Mistari ya perpendicular mali ya uthibitisho wa mistari ya perpendicular. Mali ya Oblique

JIOMETRI

Sehemu ya II. UTAFITI

§ nane. PERPENDICULAR NA SLANT. MAKADIRIO WA MWENYE KUTEGEMEA KWENYE NDEGE.

2. Mali ya perpendicular na oblique.

Fikiria mali ya perpendicular na oblique.

1) Perpendicular imeshuka kutoka kwa hatua fulani hadi kwa ndege ni chini ya oblique yoyote inayotolewa kutoka hatua sawa hadi ndege.

Kielelezo 411: AN AK.

2) Ikiwa mistari miwili ya oblique inayotolewa kutoka kwa hatua fulani hadi ndege ni sawa, basi makadirio yao ni sawa.

K1 na perpendicular AN na AK \u003d AK 1. Kisha kwa mali: NK = NK 1 .

3) Ikiwa mistari miwili ya oblique inayotolewa kutoka kwa hatua fulani hadi ndege iliyotolewa ina makadirio sawa, basi ni sawa kwa kila mmoja.

Katika mchoro 412, kutoka kwa uhakika A hadi ndege A, AK mbili zenye mwelekeo na A zimechorwa K1 na perpendicular AH, zaidi ya hayo, KH = K 1 N. Kisha kwa mali: AK = AK 1 .

4) Ikiwa ndege mbili zinazoelekea zimetolewa kutoka kwa uhakika fulani hadi kwenye ndege, basi kubwa inayoelekea ina makadirio makubwa.

L na perpendicular AN, A K > AL . Kisha kwa mali: H K > HL .

5) Ikiwa mistari miwili iliyoelekezwa imechorwa kutoka sehemu fulani hadi kwenye ndege, basi kubwa zaidi ni ile iliyo na makadirio makubwa kwenye ndege hii.

Katika mchoro 413, kutoka kwa uhakika A hadi ndege A, AK mbili zenye mwelekeo na A zimechorwa L na perpendicular AN, NK> H L . Kisha kwa mali: AK> A L.

Mfano 1. Mistari miwili ya mwelekeo hutolewa kutoka kwa uhakika hadi kwenye ndege, ambayo urefu wake ni 41 cm na cm 50. Tafuta makadirio ya wale wanaoelekea, ikiwa yanahusiana kama 3: 10, na umbali kutoka kwa uhakika hadi. ndege.

Ufumbuzi. 1) A L = 41 cm; AK = 50 cm (Mchoro 413). Kwa mali, tuna H L NK. Taja H L = 3 x cm, HK = 10 x cm, AH = h tazama AN - umbali kutoka kwa uhakika A hadi ndegeα .

4) Kusawazisha, tunapata 41 2 - 9x 2 = 50 2 - 100 x 2; x 2 = 9; x = 3 (imetolewa x> 0). Kwa hiyo, Н L = 3 ∙ 3 = 9 (cm), NK = 10 ∙ 3 = 30 (cm).

Mfano 2. Kutoka kwa hatua fulani hadi ndege mbili zenye mwelekeo zinachorwa, kila mojakwa cm Pembe kati ya oblique ni 60 °, na angle kati ya makadirio yao ni mstari wa moja kwa moja. Tafuta umbali kutoka kwa uhakika hadi kwenye ndege.

1. Kupitia nukta LAKINI(Mchoro 3) mstari mmoja tu wa perpendicular unaweza kuchora AB kwa mstari ulionyooka CD; mistari mingine kupita kwenye uhakika LAKINI na kuvuka CD, zinaitwa oblique mistari ya moja kwa moja (Mchoro 3, moja kwa moja AE na AF).

2. Kutoka kwa uhakika A unaweza kuacha perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja CD; urefu wa perpendicular (urefu wa sehemu AB) inayotolewa kutoka kwa uhakika LAKINI moja kwa moja CD, ni umbali mfupi zaidi kutoka A kabla CD(Mchoro 3).

3. Perpendiculars kadhaa zinazotolewa kwa njia ya pointi za mstari wa moja kwa moja kwa mstari wa moja kwa moja kamwe haziingiliani na kila mmoja (Mchoro 4).

Ishara: Kuna ishara moja kwenye ndege - pembe 4 za kulia (90).
Katika nafasi ya 3-dimensional: mistari 2 ni perpendicular ikiwa ni resp. ziko sambamba na mistari 2 iliyonyooka iliyo kwenye ndege moja na yenye usawa kwa kila mmoja.
Kawaida wanazungumza juu ya ishara za perp-sti ya mstari wa moja kwa moja na ndege ...

Perpendicularity ya ndege

Ufafanuzi Ndege mbili zinazokatiza zinaitwa perpendicular ikiwa ndege ya tatu, perpendicular kwa mstari wa makutano ya ndege hizi, inawaingilia kwenye mistari ya perpendicular.
Nadharia 5 Ikiwa ndege inapita kwenye mstari wa perpendicular kwa ndege nyingine, basi ndege hizi ni perpendicular. Ushahidi.
Nadharia 5 ISHARA YA PERPENDICULARITY YA NDEGE. Ikiwa ndege inapita kwenye mstari wa perpendicular kwa ndege nyingine, basi ndege hizi ni perpendicular.
Uthibitisho: Hebu iwe ndege, b - mstari wa perpendicular kwa hiyo, - ndege inayopitia mstari b, na c - mstari ambao ndege na huingiliana. Hebu kuthibitisha kwamba ndege na ni perpendicular. Hebu tuchore kwenye ndege kupitia hatua ya makutano ya mstari b na ndege ya mstari a, perpendicular kwa mstari c. Wacha tuchore ndege kupitia mistari iliyonyooka a na b. Ni perpendicular kwa mstari c, kwa kuwa mistari a na b ni perpendicular, ndege na ni perpendicular. Nadharia imethibitishwa.

Perpendicularity ya mstari na ndege

Ufafanuzi Mstari unaokatiza ndege unaitwa perpendicular ndege hii ikiwa ni ya pembeni kwa kila mstari ulio kwenye ndege uliyopewa na hupitia sehemu ya makutano. Tazama pia tatizo la kumbukumbu namba 1.
Nadharia 1 ISHARA YA UENDELEVU WA MSTARI NA NDEGE. Ikiwa mstari unaoingiliana na ndege ni perpendicular kwa mistari miwili katika ndege hiyo kupitia hatua ya makutano ya mstari uliotolewa na ndege, basi ni perpendicular kwa ndege. Ushahidi.
Nadharia 2 MALI YA 1 YA MISTARI NA NDEGE INAYOENDELEA. Ikiwa ndege ni perpendicular kwa moja ya mistari miwili sambamba, basi pia ni perpendicular kwa nyingine. Ushahidi.
Nadharia 3 MALI YA 2 YA MISTARI NA NDEGE INAYOENDELEA. Mistari miwili inayoendana na ndege moja ni sambamba. Ushahidi.

1. Mistari sambamba katika nafasi

Mistari miwili angani inaitwa sambamba ikiwa imelala kwenye ndege moja na haiingiliani.

Usambamba wa mistari a na b unaonyeshwa kama ifuatavyo: a∥b au b∥a.

Nadharia 1. Inawezekana kuteka ndege kupitia mistari miwili inayofanana, na moja tu kwa hiyo.

Nadharia 2. Kupitia hatua yoyote katika nafasi nje ya mstari fulani, mtu anaweza kuchora mstari sambamba na mstari uliopewa, na moja tu.

Nadharia ya 3. Ikiwa moja ya mistari miwili inayofanana inaingiliana na ndege iliyotolewa, basi mstari mwingine pia unaingilia ndege hii.

Nadharia 4. Mistari miwili sambamba na mstari wa tatu ni sambamba.

Nadharia 3.2.

Mistari miwili sambamba na ya tatu ni sambamba.

Mali hii inaitwa upitishaji mistari sambamba.

Ushahidi

Sifa ya mistari inayofanana inatolewa na nadharia ifuatayo: kinyume kwa nadharia 3.1.

Nadharia 3.4.

Ikiwa mistari miwili inayofanana imeunganishwa na mstari wa tatu, basi pembe za mambo ya ndani zinazoingiliana ni sawa.

Ushahidi

Kwa msingi wa nadharia hii, mali zifuatazo zinathibitishwa kwa urahisi.

• Ikiwa mistari miwili inayofanana imeunganishwa na mstari wa tatu, basi pembe zinazofanana ni sawa.
• Ikiwa mistari miwili inayofanana imeunganishwa na mstari wa tatu, basi jumla ya mambo ya ndani pembe za upande mmoja ni 180 °.

Muhimu 3.2.

Ikiwa mstari ni perpendicular kwa moja ya mistari sambamba, basi pia ni perpendicular kwa nyingine.

Dhana ya usambamba inaturuhusu kutambulisha dhana mpya ifuatayo, ambayo itahitajika baadaye katika Sura ya 11.

Mihimili miwili inaitwa kuelekezwa kwa usawa , ikiwa kuna mstari huo kwamba, kwanza, wao ni perpendicular kwa mstari huu, na pili, mionzi iko katika nusu ya ndege kuhusiana na mstari huu.

Mihimili miwili inaitwa maelekezo kinyume , ikiwa kila moja yao imeelekezwa kwa usawa na mionzi inayosaidia nyingine.

mihimili ya mwelekeo sawa AB na CD tutaashiria: na miale iliyoelekezwa kinyume AB na CD –

Usambamba wa ndege

©2015-2019 tovuti
Haki zote ni za waandishi wao. Tovuti hii haidai uandishi, lakini hutoa matumizi bila malipo.
Tarehe ya kuundwa kwa ukurasa: 2017-08-26

a) Kupitia nukta LAKINI mstari mmoja tu wa pembeni unaweza kuchorwa LAKINIH kwa mstari ulionyooka BT; mistari mingine kupita kwenye uhakika LAKINI na kuvuka BT, zinaitwa oblique(moja kwa moja LAKINIb,AC na LAKINIT).

b) Urefu wa perpendicular ( urefu wa sehemu LAKINI H ) inayotolewa kutoka kwa uhakika LAKINI moja kwa moja BT, ni umbali mfupi zaidi kutoka A kabla BT.

Umbali kutoka hatua hadi mstari kuitwa urefu wa perpendicular inayotolewa kutoka hatua hii hadi mstari wa moja kwa moja.

c) Vielelezo vingi vilivyochorwa kupitia nukta tofauti hadi mstari mmoja ulionyooka kamwe haviingiliani.

15. Pembetatu- Hii ni takwimu ya kijiometri ambayo ina pointi tatu ambazo hazilala kwenye mstari sawa na sehemu tatu zinazounganisha pointi hizi. Pointi zinaitwa vilele, na sehemu pande za pembetatu.

Vipeo: A, B, C

Vyama: AC, AB, BC, au mtawalia b, c, a.

Mzunguko Pembetatu, kama takwimu nyingine yoyote, inaitwa jumla ya urefu wa pande zote. Mzunguko- neno la Kiyunani peri - "karibu", "karibu" na metreo - "ninapima".

16. Ikiwa pembetatu mbili ni sawa, basi vipengele (yaani, pande tatu na pembe tatu) za pembetatu moja ni sawa na vipengele vya pembetatu nyingine.

Pembetatu sawa zina vipengele vyote vinavyolingana (pande, pembe, urefu, wastani, sehemu mbili, mistari ya kati, n.k.)

Pembetatu sawa zina pembe sawa kinyume na pande sawa, na pande sawa kinyume na pembe sawa.

17. Nadharia- taarifa, uhalali wa ambayo ni imara na hoja. Hoja yenyewe inaitwa ushahidi wa nadharia. Nadharia ina kauli mbili: hali ya taarifa, kauli-hitimisho. Nadharia inaweza kuandikwa kila wakati kama:

Ikiwa "hali-taarifa", basi "taarifa-hitimisho".

Ishara ni mali ambayo kitu kinajulikana au kutambuliwa, mali ya kitu ambacho huamua tofauti yake au kawaida na vitu vingine.

Ishara katika hisabati ni nadharia, ambayo inasema kwamba hali fulani zinahakikisha kwamba takwimu (maumbo) ni ya seti maalum ambayo ilielezwa hapo awali (kwa mfano, seti ya pembetatu).

18. Nadharia. Ishara ya kwanza ya usawa wa pembetatu. Ikiwa pande mbili na pembe kati yao ya pembetatu moja ni sawa na pande mbili na pembe kati yao ya pembetatu nyingine, basi pembetatu hizo zinafanana.

Ikiwa a

basi

19. urefu wa pembetatu inayoitwa perpendicular inayotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembetatu hadi kwenye mstari ulio na upande wa kinyume.

Urefu wa pembetatu huingiliana kwa hatua moja, inayoitwa kituo cha orthocenter pembetatu.

h a ni urefu uliochorwa kutoka kipeo A hadi upande a,

h b - urefu uliotolewa kutoka kwa vertex B hadi upande b,

h c - urefu unaotolewa kutoka kwa vertex C hadi upande c.

20. Wastani(lat. mediana- wastani) pembetatu Sehemu ya mstari inayounganisha kipeo cha pembetatu na sehemu ya katikati ya upande wa pili inaitwa. Wastani tatu za pembetatu hupishana kwa hatua moja.

21. Sehemu ya pembetatu kuitwa sehemu mbili za pembe ya pembetatu kuunganisha vertex ya pembetatu na uhakika upande wa kinyume.

l a ni sehemu mbili ya pembe A, l b ni sehemu mbili ya pembe B,

Ufafanuzi.1. Sambamba moja kwa moja
Ufafanuzi.2. Mistari ya perpendicular
Nadharia.1. Mimi mali ya mistari sambamba
Nadharia.2. II mali ya mistari sambamba
Nadharia.3. III mali ya mistari sambamba
Nadharia.4. IV mali ya mistari sambamba
Nadharia.5. V mali ya mistari sambamba
Nadharia.6. Ninasaini mistari inayofanana
Nadharia.7. II ishara ya mistari sambamba
Nadharia.8. III ishara ya mistari sambamba
Nadharia.9. IV ishara ya mistari sambamba
Nadharia 10. Kigezo cha V cha mistari sambamba
Nadharia 11. Mistari miwili sambamba na theluthi
Nadharia 11.1 Corollary
Nadharia ya 12. Mstari unaokatiza moja ya mistari sambamba
Nadharia 13. Sehemu za mistari inayofanana
Nadharia ya 14. Nadharia ya Thales
Nadharia 14.1. Mistari sambamba inayokatiza pande za pembe
Nadharia ya 15. Mstari wa perpendicular kwa moja ya mistari sambamba
Nadharia 16. Mistari miwili (au zaidi) inayoelekea mstari wa tatu

Ufafanuzi 1. Sambamba ni mistari iliyonyooka ambayo haiingiliani, haijalishi ni kiasi gani tunaiendeleza.
Kwenye picha a na b. Ufafanuzi 2. Perpendicular ni mistari ya moja kwa moja inayoingiliana kwa pembe za kulia.
Kwenye picha c na d.
Wakati jozi ya mistari (sambamba katika kesi hii) inapita mstari fulani (mstari kama huo unaitwa. secant mstari wa moja kwa moja) pembe zifuatazo zinaundwa (pamoja na pembe za karibu na wima tulizopitisha kwenye mada):
Pembe za ndani za kuvuka - 2 na 8; 3 na 5
Pembe za nje za kuvuka - 1 na 7; 4 na 6
Pembe za ndani za upande mmoja - 2 na 5; 3 na 8
Pembe za nje za upande mmoja - 1 na 6; 4 na 7
Pembe zinazofanana ni 1 na 5; 2 na 6; 3 na 7; 4 na 8
Sampuli zinaweza kupunguzwa kati ya pembe hizi. Sifa za mistari sambamba:
Nadharia 1. Pembe za ndani zinazoingiliana ni sawa

Uthibitisho: Acha a na b iwe mistari miwili inayofanana, c iwe sekanti, A na B ziwe sehemu za makutano ya sekunde na mistari hii. Wacha madai ya nadharia yawe ya uwongo. Hebu tuchore mstari d kupitia hatua A ili mambo ya ndani ya pembe za uongo kwenye mistari b na d na secant c ni sawa. Kisha, kwa ishara ya kwanza ya usawa wa mistari, mistari b na d ni sambamba. Lakini mistari b na a ni sambamba. Kwa hivyo, mistari miwili inapita kwa uhakika A-a na d, sambamba na mstari b. Hii inapingana na axiom ya IX. Kwa hivyo, madai ya nadharia ni kweli. Nadharia imethibitishwa.
Nadharia 2. Pembe za nje za diagonal ni sawa

Uthibitisho:
Nadharia 3. Jumla ya mambo ya ndani ya pembe za upande mmoja ni digrii 180

Uthibitisho: Ni dhahiri kutoka kwa mali ya kwanza ya mistari inayofanana.
Nadharia 4. Jumla ya pembe za nje za upande mmoja ni digrii 180

Uthibitisho: Ni dhahiri kutoka kwa mali ya kwanza ya mistari inayofanana.
Nadharia 5. Pembe zinazolingana ni

Uthibitisho: Ni dhahiri kutoka kwa mali ya kwanza ya mistari inayofanana.

Ishara za mistari inayofanana :

Uthibitisho:
Nadharia 8. Ikiwa kwenye makutano ya mistari miwili a na b tatu moja kwa moja Na jumla ya pembe za ndani za upande mmoja ni sawa na digrii 180 (jozi moja), kisha mistari iliyonyooka kama hiyo. a na b ziko sambamba

Uthibitisho: Ni wazi kutoka kwa ishara ya kwanza ya mistari inayofanana.
Nadharia 9. Ikiwa kwenye makutano ya mistari miwili a na b tatu moja kwa moja Na jumla ya pembe za nje za upande mmoja ni sawa na digrii 180 (jozi moja), kisha mistari iliyonyooka kama hiyo. a na b ziko sambamba

Uthibitisho: Ni wazi kutoka kwa ishara ya kwanza ya mistari inayofanana.
Nadharia 10. Ikiwa kwenye makutano ya mistari miwili a na b tatu moja kwa moja Na pembe zinazolingana ni sawa (jozi moja), kisha mistari kama hiyo a na b ziko sambamba

Uthibitisho: Ni wazi kutoka kwa ishara ya kwanza ya mistari inayofanana.
Nadharia 11 . Mistari miwili sambamba na theluthi ni sambamba.

Uthibitisho: Acha mistari a na b ilingane na mstari c. Chukulia kuwa mistari a na b haiwiani. Kisha ama mistari a na b sanjari, ambayo inapingana na hali hiyo, au huingiliana kwa wakati fulani S. Kisha mistari miwili hupitia hatua S - a na b, sambamba na mstari c, ambayo inapingana na axiom ya IX. Kwa hivyo dhana ya asili sio sawa. Nadharia imethibitishwa.
Nadharia 11.1 . Ikiwa mstari wa tatu umechorwa sambamba na mojawapo ya mistari miwili inayofanana, ya pili kati ya mistari hii inaweza kuwa sambamba na ya tatu au inaendana nayo.

Uthibitisho: Ni dhahiri kutoka kwa nadharia ya 11 ya ulinganifu wa mistari.
Nadharia 12 . Ikiwa mstari unaingilia moja ya mistari inayofanana, basi inaingiliana na nyingine.
Nadharia 13 . Sehemu za mistari sambamba iliyofungwa kati ya jozi fulani (nyingine) ya mistari sambamba ni sawa.
Nadharia 14 . (Nadharia ya Thales) Ikiwa mistari inayofanana inayokatiza pande za pembe itakata sehemu sawa kwenye moja ya pande zake, basi hukata sehemu sawa kwa upande wake mwingine.

Uthibitisho: Hebu A 1 , A 2 , A 3 iwe pointi za makutano ya mistari sambamba kwenye moja ya pande za pembe, na uhakika A 2 iko kati ya pointi A 1 na A 3 . Hebu B 1, B 2, B 3 iwe pointi zinazofanana za makutano ya mistari hii na upande mwingine wa pembe. Hebu tuthibitishe kwamba ikiwa A 1 A 2 = A 2 A 3 , basi B 1 B 2 = B 2 B 3 . Hebu tuchore mstari wa EF kupitia hatua B 2 sambamba na mstari A 1 A 3 . Pembetatu EB 2 B 1 na FB 2 B 3 ni sawa kulingana na kigezo cha usawa cha pembetatu ya pili. Pande zao EB 2 na FA 2 ni sawa kwa hali, pembe B 1 B 2 E na B 3 B 2 F ni sawa na wima, na pembe B 1 EB 2 na B 2 FB 3 ni sawa na pembe za ndani zinazolala kwenye sehemu ya EF. Hivyo B 1 B 2 = B 2 B 3 . Q.E.D.
Nadharia 14.1. . Mistari inayofanana, inayovuka pande za pembe, kata sehemu za sawia.

Nadharia 15 . Mistari miwili (au zaidi) inayolingana na mstari wa tatu ni sambamba.

Uthibitisho: Hakika, pembe za ndani za kuvuka ni sawa na 90 °. Kwa hiyo, kwa ishara ya kwanza ya mistari sambamba, mistari hii ni sambamba.
Nadharia 16 . Ikiwa mstari ni perpendicular kwa moja ya mistari sambamba, basi pia ni perpendicular kwa nyingine.

Uthibitisho: Ni dhahiri kutoka kwa nadharia ya 15.