Andika fomula za kutofautisha vipengele vya msingi vya msingi. Kanuni na kanuni za kutofautisha (kupata derivative)
Jedwali la derivatives ya kazi za msingi
Ufafanuzi 1
Hesabu ya derivative inaitwa utofautishaji.
Onyesha derivative $y"$ au $\frac(dy)(dx)$.
Maoni 1
Ili kupata derivative ya kazi, kulingana na sheria za msingi, utofautishaji unabadilishwa kuwa kazi nyingine.
Fikiria jedwali la derivatives. Hebu tuzingalie ukweli kwamba kazi baada ya kupata derivatives yao hubadilishwa kuwa kazi nyingine.
Isipokuwa ni $y=e^x$, ambayo inajigeuza yenyewe.
Sheria za Utofautishaji wa Miundo
Mara nyingi, wakati wa kupata derivative, inahitajika sio tu kuangalia jedwali la derivatives, lakini kwanza kutumia sheria za kutofautisha na uthibitisho wa derivative ya bidhaa, na kisha tu kutumia jedwali la derivatives ya kazi za msingi. .
1. Mara kwa mara huchukuliwa nje ya ishara ya derivative
$C$ ni mara kwa mara (mara kwa mara).
Mfano 1
Tofautisha chaguo za kukokotoa $y=7x^4$.
Suluhisho.
Tafuta $y"=(7x^4)"$. Tunachukua nambari $7$ kwa ishara ya derivative, tunapata:
$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$
kwa kutumia jedwali, unahitaji kupata thamani ya derivative ya kazi ya nguvu:
$=7 \cdot 4x^3=$
Tunabadilisha matokeo kuwa fomu inayokubalika katika hisabati:
Jibu:$28x^3$.
2. Derivative ya jumla (tofauti) ni sawa na jumla (tofauti) ya derivatives:
$(u \pm v)"=u" \pm v"$.
Mfano 2
Tofautisha chaguo za kukokotoa $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$.
Suluhisho.
$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$
tumia kanuni ya utofautishaji wa jumla na tofauti inayotokana:
$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\cot x)"=$
kumbuka kuwa wakati wa kutofautisha, nguvu zote na mizizi lazima zibadilishwe kwa fomu $x^(\frac(a)(b))$;
tunachukua viunga vyote kutoka kwa ishara ya derivative:
$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\cot x)"=$
$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$
baada ya kushughulika na sheria za utofautishaji, baadhi yao (kwa mfano, kama mbili za mwisho) hutumiwa wakati huo huo ili kuzuia kuandika tena usemi mrefu;
tumepata usemi kutoka kwa kazi za msingi chini ya ishara ya derivative; Wacha tutumie jedwali la derivatives:
$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$
badilisha kuwa fomu inayokubalika katika hisabati:
$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x) $
Kumbuka kuwa wakati wa kupata matokeo, ni kawaida kubadilisha maneno na nguvu za sehemu kuwa mizizi, na zile hasi kuwa sehemu.
Jibu: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x $.
3. Fomula ya derivative ya bidhaa ya vitendaji:
$(uv)"=u" v+uv"$.
Mfano 3
Tofautisha chaguo za kukokotoa $y=x^(11) \ln x$.
Suluhisho.
Kwanza tunatumia sheria ya kuhesabu derivative ya bidhaa ya kazi, na kisha tunatumia jedwali la derivatives:
$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnthx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdoti \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$.
Jibu: $x^(10) (11 \ln x-1)$.
4. Fomula ya derivative ya chaguo za kukokotoa za kibinafsi:
$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.
Mfano 4
Tofautisha chaguo za kukokotoa $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$.
Suluhisho.
$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$
kulingana na sheria za utangulizi wa shughuli za hisabati, kwanza tunafanya mgawanyiko, na kisha kuongeza na kutoa, kwa hivyo kwanza tunatumia sheria ya kuhesabu derivative ya mgawo:
$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$
tumia sheria za derivatives ya jumla na tofauti, fungua mabano na kurahisisha usemi:
$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .
Jibu:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.
Mfano 5
Hebu tutofautishe kazi $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$.
Suluhisho.
Kazi y ni mgawo wa kazi mbili, kwa hivyo tunaweza kutumia sheria ya kuhesabu derivative ya mgawo, lakini katika kesi hii tunapata kazi ngumu. Ili kurahisisha chaguo hili la kukokotoa, unaweza kugawanya nambari kwa neno denominator kwa neno:
$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.
Wacha tutumie kwa kazi iliyorahisishwa sheria ya utofautishaji wa jumla na tofauti za kazi:
$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdoti (-x^(-2))=$
$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.
Jibu: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.
Acha kazi y = f(x) ifafanuliwe katika kipindi cha X. derivative kazi y \u003d f (x) katika hatua x o inaitwa kikomo
=
.
Ikiwa kikomo hiki yenye mwisho, basi kazi f(x) inaitwa kutofautishwa kwa uhakika x o; zaidi ya hayo, inageuka kuwa lazima na kuendelea katika hatua hii.
Ikiwa kikomo kinachozingatiwa ni sawa na (au - ), basi mradi tu kazi kwenye hatua X o inaendelea, tutasema kwamba kazi ya f(x) ina hatua moja X o derivative isiyo na kikomo.
Derivative inaonyeshwa na alama
y , f (x o), , .
Kupata derivative inaitwa utofautishaji kazi. Maana ya kijiometri ya derivative ni kwamba derivative ni mteremko wa tangent hadi y=f(x) katika hatua fulani. X o ; akili ya kimwili - kwa kuwa derivative ya njia kwa heshima na wakati ni kasi ya papo hapo ya hatua ya kusonga wakati wa mwendo wa rectilinear s = s(t) kwa sasa t o.
Ikiwa a Na ni nambari ya mara kwa mara, na u = u(x), v = v(x) ni kazi zinazoweza kutofautishwa, basi sheria zifuatazo za kutofautisha zinashikilia:
1) (c) " = 0, (cu) " = cu";
2) (u+v)" = u"+v";
3) (uv)" \u003d u "v + v" u;
4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;
5) ikiwa y = f(u), u = (x), yaani. y = f((x)) - kazi ngumu, au nafasi ya juu, inayojumuisha vitendaji vinavyoweza kutofautishwa na f, kisha , au
6) ikiwa kwa chaguo za kukokotoa y = f(x) kuna chaguo za kukokotoa zinazoweza kutofautishwa x = g(y), na 0, basi .
Kulingana na ufafanuzi wa derivative na sheria za kutofautisha, mtu anaweza kukusanya orodha ya derivatives ya tabular ya kazi za msingi za msingi.
1. (u )" = u 1 u" ( R).
2. (a u)" = a u lna u".
3. (e u)" = e u u".
4. (logi a u)" = u"/(u ln a).
5. (ln u)" = u"/u.
6. (sin u)" = cos u u".
7. (cos u)" = - sin u u".
8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".
9. (ctg u)" = - u" / dhambi 2 u.
10. (arcsin u)" = u" / .
11. (arccos u)" = - u" / .
12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).
13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).
Hebu tuhesabu kitoleo cha usemi wa kielelezo y=u v , (u>0), ambapo u na v kiini cha kazi X kuwa na derivatives katika hatua fulani wewe",v".
Kuchukua logariti ya usawa y=u v , tunapata ln y = v ln u.
Kulinganisha derivatives kwa heshima na X kutoka kwa sehemu zote mbili za usawa uliopatikana kwa kutumia sheria 3, 5 na fomula ya derivative ya kazi ya logarithmic, tutakuwa na:
y"/y = vu"/u + v" ln u, kutoka wapi y" = y (vu"/u + v" ln u).
(u v)"=u v (vu"/u+v" logi u), u > 0.
Kwa mfano, ikiwa y \u003d x dhambi x, basi y" \u003d x dhambi x (dhambi x / x + cos x ln x).
Ikiwa chaguo la kukokotoa y = f(x) linaweza kutofautishwa kwa uhakika x, i.e. ina derivative yenye kikomo katika hatua hii y", basi = y "+, ambapo 0 kwa х 0; hivyo y = y" х + x.
Sehemu kuu ya nyongeza ya kazi, mstari kwa heshima na x, inaitwa tofauti kazi na inaashiria dy: dy \u003d y "x. Ikiwa tutaweka y \u003d x katika fomula hii, basi tunapata dx \u003d x" x \u003d 1x \u003d x, kwa hivyo dy \u003d y "dx, yaani ishara ya nukuu ya derivative inaweza kuzingatiwa kama sehemu.
Ongezeko la kazi y ni nyongeza ya mgawo wa curve, na tofauti d y ni ongezeko la mratibu wa tangent.
Hebu tutafute chaguo za kukokotoa y=f(x) derivative yake y = f (x). Derivative ya derivative hii inaitwa derivative ya agizo la pili kazi f(x), au derivative ya pili, na kuashiria 
.
Ifuatayo inafafanuliwa na kuonyeshwa kwa njia ile ile:
derivative ya agizo la tatu
-
,
derivative ya agizo la nne -
na kwa ujumla kuzungumza derivative ya agizo la nth
-
.
Mfano 3.15. Kokotoa toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa y=(3x 3 -2x+1)sin x.
Suluhisho. Kwa kanuni ya 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(dhambi x)" = = (9x 2 -2)dhambi x + (3x 3 -2x +1) cos x.
Mfano 3.16 . Tafuta y", y = tg x + .
Suluhisho. Kutumia sheria za kutofautisha jumla na mgawo, tunapata: y"=(tgx +)" = (tgx)" + ()" = + 
=
.
Mfano 3.17. Tafuta toleo la kukokotoa changamano y= , u=x 4 +1.
Suluhisho. Kulingana na sheria ya utofautishaji wa kazi ngumu, tunapata: y "x \u003d y " u u" x \u003d () "u (x 4 +1)" x \u003d (2u +. Tangu u \u003d x 4) +1, kisha (2 x 4 + 2+ 
.
Katika fomula zote hapa chini, barua u na v kazi zinazoweza kutofautishwa za utofauti wa kujitegemea zinaonyeshwa x: , 
, lakini kwa barua a, c, n- kudumu:
1. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Fomula zilizobaki zimeandikwa kwa kazi za tofauti huru na kwa kazi ngumu:
8. 
9. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
7a. 
8a. 
9a. 
11a. 
12a. 
13a. 
16a. 
17a. 
Wakati wa kutatua mifano hapa chini, maelezo ya kina yanafanywa. Hata hivyo, mtu anapaswa kujifunza kutofautisha bila maingizo ya kati.
Mfano 1 Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
.
Suluhisho. Chaguo hili la kukokotoa ni jumla ya vitendakazi vya aljebra. Tunaitofautisha kwa kutumia fomula 3, 5, 7 na 8:
Mfano 2 Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
Suluhisho. Kutumia fomula 6, 3, 7 na 1, tunapata
Mfano 3 Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
na kuhesabu thamani yake 
Suluhisho. Hili ni kazi changamano yenye hoja ya kati . Kwa kutumia fomula 7a na 10, tunayo
.
Mfano 4 Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
.
Suluhisho. Hili ni kazi changamano yenye hoja ya kati . Kutumia fomula 3, 5, 7a, 11, 16a, tunapata
Mfano 5 Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
.
Suluhisho. Tunatofautisha kazi hii kwa fomula 6, 12, 3 na 1:
Mfano 6 Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
na kukokotoa thamani yake kwa .
Suluhisho. Kwanza, tunabadilisha kazi kwa kutumia mali ya logarithms:
Sasa tunatofautisha kwa fomula 3, 16a, 7 na 1:
.
Hebu tuhesabu thamani ya derivative kwa .
Mfano 7 Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa na ukokote thamani yake kwa .
Suluhisho. Tunatumia fomula 6, 3, 14a, 9a, 5 na 1:
.
Kokotoa thamani ya derivative kwa :
.
Maana ya kijiometri ya derivative.
Derivative ya kazi ina tafsiri rahisi na muhimu ya kijiometri.
Ikiwa kazi 
kutofautishwa kwa uhakika X, basi grafu ya kazi hii ina tangent kwenye hatua inayolingana, na mteremko wa tangent ni sawa na thamani ya derivative katika hatua inayozingatiwa.
Mteremko wa tanjenti inayotolewa kwa grafu ya chaguo za kukokotoa 
kwa uhakika ( X 0 , katika 0), ni sawa na thamani ya derivative ya chaguo za kukokotoa katika x = x 0, yaani. 
.
Mlinganyo wa tanjiti hii una umbo
Mfano 8. Andika mlinganyo wa tangent kwa grafu ya kukokotoa 
kwa uhakika A (3.6).
Suluhisho. Ili kupata mteremko wa tangent, tunapata derivative ya kazi hii:
X= 3:
Mlinganyo wa tangent una fomu
, au 
, i.e. 
Mfano 9 Tunga mlinganyo wa tanjenti inayochorwa kwa grafu ya chaguo za kukokotoa kwenye hatua na abscissa x=2.
Suluhisho. Kwanza, pata uratibu wa sehemu ya kugusa. Kwa kuwa hatua A iko kwenye curve, kuratibu zake zinakidhi equation ya curve, i.e.
; 
.
Mlinganyo wa tanjenti inayochorwa kwenye mkunjo kwenye hatua ina umbo 
. Ili kupata mteremko wa tangent, tunapata derivative:
.
Mteremko wa tangent ni sawa na thamani ya derivative ya chaguo za kukokotoa katika X= 2:
Equation ya tangent ni:
, 
, i.e. 
Maana ya kimwili ya derivative. Ikiwa mwili unasonga kwa mstari ulionyooka kulingana na sheria s=s(t), kisha kwa muda (kutoka sasa t mpaka sasa 
) itaenda kwa njia fulani. Kisha kuna kasi ya wastani ya harakati kwa kipindi cha muda.
kasi harakati za mwili kwa wakati fulani t inaitwa kikomo cha uwiano wa njia ya kuongezeka kwa wakati, wakati ongezeko la wakati linaelekea sifuri:
.
Kwa hiyo, derivative ya wakati wa njia s t sawa na kasi ya mwendo wa rectilinear wa mwili kwa wakati fulani:
.
Kiwango cha michakato ya kimwili, kemikali na nyingine pia huonyeshwa kwa kutumia derivative.
Derivative ya kazi ni sawa na kasi ya mabadiliko ya chaguo hili la kukokotoa kwa thamani fulani ya hoja X:
Mfano 10 Sheria ya harakati ya hatua kwa mstari wa moja kwa moja inatolewa na fomula 
(s - kwa mita, t - kwa sekunde). Pata kasi ya uhakika mwishoni mwa sekunde ya kwanza.
Suluhisho. Kasi ya hatua kwa wakati fulani ni sawa na derivative ya njia s kwa wakati t:
,
Kwa hiyo, kasi ya hatua mwishoni mwa pili ya kwanza ni 9 m / s.
Mfano 11. Mwili unaotupwa wima kwenda juu husogea kwa mujibu wa sheria, wapi v 0 - kasi ya awali, g ni kasi ya kuanguka bure. Pata kasi ya harakati hii kwa wakati wowote wa wakati t. Mwili utaongezeka kwa muda gani na kwa urefu gani utainuka ikiwa v0= 40 m/s?
Suluhisho. Kasi ambayo hatua inasonga kwa wakati fulani t sawa na derivative ya njia s kwa wakati t:
.
Katika hatua ya juu ya kupaa, kasi ya mwili ni sifuri:
, 
, , 
, 
Na.
Zaidi ya 40/ g sekunde mwili huinuka hadi urefu
, 
m.
Derivative ya pili.
Derivative ya kazi kwa ujumla ni kazi ya X. Ikiwa tutahesabu derivative ya chaguo hili la kukokotoa, basi tunapata derivative ya mpangilio wa pili au derivative ya pili ya chaguo za kukokotoa. .
Derivative ya pili kazi inaitwa derivative ya derivative yake ya kwanza 
.
Derivative ya pili ya kazi inaonyeshwa na moja ya alama - , , . Kwa njia hii, 
.
Derivatives ya utaratibu wowote hufafanuliwa na kuonyeshwa kwa njia sawa. Kwa mfano, derivative ya agizo la tatu:
au 
,
Mfano 12. 
.
Suluhisho. Kwanza tunapata derivative ya kwanza
Mfano 13 Tafuta derivative ya pili ya chaguo za kukokotoa 
na kuhesabu thamani yake x=2.
Suluhisho. Kwanza tunapata derivative ya kwanza:
Kutofautisha tena, tunapata derivative ya pili:
Wacha tuhesabu thamani ya derivative ya pili kwa x=2; tuna
Maana ya kimwili ya derivative ya pili.
Ikiwa mwili unasonga kwa mstari ulionyooka kulingana na sheria s = s(t), kisha derivative ya pili ya njia s kwa wakati t sawa na kuongeza kasi ya mwili kwa wakati fulani t:
Kwa hivyo, derivative ya kwanza ina sifa ya kasi ya mchakato fulani, na derivative ya pili ina sifa ya kuongeza kasi ya mchakato huo.
Mfano 14 Hatua hiyo inasonga katika mstari ulionyooka kulingana na sheria 
. Pata kasi na kasi ya harakati 
.
Suluhisho. Kasi ya mwili kwa wakati fulani ni sawa na derivative ya njia s kwa wakati t, na kuongeza kasi ni derivative ya pili ya njia s kwa wakati t. Tunapata:
; basi;
; basi 
Mfano 15 Kasi ya mwendo wa rectilinear ni sawia na mzizi wa mraba wa njia iliyosafirishwa (kama, kwa mfano, katika kuanguka kwa bure). Thibitisha kwamba mwendo huu hutokea chini ya hatua ya nguvu ya mara kwa mara.
Suluhisho. Kwa mujibu wa sheria ya Newton, nguvu F inayosababisha harakati ni sawia na kuongeza kasi, i.e.
au 
Kulingana na hali 
. Kutofautisha usawa huu, tunapata
Kwa hiyo, nguvu ya kaimu 
.
Matumizi ya derivative kwa uchunguzi wa chaguo za kukokotoa.
1) Hali ya kazi kuongezeka: Chaguo za kukokotoa zinazoweza kutofautishwa y = f(x) huongezeka kimonotoni kwenye kipindi cha X ikiwa na ikiwa tu derivative yake ni kubwa kuliko sufuri, i.e. y = f(x) f'(x) > 0. Hali hii kijiometri ina maana kwamba tangent kwa grafu ya kazi hii huunda pembe ya papo hapo yenye mwelekeo chanya kwa mhimili wa x.
2) Hali ya utendaji kupungua: Chaguo za kukokotoa zinazoweza kutofautishwa y = f(x) hupungua kimonotoni kwenye kipindi cha X ikiwa na ikiwa tu derivative yake ni chini ya sifuri, i.e.
y = f(x)↓ f'(x) Hali hii kijiometri ina maana kwamba tanjiti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa huunda pembe ya butu yenye mwelekeo chanya wa mhimili wa oX)
3) Hali ya uthabiti wa kazi: Kazi inayoweza kutofautishwa y = f(x) ni mara kwa mara kwenye muda wa X ikiwa tu ikiwa derivative yake ni sawa na sifuri, i.e. y = f (x) - mara kwa mara f'(x) = 0 . Hali hii kijiometri inamaanisha kuwa tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa ni sambamba na mhimili wa oX, yaani α \u003d 0)
Utendaji uliokithiri.
Ufafanuzi 1: Hoja x \u003d x 0 inaitwa kiwango cha chini kazi y = f(x), ikiwa hatua hii ina ujirani, kwa nukta zote ambazo (isipokuwa nukta yenyewe) ukosefu wa usawa f(x)> f(x 0)
Ufafanuzi wa 2: Hoja x \u003d x 0 inaitwa kiwango cha juu kazi y = f(x) ikiwa hatua hii ina ujirani wa nukta zote ambazo (isipokuwa nukta yenyewe) ukosefu wa usawa f(x)< f(x 0).
Ufafanuzi wa 3: Kiwango cha chini au cha juu zaidi cha chaguo za kukokotoa kinaitwa nukta uliokithiri. Thamani ya kazi katika hatua hii inaitwa uliokithiri.
Maoni: 1. Upeo (kiwango cha chini) sio thamani ya juu zaidi (ndogo) ya chaguo la kukokotoa;
2. Chaguo za kukokotoa zinaweza kuwa na upeo au viwango vya chini kadhaa;
3. Kazi iliyofafanuliwa kwenye sehemu inaweza kufikia upeo tu katika sehemu za ndani za sehemu hii.
5) Hali ya lazima kwa hali ya juu: Ikiwa kazi y \u003d f (x) ina upeo katika hatua x \u003d x 0, basi katika hatua hii derivative ni sawa na sifuri au haipo. Pointi hizi zinaitwa pointi muhimu za aina ya 1.
6) Masharti ya kutosha kwa uwepo wa mwisho wa kazi: Wacha kazi y \u003d f (x) iendelee kwenye kipindi cha X na iwe ndani ya muda huu kama sehemu muhimu ya aina ya 1 x \u003d x 0, basi:
a) ikiwa sehemu hii ina kitongoji ambacho kwa x< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f’(x) > 0, kisha x = x 0 ni nukta kiwango cha chini kazi y = f(x);
b) ikiwa hatua hii ina kitongoji ambacho kwa x< х 0 f’(x) >0, na kwa x> x 0
f'(x)< 0, то х = х 0 является точкой upeo kazi y = f(x);
c) ikiwa hatua hii ina kitongoji ambacho ndani yake kulia na kushoto kwa uhakika x 0 ishara za derivative ni sawa, basi hakuna extremum katika hatua x 0.
Vipindi vya kazi za kupungua au kuongezeka huitwa vipindi. monotoni.
Ufafanuzi 1: Curve y = f(x) inaitwa mbonyeo chini kwa muda a< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется convex juu kwa muda a< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
Ufafanuzi wa 2: Vipindi ambavyo grafu ya chaguo la kukokotoa imebonyea juu au chini huitwa kuvimba kwa vipindi grafu ya kazi.
Hali ya kutosha kwa curve kuwa convex. Grafu ya chaguo za kukokotoa zinazoweza kutofautishwa Y = f(x) ni convex juu kwa muda a< х <в, если f”(x) < 0 и mbonyeo chini, ikiwa f”(x) > 0.
Ufafanuzi wa 1: Pointi ambazo derivative ya pili ni sifuri au haipo huitwa pointi muhimu za aina ya pili.
Ufafanuzi wa 2: Hoja ya grafu ya kazi Y = f (x), ikitenganisha vipindi vya ubadilishaji wa mwelekeo tofauti wa grafu hii, inaitwa uhakika. inflection.
hatua ya inflection
Mfano: Kutokana na kazi y \u003d x 3 - 2x 2 + 6x - 4. Chunguza kazi kwa vipindi vya monotonicity na pointi kali. Kuamua mwelekeo wa pointi za convexity na inflection.
Suluhisho: 1. Pata kikoa cha kazi: D (y) =;
2. Tafuta derivative ya kwanza: y’ = 3x 2 - 4x+ 6;
3. Hebu tutatue equation: y' = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0, basi equation hii haina ufumbuzi, kwa hiyo hakuna pointi kali. y' , basi chaguo la kukokotoa huongezeka juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi.
4. Tafuta derivative ya pili: y” = 6x - 4;
5. Tatua mlingano: y” = 0, 6x - 4 = 0, x =
Jibu: ( ; - ) - sehemu ya inflection, kitendakazi ni mbonyeo kwenda juu kwa x na kibonyeo kwenda juu kwa x
Asymptotes.
1. Ufafanuzi: Asymptote ya curve ni mstari wa moja kwa moja ambao grafu ya chaguo la kukokotoa hukaribia kwa muda usiojulikana.
2. Aina za asymptotes:
1) Asymptotes za wima. Grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) ina asymptoti wima ikiwa . Mlinganyo wa wima wa asymptote una fomu x = a
2) Asymptotes ya mlalo. Grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) ina asymptoti mlalo ikiwa 
. Mlingano wa asymptote mlalo ni y = b.
Mfano 1: Kwa kazi y = tafuta asymptotes.
3) Asymptotes ya Oblique. Mstari wa moja kwa moja y = kx + b inaitwa asymptote ya oblique ya grafu ya kazi y = f (x) ikiwa . Thamani za k na b huhesabiwa na fomula: k =; b = .
Suluhisho: 
, basi y = 0 ni asymptote ya usawa;
(kwa kuwa x - 3 ≠ 0, x ≠ 3), basi x = 3 ni asymptote ya wima. 
,t. yaani k = 0, basi curve haina asymptote ya oblique.
Mfano wa 2: Kwa kazi y = tafuta asymptotes.
Suluhisho: x 2 - 25 ≠ 0 na x ≠ ± 5, kisha x \u003d 5 na x \u003d - 5 ni asymptotes ya usawa;
y = , basi curve haina asymptote ya wima;
k = ; b = , yaani y = 5x - oblique asymptote.
Mifano ya kuunda grafu za kazi.
Mfano 1.
Chunguza kazi na ujenge grafu ya kazi y \u003d x 3 - 6x 2 + 9x - 3
1. Pata kikoa cha kazi: D (y) = R
y (- x) \u003d (- x) 3 - 6 (- x) 2 + 9 (-x) - 3 \u003d - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 \u003d - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3), i.e.
(y \u003d x 5 - x 3 - isiyo ya kawaida, y \u003d x 4 + x 2 - sawa)
3. Sio mara kwa mara.
4. Pata pointi za makutano na shoka za kuratibu: ikiwa x \u003d 0, basi y \u003d - 3 (0; - 3)
ikiwa Y = 0, x ni vigumu kupata.
5. Tafuta asymptotes ya grafu ya kazi: Hakuna asymptotes wima, kwa sababu hakuna maadili ya x ambayo chaguo la kukokotoa ni la muda usiojulikana; y = , yaani, hakuna asymptotes ya usawa;
k = , yaani, hakuna asymptotes oblique.
6. Tunachunguza kazi kwa vipindi vya monotonicity na extrema yake: y’ = 3x 2 - 12x + 9,
y'= 0, 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - pointi muhimu za aina ya 1.
Hebu tutambue ishara za derivative: y'(0) = 9 > 0; y'(2) = - 3< 0; y’(4) = 9 > 0
y max = y (1) = 1, (1;1) - kiwango cha juu; y dakika \u003d y (3) \u003d - 3, (3; - 3) - kiwango cha chini cha uhakika, kazi y kwa x na y 
.
7. Tunachunguza kazi kwa vipindi vya convexity na inflection pointi:
y” = (y’)’ = (3x 2 - 12x + 9)’ = 6x - 12, y” = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - hatua muhimu ya aina ya 1.
Wacha tuamue ishara za derivative ya pili: y”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0
Y(2) = - 1 (2; - 1) - sehemu ya infleksi, chaguo la kukokotoa ni la kukokotwa juu kwa x na kukunja chini kwa x.
8. Alama za ziada:
| X | - 1 | |
| katika | - 19 |
9. Wacha tutengeneze grafu ya kazi:
Chunguza chaguo la kukokotoa na upange kitendakazi y =
1. Pata kikoa cha kazi: 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D (y) =.
2. Jua ikiwa kitendakazi ulichopewa ni sawa au isiyo ya kawaida: 
,
y(- x) ≠ y(x) si sawa na y(- x) ≠ - y(x) si ya ajabu
3. Sio mara kwa mara.
4. Pata pointi za makutano na axes za kuratibu: x \u003d 0, kisha y \u003d - 2; y = 0, basi 
, yaani (0; - 2); ().
5. Pata asymptotes ya grafu ya kazi: tangu x ≠ 1, kisha mstari x = 1 ni asymptote ya wima;
Acha kazi y = f(x) ifafanuliwe katika kipindi cha X. derivative kazi y \u003d f (x) katika hatua x o inaitwa kikomo
Ikiwa kikomo hiki yenye mwisho, basi kazi f(x) inaitwa kutofautishwa kwa uhakika x o; zaidi ya hayo, inageuka kuwa lazima na kuendelea katika hatua hii.
Ikiwa kikomo kinachozingatiwa ni sawa na ¥ (au - ¥), basi mradi tu kazi katika hatua x o inaendelea, tutasema kwamba kazi ya f(x) ina hatua moja x o derivative isiyo na kikomo.
Derivative inaonyeshwa na alama
y ¢, f ¢(x o), , .
Kupata derivative inaitwa utofautishaji kazi. Maana ya kijiometri ya derivative ni kwamba derivative ni mteremko wa tangent hadi y=f(x) katika hatua fulani. x o; akili ya kimwili - kwa kuwa derivative ya njia kwa heshima na wakati ni kasi ya papo hapo ya hatua ya kusonga wakati wa mwendo wa rectilinear s = s(t) kwa sasa t o.
Ikiwa a Na ni nambari ya mara kwa mara, na u = u(x), v = v(x) ni kazi zinazoweza kutofautishwa, basi sheria zifuatazo za kutofautisha zinashikilia:
1) (c) " = 0, (cu) " = cu";
2) (u+v)" = u"+v";
3) (uv)" \u003d u "v + v" u;
4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;
5) ikiwa y = f(u), u = j(x), i.e. y = f(j(x)) - kazi ngumu, au nafasi ya juu, inayojumuisha vitendaji vinavyoweza kutofautishwa j na f, kisha , au
6) ikiwa kwa chaguo za kukokotoa y = f(x) kuna chaguo za kukokotoa zinazoweza kutofautishwa x = g(y), na ¹ 0, basi .
Kulingana na ufafanuzi wa derivative na sheria za kutofautisha, mtu anaweza kukusanya orodha ya derivatives ya tabular ya kazi za msingi za msingi.
1. (u m)" = m u m - 1 u" (m О R).
2. (a u)" = a u lna × u".
3. (e u)" = e u u".
4. (logi a u)" = u"/(u ln a).
5. (ln u)" = u"/u.
6. (sin u)" = cos u × u".
7. (cos u)" = - sin u × u".
8. (tg u)" = 1/ cos 2 u × u".
9. (ctg u)" = - u" / dhambi 2 u.
10. (arcsin u)" = u" / .
11. (arccos u)" = - u" / .
12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).
13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).
Kokotoa derivative ya usemi wa kielelezo
y=u v , (u>0), wapi u na v kiini cha kazi X kuwa na derivatives katika hatua fulani wewe",v".
Kuchukua logariti ya usawa y=u v , tunapata ln y = v ln u.
Kulinganisha derivatives kwa heshima na X kutoka kwa sehemu zote mbili za usawa uliopatikana kwa kutumia sheria 3, 5 na fomula ya derivative ya kazi ya logarithmic, tutakuwa na:
y"/y = vu"/u + v" ln u, kutoka wapi y" = y (vu"/u + v" ln u).
(u v)"=u v (vu"/u+v" logi u), u > 0.
Kwa mfano, ikiwa y \u003d x dhambi x, basi y" \u003d x dhambi x (dhambi x / x + cos x × ln x).
Ikiwa chaguo la kukokotoa y = f(x) linaweza kutofautishwa kwa uhakika x, i.e. ina derivative yenye kikomo katika hatua hii y", kisha \u003d y "+a, ambapo a®0 kwa Dx® 0; kwa hivyo D y \u003d y" Dx + a x.
Sehemu kuu ya nyongeza ya kazi, mstari kwa heshima na Dx, inaitwa tofauti ya utendaji na inaashiria dy: dy \u003d y "Dx. Ikiwa tutaweka y \u003d x katika fomula hii, basi tunapata dx \u003d x" Dx \u003d 1 × Dx \u003d Dx, kwa hiyo dy \u003d y "dx, i.e. ishara ya kuashiria derivative inaweza kuchukuliwa kama sehemu.
D ongezeko la utendakazi y ni nyongeza ya mgawo wa curve, na tofauti d y ni ongezeko la mratibu wa tangent.
Wacha tupate chaguo la kukokotoa y=f(x) derivative yake y ¢= f ¢(x). Derivative ya derivative hii inaitwa derivative ya agizo la pili kazi f(x), au derivative ya pili, na inaashiria.
Ifuatayo inafafanuliwa na kuonyeshwa kwa njia ile ile:
derivative ya agizo la tatu - ,
derivative ya agizo la nne -
na kwa ujumla kuzungumza derivative ya agizo la nth - .
Mfano 15 Kokotoa derivative ya chaguo za kukokotoa y=(3x 3 -2x+1)×sin x.
Suluhisho. Kwa kanuni ya 3, y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(dhambi x)" =
= (9x 2 -2) sinx + (3x 3 -2x+1) cos x.
Mfano 16. Tafuta y", y = tg x + .
Suluhisho. Kutumia sheria za kutofautisha jumla na mgawo, tunapata: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .
Mfano 17. Tafuta derivative ya kazi changamano y= ,
u=x 4 +1.
Suluhisho. Kulingana na sheria ya utofautishaji wa kazi ngumu, tunapata: y "x \u003d y " u u" x \u003d () "u (x 4 +1)" x \u003d (2u +. Tangu u \u003d x 4) +1, basi
(2 x 4 +2+ .
Mfano 18.
Suluhisho. Wacha tuwakilishe chaguo la kukokotoa y= kama nafasi kuu ya vitendakazi viwili: y = e u na u = x 2 . Tunayo: y" x \u003d y " u u" x \u003d (e u)" u (x 2)" x \u003d e u × 2x. Kubadilisha x2 badala ya u, tunapata y=2x .
Mfano 19. Tafuta toleo la kukokotoa y=ln sin x.
Suluhisho. Onyesha u=sin x, kisha kitokeo cha kazi changamano y=ln u kinakokotolewa kwa fomula y" = (ln u)" u (dhambi x)" x = .
Mfano 20. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa y= .
Suluhisho. Kesi ya kazi ngumu iliyopatikana kama matokeo ya nafasi nyingi za juu imechoshwa na matumizi mfululizo ya Kanuni ya 5:
Mfano 21. Kokotoa toleo y=ln .
Suluhisho. Kuchukua logarithms na kutumia mali ya logarithms, tunapata:
y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.
Kutofautisha sehemu zote mbili za usawa wa mwisho, tunapata:
2.2. Uchambuzi wa kikomo katika uchumi. Elasticity ya kazi
Katika utafiti wa kiuchumi, istilahi mahususi mara nyingi hutumika kurejelea viasili. Kwa mfano, ikiwa f(x) ni kipengele cha uzalishaji kinachoonyesha utegemezi wa pato la bidhaa yoyote kwa gharama ya kipengele x, basi f"(x) kuitwa bidhaa ya pembezoni; kama g(x) ni kazi ya gharama, yaani, kazi g(x) inaonyesha utegemezi wa jumla wa gharama kwa kiasi cha uzalishaji x, basi g"(x) kuitwa gharama ya chini.
Uchambuzi wa Pembezoni katika Uchumi- seti ya njia za kusoma maadili yanayobadilika ya gharama au matokeo wakati kiasi cha uzalishaji, matumizi, nk. kulingana na uchambuzi wa maadili yao ya kuzuia. Kwa sehemu kubwa, mahesabu ya kupanga kulingana na data ya kawaida ya takwimu hufanyika kwa namna ya viashiria vya muhtasari. Katika kesi hii, uchambuzi unajumuisha hasa katika hesabu ya maadili ya wastani. Hata hivyo, katika baadhi ya matukio, utafiti wa kina zaidi ni muhimu, kwa kuzingatia maadili ya kupunguza. Kwa mfano, wakati wa kuamua gharama za uzalishaji wa nafaka katika eneo kwa siku zijazo, inazingatiwa kuwa gharama zinaweza kuwa tofauti kulingana na vitu vingine vyote kuwa sawa, kwa kiasi kinachotarajiwa cha mavuno ya nafaka, tangu kwenye ardhi mbaya zaidi tena. kushiriki katika kulima, gharama za uzalishaji zitakuwa kubwa kuliko wastani wa eneo.
Ikiwa uhusiano kati ya viashiria viwili v na x inatolewa kwa uchanganuzi: v = f (x) - basi thamani ya wastani inawakilisha uhusiano v/x, a mwisho- derivative.
Kutafuta tija ya kazi. Hebu kazi
u = u (t), akielezea kiasi cha uzalishaji u wakati wa kufanya kazi t. Hebu tuhesabu kiasi cha bidhaa zinazozalishwa wakati huo
Dt \u003d t 1 - t 0: Du \u003d u (t 1) - u (t 0) \u003d u (t 0 + Dt) - u (t 0). Wastani wa tija ya kazi ni uwiano wa kiasi cha pato zinazozalishwa kwa muda uliotumika, i.e. z cf.= Du/Dt.
Tija ya mfanyakazi z(t 0) kwa sasa t 0 inaitwa kikomo ambacho z inaelekea cf. kwa Dt®0: . Hesabu ya tija ya kazi, kwa hivyo, imepunguzwa kwa hesabu ya derivative: z (t 0) \u003d u "(t 0).
Gharama za uzalishaji K ya bidhaa zenye homogeneous ni kazi ya wingi wa uzalishaji x. Kwa hiyo, tunaweza kuandika K = K (x). Chukulia kuwa wingi wa uzalishaji huongezeka kwa D X. Wingi wa uzalishaji x + Dх inalingana na gharama za uzalishaji K (x + Dх). Kwa hivyo, ongezeko la kiasi cha uzalishaji D X inalingana na ongezeko la gharama za uzalishaji DK = K (x + Dх) - K (x).
Ongezeko la wastani la gharama za uzalishaji ni DK/Dх. Hii ni nyongeza ya gharama za uzalishaji kwa kila kitengo cha ongezeko la kiasi cha pato.
Kikomo kinaitwa gharama ya chini ya uzalishaji.
Ikiwa imeonyeshwa na u(x) mauzo ya mapato x vitengo vya bidhaa, inaitwa mapato ya chini.
Kwa msaada wa derivative, unaweza kuhesabu ongezeko la kazi inayoendana na ongezeko la hoja. Katika matatizo mengi ni rahisi zaidi kuhesabu ongezeko la asilimia (ongezeko la jamaa) la kutofautiana tegemezi sambamba na ongezeko la asilimia ya kutofautiana huru. Hii inatuleta kwenye dhana ya unyumbufu wa kitendakazi (wakati mwingine huitwa derivative jamaa) Kwa hivyo, acha kazi y = f(x) itolewe, ambayo kuna derivative y ¢ = f ¢(x). Elasticity ya kazi y = f (x) kwa heshima ya kutofautiana x piga kikomo
Inaashiriwa na E x (y) = x/y f ¢ (x) =.
Elasticity kiasi x ni takriban ongezeko la asilimia katika chaguo za kukokotoa (juu au chini) linalolingana na ongezeko la 1% la kigezo huru. Wanauchumi hupima usikivu, au unyeti, wa watumiaji kwa mabadiliko ya bei ya bidhaa kwa kutumia dhana ya unyumbufu wa bei. Mahitaji ya baadhi ya bidhaa yanajulikana na unyeti wa jamaa wa watumiaji kwa mabadiliko ya bei, mabadiliko madogo katika bei husababisha mabadiliko makubwa katika kiasi cha kununuliwa. Mahitaji ya bidhaa hizo huitwa kiasi elastic au kubadilika tu. Kwa bidhaa zingine, watumiaji hawajali mabadiliko ya bei, ambayo ni, mabadiliko makubwa ya bei husababisha mabadiliko madogo tu katika idadi ya ununuzi. Katika hali kama hizo, mahitaji kiasi inelastic au tu inelastic. Muda kikamilifu inelastic mahitaji inamaanisha hali mbaya zaidi ambapo mabadiliko ya bei hayasababishi mabadiliko yoyote katika kiasi kinachohitajika. Mfano ni hitaji la wagonjwa wenye kisukari kali kwa insulini au mahitaji ya waraibu wa dawa za heroini. Na kinyume chake, wakati, kwa upunguzaji mdogo wa bei, wanunuzi huongeza ununuzi wao kwa kikomo cha uwezo wao, basi tunasema kwamba mahitaji ni. elastic kabisa.
Utendaji uliokithiri
Chaguo za kukokotoa y=f(x) huitwa kuongezeka (kupungua) kwa muda fulani ikiwa kwa x 1< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).
Ikiwa chaguo za kukokotoa zinazoweza kutofautishwa y = f(x) kwenye sehemu huongezeka (hupungua), basi deivative yake kwenye sehemu hii f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).
Nukta x o kuitwa kiwango cha juu cha eneo (kiwango cha chini) ya kazi f(x) ikiwa kuna ujirani wa uhakika x o, kwa pointi zote ambazo ukosefu wa usawa f(x) £ f(x o) (f(x) ³ f(x o)) ni kweli.
Pointi za juu na za chini zinaitwa pointi kali, na maadili ya kazi katika pointi hizi ni yake uliokithiri.
Masharti ya lazima kwa uliokithiri. Ikiwa uhakika x o ni sehemu ya mwisho ya chaguo za kukokotoa f(x), basi ama f ¢(x o) = 0, au f ¢(x o) haipo. Pointi kama hizo zinaitwa kukosoa, ambapo kazi yenyewe inafafanuliwa katika hatua muhimu. Upeo wa kazi unapaswa kutafutwa kati ya pointi zake muhimu.
Hali ya kwanza ya kutosha. Hebu x o- hatua muhimu. Ikiwa f ¢ (x) wakati wa kupitia hatua x o hubadilisha ishara ya kuongeza hadi minus, kisha kwenye uhakika x o kazi ina kiwango cha juu, vinginevyo ina kiwango cha chini. Ikiwa derivative haibadilishi ishara wakati unapitia hatua muhimu, basi kwa uhakika x o hakuna uliokithiri.
Hali ya pili ya kutosha. Acha chaguo la kukokotoa f(x) liwe na derivative
f ¢ (x) katika kitongoji cha uhakika x o na derivative ya pili kwa uhakika x o. Ikiwa f ¢(x o) = 0, >0 (<0), то точка x o ni kiwango cha chini zaidi (kiwango cha juu) cha eneo la chaguo za kukokotoa f(x). Ikiwa =0, basi lazima mtu atumie hali ya kwanza ya kutosha au ahusishe derivatives ya juu.
Kwenye sehemu, chaguo la kukokotoa y = f(x) linaweza kufikia thamani yake ya chini au ya juu zaidi katika sehemu muhimu au kwenye miisho ya sehemu.
Mfano 22. Pata mwisho wa chaguo za kukokotoa f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Suluhisho. Kwa kuwa f ¢ (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), basi pointi muhimu za kazi x 1 \u003d 2 na x 2 \u003d 3. Alama za juu zinaweza kuwa katika pointi hizi tu. Tangu wakati wa kupitia hatua x 1 \u003d 2, derivative hubadilisha ishara kutoka kwa pamoja hadi minus, basi katika hatua hii kazi ina kiwango cha juu. Wakati wa kupita kwa uhakika x 2 \u003d 3, mabadiliko ya derivative ishara kutoka minus hadi plus, kwa hiyo, katika hatua x 2 \u003d 3, kazi ina kiwango cha chini. Kuhesabu maadili ya kazi katika pointi
x 1 = 2 na x 2 = 3, tunapata upeo wa chaguo za kukokotoa: upeo f(2) = 14 na kiwango cha chini f(3) = 13.
Mfano 23. Ni muhimu kujenga eneo la mstatili karibu na ukuta wa mawe ili imefungwa na mesh ya waya pande tatu, na inaambatana na ukuta upande wa nne. Kwa hili kuna a mita za mstari wa gridi ya taifa. Je, tovuti itakuwa na eneo kubwa zaidi kwa uwiano gani?
Suluhisho. Onyesha pande za tovuti kupitia x na y. Eneo la tovuti ni S = xy. Hebu y ni urefu wa upande ulio karibu na ukuta. Kisha, kwa hali, usawa 2x + y = lazima ushikilie. Kwa hiyo, y = a - 2x na S = x (a - 2x), ambapo 0 £ x £ a/2 (urefu na upana wa eneo hauwezi kuwa mbaya). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 kwa x = a/4, kutoka wapi
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Kwa kuwa x = a/4 ndio nukta muhimu pekee, wacha tuangalie ikiwa ishara ya derivative inabadilika tunapopitia hatua hii. Kwa x< a/4 S ¢ >0, na kwa x >a/4 S ¢<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).
Kwa kuwa S inaendelea na thamani zake katika ncha za S(0) na S(a/2) ni sawa na sifuri, basi thamani iliyopatikana itakuwa thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa. Kwa hivyo, uwiano wa kipengele unaofaa zaidi wa tovuti chini ya masharti yaliyotolewa ya tatizo ni y = 2x.
Mfano 24. Inahitajika kufanya tank iliyofungwa ya cylindrical yenye uwezo wa V=16p »50 m 3. Je, ni vipimo gani vya tank (radius R na urefu H) ili kutumia kiasi kidogo cha nyenzo kwa utengenezaji wake?
Suluhisho. Jumla ya eneo la silinda ni S = 2pR (R+H). Tunajua kiasi cha silinda V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2. Kwa hiyo, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Tunapata derivative ya kazi hii:
S¢ (R) = 2p (2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S ¢(R) = 0 kwa R 3 = 8, kwa hiyo,
R = 2, H = 16/4 = 4.
Kozi ya video "Pata A" inajumuisha mada zote muhimu kwa kufaulu kwa mtihani wa hisabati kwa alama 60-65. Kabisa kazi zote 1-13 za Profaili TUMIA katika hisabati. Inafaa pia kwa kupitisha MATUMIZI ya Msingi katika hisabati. Ikiwa unataka kupitisha mtihani na pointi 90-100, unahitaji kutatua sehemu ya 1 katika dakika 30 na bila makosa!
Kozi ya maandalizi ya mtihani wa darasa la 10-11, na vile vile kwa walimu. Kila kitu unachohitaji kutatua sehemu ya 1 ya mtihani katika hisabati (matatizo 12 ya kwanza) na tatizo la 13 (trigonometry). Na hii ni zaidi ya alama 70 kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja, na hakuna mwanafunzi wa alama mia au mwanadamu anayeweza kufanya bila wao.
Nadharia zote zinazohitajika. Ufumbuzi wa haraka, mitego na siri za mtihani. Majukumu yote muhimu ya sehemu ya 1 kutoka kwa Benki ya majukumu ya FIPI yamechanganuliwa. Kozi hiyo inatii kikamilifu mahitaji ya USE-2018.
Kozi hiyo ina mada 5 kubwa, masaa 2.5 kila moja. Kila mada inatolewa kutoka mwanzo, kwa urahisi na kwa uwazi.
Mamia ya kazi za mitihani. Matatizo ya maandishi na nadharia ya uwezekano. Rahisi na rahisi kukumbuka algorithms ya utatuzi wa shida. Jiometri. Nadharia, nyenzo za kumbukumbu, uchambuzi wa aina zote za kazi za USE. Stereometry. Ujanja wa kusuluhisha, karatasi muhimu za kudanganya, ukuzaji wa mawazo ya anga. Trigonometry kutoka mwanzo - kwa kazi 13. Kuelewa badala ya cramming. Maelezo ya kuona ya dhana ngumu. Aljebra. Mizizi, nguvu na logarithms, kazi na derivative. Msingi wa kutatua shida ngumu za sehemu ya 2 ya mtihani.
