भिन्न में बदलना।

किसी भी पूर्ण संख्या को किसी एक के भिन्नों की संख्या में व्यक्त किया जा सकता है। यह कभी-कभी गणना में उपयोगी होता है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, संख्या 5 को एक इकाई के छठे भाग में व्यक्त किया जाता है।

हम इस प्रकार तर्क देंगे: चूंकि एक इकाई में छह छठे हैं, तो इन शेयरों की 5 इकाइयों में छह नहीं, बल्कि 5 गुना अधिक होगा, अर्थात। 6 x 5 \u003d 30 छठा। कार्रवाई इस तरह व्यवस्थित है:

इसी तरह, हम किसी भी पूर्ण संख्या को किसी भी भाजक के साथ एक अनुचित भिन्न में बदल सकते हैं। आइए संख्या 10 लें और इसे विभिन्न हरों के साथ एक अनुचित अंश के रूप में प्रस्तुत करें:

हर 2, फिर

हर 3, फिर

हर 5, फिर

इस प्रकार, किसी पूर्णांक को किसी दिए गए हर के साथ एक अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करने के लिए, आपको इस हर को दी गई संख्या से गुणा करना होगा, परिणामी उत्पाद को एक अंश बनाना होगा और इस हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

सबसे छोटा संभव हर एक (1) है। इसलिए, जब वे एक पूर्णांक को भिन्न के रूप में निरूपित करना चाहते हैं, तो वे अक्सर एक को हर के रूप में लेते हैं (l2 = 12/1)। यह विचार कभी-कभी इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: किसी भी पूर्ण संख्या को एक के बराबर भाजक के रूप में माना जा सकता है (2 = 2/1; 3 = 3/1; 4 = 4/1; 5 = 5/1, आदि। )

84. एक भिन्न के मान में उसके पदों में परिवर्तन के साथ परिवर्तन।

इस भाग में, हम इस बात पर विचार करेंगे कि किसी भिन्न के सदस्यों के बदलने पर उसका मान कैसे बदलेगा।

पहला प्रश्न।भिन्न के मान का क्या होता है जैसे-जैसे इसका अंश बढ़ता जाता हैबहुत बार? चलिए भिन्न 1/12 लेते हैं और हम धीरे-धीरे इसके अंश को दो, तीन, चार, आदि गुना बढ़ा देंगे। तब आपको निम्नलिखित अंश मिलते हैं:

यदि हम इन भिन्नों की आपस में तुलना करने लगें, तो हम देखेंगे कि वे धीरे-धीरे बढ़ती हैं: दूसरी भिन्न पहले से दोगुनी बड़ी होती है, क्योंकि इसके दोगुने भाग होते हैं, तीसरा भिन्न पहले से तीन गुना बड़ा होता है, आदि।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: यदि किसी भिन्न के अंश को कई गुना बढ़ा दिया जाए, तो भिन्न में उतनी ही मात्रा में वृद्धि होगी।

दूसरा प्रश्न।एक भिन्न के मान का क्या होता है जब इसका अंश घटानाबहुत बार? चलिए भिन्न 24/25 लेते हैं और हम धीरे-धीरे इसके अंश को दो गुना, तीन गुना, चार गुना आदि घटाते हैं। तब हमें निम्नलिखित भिन्न मिलते हैं:

इन भिन्नों को एक-एक करके बाएँ से दाएँ देखें और आप देखेंगे कि दूसरी भिन्न (12/25) पहले 24/25 का आधा भाग है, क्योंकि इसमें आधा भाग यानि आधा अंश है; चौथा अंश 6/25 पहले और आधे दूसरे से चार गुना कम है।

माध्यम, यदि किसी भिन्न का अंश कई बार घटाया जाए, तो भिन्न में उतनी ही मात्रा घटेगी।

तीसरा प्रश्न।एक भिन्न के मान का क्या होता है जब इसके भाजक को बढ़ानाबहुत बार? हम इस प्रश्न का उत्तर कुछ भिन्न लेकर, उदाहरण के लिए 1/2, और अंश को बदले बिना इसके हर को बढ़ाकर कर सकते हैं। आइए हर को दोगुना करें, इसे तिगुना करें, आदि और देखें कि भिन्न का क्या होता है:

धीरे-धीरे हर को बढ़ाते हुए हम इसे 100 तक ले आए। हर काफी बड़ा हो गया, लेकिन हिस्से का मूल्य बहुत कम हो गया, यह सौवें के बराबर हो गया। इससे यह स्पष्ट है कि किसी भिन्न के हर में वृद्धि अनिवार्य रूप से भिन्न में ही कमी की ओर ले जाएगी।

माध्यम, यदि किसी भिन्न के हर को कई गुना बढ़ा दिया जाए, तो भिन्न में उतनी ही मात्रा में कमी आएगी।

चौथा प्रश्न।किसी भिन्न के हर को गुणा करने पर उसके मान का क्या होता है? हम उन भिन्नों को लेंगे जो हाल ही में लिखी गई थीं और अंत से उन्हें फिर से लिखेंगे; तो हमारा पहला अंश सबसे छोटा होगा, और अंतिम सबसे बड़ा होगा, लेकिन पहले में सबसे बड़ा हर होगा, और अंतिम अंश में सबसे छोटा हर होगा:

यह निष्कर्ष निकालना आसान है: यदि किसी भिन्न के हर को 1 के गुणनखंड से कम किया जाता है, तो उसी गुणनखंड से भिन्न में वृद्धि होगी।

5वां प्रश्न।एक भिन्न का क्या होता है जब अंश और हर दोनों समान मात्रा में बढ़ते या घटते हैं?

आइए भिन्न 1/2 लेते हैं और हम क्रमिक रूप से और साथ-साथ इसके अंश और हर को बढ़ाते हैं। कभी-कभी भिन्न के आगे एक गुणनखंड रखा जाता है, जिससे पहले भिन्न के सदस्यों को गुणा किया जाता है:

हमने छह भिन्न लिखे हैं, वे दिखने में भिन्न हैं, लेकिन यह पता लगाना आसान है कि वे सभी आकार में समान हैं। वास्तव में, आइए कम से कम पहले अंश की दूसरे के साथ तुलना करें। पहला अंश 1/2 है; यदि हम उसके अंश को दुगुना कर दें तो भिन्न दुगनी हो जाएगी, लेकिन यदि हम तुरंत उसके हर को दुगुना कर दें, तो वह आधा हो जाएगा, यानी दूसरे शब्दों में, यह अपरिवर्तित रहेगा। तो 1/2 = 2/4। अन्य भिन्नों के लिए भी यही तर्क दोहराया जा सकता है।

निष्कर्ष: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा किया जाए(समान संख्या में बार-बार वृद्धि करें), भिन्न का मान नहीं बदलेगा।

हम इस गुण को सामान्य रूप में लिखते हैं। आइए भिन्न को द्वारा निरूपित करें एक / बी , वह संख्या जिससे अंश और हर को गुणा किया जाता है - अक्षर से टी ; तब निर्दिष्ट संपत्ति समानता का रूप ले लेगी:

यह एक साथ अंश और हर को समान संख्या में कम करने के प्रश्न पर विचार करना बाकी है। आइए एक पंक्ति में कई अंश लिखें, जहां पहले स्थान पर एक अंश 36/48 होगा, और अंतिम 3/4 में:

वे सभी एक दूसरे के बराबर होंगे, जिसे किन्हीं दो आसन्न भिन्नों की तुलना करके पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, पहले अंश (36) के अंश को आधा करके, हम भिन्न को 2 गुना कम कर देते हैं, लेकिन इसके हर को आधा कर देते हैं (48) , हम भिन्न को 2 गुना बढ़ा देते हैं, अर्थात्, हम इसे अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।

निष्कर्ष: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित किया जाता है (समान संख्या से घटाकर), तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:

अंतिम दो निष्कर्षों का सार यह है कि अंश और हर में एक साथ कई गुना वृद्धि या कमी के साथ, भिन्न का मान नहीं बदलेगा।

भिन्न के इस उल्लेखनीय गुण का निम्नलिखित में बहुत महत्व होगा, इसलिए हम इसे कहेंगे एक अंश की मूल संपत्ति।

§ 85. भिन्नों की कमी।

आइए खंड AB (चित्र 16) लें और इसे 20 बराबर भागों में विभाजित करें, तो इनमें से प्रत्येक भाग 1/20 के बराबर होगा; खंड AC, जिसमें 15 ऐसे भाग हैं, को अंश 15/20 द्वारा दर्शाया जाएगा।

अब आइए शेयरों को बड़ा करने का प्रयास करें, उदाहरण के लिए, हम खंड को 20 भागों में नहीं, बल्कि 4 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। नए शेयर पिछले वाले की तुलना में बड़े निकले, क्योंकि प्रत्येक नए शेयर में 5 पूर्व शेयर होते हैं, जो ड्राइंग में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। अब आइए सोचते हैं कि नई क्रशिंग में एसी सेगमेंट क्या है, जो पहली क्रशिंग में सेगमेंट एबी के 15/20 के बराबर था। चित्र से यह देखा जा सकता है कि यदि खंड AB को 4 भागों में विभाजित किया जाता है, तो खंड AC खंड AB के 3/4 के बराबर होगा।

तो, खंड एसी, खंड एबी को कितने भागों में विभाजित किया गया है, इस पर निर्भर करते हुए, अंश 15/20 और अंश 3/4 दोनों द्वारा दर्शाया जा सकता है। परिमाण में, यह वही भिन्न है, क्योंकि यह माप की समान इकाइयों में समान खंड को मापता है। इसलिए, अंश 15/20 के बजाय, हम अंश 3/4 का उपयोग कर सकते हैं, और इसके विपरीत।

प्रश्न उठता है कि किस भिन्न का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है? दूसरे भिन्न का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है, क्योंकि इसके अंश और हर को पहले की तुलना में कम संख्या में व्यक्त किया जाता है, और इस अर्थ में यह सरल है।

तर्क करने की प्रक्रिया में, यह पता चला कि एक मान (खंड AC) दो भिन्नों में व्यक्त किया गया था, दिखने में भिन्न, लेकिन मान में समान (15/20, 3/4)। जाहिर है, ऐसे दो भिन्न नहीं हो सकते हैं , लेकिन एक बेशुमार सेट। किसी भिन्न के मूल गुण के आधार पर हम इनमें से पहली भिन्न को इस प्रकार ला सकते हैं कि अंश और हर सबसे छोटा हो। वास्तव में भिन्न 15/20 के अंश और हर को यदि 5 से विभाजित किया जाए तो यह 3/4 यानि 15/20 = 3/4 के बराबर होगा।

यह परिवर्तन (अंश और हर की समान संख्या में एक साथ कमी), जो आपको एक बड़े अंश और हर के साथ एक बड़े अंश और हर के साथ एक अंश प्राप्त करने की अनुमति देता है, लेकिन छोटे सदस्यों के साथ आकार में बराबर है, है अंशों की कमी कहा जाता है।

इसलिए, अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करके, एक अंश की कमी इसके बराबर एक अन्य अंश के साथ छोटे पदों के साथ प्रतिस्थापन है।

हमने अंश 15 / 20 घटाया और अंश 3 / 4 पर आ गया, जिसे अब कम नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इसके पदों 3 और 4 में एक सामान्य भाजक नहीं है (एक को छोड़कर)। इस तरह के अंश को कहा जाता है अलघुकरणीय. भिन्नों को कम करते समय आप दो रास्ते अपना सकते हैं। पहला तरीका यह है कि अंश को धीरे-धीरे कम किया जाता है, तुरंत नहीं, यानी पहली कमी के बाद, एक कम करने योग्य अंश फिर से प्राप्त किया जाता है, जिसे फिर से घटाया जाता है, और यह प्रक्रिया लंबी हो सकती है यदि अंश और हर को बड़ी संख्या में व्यक्त किया जाए और कई सामान्य विभाजक हैं।

आइए अंश 60/120 लें और इसे क्रमिक रूप से कम करें, पहले 2 से, हमें 60/120 = 30/60 मिलता है नया अंश (30/60) भी 2 से कम किया जा सकता है, हमें 30/60 = 15/30 मिलता है। नए अंश 15/30 की शर्तों में सामान्य भाजक हैं, इसलिए आप इस अंश को 3 से कम कर सकते हैं, आपको 15/30 = 5/10 मिलता है। अंत में, अंतिम भिन्न को 5 से घटाया जा सकता है, अर्थात 5/10 = 1/2। यह भिन्नों की क्रमिक कमी है।

यह पता लगाना आसान है कि इस अंश (60/120) को तुरंत 60 से कम किया जा सकता है, और हमें वही परिणाम मिलेगा। 60 और 120 की संख्या के लिए 60 क्या है? महत्तम सामान्य भाजक। इसका मतलब यह है कि एक अंश को उसके सदस्यों के सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा कम करने से मध्यवर्ती विभाजनों को दरकिनार करते हुए, इसे तुरंत एक अपरिवर्तनीय अंश के रूप में लाना संभव हो जाता है। यह भिन्नों को कम करने का दूसरा तरीका है।

86. भिन्नों को सबसे छोटे आम ​​भाजक में घटाना।

आइए कुछ अंश लें:

अगर हम पहली भिन्न की तुलना दूसरे (1/2 और 1/3) से करना शुरू करें, तो हमें कुछ कठिनाई महसूस होगी। बेशक, हम समझते हैं कि आधा एक तिहाई से अधिक है, क्योंकि पहले मामले में मूल्य दो बराबर भागों में बांटा गया है, और दूसरे मामले में तीन बराबर भागों में; लेकिन उनमें क्या अंतर है, इसका जवाब देना अभी भी मुश्किल है। एक और बात दूसरी भिन्न है और तीसरी (1/3 और 2/3), उनकी तुलना करना आसान है, क्योंकि यह तुरंत स्पष्ट है कि दूसरा अंश तीसरे से एक तिहाई कम है। यह समझना आसान है कि उन मामलों में जब हम एक ही हर के साथ भिन्नों की तुलना करते हैं, तो कोई कठिनाई नहीं होती है, वही मामलों में जब तुलनात्मक अंशों के हर भिन्न होते हैं, तो कुछ असुविधा उत्पन्न होती है। शेष भिन्न डेटा की तुलना करके इसे सत्यापित करें।

इसलिए, प्रश्न उठता है: क्या दो भिन्नों की तुलना करते समय यह सुनिश्चित करना संभव है कि हर समान हैं? यह किसी भिन्न के मूल गुण के आधार पर किया जा सकता है, अर्थात यदि हम हर को कई गुना बढ़ा दें, तो भिन्न का मान न बदले, इसके लिए उसके अंश में उतनी ही मात्रा बढ़ानी होगी।

इस तरह हम भिन्न हर वाले भिन्नों को एक सामान्य हर में कम कर सकते हैं।

यदि आप कुछ भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना चाहते हैं, तो आपको सबसे पहले एक संख्या ज्ञात करनी होगी जो इनमें से प्रत्येक भिन्न के हर से विभाज्य हो। इसलिए, भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने की प्रक्रिया में पहला कदम है कम से कम सामान्य गुणक ढूँढनादिए गए हर के लिए। कम से कम सामान्य गुणक पाए जाने के बाद, प्रत्येक अंश के लिए इसे प्रत्येक भाजक से विभाजित करके, तथाकथित प्राप्त करना आवश्यक है अतिरिक्त गुणक. ये वे संख्याएँ होंगी जो दर्शाती हैं कि प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को कितनी बार बढ़ाना चाहिए ताकि उनके हर बराबर हो जाएँ। उदाहरणों पर विचार करें।

1. आइए भिन्न 7/30 और 8/15 को एक सार्व हर में घटाएं। हर 30 और 15 के लिए सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात कीजिए। इस स्थिति में, यह पहली भिन्न का हर होगा, अर्थात 30। यह भिन्नों 7/30 और 8/15 के लिए सबसे कम सामान्य हर होगा। अब आइए अतिरिक्त गुणनखंड खोजें: 30: 30 = 1, 30: 15 = 2. तो, पहली भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 1 होगा, और दूसरे के लिए, 2. पहला अंश अपरिवर्तित रहेगा। दूसरी भिन्न के पदों को एक अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करते हुए, हम इसे हर 30 पर लाते हैं:

2. आइए तीन भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं: 7/30, 11/60 और 3/70।

आइए हर 30, 60 और 70 के लिए सबसे कम सामान्य गुणक खोजें:

लघुत्तम समापवर्त्य 2 2 3 5 7 = 420 होगा।

यह इन भिन्नों का सबसे छोटा सामान्य हर होगा।

अब आइए अतिरिक्त कारक खोजें: 420: 30 = 14; 420: 60 = 7; 420: 70 = 6. तो, पहले भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 14 होगा, दूसरे 7 के लिए और तीसरे 6 के लिए। भिन्नों के पदों को संगत अतिरिक्त कारकों से गुणा करने पर, हमें समान हर वाली भिन्न प्राप्त होती हैं:

3. आइए भिन्न को एक सामान्य हर में कम करें: 8/25 और 5/12। इन भिन्नों (25 और 12) के हर सहअभाज्य संख्याएँ हैं। इसलिए, उनके गुणन से कम से कम सामान्य गुणक प्राप्त होगा: 25 x 12 \u003d 300। पहले अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक 12 होगा, और दूसरे 25 के लिए। ये अंश रूप लेंगे:

भिन्नों को कम से कम सामान्य हर में कम करने के लिए, आपको पहले सभी भाजक का सबसे छोटा सामान्य गुणक खोजना होगा और प्रत्येक हर के लिए एक अतिरिक्त कारक निर्धारित करना होगा, और फिर प्रत्येक भिन्न के दोनों पदों को संबंधित अतिरिक्त कारक से गुणा करना होगा।

जब हमने सीखा कि भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे कम किया जाए, तो आकार में भिन्नों की तुलना करने से अब कोई कठिनाई नहीं होगी। अब हम किन्हीं दो भिन्नों के मान की तुलना करते हुए, उन्हें पहले एक सामान्य हर में ला सकते हैं।

संख्याएँ कई प्रकार की होती हैं, उनमें से एक पूर्णांक होती है। न केवल सकारात्मक दिशा में, बल्कि नकारात्मक दिशा में भी गिनती करना आसान बनाने के लिए पूर्णांक दिखाई दिए।

एक उदाहरण पर विचार करें:
दिन के दौरान यह 3 डिग्री बाहर था। शाम तक तापमान में तीन डिग्री की गिरावट आई।
3-3=0
यह 0 डिग्री बाहर था। और रात में तापमान 4 डिग्री गिर गया और थर्मामीटर -4 डिग्री पर दिखना शुरू हो गया।
0-4=-4

पूर्णांकों की एक श्रृंखला।

हम प्राकृतिक संख्याओं के साथ ऐसी समस्या का वर्णन नहीं कर सकते हैं, हम इस समस्या पर एक समन्वय रेखा पर विचार करेंगे।

हमारे पास संख्याओं की एक श्रृंखला है:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

संख्याओं की इस श्रृंखला को कहा जाता है पूर्ण संख्याओं के आगे.

पूर्णांक सकारात्मक संख्याएँ। पूर्ण ऋणात्मक संख्याएँ।

पूर्णांकों की एक श्रृंखला में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं। शून्य के दायीं ओर प्राकृत संख्याएँ हैं, या इन्हें भी कहा जाता है पूर्ण सकारात्मक संख्या. और शून्य के बाईं ओर जाओ पूर्ण ऋणात्मक संख्याएँ।

शून्य न तो सकारात्मक है और न ही नकारात्मक। यह धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के बीच की सीमा है।

प्राकृतिक संख्याओं, ऋणात्मक पूर्णांकों और शून्य से मिलकर बनी संख्याओं का एक समूह है।

सकारात्मक और नकारात्मक दिशाओं में पूर्णांकों की एक श्रृंखला है अंतहीन भीड़।

यदि हम कोई दो पूर्णांक लें, तो इन पूर्णांकों के बीच की संख्याएँ कहलाती हैं अंत सेट।

उदाहरण के लिए:
आइए -2 से 4 तक के पूर्णांक लें। इन संख्याओं के बीच की सभी संख्याएँ परिमित समुच्चय में शामिल हैं। संख्याओं का हमारा परिमित सेट इस तरह दिखता है:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

प्राकृतिक संख्याओं को लैटिन अक्षर N द्वारा दर्शाया जाता है।
पूर्णांकों को लैटिन अक्षर Z द्वारा निरूपित किया जाता है। प्राकृतिक संख्याओं और पूर्णांकों के पूरे सेट को चित्र में दर्शाया जा सकता है।


गैर धनात्मक पूर्णांकदूसरे शब्दों में, वे ऋणात्मक पूर्णांक हैं।
गैर-ऋणात्मक पूर्णांकधनात्मक पूर्णांक हैं।

प्रति पूर्ण संख्याएंप्राकृत संख्याएँ, शून्य और प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्याएँ सम्मिलित करें।

पूर्णांकोंधनात्मक पूर्णांक हैं।

उदाहरण के लिए: 1, 3, 7, 19, 23, आदि। हम गिनती के लिए ऐसे नंबरों का उपयोग करते हैं (टेबल पर 5 सेब हैं, कार में 4 पहिए हैं, आदि)

लैटिन अक्षर \mathbb(N) - निरूपित प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय.

प्राकृतिक संख्याओं में ऋणात्मक (एक कुर्सी में पैरों की ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती) और भिन्नात्मक संख्याएँ (इवान 3.5 साइकिलें नहीं बेच सकता) शामिल नहीं हो सकतीं।

प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं: -8, -148, -981, ....

पूर्णांकों के साथ अंकगणितीय संचालन

आप पूर्णांकों के साथ क्या कर सकते हैं? उन्हें एक दूसरे से गुणा, जोड़ा और घटाया जा सकता है। आइए प्रत्येक ऑपरेशन का एक विशिष्ट उदाहरण पर विश्लेषण करें।

पूर्णांक जोड़

समान चिह्न वाले दो पूर्णांक इस प्रकार जोड़े जाते हैं: इन संख्याओं के मॉड्यूल जोड़े जाते हैं और परिणामी योग अंतिम चिह्न से पहले होता है:

(+11) + (+9) = +20

पूर्णांकों का घटाव

विभिन्न चिह्नों के साथ दो पूर्णांकों को इस प्रकार जोड़ा जाता है: छोटी संख्या का मापांक बड़ी संख्या के मापांक से घटाया जाता है, और बड़े मॉड्यूल संख्या का चिह्न उत्तर के सामने रखा जाता है:

(-7) + (+8) = +1

पूर्णांक गुणन

एक पूर्णांक को दूसरे से गुणा करने के लिए, आपको इन संख्याओं के मॉड्यूल को गुणा करना होगा और प्राप्त उत्तर के सामने "+" चिह्न लगाना होगा यदि मूल संख्याएँ समान चिह्नों के साथ थीं, और "-" चिह्न यदि मूल संख्याएँ थीं विभिन्न संकेतों के साथ:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

आपको निम्नलिखित याद रखना चाहिए पूर्ण संख्या गुणन नियम:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

कई पूर्णांकों को गुणा करने का एक नियम है। आइए इसे याद रखें:

उत्पाद का चिन्ह "+" होगा यदि ऋणात्मक चिन्ह वाले कारकों की संख्या सम है और "-" यदि ऋणात्मक चिन्ह वाले कारकों की संख्या विषम है।

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

पूर्णांकों का विभाजन

दो पूर्णांकों का विभाजन निम्नानुसार किया जाता है: एक संख्या के मापांक को दूसरे के मापांक से विभाजित किया जाता है, और यदि संख्याओं के संकेत समान हैं, तो परिणामी भागफल के सामने एक "+" चिन्ह रखा जाता है। , और यदि मूल संख्याओं के चिन्ह भिन्न हैं, तो "-" चिन्ह लगाया जाता है।

(-25) : (+5) = -5

पूर्णांकों के योग और गुणन के गुण

आइए किसी भी पूर्णांक a , b और c के लिए जोड़ और गुणा के मूल गुणों का विश्लेषण करें:

1. a + b = b + a - योग का क्रमविनिमेय गुण;
2. (ए + बी) + सी \u003d ए + (बी + सी) - जोड़ की सहयोगी संपत्ति;
3. a \cdot b = b \cdot a - गुणन का क्रमविनिमेय गुण;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- गुणन के साहचर्य गुण;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot cगुणन का वितरण गुण है।

प्रथम स्तर

सबसे बड़ा सामान्य गुणक और सबसे छोटा सामान्य भाजक। विभाज्यता मानदंड और समूहीकरण के तरीके (2019)

अपने जीवन को बहुत आसान बनाने के लिए जब आपको कुछ गणना करने की आवश्यकता हो, OGE या USE में कीमती समय जीतने के लिए, कम मूर्खतापूर्ण गलतियाँ करने के लिए - इस अनुभाग को पढ़ें!

यहाँ आप क्या सीखेंगे:

• उपयोग करके तेज़, आसान और अधिक सटीक गणना कैसे करेंसंख्याओं का समूहनजोड़ने और घटाने पर,
• त्रुटियों के बिना तेजी से गुणा और भाग कैसे करें गुणन नियम और विभाज्यता मानदंड,
• का उपयोग करके गणनाओं को महत्वपूर्ण रूप से कैसे तेज करें आम एकाधिक(एनओसी) और महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी)।

इस खंड की तकनीकों का कब्जा किसी न किसी दिशा में तराजू को टिप सकता है ... आप अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश करते हैं या नहीं, आपको या आपके माता-पिता को शिक्षा के लिए बहुत पैसा देना होगा या आप बजट में प्रवेश करेंगे। .

चलो सही में गोता लगाएँ... (चलो चलें!)

महत्वपूर्ण लेख!यदि फ़ार्मुलों के बजाय आपको अस्पष्टता दिखाई देती है, तो अपना कैश साफ़ करें। ऐसा करने के लिए, CTRL+F5 (Windows पर) दबाएं यासीएमडी+आर (मैक पर)

बहुत सारा पूर्णांकों 3 भागों से मिलकर बनता है:

1. पूर्णांकों(हम उन पर नीचे और अधिक विस्तार से विचार करेंगे);
2. प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्याएं(जैसे ही आप जानते हैं कि प्राकृतिक संख्याएं क्या हैं, सब कुछ ठीक हो जाएगा);
3. शून्य - " " (इसके बिना कहाँ?)

पत्र जेड।

पूर्णांकों

"भगवान ने प्राकृतिक संख्याएं बनाईं, बाकी सब कुछ मानव हाथों का काम है" (सी) जर्मन गणितज्ञ क्रोनकर।

प्राकृतिक संख्याएँ हैंवे संख्याएँ जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनने के लिए करते हैं और इसी पर उनकी घटना का इतिहास आधारित है - तीर, खाल आदि गिनने की आवश्यकता।

1, 2, 3, 4...एन

पत्र एन.

तदनुसार, इस परिभाषा में शामिल नहीं है (क्या आप गिन नहीं सकते कि क्या नहीं है?) और इससे भी अधिक इसमें नकारात्मक मान शामिल नहीं हैं (क्या कोई सेब है?)

इसके अलावा, सभी भिन्नात्मक संख्याएं शामिल नहीं हैं (हम यह भी नहीं कह सकते कि "मेरे पास एक लैपटॉप है", या "मैंने कारें बेचीं")

कोई प्राकृतिक संख्या 10 अंकों का उपयोग करके लिखा जा सकता है:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

तो 14 एक संख्या नहीं है। यह एक संख्या है। इसमें कौन सी संख्याएँ शामिल हैं? यह सही है, संख्याओं से और।

योग। तेजी से गिनती और कम गलतियों के लिए जोड़ते समय समूह बनाना

इस प्रक्रिया के बारे में आप क्या दिलचस्प बातें कह सकते हैं? बेशक, अब आप जवाब देंगे "योग का मूल्य शर्तों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है।" ऐसा लगता है कि प्रथम श्रेणी से परिचित एक आदिम नियम, हालांकि, बड़े उदाहरणों को हल करते समय, यह तुरंत भूल गए!

उसके बारे में मत भूलनासमूहीकरण का उपयोग करें, गिनती की प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाने और त्रुटियों की संभावना को कम करने के लिए, क्योंकि आपके पास परीक्षा के लिए कैलकुलेटर नहीं होगा।

स्वयं देखें कि कौन-सा व्यंजक जोड़ना आसान है?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

बेशक दूसरा! हालांकि परिणाम वही है। परंतु! दूसरे तरीके को ध्यान में रखते हुए, आपसे गलती होने की संभावना कम है और आप सब कुछ तेजी से करेंगे!

तो, आपके मन में, आप ऐसा सोचते हैं:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

घटाव। तेजी से गिनती और कम त्रुटि के लिए घटाते समय समूह बनाना

घटाते समय, हम घटाई गई संख्याओं को भी समूहित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

क्या होगा यदि घटाव को उदाहरण में जोड़ के साथ जोड़ दिया जाए? आप समूह भी कर सकते हैं, आप उत्तर देंगे, और ठीक है। बस कृपया, संख्याओं के सामने के संकेतों को न भूलें, उदाहरण के लिए: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

याद रखें: गलत तरीके से लगाए गए संकेत गलत परिणाम देंगे।

गुणन। अपने दिमाग में कैसे गुणा करें

यह स्पष्ट है कि कारकों के स्थान बदलने से उत्पाद का मूल्य भी नहीं बदलेगा:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

मैं आपको "समस्याओं को हल करते समय इसका उपयोग करने" के लिए नहीं कहूंगा (आपको संकेत स्वयं मिला है, है ना?), बल्कि आपको बताता हूं कि अपने सिर में कुछ संख्याओं को जल्दी से कैसे गुणा करें। तो, तालिका को ध्यान से देखें:

और गुणा के बारे में थोड़ा और। बेशक, आपको दो खास मौके याद हैं... अंदाजा लगाइए कि मेरा क्या मतलब है? यहाँ इसके बारे में है:

अरे हाँ, आइए एक नज़र डालते हैं विभाज्यता के संकेत. कुल मिलाकर, विभाज्यता के संकेतों के लिए 7 नियम हैं, जिनमें से आप पहले से ही पहले 3 को निश्चित रूप से जानते हैं!

लेकिन बाकी को याद रखना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।

संख्याओं की विभाज्यता के 7 संकेत जो आपको जल्दी से अपने दिमाग में गिनने में मदद करेंगे!

• बेशक, आप पहले तीन नियमों को जानते हैं।
• चौथा और पाँचवाँ याद रखना आसान है - जब से विभाजित किया जाता है और हम देखते हैं कि संख्या बनाने वाले अंकों का योग इससे विभाज्य है या नहीं।
• से विभाजित करते समय, हम संख्या के अंतिम दो अंकों पर ध्यान देते हैं - क्या वे संख्या जिससे वे विभाज्य हैं?
• किसी संख्या से विभाजित करते समय, यह एक ही समय में और द्वारा विभाज्य होना चाहिए। वह सब ज्ञान है।

क्या आप अब सोच रहे हैं - "मुझे यह सब क्यों चाहिए"?

सबसे पहले, परीक्षा है कैलकुलेटर के बिनाऔर ये नियम उदाहरणों को नेविगेट करने में आपकी सहायता करेंगे।

और दूसरी बात, आपने कार्यों के बारे में सुना जीसीडीतथा अनापत्ति प्रमाण पत्र? परिचित संक्षिप्त? आइए याद करना और समझना शुरू करें।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) - भिन्नों को कम करने और तेज़ गणना के लिए आवश्यक

मान लें कि आपके पास दो नंबर हैं: और। इन दोनों संख्याओं से विभाज्य सबसे बड़ी संख्या क्या है? आप बिना किसी हिचकिचाहट के उत्तर देंगे, क्योंकि आप जानते हैं कि:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

विस्तार में कौन सी संख्याएँ सामान्य हैं? यह सही है, 2*2 = 4। वह आपका उत्तर था। इस सरल उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, आप खोजने के लिए एल्गोरिथ्म को नहीं भूलेंगे जीसीडी. इसे अपने सिर में "निर्माण" करने का प्रयास करें। हो गई?

आपको जिस एनओडी की आवश्यकता है उसे खोजने के लिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें (उन संख्याओं में जिन्हें स्वयं के अलावा किसी अन्य चीज़ से विभाजित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 3, 7, 11, 13, आदि)।
2. उन्हें गुणा करें।

क्या आप समझते हैं कि हमें विभाज्यता के संकेतों की आवश्यकता क्यों थी? ताकि आप संख्या को देखें और आप शेषफल के बिना विभाजित करना शुरू कर सकें।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 290 और 485 . की GCD ज्ञात करें

प्रथम अंक - .

इसे देखकर, आप तुरंत बता सकते हैं कि यह किससे विभाज्य है, आइए लिखते हैं:

आप इसे किसी और चीज़ में विभाजित नहीं कर सकते, लेकिन आप कर सकते हैं - और, हमें मिलता है:

290 = 29 * 5 * 2

चलिए एक और नंबर लेते हैं - 485।

विभाज्यता के संकेतों के अनुसार, इसे बिना किसी शेषफल के विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि यह समाप्त होता है। हम बांटते हैं:

आइए मूल संख्या का विश्लेषण करें।

• इसे विभाजित नहीं किया जा सकता (अंतिम अंक विषम है),
• - से विभाज्य नहीं है, इसलिए संख्या भी विभाज्य नहीं है,
• से भी विभाज्य नहीं है और (संख्या में अंकों का योग द्वारा और द्वारा विभाज्य नहीं है)
• विभाज्य भी नहीं है, क्योंकि यह और से विभाज्य नहीं है,
• और से भी विभाज्य नहीं है, क्योंकि यह और से विभाज्य नहीं है।
• पूरी तरह से विभाजित नहीं किया जा सकता

तो संख्या को केवल और में विघटित किया जा सकता है।

और अब आइए ढूढ़ें जीसीडीये संख्याएँ (और)। यह संख्या क्या है? सही ढंग से, .

क्या हम अभ्यास करें?

टास्क नंबर 1. संख्या 6240 और 6800 . की GCD ज्ञात कीजिए

1) मैं तुरंत विभाजित करता हूं, क्योंकि दोनों संख्याएं 100% विभाज्य हैं:

2) मैं शेष बड़ी संख्याओं से विभाजित करूंगा, क्योंकि वे शेष के बिना विभाजित हैं (उसी समय, मैं विघटित नहीं होगा - यह पहले से ही एक सामान्य भाजक है):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) मैं अकेला छोड़ दूंगा और संख्याओं पर विचार करना शुरू करूंगा और। दोनों संख्याएँ बिल्कुल विभाज्य हैं (सम अंकों में अंत (इस मामले में, हम इस रूप में प्रस्तुत करते हैं, लेकिन इससे विभाजित किया जा सकता है)):

4) हम संख्याओं के साथ काम करते हैं और। क्या उनके पास सामान्य भाजक हैं? यह पिछले चरणों की तरह आसान है, और आप यह नहीं कह सकते हैं, तो फिर हम उन्हें सरल कारकों में विघटित कर देंगे:

5) जैसा कि हम देख सकते हैं, हम सही थे: और हमारे पास कोई सामान्य भाजक नहीं है, और अब हमें गुणा करने की आवश्यकता है।
जीसीडी

टास्क नंबर 2. संख्या 345 और 324 की GCD ज्ञात कीजिए

मुझे यहां कम से कम एक सामान्य भाजक नहीं मिल रहा है, इसलिए मैं केवल प्रमुख कारकों (जितना संभव हो उतना कम) में विघटित हो जाता हूं:

बिल्कुल, जीसीडी, और मैंने शुरू में विभाज्यता मानदंड की जांच नहीं की थी, और, शायद, मुझे इतनी सारी कार्रवाइयां नहीं करनी पड़ेगी। लेकिन आपने जाँच की, है ना? बहुत बढ़िया! जैसा कि आप देख सकते हैं, यह काफी आसान है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) - समय बचाता है, बॉक्स के बाहर की समस्याओं को हल करने में मदद करता है

मान लीजिए कि आपके पास दो नंबर हैं - और। वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जो से विभाज्य है? एक ट्रेस के बिना(यानी पूरी तरह से)? कल्पना करना मुश्किल है? यहाँ आपके लिए एक दृश्य सुराग है:

क्या आपको याद है कि पत्र का क्या अर्थ है? यह सही है, बस पूर्ण संख्याएं।तो वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जो x पर फिट बैठती है? :

इस मामले में।

इस सरल उदाहरण से कई नियम अनुसरण करते हैं।

जल्दी से एनओसी खोजने के नियम

नियम 1. यदि दो प्राकृत संख्याओं में से एक दूसरी संख्या से विभाज्य है, तो इन दो संख्याओं में से बड़ी संख्या उनकी सबसे छोटी सामान्य गुणज होती है।

निम्नलिखित संख्याएं खोजें:

• एनओसी (7;21)
• एनओसी (6;12)
• एनओसी (5;15)
• एनओसी (3;33)

बेशक, आपने आसानी से इस कार्य का सामना किया और आपको उत्तर मिल गए - और।

ध्यान दें कि नियम में हम दो संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, यदि अधिक संख्याएं हैं, तो नियम काम नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, एलसीएम (7;14;21) 21 के बराबर नहीं है, क्योंकि इसे शेषफल के बिना विभाजित नहीं किया जा सकता है।

नियम 2. यदि दो (या दो से अधिक) संख्याएँ सह अभाज्य हैं, तो सबसे छोटा समापवर्तक उनके गुणनफल के बराबर होता है।

पाना अनापत्ति प्रमाण पत्रनिम्नलिखित संख्याओं के लिए:

• एनओसी (1;3;7)
• एनओसी (3;7;11)
• एनओसी (2;3;7)
• एनओसी (3;5;2)

क्या आपने गिनती की? यहाँ उत्तर हैं - , ; .

जैसा कि आप समझते हैं, इसी x को लेना और चुनना हमेशा इतना आसान नहीं होता है, इसलिए थोड़ी अधिक जटिल संख्याओं के लिए निम्नलिखित एल्गोरिथम है:

क्या हम अभ्यास करें?

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए - LCM (345; 234)

आइए प्रत्येक संख्या को तोड़ें:

मैंने अभी क्यों लिखा? विभाज्यता के संकेतों को याद रखें: से विभाज्य (अंतिम अंक सम है) और अंकों का योग से विभाज्य है। तदनुसार, हम इसे इस रूप में लिखकर तुरंत विभाजित कर सकते हैं।

अब हम एक पंक्ति में सबसे लंबा विस्तार लिखते हैं - दूसरा:

आइए इसमें पहले विस्तार से संख्याओं को जोड़ें, जो कि हमने जो लिखा है उसमें नहीं हैं:

नोट: हमने को छोड़कर सब कुछ लिखा है, क्योंकि हमारे पास पहले से ही है।

अब हमें इन सभी संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है!

स्वयं लघुतम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए

आपको क्या उत्तर मिले?

यहाँ मेरे साथ क्या हुआ है:

आपको खोजने में कितना समय लगा अनापत्ति प्रमाण पत्र? मेरा समय 2 मिनट है, मुझे सच में पता है एक चाल, जो मेरा सुझाव है कि आप अभी खोलें!

यदि आप बहुत चौकस हैं, तो आपने शायद देखा है कि दिए गए नंबरों के लिए हम पहले ही खोज चुके हैं जीसीडीऔर आप उस उदाहरण से इन संख्याओं का गुणनखंडन ले सकते हैं, जिससे आपका कार्य सरल हो जाएगा, लेकिन यह सब से बहुत दूर है।

तस्वीर को देखिए, शायद आपके मन में कुछ और विचार आएंगे:

कुंआ? मैं आपको एक संकेत दूंगा: गुणा करने का प्रयास करें अनापत्ति प्रमाण पत्रतथा जीसीडीआपस में और उन सभी कारकों को लिखिए जो गुणा करने पर होंगे। क्या आप संभाल पाओगे? आपको इस तरह की एक श्रृंखला के साथ समाप्त होना चाहिए:

इसे करीब से देखें: कारकों की तुलना कैसे और कैसे विघटित होती है।

इससे आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? सही ढंग से! यदि हम मानों को गुणा करते हैं अनापत्ति प्रमाण पत्रतथा जीसीडीआपस में, तब हमें इन संख्याओं का गुणनफल प्राप्त होता है।

तदनुसार, संख्या और अर्थ होना जीसीडी(या अनापत्ति प्रमाण पत्र), हम ढूंढ सकते हैं अनापत्ति प्रमाण पत्र(या जीसीडी) इस अनुसार:

1. संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

2. हम परिणामी उत्पाद को हमारे . से विभाजित करते हैं जीसीडी (6240; 6800) = 80:

बस इतना ही।

आइए नियम को सामान्य रूप में लिखें:

ढूंढने की कोशिश करो जीसीडीयदि यह ज्ञात हो कि:

क्या आप संभाल पाओगे? .

नकारात्मक संख्याएँ - "झूठी संख्याएँ" और मानव जाति द्वारा उनकी मान्यता।

जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, ये प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्याएँ हैं, अर्थात्:

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ा जा सकता है, घटाया जा सकता है, गुणा किया जा सकता है और विभाजित किया जा सकता है - बिल्कुल प्राकृतिक संख्याओं की तरह। ऐसा लगेगा कि वे इतने खास हैं? लेकिन तथ्य यह है कि नकारात्मक संख्याओं ने 19वीं शताब्दी तक गणित में अपना सही स्थान "जीत" लिया (उस क्षण तक यह था बड़ी राशिविवाद है कि वे मौजूद हैं या नहीं)।

"घटाव" के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के साथ इस तरह के एक ऑपरेशन के कारण ऋणात्मक संख्या स्वयं उत्पन्न हुई। दरअसल, घटाना - यह एक ऋणात्मक संख्या है। इसीलिए ऋणात्मक संख्याओं के समुच्चय को अक्सर "समुच्चय का विस्तार" कहा जाता है प्राकृतिक संख्या».

लंबे समय तक लोगों द्वारा नकारात्मक संख्याओं को पहचाना नहीं गया था। तो, प्राचीन मिस्र, बेबीलोन और प्राचीन ग्रीस - अपने समय की रोशनी, नकारात्मक संख्याओं को नहीं पहचानते थे, और समीकरण में नकारात्मक जड़ें प्राप्त करने के मामले में (उदाहरण के लिए, जैसा कि हमारे पास है), जड़ों को असंभव के रूप में खारिज कर दिया गया था।

पहली बार ऋणात्मक संख्याओं को चीन में और फिर 7वीं शताब्दी में भारत में अस्तित्व का अधिकार मिला। आप इस स्वीकारोक्ति के बारे में क्या सोचते हैं? यह सही है, ऋणात्मक संख्याएँ ऋणों को निरूपित करने लगीं (अन्यथा - कमी)। यह माना जाता था कि ऋणात्मक संख्या एक अस्थायी मूल्य है, जिसके परिणामस्वरूप सकारात्मक में बदल जाएगा (अर्थात, धन अभी भी लेनदार को वापस कर दिया जाएगा)। हालांकि, भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने पहले से ही नकारात्मक संख्याओं को सकारात्मक के साथ समान स्तर पर माना था।

यूरोप में, ऋणात्मक संख्याओं की उपयोगिता, साथ ही यह तथ्य कि वे ऋण को निरूपित कर सकते हैं, बहुत बाद में, यानी एक सहस्राब्दी आई। पहला उल्लेख 1202 में पीसा के लियोनार्ड द्वारा "अबेकस की पुस्तक" में देखा गया था (मैं तुरंत कहता हूं कि पुस्तक के लेखक का पीसा के लीनिंग टॉवर से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन फाइबोनैचि संख्याएं उनके काम हैं ( पीसा के लियोनार्डो का उपनाम फिबोनाची है))। इसके अलावा, यूरोपीय इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि नकारात्मक संख्याओं का मतलब न केवल ऋण हो सकता है, बल्कि किसी चीज की कमी भी हो सकती है, हालांकि, सभी ने इसे मान्यता नहीं दी।

तो, XVII सदी में, पास्कल ने ऐसा माना। आपको क्या लगता है कि उन्होंने इसे कैसे सही ठहराया? यह सही है, "कुछ भी नहीं से कम कुछ नहीं हो सकता"। उस समय की एक प्रतिध्वनि यह तथ्य बनी हुई है कि एक ऋणात्मक संख्या और घटाव के संचालन को एक ही प्रतीक - ऋण "-" द्वारा दर्शाया जाता है। और सच: । क्या संख्या " " धनात्मक है, जिसमें से घटाया गया है, या ऋणात्मक है, जिसमें जोड़ा गया है? ... श्रृंखला से कुछ "जो पहले आता है: मुर्गी या अंडा?" यहाँ इस प्रकार का गणितीय दर्शन है।

नकारात्मक संख्याओं ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति के आगमन के साथ अस्तित्व का अधिकार सुरक्षित कर लिया, दूसरे शब्दों में, जब गणितज्ञों ने वास्तविक धुरी के रूप में ऐसी चीज पेश की।

इसी क्षण से समानता आई। हालाँकि, उत्तर से अधिक प्रश्न अभी भी थे, उदाहरण के लिए:

अनुपात

इस अनुपात को अर्नो विरोधाभास कहा जाता है। जरा सोचिए, इसमें शक की क्या बात है?

चलो एक साथ बात करते हैं " " से ज्यादा " " सही है ? इस प्रकार, तर्क के अनुसार, अनुपात का बायाँ भाग दाएँ पक्ष से बड़ा होना चाहिए, लेकिन वे बराबर हैं ... यहाँ यह विरोधाभास है।

नतीजतन, गणितज्ञों ने सहमति व्यक्त की कि कार्ल गॉस (हाँ, हाँ, यह वही है जिसने 1831 में संख्याओं का योग (या) माना) ने इसे समाप्त कर दिया - उन्होंने कहा कि नकारात्मक संख्याओं के पास सकारात्मक के समान अधिकार हैं, और तथ्य यह है कि वे सभी चीजों पर लागू नहीं होते हैं, इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि भिन्न कई चीजों पर भी लागू नहीं होते हैं (ऐसा नहीं होता है कि एक खुदाई करने वाला एक छेद खोदता है, आप मूवी टिकट नहीं खरीद सकते हैं, आदि)।

गणितज्ञ केवल 19वीं शताब्दी में शांत हुए, जब ऋणात्मक संख्याओं का सिद्धांत विलियम हैमिल्टन और हरमन ग्रासमैन द्वारा बनाया गया था।

वे कितने विवादास्पद हैं, ये नकारात्मक संख्याएँ हैं।

"शून्यता" का उदय, या शून्य की जीवनी।

गणित में, एक विशेष संख्या। पहली नज़र में, यह कुछ भी नहीं है: जोड़ें, घटाएं - कुछ भी नहीं बदलेगा, लेकिन आपको बस इसे "" के दाईं ओर रखना होगा, और परिणामी संख्या मूल संख्या से कई गुना अधिक होगी। शून्य से गुणा करके हम सब कुछ शून्य में बदल देते हैं, लेकिन हम "कुछ नहीं" से विभाजित नहीं कर सकते। एक शब्द में, जादुई संख्या)

शून्य का इतिहास लंबा और जटिल है। 2000 ई. में चीनियों के लेखन में शून्य का निशान मिलता है। और पहले भी माया के साथ। शून्य चिह्न का पहला प्रयोग, जैसा कि आज है, यूनानी खगोलविदों के बीच देखा गया था।

इस तरह के पदनाम "कुछ नहीं" को क्यों चुना गया, इसके कई संस्करण हैं। कुछ इतिहासकारों का मानना ​​है कि यह एक ओमाइक्रोन है, अर्थात। कुछ नहीं के लिए यूनानी शब्द का पहला अक्षर ouden है। एक अन्य संस्करण के अनुसार, "ओबोल" (लगभग कोई मूल्य का सिक्का) शब्द ने शून्य के प्रतीक को जीवन दिया।

शून्य (या शून्य) एक गणितीय प्रतीक के रूप में सबसे पहले भारतीयों के बीच प्रकट होता है (ध्यान दें कि ऋणात्मक संख्याएं वहां "विकसित" होने लगीं)। शून्य लिखने का पहला विश्वसनीय प्रमाण 876 से मिलता है, और उनमें "" संख्या का एक घटक है।

शून्य भी यूरोप में देरी से आया - केवल 1600 में, और नकारात्मक संख्याओं की तरह, इसे प्रतिरोध का सामना करना पड़ा (आप क्या कर सकते हैं, वे यूरोपीय हैं)।

अमेरिकी गणितज्ञ चार्ल्स सीफ लिखते हैं, "शून्य से अक्सर घृणा, भय, या यहां तक ​​​​कि प्रतिबंधित भी किया जाता रहा है।" तो, 19 वीं शताब्दी के अंत में तुर्की सुल्तान अब्दुल-हामिद II। अपने सेंसर को सभी रसायन शास्त्र की पाठ्यपुस्तकों से H2O पानी के फार्मूले को हटाने का आदेश दिया, "O" अक्षर को शून्य के लिए ले लिया और यह नहीं चाहता था कि उसके आद्याक्षर को नीच शून्य से निकटता से बदनाम किया जाए।

इंटरनेट पर आप वाक्यांश पा सकते हैं: "शून्य ब्रह्मांड में सबसे शक्तिशाली शक्ति है, यह कुछ भी कर सकता है! शून्य गणित में व्यवस्था बनाता है और उसमें अराजकता भी लाता है। बिल्कुल सही बिंदु :)

अनुभाग का सारांश और मूल सूत्र

पूर्णांकों के समुच्चय में 3 भाग होते हैं:

• प्राकृतिक संख्याएँ (हम उन पर नीचे और अधिक विस्तार से विचार करेंगे);
• प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ;
• शून्य - " "

पूर्णांकों के समुच्चय को निरूपित किया जाता है पत्र जेड।

1. प्राकृतिक संख्या

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनने के लिए करते हैं।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को निरूपित किया जाता है पत्र एन.

पूर्णांकों के साथ संचालन में, आपको GCD और LCM खोजने की क्षमता की आवश्यकता होगी।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)

आपको जिस एनओडी की आवश्यकता है उसे खोजने के लिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें (उन संख्याओं में जिन्हें स्वयं के अलावा किसी अन्य चीज़ से विभाजित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, आदि)।
2. उन कारकों को लिखिए जो दोनों संख्याओं के भाग हैं।
3. उन्हें गुणा करें।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)

एनओसी खोजने के लिए आपको चाहिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें (आप पहले से ही जानते हैं कि यह कैसे करना है)।
2. किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखिए (सबसे लंबी श्रृंखला लेना बेहतर है)।
3. उनमें शेष संख्याओं के प्रसार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें।
4. परिणामी कारकों के उत्पाद का पता लगाएं।

2. ऋणात्मक संख्या

ये वे संख्याएँ हैं जो प्राकृत संख्याओं के विपरीत हैं, अर्थात्:

अब मैं आपसे सुनना चाहता हूं ...

मुझे आशा है कि आपने इस खंड की अति-उपयोगी "ट्रिक्स" की सराहना की और समझ गए कि वे परीक्षा में आपकी कैसे मदद करेंगे।

और इससे भी महत्वपूर्ण बात, जीवन में। मैं इसके बारे में बात नहीं कर रहा हूं, लेकिन मेरा विश्वास करो, यह है। जल्दी और बिना त्रुटियों के गिनने की क्षमता कई जीवन स्थितियों में बचाती है।

अब आपकी बारी है!

लिखिए, क्या आप गणना में समूहन विधियों, विभाज्यता मानदंड, GCD और LCM का उपयोग करेंगे?

हो सकता है कि आपने उन्हें पहले इस्तेमाल किया हो? कहां और कैसे?

शायद आपके पास प्रश्न हैं। या सुझाव।

टिप्पणियों में लिखें कि आपको लेख कैसा लगा।

और आपकी परीक्षा के लिए शुभकामनाएँ!

लेख की सामग्री

गणित में एक संख्या की अवधारणा एक अलग प्रकृति की वस्तुओं को संदर्भित कर सकती है: गिनती में प्रयुक्त प्राकृतिक संख्याएं (सकारात्मक पूर्णांक 1, 2, 3, आदि), संख्याएं जो (आदर्श) माप के संभावित परिणाम हैं (ये संख्याएं हैं जैसे कि 2/3, - उन्हें वास्तविक संख्याएँ कहा जाता है), ऋणात्मक संख्याएँ, काल्पनिक संख्याएँ (कहते हैं, k), और गणित के उच्च वर्गों में उपयोग की जाने वाली संख्याओं के अन्य अधिक सार वर्ग (उदाहरण के लिए, हाइपरकॉम्प्लेक्स और ट्रांसफ़िनिट नंबर)। एक संख्या को उसके प्रतीक, या उस अंकन से अलग किया जाना चाहिए जो इसका प्रतिनिधित्व करता है। हम संख्याओं के विभिन्न वर्गों के बीच तार्किक संबंधों पर विचार करेंगे।

इस तरह की पहेलियों को आसानी से हल किया जा सकता है, अगर हम मानते हैं कि संख्याओं के विभिन्न वर्गों के अलग-अलग अर्थ हैं; यद्यपि उनमें इतना समान है कि उन सभी को संख्या कहा जा सकता है, यह नहीं सोचा जाना चाहिए कि वे सभी समान नियमों को पूरा करेंगे।

सकारात्मक आंकड़े।

यद्यपि हम सभी बचपन में सकारात्मक पूर्णांक (1, 2, 3, आदि) सीखते हैं, जब परिभाषाओं के बारे में सोचना मुश्किल होता है, फिर भी ऐसी संख्याओं को औपचारिक तर्क के सभी नियमों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। संख्या 1 की एक सख्त परिभाषा में एक दर्जन से अधिक पृष्ठ लगेंगे, और 1 + 1 = 2 जैसा सूत्र, यदि बिना किसी संक्षिप्त रूप के पूर्ण विवरण में लिखा गया है, तो कई किलोमीटर तक फैला होगा। हालाँकि, किसी भी गणितीय सिद्धांत को कुछ अपरिभाषित अवधारणाओं और स्वयंसिद्धों के साथ शुरू करने के लिए मजबूर किया जाता है या उनके बारे में अभिधारणा करता है। चूँकि धनात्मक पूर्णांक सर्वविदित हैं और कुछ सरल का उपयोग करके उन्हें परिभाषित करना कठिन है, हम उन्हें मूल अपरिभाषित अवधारणाओं के रूप में लेंगे और मान लेंगे कि इन संख्याओं के मूल गुण ज्ञात हैं।

ऋणात्मक पूर्णांक और शून्य।

इन दिनों ऋणात्मक संख्याएँ आम हैं: उनका उपयोग, उदाहरण के लिए, शून्य से नीचे के तापमान को दर्शाने के लिए किया जाता है। इसलिए, यह आश्चर्यजनक लगता है कि कुछ सदियों पहले नकारात्मक संख्याओं की कोई विशिष्ट व्याख्या नहीं थी, और गणना के दौरान दिखाई देने वाली नकारात्मक संख्याओं को "काल्पनिक" कहा जाता था। यद्यपि ऋणात्मक संख्याओं की सहज व्याख्या अपने आप में उपयोगी है, जब "नियम" जैसे (-4)ґ(-3) = +12 को समझने की कोशिश करते हैं, तो हमें सकारात्मक संख्याओं के संदर्भ में ऋणात्मक संख्याओं को परिभाषित करना चाहिए। ऐसा करने के लिए, हमें ऐसी गणितीय वस्तुओं का एक सेट बनाने की आवश्यकता है जो अंकगणित और बीजगणित में ठीक उसी तरह व्यवहार करेंगे जैसे कोई नकारात्मक संख्याओं से अपेक्षा करता है। ऐसे समुच्चय की रचना करने का एक तरीका धनात्मक संख्याओं के क्रमित युग्मों पर विचार करना है ( एक,बी) "आदेशित" का अर्थ है कि, उदाहरण के लिए, जोड़ी (2,3) जोड़ी (3,2) से अलग है। ऐसे क्रमित युग्मों को संख्याओं का एक नया वर्ग माना जा सकता है। अब हमें कहना होगा कि ऐसी दो नई संख्याएँ कब बराबर होती हैं और उनके जोड़ और गुणा का क्या अर्थ होता है। परिभाषाओं का हमारा चुनाव इस इच्छा से प्रेरित है कि युग्म ( एक,बी) अंतर के रूप में कार्य किया ( एक – बी), जिसे अब तक केवल तभी परिभाषित किया गया है जब एकअधिक बी. चूंकि बीजगणित में ( ए-बी) + (सी-डी) = (ए+सी) – (बी+डी), हमें नई संख्याओं के योग को इस प्रकार परिभाषित करने की आवश्यकता है ( एक,बी) + (सी,डी) = (ए+सी, बी+डी); इसलिये ( एक – बी)ґ(सी – डी) = एसी + बीडीओ – (बीसी + विज्ञापन), हम गुणन को समानता से परिभाषित करते हैं ( एक,बी)ґ(सी,डी) = (एसी+बीडी, बीसी + विज्ञापन); और तबसे ( ए-बी) = (सी-डी), यदि ए + डी = बी + सी, हम संबंध द्वारा नई संख्याओं की समानता को परिभाषित करते हैं ( एक,बी) = (सी,डी), यदि ए + डी = बी + सी. इस तरह,

जोड़े की समानता की परिभाषाओं का उपयोग करके, हम जोड़ों के योग और उत्पाद को सरल रूप में लिख सकते हैं:

सभी जोड़े ( एक,एक) बराबर हैं (जोड़े की समानता की परिभाषा के अनुसार) और कार्य करते हैं जैसा कि हम शून्य से कार्य करने की अपेक्षा करते हैं। उदाहरण के लिए, (2.3) + (1.1) = (3.4) = (2.3); (2.3)ґ(1.1) = (2 + 3, 2 + 3) = (5.5) = (1.1)। जोड़े ( एक,एक) हम 0 का प्रतीक हो सकते हैं (जिसका अभी तक उपयोग नहीं किया गया है)।

जोड़े ( एक,बी), कहाँ पे बीअधिक एक, नकारात्मक संख्याओं के रूप में व्यवहार करना चाहिए, और हम जोड़ी को निरूपित कर सकते हैं ( एक,बी) चिन्ह, प्रतीक -( बी – एक) उदाहरण के लिए, -4 है (1.5) और -3 है (1.4); (-4)ґ(-3) = (21.9), या (13.1)। हम अंतिम संख्या को 12 के रूप में निरूपित करना चाहेंगे, लेकिन यह निश्चित रूप से सकारात्मक पूर्णांक 12 के समान नहीं है, क्योंकि यह सकारात्मक पूर्णांकों की एक जोड़ी को दर्शाता है, एक भी सकारात्मक पूर्णांक नहीं। इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि चूंकि जोड़े ( एक,बी), कहाँ पे बीकम एक, सकारात्मक पूर्णांक के रूप में कार्य करें ( एक – बी), हम संख्याएँ लिखेंगे जैसे ( एक – बी) उसी समय, हमें उन सकारात्मक पूर्णांकों के बारे में भूलना चाहिए जिनके साथ हमने शुरुआत की थी, और अब से केवल हमारे नए नंबरों का उपयोग करें, जिन्हें हम कहेंगे पूर्ण संख्याएं. तथ्य यह है कि हम कुछ नए नंबरों के लिए पुराने नामों का उपयोग करने का इरादा रखते हैं, यह भ्रामक नहीं होना चाहिए कि नए नंबर वास्तव में एक अलग तरह की वस्तुएं हैं।

अंश।

सहज रूप से, हम भिन्न 2/3 को 1 को तीन बराबर भागों में तोड़ने और उनमें से दो लेने के परिणाम के रूप में सोचते हैं। हालांकि, गणितज्ञ अंतर्ज्ञान पर यथासंभव कम भरोसा करने और सरल वस्तुओं - पूर्णांकों के संदर्भ में परिमेय संख्याओं को परिभाषित करने का प्रयास करता है। यह 2/3 को (2,3) पूर्णांकों के एक क्रमित युग्म के रूप में मानकर ऐसा किया जा सकता है। परिभाषा को पूरा करने के लिए, भिन्नों की समानता के साथ-साथ जोड़ और गुणा के नियमों को तैयार करना आवश्यक है। बेशक, ये नियम अंकगणित के नियमों के बराबर होने चाहिए और निश्चित रूप से उन क्रमित युग्मों के नियमों से भिन्न होने चाहिए जिन्हें हमने पूर्णांकों के रूप में परिभाषित किया है। यहाँ नियम हैं:

यह देखना आसान है कि जोड़े ( एक,1) पूर्णांक के रूप में कार्य करें एक; उसी तरह तर्क करना जारी रखें जैसे ऋणात्मक संख्याओं के मामले में, हम 2 भिन्न (2.1), या (4.2), या (2.1) के बराबर किसी अन्य भिन्न से निरूपित करते हैं। आइए अब हम पूर्ण संख्याओं को भूल जाएं और उन्हें केवल कुछ भिन्नों को लिखने के साधन के रूप में रखें।

परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ।

भिन्नों को परिमेय संख्या भी कहा जाता है, क्योंकि इन्हें इस रूप में दर्शाया जा सकता है संबंधों(अक्षांश से। अनुपातअनुपात) दो पूर्णांकों का। लेकिन यदि हमें एक ऐसी संख्या की आवश्यकता है जिसका वर्ग 2 हो, तो हम परिमेय संख्याओं से प्राप्त नहीं कर सकते, क्योंकि ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसका वर्ग 2 के बराबर हो। यदि हम किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात को व्यक्त करने वाली संख्या के बारे में पूछें तो वही स्पष्ट हो जाता है। इसलिए, यदि हम सभी धनात्मक संख्याओं का वर्गमूल प्राप्त करना चाहते हैं, तो हमें परिमेय संख्याओं के वर्ग का विस्तार करना होगा। नई संख्याएँ, जिन्हें अपरिमेय (अर्थात परिमेय नहीं) कहा जाता है, को विभिन्न तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। आदेशित जोड़े इसके लिए अच्छे नहीं हैं; सबसे सरल तरीकों में से एक अपरिमेय संख्याओं को अनंत गैर-आवर्ती दशमलव के रूप में परिभाषित करना है।

वास्तविक संख्या।

परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर वास्तविक या वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं। ज्यामितीय रूप से, उन्हें एक सीधी रेखा पर बिंदुओं द्वारा, पूर्णांकों के बीच भिन्नों के साथ, और भिन्नों के बीच में अपरिमेय संख्याओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 1. यह दिखाया जा सकता है कि वास्तविक संख्याओं की प्रणाली में "पूर्णता" नामक एक संपत्ति होती है जिसका अर्थ है कि रेखा पर प्रत्येक बिंदु किसी वास्तविक संख्या से मेल खाता है।

जटिल आंकड़े।

चूँकि धनात्मक और ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के वर्ग धनात्मक होते हैं, वास्तविक संख्याओं की रेखा पर ऐसा कोई बिंदु नहीं होता जो उस संख्या के संगत हो जिसका वर्ग -1 हो। लेकिन अगर हमने द्विघात समीकरणों को हल करने की कोशिश की जैसे एक्स 2 + 1 = 0, तो कार्य करना आवश्यक होगा जैसे कि कोई संख्या थी मैं, जिसका वर्ग -1 होगा। लेकिन चूंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है, इसलिए हमारे पास "काल्पनिक" या "काल्पनिक" संख्या का उपयोग करने के अलावा कोई विकल्प नहीं है। तदनुसार, "संख्या" मैंऔर साधारण संख्याओं के साथ इसके संयोजन (जैसे 2 + 3 .) मैं) काल्पनिक के रूप में जाना जाने लगा। आधुनिक गणितज्ञ ऐसे नंबरों को "जटिल" कहना पसंद करते हैं, क्योंकि जैसा कि हम देखेंगे, वे उतने ही "वास्तविक" हैं जितने कि हमने पहले देखे हैं। लंबे समय तक, गणितज्ञों ने काल्पनिक संख्याओं का स्वतंत्र रूप से उपयोग किया और उपयोगी परिणाम प्राप्त किए, हालांकि वे पूरी तरह से नहीं समझ पाए कि वे क्या कर रहे हैं। 19वीं सदी की शुरुआत तक यह किसी के लिए कभी नहीं हुआ कि वे अपनी स्पष्ट परिभाषा की मदद से काल्पनिक संख्याओं को "पुनर्जीवित" करें। ऐसा करने के लिए, आपको गणितीय वस्तुओं के कुछ सेट बनाने की आवश्यकता है, जो बीजगणित के दृष्टिकोण से, भावों की तरह व्यवहार करेंगे a+bi, अगर हम सहमत हैं कि मैं 2 = -1। ऐसी वस्तुओं को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। विचार करें कि हमारी नई संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्म हैं, जिनका योग और गुणन सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

हम ऐसे क्रमित युग्मों को सम्मिश्र संख्या कहते हैं। निजी फॉर्म के जोड़े ( एक,0) शून्य के बराबर दूसरे पद के साथ वास्तविक संख्याओं की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए हम उन्हें उसी तरह निरूपित करने के लिए सहमत होंगे: उदाहरण के लिए, 2 का अर्थ (2,0) है। दूसरी ओर, सम्मिश्र संख्या (0, बी) गुणन की परिभाषा के अनुसार गुण (0, बी)ґ(0,बी) = (0 – बी 2 , 0 + 0) = (–बी 2 ,0) = –बी 2. उदाहरण के लिए, (0.1)ґ(0.1) के मामले में हम उत्पाद (-1.0) पाते हैं; इसलिए, (0.1) 2 = (-1.0)। हम सम्मिश्र संख्या (-1.0) को -1 के रूप में लिखने के लिए पहले ही सहमत हो चुके हैं, इसलिए यदि संख्या (0.1) को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है मैं, तो हमें एक सम्मिश्र संख्या प्राप्त होती है मैं, ऐसा है कि मैं 2 = -1। इसके अलावा, सम्मिश्र संख्या (2,3) को अब 2 + 3 . के रूप में लिखा जा सकता है मैं.

सम्मिश्र संख्याओं और पारंपरिक एक के लिए इस दृष्टिकोण के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि इस मामले में संख्या मैंइसमें रहस्यमय या काल्पनिक कुछ भी शामिल नहीं है: यह पहले से मौजूद संख्याओं के माध्यम से अच्छी तरह से परिभाषित कुछ है, हालांकि, निश्चित रूप से, यह उनमें से किसी के साथ मेल नहीं खाता है। इसी तरह, वास्तविक संख्या 2 जटिल नहीं है, हालांकि हम एक जटिल संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रतीक 2 का उपयोग करते हैं। चूंकि काल्पनिक संख्याओं के बारे में वास्तव में "काल्पनिक" कुछ भी नहीं है, इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि वे वास्तविक परिस्थितियों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण के लिए इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में (जहां एक पत्र के बजाय मैंआमतौर पर पत्र का प्रयोग करें जे, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग के रूप में मैं- वर्तमान के वर्तमान मूल्य के लिए प्रतीक)।

सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित कई मायनों में वास्तविक संख्याओं के बीजगणित से मिलता-जुलता है, हालांकि महत्वपूर्ण अंतर हैं। उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्याओं के लिए नियम: , इसलिए , जबकि ।

जटिल संख्याओं का जोड़ एक सरल ज्यामितीय व्याख्या की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, संख्याओं का योग 2 + 3 मैंऔर 3 - मैंएक संख्या 5 + 2 . है मैं, जो अंक 0, 2 + 3 पर तीन शीर्षों के साथ समांतर चतुर्भुज के चौथे शीर्ष से मेल खाती है मैंऔर 3 - मैं.

समतल पर एक बिंदु न केवल आयताकार (कार्टेशियन) निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है ( एक्स,आप), लेकिन इसके ध्रुवीय निर्देशांक द्वारा भी ( आर,क्यू) बिंदु से मूल बिंदु और कोण की दूरी निर्दिष्ट करना। इसलिए, सम्मिश्र संख्या एक्स+आईवाईध्रुवीय निर्देशांक में भी लिखा जा सकता है (चित्र 2, बी) त्रिज्या वेक्टर की लंबाई आरमूल बिंदु से सम्मिश्र संख्या के संगत बिंदु तक की दूरी के बराबर; आकार आरएक सम्मिश्र संख्या का मापांक कहलाता है और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है। अक्सर एक मॉड्यूल के रूप में लिखा जाता है। कोना क्यूएक सम्मिश्र संख्या का "कोण", "तर्क", या "चरण" कहलाता है। ऐसी संख्या में अपरिमित रूप से कई कोण होते हैं जो 360° के गुणज से भिन्न होते हैं; उदाहरण के लिए, मैंका कोण 90°, 450°, -270°, है क्योंकि एक ही बिंदु के कार्तीय और ध्रुवीय निर्देशांक संबंधों से संबंधित हैं एक्स = आरक्योंकि क्यू, आप = आरपाप क्यू, समानता एक्स + मैं = आर(कोस क्यू + मैंपाप क्यू).

यदि एक जेड = एक्स + आईवाई, फिर संख्या x-iyका सम्मिश्र संयुग्म कहलाता है जेडऔर निरूपित n z = re iq । एक सम्मिश्र संख्या का लघुगणक पुनः बुद्धि, परिभाषा के अनुसार, ln . के बराबर है आर + आईक्यू, जहां ln का अर्थ है आधार लघुगणक इ, एक क्यूरेडियन में मापे गए सभी संभावित मान लेता है। इस प्रकार, एक सम्मिश्र संख्या में अपरिमित रूप से कई लघुगणक होते हैं। उदाहरण के लिए, एलएन (-2) = एलएन 2 + आईपी+ 2 . का कोई भी पूर्णांक गुणज पी. सामान्य तौर पर, डिग्री को अब संबंध का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है ए बी = ई बीएलएन एक. उदाहरण के लिए, मैं –2मैं = इ-2ln मैं. संख्या तर्क के मूल्यों के बाद से मैंबराबर पी/2 (90° रेडियन में व्यक्त) प्लस एक पूर्णांक गुणज, फिर संख्या मैं –2मैंमामला ईपी, इ 3 पी, इ -पीआदि, जो सभी मान्य हैं।

हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबर।

वास्तविक गुणांक के साथ सभी द्विघात समीकरणों को हल करने में सक्षम होने के लिए जटिल संख्याओं का आविष्कार किया गया था। यह दिखाया जा सकता है कि, वास्तव में, जटिल संख्याएं किसी को भी बहुत कुछ करने की अनुमति देती हैं: उनके परिचय के साथ, किसी भी डिग्री के बीजीय समीकरण जटिल गुणांक के साथ भी हल करने योग्य हो जाते हैं। नतीजतन, यदि हम केवल बीजीय समीकरणों को हल करने में रुचि रखते थे, तो नई संख्याओं को पेश करने की आवश्यकता गायब हो जाएगी। हालांकि, अन्य उद्देश्यों के लिए, संख्याओं की आवश्यकता होती है जो कुछ हद तक जटिल लोगों के समान ही व्यवस्थित होते हैं, लेकिन अधिक घटकों के साथ। कभी-कभी ऐसी संख्याओं को हाइपरकॉम्प्लेक्स कहा जाता है। उदाहरण quaternions और matrices हैं।