Fomula za mali ya mzizi wa hesabu na majina yao. Mali ya mizizi ya mraba

Mizizi formula. mali ya mizizi ya mraba.

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Katika somo lililopita, tuligundua mizizi ya mraba ni nini. Ni wakati wa kujua ni nini formula kwa mizizi, ni nini mali ya mizizi na nini kifanyike kuhusu hayo yote.

Mizizi Formula, Sifa za Mizizi, na Kanuni za Vitendo na Mizizi- kimsingi ni kitu kimoja. Kuna njia chache za kushangaza za mizizi ya mraba. Ambayo, bila shaka, inapendeza! Badala yake, unaweza kuandika aina nyingi za fomula, lakini tatu tu zinatosha kwa kazi ya vitendo na ya ujasiri na mizizi. Kila kitu kingine kinatiririka kutoka kwa hizi tatu. Ingawa wengi hupotea katika fomula tatu za mizizi, ndio ...

Wacha tuanze na rahisi zaidi. Huyo hapo:

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Kujifunza - kwa riba!)

unaweza kufahamiana na vitendaji na derivatives.

Eneo la shamba la mraba ni 81 dm². Tafuta upande wake. Tuseme urefu wa upande wa mraba ni X desimita. Kisha eneo la njama ni X² desimita za mraba. Kwa kuwa, kulingana na hali, eneo hili ni 81 dm², basi X² = 81. Urefu wa upande wa mraba ni nambari chanya. Nambari chanya ambayo mraba ni 81 ni nambari 9. Wakati wa kutatua tatizo, ilihitajika kupata nambari x, mraba ambayo ni 81, i.e. kutatua equation. X² = 81. Mlinganyo huu una mizizi miwili: x 1 = 9 na x 2 \u003d - 9, tangu 9² \u003d 81 na (- 9)² \u003d 81. Nambari zote 9 na - 9 zinaitwa mizizi ya mraba ya nambari 81.

Kumbuka kwamba moja ya mizizi ya mraba X= 9 ni nambari chanya. Inaitwa mzizi wa mraba wa hesabu wa 81 na inaashiria √81, kwa hivyo √81 = 9.

Mzizi wa mraba wa hesabu wa nambari a ni nambari isiyo hasi ambayo mraba wake ni sawa na a.

Kwa mfano, nambari 6 na -6 ni mizizi ya mraba ya 36. Nambari 6 ni mzizi wa mraba wa hesabu wa 36, ​​kwani 6 ni nambari isiyo ya hasi na 6² = 36. Nambari -6 sio mzizi wa hesabu.

Mzizi wa mraba wa hesabu wa nambari a imeonyeshwa kama ifuatavyo: √ a.

Ishara inaitwa ishara ya mizizi ya mraba ya hesabu; a inaitwa usemi wa mizizi. Usemi √ a soma kama hii: mzizi wa mraba wa hesabu wa nambari a. Kwa mfano, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. Katika hali ambapo ni wazi kwamba tunazungumza juu ya mzizi wa hesabu, wanasema kwa ufupi: "mzizi wa mraba wa a«.

Kitendo cha kutafuta mzizi wa mraba wa nambari inaitwa kuchukua mizizi ya mraba. Kitendo hiki ni kinyume cha squaring.

Nambari yoyote inaweza kuwa mraba, lakini sio kila nambari inaweza kuwa mizizi ya mraba. Kwa mfano, haiwezekani kuchimba mzizi wa mraba wa nambari - 4. Ikiwa mizizi kama hiyo ilikuwepo, basi, ikiashiria kwa herufi. X, tungepata usawa mbaya x² \u003d - 4, kwani kuna nambari isiyo hasi upande wa kushoto, na hasi upande wa kulia.

Usemi √ a ina maana tu wakati a ≥ 0. Ufafanuzi wa mzizi wa mraba unaweza kuandikwa kwa ufupi kama: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Usawa (√ a)² = a halali kwa a ≥ 0. Kwa hivyo, ili kuhakikisha kuwa mzizi wa mraba wa nambari isiyo hasi a sawa b, yaani, hiyo √ a =b, unahitaji kuangalia kuwa masharti mawili yafuatayo yametimizwa: b ≥ 0, b² = a.

Mzizi wa mraba wa sehemu

Hebu tuhesabu. Kumbuka kuwa √25 = 5, √36 = 6, na uangalie ikiwa usawa unashikilia.

Kwa sababu na, basi usawa ni kweli. Kwa hiyo, .

Nadharia: Ikiwa a a≥ 0 na b> 0, yaani, mzizi wa sehemu ni sawa na mzizi wa nambari uliogawanywa na mzizi wa denominator. Inatakiwa kuthibitisha kwamba: na .

Tangu √ a≥0 na √ b> 0, basi.

Kwa mali ya kuinua sehemu kwa nguvu na kuamua mzizi wa mraba nadharia imethibitishwa. Hebu tuangalie mifano michache.

Hesabu, kulingana na nadharia iliyothibitishwa .

Mfano wa pili: Thibitisha hilo , kama a ≤ 0, b < 0. .

Mfano mwingine: Kokotoa .

.

Mabadiliko ya mizizi ya mraba

Kuchukua kizidishi kutoka chini ya ishara ya mzizi. Acha usemi utolewe. Ikiwa a a≥ 0 na b≥ 0, basi kwa nadharia kwenye mzizi wa bidhaa, tunaweza kuandika:

Mabadiliko kama haya yanaitwa kuweka ishara ya mizizi. Fikiria mfano;

Piga hesabu kwa X= 2. Ubadilishaji wa moja kwa moja X= 2 katika usemi mkali husababisha hesabu ngumu. Hesabu hizi zinaweza kurahisishwa ikiwa kwanza tutaondoa sababu kutoka chini ya ishara ya mizizi:. Sasa tukibadilisha x = 2, tunapata:.

Kwa hivyo, wakati wa kuondoa sababu kutoka chini ya ishara ya mizizi, usemi mkali unawakilishwa kama bidhaa ambayo sababu moja au zaidi ni miraba ya nambari zisizo hasi. Kisha nadharia ya bidhaa ya mizizi inatumiwa na mzizi wa kila sababu huchukuliwa. Fikiria mfano: Rahisisha usemi A = √8 + √18 - 4√2 kwa kutoa vipengele kutoka chini ya ishara ya mizizi katika maneno mawili ya kwanza, tunapata:. Tunasisitiza kwamba usawa halali tu wakati a≥ 0 na b≥ 0. ikiwa a < 0, то .

Somo na uwasilishaji juu ya mada:
"Sifa za mzizi wa mraba. Fomula. Mifano ya suluhu, kazi zilizo na majibu"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, maoni, mapendekezo. Nyenzo zote zinachunguzwa na programu ya antivirus.

Vifaa vya kufundishia na simulators kwenye duka la mtandaoni "Integral" kwa daraja la 8
Mwongozo mwingiliano wa masomo "Jiometri katika dakika 10" kwa daraja la 8
Ugumu wa elimu "1C: Shule. Jiometri, Daraja la 8"

Mali ya mizizi ya mraba

Mali 1. Mzizi wa mraba wa bidhaa ya nambari mbili zisizo hasi ni sawa na bidhaa ya mizizi ya mraba ya nambari hizi: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Ni desturi kuthibitisha mali yoyote, wacha tuifanye.
Acha $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Kisha tunapaswa kuthibitisha kwamba $x=y*z$.
Wacha tuweke mraba kila usemi.
Ikiwa $\sqrt(a*b)=x$ basi $a*b=x^2$.
Ikiwa $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, kisha tukiweka misemo yote miwili, tunapata: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, yaani $x^2=(y*z)^2$. Ikiwa miraba ya nambari mbili zisizo hasi ni sawa, basi nambari zenyewe ni sawa, ambayo ilithibitishwa.

Inafuata kutoka kwa mali yetu kwamba, kwa mfano, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Maoni 1. Mali pia ni halali kwa kesi wakati kuna zaidi ya sababu mbili zisizo hasi chini ya mzizi.
Mali 2. Ikiwa $a≥0$ na $b>0$, basi usawa ufuatao unashikilia: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Hiyo ni, mzizi wa mgawo ni sawa na mgawo wa mizizi.
Ushahidi.
Wacha tutumie meza na tuthibitishe kwa ufupi mali yetu.

Mifano ya kutumia mali ya mizizi ya mraba

Suluhisho.
Bila shaka, tunaweza kuchukua calculator, kuzidisha namba zote chini ya mizizi na kufanya operesheni ya kuchimba mizizi ya mraba. Na ikiwa hakuna calculator karibu, nini basi?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Jibu: 495.

Mfano 2. Kokotoa: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Suluhisho.
Tunawakilisha nambari kali kama sehemu isiyofaa: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Wacha tutumie mali 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= $3.4.
Jibu: 3.4.

Mfano 3
Hesabu: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Suluhisho.
Tunaweza kutathmini usemi wetu moja kwa moja, lakini karibu kila wakati unaweza kurahisishwa. Hebu tujaribu kufanya hivi.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Kwa hivyo $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Jibu: 32.

Jamani, tafadhali kumbuka kuwa hakuna fomula za utendakazi wa kujumlisha na kutoa misemo kali na misemo iliyo hapa chini si sahihi.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Mfano 4
Hesabu: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Suluhisho.
Sifa zilizowasilishwa hapo juu hufanya kazi kutoka kushoto kwenda kulia na kwa mpangilio wa nyuma, ambayo ni:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Wacha tuitumie hii kutatua mfano wetu.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Jibu: a) 16; b) 2.

Mali 3. Ikiwa $a≥0$ na n ni nambari asilia, basi usawa ufuatao unashikilia: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Kwa mfano. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ na kadhalika.

Mfano 5
Hesabu: $\sqrt(129600)$.

Suluhisho.
Nambari iliyowasilishwa kwetu ni kubwa kabisa, wacha tuitenganishe kwa sababu kuu.
Tulipata: $129600=5^2*2^6*3^4$ au $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Jibu: 360.

Kazi za suluhisho la kujitegemea

Makala hii ni mkusanyiko wa maelezo ya kina ambayo yanahusika na mada ya mali ya mizizi. Kuzingatia mada, tutaanza na mali, kusoma uundaji wote na kutoa uthibitisho. Ili kuunganisha mada, tutazingatia mali ya digrii ya nth.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mali ya mizizi

Tutazungumza juu ya mali.

1. Mali nambari nyingi a na b, ambayo inawakilishwa kama usawa a · b = a · b . Inaweza kuwakilishwa kama vizidishi, vyema au sawa na sifuri a 1 , a 2 , … , a k kama 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
2. kutoka kwa faragha a: b =   a: b, a ≥ 0, b > 0, inaweza pia kuandikwa kwa fomu hii b = a b;
3. Mali kutoka kwa nguvu ya nambari a na kipeo hata cha 2 m = a m kwa nambari yoyote a, kwa mfano, mali kutoka kwa mraba wa nambari 2 = a .

Katika milinganyo yoyote iliyowasilishwa, unaweza kubadilisha sehemu kabla na baada ya alama ya mstari, kwa mfano, usawa a · b = a · b inabadilishwa kuwa a · b = a · b . Sifa za usawa mara nyingi hutumiwa kurahisisha milinganyo changamano.

Uthibitisho wa mali ya kwanza inategemea ufafanuzi wa mizizi ya mraba na mali ya mamlaka yenye kielelezo cha asili. Ili kuthibitisha mali ya tatu, ni muhimu kurejelea ufafanuzi wa moduli ya nambari.

Awali ya yote, ni muhimu kuthibitisha mali ya mizizi ya mraba a · b = a · b . Kulingana na ufafanuzi, ni muhimu kuzingatia kwamba b ni nambari, chanya au sawa na sifuri, ambayo itakuwa sawa na a b wakati wa ujenzi ndani ya mraba. Thamani ya usemi a · b ni chanya au sawa na sufuri kama bidhaa ya nambari zisizo hasi. Sifa ya kiwango cha nambari zilizozidishwa inatuwezesha kuwakilisha usawa katika fomu (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Kwa ufafanuzi wa mzizi wa mraba 2 \u003d a na b 2 \u003d b, kisha b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Kwa njia sawa, mtu anaweza kuthibitisha hilo kutoka kwa bidhaa k vizidishio a 1 , a 2 , … , a k itakuwa sawa na bidhaa ya mizizi ya mraba ya mambo haya. Hakika, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Inafuata kutokana na usawa huu kwamba a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Hebu tuangalie mifano michache ili kuimarisha mada.

Mfano 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 na 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0. 2 (1) .

Inahitajika kudhibitisha mali ya mzizi wa mraba wa hesabu wa mgawo: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Mali hukuruhusu kuandika usawa a: b 2 = a 2: b 2, na 2: b 2 = a: b , wakati a: b ni nambari chanya au sawa na sifuri. Usemi huu utakuwa uthibitisho.

Kwa mfano, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 na 30, 121 = 30, 121.

Fikiria sifa ya mzizi wa mraba wa nambari. Inaweza kuandikwa kama usawa kama 2 = a Ili kudhibitisha mali hii, ni muhimu kuzingatia kwa undani usawa kadhaa kwa a ≥0 na kwa a< 0 .

Ni wazi, kwa ≥ 0, usawa wa 2 = a ni kweli. Katika a< 0 usawa a 2 = - a itakuwa kweli. Kwa kweli, katika kesi hii − a > 0 na (- a) 2 = a 2 . Tunaweza kuhitimisha kuwa 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Hebu tuangalie mifano michache.

Mfano 2

5 2 = 5 = 5 na - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36 .

Mali iliyothibitishwa itasaidia kuhalalisha 2 m = a m , wapi a- halisi, na m- nambari ya asili. Hakika, mali ya udhihirisho inaruhusu sisi kuchukua nafasi ya shahada ya 2 m kujieleza (am) 2, kisha a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Mfano 3

3 8 = 3 4 = 3 4 na (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7 .

Tabia za mizizi ya nth

Kwanza unahitaji kuzingatia mali kuu ya mizizi ya shahada ya nth:

1. Mali kutoka kwa bidhaa ya nambari a na b, ambazo ni chanya au sawa na sifuri, zinaweza kuonyeshwa kama usawa a b n = a n b n , mali hii ni halali kwa bidhaa. k nambari a 1 , a 2 , … , a k kama 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
2. kutoka kwa nambari ya sehemu ina mali a b n = a n b n, wapi a ni nambari yoyote halisi ambayo ni chanya au sawa na sifuri, na b ni nambari halisi chanya;
3. Kwa yoyote a na nambari hata n = 2 m a 2 m 2 m = a ni kweli, na kwa isiyo ya kawaida n = mita 2 - 1 usawa a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a unatimizwa.
4. Mali ya uchimbaji kutoka kwa m n = a n m, wapi a- nambari yoyote, chanya au sawa na sifuri, n na m ni nambari za asili, mali hii pia inaweza kuwakilishwa kama . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk;
5. Kwa yoyote isiyo hasi a na ya kiholela n na m, ambayo ni ya asili, mtu anaweza pia kufafanua usawa wa haki a m n · m = a n;
6. mali ya shahada n kutoka kwa nguvu ya nambari a, ambayo ni chanya au sawa na sifuri, kwa aina m, iliyofafanuliwa kwa usawa a m n = a n m;
7. Sifa ya kulinganisha ambayo ina vielelezo sawa: kwa nambari zozote chanya a na b vile vile a< b , ukosefu wa usawa n< b n ;
8. Mali ya kulinganisha ambayo yana nambari sawa chini ya mzizi: ikiwa m na n- nambari za asili ambazo m > n, kisha saa 0 < a < 1 kukosekana kwa usawa a m > a n ni halali, na kwa a > 1 m< a n .

Milinganyo iliyo hapo juu ni halali ikiwa sehemu za kabla na baada ya ishara ya usawa zimebadilishwa. Wanaweza kutumika katika fomu hii pia. Hii hutumiwa mara nyingi wakati wa kurahisisha au kubadilisha misemo.

Uthibitisho wa sifa zilizo hapo juu za mzizi unategemea ufafanuzi, sifa za digrii, na ufafanuzi wa moduli ya nambari. Sifa hizi lazima zithibitishwe. Lakini kila kitu kiko katika mpangilio.

1. Kwanza kabisa, tutathibitisha mali ya mzizi wa shahada ya nth kutoka kwa bidhaa a · b n = a n · b n. Kwa a na b, ambayo ni chanya au sifuri , thamani a n · b n pia ni chanya au sawa na sifuri, kwani ni matokeo ya kuzidisha nambari zisizo hasi. Mali ya bidhaa ya asili ya nguvu inaruhusu sisi kuandika usawa a n · b n n = a n n · b n n. Kwa ufafanuzi wa mizizi n th degree a n n = a na b n n = b , kwa hiyo, a n · b n n = a · b . Usawa uliopatikana ndio hasa ulitakiwa kuthibitishwa.

Mali hii imethibitishwa sawa kwa bidhaa k sababu: kwa nambari zisizo hasi a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Hapa kuna mifano ya kutumia mali ya mizizi n th nguvu kutoka kwa bidhaa: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 na 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

1. Hebu tuthibitishe mali ya mzizi wa mgawo a b n = a n b n . Katika a ≥0 na b> 0 hali a n b n ≥ 0 imeridhika, na n b n n = a n n b n n = a b .

Wacha tuonyeshe mifano:

Mfano 4

8 27 3 = 8 3 27 3 na 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Kwa hatua inayofuata, inahitajika kudhibitisha mali ya digrii ya nth kutoka nambari hadi digrii n. Tunawakilisha hii kama usawa a 2 m 2 m = a na 2 m - 1 2 m - 1 = a kwa kweli yoyote. a na asili m. Katika a ≥0 tunapata a = a na 2 m = a 2 m, ambayo inathibitisha usawa a 2 m 2 m = a, na usawa wa 2 m - 1 2 m - 1 = a ni dhahiri. Katika a< 0 tunapata kwa mtiririko huo a = - a na 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Mabadiliko ya mwisho ya nambari ni halali kulingana na mali ya digrii. Hii ndio inathibitisha usawa wa 2 m 2 m \u003d a, na 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a itakuwa kweli, kwani - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m inachukuliwa kuwa isiyo ya kawaida. shahada - 1 kwa nambari yoyote c , chanya au sawa na sifuri.

Ili kuunganisha habari iliyopokelewa, fikiria mifano michache kwa kutumia mali:

Mfano 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 na (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Hebu tuthibitishe usawa ufuatao a m n = a n · m . Ili kufanya hivyo, unahitaji kubadilisha namba kabla ya ishara sawa na baada yake katika maeneo n · m = a m n . Hii itaonyesha ingizo sahihi. Kwa a , ambayo ni chanya au sawa na sifuri , kutoka kwa fomu m n ni nambari chanya au sawa na sifuri. Wacha tugeukie mali ya kuinua nguvu kwa nguvu na ufafanuzi. Kwa msaada wao, unaweza kubadilisha usawa katika fomu m n n · m = a m n n m = a m m = a . Hii inathibitisha mali inayozingatiwa ya mzizi kutoka kwa mzizi.

Tabia zingine zimethibitishwa vivyo hivyo. Kweli,. . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk =. . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk =. . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk =. . . = a n k n k = a .

Kwa mfano, 7 3 5 = 7 5 3 na 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. Hebu tuthibitishe sifa ifuatayo a m n · m = a n . Ili kufanya hivyo, ni muhimu kuonyesha kwamba n ni nambari ambayo ni chanya au sawa na sifuri. Inapoinuliwa kwa nguvu n m ni m. Ikiwa nambari a ni chanya au sifuri, basi n shahada kutoka miongoni mwa a ni nambari chanya au sawa na sifuri Aidha, a n · m n = a n n m , ambayo ilipaswa kuthibitishwa.

Ili kuunganisha ujuzi uliopatikana, fikiria mifano michache.

1. Hebu tuthibitishe mali ifuatayo - mali ya mizizi ya nguvu ya fomu m n = a n m . Ni dhahiri kwamba saa a ≥0 shahada a n m ni nambari isiyo hasi. Aidha, yake n-th shahada ni sawa na m, hakika, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Hii inathibitisha mali inayozingatiwa ya digrii.

Kwa mfano, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Tunahitaji kuthibitisha hilo kwa nambari zozote chanya a na b a< b . Fikiria ukosefu wa usawa n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Kwa hivyo, n< b n при a< b .

Kwa mfano, tunatoa 12 4< 15 2 3 4 .

1. Fikiria mali ya mizizi n- shahada. Kwanza, fikiria sehemu ya kwanza ya ukosefu wa usawa. Katika m > n na 0 < a < 1 kweli a m > a n . Tuseme a m ≤ a n . Sifa zitarahisisha usemi kwa n m · n ≤ a m m · n . Kisha, kwa mujibu wa sifa za shahada yenye kielelezo asilia, ukosefu wa usawa n m n m n ≤ a m m n m n huridhika, yaani, a n ≤ a m. Thamani iliyopatikana kwa m > n na 0 < a < 1 hailingani na sifa zilizo hapo juu.

Kwa njia hiyo hiyo, mtu anaweza kuthibitisha hilo m > n na a > 1 hali ya m< a n .

Ili kuunganisha mali hapo juu, fikiria mifano michache maalum. Fikiria usawa kwa kutumia nambari maalum.

Mfano 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Ukiona kosa katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubofye Ctrl+Enter