Numbrid. Täisarvud. Täisarvude omadused. Suurim ühiskordne ja vähim ühisjagaja. Jagatavuskriteeriumid ja rühmitamise meetodid (2019)

§ 77. Ühiku murdude kohta.

Uurisime täisarvude omadusi ja nendega seotud toiminguid. Lisaks täisarvudele on ka murdarvud, millega me nüüd tutvume. Kui õpilane ütleb, et tal kulub kodust kooli jalutamiseks pool tundi, väljendab ta aega mitte tervete tundide, vaid tunni osade kaupa. Kui arst soovitab patsiendil lahustada pulber veerand klaasis kuumas vees, siis vett mõõdetakse mitte tervete klaaside, vaid klaasi osade kaupa. Kui üks arbuus jagada kolme poisi vahel võrdselt, siis saab igaüks neist arbuusist vaid kolmandiku ehk kolmandiku.

Kõigil juhtudel ei rääkinud me tervetest ühikutest, vaid ühiku osadest või murdosadest. Aktsiad võivad olla väga erinevad, näiteks gramm on tuhandik kilogrammist, millimeeter on miljondik kilomeetrist. Kõigepealt räägime kõige lihtsamatest aktsiatest (pool, kolmas, kvartal jne).

Suurema selguse huvides kujutame neid aktsiaid sirgjooneliste segmentidena.

Kui võtta lõigu AB ühikuna (joonis 9), siis jagades selle kaheks võrdseks osaks, saame öelda, et saadud segmendid AC ja CB on lõigu AB pooled.

Lisaks, kui võtta lõigu DE (joonis 10) ühikuna ja jagada see 3 võrdseks osaks, on kõik saadud lõigud DF, FH, HE võrdne ühe kolmandikuga lõigust DE ja lõigu DH. on võrdne kahe kolmandikuga segmendist DE. Samamoodi on segment FE võrdne kahe kolmandikuga segmendist DE.

Võtame teise lõigu MN (joonis 11), võtame selle ühikuna ja jagame neljaks võrdseks osaks; siis on iga segment MP, PQ, QR, RN võrdne veerandiga segmendist MN; iga segment MQ, PR, QN on võrdne kahe neljandikuga ja iga segment MR ja PN on võrdne kolme neljandikuga MN.

Vaadeldavates näidetes tutvusime poole, kolmandiku, veerandi, kahe kolmandiku, kahe neljandiku, kolmveerandiga ehk siis kas ühe osakuga või kahe või kolme võrdse osakuga. .

Nimetatakse arvu, mis koosneb ühest või mitmest võrdsest osast tulistas.

Oleme juba öelnud, et sõna "jagama" asemel võib öelda sõna "osa"; seetõttu võib murdosa nimetada arvuks, mis väljendab ühiku üht või mitut identset osa.

Seega on selles lõigus mainitud numbrid: pool ehk üks sekund, üks kolmandik, üks veerand, kaks kolmandikku ja teised murdarvud.

Sageli on vaja arvestada mitte ainult objektide osadega, vaid koos nendega terveid objekte. Näiteks otsustavad kaks poissi jagada oma viis õuna võrdselt. Ilmselgelt võtab igaüks neist kõigepealt kaks õuna ja ülejäänud viimase õuna lõikab kaheks võrdseks osaks. Siis on mõlemal kaks ja pool õuna. Siin väljendatakse iga poisi õunte arvu täisarvuna (kaks) mõne murdosaga (pool).

Kutsutakse arve, mis sisaldavad täisarvu ja murdosa seganumbrid.

§ 78. Murdude kujutis.

Mõelge eelmise lõigu viimasele joonisele (joonis 11). Me ütlesime, et segment MR on kolm neljandikku segmendist MN. Nüüd tekib küsimus, kuidas saab seda murdu ehk kolmveerandit arvude abil kirjutada. Tuletage meelde, kuidas tekkis murdosa kolmveerand. Võtsime lõigu MN ühikuna, jagasime selle 4 võrdseks osaks ja võtsime nendest osadest 3. Just see murdosa tekkimise protsess peaks kajastuma selle kirjes, st sellest kirjest peaks olema näha, et ühik jagatakse 4 võrdseks osaks ja saadud osadeks võetakse 3. Seetõttu kujutatakse murdosa kahe horisontaaljoonega eraldatud numbriga. Rea alla kirjutatakse arv, mis näitab, kui mitmeks võrdseks osaks on ühik jagatud, millest murd võetakse, ja rea ​​kohale kirjutatakse teine ​​​​arv, mis näitab, kui palju aktsiaid sisaldab

selles murdosas. Kolmveerandi murdosa kirjutatakse järgmiselt: 3/4.

Rea kohal olevat numbrit kutsutakse lugeja fraktsioonid; see arv näitab antud murdos sisalduvate osade arvu.

Helistatakse rea all olevale numbrile nimetaja fraktsioonid; see näitab, mitu võrdset osa ühik on jagatud.

3 - lugeja,
_
4 on nimetaja.

Mõttekriipsu, mis eraldab lugeja nimetajast, nimetatakse murdarvuks. Lugejat ja nimetajat nimetatakse ühiselt murdosaliikmeteks. Kirjutame näitena murdosa:

kaks kolmandikku - 2/3; viis kaheteistkümnendikku - 5/12.

Segaarvud kirjutatakse järgmiselt: kõigepealt kirjutatakse täisarv ja selle kõrvale omistatakse paremale murd. Näiteks kahe ja nelja viiendiku segaarv tuleks kirjutada järgmiselt: 2 4 / 5.

§ 79. Murdude tekkimine.

Mõelge küsimusele, kuidas ja kus murrud tekivad, miks ja millistel asjaoludel need ilmuvad.

Võtame näiteks selle fakti. Tahvli pikkust tuleb mõõta meetriga. Võtame meetri pikkuse puidust joonlaua ja kanname selle mööda plaadi alumist serva, liikudes vasakult paremale. Las see mahub kaks korda sisse, aga tahvlil on ikka mingi osa kuhu joonlaud kolmandal korral ei mahu, sest ülejäänud osa pikkus on väiksem kui joonlaua pikkus.

Kui ülejäänud laud sisaldab näiteks pool meetrit, siis tahvli pikkus on kaks ja pool (2 1/2) meetrit.

Nüüd mõõdame sama joonlauaga plaadi laiust. Ütleme nii, et ta tegi seda korra, aga pärast seda ainsat viivitust jäi tahvlist alles väike osa, alla meetri pikk. Ütleme, et tahvli sellele osale meetrit rakendades võis leida, et see võrdub ühe veerandiga (1/4) meetrist.

Seega on plaadi kogu laius 1 1/4 m.

Nii saime tahvli pikkuse ja laiuse mõõtmisel arvud 2 1/2 m ja 1 1/4 m (st murdarvud).

Mitte ainult objektide pikkust ja laiust, vaid ka paljusid muid suurusi väljendatakse sageli murdarvudes.

Me mõõdame aega mitte ainult tundides, minutites ja sekundites, vaid sageli ka tunni osades, minuti osades ja isegi sekundi osades.

Väga sageli väljendavad murdarvud kaalu, näiteks öeldakse: 1/2 kg, l 1/2 kg, 1/2 g, 3/4 g, 1/2 t jne.

Siiani oleme rääkinud murdude päritolust mõõtmisel, kuid on veel üks murdude allikas - see on jagamise toiming. Lõpetame seal. Olgu nõutud 3 õuna jagamist 4 poisi vahel; ilmselgelt ei saa sel juhul iga poiss tervet õuna, sest õunu on vähem kui lapsi. Kõigepealt võta 2 õuna ja lõika mõlemad pooleks. Sellest saab 4 poolikut ja kuna poisse on neli, võib igaühele anda pool õuna. Ülejäänud kolmanda õuna lõikame neljaks osaks ja lisame iga poisi olemasolevale veel ühe veerandi. Seejärel jagatakse kõik õunad laiali ning iga poiss saab poole ja veerandi õuna. Aga kuna iga pool sisaldab 2 veerandit, siis võib lõpuks öelda, et igal poisil on kaks veerandit ja pluss üks veerand kumbki ehk kokku kolmveerand (3/4) õunast.

§ 80. Murdude suuruse võrdlus.

Kui võrrelda omavahel mingeid suurusi, näiteks kahte segmenti, siis võib selguda, et üks neist on teisega täpselt võrdne või on teisest suurem või teisest väiksem.

Joonisel fig 12 on segment AB võrdne segmendiga CD; segment EF on suurem kui segmendi QH; segment KL on väiksem kui segment MN.

Murdude võrdlemisel kohtame sama kolme juhtumit. Proovime mõnda murdosa omavahel võrrelda.

1. Kaks murdosa loetakse võrdseks, kui nendele murdudele vastavad suurused on üksteisega võrdsed (sama mõõtühikuga). Võtame lõigu SC ja võtame selle ühikuna.

Jagame segmendi SK pooleks punktiga D (joonis 13). Seejärel tähistame selle segmendi CD osa murdosaga 1/2. Kui jagame sama lõigu SK 4 võrdseks osaks, siis segment CD väljendatakse murdosana 2/4; kui jagame lõigu SK 8 võrdseks osaks, vastab segment CD murdarvule 4/8. Kuna võtsime sama lõigu kolm korda, on murrud 1/2, 2/4 ja 4/8 üksteisega võrdsed.

2. Võtame kaks võrdsete lugejatega murdosa: 1/4 ja 1/8 ning vaatame, millised väärtused neile vastavad. Esimesel juhul jagatakse mingi väärtus 4 võrdseks osaks ja teisel juhul samuti 8 võrdseks osaks.

Joonis 14 näitab, et 1/4 on suurem kui 1/8. Seetõttu on kahe sama lugejaga murru puhul suurem murdosa väiksema nimetajaga murd.

3. Võtke kaks võrdsete nimetajatega murru: 5/8 ja 3/8. Kui märgime kõik need murded eelmisel joonisel, siis näeme, et esimesele murrule vastav segment on suurem kui teisele vastav segment. Seega on kahe sama nimetajaga murru puhul suurem murdosa see, millel on suurem lugeja.

4. Kui on antud kaks murdu erinevate lugejate ja nimetajatega, siis saab nende väärtust hinnata, kui võrrelda neid iga ühega. Näiteks 2/3 on väiksem kui 4/5, sest esimene murru erineb ühtsusest 1/3 ja teine ​​1/5 võrra, st teisel murrul on ühtsust vähem kui esimesel.

Selliseid murde on aga kõige lihtsam võrrelda, taandades need ühisele nimetajale, millest tuleb juttu allpool.

§ 81. Murrud on korrapärased ja ebaõiged. Seganumbrid.

Võtame lõigu AB, mis võrdub kahe lineaarühikuga (joonis 15). Jagame iga üksuse 10 võrdseks osaks, siis on iga osa võrdne 1/10, s.o.

AD = DE = EF = FH = ... = 1/10 AC.

Mõelge teistele segmentidele ja mõelge, millistes murdudes need on väljendatud. Näiteks AF - 3/10, AK - 5/10, AM - 7/10; AO - 9 / 10 , AS - 10 / 10 , AR - 11 / 10 , AR - 13 / 10 . Esitasime kõik lõigud, mis on võetud murdarvudena, nimetajaga 10. Esimesel neljal murdul (3/10, 5/10, 7/10; 9/10) on lugejad nimetajatest väiksemad, igaüks neist on väiksem kui 1.

Viienda murru (10/10) lugeja on võrdne nimetajaga ja murdosa ise on võrdne 1-ga, see vastab segmendile AC, võttes ühikut.

Kahe viimase murdosa (11/10, 13/10) lugejad on nimetajatest suuremad ja iga murd on suurem kui 1.

Murru, mille lugeja on nimetajast väiksem, nimetatakse õigeks murruks. Nagu eespool öeldud, on õige murd väiksem kui üks. See tähendab, et esimesed neli murdu on õiged ja seetõttu võime kirjutada: 3/10<1, 5 / 10 <1, 7 / 10 <1, 9 / 10 <1.

Murru, mille lugeja on nimetajaga võrdne või sellest suurem, nimetatakse valeks murdeks. Seega on vale murd kas võrdne ühega või sellest suurem. Nii et kolm viimast murdu on valed ja võite kirjutada:

10 / 10 =1 ; 11 / 10 >1 ; 13 / 10 >1 ;

Keskendume kahele viimasele (vale)murule. Murd 11/10 koosneb ühest täisühikust ja õigest murdosast 1/10, mis tähendab, et selle saab kirjutada nii: 1 1/10. Tulemuseks oli arv, mis on täisarvu ja õige murru kombinatsioon, st segaarv. Sama võib korrata vale murdosa 13/10 puhul. Võime seda esitada kui 1 3/10. See on ka seganumber.

Peate õppima, kuidas asendada vale murd segaarvuga. Asendasime kaks eelmist ebaõiget murdu kergesti segaarvudega. Aga kui me kohtusime murdosaga, näiteks 545/32, siis on sellest täisarvu väljavõtmine keerulisem ja ilma täisarvu väljavõtmata on selle arvu väärtust raske hinnata.

Teisest küljest on erinevate arvutuste tegemisel mõnikord mugavam kasutada mitte segaarve, vaid valesid murde. See tähendab, et vajaduse korral peate suutma teha pöördteisendust, st asendama segaarvu vale murruga.

§ 82. Valemurru teisendamine segaarvuks ja pöördteisendus.

Võtame valemurru 9/4 ja proovime selle asendada segaarvuga. Vaidleme järgmiselt: kui ühes ühikus sisaldub 4 veerandit, siis 9 veerandis sisaldub sama palju täisarvu ühikuid kui mitu korda sisaldab 9 veerandit 4 kvartalit. Sellele küsimusele vastamiseks piisab, kui jagada 9 4-ga. Saadud jagatis näitab täisarvude arvu ja jääk annab veerandite arvu, mis ei moodusta tervet ühikut. 4 sisaldub 9-s kaks korda jäägiga 1. Seega 9 / 4 = 2 1 / 4, kuna 9: 4 = 2 ja 1 ülejäänud osas.

Muudame ülalmainitud vale murru 545/32 segaarvuks.

545; 32 \u003d 17 ja 1 ülejäänud osas, seega 545 / 32 \u003d 17 1 / 32.

Vale murru teisendamiseks segaarvuks peate jagama murdosa lugeja nimetajaga ja leidma jäägi; jagatis näitab tervete ühikute arvu ja jääk näitab ühiku murdosade arvu.

Kuna vale murdu segaarvuks teisendades valime iga kord täisarvu osa, nimetatakse seda teisendust tavaliselt täisarvu eemaldamiseks valest murdest.

Mõelge juhtumile, kui vale murd on võrdne täisarvuga. Olgu nõutav täisarvu väljajätmine ebaõigest

murrud 36/12 Reegli järgi saame 36: 12 = 3 ja jäägis 0, st lugeja jagatakse nimetajaga ilma jäägita, mis tähendab 36/12 = 3.

Pöördume nüüd pöördteisendusse, s.o segaarvu teisendamiseks valeks murruks.

Võtame segaarvu 3 3/4 ja muudame selle valeks murruks. Põhjendagem nii: iga terve ühik sisaldab 4 neljandikku ja 3 ühikut 3 korda rohkem neljandikku, st 4 x 3 = 12 neljandikku. See tähendab, et 3 tervet ühikut sisaldavad 12 veerandit ja isegi segaarvu murdosas on 3 veerandit ja kokku on 15 veerandit ehk 15/4. Seetõttu 3 3/4 = 15/4.

Näide. Teisendage segaarv 8 4/9 valeks murruks:

Segaarvu valeks murdeks muutmiseks peate korrutama nimetaja täisarvuga, lisama saadud korrutisele lugeja ja muutma selle summa soovitud murru lugejaks ning jätma nimetaja samaks.

§ 83. Täisarvu teisendamine valemurruks.

Mis tahes täisarvu saab väljendada ühe suvalise arvu murdudena. See on mõnikord arvutustes kasulik. Olgu näiteks arv 5 väljendatud ühiku kuuendikutes.

Vaidleme järgmiselt: kuna ühes ühikus on kuus kuuendikku, siis on nende aktsiate 5 ühikus mitte kuus, vaid 5 korda rohkem, s.o. 6 x 5 = 30 kuuendikku. Toiming on korraldatud järgmiselt:

Samamoodi saame muuta mis tahes täisarvu mis tahes nimetajaga ebaõigeks murruks. Võtame arvu 10 ja esitame selle erinevate nimetajatega valemurruna:

nimetaja 2, siis

nimetaja 3, siis

nimetaja 5, siis

Seega selleks, et väljendada täisarvu antud nimetajaga vale murduna, peate selle nimetaja korrutama antud arvuga, muutma saadud korrutise lugejaks ja allkirjastama selle nimetaja.

Väikseim võimalik nimetaja on üks (1). Seetõttu, kui nad soovivad täisarvu esitada murruna, võtavad nad nimetajaks sageli ühe (l2 = 12/1). Seda mõtet väljendatakse mõnikord järgmiselt: mis tahes täisarvu võib pidada murdarvuks, mille nimetaja on võrdne ühega (2 = 2 / 1; 3 = 3 / 1; 4 = 4 / 1; 5 = 5 / 1 jne). )

§ 84. Murru väärtuse muutumine selle tingimuste muutumisega.

Selles jaotises vaatleme, kuidas muutub murdosa väärtus selle liikmete muutumisel.

1. küsimus. Mis juhtub murdosa väärtusega kui selle lugeja suureneb mitu korda? Võtame murdarvu 1/12 ja suurendame selle lugejat järk-järgult kaks, kolm, neli jne korda. Seejärel saate järgmised murrud:

Kui hakkame neid murde omavahel võrdlema, näeme, et need järk-järgult suurenevad: teine ​​murd on kaks korda suurem kui esimene, kuna sellel on kaks korda rohkem osi, kolmas murd on kolm korda suurem kui esimene, jne.

Sellest võime järeldada: Kui murru lugejat suurendada mitu korda, suureneb murdosa sama palju.

2. küsimus. Mis juhtub murdosa väärtusega, kui vähendades selle lugejat mitu korda? Võtame murdarvu 24/25 ja vähendame selle lugejat järk-järgult kaks korda, kolm korda, neli korda jne. Siis saame järgmised murded:

Vaadake neid murde ükshaaval vasakult paremale ja näete, et teine ​​murd (12/25) on pool esimesest 24/25, kuna sellel on pooled osad, st pool lugejast; neljas murdosa 6/25 on neli korda väiksem kui esimene ja pool teist.

Tähendab, Kui murdosa lugejat mitu korda vähendada, väheneb murdosa sama palju.

3. küsimus. Mis juhtub murdosa väärtusega, kui suurendades selle nimetajat mitu korda? Sellele küsimusele saame vastata, võttes mõne murdosa, näiteks 1/2, ja suurendades selle nimetajat ilma lugejat muutmata. Kahekordistame nimetaja, kolmekordistame jne ja vaatame, mis murruga juhtub:

Nimetajat järk-järgult suurendades viisime selle lõpuks 100-ni. Nimetaja sai päris suureks, aga aktsia väärtus langes kõvasti, see võrdus ühe sajandikuga. Sellest on selge, et murdosa nimetaja suurendamine toob paratamatult kaasa murdosa enda vähenemise.

Tähendab, Kui murdosa nimetajat mitu korda suurendada, väheneb murdosa sama palju.

4. küsimus. Mis juhtub murdosa väärtusega, kui selle nimetaja korrutada? Võtame need murrud, mis on hiljuti kirjutatud, ja kirjutame need lõpust ümber; siis on meie esimene murd väikseim ja viimane suurim, kuid esimesel on suurim nimetaja ja viimasel murrul on kõige väiksem nimetaja:

Sellest on lihtne järeldada: Kui murdosa nimetajat vähendada 1 korda, suureneb murdosa sama teguri võrra.

5. küsimus. Mis juhtub murdosaga, kui nii lugeja kui ka nimetaja suurenevad või vähenevad sama palju?

Võtame murdosa 1/2 ja suurendame järjestikku ja samaaegselt selle lugejat ja nimetajat. Mõnikord pannakse murru kõrvale koefitsient, millega korrutatakse esimese murru liikmed:

Kirjutasime kuus murdosa, nad on välimuselt erinevad, kuid on lihtne aru saada, et need on kõik võrdse suurusega. Tegelikult võrdleme vähemalt esimest murdosa teisega. Esimene murd on 1/2; kui kahekordistame selle lugeja, siis murru kahekordistub, aga kui nimetaja kohe kahekordistada, siis see väheneb poole võrra ehk teisisõnu jääb muutumatuks. Seega 1/2 = 2/4. Sama mõttekäiku võib korrata ka teiste murdude puhul.

Järeldus: kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada sama arvuga(suurendage sama arvu kordi), murdosa väärtus ei muutu.

Kirjutame selle omaduse üldisel kujul. Tähistame murdosa tähega a / b , arv, millega lugeja ja nimetaja korrutatakse – tähega t ; siis on määratud omadus võrdsuse kujul:

Jääb üle kaaluda lugeja ja nimetaja samaaegse vähendamise sama arvu kordi. Kirjutame mitu murru järjest, kus esikohal on murd 36/48 ja viimases 3/4:

Kõik need on üksteisega võrdsed, mille saab leida kahe kõrvuti asetseva murru võrdlemisel, näiteks esimese murru lugeja (36) poole võrra vähendades vähendame murdu 2 korda, kuid selle nimetaja (48) poole võrra. , suurendame murdosa 2 korda, st selle tulemusena jätame selle muutmata.

Järeldus: kui murdosa lugeja ja nimetaja jagatakse sama arvuga (vähendatakse sama arv kordi), siis murru väärtus ei muutu:

Kahe viimase järelduse olemus seisneb selles, et lugeja ja nimetaja samaaegsel suurendamisel või vähendamisel sama arv kordi murru väärtus ei muutu.

See murdosa tähelepanuväärne omadus on edaspidises väga oluline, nii et me nimetame seda murdosa põhiomadus.

§ 85. Murdude vähendamine.

Võtame lõigu AB (joonis 16) ja jagame selle 20 võrdseks osaks, siis kõik need osad on 1/20; Segmenti AC, mis sisaldab 15 sellist osa, tähistatakse murdosaga 15/20.

Proovime nüüd aktsiaid suurendada, näiteks jagame segmendi mitte 20 osaks, vaid 4 võrdseks osaks. Uued aktsiad osutusid varasematest suuremaks, kuna iga uus aktsia sisaldab 5 endist aktsiat, mis on joonisel selgelt näha. Nüüd mõelgem, millega võrdub segment AC uuel purustamisel, mis esimesel purustamisel oli 15/20 lõigust AB. Jooniselt on näha, et kui lõik AB on jagatud 4 osaks, siis on lõik AC võrdne 3/4 lõigust AB.

Niisiis, segmenti AC, sõltuvalt sellest, kui mitmeks osaks segment AB on jagatud, saab esitada nii murdosaga 15/20 kui ka murdosaga 3/4. Suuruse järgi on see sama murdosa, sest see mõõdab sama segmenti samades mõõtühikutes. Seega saame murdosa 15/20 asemel kasutada murdosa 3/4 ja vastupidi.

Tekib küsimus, millist murdosa on mugavam kasutada? Teist murdu on mugavam kasutada, kuna selle lugeja ja nimetaja on väljendatud väiksemate arvudena kui esimest ning selles mõttes on see lihtsam.

Arutlemise käigus selgus, et üks väärtus (segment AC) on väljendatud kahes, välimuselt erineva, kuid väärtuselt sama (15/20, 3/4) murdes. Ilmselgelt ei saa selliseid murde olla kahte. , kuid loendamatu komplekt. Murru põhiomaduse põhjal saame tuua esimese neist murdudest sellisele kujule, et lugeja ja nimetaja on väikseimad. Tegelikult, kui murdosa 15/20 lugeja ja nimetaja jagatakse 5-ga, võrdub see 3/4, st 15/20 = 3/4.

See teisendus (lugeja ja nimetaja samaaegne vähendamine sama arvu kordi), mis võimaldab teil saada suure lugeja ja nimetajaga murru suure lugeja ja nimetajaga, kuid väiksemate liikmetega suuruselt võrdse murdosa hulgast nimetatakse murdude vähendamiseks.

Seetõttu on murdosa taandamine selle asendamine teise väiksemate liikmetega murdosaga, jagades lugeja ja nimetaja sama arvuga.

Vähendasime murdosa 15/20 ja jõudsime murduni 3/4, mida enam vähendada ei saa, sest selle liikmetel 3 ja 4 pole ühist jagajat (välja arvatud üks). Sellist murdosa nimetatakse taandamatu. Murdude vähendamisel on kaks võimalust. Esimene võimalus on see, et murdosa vähendatakse järk-järgult, mitte kohe, s.t pärast esimest redutseerimist saadakse uuesti taandatav murd, mida seejärel uuesti taandatakse, ja see protsess võib olla pikk, kui lugeja ja nimetaja on väljendatud suurtes numbrites. ja neil on palju ühiseid jagajaid.

Võtame murdosa 60/120 ja vähendame seda järjestikku, kõigepealt 2 võrra, saame 60/120 = 30/60 Uut murdu (30/60) saab ka vähendada 2 võrra, saame 30/60 = 15/30. Uue murru 15/30 liikmetel on ühised jagajad, nii et saate seda murdosa 3 võrra vähendada, saate 15/30 = 5/10. Lõpuks saab viimast murdosa vähendada 5 võrra, st 5/10 = 1/2. See on murdude järjestikune vähendamine.

Lihtne on aru saada, et seda murdosa (60 / 120) saaks kohe 60 võrra vähendada ja saame sama tulemuse. Mis on 60 numbrite 60 ja 120 puhul? Suurim ühine jagaja. See tähendab, et murdosa vähendamine selle liikmete suurima ühisjagaja võrra võimaldab selle viivitamatult muuta taandamatuks murruks, jättes vahepealsetest jaotustest mööda. See on teine ​​viis murdude vähendamiseks.

§ 86. Murdude taandamine väikseima ühisnimetajani.

Võtame mõned murrud:

Kui hakkame esimest murdosa võrdlema teisega (1/2 ja 1/3), tunneme mõningaid raskusi. Muidugi mõistame, et pool on rohkem kui üks kolmandik, kuna esimesel juhul jagatakse väärtus kaheks võrdseks osaks ja teisel juhul kolmeks võrdseks osaks; aga mis neil vahet on, sellele on veel raske vastata. Teine asi on teine ​​murd ja kolmas (1/3 ja 2/3), neid on lihtne võrrelda, sest kohe on selge, et teine ​​murd on kolmandiku võrra väiksem kui kolmas. On lihtne mõista, et nendel juhtudel, kui võrdleme samade nimetajatega murde, ei teki raskusi, samadel juhtudel, kui võrreldavate murdude nimetajad on erinevad, tekib ebamugavusi. Kontrollige seda, võrreldes ülejäänud murdosa andmeid.

Seetõttu tekib küsimus: kas kahe murru võrdlemisel on võimalik tagada, et nimetajad on samad? Seda saab teha murru põhiomadusest lähtuvalt, st kui suurendame nimetajat mitu korda, siis selleks, et murru väärtus ei muutuks, tuleb selle lugejat sama palju suurendada.

Nii saame erinevate nimetajatega murde taandada ühiseks nimetajaks.

Kui soovite taandada mõned murded ühiseks nimetajaks, peate esmalt leidma arvu, mis jaguks kõigi nende murdude nimetajaga. Seetõttu on murdude ühise nimetajani taandamise esimene samm vähima ühiskordse leidmine antud nimetajate jaoks. Pärast vähima ühiskordse leidmist on vaja seda iga nimetajaga jagades saada iga murdosa kohta nn. täiendav kordaja. Need on numbrid, mis näitavad, mitu korda tuleb iga murdosa lugejat ja nimetajat suurendada, et nende nimetajad oleksid võrdsed. Kaaluge näiteid.

1. Vähendame murrud 7/30 ja 8/15 ühiseks nimetajaks. Leidke nimetajate 30 ja 15 vähim ühiskordne. Sel juhul on see esimese murru nimetaja, st 30. See on murdude 7/30 ja 8/15 väikseim ühisnimetaja. Nüüd leiame lisategurid: 30: 30 = 1, 30: 15 = 2. Seega on esimese murru lisategur 1 ja teise puhul 2. Esimene murdosa jääb muutumatuks. Korrutades teise murdosa liikmed lisateguriga, viime selle nimetajani 30:

2. Toome kolm murru ühisele nimetajale: 7/30, 11/60 ja 3/70.

Leiame nimetajate 30, 60 ja 70 jaoks vähima ühiskordse:

Väikseim ühiskordaja on 2 2 3 5 7 = 420.

See on nende murdude väikseim ühisnimetaja.

Nüüd leiame täiendavad tegurid: 420: 30 = 14; 420: 60 = 7; 420: 70 = 6. Seega on esimese murru lisategur 14, teise 7 ja kolmanda puhul 6. Korrutades murdude liikmed vastavate lisateguritega, saame võrdsete nimetajatega murrud:

3. Vähendame murdosa ühiseks nimetajaks: 8/25 ja 5/12. Nende murdude (25 ja 12) nimetajad on kaasalgarvud. Seetõttu saadakse nende korrutamisest väikseim ühiskordaja: 25 x 12 \u003d 300. Esimese murru lisategur on 12 ja teise puhul 25. Need murrud on järgmisel kujul:

Murdude taandamiseks väikseima ühisnimetajani tuleb esmalt leida kõigi nimetajate väikseim ühiskordne ja määrata igale nimetajale lisategur ning seejärel korrutada iga murdosa mõlemad liikmed vastava lisateguriga.

Pärast seda, kui oleme õppinud, kuidas murde ühiseks nimetajaks taandada, ei valmista murdude suuruse võrdlemine enam raskusi. Nüüd saame võrrelda mis tahes kahe murru väärtust, viies need kõigepealt ühise nimetajani.

Arve on mitut tüüpi, üks neist on täisarvud. Täisarvud ilmusid selleks, et hõlbustada loendamist mitte ainult positiivses, vaid ka negatiivses suunas.

Kaaluge näidet:
Päeval oli väljas 3 kraadi sooja. Õhtuks langes temperatuur 3 kraadi võrra.
3-3=0
Väljas oli 0 kraadi. Ja öösel langes temperatuur 4 kraadi võrra ja hakkas termomeetril näitama -4 kraadi.
0-4=-4

Täisarvude jada.

Sellist ülesannet ei saa kirjeldada naturaalarvudega, me käsitleme seda ülesannet koordinaatide sirgel.

Meil on rida numbreid:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Seda numbrite jada nimetatakse täisarvude kõrval.

Positiivsed täisarvud. Terved negatiivsed arvud.

Täisarvude jada koosneb positiivsetest ja negatiivsetest arvudest. Nullist paremal on naturaalarvud või neid nimetatakse ka terved positiivsed numbrid. Ja nullist vasakule minna terved negatiivsed arvud.

Null ei ole positiivne ega negatiivne. See on piir positiivsete ja negatiivsete arvude vahel.

on arvude hulk, mis koosneb naturaalarvudest, negatiivsetest täisarvudest ja nullist.

Täisarvude jada positiivses ja negatiivses suunas on lõputu hulk.

Kui võtame suvalised kaks täisarvu, nimetatakse nende täisarvude vahelisi numbreid lõpukomplekt.

Näiteks:
Võtame täisarvud vahemikus -2 kuni 4. Kõik nende arvude vahel olevad arvud on kaasatud lõplikku hulka. Meie piiratud arvude komplekt näeb välja selline:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Naturaalnumbreid tähistatakse ladina tähega N.
Täisarvud on tähistatud ladina tähega Z. Kogu naturaalarvude ja täisarvude komplekti saab kujutada joonisel.


Mittepositiivsed täisarvud teisisõnu, need on negatiivsed täisarvud.
Mittenegatiivsed täisarvud on positiivsed täisarvud.

To täisarvud sisaldab naturaalarve, nulli ja naturaalarvudele vastandlikke numbreid.

Täisarvud on positiivsed täisarvud.

Näiteks: 1, 3, 7, 19, 23 jne. Loendamisel kasutame selliseid numbreid (laual on 5 õuna, autol 4 ratast jne)

Ladina täht \mathbb(N) – tähistatud naturaalarvude komplekt.

Naturaalarvud ei saa sisaldada negatiivseid (toolil ei saa olla negatiivset jalgade arvu) ja murdarvu (Ivan ei suutnud müüa 3,5 jalgratast).

Naturaalarvudele vastupidised arvud on negatiivsed täisarvud: -8, -148, -981, ....

Aritmeetilised tehted täisarvudega

Mida saab täisarvudega teha? Neid saab üksteisest korrutada, liita ja lahutada. Analüüsime iga toimingut konkreetse näite põhjal.

Täisarvude liitmine

Kaks sama märgiga täisarvu liidetakse järgmiselt: nende arvude moodulid liidetakse ja saadud summale eelneb lõppmärk:

(+11) + (+9) = +20

Täisarvude lahutamine

Kaks erineva märgiga täisarvu liidetakse järgmiselt: suurema arvu moodulist lahutatakse väiksema arvu moodul ja vastuse ette pannakse suurema mooduliarvu märk:

(-7) + (+8) = +1

Täisarvu korrutamine

Ühe täisarvu korrutamiseks teisega peate korrutama nende arvude moodulid ja panema saadud vastuse ette märgi “+”, kui algsed numbrid olid samade märkidega, ja märgi “-”, kui algsed numbrid olid. erinevate märkidega:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Peaksite meeles pidama järgmist täisarvu korrutamise reegel:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Mitme täisarvu korrutamiseks on reegel. Meenutagem seda:

Korrutise märk on “+”, kui negatiivse märgiga tegurite arv on paaris ja “-”, kui negatiivse märgiga tegurite arv on paaritu.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Täisarvude jagamine

Kahe täisarvu jagamine toimub järgmiselt: ühe arvu moodul jagatakse teise mooduliga ja kui numbrite märgid on samad, siis asetatakse saadud jagatise ette "+" märk. , ja kui algsete numbrite märgid on erinevad, siis pannakse märk “−”.

(-25) : (+5) = -5

Täisarvude liitmise ja korrutamise omadused

Analüüsime liitmise ja korrutamise põhiomadusi mis tahes täisarvude a , b ja c korral:

1. a + b = b + a - liitmise kommutatiivne omadus;
2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - liitmise assotsiatiivne omadus;
3. a \cdot b = b \cdot a - korrutamise kommutatiivne omadus;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- korrutamise assotsiatiivsed omadused;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c on korrutamise jaotusomadus.

Esimene tase

Suurim ühiskordne ja vähim ühisjagaja. Jagatavuskriteeriumid ja rühmitamise meetodid (2019)

Oma elu PALJU lihtsustamiseks, kui teil on vaja midagi välja arvutada, võita OGE-l või USE-l väärtuslikku aega, teha vähem rumalaid vigu - lugege seda jaotist!

Siit saate teada, mida saate teada.

• kuidas arvutada kiiremini, lihtsamalt ja täpsemalt kasutadesnumbrite rühmitamineliitmisel ja lahutamisel,
• kuidas kiiresti ilma vigadeta korrutada ja jagada korrutamisreeglid ja jagamiskriteeriumid,
• kuidas arvutusi oluliselt kiirendada kasutades vähim ühiskordne(NOC) ja suurim ühine jagaja(GCD).

Selle jaotise tehnikate omamine võib kaalukausi ühes või teises suunas kallutada ... olenemata sellest, kas astute oma unistuste ülikooli või mitte, peate teie või teie vanemad hariduse eest maksma palju raha või sisenete eelarvesse .

Sukeldume otse sisse... (Lähme!)

Oluline märkus!Kui valemite asemel näete jaburat, tühjendage vahemälu. Selleks vajutage klahvikombinatsiooni CTRL+F5 (Windowsis) või Cmd+R (Maci puhul)

Palju täisarvud koosneb 3 osast:

1. täisarvud(vaatame neid allpool üksikasjalikumalt);
2. naturaalarvudele vastupidised arvud(kõik loksub paika kohe, kui tead, mis on naturaalarvud);
3. null -" " (kus ilma selleta?)

täht Z.

Täisarvud

"Jumal lõi naturaalarvud, kõik muu on inimese käte töö" (c) Saksa matemaatik Kronecker.

Naturaalarvud on numbrid, mida kasutame objektide loendamiseks ja sellel põhineb nende esinemislugu - vajadus loendada nooli, nahkasid jne.

1, 2, 3, 4...n

täht N.

Sellest tulenevalt ei sisalda see määratlus (kas te ei saa lugeda seda, mida pole?) ja veelgi enam, see ei sisalda negatiivseid väärtusi (kas õun on olemas?).

Lisaks ei ole kaasatud kõik murdarvud (samuti ei saa me öelda "mul on sülearvuti" või "Ma müüsin autosid")

Ükskõik milline naturaalarv saab kirjutada 10 numbriga:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Seega 14 ei ole arv. See on number. Millistest numbritest see koosneb? Täpselt nii, numbritest ja.

Lisand. Rühmitamine lisamisel kiiremaks loendamiseks ja vähem vigu

Mida huvitavat saate selle protseduuri kohta öelda? Loomulikult vastate nüüd "summa väärtus ei muutu tingimuste ümberkorraldamisest." Tundub, et esimesest klassist tuttav primitiivne reegel, aga suurte näidete lahendamisel on see koheselt unustatud!

Ära unusta tedakasutada rühmitamist, et hõlbustada loendusprotsessi ja vähendada vigade esinemise tõenäosust, kuna teil pole eksami jaoks kalkulaatorit.

Vaadake ise, millist väljendit on lihtsam lisada?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Muidugi teine! Kuigi tulemus on sama. Aga! Arvestades teist võimalust, on väiksem tõenäosus eksida ja teete kõik kiiremini!

Nii et teie meelest arvate nii:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Lahutamine. Rühmitamine lahutamisel kiiremaks loendamiseks ja vea vähendamiseks

Lahutamisel saame rühmitada ka lahutatud numbreid, näiteks:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Mis siis, kui näites on lahutamine liidemisega vahele jäänud? Võite ka grupeerida, vastate ja õigesti. Lihtsalt palun ärge unustage numbrite ees olevaid märke, näiteks: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Pidage meeles: valesti kinnitatud märgid toovad kaasa eksliku tulemuse.

Korrutamine. Kuidas oma mõtetes korrutada

On ilmne, et ka toote väärtus ei muutu tegurite kohtade muutumisest:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Ma ei ütle teile, et "kasutage seda probleemide lahendamisel" (saite vihje ise, eks?), vaid pigem ütlen teile, kuidas kiiresti mõnda numbrit peas korrutada. Niisiis, vaadake hoolikalt tabelit:

Ja natuke veel korrutamisest. Muidugi mäletate kaht erilist sündmust... Arvake ära, mida ma mõtlen? Siin on selle kohta:

Oh jah, vaatame jagatavuse märke. Kokku on jaguvusmärkidel 7 reeglit, millest 3 esimest tead juba kindlalt!

Kuid ülejäänu pole üldse raske meeles pidada.

7 numbrite jaguvuse märki, mis aitavad teil kiiresti peas lugeda!

• Loomulikult teate kolme esimest reeglit.
• Neljandat ja viiendat on lihtne meeles pidada – jagades jagades vaatame, kas arvu moodustavate numbrite summa jagub sellega.
• Jagades pöörame tähelepanu arvu kahele viimasele numbrile – kas nende moodustatud arv on jagatav?
• Arvuga jagamisel peab see olema jagatav korraga nii arvuga kui ka arvuga. See on kõik tarkus.

Kas sa mõtled nüüd – "milleks mulle seda kõike vaja on"?

Esiteks on eksam ilma kalkulaatorita ja need reeglid aitavad teil näidetes navigeerida.

Ja teiseks, sa kuulsid ülesandeid GCD ja NOC? Tuttav lühend? Hakkame meeles pidama ja mõistma.

Suurim ühisjagaja (gcd) – vajalik murdude vähendamiseks ja kiireteks arvutusteks

Oletame, et teil on kaks numbrit: ja. Mis on suurim arv, mis jagub mõlema arvuga? Vastate kõhklemata, sest teate, et:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Millised numbrid laienduses on tavalised? See on õige, 2 * 2 = 4. See oli teie vastus. Seda lihtsat näidet silmas pidades ei unusta te leidmise algoritmi GCD. Proovige seda oma peas "ehitada". Juhtus?

NOD-i leidmiseks vajate:

1. Lagundada arvud algteguriteks (arvudeks, mida ei saa jagada millegi muuga kui iseendaga või näiteks arvuga 3, 7, 11, 13 jne).
2. Korrutage need.

Kas saate aru, miks meil oli vaja jagada märke? Nii et vaatate arvu ja võite hakata jagama ilma jäägita.

Näiteks leiame numbrite 290 ja 485 GCD

Esimene number - .

Seda vaadates saate kohe aru, millega see jagub, kirjutame:

te ei saa seda millekski muuks jagada, kuid saate - ja me saame:

290 = 29 * 5 * 2

Võtame teise numbri – 485.

Jaguvuse märkide järgi peab see olema jagatav ilma jäägita, kuna see lõpeb. Me jagame:

Analüüsime algset numbrit.

• Seda ei saa jagada (viimane number on paaritu),
• - ei jagu arvuga, seega ei jagu arv ka arvuga,
• ei jagu ka arvuga ja (arvu numbrite summa ei jagu arvuga ja arvuga)
• ei ole samuti jagatav, kuna see ei ole jagatav ja,
• ei jagu ka jaga, kuna see ei jagu jaga.
• ei saa täielikult jagada

Nii et arvu saab lagundada ainult ja.

Ja nüüd leiame GCD need numbrid (ja). Mis see number on? Õigesti,.

Kas harjutame?

Ülesanne number 1. Leidke numbrite 6240 ja 6800 GCD

1) Jagan kohe arvuga, kuna mõlemad arvud jaguvad 100% arvuga:

2) Jagan ülejäänud suurte arvudega, kuna need jagatakse ilma jäägita (samal ajal ma ei lagune - see on juba ühine jagaja):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Ma lahkun ja hakkan üksi ning hakkan arvestama numbreid ja. Mõlemad arvud on täpselt jaguvad arvuga (lõpevad paarisnumbritega (sel juhul esitame kujul, kuid neid saab jagada)):

4) Töötame numbritega ja. Kas neil on ühiseid jagajaid? See on sama lihtne kui eelmistes sammudes ja te ei saa seda öelda, seega jagame need lihtsalt lihtsateks teguriteks:

5) Nagu näeme, oli meil õigus: ja neil pole ühiseid jagajaid ja nüüd tuleb korrutada.
GCD

Ülesanne number 2. Leidke numbrite 345 ja 324 GCD

Ma ei leia siit kiiresti vähemalt ühte ühist jagajat, seega jagan lihtsalt algteguriteks (võimalikult vähesteks):

Täpselt, GCD, ja ma ei kontrollinud algselt jagatavuskriteeriumit ja võib-olla ei peaks ma nii palju toiminguid tegema. Aga sa kontrollisid, eks? Hästi tehtud! Nagu näete, on see üsna lihtne.

Least common multiple (LCM) – säästab aega, aitab lahendada probleeme väljaspool kasti

Oletame, et teil on kaks numbrit – ja. Mis on väikseim arv, millega jagub jäljetult(st täielikult)? Kas on raske ette kujutada? Siin on teile visuaalne vihje:

Kas mäletate, mida see kiri tähendab? See on õige, lihtsalt täisarvud. Mis on siis väikseim arv, mis sobib x-ga? :

Sel juhul.

Sellest lihtsast näitest tuleneb mitu reeglit.

Reeglid NOC kiireks leidmiseks

Reegel 1. Kui üks kahest naturaalarvust jagub teise arvuga, on nendest kahest arvust suurem nende vähim ühiskordne.

Leidke järgmised numbrid:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Muidugi tulite selle ülesandega hõlpsalt toime ja saite vastused - ja.

Pange tähele, et reeglis räägime KAHEST numbrist, kui numbreid on rohkem, siis reegel ei tööta.

Näiteks LCM (7;14;21) ei ole võrdne 21-ga, kuna seda ei saa ilma jäägita jagada.

Reegel 2. Kui kaks (või rohkem kui kaks) arvu on kaasalgarvud, siis vähim ühiskordne on võrdne nende korrutisega.

leida NOC järgmistele numbritele:

• NOC (1; 3; 7)
• NOC (3; 7; 11)
• NOC (2; 3; 7)
• NOC (3; 5; 2)

Kas sa lugesid? Siin on vastused - , ; .

Nagu te mõistate, ei ole alati nii lihtne seda sama x-i võtta ja üles võtta, nii et veidi keerukamate arvude jaoks on järgmine algoritm:

Kas harjutame?

Leia vähim ühine kordne – LCM (345; 234)

Jaotame iga numbri:

Miks ma just kirjutasin? Pidage meeles jaguvuse märke: jagub arvuga (viimane number on paaris) ja numbrite summa jagub arvuga. Vastavalt sellele saame kohe jagada, kirjutades selle kui.

Nüüd kirjutame reale välja pikima laienduse - teise:

Lisame sellele esimese laienduse numbrid, mis ei sisaldu selles, mida me välja kirjutasime:

Märkus: kirjutasime välja kõik, välja arvatud, kuna meil on see juba olemas.

Nüüd peame kõik need arvud korrutama!

Leidke ise vähim ühiskordaja (LCM).

Milliseid vastuseid saite?

Minuga juhtus järgmine:

Kui kaua sul aega kulus, et leida NOC? Minu aeg on 2 minutit, ma tõesti tean üks trikk, mille soovitan sul kohe avada!

Kui olete väga tähelepanelik, siis ilmselt märkasite, et antud numbrite jaoks oleme juba otsinud GCD ja võite võtta nende arvude faktoriseerimise sellest näitest, lihtsustades sellega oma ülesannet, kuid see pole kaugeltki kõik.

Vaata pilti, äkki tulevad sulle veel mõned mõtted:

Noh? Ma annan teile vihje: proovige korrutada NOC ja GCD omavahel ja pane kirja kõik tegurid, mis korrutamisel tulevad. Kas said hakkama? Peaksite saama sellise ahela:

Vaadake seda lähemalt: võrrelge tegureid sellega, kuidas ja need lagunevad.

Millise järelduse saate sellest teha? Õigesti! Kui korrutame väärtused NOC ja GCD omavahel, siis saame nende arvude korrutise.

Vastavalt sellele, omades numbreid ja tähendust GCD(või NOC), leiame NOC(või GCD) järgmisel viisil:

1. Leidke arvude korrutis:

2. Jagame saadud toote meie omaga GCD (6240; 6800) = 80:

See on kõik.

Kirjutame reegli üldkujul:

Proovige leida GCD kui on teada, et:

Kas said hakkama? .

Negatiivsed arvud - "valed numbrid" ja nende äratundmine inimkonna poolt.

Nagu te juba aru saite, on need arvud vastupidised loomulikele numbritele, see tähendab:

Negatiivseid arve saab liita, lahutada, korrutada ja jagada – täpselt nagu naturaalarve. Tundub, et nad on nii erilised? Kuid fakt on see, et negatiivsed arvud "võitsid" oma õige koha matemaatikas kuni 19. sajandini (kuni selle hetkeni oli see suur summa vaidleb selle üle, kas need on olemas või mitte).

Negatiivne arv ise tekkis sellise tehte tõttu naturaalarvudega nagu "lahutamine". Tõepoolest, lahutage - see on negatiivne arv. Seetõttu nimetatakse negatiivsete arvude hulka sageli "hulga laiendiks naturaalarvud».

Inimesed ei tundnud negatiivseid numbreid pikka aega ära. Niisiis, Vana-Egiptus, Babülon ja Vana-Kreeka - oma aja tuled - ei tundnud negatiivseid numbreid ära ja võrrandis negatiivsete juurte saamise korral (näiteks nagu meil) lükati juured tagasi kui võimatud.

Esimest korda said negatiivsed arvud õiguse eksisteerida Hiinas ja seejärel 7. sajandil Indias. Mida arvate sellest ülestunnistusest? Täpselt nii, negatiivsed numbrid hakkasid tähistama võlgu (muidu – puudujääke). Usuti, et negatiivsed numbrid on ajutine väärtus, mis selle tulemusena muutub positiivseks (st raha tagastatakse ikkagi võlausaldajale). India matemaatik Brahmagupta pidas aga negatiivseid arve positiivsetega võrdseks.

Euroopas tuli negatiivsete arvude kasulikkus, aga ka asjaolu, et need võivad tähistada võlga, palju hiljem, see tähendab aastatuhandet. Esimest korda mainiti 1202. aastal Leonard of Pisa "Abakuse raamatus" (ütlen kohe, et raamatu autoril pole Pisa torniga mingit pistmist, kuid Fibonacci numbrid on tema töö ( Pisa Leonardo hüüdnimi on Fibonacci)). Lisaks jõudsid eurooplased järeldusele, et negatiivsed numbrid võivad tähendada mitte ainult võlgu, vaid ka millegi puudumist, kuid mitte kõik ei tunnistanud seda.

Nii uskus Pascal seda XVII sajandil. Mis sa arvad, kuidas ta seda õigustas? See on õige, "miski ei saa olla vähem kui MITTE MISKI". Nende aegade kaja on tõsiasi, et negatiivset arvu ja lahutamise operatsiooni tähistatakse sama sümboliga - miinus "-". Ja tõsi:. Kas arv " " on positiivne, millest lahutatakse, või negatiivne, millele liidetakse? ... Midagi sarjast "Kumb on enne: kana või muna?" Siin on selline matemaatiline filosoofia.

Negatiivsed arvud kindlustasid oma õiguse eksisteerida analüütilise geomeetria tulekuga ehk siis, kui matemaatikud võtsid sellise asja kasutusele reaalteljena.

Sellest hetkest alates tuli võrdsus. Küsimusi oli siiski rohkem kui vastuseid, näiteks:

proportsioon

Seda osakaalu nimetatakse Arno paradoksiks. Mõelge sellele, mis on selles kaheldav?

Räägime koos " " rohkem kui " " eks? Seega loogika kohaselt peaks proportsiooni vasak pool olema suurem kui parem pool, kuid need on võrdsed ... Siin on see paradoks.

Selle tulemusena leppisid matemaatikud kokku, et Karl Gauss (jah, jah, see on see, kes pidas arvude summat (või)) 1831. aastal tegi sellele lõpu - ta ütles, et negatiivsetel arvudel on samad õigused kui positiivsetel ja see, et need ei kehti kõigi asjade kohta, ei tähenda midagi, kuna ka murded ei kehti paljude asjade kohta (ei juhtu, et kaevaja kaevab auku, ei saa osta kinopiletit jne).

Matemaatikud rahunesid alles 19. sajandil, mil negatiivsete arvude teooria lõid William Hamilton ja Hermann Grassmann.

Nii vastuolulised need negatiivsed numbrid ongi.

"Tühjuse" tekkimine ehk nulli elulugu.

Matemaatikas eriarv. Esmapilgul pole see midagi: liitke, lahutage - midagi ei muutu, kuid peate selle lihtsalt omistama "" õigusele ja saadud arv on mitu korda suurem kui algne. Nulliga korrutades muudame kõik eimiskiks, aga jagada "mittemillegiga" ei saa. Ühesõnaga maagiline number)

Nulli ajalugu on pikk ja keeruline. Hiinlaste kirjutistest leitakse 2000. aastal pKr. ja isegi varem maiadega. Nullsümboli esimest korda, nagu see praegu on, nähti Kreeka astronoomide seas.

Selle kohta, miks valiti selline tähistus "mitte midagi", on palju versioone. Mõned ajaloolased kalduvad arvama, et tegemist on omikroniga, s.o. Kreeka sõna tühiku esimene täht on ouden. Teise versiooni kohaselt andis sõna “obol” (peaaegu väärtusetu münt) nulli sümbolile elu.

Null (või null) kui matemaatiline sümbol ilmub esmakordselt indiaanlaste seas (pange tähele, et seal hakkasid "arenema" negatiivsed arvud). Esimesed usaldusväärsed tõendid nulli kirjutamise kohta pärinevad aastast 876 ja neis on "" arvu komponent.

Ka null jõudis Euroopasse hilinemisega – alles 1600. aastal ja nagu negatiivsed numbrid, seisis seegi vastu (mis teha, nad on eurooplased).

"Null on alati olnud vihatud, kardetud või isegi keelatud," kirjutab Ameerika matemaatik Charles Seif. Niisiis, Türgi sultan Abdul-Hamid II 19. sajandi lõpus. käskis oma tsensoritel H2O vee valem kõigist keemiaõpikutest kustutada, võttes O-tähe nulliks ega tahtnud, et tema initsiaalid saaksid laimatud põlastusväärse nulli läheduse tõttu.

Internetist võib leida lause: “Null on universumi võimsaim jõud, see suudab kõike! Null loob matemaatikas korra ja see toob sinna ka kaose. Täiesti õige jutt :)

Lõigu kokkuvõte ja põhivalemid

Täisarvude komplekt koosneb kolmest osast:

• naturaalarvud (vaatleme neid allpool üksikasjalikumalt);
• loomulikele vastandlikud arvud;
• null - " "

Täisarvude hulk on tähistatud täht Z.

1. Naturaalarvud

Naturaalarvud on arvud, mida kasutame objektide loendamiseks.

Naturaalarvude hulk on tähistatud täht N.

Täisarvudega toimingutes on teil vaja GCD ja LCM-i leidmise võimalust.

Suurim ühine jagaja (GCD)

NOD-i leidmiseks vajate:

1. Lagundada arvud algteguriteks (arvudeks, mida ei saa jagada millegi muuga peale iseenda ega näiteks vms).
2. Kirjutage üles tegurid, mis on osa mõlemast arvust.
3. Korrutage need.

Vähim levinud kordne (LCM)

NOC leidmiseks vajate:

1. Tegurige arvud algteguriteks (te juba teate, kuidas seda teha).
2. Kirjutage välja tegurid, mis sisalduvad ühe arvu laiendamisel (parem on võtta pikim ahel).
3. Lisage neile ülejäänud arvude laiendustest puuduvad tegurid.
4. Leidke saadud tegurite korrutis.

2. Negatiivsed arvud

Need on arvud, mis on vastupidised naturaalarvudele, see tähendab:

Nüüd ma tahan sinust kuulda...

Loodan, et hindasite selle jaotise ülikasulikke "nippe" ja mõistsite, kuidas need teid eksamil aitavad.

Ja mis veelgi olulisem, elus. Ma ei räägi sellest, aga uskuge mind, see on nii. Kiire ja vigadeta loendamise oskus päästab paljudes elusituatsioonides.

Nüüd on sinu kord!

Kirjutage, kas kasutate arvutustes rühmitamismeetodeid, jagamiskriteeriume, GCD-d ja LCM-i?

Võib-olla olete neid varem kasutanud? Kus ja kuidas?

Võib-olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.

Kirjutage kommentaaridesse, kuidas teile artikkel meeldib.

Ja edu teile eksamitel!

Artikli sisu

Arvu mõiste matemaatikas võib viidata erineva iseloomuga objektidele: loendamisel kasutatavatele naturaalarvudele (positiivsed täisarvud 1, 2, 3 jne), arvudele, mis on (idealiseeritud) mõõtmiste võimalikud tulemused (need on arvud nagu näiteks 2/ 3, - neid nimetatakse reaalarvudeks, negatiivseteks arvudeks, imaginaararvudeks (ütleme, k) ja muudeks abstraktsemateks arvuklassideks, mida kasutatakse matemaatika kõrgemates osades (näiteks hüperkompleks- ja piiriülesed arvud). Numbrit tuleb eristada selle sümbolist või seda tähistavast tähistusest. Vaatleme erinevate arvuklasside vahelisi loogilisi seoseid.

Selliseid mõistatusi on lihtne lahendada, kui arvestada, et erinevatel numbriklassidel on üsna erinev tähendus; kuigi neil on piisavalt ühist, et neid kõiki saab numbriteks nimetada, ei tohiks arvata, et nad kõik vastavad samadele reeglitele.

positiivsed täisarvud.

Kuigi me kõik õpime positiivseid täisarve (1, 2, 3 jne) varases lapsepõlves, kui definitsioonidele ei tule peaaegu pähegi, saab selliseid numbreid defineerida kõigi formaalse loogika reeglitega. Arvu 1 range määratlus võtaks rohkem kui tosin lehekülge ja selline valem nagu 1 + 1 = 2, kui see oleks kirjutatud üksikasjalikult ilma lühenditeta, ulatuks mitme kilomeetri pikkuseks. Iga matemaatiline teooria on aga sunnitud alustama mingite määratlemata mõistete ja nende kohta käivate aksioomide või postulaatidega. Kuna positiivsed täisarvud on hästi teada ja neid on raske millegi lihtsama abil defineerida, võtame need algsete määratlemata mõistetena ja eeldame, et nende arvude põhiomadused on teada.

Negatiivsed täisarvud ja null.

Negatiivsed arvud on tänapäeval tavalised: neid kasutatakse näiteks alla nulli temperatuuride tähistamiseks. Seetõttu tundub üllatav, et mõni sajand tagasi puudus negatiivsete arvude konkreetne tõlgendus ning arvutuste käigus ilmnenud negatiivseid numbreid nimetati "imaginaarseteks". Kuigi negatiivsete arvude intuitiivne tõlgendamine on iseenesest kasulik, peame selliste "reeglite" mõistmisel nagu (-4)ґ(-3) = +12 defineerima negatiivsed arvud positiivsete arvudena. Selleks peame koostama selliste matemaatiliste objektide komplekti, mis käituvad aritmeetikas ja algebras täpselt nii, nagu võiks eeldada negatiivsete arvude puhul. Üks viis sellise hulga koostamiseks on arvestada positiivsete arvude järjestatud paaridega ( a,b). "Tellitud" tähendab, et näiteks paar (2,3) erineb paarist (3,2). Selliseid järjestatud paare võib pidada uueks numbriklassiks. Nüüd peame ütlema, millal on kaks sellist uut arvu võrdsed ja mida nende liitmine ja korrutamine tähendab. Meie definitsioonide valikul on soov, et paar ( a,b) toimis erinevusena ( a – b), mis on seni määratletud ainult siis, kui a rohkem b. Kuna algebras ( a-b) + (c-d) = (a+c) – (b+d), jõuame vajaduseni määratleda uute numbrite lisamine kui ( a,b) + (c,d) = (a+c, b+d); sest ( a – b)ґ(c – d) = ac + bd – (bc + reklaam), defineerime korrutamise võrdsusega ( a,b)ґ(c,d) = (ac+bd, bc + reklaam); ja kuna ( a-b) = (c-d), kui a + d = b + c, defineerime uute arvude võrdsuse seosega ( a,b) = (c,d), kui a + d = b + c. Sellel viisil,

Kasutades paaride võrdsuse definitsioone, saame kirjutada paaride summa ja korrutise lihtsamal kujul:

Kõik paarid ( a,a) on võrdsed (paaride võrdsuse definitsiooni järgi) ja toimivad nii, nagu eeldame nulli toimimist. Näiteks (2,3) + (1,1) = (3,4) = (2,3); (2.3)ґ(1.1) = (2 + 3, 2 + 3) = (5.5) = (1.1). Paarid ( a,a) saame sümboliseerida 0 (mida pole veel kasutatud).

Paarid ( a,b), kus b rohkem a, käituvad nii nagu negatiivsed arvud peaksid ja me saame tähistada paari ( a,b) sümbol – ( b – a). Näiteks -4 on (1,5) ja -3 on (1,4); (–4)ґ(–3) = (21,9) või (13,1). Tahaksime tähistada viimast numbrit 12-na, kuid see ei ole kindlasti sama, mis positiivne täisarv 12, kuna see tähistab positiivsete täisarvude paari, mitte ühtegi positiivset täisarvu. Tuleb rõhutada, et kuna paarid ( a,b), kus b vähem a, toimivad positiivsete täisarvudena ( a – b), kirjutame numbreid nagu ( a – b). Samal ajal peame unustama positiivsed täisarvud, millega alustasime, ja edaspidi kasutama ainult meie uusi numbreid, mida me nimetame täisarvud. Asjaolu, et kavatseme mõne uue numbri puhul kasutada vanu nimesid, ei tohiks olla eksitav, et uued numbrid on tegelikult teist tüüpi objektid.

Murrud.

Intuitiivselt mõtleme murdosa 2/3 tulemusele, kui jagame 1 kolmeks võrdseks osaks ja võtame neist kaks. Matemaatik püüab aga võimalikult vähe toetuda intuitsioonile ja defineerida ratsionaalseid arve lihtsamate objektide – täisarvude – kaudu. Seda saab teha, käsitledes 2/3 järjestatud (2,3) täisarvude paarina. Definitsiooni täiendamiseks on vaja sõnastada murdude võrdsuse, samuti liitmise ja korrutamise reeglid. Loomulikult peavad need reeglid olema samaväärsed aritmeetikareeglitega ja loomulikult erinevad nende järjestatud paaride reeglitest, mille oleme määratlenud täisarvudena. Siin on reeglid:

On lihtne näha, et paarid ( a,1) toimivad täisarvudena a; Jätkates mõtlemist samamoodi nagu negatiivsete arvude puhul, tähistame 2-ga murdosa (2.1) või (4.2) või mis tahes muud murdosa, mis võrdub (2.1). Unustagem nüüd täisarvud ja hoidkem neid ainult teatud murdude kirjutamise vahendina.

Ratsionaal- ja irratsionaalarvud.

Murdu nimetatakse ka ratsionaalarvudeks, kuna neid saab esitada kujul suhted(alates lat. suhe kahe täisarvu suhe). Aga kui meil on vaja arvu, mille ruut on 2, siis ei saa me ratsionaalarvudega hakkama, sest pole olemas ratsionaalarvu, mille ruut oleks võrdne 2-ga. Sama selgub, kui küsida ringi ümbermõõdu ja selle läbimõõdu suhet väljendava arvu kohta. Seega, kui tahame saada kõigi positiivsete arvude ruutjuured, peame ratsionaalarvude klassi laiendama. Uusi numbreid, mida nimetatakse irratsionaalseteks (st mitte ratsionaalseteks), saab defineerida mitmel viisil. Tellitud paarid pole selleks head; üks lihtsamaid viise on määratleda irratsionaalarvud lõpmatute mittekorduvate kümnendkohtadena.

Reaalarvud.

Ratsionaal- ja irratsionaalarve koos nimetatakse reaal- või reaalarvudeks. Geomeetriliselt saab neid kujutada punktidega sirgjoonel, kus täisarvude vahel on murrud ja murdude vahel irratsionaalarvud, nagu on näidatud joonisel fig. 1. Võib näidata, et reaalarvude süsteemil on omadus, mida tuntakse kui "täielikkust", mis tähendab, et joone iga punkt vastab mõnele reaalarvule.

Keerulised numbrid.

Kuna positiivsete ja negatiivsete reaalarvude ruudud on positiivsed, siis pole reaalarvude real ühtegi punkti, mis vastaks arvule, mille ruut on -1. Aga kui prooviksime lahendada ruutvõrrandid nagu x 2 + 1 = 0, siis oleks vaja käituda nii, nagu oleks mingi arv i, mille ruut oleks -1. Kuid kuna sellist arvu pole, ei jää meil muud üle, kui kasutada "imaginaarset" või "imaginaarset" numbrit. Seega "number" i ja selle kombinatsioonid tavaliste numbritega (nt 2 + 3 i) sai tuntuks kui kujuteldav. Kaasaegsed matemaatikud eelistavad nimetada selliseid numbreid "keerulisteks", sest nagu näeme, on need täpselt sama "päris" kui need, mida oleme varem kohanud. Matemaatikud kasutasid pikka aega vabalt imaginaarseid arve ja said kasulikke tulemusi, kuigi nad ei saanud täielikult aru, mida nad teevad. Kuni 19. sajandi alguseni kellelgi ei tulnud pähegi kujuteldavaid arve nende selgesõnalise definitsiooni abil "elustada". Selleks tuleb ehitada mingi komplekt matemaatilisi objekte, mis algebra seisukohalt käituksid nagu avaldised a+bi, kui me sellega nõustume i 2 = -1. Selliseid objekte saab määratleda järgmiselt. Vaatleme uuteks arvudeks järjestatud reaalarvude paare, mille liitmine ja korrutamine määratakse valemitega:

Selliseid järjestatud paare nimetame kompleksnumbriteks. Eravormi paarid ( a,0), mille teine ​​liige on võrdne nulliga, käituvad nagu reaalarvud, seega nõustume neid tähistama samal viisil: näiteks 2 tähendab (2,0). Teisest küljest on kompleksarv (0, b) omab korrutamise definitsiooni järgi omadust (0, b)ґ(0,b) = (0 – b 2 , 0 + 0) = (–b 2 ,0) = –b 2. Näiteks (0.1)ґ(0.1) puhul leiame korrutise (-1.0); seega (0,1) 2 = (–1,0). Oleme juba kokku leppinud, et kirjutame kompleksarvu (-1.0) kui -1, nii et kui arv (0.1) on tähistatud sümboliga i, siis saame kompleksarvu i, selline, et i 2 = -1. Lisaks saab kompleksarvu (2,3) nüüd kirjutada kujul 2 + 3 i.

Selle kompleksarvude lähenemise oluline erinevus traditsioonilisest on see, et antud juhul on arv i ei sisalda midagi salapärast ega väljamõeldud: see on midagi, mis on juba varem eksisteerinud numbrite abil hästi määratletud, kuigi loomulikult ei lange see ühegi neist kokku. Samamoodi ei ole reaalarv 2 keeruline, kuigi kasutame kompleksarvu tähistamiseks sümbolit 2. Kuna imaginaarsetes numbrites pole tegelikult midagi “imaginaarset”, pole üllatav, et neid kasutatakse laialdaselt reaalsetes olukordades, näiteks elektrotehnikas (kus tähe asemel i kasutatakse tavaliselt tähte j, nagu elektrotehnikas i- voolu praeguse väärtuse sümbol).

Kompleksarvude algebra sarnaneb paljuski reaalarvude algebraga, kuigi on olulisi erinevusi. Näiteks kompleksarvude reegel ei kehti: , seega , while .

Kompleksarvude liitmine võimaldab lihtsat geomeetrilist tõlgendamist. Näiteks arvude 2 + 3 summa i ja 3 - i seal on number 5 + 2 i, mis vastab rööpküliku neljandale tipule kolme tipuga punktides 0, 2 + 3 i ja 3 - i.

Tasapinna punkti saab määrata mitte ainult ristkülikukujuliste koordinaatide abil ( x,y), aga ka polaarkoordinaatide järgi ( r,q), mis määrab kauguse punktist lähtepunktini ja nurga. Seega kompleksarv x+iy saab kirjutada ka polaarkoordinaatides (joon. 2, b). Raadiusvektori pikkus r võrdne kaugusega alguspunktist kompleksarvule vastava punktini; suurusjärk r nimetatakse kompleksarvu mooduliks ja määratakse valemiga . Sageli kirjutatakse moodul kujul . Nurk q nimetatakse kompleksarvu "nurgaks", "argumendiks" või "faasiks". Sellisel arvul on lõpmatult palju nurki, mis erinevad 360° korda; näiteks, i nurk on 90°, 450°, -270°, ј Kuna sama punkti Descartes'i ja polaarkoordinaadid on omavahel seotud x = r cos q, y = r patt q, võrdsus x + iy = r(cos q + i patt q).

Kui a z = x + iy, siis number x-iy nimetatakse komplekskonjugaadiks z ja tähistatakse n z = re iq . Kompleksarvu logaritm re iq, on definitsiooni järgi võrdne ln-ga r + iq, kus ln tähendab baaslogaritmi e, a q võtab kõik võimalikud väärtused, mõõdetuna radiaanides. Seega on kompleksarvul lõpmatult palju logaritme. Näiteks ln (–2) = ln 2 + ip+ 2 mis tahes täisarv lk. Üldiselt saab nüüd astmeid defineerida seose abil a b = e b ln a. Näiteks, i –2i = e-2ln i. Alates arvu argumendi väärtustest i võrdne lk/2 (90° radiaanides) pluss täisarvu kordne, seejärel arv i –2i asja ep, e 3 lk, e -lk jne, mis kõik kehtivad.

hüperkompleksarvud.

Kompleksarvud leiutati selleks, et oleks võimalik lahendada kõiki ruutvõrrandeid reaalkoefitsientidega. Võib näidata, et tegelikult võimaldavad kompleksarvud teha palju enamat: nende kasutuselevõtuga muutuvad lahendatavaks mis tahes astme algebralised võrrandid, isegi komplekskordajatega. Järelikult, kui meid huvitaks vaid algebraliste võrrandite lahendamine, siis kaoks vajadus uute arvude kasutuselevõtuks. Kuid muudel eesmärkidel on vaja numbreid, mis on paigutatud mõnevõrra sarnaselt keerukatele, kuid rohkemate komponentidega. Mõnikord nimetatakse selliseid numbreid hüperkompleksiks. Näiteks kvaternioonid ja maatriksid.