Pata urefu wa mhimili mkubwa wa ellipsoid. Mistari ya agizo la pili. Ellipse na equation yake ya kisheria. Mzunguko

11.1. Dhana za kimsingi

Fikiria mistari iliyoelezewa na hesabu za shahada ya pili kwa heshima na kuratibu za sasa

Coefficients ya equation ni nambari halisi, lakini angalau moja ya nambari A, B, au C sio sifuri. Mistari kama hiyo inaitwa mistari (curves) ya mpangilio wa pili. Itaanzishwa hapa chini kuwa equation (11.1) inafafanua mduara, ellipse, hyperbola, au parabola kwenye ndege. Kabla ya kuendelea na madai haya, wacha tujifunze mali ya curves zilizowekwa.

11.2. Mzunguko

Curve rahisi zaidi ya mpangilio wa pili ni mduara. Kumbuka kuwa mduara wa radius uliowekwa katikati ni seti ya alama zote μ za ndege inayokidhi hali hiyo. Acha uhakika katika mfumo wa kuratibu wa mstatili uwe na kuratibu x 0, y 0 a - hatua ya kiholela ya mduara (ona Mtini. 48).

Halafu kutoka kwa hali tunapata equation

(11.2)

Equation (11.2) imeridhika na kuratibu za hatua yoyote kwenye mduara uliopewa na haijaridhika na kuratibu za hatua yoyote ambayo haiko kwenye mduara.

Equation (11.2) inaitwa equation ya canonical ya mduara

Hasa, kwa kudhani na, tunapata equation ya duara iliyozingatia asili .

Equation ya mduara (11.2) baada ya mabadiliko rahisi itachukua fomu. Wakati wa kulinganisha equation hii na equation ya jumla (11.1) ya Curve ya mpangilio wa pili, ni rahisi kuona kwamba hali mbili zimeridhika kwa equation ya mduara:

1) coefficients saa x 2 na y 2 ni sawa kwa kila mmoja;

2) Hakuna mwanachama aliye na bidhaa ya XY ya kuratibu za sasa.

Wacha tufikirie shida isiyo na maana. Kuweka equation (11.1) maadili na, tunapata

Wacha tubadilishe equation hii:

(11.4)

Inafuata kwamba equation (11.3) inafafanua mduara chini ya hali hiyo . Kituo chake kiko katika hatua , na radius

.

Kama , basi equation (11.3) ina fomu

.

Imeridhika na kuratibu za nukta moja . Katika kesi hii, wanasema: "Mzunguko umeharibika kwa uhakika" (ina radii ya sifuri).

Ikiwa a , basi equation (11.4), na kwa hivyo equation sawa (11.3), haitaamua mstari wowote, kwani upande wa kulia wa equation (11.4) ni hasi, na upande wa kushoto sio hasi (sema: "Mzunguko wa kufikiria").

11.3. Ellipse

Equation ya canonical ya ellipse

Ellipse ni seti ya alama zote za ndege, jumla ya umbali kutoka kwa kila mmoja wao hadi alama mbili zilizopewa za ndege hii, inayoitwa hila , ni thamani ya mara kwa mara kuliko umbali kati ya lengo.

Kuashiria lengo na F1 na F2, umbali kati yao katika 2 c, na jumla ya umbali kutoka kwa hatua ya kiholela ya mviringo hadi kwenye foci - kupitia 2 a(Tazama Mtini. 49). Kwa ufafanuzi 2 a > 2c, i.e. a > c.

Ili kupata equation ya ellipse, tunachagua mfumo wa kuratibu ili mwelekeo F1 na F2 uongo kwenye mhimili, na asili inaambatana na katikati ya sehemu F 1 F 2. Basi lengo litakuwa na kuratibu zifuatazo: na.

Acha iwe hatua ya kiholela ya ellipse. Halafu, kulingana na ufafanuzi wa ellipse, i.e.

Hii, kwa kweli, ni equation ya ellipse.

Tunabadilisha equation (11.5) kuwa fomu rahisi kama ifuatavyo:

Kwa sababu a>Na, basi. Wacha tuweke

(11.6)

Basi equation ya mwisho inachukua fomu au

(11.7)

Inaweza kudhibitishwa kuwa equation (11.7) ni sawa na equation ya asili. Inaitwa equation ya canonical ya ellipse .

Ellipse ni Curve ya agizo la pili.

Utafiti wa sura ya ellipse kulingana na equation yake

Wacha tuanzishe sura ya ellipse kwa kutumia equation yake ya kisheria.

1. Equation (11.7) ina x na y tu katika nguvu hata, kwa hivyo ikiwa hatua ni ya mviringo, basi inaelekeza ,, pia ni yake. Ifuatayo kwamba ellipse ni ya ulinganifu kwa heshima na shoka na, na vile vile kwa heshima na uhakika, ambayo inaitwa katikati ya ellipse.

2. Tafuta vidokezo vya makutano ya ellipse na shoka za kuratibu. Kuweka, tunapata alama mbili na, ambayo mhimili huingiliana na mviringo (angalia Mtini. 50). Kuweka katika equation (11.7), tunapata vidokezo vya makutano ya ellipse na mhimili: na. pointi A 1 , A2 , B1, B2 kuitwa wima ya ellipse. Sehemu A 1 A2 na B1 B2, pamoja na urefu wao 2 a na 2 b huitwa mtawaliwa shoka kubwa na ndogo Ellipse. Nambari a na b huitwa kubwa na ndogo, mtawaliwa. Axle Shafts Ellipse.

3. Inafuata kutoka kwa equation (11.7) kwamba kila neno upande wa kushoto halizidi moja, i.e. Kuna usawa na au au. Kwa hivyo, alama zote za ellipse ziko ndani ya mstatili ulioundwa na mistari iliyonyooka.

4. Katika equation (11.7), jumla ya maneno yasiyokuwa hasi na ni sawa na moja. Kwa hivyo, kadiri neno moja linavyoongezeka, lingine litapungua, ambayo ni, ikiwa inaongezeka, basi inapungua na kinyume chake.

Kutoka kwa yale ambayo yamesemwa, inafuata kwamba ellipse ina sura iliyoonyeshwa kwenye FIG. 50 (Curve iliyofungwa ya mviringo).

Zaidi juu ya ellipse

Sura ya ellipse inategemea uwiano. Wakati ellipse inageuka kuwa mduara, ellipse equation (11.7) inachukua fomu. Kama tabia ya sura ya ellipse, uwiano hutumiwa mara nyingi. Uwiano wa nusu ya umbali kati ya lengo hadi mhimili mkubwa wa ellipse inaitwa eccentricity ya ellipse na O6o inaonyeshwa na barua ε ("Epsilon"):

na 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Hii inaonyesha kuwa ndogo ya usawa wa ellipse, jukumu lisilokuwa na nguvu litakuwa; Ikiwa tutaweka ε = 0, basi ellipse inageuka kuwa mduara.

Acha M (x; y) iwe hatua ya kiholela ya ellipse na foci F 1 na F 2 (tazama Mtini. 51). Urefu wa sehemu f 1 m = r 1 na f 2 m = r 2 huitwa radii ya msingi ya uhakika M. Ni wazi,

Kuna fomula

Mistari moja kwa moja inaitwa

Theorem 11.1. Ikiwa ni umbali kutoka kwa hatua ya kiholela ya ellipse kwa kuzingatia fulani, D ni umbali kutoka kwa hatua moja hadi moja kwa moja inayolingana na umakini huu, basi uwiano ni thamani ya kila wakati sawa na eccentricity ya ellipse:

Inafuata kutoka kwa usawa (11.6) hiyo. Ikiwa, basi equation (11.7) inafafanua ellipse, mhimili mkubwa ambao uko kwenye mhimili wa OY, na mhimili mdogo uko kwenye mhimili wa OX (ona Mtini. 52). Lengo la ellipse kama hiyo iko kwenye alama na, wapi .

11.4. Hyperbola

Canonical equation ya hyperbola

Hyperbole Seti ya alama zote za ndege inaitwa, modulus ya tofauti katika umbali kutoka kwa kila moja kwa alama mbili zilizopewa za ndege hii, inayoitwa hila , ni thamani ya kila wakati, ndogo kuliko umbali kati ya lengo.

Kuashiria lengo na F1 na F2 umbali kati yao kupitia 2s, na modulus ya tofauti katika umbali kutoka kila hatua ya hyperbola hadi foci kupitia 2a. Kwa ufafanuzi 2a < 2s, i.e. a < c.

Ili kupata equation ya hyperbola, tunachagua mfumo wa kuratibu ili lengo F1 na F2 uongo kwenye mhimili, na asili iliambatana na katikati ya sehemu F 1 F 2(Tazama Mtini. 53). Basi lengo litakuwa na kuratibu na

Acha iwe hatua ya kiholela ya hyperbola. Basi kulingana na ufafanuzi wa hyperbola au, i.e. baada ya kurahisi Canonical equation ya hyperbola

(11.9)

(11.10)

Hyperbola ni mstari wa agizo la pili.

Uchunguzi wa fomu ya hyperbola kulingana na equation yake

Wacha tuanzishe sura ya hyperbola kwa kutumia equation yake ya caconic.

1. Equation (11.9) ina x na y tu katika nguvu hata. Kwa hivyo, hyperbola ni ya ulinganifu kwa heshima na shoka na, na vile vile kwa heshima na uhakika, ambayo inaitwa katikati ya hyperbola.

2. Tafuta sehemu za makutano za hyperbola na shoka za kuratibu. Kuweka katika equation (11.9), tunapata alama mbili za makutano ya hyperbola na mhimili: na. Kuweka (11.9), tunapata, ambayo haiwezi kuwa. Kwa hivyo, hyperbola haiingii mhimili wa Y-y.

Pointi na zinaitwa kilele Hyperbolas, na sehemu

mhimili halisi , sehemu ya mstari - Semiaxis halisi hyperbole.

Sehemu ya mstari inayounganisha alama inaitwa mhimili wa kufikiria , nambari B - mhimili wa kufikiria . Mstatili na pande 2a na 2b kuitwa mstatili kuu wa hyperbola .

3. Inafuata kutoka kwa equation (11.9) kwamba minuend sio chini ya moja, i.e., hiyo au. Hii inamaanisha kuwa vidokezo vya hyperbola ziko upande wa kulia wa mstari (tawi la kulia la hyperbola) na upande wa kushoto wa mstari (tawi la kushoto la Hyperbola).

4. Kutoka kwa equation (11.9) ya hyperbola, inaweza kuonekana kuwa wakati inapoongezeka, basi pia huongezeka. Hii inafuata kutoka kwa ukweli kwamba tofauti huweka thamani ya kila wakati sawa na moja.

Inafuata kutoka kwa yale ambayo yamesemwa kuwa hyperbola ina sura iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 54 (Curve inayojumuisha matawi mawili ambayo hayajazuiliwa).

Asymptotes ya hyperbola

Mstari L unaitwa asymptote ya curve isiyozuiliwa K ikiwa umbali d kutoka kwa uhakika m wa curve k hadi mstari huu huelekea sifuri wakati hatua ya M inaenda kando ya curve k kwa muda usiojulikana kutoka asili. Kielelezo 55 kinaonyesha wazo la asymptote: mstari L ni asymptote ya Curve K.

Wacha tuonyeshe kwamba hyperbola ina asymptotes mbili:

(11.11)

Kwa kuwa mistari (11.11) na hyperbola (11.9) ni ya ulinganifu kwa heshima na shoka za kuratibu, inatosha kuzingatia tu alama hizo za mistari iliyoonyeshwa ambayo iko kwenye quadrant ya kwanza.

Chukua mstari wa moja kwa moja n Pointi n kuwa na abscissa x sawa kama hatua kwenye hyperbola (Tazama Mtini. 56), na upate tofauti μn kati ya maagizo ya mstari wa moja kwa moja na tawi la hyperbola:

Kama unavyoona, kadiri x inavyoongezeka, dhehebu la sehemu huongezeka; Nambari ni thamani ya kila wakati. Kwa hivyo, urefu wa sehemu Μn huelekea sifuri. Kwa kuwa μn ni kubwa kuliko umbali D kutoka kwa uhakika μ hadi mstari, basi D hata zaidi huelekea sifuri. Kwa hivyo, mistari ni asymptotes ya hyperbola (11.9).

Wakati wa kujenga hyperbola (11.9), inashauriwa kwanza kuunda mstatili kuu wa hyperbola (tazama. .

Equation ya hyperbola ya usawa.

ambaye asymptotes ni shoka za kuratibu

Hyperbola (11.9) inaitwa usawa ikiwa semiaxes yake ni sawa (). Equation yake ya kisheria

(11.12)

Asymptotes ya hyperbola ya usawa ina equations na kwa hivyo ni bisectors ya pembe za kuratibu.

Fikiria equation ya hyperbola hii katika mfumo mpya wa kuratibu (ona Mtini. 58), iliyopatikana kutoka kwa ile ya zamani kwa kuzungusha shoka za kuratibu kwa pembe. Tunatumia fomula kwa mzunguko wa shoka za kuratibu:

Tunabadilisha maadili ya x na y katika equation (11.12):

Equation ya hyperbola ya usawa, ambayo shoka ng'ombe na oy ni asymptotes, itakuwa na fomu.

Zaidi juu ya hyperbole

eccentricity Hyperbola (11.9) ni uwiano wa umbali kati ya lengo kwa thamani ya mhimili halisi wa hyperbola, iliyoonyeshwa na ε:

Kwa kuwa kwa hyperbola, eccentricity ya hyperbola ni kubwa kuliko moja:. Eccentricity inaonyesha sura ya hyperbola. Hakika, inafuata kutoka kwa usawa (11.10) kwamba i.e. na .

Kutoka kwa hii inaweza kuonekana kuwa ndogo eccentricity ya hyperbola, ndogo uwiano - wa semiaxes yake, ambayo inamaanisha kuwa mstatili wake kuu unapanuliwa.

Eccentricity ya hyperbola ya usawa ni. Kweli,

Radii ya kuzingatia na kwa alama za tawi la kulia la hyperbola zina fomu na, na kwa kushoto - na .

Mistari moja kwa moja huitwa moja kwa moja ya hyperbola. Kwa kuwa kwa hyperbola ε> 1, basi. Hii inamaanisha kuwa Directrix ya kulia iko kati ya kituo na vertex ya kulia ya Hyperbola, Directrix ya kushoto ni kati ya kituo na vertex ya kushoto.

Directrixes ya hyperbola ina mali sawa na moja kwa moja ya ellipse.

Curve iliyofafanuliwa na equation pia ni hyperbola, mhimili halisi 2B ambayo iko kwenye mhimili wa oy, na mhimili wa kufikiria 2 a- Kwenye mhimili wa ox. Katika Kielelezo 59, inaonyeshwa kama mstari wa alama.

Kwa wazi, hyperbolas na zina asymptotes za kawaida. Hyperbolas kama hizo huitwa conjugate.

11.5. Parabola

Canonical Parabola equation

Parabola ni seti ya alama zote kwenye ndege, ambayo kila moja iko mbali na hatua fulani, inayoitwa lengo, na mstari uliopewa, unaoitwa Directrix. Umbali kutoka kwa kuzingatia F hadi Directrix inaitwa param ya parabola na inaonyeshwa na P (p> 0).

Ili kupata equation ya parabola, tunachagua mfumo wa kuratibu wa oxy ili mhimili wa oxy unapita kwa kuzingatia F inayoelekeza kwa Directrix katika mwelekeo kutoka kwa Directrix hadi F, na asili O iko katikati kati ya umakini na Directrix (Tazama Mtini. 60). Katika mfumo uliochaguliwa, umakini F una kuratibu, na equation ya Directrix ina fomu, AU.

1. Katika equation (11.13), y inayobadilika imejumuishwa katika kiwango hata, ambayo inamaanisha kuwa parabola ni ulinganifu juu ya mhimili wa ox; X-axis ni mhimili wa ulinganifu wa parabola.

2. Tangu ρ> 0, inafuata kutoka (11.13) hiyo. Kwa hivyo, parabola iko upande wa kulia wa y-axis.

3. Wakati tunayo y \ u003d 0. Kwa hivyo, parabola hupitia asili.

4. Na ongezeko lisilo na kikomo la X, moduli Y pia huongezeka kwa muda usiojulikana. Parabola ina fomu (sura) iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 61. Uhakika o (0; 0) unaitwa vertex ya parabola, sehemu ya FM \ u003d r inaitwa radius ya msingi ya uhakika M.

Viwango ,, ( p> 0) pia fafanua parabolas, zinaonyeshwa kwenye Mchoro 62

Ni rahisi kuonyesha kuwa picha ya mraba trinomial, ambapo, B na C ni nambari yoyote halisi, ni parabola kwa maana ya ufafanuzi wake hapo juu.

11.6. Usawa wa jumla wa mistari ya mpangilio wa pili

Viwango vya curves za mpangilio wa pili na shoka za ulinganifu sambamba na shoka za kuratibu

Wacha kwanza tupate equation ya ellipse iliyozingatia wakati ambao shoka za ulinganifu ni sawa na axes ox na oy na semiaxes ni sawa na a na b. Wacha tuweke katikati ya ellipse o 1 asili ya mfumo mpya wa kuratibu, ambao shoka na axes nusu a na b(Tazama Mtini. 64):

Na mwishowe, parabolas zilizoonyeshwa kwenye Mchoro 65 zina hesabu zinazolingana.

Mlingano

Viwango vya ellipse, hyperbola, parabola na equation ya mduara baada ya mabadiliko (mabano wazi, kusonga masharti yote ya equation katika mwelekeo mmoja, kuleta kama masharti, kuanzisha nukuu mpya kwa coefficients) inaweza kuandikwa kwa kutumia equation moja ya fomu

ambapo coefficients A na C sio sawa na sifuri kwa wakati mmoja.

Swali linatokea: Je! Equation yoyote ya fomu (11.14) huamua moja ya curve (mduara, ellipse, hyperbola, parabola) ya agizo la pili? Jibu limetolewa na nadharia ifuatayo.

Theorem 11.2. Equation (11.14) hufafanua kila wakati: ama mduara (kwa = c), au ellipse (kwa c> 0), au hyperbola (kwa c c< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Equation ya jumla ya agizo la pili

Fikiria sasa hesabu ya jumla ya shahada ya pili na haijulikani mbili:

Inatofautiana na equation (11.14) na uwepo wa neno na bidhaa ya kuratibu (B¹ 0). Inawezekana, kwa kuzungusha shoka za kuratibu na angle A, kubadilisha equation hii ili neno na bidhaa ya kuratibu hazipo ndani yake.

Kutumia formula za kugeuza shoka

Wacha tueleze kuratibu za zamani kwa suala la mpya:

Tunachagua pembe A ili mgawo wa x "y" upotee, i.e., ili usawa

Kwa hivyo, wakati shoka zinazungushwa kupitia angle A ambayo inakidhi hali (11.17), equation (11.15) hupunguza kwa equation (11.14).

Hitimisho: equation ya jumla ya agizo la pili (11.15) inafafanua kwenye ndege (isipokuwa kesi za kuzorota na kuoza) curve zifuatazo: Circle, Ellipse, Hyperbola, Parabola.

Kumbuka: Ikiwa A = C, basi equation (11.17) inapoteza maana yake. Katika kesi hii COS2α = 0 (tazama (11.16)), kisha 2α = 90 °, i.e. α = 45 °. Kwa hivyo, kwa A = C, mfumo wa kuratibu unapaswa kuzungushwa na 45 °.

Ufafanuzi 7.1. Seti ya alama zote kwenye ndege ambayo jumla ya umbali wa alama mbili za F 1 na F 2 inapewa mara kwa mara inaitwa Ellipse.

Ufafanuzi wa ellipse hutoa njia ifuatayo ya kuijenga kijiometri. Tunarekebisha alama mbili F 1 na F 2 kwenye ndege, na tunaashiria thamani isiyo ya hasi ya mara kwa mara na 2a. Acha umbali kati ya alama F 1 na F 2 iwe sawa na 2C. Fikiria kuwa nyuzi isiyoelezeka ya urefu 2a imewekwa katika alama F 1 na F 2, kwa mfano, kwa msaada wa sindano mbili. Ni wazi kuwa hii inawezekana tu kwa ≥ C. Kuweka nyuzi na penseli, chora mstari, ambao utakuwa mviringo (Mtini. 7.1).

Kwa hivyo, seti iliyoelezewa sio tupu ikiwa ≥ C. Wakati A = C, ellipse ni sehemu na mwisho F 1 na F 2, na wakati C = 0, i.e. Ikiwa vidokezo vilivyoainishwa katika ufafanuzi wa sanjari ya ellipse, ni mduara wa radius a. Kutupa kesi hizi mbaya, tutadhani zaidi, kama sheria, kwamba> c> 0.

Pointi zilizowekwa F 1 na F 2 kwa ufafanuzi 7.1 wa ellipse (tazama Mtini. 7.1) zinaitwa Ujanja wa Ellipse, umbali kati yao, ulioonyeshwa na 2c, - urefu wa kuzingatia, na sehemu f 1 m na f 2 m, kuunganisha hatua ya kiholela m kwenye ellipse na mwelekeo wake, - radii ya kuzingatia.

Njia ya ellipse imedhamiriwa kabisa na urefu wa kuzingatia | f 1 f 2 | = 2с na parameta A, na msimamo wake kwenye ndege - na jozi ya alama F 1 na F 2.

Inafuata kutoka kwa ufafanuzi wa ellipse kwamba ni sawa juu ya mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye foci F 1 na F 2, na pia juu ya mstari wa moja kwa moja ambao unagawanya sehemu F 1 F 2 kwa nusu na ni ya kawaida (mtini 7.2, a). Mistari hii inaitwa shoka za ellipse. Uhakika o wa makutano yao ni kitovu cha ulinganifu wa ellipse, na inaitwa katikati ya ellipse, na vidokezo vya makutano ya mviringo na shoka za ulinganifu (alama A, B, C na D katika Mtini. 7.2, A) - wima ya ellipse.

Nambari A inaitwa Mhimili mkubwa wa mhimili wa ellipse, na b = √ (a 2 - c 2) - yake Mhimili wa nusu-mizani. Ni rahisi kuona kwamba kwa c> 0, semiaxis kuu ni sawa na umbali kutoka katikati ya ellipse hadi ile ya wima yake ambayo iko kwenye mhimili sawa na lengo la ellipse (vertices A na B katika mtini 7.2, a), na semiaxis B ndogo ni sawa na umbali kutoka katikati mwa barabara hadi wima zake zingine mbili (vertices C na D katika Mtini. 7.2, A).

Ellipse equation. Fikiria ellipse fulani kwenye ndege na foci kwenye alama F 1 na F 2, Axis 2A kuu. Acha 2c iwe urefu wa kuzingatia, 2c = | f 1 f 2 |

Tunachagua mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege ili asili yake iendane na kituo cha ellipse, na lengo liko Abscissa(Mtini. 7.2, b). Mfumo huu wa kuratibu unaitwa kisheria kwa ellipse inayozingatiwa, na anuwai zinazolingana ni kisheria.

Katika mfumo wa kuratibu uliochaguliwa, lengo zina kuratibu F 1 (C; 0), F 2 (-C; 0). Kutumia formula kwa umbali kati ya alama, tunaandika hali | f 1 m | + | F 2 m | = 2a katika kuratibu:

√ ((x - c) 2 + y 2) + √ ((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Equation hii ni ngumu kwa sababu ina radicals mbili za mraba. Basi wacha tuibadilishe. Tunahamisha radical ya pili katika equation (7.2) kwa upande wa kulia na mraba yake:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√ ((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

Baada ya kufungua mabano na kupunguza kama masharti, tunapata

√ ((x + c) 2 + y 2) = a + εx

ambapo ε = c/a. Tunarudia operesheni ya squaring kuondoa radical ya pili vile vile: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2chax + ε 2 x 2, au, kwa kupewa thamani ya paramu iliyoingizwa, (2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Kwa kuwa 2 - c 2 = b 2> 0, basi

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a> b> 0. (7.4)

Equation (7.4) imeridhika na kuratibu za alama zote ziko kwenye mviringo. Lakini wakati wa kupata equation hii, mabadiliko yasiyokuwa ya usawa ya equation ya asili (7.2) yalitumiwa - mraba mbili ambazo huondoa radicals za mraba. Kuweka mraba ni mabadiliko sawa ikiwa pande zote zina idadi kubwa na ishara hiyo hiyo, lakini hatukuangalia hii katika mabadiliko yetu.

Labda hatuwezi kuangalia usawa wa mabadiliko ikiwa tutazingatia yafuatayo. Jozi ya alama F 1 na F 2, | F 1 F 2 | = 2c, kwenye ndege hufafanua familia ya ellipses na foci katika mambo haya. Kila nukta ya ndege, isipokuwa kwa sehemu za sehemu F 1 F 2, ni mali ya familia fulani. Katika kesi hii, hakuna ellipses mbili zinazoingiliana, kwa kuwa jumla ya radii ya msingi huamua ellipse maalum. Kwa hivyo, familia iliyoelezewa ya ellipses bila kuingiliana inashughulikia ndege nzima, isipokuwa kwa sehemu za sehemu F 1 F 2. Fikiria seti ya alama ambazo kuratibu kuridhisha kuridhisha (7.4) na thamani fulani ya paramu a. Je! Seti hii inaweza kusambazwa kati ya ellipses kadhaa? Baadhi ya vidokezo vya seti ni ya mviringo na mhimili mkubwa wa a. Acha kuwe na uhakika katika seti hii iko kwenye mviringo na mhimili mkubwa wa a. Halafu kuratibu za hatua hii kutii equation

hizo. Viwango (7.4) na (7.5) vina suluhisho la kawaida. Walakini, ni rahisi kuhakikisha kuwa mfumo

Kwa à ≠ haina suluhisho. Ili kufanya hivyo, inatosha kuwatenga, kwa mfano, x kutoka kwa equation ya kwanza:

ambayo baada ya mabadiliko husababisha equation

kutokuwa na suluhisho kwa à ≠ A, kwa sababu. Kwa hivyo, (7.4) ni equation ya ellipse na nusu-mejor axis A> 0 na nusu-axis b = √ (a 2-c 2)> 0. Inaitwa equation ya canonical ya ellipse.

Mtazamo wa Ellipse. Njia ya jiometri ya kujenga ellipse iliyojadiliwa hapo juu inatoa wazo la kutosha la kuonekana kwa ellipse. Lakini fomu ya ellipse pia inaweza kuchunguzwa kwa msaada wa equation yake ya kisheria (7.4). Kwa mfano, ukizingatia y ≥ 0, unaweza kuelezea y kwa suala la x: y = b√ (1 - x 2 /a 2), na, baada ya kukagua kazi hii, jenga grafu yake. Kuna njia nyingine ya kujenga ellipse. Mzunguko wa radius iliyozingatia asili ya mfumo wa kuratibu wa kanuni ya ellipse (7.4) imeelezewa na equation x 2 + y 2 = a 2. Ikiwa imeshinikizwa na mgawo wa A/B> 1 pamoja y-axis, basi unapata Curve ambayo imeelezewa na equation x 2 + (ya / b) 2 \ u003d a 2, i.e. ellipse.

Kumbuka 7.1. Ikiwa mduara huo huo umekandamizwa na mgawo wa A/B

Ellipse eccentricity. Uwiano wa urefu wa msingi wa ellipse kwa mhimili wake mkubwa unaitwa ellipse eccentricity na kuashiria na ε. Kwa ellipse iliyopewa

equation ya canonical (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Ikiwa katika (7.4) vigezo A na B vinahusiana na ukosefu wa usawa a

Kwa c = 0, wakati ellipse inageuka kuwa mduara, na ε = 0. Katika hali zingine, 0

Equation (7.3) ni sawa na equation (7.4) kwa sababu equations (7.4) na (7.2) ni sawa. Kwa hivyo, (7.3) pia ni equation ellipse. Kwa kuongezea, uhusiano (7.3) ni ya kuvutia kwa kuwa inatoa formula rahisi isiyo na radi kwa urefu | f 2 m | Moja ya radii ya msingi ya uhakika m (x; y) ya ellipse: | f 2 m | = A + εx.

Njia kama hiyo ya radius ya pili ya msingi inaweza kupatikana kutoka kwa maanani ya ulinganifu au kwa kurudia mahesabu ambayo, kabla ya equation ya squaring (7.2), radical ya kwanza huhamishiwa upande wa kulia, na sio ya pili. Kwa hivyo, kwa uhakika wowote m (x; y) kwenye ellipse (angalia Mtini. 7.2)

| F 1 M | = a - εx, | f 2 m | = A + εx, (7.6)

Na kila moja ya hesabu hizi ni equation ellipse.

Mfano 7.1. Wacha tupate hesabu ya canonical ya ellipse na nusu-kubwa Axis 5 na eccentricity 0.8 na tuijenga.

Kujua semiaxis kuu ya ellipse A = 5 na eccentricity ε = 0.8, tunapata semiaxis yake ndogo b. Kwa kuwa b \ u003d √ (a 2 - c 2), na c \ u003d εa \ u003d 4, basi b \ u003d √ (5 2 - 4 2) \ u003d 3. kwa hivyo equation ya canonical ina fomu x 2/5 2 + y 2/3 2 \ u003d 1. Ili kujenga ellipse, ni rahisi kuteka mstatili uliowekwa katikati ya mfumo wa kuratibu wa kisheria, pande zake ambazo zinafanana na shoka za ulinganifu wa ellipse na sawa na yake Axes zinazolingana (Mtini. 7.4). Mstatili huu unaingiliana na

Shoka za ellipse katika wima yake A (-5; 0), B (5; 0), C (0; -3), D (0; 3), na ellipse yenyewe imeandikwa ndani yake. Kwenye mtini. 7.4 pia inaonyesha FOCi F 1.2 (± 4; 0) ya ellipse.

Mali ya jiometri ya ellipse. Wacha tuandike tena equation ya kwanza katika (7.6) kama | f 1 m | = (а/ε - x) ε. Kumbuka kuwa thamani ya A / ε - X kwa A> C ni nzuri, kwani umakini F 1 sio wa Ellipse. Thamani hii ni umbali wa mstari wa wima d: x = a/ε kutoka kwa uhakika m (x; y) upande wa kushoto wa mstari huu. Equation ellipse inaweza kuandikwa kama

| F 1 m |/(а/ε - x) = ε

Inamaanisha kwamba ellipse hii inajumuisha alama hizo M (x; y) ya ndege ambayo uwiano wa urefu wa radius f 1 m kwa umbali wa mstari wa moja kwa moja ni thamani ya kila wakati sawa na ε (mtini. 7.5).

Mstari D una "mara mbili" - mstari wa wima D ", ulinganifu kwa D kwa heshima na kituo cha ellipse, ambacho hupewa na equation x \ u003d -a / ε. Kwa heshima na d", ellipse ni Imefafanuliwa kwa njia ile ile kama kwa heshima na d. Mistari yote miwili D na D "inaitwa Ellipse Directrixes. Directrixes ya ellipse ni sawa na mhimili wa ulinganifu wa ellipse ambayo msingi wake uko, na umetengwa kutoka katikati ya ellipse kwa umbali A / ε = A 2 / C (tazama. 7.5).

Umbali P kutoka kwa Directrix hadi kulenga karibu na hiyo inaitwa paramu ya msingi ya ellipse. Param hii ni sawa na

p \ u003d a / ε - c \ u003d (a 2 - c 2) / c \ u003d b 2 / c

Ellipse ina mali nyingine muhimu ya jiometri: radii ya msingi f 1 m na f 2 m hufanya pembe sawa na tangent kwa ellipse kwa uhakika m (Mtini. 7.6).

Mali hii ina maana wazi ya mwili. Ikiwa chanzo nyepesi kimewekwa kwenye Focus F 1, basi boriti inayoibuka kutoka kwa mtazamo huu, baada ya kutafakari kutoka kwa ellipse, itaenda kwenye radius ya pili ya msingi, kwani baada ya kutafakari itakuwa kwa pembe moja hadi Curve kama kabla ya kutafakari . Kwa hivyo, mionzi yote ikiacha kuzingatia F 1 itajilimbikizia katika mtazamo wa pili F 2 na kinyume chake. Kulingana na tafsiri hii, mali hii inaitwa Mali ya macho ya ellipse.

Mistari ya agizo la pili.
Ellipse na equation yake ya kisheria. Mzunguko

Baada ya utafiti kamili Mistari moja kwa moja kwenye ndege Tunaendelea kusoma jiometri ya ulimwengu wa pande mbili. Vijiti vimeongezeka mara mbili na ninakualika utembelee picha ya sanaa ya ellipses, hyperbolas, parabolas, ambazo ni wawakilishi wa kawaida wa Mistari ya Agizo la Pili. Ziara tayari imeanza, na kwanza, habari fupi juu ya maonyesho yote kwenye sakafu tofauti za jumba la kumbukumbu:

Wazo la mstari wa algebraic na utaratibu wake

Mstari kwenye ndege unaitwa Algebraic, ikiwa ndani Mfumo wa kuratibu wa ushirika Equation yake ina fomu, ambapo ni polynomial inayojumuisha masharti ya fomu (ni idadi halisi, ni nambari zisizo na hasi).

Kama unavyoona, equation ya mstari wa algebraic haina dhambi, cosines, logarithms, na beau monde nyingine ya kazi. "X" tu na "Y" ndani Integer isiyo ya hasi digrii.

Agizo la mstari ni sawa na kiwango cha juu cha masharti yaliyojumuishwa ndani yake.

Kulingana na nadharia inayolingana, wazo la mstari wa algebra, pamoja na agizo lake, haitegemei uchaguzi Mfumo wa kuratibu wa ushirika, kwa hivyo, kwa urahisi wa kuwa, tunazingatia kuwa mahesabu yote ya baadaye hufanyika katika Cartesian kuratibu.

Equation ya jumla Mstari wa mpangilio wa pili una fomu, wapi ni nambari za kiholela (Ni kawaida kuandika na msemaji - "mbili"), na coefficients sio sawa wakati huo huo na sifuri.

Ikiwa, basi equation hurahisisha , na ikiwa coefficients sio sawa wakati huo huo na sifuri, basi hii ni haswa Equation ya jumla ya mstari wa "gorofa" moja kwa moja, ambayo inawakilisha mstari wa agizo la kwanza.

Wengi walielewa maana ya masharti mapya, lakini, hata hivyo, ili 100% ya kuongeza nyenzo, tunashikilia vidole vyetu kwenye tundu. Kuamua mpangilio wa mstari, itegemee juu Masharti yote Viwango vyake na kwa kila mmoja wao hupata Jumla ya nguvu Viwango vinavyoingia.

Kwa mfano:

Muda una "x" kwa kiwango cha 1;
Muda una "Y" kwa kiwango cha 1;
Hakuna vigezo katika neno, kwa hivyo jumla ya nguvu zao ni sifuri.

Sasa wacha tufikirie kwanini equation inaweka mstari pili Agizo:

Muda una "X" katika kiwango cha 2;
Neno lina jumla ya digrii za vigezo: 1 + 1 = 2;
Muda una "Y" katika kiwango cha 2;
Masharti mengine yote - mdogo digrii.

Thamani ya kiwango cha juu: 2

Ikiwa tunaongeza kwa equation yetu, sema, basi itaamua tayari mstari wa tatu wa mpangilio. Ni dhahiri kwamba fomu ya jumla ya equation ya mpangilio wa 3 ina "seti kamili" ya maneno, jumla ya digrii za vigezo ambavyo ni sawa na tatu:
, ambapo coefficients sio sawa wakati huo huo na sifuri.

Katika tukio ambalo masharti moja au zaidi yanaongezwa ambayo yana , basi tutazungumza Mistari ya Agizo la 4, na kadhalika.

Tutalazimika kushughulika na mistari ya algebra ya 3, 4 na maagizo ya juu zaidi ya mara moja, haswa, wakati wa kufahamiana na Mfumo wa Kuratibu Polar.

Walakini, wacha turudi kwenye equation ya jumla na tukumbuke tofauti zake rahisi za shule. Mifano ni parabola, ambayo equation inaweza kupunguzwa kwa urahisi kwa fomu ya jumla, na hyperbola na equation sawa. Walakini, sio kila kitu ni laini sana ....

Drawback muhimu ya equation ya jumla ni kwamba karibu kila wakati haijulikani wazi ni mstari gani unafafanua. Hata katika kesi rahisi zaidi, hautagundua mara moja kuwa hii ni mseto. Mpangilio kama huo ni mzuri tu kwenye masquerade, kwa hivyo, katika mwendo wa jiometri ya uchambuzi, shida ya kawaida inazingatiwa kupunguzwa kwa equation ya mstari wa 2 kwa fomu ya kisheria.

Je! Ni aina gani ya kanuni ya equation?

Hii ndio aina ya kawaida inayokubaliwa ya equation, wakati katika suala la sekunde inakuwa wazi ni kitu gani cha jiometri kinachofafanua. Kwa kuongezea, fomu ya kisheria ni rahisi sana kwa kutatua shida nyingi za vitendo. Kwa hivyo, kwa mfano, kulingana na equation ya kisheria "Flat" sawa, Kwanza, ni wazi mara moja kuwa hii ni mstari wa moja kwa moja, na pili, hatua ya hiyo na vector ya mwelekeo huonekana tu.

Ni wazi, yoyote Mstari wa agizo la 1 inawakilisha mstari wa moja kwa moja. Kwenye ghorofa ya pili, hakuna janitor tena anayetusubiri, lakini kampuni tofauti zaidi ya sanamu tisa:

Uainishaji wa mistari ya mpangilio wa pili

Kwa msaada wa seti maalum ya vitendo, hesabu yoyote ya mstari wa pili hupunguzwa kwa moja ya aina zifuatazo:

(na ni nambari nzuri za kweli)

1) ni equation ya canonical ya ellipse;

2) ni hesabu ya canonical ya hyperbola;

3) ni equation ya canonical ya parabola;

4) – Kufikiria Ellipse;

5) - jozi ya mistari ya kuingiliana;

6) - Wanandoa Kufikiria mistari ya kuingiliana (na hatua halisi ya makutano mwanzoni);

7) - jozi ya mistari inayofanana;

8) - Wanandoa Kufikiria mistari inayofanana;

9) ni jozi ya mistari inayolingana.

Wasomaji wengine wanaweza kupata maoni kuwa orodha hiyo haijakamilika. Kwa mfano, katika aya ya 7, equation inaweka jozi moja kwa moja, sambamba na mhimili, na swali linatokea: iko wapi equation ambayo huamua mistari sambamba na y-axis? Jibu: Ni Haizingatiwi Canon. Mistari ya moja kwa moja inawakilisha kesi ile ile iliyozungushwa na digrii 90, na kiingilio cha ziada katika uainishaji ni muhimu tena, kwani haina kubeba kitu chochote kipya.

Kwa hivyo, kuna aina tisa na tisa tu tofauti za mistari ya 2 ya agizo, lakini katika mazoezi ya kawaida ni Ellipse, Hyperbola na Parabola.

Wacha tuangalie kwanza. Kama kawaida, mimi huzingatia vidokezo ambavyo ni vya muhimu sana kwa kutatua shida, na ikiwa unahitaji derivation ya kina ya kanuni, uthibitisho wa nadharia, tafadhali rejelea, kwa mfano, kwa maandishi ya Bazylev / Atanasyan au Aleksandrov.

Ellipse na equation yake ya kisheria

Spelling ... Tafadhali usirudie makosa ya watumiaji wengine wa Yandex ambao wanavutiwa na "jinsi ya kujenga ellipse", "tofauti kati ya mviringo na mviringo" na "elebs eccentricity".

Equation ya canonical ya ellipse ina fomu, ambapo ni idadi chanya halisi, na. Nitaunda ufafanuzi wa ellipse baadaye, lakini kwa sasa ni wakati wa kupumzika kutoka kwa kuzungumza na kutatua shida ya kawaida:

Jinsi ya kujenga ellipse?

Ndio, chukua na uteka tu. Mgawo huo ni wa kawaida, na sehemu muhimu ya wanafunzi hawavumilii kabisa kuchora:

Mfano 1

Jenga mviringo uliyopewa na equation

Suluhisho Kwanza tunaleta equation kwa fomu ya kisheria:

Kwa nini ulete? Moja ya faida za equation ya kisheria ni kwamba hukuruhusu kuamua mara moja wima za Ellipse, ambazo ziko kwenye alama. Ni rahisi kuona kwamba kuratibu za kila moja ya hoja hizi zinakidhi equation.

Kwa kesi hii :


Sehemu ya mstari kuitwa Mhimili mkubwa Ellipse;
sehemu ya mstari – Mhimili mdogo;
nambari kuitwa Semi-Mejor Axis Ellipse;
nambari – Mhimili wa nusu-mizani.
Katika mfano wetu :.

Ili kufikiria haraka hii au kwamba ellipse inaonekana, angalia tu maadili \ u200b \ u200bof "a" na "kuwa" ya hesabu yake ya kisheria.

Kila kitu ni sawa, safi na nzuri, lakini kuna pango moja: Nilikamilisha kuchora kwa kutumia programu hiyo. Na unaweza kuteka na programu yoyote. Walakini, katika ukweli mbaya, kipande cha karatasi kilicho checkered kiko kwenye meza, na densi ya panya karibu na mikono yetu. Watu wenye talanta ya kisanii, kwa kweli, wanaweza kubishana, lakini pia una panya (pamoja na ndogo). Sio bure kuwa wanadamu waligundua mtawala, dira, protractor na vifaa vingine rahisi vya kuchora.

Kwa sababu hii, hatuwezi kuweza kuteka kwa usahihi mviringo, tukijua wima tu. Bado ni sawa, ikiwa ellipse ni ndogo, kwa mfano, na semiaxes. Vinginevyo, unaweza kupunguza kiwango na, ipasavyo, vipimo vya mchoro. Lakini katika kesi ya jumla inahitajika sana kupata vidokezo vya ziada.

Kuna njia mbili za kujenga ellipse - jiometri na algebraic. Sipendi kujenga na dira na mtawala kwa sababu ya algorithm fupi na clutter muhimu ya mchoro. Katika kesi ya dharura, tafadhali rejelea kitabu cha maandishi, lakini kwa kweli ni busara zaidi kutumia zana za algebra. Kutoka kwa hesabu ya ellipse kwenye rasimu, tunaelezea haraka:

Equation basi imegawanywa katika kazi mbili:
- Inafafanua arc ya juu ya ellipse;
- Inafafanua arc ya chini ya ellipse.

Ellipse iliyotolewa na equation ya kisheria ni ya ulinganifu kwa heshima na shoka za kuratibu, na pia kwa heshima na asili. Na hiyo ni nzuri - ulinganifu ni karibu kila wakati ni harbinger ya freebie. Ni wazi, inatosha kushughulika na robo ya kuratibu ya 1, kwa hivyo tunahitaji kazi . Inapendekeza kupata vidokezo vya ziada na abscissas . Tunapiga sms tatu kwenye Calculator:

Kwa kweli, ni ya kupendeza pia kwamba ikiwa kosa kubwa limefanywa katika mahesabu, basi hii itaonekana wazi wakati wa ujenzi.

Alama za alama kwenye kuchora (rangi nyekundu), vidokezo vya ulinganifu kwenye arcs zingine (rangi ya bluu) na unganisha kwa uangalifu kampuni nzima na mstari:


Ni bora kuchora mchoro wa awali nyembamba na nyembamba, na kisha tu tumia shinikizo kwa penseli. Matokeo yake yanapaswa kuwa mviringo mzuri. Kwa njia, ungependa kujua Curve hii ni nini?

Ufafanuzi wa ellipse. Ellipse foci na ellipse eccentricity

Ellipse ni kesi maalum ya mviringo. Neno "mviringo" halipaswi kueleweka kwa maana ya wafilisti ("mtoto alichora mviringo", nk). Hii ni neno la kihesabu na muundo wa kina. Kusudi la somo hili sio kuzingatia nadharia ya ovals na aina zao tofauti, ambazo hazipewi umakini katika kozi ya kawaida ya jiometri ya uchambuzi. Na, kulingana na mahitaji zaidi ya sasa, mara moja tunaenda kwa ufafanuzi madhubuti wa ellipse:

Ellipse- Hii ndio seti ya alama zote za ndege, jumla ya umbali kwa kila mmoja kutoka kwa alama mbili zilizopewa, zinazoitwa hila Ellipse, ni thamani ya kila wakati, sawa na urefu wa urefu wa mhimili mkubwa wa ellipse hii:.
Katika kesi hii, umbali kati ya lengo ni chini ya thamani hii:.

Sasa itakuwa wazi:

Fikiria kwamba "dot" ya bluu "kwenye ellipse. Kwa hivyo, haijalishi ni hatua gani ya ellipse tunayochukua, jumla ya urefu wa sehemu daima itakuwa sawa:

Wacha tuhakikishe kuwa katika mfano wetu thamani ya jumla ni sawa na nane. Akili weka uhakika "em" katika vertex ya kulia ya ellipse, basi:, ambayo ilihitajika kukaguliwa.

Njia nyingine ya kuchora ellipse ni msingi wa ufafanuzi wa ellipse. Hisabati ya juu, wakati mwingine, ndio sababu ya mvutano na mafadhaiko, kwa hivyo ni wakati wa kuwa na kikao kingine cha kupakua. Tafadhali chukua kipande cha karatasi au karatasi kubwa ya kadibodi na kuibandika kwenye meza na kucha mbili. Hizi zitakuwa hila. Funga nyuzi ya kijani kwenye vichwa vya msumari vinavyojitokeza na uivute njia yote na penseli. Shingo ya penseli itakuwa wakati fulani, ambayo ni ya ellipse. Sasa anza kuongoza penseli kwenye karatasi, kuweka nyuzi ya kijani taut. Endelea mchakato hadi urudi kwenye hatua ya kuanza ... bora ... mchoro unaweza kuwasilishwa kwa uthibitisho na daktari kwa mwalimu =)

Jinsi ya kupata mwelekeo wa ellipse?

Katika mfano hapo juu, nilionyesha vidokezo vya "tayari", na sasa tutajifunza jinsi ya kuziondoa kutoka kwa kina cha jiometri.

Ikiwa ellipse imepewa na equation ya canonical, basi mwelekeo wake umeratibu , iko wapi Umbali kutoka kwa kila moja hadi katikati ya ulinganifu wa ellipse.

Mahesabu ni rahisi kuliko turnips zilizochomwa:

! Kwa maana "CE" haiwezekani kutambua kuratibu maalum za hila! Narudia, hii ni Umbali kutoka kwa kila mtazamo hadi kituo(ambayo kwa hali ya jumla sio lazima iwepo kabisa asili).
Na, kwa hivyo, umbali kati ya lengo hauwezi kuunganishwa na msimamo wa canonical wa ellipse pia. Kwa maneno mengine, ellipse inaweza kuhamishwa kwenda mahali pengine na thamani itabaki bila kubadilika, wakati msingi utabadilisha kuratibu zao. Tafadhali kumbuka hii wakati unachunguza mada zaidi.

Eccentricity ya ellipse na maana yake ya jiometri

Uwezo wa ellipse ni uwiano ambao unaweza kuchukua maadili ndani.

Kwa upande wetu:

Wacha tujue jinsi sura ya ellipse inategemea usawa wake. Kwa hii; kwa hili Kurekebisha wima ya kushoto na kulia ya ellipse inayozingatiwa, ambayo ni, thamani ya mhimili wa nusu-kubwa itabaki mara kwa mara. Basi formula ya eccentricity itachukua fomu:.

Wacha tuanze kukadiri thamani ya eccentricity kwa umoja. Hii inawezekana tu ikiwa. Ina maana gani? ... Kukumbuka hila . Hii inamaanisha kuwa lengo la ellipse "litatawanyika" kando ya mhimili wa abscissa kwa wima za upande. Na, kwa kuwa "sehemu za kijani sio mpira", ellipse itaanza kufurahi, ikigeuka kuwa sausage nyembamba na nyembamba kwenye mhimili.

Kwa njia hii, Ukarimu wa karibu wa ellipse ni kwa moja, mviringo zaidi ni.

Sasa wacha tuiga mchakato mwingine: lengo la ellipse Alienda kwa kila mmoja, wakikaribia kituo hicho. Hii inamaanisha kuwa thamani ya "CE" inazidi kuwa ndogo na, ipasavyo, eccentricity inaelekea sifuri:.
Katika kesi hii, "sehemu za kijani", badala yake, "zitajaa" na wataanza "kushinikiza" mstari wa mviringo juu na chini.

Kwa njia hii, Thamani ya karibu ya eccentricity ni sifuri, zaidi ellipse inaonekana kama... Angalia kesi ya kupunguza, wakati lengo limeunganishwa tena kwa asili:

Mzunguko ni kesi maalum ya ellipse

Kwa kweli, katika kesi ya usawa wa semiaxes, hesabu ya canonical ya ellipse inachukua fomu, ambayo inabadilika kwa usawa wa mzunguko unaojulikana kutoka shuleni na kituo hicho kwa asili ya radius "A".

Kwa mazoezi, maoni na barua ya "kuongea" "er" mara nyingi hutumiwa :. Radius inaitwa urefu wa sehemu, wakati kila nukta ya mduara huondolewa kutoka katikati kwa umbali wa radius.

Kumbuka kuwa ufafanuzi wa ellipse unabaki kuwa sawa kabisa: Focuri inayolingana, na jumla ya urefu wa sehemu zinazofanana kwa kila nukta kwenye mduara ni thamani ya kila wakati. Kwa kuwa umbali kati ya lengo ni Uwezo wa mduara wowote ni sifuri.

Mzunguko umejengwa kwa urahisi na haraka, inatosha kujipanga na dira. Walakini, wakati mwingine inahitajika kujua kuratibu za baadhi ya vidokezo vyake, katika kesi hii tunaenda kwa njia ya kawaida - tunaleta equation kwa fomu ya Matan yenye furaha:

ni kazi ya semicircle ya juu;
ni kazi ya semicircle ya chini.

Halafu tunapata maadili unayotaka, kutofautishwa, ujumuishe Na fanya mambo mengine mazuri.

Nakala hiyo, kwa kweli, ni ya kumbukumbu tu, lakini mtu anawezaje kuishi bila upendo ulimwenguni? Kazi ya ubunifu kwa suluhisho la kujitegemea

Mfano 2

Tunga hesabu ya canonical ya ellipse ikiwa moja ya mwelekeo wake na mhimili wa nusu-wachache hujulikana (kituo hicho ni asili). Pata wima, vidokezo vya ziada na chora mstari kwenye mchoro. Kuhesabu eccentricity.

Suluhisho na kuchora mwishoni mwa somo

Wacha tuongeze kitendo:

Zungusha na utafsiri ellipse

Wacha turudi kwenye hesabu ya kisheria ya ellipse, ambayo ni kwa hali hiyo, kitendawili ambacho kimekuwa kikitesa akili za kujua tangu kutajwa kwa kwanza kwa Curve hii. Hapa tumezingatia ellipse , lakini katika mazoezi hayawezi equation ? Baada ya yote, hapa, hata hivyo, inaonekana kuwa kama ellipse pia!

Equation kama hiyo ni nadra, lakini inakuja. Na inafafanua ellipse. Wacha tuondoe fumbo:

Kama matokeo ya ujenzi, ellipse yetu ya asili hupatikana, kuzungushwa na digrii 90. Hiyo ni, - hii ni Kuingia kwa Can-Canonical Ellipse . Rekodi!- equation Haionyeshi ellipse nyingine yoyote, kwa kuwa hakuna alama (lengo) kwenye mhimili ambao ungekidhi ufafanuzi wa ellipse.

Mihadhara juu ya algebra na jiometri. Muhula 1.

Mhadhara 15. Ellipse.

Sura ya 15

Bidhaa 1. Ufafanuzi wa kimsingi.

Ufafanuzi. Ellipse ni GMT ya ndege, jumla ya umbali ambao kwa sehemu mbili za ndege, inayoitwa FocI, ni thamani ya kila wakati.

Ufafanuzi. Umbali kutoka kwa hatua ya kiholela ya ndege hadi mwelekeo wa ellipse inaitwa radius ya msingi ya uhakika M.

Uteuzi:
ni umakini wa ellipse,
ni radii ya msingi ya uhakika M.

Kwa ufafanuzi wa ellipse, uhakika m ni hatua kwenye ellipse ikiwa na tu ikiwa
ni thamani ya kila wakati. Mara kwa mara hii huonyeshwa kama 2a:

. (1)

Angalia, hiyo
.

Kwa ufafanuzi wa ellipse, mwelekeo wake ni alama za kudumu, kwa hivyo umbali kati yao pia ni thamani ya mara kwa mara kwa ellipse aliyopewa.

Ufafanuzi. Umbali kati ya lengo la ellipse inaitwa urefu wa kuzingatia.

Jina:
.

Kutoka kwa pembetatu
inafuata hiyo
, i.e.

.

Inaashiria na b nambari sawa na
, i.e.

. (2)

Ufafanuzi. Mtazamo

(3)

inaitwa eccentricity ya ellipse.

Wacha tuanzishe mfumo wa kuratibu kwenye ndege uliyopewa, ambayo tutaiita Canonical kwa ellipse.

Ufafanuzi. Mhimili ambao umakini wa uwongo wa ellipse unaitwa mhimili wa kuzingatia.

Wacha tujenge PDSC ya canonical kwa ellipse, ona Mtini.2.

Tunachagua mhimili wa kuzingatia kama mhimili wa abscissa, na tupate mhimili wa kuamuru katikati ya sehemu
Perpendicular kwa mhimili wa kuzingatia.

Basi lengo lina kuratibu
,
.

Bidhaa 2. Equation ya canonical ya ellipse.

Nadharia. Katika mfumo wa kuratibu wa kisheria kwa ellipse, ellipse equation ina fomu:

. (4)

Ushahidi. Tutafanya uthibitisho katika hatua mbili. Katika hatua ya kwanza, tutathibitisha kwamba kuratibu za hatua yoyote ziko kwenye ellipse kuridhisha equation (4). Katika hatua ya pili, tutathibitisha kuwa suluhisho lolote la equation (4) linatoa kuratibu za uhakika ziko kwenye ellipse. Kuanzia hapa itafuata kwamba equation (4) imeridhika na zile na alama tu za ndege za kuratibu ambazo ziko kwenye ellipse. Kuanzia hapa na kutoka kwa ufafanuzi wa equation ya Curve, itafuata kwamba equation (4) ni hesabu ya ellipse.

1) Acha uhakika m (x, y) iwe hatua ya ellipse, i.e. Jumla ya radii yake ya kuzingatia ni 2a:

.

Tunatumia formula kwa umbali kati ya alama mbili kwenye ndege ya kuratibu na tunapata radii ya msingi ya uhakika m kwa kutumia formula hii:

,
, kutoka wapi tunapata:

Wacha tuelekeze mzizi mmoja upande wa kulia wa usawa na mraba yake:

Kupunguza, tunapata:

Tunatoa sawa, kupunguza kwa 4 na kutenga radical:

.

Sisi mraba

Fungua mabano na fupisha
:

Kutoka wapi tunapata:

Kutumia usawa (2), tunapata:

.

Kugawa usawa wa mwisho na
, Tunapata usawa (4), P.T.D.

2) Sasa acha jozi ya nambari (x, y) kukidhi equation (4) na wacha m (x, y) iwe mahali panapofanana kwenye ndege ya kuratibu ya oxy.

Halafu kutoka (4) inafuata:

.

Tunabadilisha usawa huu katika usemi kwa radii ya msingi ya uhakika m:

.

Hapa tumetumia usawa (2) na (3).

Kwa njia hii,
. Vile vile,
.

Sasa kumbuka kuwa inafuata kutoka kwa usawa (4) hiyo

au
na kwa sababu
, basi usawa unaofuata unafuata:

.

Kutoka kwa hii, kwa upande wake, inafuata hiyo

au
na

,
. (5)

Inafuata kutoka kwa usawa (5) hiyo
, i.e. Uhakika m (x, y) ni hatua ya ellipse, nk.

Nadharia imethibitishwa.

Ufafanuzi. Equation (4) inaitwa equation ya canonical ya ellipse.

Ufafanuzi. Axes za kuratibu za kisheria kwa ellipse huitwa shoka kuu za ellipse.

Ufafanuzi. Asili ya mfumo wa kuratibu wa kisheria kwa ellipse inaitwa katikati ya ellipse.

Bidhaa 3. Mali ya Ellipse.

Nadharia. (Mali ya ellipse.)

1. Katika mfumo wa kuratibu wa kisheria kwa ellipse, wote

Pointi za ellipse ziko kwenye mstatili

,
.

2. Pointi ziko juu

3. Ellipse ni ulinganifu wa curve kuhusu

shoka zao kuu.

4. Katikati ya ellipse ni kituo chake cha ulinganifu.

Ushahidi. 1, 2) ifuatavyo mara moja kutoka kwa equation ya canonical ya ellipse.

3, 4) Acha M (x, y) iwe hatua ya kiholela ya ellipse. Basi kuratibu zake kuridhisha equation (4). Lakini basi kuratibu za vidokezo pia zinakidhi equation (4), na, kwa hivyo, ni vidokezo vya ellipse, ambayo taarifa za nadharia zinafuata.

Nadharia imethibitishwa.

Ufafanuzi. Wingi 2a inaitwa mhimili mkubwa wa ellipse, idadi A inaitwa semiaxis kuu ya ellipse.

Ufafanuzi. Wingi 2B inaitwa mhimili mdogo wa ellipse, idadi ya B inaitwa semiaxis ndogo ya ellipse.

Ufafanuzi. Sehemu za makutano ya mviringo na shoka zake kuu zinaitwa vertices za ellipse.

Maoni. Ellipse inaweza kujengwa kwa njia ifuatayo. Kwenye ndege, "tunanyonya msumari" kwenye hila na kufunga uzi wa urefu kwao
. Halafu tunachukua penseli na kuitumia kunyoosha uzi. Halafu tunahamisha risasi ya penseli kando ya ndege, kuhakikisha kuwa uzi uko katika hali ya taut.

Kutoka kwa ufafanuzi wa eccentricity inafuata hiyo

Tunarekebisha nambari A na wacha C huwa na sifuri. Basi saa
,
na
. Katika kikomo tunapata

au
ni equation ya duara.

Wacha tujitahidi sasa
. Kisha
,
Na tunaona kuwa katika kikomo Ellipse hupunguka katika sehemu ya mstari
Katika nukuu ya Kielelezo 3.

Bidhaa 4. Viwango vya parametric ya ellipse.

Nadharia. Acha
ni nambari za kiholela. Basi mfumo wa equations

,
(6)

ni hesabu za usawa za ellipse katika mfumo wa kuratibu wa canonical kwa ellipse.

Ushahidi. Inatosha kudhibitisha kuwa mfumo wa equations (6) ni sawa na equation (4), i.e. Wana seti sawa ya suluhisho.

1) Acha (x, y) iwe suluhisho la kiholela la mfumo (6). Gawanya equation ya kwanza na A, ya pili na B, mraba wa hesabu zote mbili na ongeza:

.

Wale. Suluhisho yoyote (x, y) ya mfumo (6) inakidhi equation (4).

2) Kwa upande mwingine, acha jozi (x, y) iwe suluhisho la equation (4), i.e.

.

Inafuata kutoka kwa usawa huu kwamba uhakika na kuratibu
Uongo kwenye duara la radius ya kitengo kilichozingatia asili, i.e. ni hatua ya mduara wa trigonometric, ambayo inalingana na pembe fulani
:

Kutoka kwa ufafanuzi wa sine na cosine, inafuata mara moja hiyo

,
, wapi
, ambapo inafuata kwamba jozi (x, y) ni suluhisho la mfumo (6), nk.

Nadharia imethibitishwa.

Maoni. Ellipse inaweza kupatikana kwa sababu ya "compression" ya mduara wa radius A kwa mhimili wa abscissa.

Acha
ni equation ya mduara unaozingatia asili. "Shinikiza" ya mduara kwa mhimili wa Abscissa sio kitu zaidi ya mabadiliko ya ndege ya kuratibu, iliyofanywa kulingana na sheria ifuatayo. Kwa kila nukta m (x, y) tunaweka katika mawasiliano hatua ya ndege hiyo hiyo
, wapi
,
ni sababu ya "compression".

Pamoja na mabadiliko haya, kila hatua ya mduara "hupita" hadi hatua nyingine kwenye ndege, ambayo ina abscissa sawa, lakini ni ndogo. Wacha tueleze agizo la zamani la uhakika kwa suala la mpya:

na ubadilishe ndani ya equation ya duara:

.

Kutoka hapa tunapata:

. (7)

Inafuata kutoka kwa hii kwamba ikiwa, kabla ya mabadiliko ya "compression", uhakika m (x, y) kuweka kwenye mduara, i.e. Kuratibu zake ziliridhisha equation ya mduara, kisha baada ya mabadiliko ya "compression", hatua hii "ilipita" kwa uhakika
, ambaye kuratibu zake zinakidhi equation ellipse (7). Ikiwa tunataka kupata equation ya mviringo na mhimili mdogo wa nusu, basi tunahitaji kuchukua sababu ya compression

.

Bidhaa 5. Tangent kwa ellipse.

Nadharia. Acha
- Uhakika wa kiholela wa ellipse

.

Basi equation ya tangent kwa ellipse hii kwa uhakika
Inaonekana kama:

. (8)

Ushahidi. Inatosha kuzingatia kesi wakati hatua ya tangency iko katika robo ya kwanza au ya pili ya ndege ya kuratibu:
. Usawa wa ellipse katika ndege ya nusu ya juu ina fomu:

. (9)

Wacha tutumie equation ya tangent kwa grafu ya kazi
katika hatua
:

wapi
ni thamani ya derivative ya kazi hii katika hatua
. Ellipse katika robo ya kwanza inaweza kutazamwa kama picha ya kazi (8). Wacha tupate derivative yake na thamani yake katika hatua ya mawasiliano:

,

. Hapa tumechukua fursa ya ukweli kwamba hatua ya kugusa
ni hatua ya ellipse na kwa hivyo kuratibu zake zinakidhi equation ya ellipse (9), i.e.

.

Tunabadilisha thamani iliyopatikana ya derivative ndani ya equation tangent (10):

,

Kutoka wapi tunapata:

Hii ina maana:

Wacha tugawanye equation hii ndani
:

.

Inabaki kutambua kuwa
, kwa sababu nukta
ni mali ya ellipse na kuratibu zake zinakidhi equation yake.

Equation tangent (8) imethibitishwa vivyo hivyo katika hatua ya tangent iliyoko katika robo ya tatu au ya nne ya ndege ya kuratibu.

Na, mwishowe, tunaweza kuona kwa urahisi kuwa equation (8) inatoa equation ya tangent katika alama
,
:

au
, na
au
.

Nadharia imethibitishwa.

Bidhaa 6. Mali ya kioo ya ellipse.

Nadharia. Tangent kwa ellipse ina pembe sawa na radii ya msingi ya hatua tangent.

Acha
- Uhakika wa mawasiliano
,
ni radii ya msingi ya hatua tangent, p na q ni makadirio ya umakini kwenye tangent inayovutiwa na ellipse katika hatua
.

Nadharia inasema hivyo

. (11)

Usawa huu unaweza kufasiriwa kama usawa wa pembe za matukio na tafakari ya boriti nyepesi kutoka kwa ellipse iliyotolewa kutoka kwa umakini wake. Mali hii inaitwa Mali ya Mirror ya Ellipse:

Mwangaza wa mwanga unaotolewa kutoka kwa lengo la duaradufu, baada ya kutafakari kutoka kwa kioo cha duaradufu, hupitia mtazamo mwingine wa duaradufu.

Uthibitisho wa nadharia. Ili kuthibitisha usawa wa pembe (11), tunathibitisha kufanana kwa pembetatu
na
, ambayo pande
na
itakuwa sawa. Kwa kuwa pembetatu ni za kulia, inatosha kuthibitisha usawa

Ufafanuzi. Mviringo ni eneo la pointi katika ndege, jumla ya umbali wa kila mmoja wao kutoka kwa pointi mbili zilizopewa za ndege hii, inayoitwa foci, ni thamani ya mara kwa mara (mradi tu thamani hii ni kubwa kuliko umbali kati ya foci).

Hebu tuonyeshe foci kupitia umbali kati yao - kupitia , na thamani ya mara kwa mara sawa na jumla ya umbali kutoka kwa kila hatua ya duaradufu hadi foci, kupitia (kwa hali).

Hebu tujenge mfumo wa kuratibu wa Cartesian ili foci iko kwenye mhimili wa abscissa, na asili ya kuratibu inafanana na katikati ya sehemu (Mchoro 44). Kisha malengo yatakuwa na kuratibu zifuatazo: kuzingatia kushoto na kuzingatia kulia. Wacha tupate equation ya duaradufu katika mfumo wa kuratibu ambao tumechagua. Ili kufikia mwisho huu, fikiria hatua ya kiholela ya duaradufu. Kwa ufafanuzi wa duaradufu, jumla ya umbali kutoka hatua hii hadi foci ni:

Kwa kutumia formula ya umbali kati ya pointi mbili, tunapata, kwa hiyo,

Ili kurahisisha equation hii, tunaiandika kwa fomu

Kisha squaring pande zote mbili za equation inatoa

au, baada ya kurahisisha dhahiri:

Sasa tena tunaweka pande zote mbili za equation, baada ya hapo tutakuwa na:

au, baada ya mabadiliko sawa:

Kwa kuwa kulingana na hali katika ufafanuzi wa duaradufu , basi ni nambari chanya. Tunatanguliza nukuu

Kisha equation itachukua fomu ifuatayo:

Kwa ufafanuzi wa duaradufu, viwianishi vya vidokezo vyake vyovyote vinakidhi mlinganyo (26). Lakini mlingano (29) ni tokeo la mlingano (26). Kwa hiyo, pia inakidhi kuratibu za hatua yoyote ya duaradufu.

Inaweza kuonyeshwa kuwa viwianishi vya vidokezo ambavyo haviko kwenye duaradufu havikidhi equation (29). Kwa hivyo, mlinganyo (29) ni mlinganyo wa duaradufu. Inaitwa mlinganyo wa kisheria wa duaradufu.

Wacha tuanzishe sura ya ellipse kwa kutumia equation yake ya kisheria.

Kwanza kabisa, kumbuka kuwa equation hii ina nguvu tu za x na y. Hii ina maana kwamba ikiwa hatua yoyote ni ya duaradufu, basi inajumuisha sehemu ambayo ni linganifu na uhakika kuhusu mhimili wa abscissa, na hatua ambayo ni linganifu na uhakika kuhusu mhimili y. Kwa hivyo, duaradufu ina shoka mbili za ulinganifu za pande zote, ambazo katika mfumo wetu tuliochagua wa kuratibu sanjari na shoka za kuratibu. Axes ya ulinganifu wa duaradufu itaitwa axes ya duaradufu, na hatua ya makutano yao - katikati ya duaradufu. Mhimili ambao foci ya ellipse iko (katika kesi hii, mhimili wa abscissa) inaitwa mhimili wa kuzingatia.

Wacha tuamue sura ya duaradufu kwanza katika robo ya kwanza. Ili kufanya hivyo, tunatatua equation (28) kwa heshima na y:

Ni dhahiri kwamba hapa , kwa kuwa y inachukua maadili ya kufikirika kwa . Kwa ongezeko kutoka 0 hadi a, y hupungua kutoka b hadi 0. Sehemu ya duaradufu iliyo katika robo ya kwanza itakuwa arc iliyofungwa na pointi B (0; b) na kulala kwenye axes za kuratibu (Mchoro 45). Kwa kutumia sasa ulinganifu wa duaradufu, tunahitimisha kuwa duaradufu ina sura iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 45.

Pointi za makutano ya duaradufu na shoka huitwa wima ya duaradufu. Inafuata kutoka kwa ulinganifu wa duaradufu kwamba, pamoja na wima, duaradufu ina vipeo viwili zaidi (ona Mchoro 45).

Makundi na kuunganisha wima kinyume cha duaradufu, pamoja na urefu wao, huitwa axes kuu na ndogo ya duaradufu, kwa mtiririko huo. Nambari a na b huitwa semiaksi kuu na ndogo za duaradufu, mtawalia.

Uwiano wa nusu ya umbali kati ya foci hadi mhimili wa nusu kuu ya duaradufu inaitwa eccentricity ya duaradufu na kawaida huonyeshwa na herufi:

Tangu , basi eccentricity ya duaradufu ni chini ya moja: Eccentricity sifa ya sura ya duaradufu. Kwa hakika, inafuata kutoka kwa fomula (28), Kutokana na hili inaweza kuonekana kuwa kadiri mshikamano wa duaradufu ulivyo mdogo, ndivyo nusuksi yake ndogo b inavyotofautiana na semiaxis kuu a, yaani, chini duaradufu inapanuliwa (kando ya kitovu). mhimili).

Katika hali ya kuzuia, unapopata mduara wa radius a:, au . Wakati huo huo, foci ya duaradufu, kama ilivyokuwa, unganisha wakati mmoja - katikati ya duara. Eccentricity ya duara ni sifuri:

Uunganisho kati ya duara na duara unaweza kuanzishwa kutoka kwa mtazamo mwingine. Hebu tuonyeshe kwamba duaradufu yenye shoka nusu a na b inaweza kuzingatiwa kama makadirio ya duara la radius a.

Hebu tuchunguze ndege mbili P na Q, na kutengeneza pembe hiyo kati yao wenyewe, ambayo (Mchoro 46). Hebu tujenge mfumo wa kuratibu katika ndege ya P, na mfumo wa Oxy katika ndege ya Q yenye asili ya kawaida O na mhimili wa kawaida wa abscissa unaofanana na mstari wa makutano ya ndege. Fikiria katika ndege P mduara

inayozingatia asili na radius a. Hebu iwe sehemu iliyochaguliwa kiholela ya duara, iwe makadirio yake kwenye ndege ya Q, na iwe makadirio ya uhakika M kwenye mhimili wa Ox. Hebu tuonyeshe kwamba hoja iko kwenye duaradufu yenye mihimili ya nusu a na b.