Числа. Цели числа. Свойства на целите числа. Най-голямо общо кратно и най-малък общ делител. Критерии за делимост и методи за групиране (2019)

§ 77. За дробите на единица.

Изучихме свойствата на целите числа и действията върху тях. В допълнение към целите има и дробни числа, с които сега ще се запознаем. Когато ученик каже, че му отнема половин час да ходи от вкъщи до училище, той изразява времето не в цели часове, а в части от час. Когато лекарят съветва пациента да разтвори праха в една четвърт чаша гореща вода, тогава водата се измерва не в цели чаши, а в части от чаша. Ако една диня трябва да се раздели поравно между три момчета, тогава всяко от тях може да получи само една трета от динята или една трета от нея.

Във всички случаи не говорим за цели единици, а за части или части от единица. Акциите могат да бъдат много разнообразни, например грам е хилядна от килограма, милиметър е милионна част от километра. Първо ще говорим за най-простите акции (половина, трета, четвърт и т.н.).

За по-голяма яснота ще изобразим тези дялове като прави сегменти.

Ако вземем сегмента AB като единица (фиг. 9), тогава, разделяйки го на две равни части, можем да кажем, че получените сегменти AC и CB ще бъдат половини на сегмента AB.

Освен това, ако вземем сегмента DE (фиг. 10) като единица и го разделим на 3 равни части, тогава всеки от получените сегменти DF, FH, HE ще бъде равен на една трета от сегмента DE, а сегментът DH ще бъде равен на две трети от сегмента DE. По същия начин сегментът FE ще бъде равен на две трети от сегмента DE.

Да вземем друг сегмент MN (фиг. 11), да го приемем за единица и да го разделим на четири равни части; тогава всеки от сегментите MP, PQ, QR, RN ще бъде равен на една четвърт от сегмента MN; всеки от сегментите MQ, PR, QN ще бъде равен на две четвърти от него, а всеки от сегментите MR и PN ще бъде равен на три четвърти от MN.

В разгледаните примери се запознахме с половин, една трета, една четвърт, две трети, две четвърти, три четвърти, тоест или с една част от единица, или с две, или с три равни части от единица .

Нарича се число, съставено от една или повече равни части от едно изстрел.

Вече казахме, че вместо думата "споделяне" можете да кажете думата "част"; следователно дроб може да се нарече число, изразяващо една или повече еднакви части от единица.

По този начин числата, споменати в този параграф: половината или една секунда, една трета, една четвърт, две трети и други, ще бъдат дроби.

Често е необходимо да се разглеждат не само части от обекти, но заедно с тях цели обекти. Например две момчета решават да си поделят поравно своите пет ябълки. Очевидно всеки от тях първо ще вземе две ябълки, а останалата последна ябълка ще разреже на две равни части. Тогава всеки ще има две и половина ябълки. Тук броят на ябълките за всяко момче е изразен като цяло число (две) с някаква дроб (половина).

Числата, които включват цяло число и дроб, се наричат смесени числа.

§ 78. Изображение на дроби.

Помислете за последния чертеж от предишния параграф (фиг. 11). Казахме, че сегментът MR е три четвърти от сегмента MN. Сега възниква въпросът как тази дроб, т.е. три четвърти, може да бъде написана с числа. Припомнете си как е възникнала дробта три четвърти. Взехме отсечката MN като единица, разделихме я на 4 равни части и от тези части взехме 3. Именно този процес на възникване на дроб трябва да бъде отразен в нейния запис, т.е.от този запис трябва да се види, че единица се разделя на 4 равни части и получените части се вземат 3. Поради това фракцията се изобразява с помощта на две числа, разделени с хоризонтална линия. Под чертата е написано число, показващо на колко равни части е разделена единицата, от която е взета дробта, а над линията е написано друго число, което показва колко акции се съдържат

в тази фракция. Дроб от три четвърти ще бъде написана така: 3/4.

Извиква се числото над реда числителфракции; това число показва броя на частите, съдържащи се в дадената фракция.

Извиква се числото под чертата знаменателфракции; показва на колко равни части е разделена единицата.

3 - числител,
_
4 е знаменателят.

Тирето, което разделя числителя от знаменателя, се нарича дробна лента. И числителят, и знаменателят се наричат ​​заедно членове на дроб. Нека напишем дроб като пример:

две трети - 2/3; пет дванадесети - 5/12.

Смесените числа се записват по следния начин: първо записват цяло число, а до него вдясно се приписва дроб. Например, смесено число от две и четири пети трябва да бъде написано така: 2 4 / 5.

§ 79. Появата на дроби.

Обмислете въпроса как и къде възникват дроби, защо и при какви обстоятелства се появяват.

Вземете например този факт. Трябва да измерите дължината на черната дъска с метър. Взимаме дървена линийка с дължина метър и я прилагаме по долния ръб на дъската, като се движим отляво надясно. Оставете го да влезе два пъти, но все още има част от дъската, където линийката няма да влезе в третия път, тъй като дължината на останалата част е по-малка от дължината на линийката.

Ако останалата част от дъската съдържа, например, половин метър, тогава дължината на дъската е два и половина (2 1/2) метра.

Сега ще измерим ширината на дъската със същата линийка. Да кажем, че го направи веднъж, но след това еднократно забавяне остана малка част от дъската, по-малко от метър. Прилагайки метър към тази част от дъската, да речем, беше възможно да се установи, че той е равен на една четвърт (1/4) от метър.

Така че цялата ширина на дъската е 1 1/4 m.

Така при измерване на дължината и ширината на дъската получихме числата 2 1/2 m и 1 1/4 m (т.е. дробни числа).

Не само дължината и ширината на обектите, но и много други величини често се изразяват в дробни числа.

Ние измерваме времето не само в часове, минути и секунди, но често и в части от час, в части от минута и дори в части от секунда.

Много често дробните числа изразяват тегло, например казват: 1/2 kg, l 1/2 kg, 1/2 g, 3/4 g, 1/2 t и т.н.

Досега говорихме за произхода на дробите от измерването, но има и друг източник на дроби - това е действието деление. Нека спрем до тук. Нека трябва да се разделят 3 ябълки между 4 момчета; очевидно в този случай всяко момче няма да получи цяла ябълка, защото ябълките са по-малко от децата. Първо вземете 2 ябълки и разрежете всяка наполовина. Ще се получат 4 половини и тъй като има четири момчета, на всяко може да се даде половин ябълка. Ще нарежем останалата трета ябълка на 4 части и след това ще добавим всяко момче към това, което има, още една четвърт. След това всички ябълки ще бъдат раздадени и всяко момче ще получи една половинка и една четвърт от ябълка. Но тъй като всяка половина съдържа 2 четвъртинки, накрая може да се каже, че всяко момче ще има две четвъртинки и плюс една четвърт всяка, тоест общо три четвърти (3/4) от ябълка.

§ 80. Сравнение на дроби по размер.

Ако сравним някакви количества помежду си, например два сегмента, тогава може да се окаже, че единият от тях е точно равен на другия, или е по-голям от другия, или по-малък от другия.

На фигура 12 сегмент AB е равен на сегмент CD; сегмент EF е по-голям от сегмент QH; сегмент KL е по-малък от сегмент MN.

Ще срещнем същите три случая, когато сравняваме дроби. Нека се опитаме да сравним някои фракции една с друга.

1. Две фракции се считат за равни, ако количествата, съответстващи на тези фракции, са равни една на друга (с една и съща мерна единица). Нека вземем сегмента SC и го приемем за единица.

Разделяме сегмента SK наполовина с точка D (фиг. 13). Тогава ще означим частта от тази отсечка CD с дробта 1/2. Ако разделим същия сегмент SK на 4 равни части, тогава сегментът CD ще бъде изразен като дроб 2 / 4; ако разделим отсечката SK на 8 равни части, то отсечката CD ще съответства на дробта 4/8. Тъй като взехме една и съща отсечка три пъти, дробите 1/2, 2/4 и 4/8 са равни една на друга.

2. Нека вземем две дроби с еднакви числители: 1/4 и 1/8 и да видим какви стойности им съответстват. В първия случай някаква стойност се разделя на 4 равни части, а във втория също на 8 равни части.

Фигура 14 показва, че 1/4 е по-голямо от 1/8. Следователно от две дроби с еднакъв числител по-голямата дроб е тази с по-малък знаменател.

3. Вземете две дроби с еднакви знаменатели: 5/8 и 3/8. Ако маркираме всяка от тези фракции в предишния чертеж, ще видим, че отсечката, съответстваща на първата дроб, е по-голяма от отсечката, съответстваща на втората. И така, от две дроби с еднакъв знаменател, по-голямата дроб е тази с по-голям числител.

4. Ако са дадени две дроби с различни числители и знаменатели, тогава тяхната стойност може да се прецени, като се сравни всяка от тях с една. Например 2/3 е по-малко от 4/5, тъй като първата дроб се различава от единица с 1/3, а втората с 1/5, т.е. втората дроб е по-малка от единица от първата.

Въпреки това е най-лесно да сравните такива дроби, като ги сведете до общ знаменател, което ще бъде обсъдено по-долу.

§ 81. Дробите биват правилни и неправилни. Смесени числа.

Да вземем отсечката AB, равна на две линейни единици (фиг. 15). Разделяме всяка единица на 10 равни части, тогава всяка част ще бъде равна на 1/10, т.е.

AD = DE = EF = FH = ... = 1/10 AC.

Помислете за други сегменти и помислете в какви дроби са изразени. Например AF - 3/10, AK - 5/10, AM - 7/10; АО - 9 / 10 , АС - 10 / 10 , АР - 11 / 10 , АР - 13 / 10 . Изразихме всички сегменти, взети като дробни числа със знаменател 10. Първите четири дроби (3/10, 5/10, 7/10; 9/10) имат числители по-малки от знаменатели, всеки от тях е по-малък от 1.

Петата фракция (10/10) има числител, равен на знаменателя, а самата дроб е равна на 1, съответства на сегмента AC, взет за единица.

Последните две дроби (11/10, 13/10) имат числители, по-големи от знаменатели, и всяка дроб е по-голяма от 1.

Дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя, се нарича правилна дроб. Както беше посочено по-горе, правилната дроб е по-малка от единица. Това означава, че първите четири дроби са правилни и следователно можем да напишем: 3 / 10<1, 5 / 10 <1, 7 / 10 <1, 9 / 10 <1.

Дроб, чийто числител е равен или по-голям от знаменателя, се нарича неправилна дроб. По този начин неправилната дроб е или равна на единица, или е по-голяма от нея. Така че последните три дроби са неправилни и можете да напишете:

10 / 10 =1 ; 11 / 10 >1 ; 13 / 10 >1 ;

Нека се съсредоточим върху последните две (неправилни) дроби. Дробта 11/10 се състои от една цяла единица и правилната дроб 1/10, което означава, че може да се запише така: 1 1/10. Резултатът беше число, което е комбинация от цяло число и правилна дроб, тоест смесено число. Същото може да се повтори за неправилната дроб 13/10. Можем да го представим като 1 3/10. Това също ще бъде смесено число.

Трябва да се научите как да замествате неправилна дроб със смесено число. Лесно заменихме предишните две неправилни дроби със смесени числа. Но ако срещнем дроб, например 545/32, тогава е по-трудно да извлечем цялата част от него, а без извличане на цялата част е трудно да преценим стойността на това число.

От друга страна, когато извършвате различни изчисления, понякога е по-удобно да използвате не смесени числа, а неправилни дроби. Това означава, че ако е необходимо, трябва да можете да направите обратното преобразуване, тоест да замените смесеното число с неправилна дроб.

§ 82. Преобразуване на неправилна дроб в смесено число и обратно преобразуване.

Нека вземем неправилна дроб 9/4 и се опитаме да я заменим със смесено число. Ще аргументираме следното: ако 4 четвърти се съдържат в една единица, то толкова цели единици се съдържат в 9 четвърти, толкова пъти 4 четвърти се съдържат в 9 четвърти. За да отговорите на този въпрос, достатъчно е да разделите 9 на 4. Полученото частно ще покаже броя на целите числа, а остатъкът ще даде броя на четвъртините, които не съставляват цяла единица. 4 се съдържа в 9 два пъти с остатък 1. Така че 9/4 = 2 1/4, тъй като 9: 4 = 2 и 1 в остатъка.

Нека превърнем неправилната дроб 545/32, спомената по-горе, в смесено число.

545; 32 \u003d 17 и 1 в остатъка, така че 545 / 32 \u003d 17 1 / 32.

За да преобразувате неправилна дроб в смесено число, трябва да разделите числителя на дробта на знаменателя и да намерите остатъка; частното ще покаже броя на целите единици, а остатъкът ще покаже броя на дробите от единица.

Тъй като, като преобразуваме неправилна дроб в смесено число, ние всеки път избираме цяла част, тази трансформация обикновено се нарича елиминиране на цяло число от неправилна дроб.

Разгледайте случая, когато неправилна дроб е равна на цяло число. Нека се изисква да се изключи цяло число от неправилно

дроби 36/12 Според правилото получаваме 36: 12 = 3 и 0 в остатъка, т.е. числителят се дели на знаменателя без остатък, което означава 36/12 = 3.

Нека сега се обърнем към обратната трансформация, т.е. към превръщането на смесено число в неправилна дроб.

Нека вземем смесеното число 3 3/4 и го превърнем в неправилна дроб. Нека разсъждаваме така: всяка цяла единица съдържа 4 четвърти, а 3 единици ще съдържат 3 пъти повече четвърти, т.е. 4 x 3 \u003d 12 четвърти. Това означава, че 3 цели единици съдържат 12 четвърти и дори в дробната част на смесеното число има 3 четвърти и ще има общо 15 четвърти, или 15 / 4. Следователно, 3 3 / 4 = 15 / 4 .

Пример. Преобразувайте смесеното число 8 4 / 9 в неправилна дроб:

За да превърнете смесено число в неправилна дроб, трябва да умножите знаменателя по цяло число, да добавите числителя към получения продукт и да направите тази сума числител на исканата дроб, а знаменателят да остане същият.

§ 83. Превръщане на цяло число в неправилна дроб.

Всяко цяло число може да бъде изразено в произволен брой дроби от едно. Това понякога е полезно при изчисления. Нека например числото 5 се изрази в шести от единица.

Ще спорим по следния начин: тъй като в една единица има шест шести, тогава в 5 единици от тези акции няма да има шест, а 5 пъти повече, т.е. 6 x 5 \u003d 30 шести. Действието е подредено по следния начин:

По същия начин можем да превърнем всяко цяло число в неправилна дроб с произволен знаменател. Нека вземем числото 10 и го представим като неправилна дроб с различни знаменатели:

знаменател 2, тогава

знаменател 3, тогава

знаменател 5, тогава

По този начин, за да изразите цяло число като неправилна дроб с даден знаменател, трябва да умножите този знаменател по дадено число, да направите получения продукт числител и да подпишете този знаменател.

Най-малкият възможен знаменател е едно (1). Следователно, когато искат да представят цяло число като дроб, те често приемат едно за знаменател (l2 = 12 / 1). Тази мисъл понякога се изразява по следния начин: всяко цяло число може да се разглежда като дроб със знаменател, равен на единица (2 = 2/1; 3 = 3/1; 4 = 4/1; 5 = 5/1 и т.н. )

§ 84. Промяна на стойността на дроб с промяна на нейните членове.

В този раздел ще разгледаме как ще се промени стойността на една фракция, когато нейните членове се променят.

1-ви въпрос.Какво се случва със стойността на една дроб тъй като неговият числител нарастваняколко пъти? Нека вземем дробта 1/12 и постепенно ще увеличим нейния числител два, три, четири и т.н. пъти. След това получавате следните дроби:

Ако започнем да сравняваме тези дроби една с друга, ще видим, че те постепенно нарастват: втората дроб е два пъти по-голяма от първата, защото има два пъти повече части, третата дроб е три пъти по-голяма от първата, и т.н.

От това можем да заключим: Ако числителят на една дроб се увеличи няколко пъти, тогава дробта ще се увеличи със същото количество.

2-ри въпрос.Какво се случва със стойността на дроб, когато намаляване на числителя муняколко пъти? Нека вземем дробта 24/25 и постепенно ще намалим нейния числител два пъти, три пъти, четири пъти и т.н. Тогава ще получим следните дроби:

Погледнете тези дроби една по една отляво надясно и ще видите, че втората дроб (12/25) е половината от първите 24/25, защото има половината части, тоест половината числител; четвъртата дроб 6/25 е четири пъти по-малка от първата и половината от втората.

означава, Ако числителят на една дроб се намали няколко пъти, тогава дробта ще намалее със същото количество.

3-ти въпрос.Какво се случва със стойността на дроб, когато увеличаване на знаменателя муняколко пъти? Можем да отговорим на този въпрос, като вземем някаква дроб, например 1/2, и увеличим знаменателя й, без да променяме числителя. Нека удвоим знаменателя, утроим го и т.н. и да видим какво ще се случи с дробта:

Постепенно увеличавайки знаменателя, накрая го доведохме до 100. Знаменателят стана доста голям, но стойността на дела силно намаля, стана равна на една стотна. От това става ясно, че увеличаването на знаменателя на дробта неизбежно ще доведе до намаляване на самата дроб.

означава, Ако знаменателят на една дроб се увеличи няколко пъти, тогава дробта ще намалее със същото количество.

4-ти въпрос.Какво се случва със стойността на една дроб, когато нейният знаменател се умножи? Ще вземем онези дроби, които са били написани наскоро, и ще ги пренапишем от края; тогава нашата първа дроб ще бъде най-малката, а последната най-голямата, но първата ще има най-големия знаменател, а последната дроб ще има най-малкия знаменател:

Лесно е да се заключи: Ако знаменателят на дроб се намали с коефициент 1, тогава дробта ще се увеличи със същия коефициент.

5-ти въпрос.Какво се случва с една дроб, когато и числителят, и знаменателят се увеличат или намалят с една и съща сума?

Нека вземем дробта 1/2 и последователно и едновременно ще увеличим нейния числител и знаменател. Понякога до дробта се поставя коефициент, по който се умножават членовете на първата дроб:

Написахме шест дроби, те са различни на външен вид, но е лесно да разберем, че всички са еднакви по размер. Всъщност нека сравним поне първата дроб с втората. Първата дроб е 1/2; ако удвоим нейния числител, тогава дробта ще се удвои, но ако веднага удвоим знаменателя й, тогава тя ще намалее наполовина, тоест, с други думи, ще остане непроменена. Така че 1/2 = 2/4. Същото разсъждение може да се повтори и за други дроби.

Заключение: ако числителят и знаменателят на една дроб се умножат по едно и също число(увеличете същия брой пъти), стойността на дробта няма да се промени.

Записваме това свойство в общ вид. Нека означим дробта с а / b , числото, с което се умножават числителят и знаменателят - с буквата T ; тогава посоченото свойство ще приеме формата на равенство:

Остава да разгледаме въпроса за едновременното намаляване на числителя и знаменателя с еднакъв брой пъти. Да напишем няколко последователни дроби, като на първо място ще има дроб 36/48, а на последно 3/4:

Всички те ще бъдат равни помежду си, което може да се намери чрез сравняване на всеки две съседни дроби, например, разполовявайки числителя на първата дроб (36), намаляваме дроба 2 пъти, но намаляваме наполовина знаменателя (48) , увеличаваме фракцията 2 пъти, т.е. в резултат я оставяме непроменена.

Заключение: ако числителят и знаменателят на дроб са разделени на едно и също число (намалени с еднакъв брой пъти), тогава стойността на дробта няма да се промени:

Същността на последните две заключения е, че при едновременно увеличаване или намаляване на числителя и знаменателя с еднакъв брой пъти, стойността на дробта няма да се промени.

Това забележително свойство на дробта ще бъде от голямо значение в това, което следва, така че ще го наричаме основно свойство на дроб.

§ 85. Съкращаване на дроби.

Нека вземем сегмента AB (фиг. 16) и го разделим на 20 равни части, тогава всяка от тези части ще бъде равна на 1/20; Сегментът AC, който съдържа 15 такива части, ще бъде представен с дроб 15 / 20.

Сега нека се опитаме да увеличим дяловете, например разделяме сегмента не на 20 части, а на 4 равни части. Новите дялове се оказаха по-големи от предишните, тъй като всеки нов дял съдържа 5 предишни, което се вижда ясно на чертежа. Сега да помислим на какво е равна отсечката AC при новото смачкване, което при първото смачкване е било равно на 15/20 от отсечката AB. От чертежа се вижда, че ако отсечката AB се раздели на 4 части, то отсечката AC ще бъде равна на 3/4 от отсечката AB.

И така, сегмент AC, в зависимост от това на колко части е разделен сегментът AB, може да бъде представен както с дроб 15/20, така и с дроб 3/4. По величина това е една и съща фракция, защото измерва същия сегмент в същите мерни единици. Така че вместо дробта 15/20 можем да използваме дробта 3/4 и обратно.

Възниква въпросът коя фракция е по-удобна за използване? По-удобно е да се използва втората дроб, тъй като нейният числител и знаменател са изразени с по-малки числа от първата и в този смисъл е по-проста.

В процеса на разсъждение се оказа, че една стойност (сегмент AC) е изразена в две дроби, различни по външен вид, но еднакви по стойност (15/20, 3/4) Очевидно не може да има две такива дроби , но безброй набор. Въз основа на основното свойство на дроб, можем да доведем първата от тези дроби до такава форма, че числителят и знаменателят да бъдат най-малките. Всъщност, ако числителят и знаменателят на дробта 15/20 се разделят на 5, тогава тя ще бъде равна на 3/4, т.е. 15/20 = 3/4.

Тази трансформация (едновременно намаляване на числителя и знаменателя с еднакъв брой пъти), която ви позволява да получите дроб с голям числител и знаменател от дроб с голям числител и знаменател, но еднаква по размер с по-малки членове, е наречена редукция на дроби.

Следователно съкращаването на дроб е замяната му с друга дроб, равна на нея с по-малки членове, чрез разделяне на числителя и знаменателя на едно и също число.

Редуцирахме дробта 15 / 20 и стигнахме до дробта 3 / 4, която вече не може да бъде намалена, тъй като нейните членове 3 и 4 нямат общ делител (с изключение на единица). Такава дроб се нарича нередуцируем. Има два пътя, по които можете да поемете, когато съкращавате дроби. Първият начин е, че дробта се съкращава постепенно, а не веднага, т.е. след първото съкращаване отново се получава съкратима дроб, която след това отново се съкращава, като този процес може да бъде продължителен, ако числителят и знаменателят са изразени с големи числа. и имат много общи разделители.

Нека вземем дробта 60/120 и я намалим последователно, първо с 2, получаваме 60/120 = 30/60 Новата дроб (30/60) също може да бъде намалена с 2, получаваме 30/60 = 15/30. Членовете на новата дроб 15/30 имат общи делители, така че можете да намалите тази дроб с 3, получавате 15/30 = 5/10. И накрая, последната дроб може да бъде намалена с 5, т.е. 5/10 = 1/2. Това е последователното намаляване на дробите.

Лесно е да се разбере, че тази дроб (60/120) може да бъде намалена веднага с 60 и ще получим същия резултат. Колко е 60 за числата 60 и 120? Най-голям общ делител. Това означава, че намаляването на дроб с най-големия общ делител на нейните членове прави възможно незабавното й привеждане във формата на несъкратима дроб, заобикаляйки междинните деления. Това е вторият начин за намаляване на дроби.

§ 86. Свеждане на дроби до най-малък общ знаменател.

Нека вземем няколко дроби:

Ако започнем да сравняваме първата дроб с втората (1/2 и 1/3), ще почувстваме известно затруднение. Разбира се, разбираме, че половината е повече от една трета, тъй като в първия случай стойността е разделена на две равни части, а във втория случай на три равни части; но каква е разликата между тях, все още е трудно да се отговори. Друго нещо е втората фракция и третата (1/3 и 2/3), лесно е да ги сравните, тъй като веднага става ясно, че втората фракция е по-малка от третата с една трета. Лесно е да се разбере, че в случаите, когато сравняваме дроби с еднакви знаменатели, няма затруднения, в същите случаи, когато знаменателите на сравняваните дроби са различни, възникват някои неудобства. Проверете това, като сравните останалите данни за фракцията.

Следователно възниква въпросът: възможно ли е, когато сравняваме две дроби, да се гарантира, че знаменателите са еднакви? Това може да се направи въз основа на основното свойство на дробта, т.е. ако увеличим знаменателя няколко пъти, тогава, за да не се промени стойността на дробта, нейният числител трябва да се увеличи със същото количество.

По този начин можем да сведем дроби с различни знаменатели до общ знаменател.

Ако искате да сведете някои дроби до общ знаменател, тогава първо трябва да намерите число, което ще се дели на знаменателя на всяка от тези дроби. Следователно първата стъпка в процеса на привеждане на дроби към общ знаменател е намиране на най-малкото общо кратноза дадени знаменатели. След като се намери най-малкото общо кратно, е необходимо, като се раздели на всеки знаменател, да се получи за всяка дроб т.нар. допълнителен множител. Това ще бъдат числа, показващи колко пъти трябва да се увеличат числителят и знаменателят на всяка дроб, така че техните знаменатели да станат равни. Разгледайте примери.

1. Нека сведем дробите 7/30 и 8/15 до общ знаменател. Намерете най-малкото общо кратно за знаменателите 30 и 15. В този случай това ще бъде знаменателят на първата дроб, т.е. 30. Това ще бъде най-малкият общ знаменател за дробите 7/30 и 8/15. Сега нека намерим допълнителните множители: 30: 30 = 1, 30: 15 = 2. Така че за първата дроб допълнителният множител ще бъде 1, а за втория 2. Първата дроб ще остане непроменена. Умножавайки членовете на втората дроб с допълнителен коефициент, ние го довеждаме до знаменателя 30:

2. Нека приведем три дроби към общ знаменател: 7/30, 11/60 и 3/70.

Нека намерим за знаменателите 30, 60 и 70 най-малкото общо кратно:

Най-малкото общо кратно ще бъде 2 2 3 5 7 = 420.

Това ще бъде най-малкият общ знаменател на тези дроби.

Сега нека намерим допълнителни множители: 420: 30 = 14; 420: 60 = 7; 420: 70 = 6. И така, за първата дроб допълнителният множител ще бъде 14, за втората 7 и за третата 6. Умножавайки членовете на дробите по съответните допълнителни множители, получаваме дроби с еднакви знаменатели:

3. Нека сведем дробта до общ знаменател: 8/25 и 5/12. Знаменателите на тези дроби (25 и 12) са взаимно прости числа. Следователно най-малкото общо кратно ще бъде получено от тяхното умножение: 25 x 12 \u003d 300. Допълнителен фактор за първата дроб ще бъде 12, а за втората 25. Тези дроби ще приемат формата:

За да намалите дробите до най-малкия общ знаменател, първо трябва да намерите най-малкото общо кратно на всички знаменатели и да определите допълнителен коефициент за всеки знаменател, след което да умножите двата члена на всяка дроб по съответния допълнителен коефициент.

След като се научихме как да редуцираме дроби до общ знаменател, сравняването на дроби по размер вече няма да създава никакви трудности. Сега можем да сравним стойността на всеки две дроби, като първо ги приведем към общ знаменател.

Има много видове числа, едно от тях са цели числа. Целите числа се появиха, за да се улесни броенето не само в положителна посока, но и в отрицателна.

Помислете за пример:
През деня навън беше 3 градуса. До вечерта температурите паднаха с 3 градуса.
3-3=0
Навън беше 0 градуса. А през нощта температурата падна с 4 градуса и започна да показва на термометъра -4 градуса.
0-4=-4

Поредица от цели числа.

Не можем да опишем такава задача с естествени числа; ще разгледаме тази задача на координатна права.

Имаме поредица от числа:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Тази поредица от числа се нарича до цели числа.

Цели положителни числа. Цели отрицателни числа.

Поредица от цели числа се състои от положителни и отрицателни числа. Вдясно от нулата са естествените числа или те също се наричат цели положителни числа. И вляво от нулата отидете цели отрицателни числа.

Нулата не е нито положителна, нито отрицателна. Това е границата между положителните и отрицателните числа.

е набор от числа, състоящ се от естествени числа, цели отрицателни числа и нула.

Поредица от цели числа в положителни и отрицателни посоки е безкрайно множество.

Ако вземем произволни две цели числа, тогава числата между тези цели числа ще бъдат извикани краен комплект.

Например:
Нека вземем цели числа от -2 до 4. Всички числа между тези числа са включени в крайното множество. Нашият краен набор от числа изглежда така:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Естествените числа се означават с латинската буква N.
Целите числа се означават с латинската буква Z. Цялата съвкупност от естествени числа и цели числа може да бъде изобразена на фигурата.


Неположителни цели числас други думи, те са цели отрицателни числа.
Неотрицателни цели числаса положителни цели числа.

Да се цели числавключват естествени числа, нула и числа, противоположни на естествените числа.

Цели числаса положителни цели числа.

Например: 1, 3, 7, 19, 23 и т.н. Използваме такива числа за броене (на масата има 5 ябълки, колата има 4 колела и т.н.)

Латинска буква \mathbb(N) - означ набор от естествени числа.

Естествените числа не могат да включват отрицателни (един стол не може да има отрицателен брой крака) и дробни числа (Иван не може да продаде 3,5 велосипеда).

Числата, противоположни на естествените, са цели отрицателни числа: -8, -148, -981, ....

Аритметични действия с цели числа

Какво можете да правите с цели числа? Те могат да се умножават, събират и изваждат един от друг. Нека анализираме всяка операция на конкретен пример.

Събиране на цяло число

Две цели числа с еднакви знаци се събират, както следва: модулите на тези числа се събират и получената сума се предхожда от крайния знак:

(+11) + (+9) = +20

Изваждане на цели числа

Събират се две цели числа с различни знаци, както следва: модулът на по-малкото число се изважда от модула на по-голямото число и знакът на по-голямото число по модул се поставя пред отговора:

(-7) + (+8) = +1

Умножение с цяло число

За да умножите едно цяло число по друго, трябва да умножите модулите на тези числа и да поставите знака "+" пред получения отговор, ако оригиналните числа са били с еднакви знаци, и знака "-", ако оригиналните числа са били с различни знаци:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Трябва да запомните следното правило за умножение на цели числа:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Има правило за умножаване на няколко цели числа. Да си го припомним:

Знакът на произведението ще бъде "+", ако броят на факторите с отрицателен знак е четен и "-", ако броят на факторите с отрицателен знак е нечетен.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Деление на цели числа

Разделянето на две цели числа се извършва по следния начин: модулът на едно число се разделя на модула на другото и ако знаците на числата са еднакви, тогава знакът "+" се поставя пред полученото частно , а ако знаците на оригиналните числа са различни, тогава се поставя знакът „−“.

(-25) : (+5) = -5

Свойства на събиране и умножение на цели числа

Нека анализираме основните свойства на събирането и умножението за всякакви цели числа a, b и c:

1. a + b = b + a - комутативно свойство на събирането;
2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - асоциативното свойство на добавяне;
3. a \cdot b = b \cdot a - комутативно свойство на умножението;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- асоциативни свойства на умножението;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot cе разпределителното свойство на умножението.

Първо ниво

Най-голямо общо кратно и най-малък общ делител. Критерии за делимост и методи за групиране (2019)

За да опростите МНОГО живота си, когато трябва да изчислите нещо, да спечелите ценно време в OGE или USE, да правите по-малко глупави грешки - прочетете този раздел!

Ето какво ще научите:

• как да изчислявате по-бързо, по-лесно и по-точно с помощтагрупиране на числапри събиране и изваждане,
• как бързо да умножавате и разделяте без грешки правила за умножение и критерии за делимост,
• как значително да ускорите изчисленията с помощта на най-малко общо кратно(NOC) и най-голям общ делител(GCD).

Притежаването на техниките от този раздел може да наклони везните в една или друга посока ... независимо дали влизате в университета на мечтите си или не, вие или родителите ви ще трябва да платите много пари за образование или ще влезете в бюджета .

Да се ​​гмурнем направо... (Да тръгваме!)

Важна забележка!Ако вместо формули видите безсмислици, изчистете кеша. За да направите това, натиснете CTRL+F5 (в Windows) или Cmd+R (на Mac)

Много цели числасе състои от 3 части:

1. цели числа(ще ги разгледаме по-подробно по-долу);
2. числа, противоположни на естествените числа(всичко ще си дойде на мястото щом разберете кои са естествените числа);
3. нула - " " (къде без него?)

буква Z.

Цели числа

„Бог е създал естествените числа, всичко останало е дело на човешки ръце“ (c) Германският математик Кронекер.

Естествените числа сачислата, които използваме за броене на обекти и именно на това се основава тяхната история на възникване - необходимостта от броене на стрели, кожи и т.н.

1, 2, 3, 4...n

буква Н.

Съответно, тази дефиниция не включва (не можете ли да преброите това, което го няма?) И още повече не включва отрицателни стойности (има ли ябълка?).

Освен това не са включени всички дробни числа (също така не можем да кажем „имам лаптоп“ или „продадох коли“)

Всякакви естествено числоможе да се запише с 10 цифри:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Така че 14 не е число. Това е число. От какви числа се състои? Точно така, от числа и.

Допълнение. Групиране при добавяне за по-бързо броене и по-малко грешки

Какво интересно можете да кажете за тази процедура? Разбира се, сега ще отговорите "стойността на сумата не се променя от пренареждането на членовете." Изглежда, че примитивно правило, познато от първия клас, обаче, когато се решават големи примери, то незабавно забравен!

Не забравяйте за негоизползвайте групиране, за да улесните процеса на броене и да намалите вероятността от грешки, тъй като няма да разполагате с калкулатор за изпита.

Вижте сами кой израз е по-лесен за добавяне?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Разбира се второто! Въпреки че резултатът е същият. Но! Имайки предвид втория начин, е по-малко вероятно да направите грешка и ще направите всичко по-бързо!

Така че в ума си мислите така:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Изваждане. Групиране при изваждане за по-бързо броене и по-малко грешки

При изваждане можем също да групираме извадени числа, например:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Какво ще стане, ако изваждането е вплетено със събиране в примера? Можете и да групирате, ще отговорите и правилно. Само моля, не забравяйте за знаците пред числата, например: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Запомнете: неправилно поставените знаци ще доведат до грешен резултат.

Умножение. Как да умножите в ума си

Очевидно е, че стойността на продукта също няма да се промени от промяна на местата на факторите:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Няма да ви кажа да „използвате това, когато решавате задачи“ (сами разбрахте подсказката, нали?), а по-скоро ще ви кажа как бързо да умножите някои числа наум. Така че, внимателно погледнете таблицата:

И още малко за умножението. Разбира се, помните два специални повода… Познайте какво имам предвид? Ето за това:

О, да, нека да погледнем признаци на делимост. Общо има 7 правила за признаците на делимост, от които първите 3 вече знаете със сигурност!

Но останалото не е никак трудно за запомняне.

7 признака за делимост на числата, които ще ви помогнат бързо да броите наум!

• Вие, разбира се, знаете първите три правила.
• Четвъртият и петият се запомнят лесно - при деление на и гледаме дали сумата от цифрите, които съставят числото, се дели на това.
• При деление на обръщаме внимание на последните две цифри на числото – дели ли се числото, което те съставят?
• При деление на число то трябва да се дели едновременно на и на. Това е цялата мъдрост.

Сега мислите ли - "защо ми трябва всичко това"?

Първо, изпитът е без калкулатори тези правила ще ви помогнат да се ориентирате в примерите.

И второ, чухте задачите за GCDи НОК? Познато съкращение? Нека започнем да помним и разбираме.

Най-голям общ делител (gcd) - необходим за съкращаване на дроби и бързи изчисления

Да приемем, че имате две числа: и. Кое е най-голямото число, което се дели на двете числа? Ще отговорите без колебание, защото знаете, че:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Кои числа в разширението са често срещани? Точно така, 2 * 2 = 4. Това беше вашият отговор. Имайки предвид този прост пример, няма да забравите алгоритъма за намиране GCD. Опитайте се да го "изградите" в главата си. Се случи?

За да намерите NOD, трябва:

1. Разлагайте числата на прости множители (на числа, които не могат да бъдат разделени на нищо друго освен себе си или на например 3, 7, 11, 13 и т.н.).
2. Умножете ги.

Разбирате ли защо са ни нужни знаци за делимост? Така че да погледнеш числото и да започнеш да делиш без остатък.

Например, нека намерим НОД на числата 290 и 485

Първо число - .

Гледайки го, можете веднага да разберете на какво се дели, нека напишем:

не можете да го разделите на нищо друго, но можете - и получаваме:

290 = 29 * 5 * 2

Да вземем друго число - 485.

Според признаците на делимост трябва да се дели на без остатък, тъй като завършва на. Споделяме:

Нека анализираме оригиналния номер.

• Не може да се дели на (последната цифра е нечетна),
• - не се дели на, така че числото също не се дели на,
• също не се дели на и (сумата от цифрите в числото не се дели на и на)
• също не се дели, защото не се дели на и,
• също не се дели на и, тъй като не се дели на и.
• не може да се раздели напълно

Така че числото може да се разложи само на и.

А сега да намерим GCDтези числа (и). Какво е това число? Правилно, .

Да тренираме ли?

Задача номер 1. Намерете НОД на числата 6240 и 6800

1) Деля веднага на, тъй като и двете числа се делят 100% на:

2) Ще разделя на останалите големи числа (s), тъй като те са разделени на без остатък (в същото време няма да разлагам - това вече е общ делител):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Ще си тръгна сам и ще започна да разглеждам числата и. И двете числа се делят точно на (завършват с четни цифри (в този случай представяме като, но могат да бъдат разделени на)):

4) Работим с числа и. Имат ли общи делители? Това е толкова лесно, колкото и в предишните стъпки, и не можете да кажете, така че тогава просто ще ги разложим на прости фактори:

5) Както виждаме, бяхме прави: и нямаме общи делители, а сега трябва да умножим.
GCD

Задача номер 2. Намерете НОД на числата 345 и 324

Не мога бързо да намеря поне един общ делител тук, така че просто разлагам на прости множители (колкото е възможно по-малко):

Точно така, GCD, и аз първоначално не проверих критерия за делимост и може би нямаше да трябва да правя толкова много действия. Но проверихте, нали? Много добре! Както можете да видите, това е доста лесно.

Най-малко общо кратно (LCM) - спестява време, помага за решаване на проблеми извън кутията

Да кажем, че имате две числа - и. На кое е най-малкото число, което се дели без следа(т.е. напълно)? Трудно ли е да си представим? Ето визуална следа за вас:

Помните ли какво означава буквата? Точно така, просто цели числа.Кое е най-малкото число, което отговаря на x? :

В такъв случай.

От този прост пример следват няколко правила.

Правила за бързо намиране на НОК

Правило 1. Ако едно от две естествени числа се дели на друго число, то по-голямото от тези две числа е тяхното най-малко общо кратно.

Намерете следните числа:

• НОК (7;21)
• НОК (6;12)
• НОК (5;15)
• НОК (3;33)

Разбира се, вие лесно се справихте с тази задача и получихте отговорите -, и.

Имайте предвид, че в правилото говорим за ДВЕ числа, ако има повече числа, тогава правилото не работи.

Например LCM (7;14;21) не е равно на 21, тъй като не може да бъде разделено без остатък на.

Правило 2. Ако две (или повече от две) числа са взаимно прости, тогава най-малкото общо кратно е равно на техния продукт.

намирам НОКза следните числа:

• НОК (1;3;7)
• НОК (3;7;11)
• НОК (2;3;7)
• НОК (3;5;2)

броихте ли Ето и отговорите - , ; .

Както разбирате, не винаги е толкова лесно да вземете и вземете същото това x, така че за малко по-сложни числа има следния алгоритъм:

Да тренираме ли?

Намерете най-малкото общо кратно - LCM (345; 234)

Нека разбием всяко число:

Защо написах току-що? Запомнете признаците за делимост на: дели се на (последната цифра е четна) и сборът от цифрите се дели на. Съответно можем веднага да разделим на, като го напишем като.

Сега изписваме най-дългото разширение в ред - второто:

Нека добавим към него числата от първото разширение, които не са в това, което сме написали:

Забележка: изписахме всичко с изключение на, тъй като вече го имаме.

Сега трябва да умножим всички тези числа!

Намерете сами най-малкото общо кратно (LCM).

Какви отговори получи?

Ето какво ми се случи:

Колко време ти отне да намериш НОК? Моето време е 2 минути, наистина знам един трик, който предлагам да отворите веднага!

Ако сте много внимателни, вероятно сте забелязали, че за дадените номера вече сме търсили GCDи бихте могли да вземете факторизацията на тези числа от този пример, като по този начин опростите задачата си, но това далеч не е всичко.

Погледнете снимката, може би ще ви дойдат други мисли:

Добре? Ще ви подскажа: опитайте се да умножите НОКи GCDпомежду си и запишете всички фактори, които ще бъдат при умножаване. успяхте ли Трябва да получите верига като тази:

Погледнете го по-отблизо: сравнете факторите с това как и се разлагат.

Какво заключение можете да направите от това? Правилно! Ако умножим стойностите НОКи GCDпомежду си, тогава получаваме произведението на тези числа.

Съответно имащи числа и значение GCD(или НОК), можем да намерим НОК(или GCD) по следния начин:

1. Намерете произведението на числата:

2. Разделяме получения продукт на нашия GCD (6240; 6800) = 80:

Това е всичко.

Нека напишем правилото в общ вид:

Опитай да намериш GCDако е известно, че:

успяхте ли .

Отрицателни числа - "фалшиви числа" и тяхното разпознаване от човечеството.

Както вече разбрахте, това са числа, противоположни на естествените, тоест:

Отрицателните числа могат да се събират, изваждат, умножават и делят - точно като естествените числа. Изглежда, че те са толкова специални? Но факт е, че отрицателните числа са "спечелили" полагащото им се място в математиката чак до 19 век (до този момент е било голяма сумаспорове дали съществуват или не).

Самото отрицателно число възниква поради такава операция с естествени числа като "изваждане". Наистина, извадете от - това е отрицателно число. Ето защо множеството от отрицателни числа често се нарича "разширение на множеството". естествени числа».

Отрицателните числа не се разпознават от хората дълго време. И така, Древен Египет, Вавилон и Древна Гърция - светлините на своето време, не признаваха отрицателни числа и в случай на получаване на отрицателни корени в уравнението (например, както имаме), корените бяха отхвърлени като невъзможни.

За първи път отрицателните числа получават правото да съществуват в Китай, а след това през 7 век в Индия. Какво мислите за това признание? Точно така, отрицателните числа започнаха да означават дългове (в противен случай - недостиг). Смяташе се, че отрицателните числа са временна стойност, която в резултат ще се промени на положителна (тоест парите все още ще бъдат върнати на кредитора). Индийският математик Брахмагупта обаче вече разглежда отрицателните числа наравно с положителните.

В Европа полезността на отрицателните числа, както и фактът, че те могат да означават дълг, дойде много по-късно, тоест едно хилядолетие. Първото споменаване се среща през 1202 г. в „Книгата на абака“ от Леонард от Пиза (веднага казвам, че авторът на книгата няма нищо общо с наклонената кула в Пиза, но числата на Фибоначи са негово дело ( прякорът на Леонардо от Пиза е Фибоначи)). Освен това европейците стигнаха до извода, че отрицателните числа могат да означават не само дългове, но и липса на нещо, но не всички разпознаха това.

И така, през XVII век Паскал вярва, че. Как мислите, той го оправда? Точно така, "нищо не може да бъде по-малко от НИЩО". Ехо от онези времена остава фактът, че отрицателното число и операцията за изваждане се обозначават с един и същи символ - минус "-". И вярно:. Положително ли е числото " ", от което се изважда, или отрицателно, към което се добавя? ... Нещо от поредицата "кое е първо: кокошката или яйцето?" Ето такъв вид тази математическа философия.

Отрицателните числа осигуриха правото си на съществуване с появата на аналитичната геометрия, с други думи, когато математиците въведоха такова нещо като реална ос.

От този момент дойде равенството. Все още обаче имаше повече въпроси, отколкото отговори, например:

пропорция

Тази пропорция се нарича парадокс на Арно. Помислете, кое е съмнителното в това?

Нека поговорим заедно " " повече от " " нали? Така според логиката лявата страна на пропорцията трябва да е по-голяма от дясната страна, но те са равни... Ето го парадокса.

В резултат на това математиците се съгласиха, че Карл Гаус (да, да, това е този, който разглежда сумата (или) на числата) през 1831 г. сложи край на това - той каза, че отрицателните числа имат същите права като положителните и това, че не важат за всички неща, нищо не означава, тъй като и дробите не важат за много неща (не се случва копач да копае дупка, не можеш да си купиш билет за кино и т.н.).

Математиците се успокояват едва през 19 век, когато е създадена теорията за отрицателните числа от Уилям Хамилтън и Херман Грасман.

Ето колко противоречиви са те, тези отрицателни числа.

Появата на "празнотата" или биографията на нулата.

В математиката, специално число. На пръв поглед това не е нищо: добавете, извадете - нищо няма да се промени, но просто трябва да го припишете вдясно на "", и полученото число ще бъде многократно по-голямо от първоначалното. Умножавайки по нула, превръщаме всичко в нищо, но не можем да делим на „нищо“. С една дума, магическото число)

Историята на нулата е дълга и сложна. Следа от нула се намира в писанията на китайците през 2000 г. сл. Хр. а още по-рано при маите. Първото използване на символа нула, както е днес, се наблюдава сред гръцките астрономи.

Има много версии защо е избрано такова обозначение "нищо". Някои историци са склонни да смятат, че това е омикрон, т.е. Първата буква на гръцката дума за нищо е ouden. Според друга версия думата "obol" (монета с почти никаква стойност) дава живот на символа на нулата.

Нулата (или нулата) като математически символ се появява за първи път сред индианците (имайте предвид, че отрицателните числа започват да се „развиват“ там). Първите надеждни свидетелства за писане на нула датират от 876 г., като в тях "" е компонент на числото.

Нулата също дойде в Европа със закъснение - едва през 1600 г. и също като отрицателните числа срещна съпротива (какво да правиш, европейци са).

„Нулата често е била мразена, страхувана или дори забранявана от незапомнени времена“, пише американският математик Чарлз Сейф. И така, турският султан Абдул-Хамид II в края на 19 век. наредил на своите цензори да изтрият водната формула H2O от всички учебници по химия, като взели буквата „О“ за нула и не искали инициалите му да бъдат оклеветени от близостта до презряната нула.

В интернет можете да намерите фразата: „Нулата е най-мощната сила във Вселената, тя може всичко! Нулата създава ред в математиката и също така внася хаос в нея. Абсолютно правилна гледна точка :)

Обобщение на раздела и основни формули

Наборът от цели числа се състои от 3 части:

• естествени числа (ще ги разгледаме по-подробно по-долу);
• числа, противоположни на естествените;
• нула - " "

Означава се множеството от цели числа буква Z.

1. Естествени числа

Естествените числа са числата, които използваме за броене на обекти.

Означава се множеството от естествени числа буква Н.

При операции с цели числа ще ви трябва способността да намирате GCD и LCM.

Най-голям общ делител (НОД)

За да намерите NOD, трябва:

1. Разлагайте числата на прости множители (на числа, които не могат да бъдат разделени на нищо друго освен себе си или на, например, и т.н.).
2. Запишете коефициентите, които са част от двете числа.
3. Умножете ги.

Най-малко общо кратно (LCM)

За да намерите NOC, трябва:

1. Разложете числата на прости множители (вече знаете как да направите това много добре).
2. Напишете факторите, включени в разширяването на едно от числата (по-добре е да вземете най-дългата верига).
3. Добавете към тях липсващите множители от разширенията на останалите числа.
4. Намерете произведението на получените множители.

2. Отрицателни числа

Това са числа, противоположни на естествените числа, тоест:

Сега искам да те чуя...

Надявам се, че сте оценили супер полезните "трикове" на този раздел и сте разбрали как ще ви помогнат на изпита.

И по-важното - в живота. Не говоря за това, но повярвайте ми, това е така. Способността да броите бързо и без грешки спасява в много житейски ситуации.

Сега е твой ред!

Пишете, ще използвате ли в изчисленията методи за групиране, критерии за делимост, НОД и НМК?

Може би сте ги използвали преди? Къде и как?

Може би имате въпроси. Или предложения.

Напишете в коментарите как ви харесва статията.

И успех на изпитите!

Съдържанието на статията

Концепцията за число в математиката може да се отнася до обекти от различно естество: естествени числа, използвани при броенето (цели положителни числа 1, 2, 3 и т.н.), числа, които са възможни резултати от (идеализирани) измервания (това са числа като 2/ 3, - те се наричат ​​реални числа), отрицателни числа, имагинерни числа (да речем k) и други по-абстрактни класове числа, използвани в по-високите раздели на математиката (например хиперкомплексни и трансфинитни числа). Числото трябва да се разграничава от неговия символ или нотацията, която го представлява. Ще разгледаме логическите връзки между различните класове числа.

Такива гатанки се решават лесно, ако вземем предвид, че различните класове числа имат доста различни значения; въпреки че имат достатъчно общи неща, за да могат да бъдат наречени числа, не трябва да се смята, че всички те ще отговарят на едни и същи правила.

положителни цели числа.

Въпреки че всички научаваме положителни цели числа (1, 2, 3 и т.н.) в ранна детска възраст, когато едва ли ни хрумва да мислим за дефиниции, въпреки това такива числа могат да бъдат определени по всички правила на формалната логика. Една стриктна дефиниция на числото 1 би отнела повече от дузина страници, а формула като 1 + 1 = 2, ако бъде написана с пълни подробности без никакви съкращения, ще се простира на няколко километра. Въпреки това, всяка математическа теория е принудена да започне с някои недефинирани концепции и аксиоми или постулати за тях. Тъй като положителните цели числа са добре известни и е трудно да се дефинират с нещо по-просто, ще ги приемем като оригинални недефинирани понятия и ще приемем, че основните свойства на тези числа са известни.

Цели отрицателни числа и нула.

Отрицателните числа са често срещани в наши дни: те се използват например за представяне на температури под нулата. Ето защо изглежда изненадващо, че преди няколко века не е имало конкретно тълкуване на отрицателните числа, а отрицателните числа, които се появяват в хода на изчисленията, са били наричани „въображаеми“. Въпреки че интуитивното тълкуване на отрицателните числа е полезно само по себе си, когато се опитваме да разберем "правила" като (-4)ґ(-3) = +12, трябва да дефинираме отрицателните числа по отношение на положителните числа. За да направим това, трябва да изградим набор от такива математически обекти, които ще се държат в аритметиката и алгебрата точно както може да се очаква от отрицателните числа. Един от начините за конструиране на такъв набор е да се разгледат подредени двойки положителни числа ( а,b). „Поръчан“ означава, че например двойката (2,3) е различна от двойката (3,2). Такива подредени двойки могат да се разглеждат като нов клас числа. Сега трябва да кажем кога две такива нови числа са равни и какво означава тяхното събиране и умножение. Нашият избор на дефиниции е воден от желанието двойката ( а,b) действа като разлика ( а – b), който досега е дефиниран само когато аПовече ▼ b. Тъй като в алгебрата ( а-б) + (c-d) = (a+c) – (b+d), стигаме до необходимостта да дефинираме добавянето на нови числа като ( а,b) + (° С,д) = (a+c, b+d); защото ( а – b)ґ(° С – д) = ак + бд – (пр.н.е. + реклама), дефинираме умножението с равенството ( а,b)ґ(° С,д) = (климатик+бд, пр.н.е. + реклама); и тъй като ( а-б) = (c-d), ако a + d = b + c, определяме равенството на новите числа чрез отношението ( а,b) = (° С,д), ако a + d = b + c. По този начин,

Използвайки дефинициите за равенство на двойки, можем да напишем сумата и произведението на двойките в по-проста форма:

Всички двойки ( а,а) са равни (по дефиницията за равенство на двойки) и действат така, както очакваме да действа нулата. Например (2.3) + (1.1) = (3.4) = (2.3); (2.3)ґ(1.1) = (2 + 3, 2 + 3) = (5.5) = (1.1). Двойки ( а,а) можем да символизираме 0 (което все още не е използвано).

Двойки ( а,b), където bПовече ▼ а, се държат както трябва отрицателните числа и можем да обозначим двойката ( а,b) символ –( b – а). Например, -4 е (1,5), а -3 е (1,4); (–4)ґ(–3) = (21.9), или (13.1). Бихме искали да означим последното число като 12, но това със сигурност не е същото като положителното цяло число 12, тъй като обозначава двойка положителни цели числа, а не едно единствено положително цяло число. Трябва да се подчертае, че тъй като двойките ( а,b), където bпо-малко а, действат като положителни цели числа ( а – b), ще пишем числа като ( а – b). В същото време трябва да забравим за положителните цели числа, с които започнахме, и оттук нататък да използваме само нашите нови числа, които ще наричаме цели числа. Фактът, че възнамеряваме да използваме старите имена за някои от новите числа, не трябва да ни подвежда, че новите числа всъщност са обекти от различен вид.

дроби.

Интуитивно смятаме, че дробта 2/3 е резултат от разделянето на 1 на три равни части и вземането на две от тях. Математикът обаче се стреми да разчита възможно най-малко на интуицията и да дефинира рационалните числа чрез по-прости обекти - цели числа. Това може да се направи, като се третира 2/3 като подредена двойка от (2,3) цели числа. За да завършим определението, е необходимо да формулираме правилата за равенството на дробите, както и събирането и умножението. Разбира се, тези правила трябва да бъдат еквивалентни на правилата на аритметиката и, разбира се, различни от правилата за онези подредени двойки, които сме дефинирали като цели числа. Ето правилата:

Лесно се вижда, че двойките ( а,1) действат като цели числа а; Продължавайки да разсъждаваме по същия начин, както в случая с отрицателните числа, ние означаваме с 2 дробта (2.1), или (4.2), или всяка друга дроб, равна на (2.1). Нека сега забравим за целите числа и да ги запазим само като средство за записване на определени дроби.

Рационални и ирационални числа.

Дробите се наричат ​​още рационални числа, тъй като могат да бъдат представени във формата отношения(от лат. съотношениеотношение) на две цели числа. Но ако имаме нужда от число, чийто квадрат е 2, тогава не можем да минем с рационални числа, защото няма рационално число, чийто квадрат да е равен на 2. Същото става ясно, ако попитаме за числото, изразяващо отношението на обиколката на окръжност към нейния диаметър. Следователно, ако искаме да получим квадратни корени от всички положителни числа, тогава трябва да разширим класа на рационалните числа. Новите числа, наречени ирационални (т.е. нерационални), могат да бъдат дефинирани по различни начини. Подредените двойки не са добри за това; един от най-простите начини е да се дефинират ирационални числа като безкрайни неповтарящи се десетични числа.

Реални числа.

Рационалните и ирационалните числа заедно се наричат ​​реални или реални числа. Геометрично те могат да бъдат представени чрез точки на права линия, с дроби между цели числа и ирационални числа между дроби, както е показано на фиг. 1. Може да се покаже, че системата от реални числа има свойство, известно като "пълнота", което означава, че всяка точка от линията съответства на някакво реално число.

Комплексни числа.

Тъй като квадратите на положителните и отрицателните реални числа са положителни, няма точка на линията с реални числа, която да съответства на число, чийто квадрат е -1. Но ако се опитаме да решим квадратни уравнения като х 2 + 1 = 0, тогава би било необходимо да се действа така, сякаш има някакво число аз, чийто квадрат ще бъде -1. Но тъй като няма такова число, нямаме друг избор освен да използваме „въображаемо“ или „въображаемо“ число. Съответно "номер" ази неговите комбинации с обикновени числа (като 2 + 3 аз) стана известен като въображаем. Съвременните математици предпочитат да наричат ​​такива числа „сложни“, защото, както ще видим, те са точно толкова „реални“, колкото и тези, които сме срещали преди. Дълго време математиците свободно използваха въображаеми числа и получаваха полезни резултати, въпреки че не разбираха напълно какво правят. До началото на 19в на никого не му е хрумвало да "съживява" въображаемите числа с помощта на изричното им дефиниране. За да направите това, трябва да изградите някакъв набор от математически обекти, които от гледна точка на алгебрата биха се държали като изрази а+би, ако сме съгласни с това аз 2 = -1. Такива обекти могат да бъдат определени по следния начин. Считайте за нашите нови числа подредени двойки реални числа, чието събиране и умножение се определя от формулите:

Ние наричаме такива подредени двойки комплексни числа. Двойки частна форма ( а,0) с втори член, равен на нула, се държат като реални числа, така че ще се съгласим да ги обозначим по същия начин: например 2 означава (2,0). От друга страна, комплексното число (0, b) по дефиницията на умножението има свойството (0, b)ґ(0,b) = (0 – b 2 , 0 + 0) = (–b 2 ,0) = –b 2. Например, в случай на (0.1)ґ(0.1) намираме произведението (-1.0); следователно (0,1) 2 = (–1,0). Вече сме се съгласили да запишем комплексното число (-1.0) като -1, така че ако числото (0.1) е обозначено със символа аз, тогава получаваме комплексно число аз, така че аз 2 = -1. Освен това комплексното число (2,3) вече може да се запише като 2 + 3 аз.

Важна разлика между този подход към комплексните числа и традиционния е, че в този случай числото азне съдържа нищо мистериозно или въображаемо: това е нещо добре дефинирано с помощта на числа, които вече са съществували преди, въпреки че, разбира се, не съвпада с нито едно от тях. По същия начин реалното число 2 не е сложно, въпреки че използваме символа 2, за да представим комплексно число. Тъй като всъщност няма нищо „въображаемо“ във въображаемите числа, не е изненадващо, че те се използват широко в реални ситуации, например в електротехниката (където вместо буква азобикновено използват буквата й, както в електротехниката аз- символ за текущата стойност на тока).

Алгебрата на комплексните числа в много отношения прилича на алгебрата на реалните числа, въпреки че има значителни разлики. Например не важи правилото за комплексни числа: , следователно , докато .

Добавянето на комплексни числа позволява проста геометрична интерпретация. Например сумата от числата 2 + 3 ази 3 - азима число 5 + 2 аз, което съответства на четвъртия връх на успоредника с три върха в точки 0, 2 + 3 ази 3 - аз.

Точка в равнина може да бъде определена не само чрез правоъгълни (декартови) координати ( х,г), но и по полярните си координати ( r,р), уточнявайки разстоянието от точката до началото и ъгъла. Следователно комплексното число x+iyможе да се запише и в полярни координати (фиг. 2, b). Дължина на радиус вектора rравно на разстоянието от началото до точката, съответстваща на комплексното число; величина rсе нарича модул на комплексно число и се определя по формулата . Често модулът се записва като . Ъгъл рсе нарича "ъгъл", "аргумент" или "фаза" на комплексно число. Такова число има безкрайно много ъгли, които се различават с кратно на 360°; например, азима ъгъл 90°, 450°, -270°, ј Тъй като декартовите и полярните координати на една и съща точка са свързани с отношенията х = r cos р, г = rгрях р, равенството х + iy = r(тъй като р + азгрях р).

Ако z = x + iy, след това числото x-iyсе нарича комплексно спрегнат на zи означен като n z = re iq. Логаритъм на комплексно число re iq, по дефиниция, е равно на ln r + iq, където ln означава основен логаритъм д, а рприема всички възможни стойности, измерени в радиани. Така едно комплексно число има безкрайно много логаритми. Например ln (–2) = ln 2 + ip+ всяко цяло число, кратно на 2 стр. Като цяло степените вече могат да бъдат дефинирани с помощта на релацията a b = e bвътре а. Например, аз –2аз = д–2лн аз. Тъй като стойностите на числовия аргумент азравен стр/2 (90°, изразени в радиани) плюс цяло число, кратно, след това числото аз –2азматерия еп, д 3 стр, д -стри т.н., които всички са валидни.

хиперкомплексни числа.

Комплексните числа са измислени, за да могат да се решават всички квадратни уравнения с реални коефициенти. Може да се покаже, че всъщност комплексните числа позволяват много повече: с тяхното въвеждане алгебрични уравнения от всякаква степен стават разрешими, дори и с комплексни коефициенти. Следователно, ако се интересуваме само от решаването на алгебрични уравнения, тогава необходимостта от въвеждане на нови числа ще изчезне. За други цели обаче са необходими числа, които са подредени донякъде подобно на сложните, но с повече компоненти. Понякога такива числа се наричат ​​хиперкомплексни. Примери за това са кватерниони и матрици.