Denominator ya maendeleo ya kijiometri inaonyeshwa na fomula ya metrology. Maendeleo ya kijiometri kwa mifano

Maendeleo ya kijiometri sio muhimu sana katika hisabati kuliko hesabu. Ukuaji wa kijiometri ni mlolongo kama huu wa nambari b1, b2,..., b[n] kila mwanachama anayefuata hupatikana kwa kuzidisha moja ya awali kwa nambari isiyobadilika. Nambari hii, ambayo pia ina sifa ya kiwango cha ukuaji au kupungua kwa maendeleo, inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri na kuashiria

Kwa mgawo kamili wa maendeleo ya kijiometri, pamoja na denominator, ni muhimu kujua au kuamua muda wake wa kwanza. Kwa thamani chanya ya denominata, uendelezaji ni mfuatano wa monotoni, na ikiwa mfuatano huu wa nambari unapungua kwa monotoni na kuongezeka kwa monotoni wakati. Kesi wakati dhehebu ni sawa na moja haizingatiwi katika mazoezi, kwa kuwa tuna mlolongo wa nambari zinazofanana, na muhtasari wao sio wa kupendeza.

Muda wa jumla wa maendeleo ya kijiometri kuhesabiwa kulingana na formula

Jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri kuamuliwa na formula

Hebu tuchunguze ufumbuzi wa matatizo ya maendeleo ya kijiometri ya classical. Wacha tuanze na rahisi kuelewa.

Mfano 1. Muda wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri ni 27, na denominator yake ni 1/3. Pata masharti sita ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri.

Suluhisho: Tunaandika hali ya tatizo katika fomu

Kwa mahesabu, tunatumia fomula kwa mwanachama wa nth wa maendeleo ya kijiometri

Kulingana na hilo, tunapata wanachama wasiojulikana wa maendeleo

Kama unaweza kuona, kuhesabu masharti ya maendeleo ya kijiometri sio ngumu. Maendeleo yenyewe yataonekana kama hii

Mfano 2. Wanachama watatu wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri wanapewa: 6; -12; 24. Tafuta dhehebu na muhula wa saba.

Suluhisho: Tunahesabu denominator ya maendeleo ya kijiometri kulingana na ufafanuzi wake

Tulipata mabadiliko ya kijiometri ambayo kiashiria chake ni -2. Muda wa saba unahesabiwa kwa fomula

Juu ya kazi hii ni kutatuliwa.

Mfano 3. Maendeleo ya kijiometri hutolewa na wajumbe wake wawili . Tafuta muhula wa kumi wa mwendelezo.

Suluhisho:

Wacha tuandike maadili uliyopewa kupitia fomula

Kwa mujibu wa sheria, itakuwa muhimu kupata denominator, na kisha kutafuta thamani inayotakiwa, lakini kwa muda wa kumi tunayo.

Fomula hiyo hiyo inaweza kupatikana kwa msingi wa udanganyifu rahisi na data ya pembejeo. Tunagawanya muhula wa sita wa safu na mwingine, kama matokeo tunapata

Ikiwa thamani inayotokana imeongezeka kwa muda wa sita, tunapata ya kumi

Hivyo, kwa matatizo hayo, kwa msaada wa mabadiliko rahisi kwa njia ya haraka, unaweza kupata suluhisho sahihi.

Mfano 4. Maendeleo ya kijiometri hutolewa na fomula za kawaida

Tafuta dhehebu la maendeleo ya kijiometri na jumla ya maneno sita ya kwanza.

Suluhisho:

Tunaandika data iliyotolewa kwa namna ya mfumo wa equations

Onyesha dhehebu kwa kugawa mlinganyo wa pili na wa kwanza

Tafuta muhula wa kwanza wa mwendelezo kutoka kwa mlinganyo wa kwanza

Kokotoa istilahi tano zifuatazo ili kupata jumla ya maendeleo ya kijiometri

Hisabati ni niniwatu hudhibiti asili na wao wenyewe.

Mwanahisabati wa Soviet, msomi A.N. Kolmogorov

Maendeleo ya kijiometri.

Pamoja na kazi za maendeleo ya hesabu, kazi zinazohusiana na dhana ya maendeleo ya kijiometri pia ni ya kawaida katika majaribio ya kuingia katika hisabati. Ili kutatua matatizo hayo kwa mafanikio, unahitaji kujua mali ya maendeleo ya kijiometri na kuwa na ujuzi mzuri wa kutumia.

Makala hii imejitolea kwa uwasilishaji wa mali kuu ya maendeleo ya kijiometri. Pia hutoa mifano ya kutatua matatizo ya kawaida, zilizokopwa kutoka kwa kazi za majaribio ya kuingia katika hisabati.

Wacha tuangalie mali kuu ya maendeleo ya kijiometri na tukumbuke fomula na taarifa muhimu zaidi., kuhusishwa na dhana hii.

Ufafanuzi. Mlolongo wa nambari huitwa maendeleo ya kijiometri ikiwa kila nambari zake, kuanzia ya pili, ni sawa na ya awali, ikiongezeka kwa idadi sawa. Nambari inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

Kwa maendeleo ya kijiometrifomula ni halali

, (1)

wapi. Fomula (1) inaitwa fomula ya neno la jumla la maendeleo ya kijiometri, na fomula (2) ni mali kuu ya maendeleo ya kijiometri: kila mwanachama wa maendeleo sanjari na maana ya kijiometri ya wanachama wake jirani na .

Kumbuka, kwamba ni kwa sababu ya mali hii kwamba maendeleo katika swali inaitwa "kijiometri".

Fomula (1) na (2) hapo juu zimefupishwa kama ifuatavyo:

, (3)

Ili kuhesabu jumla kwanza wanachama wa maendeleo ya kijiometrifomula inatumika

Ikiwa tunateua

wapi. Kwa kuwa , fomula (6) ni jumla ya fomula (5).

Katika kesi wakati na maendeleo ya kijiometriinapungua sana. Ili kuhesabu jumlaya wanachama wote wa maendeleo ya kijiometri inayopungua sana, fomula hutumiwa

. (7)

Kwa mfano , kwa kutumia fomula (7), mtu anaweza kuonyesha, nini

wapi. Usawa huu unapatikana kutokana na fomula (7) mradi , (usawa wa kwanza) na , (usawa wa pili).

Nadharia. Ikiwa, basi

Ushahidi. Ikiwa, basi,

Nadharia imethibitishwa.

Hebu tuendelee kuzingatia mifano ya kutatua matatizo juu ya mada "Maendeleo ya kijiometri".

Mfano 1 Imetolewa:, na. Tafuta .

Suluhisho. Ikiwa formula (5) inatumika, basi

Jibu:.

Mfano 2 Hebu na. Tafuta .

Suluhisho. Kwa kuwa na , tunatumia fomula (5), (6) na kupata mfumo wa milinganyo

Ikiwa equation ya pili ya mfumo (9) imegawanywa na ya kwanza, basi au. Kutoka kwa hii inafuata . Hebu tuchunguze kesi mbili.

1. Kama, basi kutoka kwa equation ya kwanza ya mfumo (9) tunayo.

2. Ikiwa, basi.

Mfano 3 Hebu, na. Tafuta .

Suluhisho. Inafuata kutoka kwa fomula (2) hiyo au . Tangu, basi au.

Kwa hali. Hata hivyo, kwa hiyo. Kwa sababu na, basi hapa tuna mfumo wa milinganyo

Ikiwa equation ya pili ya mfumo imegawanywa na ya kwanza, basi au.

Kwa kuwa, equation ina mzizi mmoja unaofaa. Katika kesi hii, equation ya kwanza ya mfumo inamaanisha.

Kwa kuzingatia formula (7), tunapata.

Jibu:.

Mfano 4 Imetolewa: na. Tafuta .

Suluhisho. Tangu, basi.

Kwa sababu, basi au

Kulingana na fomula (2), tunayo . Katika suala hili, kutoka kwa usawa (10) tunapata au .

Walakini, kwa hali, kwa hivyo.

Mfano 5 Inajulikana kuwa. Tafuta .

Suluhisho. Kulingana na nadharia, tuna usawa mbili

Tangu, basi au. Kwa sababu, basi.

Jibu:.

Mfano 6 Imetolewa: na. Tafuta .

Suluhisho. Kwa kuzingatia formula (5), tunapata

Tangu, basi. Tangu, na, basi.

Mfano 7 Hebu na. Tafuta .

Suluhisho. Kulingana na fomula (1), tunaweza kuandika

Kwa hiyo, tuna au. Inajulikana kuwa na, kwa hivyo na.

Jibu:.

Mfano 8 Tafuta dhehebu ya ukuaji wa kijiometri unaopungua usio na mwisho ikiwa

na.

Suluhisho. Kutoka kwa formula (7) inafuata na . Kutoka hapa na kutoka kwa hali ya tatizo, tunapata mfumo wa equations

Ikiwa equation ya kwanza ya mfumo ni mraba, na kisha ugawanye mlinganyo unaotokana na mlinganyo wa pili, basi tunapata

Au .

Jibu:.

Mfano 9 Pata maadili yote ambayo mlolongo , , ni maendeleo ya kijiometri.

Suluhisho. Hebu, na. Kwa mujibu wa formula (2), ambayo inafafanua mali kuu ya maendeleo ya kijiometri, tunaweza kuandika au.

Kuanzia hapa tunapata equation ya quadratic, ambao mizizi yake ni na.

Wacha tuangalie: ikiwa, kisha , na ; ikiwa , basi , na .

Katika kesi ya kwanza tunayo na , na katika pili - na .

Jibu:,.

Mfano 10kutatua equation

, (11)

wapi na.

Suluhisho. Upande wa kushoto wa mlingano (11) ni jumla ya maendeleo ya kijiometri yanayopungua sana, ambapo na , zinazotolewa: na .

Kutoka kwa formula (7) inafuata, nini . Katika suala hili, equation (11) inachukua fomu au . mizizi inayofaa quadratic equation ni

Jibu:.

Mfano 11. P mlolongo wa nambari chanyahuunda maendeleo ya hesabu, a - maendeleo ya kijiometri, ina uhusiano gani na . Tafuta .

Suluhisho. Kwa sababu mlolongo wa hesabu, basi (mali kuu ya maendeleo ya hesabu). Kwa sababu ya, basi au. Hii ina maana, kwamba maendeleo ya kijiometri ni. Kulingana na formula (2), kisha tunaandika hivyo.

Tangu na, basi . Katika hali hiyo, usemi inachukua fomu au. Kwa masharti, kwa hivyo kutoka kwa equationtunapata suluhu la kipekee la tatizo linalozingatiwa, i.e. .

Jibu:.

Mfano 12. Hesabu jumla

. (12)

Suluhisho. Zidisha pande zote mbili za usawa (12) kwa 5 na upate

Ikiwa tutaondoa (12) kutoka kwa usemi unaosababishwa, basi

au .

Ili kukokotoa, tunabadilisha thamani kuwa fomula (7) na kupata . Tangu, basi.

Jibu:.

Mifano ya kutatua matatizo iliyotolewa hapa itakuwa muhimu kwa waombaji katika maandalizi ya mitihani ya kuingia. Kwa utafiti wa kina wa njia za kutatua shida, kuhusishwa na maendeleo ya kijiometri, unaweza kutumia mafunzo kutoka kwenye orodha ya fasihi iliyopendekezwa.

1. Mkusanyiko wa kazi katika hisabati kwa waombaji kwa vyuo vikuu vya kiufundi / Ed. M.I. Scanavi. - M.: Mir i Obrazovanie, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Hisabati kwa wanafunzi wa shule ya upili: sehemu za ziada za mtaala wa shule. - M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Kozi kamili ya hisabati ya msingi katika kazi na mazoezi. Kitabu cha 2: Mifuatano ya Nambari na Maendeleo. - M.: Editus, 2015. - 208 p.

Je, una maswali yoyote?

Ili kupata msaada wa mwalimu - kujiandikisha.

tovuti, na kunakili kamili au sehemu ya nyenzo, kiunga cha chanzo kinahitajika.

Tayari katika Misri ya kale, hawakujua tu hesabu, lakini pia maendeleo ya kijiometri. Hapa, kwa mfano, kuna kazi kutoka kwa mafunjo ya Rhind: “Nyuso saba zina paka saba; kila paka hula panya saba, kila panya hula masuke saba ya mahindi, kila suke linaweza kukua vipimo saba vya shayiri. Nambari katika mfululizo huu ni kubwa kiasi gani na jumla yake?

Mchele. 1. Tatizo la maendeleo ya kijiometri ya Misri ya kale

Kazi hii ilirudiwa mara nyingi kwa tofauti tofauti kati ya watu wengine kwa nyakati zingine. Kwa mfano, katika maandishi katika karne ya XIII. "Kitabu cha abacus" cha Leonardo wa Pisa (Fibonacci) kina shida ambayo wanawake wazee 7 huonekana wakienda Roma (kwa wazi ni mahujaji), ambayo kila mmoja ana nyumbu 7, kila mmoja akiwa na mifuko 7, ambayo kila mmoja wao ni mahujaji. ina mikate 7, ambayo kila moja ina visu 7, ambayo kila moja iko kwenye sheath 7. Tatizo linauliza kuna vitu vingapi.

Jumla ya wanachama wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Njia hii inaweza kuthibitishwa, kwa mfano, kama ifuatavyo: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Wacha tuongeze nambari b 1 q n kwa S n na tupate:

Kwa hiyo S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), na tunapata formula muhimu.

Tayari kwenye moja ya vidonge vya udongo vya Babeli ya Kale, iliyoanzia karne ya VI. BC e., ina jumla ya 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Ni kweli, kama katika visa vingine vingi, hatujui ni wapi ukweli huu ulijulikana kwa Wababiloni. .

Ukuaji wa haraka wa maendeleo ya kijiometri katika tamaduni kadhaa, haswa, nchini India, hutumiwa mara kwa mara kama ishara ya kuona ya ukubwa wa ulimwengu. Katika hadithi inayojulikana juu ya kuonekana kwa chess, mtawala humpa mvumbuzi wao fursa ya kuchagua tuzo mwenyewe, na anauliza idadi kama hiyo ya nafaka za ngano kama itapatikana ikiwa itawekwa kwenye seli ya kwanza ya chessboard. , mbili kwa pili, nne kwa tatu, nane kwa nne, na nk, kila wakati idadi inaongezeka mara mbili. Vladyka alidhani kwamba ilikuwa, zaidi, magunia machache, lakini alihesabu vibaya. Ni rahisi kuona kwamba kwa mraba wote 64 wa chessboard mvumbuzi anapaswa kupokea (2 64 - 1) nafaka, ambayo inaonyeshwa kwa nambari ya tarakimu 20; hata ikiwa uso mzima wa Dunia ungepandwa, ingechukua angalau miaka 8 kukusanya idadi inayohitajika ya mbegu. Hadithi hii wakati mwingine hufasiriwa kama ishara ya uwezekano usio na kikomo uliofichwa kwenye mchezo wa chess.

Ukweli kwamba nambari hii ina tarakimu 20 ni rahisi kuona:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (hesabu sahihi zaidi inatoa 1.84 10 19). Lakini ninajiuliza ikiwa unaweza kujua nambari hii inaisha na nambari gani?

Uendelezaji wa kijiometri unaongezeka ikiwa kipunguzo ni kikubwa kuliko 1 katika thamani kamili, au kinapungua ikiwa ni chini ya moja. Katika kesi ya mwisho, nambari q n inaweza kuwa ndogo kiholela kwa n kubwa ya kutosha. Ingawa kielelezo kinaongezeka haraka bila kutarajiwa, kielelezo kinachopungua hupungua kwa haraka.

Kubwa n, na dhaifu nambari q n hutofautiana na sifuri, na karibu jumla ya n washiriki wa maendeleo ya kijiometri S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) hadi nambari S \u003d b 1 / (1 - q) . (Kwa hivyo, kwa mfano, F. Viet). Nambari S inaitwa jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana. Hata hivyo, kwa karne nyingi swali la nini maana ya muhtasari wa maendeleo YOTE ya kijiometri, pamoja na idadi isiyo na kikomo ya maneno, haikuwa wazi vya kutosha kwa wanahisabati.

Kupungua kwa maendeleo ya kijiometri kunaweza kuonekana, kwa mfano, katika aporias ya Zeno "Biting" na "Achilles na kobe". Katika kesi ya kwanza, inaonyeshwa wazi kwamba barabara nzima (kudhani urefu 1) ni jumla ya idadi isiyo na kipimo ya sehemu 1/2, 1/4, 1/8, nk. Hii, bila shaka, ndivyo ilivyo. kutoka kwa mtazamo wa mawazo juu ya maendeleo ya kijiometri isiyo na mwisho. Na bado - hii inawezaje kuwa?

Katika aporia kuhusu Achilles, hali ni ngumu zaidi, kwa sababu hapa denominator ya maendeleo si sawa na 1/2, lakini kwa idadi nyingine. Hebu, kwa mfano, Achilles kukimbia kwa kasi v, kobe huenda kwa kasi u, na umbali wa awali kati yao ni l. Achilles itaendesha umbali huu kwa wakati l / v , kobe atasonga umbali lu / v wakati huu. Wakati Achilles anapitia sehemu hii, umbali kati yake na kobe utakuwa sawa na l (u / v) 2, nk. Inabadilika kuwa kupata turtle inamaanisha kupata jumla ya maendeleo ya kijiometri ambayo yanapungua sana na ya kwanza. neno l na dhehebu u / v. Jumla hii - sehemu ambayo Achilles hatimaye itakimbilia mahali pa mkutano na turtle - ni sawa na l / (1 - u / v) \u003d lv / (v - u) . Lakini, tena, jinsi matokeo haya yanapaswa kufasiriwa na kwa nini ina maana yoyote, haikuwa wazi sana kwa muda mrefu.

Jumla ya maendeleo ya kijiometri ilitumiwa na Archimedes wakati wa kuamua eneo la sehemu ya parabola. Acha sehemu iliyotolewa ya kiambatanisho ifungwe na chord AB na acha tanjiti katika nukta D ya kiambatanisho iwe sambamba na AB . Acha C iwe katikati ya AB , E katikati ya AC , F katikati ya CB . Chora mistari sambamba na DC kupitia pointi A , E , F , B ; acha tanjenti inayochorwa kwa uhakika D , mistari hii ikatike kwa pointi K , L , M , N . Wacha pia tuchore sehemu za AD na DB. Hebu mstari wa EL uingie mstari wa AD kwenye hatua ya G, na parabola kwenye hatua H; line FM inakatiza mstari wa DB kwa uhakika Q, na parabola katika sehemu ya R. Kwa mujibu wa nadharia ya jumla ya sehemu za conic, DC ni kipenyo cha parabola (yaani, sehemu inayofanana na mhimili wake); it na tanjiti kwa uhakika D inaweza kutumika kama shoka za kuratibu x na y, ambamo mlinganyo wa parabola umeandikwa kama y 2 \u003d 2px (x ni umbali kutoka D hadi hatua yoyote ya kipenyo fulani, y ni urefu wa a. sehemu sambamba na tanjiti fulani kutoka hatua hii ya kipenyo hadi sehemu fulani kwenye parabola yenyewe).

Kwa mujibu wa equation ya parabola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, na tangu DK = 2DL, basi KA = 4LH. Tangu KA = 2LG , LH = HG . Eneo la sehemu ya ADB ya parabola ni sawa na eneo la pembetatu ΔADB na maeneo ya sehemu za AHD na DRB pamoja. Kwa upande wake, eneo la sehemu ya AHD ni sawa na eneo la pembetatu AHD na sehemu zilizobaki AH na HD, na kila moja ambayo operesheni hiyo inaweza kufanywa - imegawanywa katika pembetatu (Δ) na. sehemu mbili zilizobaki (), nk.

Eneo la pembetatu ΔAHD ni sawa na nusu ya eneo la pembetatu ΔALD (zina msingi wa kawaida wa AD, na urefu hutofautiana kwa mara 2), ambayo, kwa upande wake, ni sawa na nusu ya eneo la pembetatu ΔAKD, na kwa hivyo nusu ya eneo la pembetatu ΔACD. Kwa hivyo, eneo la pembetatu ΔAHD ni sawa na robo ya eneo la pembetatu ΔACD. Kadhalika, eneo la pembetatu ΔDRB ni sawa na robo ya eneo la pembetatu ΔDFB. Kwa hivyo, maeneo ya pembetatu ∆AHD na ∆DRB, zikichukuliwa pamoja, ni sawa na robo ya eneo la pembetatu ∆ADB. Kurudia operesheni hii kama inavyotumika kwa sehemu AH , HD , DR na RB pia itachagua pembetatu kutoka kwao, eneo ambalo, likichukuliwa pamoja, litakuwa chini ya mara 4 kuliko eneo la pembetatu ΔAHD na ΔDRB , kuchukuliwa pamoja, na kwa hiyo mara 16 chini, kuliko eneo la pembetatu ΔADB . Nakadhalika:

Kwa hivyo, Archimedes alithibitisha kwamba "kila sehemu iliyofungwa kati ya mstari wa moja kwa moja na parabola ni theluthi nne ya pembetatu, ikiwa na msingi sawa na urefu sawa."

Kiwango cha kwanza

Maendeleo ya kijiometri. Mwongozo wa kina na mifano (2019)

Mfuatano wa nambari

Basi tukae chini tuanze kuandika baadhi ya namba. Kwa mfano:

Unaweza kuandika nambari yoyote, na kunaweza kuwa na wengi unavyopenda (kwa upande wetu, wao). Haijalishi ni nambari ngapi tunazoandika, tunaweza kusema ni nani kati yao wa kwanza, ambayo ni ya pili, na kadhalika hadi ya mwisho, ambayo ni, tunaweza kuhesabu. Huu ni mfano wa mlolongo wa nambari:

Mfuatano wa nambari ni seti ya nambari, ambayo kila moja inaweza kupewa nambari ya kipekee.

Kwa mfano, kwa mlolongo wetu:

Nambari iliyokabidhiwa ni maalum kwa nambari moja tu ya mlolongo. Kwa maneno mengine, hakuna nambari tatu za pili katika mlolongo. Nambari ya pili (kama nambari -th) huwa sawa kila wakati.

Nambari iliyo na nambari inaitwa -th mwanachama wa mlolongo.

Kwa kawaida tunaita mfuatano mzima baadhi ya herufi (kwa mfano,), na kila mwanachama wa mfuatano huu - herufi sawa na faharasa sawa na nambari ya mwanachama huyu: .

Kwa upande wetu:

Aina za kawaida za maendeleo ni hesabu na kijiometri. Katika mada hii, tutazungumza juu ya aina ya pili - maendeleo ya kijiometri.

Kwa nini tunahitaji maendeleo ya kijiometri na historia yake.

Hata katika nyakati za kale, mwanahisabati Mwitaliano, mtawa Leonardo wa Pisa (aliyejulikana zaidi kuwa Fibonacci), alishughulikia mahitaji halisi ya biashara. Mtawa huyo alikabiliwa na kazi ya kuamua ni hesabu gani ndogo zaidi ya uzani inayoweza kutumiwa kupima bidhaa? Katika maandishi yake, Fibonacci inathibitisha kwamba mfumo huo wa uzito ni mojawapo: Hii ni mojawapo ya hali za kwanza ambazo watu walipaswa kukabiliana na maendeleo ya kijiometri, ambayo labda umesikia kuhusu na una angalau wazo la jumla. Mara tu unapoelewa mada kikamilifu, fikiria kwa nini mfumo kama huo ni bora?

Kwa sasa, katika mazoezi ya maisha, maendeleo ya kijiometri yanaonyeshwa wakati wa kuwekeza fedha katika benki, wakati kiasi cha riba kinashtakiwa kwa kiasi kilichokusanywa katika akaunti kwa kipindi cha awali. Kwa maneno mengine, ikiwa utaweka pesa kwenye amana ya muda katika benki ya akiba, basi kwa mwaka amana itaongezeka kutoka kwa kiasi cha awali, i.e. kiasi kipya kitakuwa sawa na mchango unaozidishwa na. Katika mwaka mwingine, kiasi hiki kitaongezeka kwa, i.е. kiasi kilichopatikana wakati huo kinazidishwa tena na kadhalika. Hali kama hiyo inaelezewa katika shida za kuhesabu kinachojulikana maslahi ya kiwanja- asilimia inachukuliwa kila wakati kutoka kwa kiasi kilicho kwenye akaunti, kwa kuzingatia maslahi ya awali. Tutazungumza juu ya kazi hizi baadaye kidogo.

Kuna matukio mengi rahisi zaidi ambapo maendeleo ya kijiometri hutumiwa. Kwa mfano, kuenea kwa mafua: mtu mmoja aliambukiza mtu, wao, kwa upande wake, waliambukiza mtu mwingine, na hivyo wimbi la pili la maambukizi - mtu, na wao, kwa upande wake, waliambukiza mwingine ... na kadhalika .. .

Kwa njia, piramidi ya kifedha, MMM sawa, ni hesabu rahisi na kavu kulingana na mali ya maendeleo ya kijiometri. Inavutia? Hebu tufikirie.

Maendeleo ya kijiometri.

Wacha tuseme tunayo mlolongo wa nambari:

Utajibu mara moja kuwa ni rahisi na jina la mlolongo huo ni maendeleo ya hesabu na tofauti ya wanachama wake. Vipi kuhusu kitu kama hiki:

Ukiondoa nambari iliyotangulia kutoka kwa nambari inayofuata, basi utaona kuwa kila wakati unapata tofauti mpya (na kadhalika), lakini mlolongo upo na ni rahisi kugundua - kila nambari inayofuata ni kubwa mara kuliko ile iliyopita. !

Aina hii ya mlolongo inaitwa maendeleo ya kijiometri na imewekwa alama.

Maendeleo ya kijiometri () ni mlolongo wa nambari, muda wa kwanza ambao ni tofauti na sifuri, na kila neno, kuanzia la pili, ni sawa na la awali, limeongezeka kwa idadi sawa. Nambari hii inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

Vikwazo ambavyo muhula wa kwanza ( ) si sawa na sio nasibu. Wacha tuseme kwamba hakuna, na muhula wa kwanza bado ni sawa, na q ni, hmm .. basi, basi inageuka:

Kubali kuwa hii sio maendeleo.

Kama unavyoelewa, tutapata matokeo sawa ikiwa ni nambari yoyote isipokuwa sifuri, lakini. Katika visa hivi, hakutakuwa na maendeleo, kwani safu nzima ya nambari itakuwa zero zote, au nambari moja, na sifuri zingine zote.

Sasa hebu tuzungumze kwa undani zaidi juu ya denominator ya maendeleo ya kijiometri, yaani, kuhusu.

Wacha turudie: - hii ni nambari, ni mara ngapi kila neno linalofuata linabadilika maendeleo ya kijiometri.

Unafikiri inaweza kuwa nini? Hiyo ni kweli, chanya na hasi, lakini sio sifuri (tulizungumza juu ya hii juu kidogo).

Wacha tuseme tunayo chanya. Hebu kwa upande wetu, a. Muhula wa pili ni nini na? Unaweza kujibu kwa urahisi kwamba:

Sawa. Ipasavyo, ikiwa, basi washiriki wote wanaofuata wa maendeleo wana ishara sawa - wao chanya.

Je, ikiwa ni hasi? Kwa mfano, a. Muhula wa pili ni nini na?

Ni hadithi tofauti kabisa

Jaribu kuhesabu muda wa maendeleo haya. Ulipata kiasi gani? Nimewahi. Kwa hivyo, ikiwa, basi ishara za masharti ya maendeleo ya kijiometri hubadilishana. Hiyo ni, ikiwa unaona maendeleo na ishara zinazobadilishana kwa wanachama wake, basi denominator yake ni mbaya. Ujuzi huu unaweza kukusaidia kujijaribu wakati wa kutatua shida kwenye mada hii.

Sasa wacha tufanye mazoezi kidogo: jaribu kuamua ni mlolongo wa nambari ni maendeleo ya kijiometri, na ni ipi ya hesabu:

Nimeelewa? Linganisha majibu yetu:

• Maendeleo ya kijiometri - 3, 6.
• Maendeleo ya hesabu - 2, 4.
• Sio hesabu au maendeleo ya kijiometri - 1, 5, 7.

Wacha turudi kwenye mwendelezo wetu wa mwisho, lakini wacha tujaribu kutafuta muda wake kwa njia sawa na katika hesabu. Kama unavyoweza kukisia, kuna njia mbili za kuipata.

Tunazidisha kila muhula kwa mfululizo.

Kwa hivyo, mwanachama -th wa maendeleo ya kijiometri iliyoelezwa ni sawa na.

Kama unavyokisia tayari, sasa wewe mwenyewe utapata formula ambayo itakusaidia kupata mshiriki yeyote wa maendeleo ya kijiometri. Au tayari umejiletea mwenyewe, ukielezea jinsi ya kupata mshiriki kwa hatua? Ikiwa ndivyo, basi angalia usahihi wa hoja yako.

Wacha tuonyeshe hili kwa mfano wa kupata -th mwanachama wa maendeleo haya:

Kwa maneno mengine:

Jipatie thamani ya mwanachama wa maendeleo fulani ya kijiometri.

Imetokea? Linganisha majibu yetu:

Zingatia kwamba ulipata nambari sawa kabisa na katika njia ya awali, tulipozidisha mfululizo kwa kila mwanachama wa awali wa maendeleo ya kijiometri.
Wacha tujaribu "kubinafsisha" formula hii - tunaileta kwa fomu ya jumla na kupata:

Fomula inayotokana ni kweli kwa thamani zote - chanya na hasi. Jiangalie mwenyewe kwa kuhesabu masharti ya maendeleo ya kijiometri na masharti yafuatayo: , a.

Je, ulihesabu? Wacha tulinganishe matokeo:

Kubali kwamba itawezekana kupata mshiriki wa mwendelezo kwa njia sawa na mwanachama, hata hivyo, kuna uwezekano wa kukokotoa vibaya. Na ikiwa tayari tumepata neno la th la maendeleo ya kijiometri, a, basi ni nini kinachoweza kuwa rahisi zaidi kuliko kutumia sehemu "iliyopunguzwa" ya formula.

Uendelezaji wa kijiometri unaopungua sana.

Hivi majuzi, tulizungumza juu ya kile kinachoweza kuwa kikubwa au chini ya sifuri, hata hivyo, kuna maadili maalum ambayo maendeleo ya kijiometri inaitwa. kupungua kabisa.

Unafikiri kwa nini ina jina kama hilo?
Kuanza, hebu tuandike baadhi ya maendeleo ya kijiometri inayojumuisha wanachama.
Hebu tuseme, basi:

Tunaona kwamba kila muhula unaofuata ni chini ya ule uliopita kwa nyakati, lakini kutakuwa na nambari yoyote? Unajibu mara moja - "hapana". Ndio maana kupungua kwa ukomo - hupungua, hupungua, lakini kamwe huwa sifuri.

Ili kuelewa wazi jinsi hii inaonekana kwa kuibua, hebu tujaribu kuchora grafu ya maendeleo yetu. Kwa hivyo, kwa upande wetu, formula inachukua fomu ifuatayo:

Kwenye chati, tumezoea kujenga utegemezi, kwa hivyo:

Kiini cha usemi hakijabadilika: katika ingizo la kwanza, tulionyesha utegemezi wa thamani ya mwanachama wa maendeleo ya kijiometri kwenye nambari yake ya kawaida, na katika ingizo la pili, tulichukua tu thamani ya mwanachama wa maendeleo ya kijiometri, na nambari ya ordinal iliteuliwa sio kama, lakini kama. Kinachobaki kufanya ni kupanga grafu.
Hebu tuone una nini. Hii ndio chati niliyopata:

Unaona? Kazi hupungua, huwa na sifuri, lakini haivuki kamwe, kwa hiyo inapungua sana. Wacha tuweke alama kwenye grafu, na wakati huo huo kuratibu na inamaanisha nini:

Jaribu kuonyesha kimkakati grafu ya maendeleo ya kijiometri ikiwa muhula wake wa kwanza pia ni sawa. Changanua ni tofauti gani na chati yetu ya awali?

Je, uliweza? Hii ndio chati niliyopata:

Sasa kwa kuwa umeelewa kikamilifu misingi ya mada ya maendeleo ya kijiometri: unajua ni nini, unajua jinsi ya kupata muda wake, na pia unajua ni nini maendeleo ya kijiometri ya kupungua kwa ukomo, hebu tuendelee kwenye mali yake kuu.

mali ya maendeleo ya kijiometri.

Je, unakumbuka mali ya wanachama wa maendeleo ya hesabu? Ndiyo, ndiyo, jinsi ya kupata thamani ya idadi fulani ya mwendelezo wakati kuna thamani za awali na zinazofuata za washiriki wa mwendelezo huu. Je, umekumbuka? Hii:

Sasa tunakabiliwa na swali sawa kwa masharti ya maendeleo ya kijiometri. Ili kupata fomula kama hiyo, wacha tuanze kuchora na kufikiria. Utaona, ni rahisi sana, na ukisahau, unaweza kuileta mwenyewe.

Hebu tuchukue maendeleo mengine rahisi ya kijiometri, ambayo tunajua na. Jinsi ya kupata? Kwa maendeleo ya hesabu, hii ni rahisi na rahisi, lakini ikoje hapa? Kwa kweli, hakuna chochote ngumu katika jiometri - unahitaji tu kuchora kila thamani tuliyopewa kulingana na fomula.

Unauliza, na sasa tufanye nini nayo? Ndiyo, rahisi sana. Kuanza, hebu tuonyeshe fomula hizi kwenye takwimu, na jaribu kufanya ghiliba kadhaa nazo ili kufikia thamani.

Tunachukua kutoka kwa nambari ambazo tumepewa, tutazingatia tu usemi wao kupitia fomula. Tunahitaji kupata thamani iliyoangaziwa katika rangi ya chungwa, tukijua maneno yaliyo karibu nayo. Wacha tujaribu kufanya vitendo anuwai nao, kama matokeo ambayo tunaweza kupata.

Nyongeza.
Wacha tujaribu kuongeza misemo miwili na tupate:

Kutoka kwa usemi huu, kama unavyoona, hatutaweza kuelezea kwa njia yoyote, kwa hivyo, tutajaribu chaguo jingine - kutoa.

Kutoa.

Kama unavyoona, hatuwezi kuelezea kutoka kwa hii pia, kwa hivyo, tutajaribu kuzidisha misemo hii kwa kila mmoja.

Kuzidisha.

Sasa angalia kwa uangalifu kile tulicho nacho, ukizidisha masharti ya maendeleo ya kijiometri tuliyopewa kwa kulinganisha na kile kinachohitajika kupatikana:

Nadhani ninazungumzia nini? Kwa usahihi, ili kuipata, tunahitaji kuchukua mzizi wa mraba wa nambari za maendeleo za kijiometri karibu na nambari inayotakiwa iliyozidishwa na kila mmoja:

Haya basi. Wewe mwenyewe uligundua mali ya maendeleo ya kijiometri. Jaribu kuandika fomula hii kwa fomu ya jumla. Imetokea?

Umesahau hali lini? Fikiria kwa nini ni muhimu, kwa mfano, jaribu kuhesabu mwenyewe, saa. Nini kinatokea katika kesi hii? Hiyo ni kweli, upuuzi kamili, kwani fomula inaonekana kama hii:

Ipasavyo, usisahau kizuizi hiki.

Sasa hebu tuhesabu ni nini

Jibu sahihi - ! Ikiwa haukusahau thamani ya pili inayowezekana wakati wa kuhesabu, basi wewe ni mtu mzuri na unaweza kuendelea na mafunzo mara moja, na ikiwa umesahau, soma kile kilichochambuliwa hapa chini na uangalie kwanini mizizi yote miwili inapaswa kuandikwa kwenye jibu. .

Wacha tuchore maendeleo yetu yote ya kijiometri - moja ikiwa na thamani, na nyingine yenye thamani, na tuangalie ikiwa zote mbili zina haki ya kuwepo:

Ili kuangalia ikiwa maendeleo kama haya ya kijiometri yapo au la, ni muhimu kuona ikiwa ni sawa kati ya wanachama wake wote waliopewa? Piga hesabu q kwa kesi ya kwanza na ya pili.

Unaona kwa nini tunapaswa kuandika majibu mawili? Kwa sababu ishara ya neno linalohitajika inategemea ikiwa ni chanya au hasi! Na kwa kuwa hatujui ni nini, tunahitaji kuandika majibu yote mawili na kuongeza na minus.

Sasa kwa kuwa umefahamu mambo makuu na kuamua fomula ya mali ya maendeleo ya kijiometri, pata, kujua na.

Linganisha majibu yako na yaliyo sahihi:

Unafikiria nini, ikiwa hatungepewa maadili ya washiriki wa maendeleo ya kijiometri karibu na nambari inayotaka, lakini sawa na hiyo. Kwa mfano, tunahitaji kupata, na kupewa na. Je, tunaweza kutumia fomula tuliyopata katika kesi hii? Jaribu kuthibitisha au kukanusha uwezekano huu kwa njia ile ile, ukielezea kila thamani inajumuisha nini, kama ulivyofanya wakati wa kupata fomula tangu mwanzo, na.
Ulipata nini?

Sasa angalia tena kwa makini.
na sambamba:

Kutoka kwa hili tunaweza kuhitimisha kuwa fomula inafanya kazi sio tu na jirani na masharti ya taka ya maendeleo ya kijiometri, lakini pia na usawa kutoka kwa kile ambacho wanachama wanatafuta.

Kwa hivyo, formula yetu ya asili inakuwa:

Hiyo ni, ikiwa katika kesi ya kwanza tulisema hivyo, sasa tunasema kwamba inaweza kuwa sawa na idadi yoyote ya asili ambayo ni ndogo. Jambo kuu ni kuwa sawa kwa nambari zote mbili zilizopewa.

Fanya mazoezi na mifano maalum, kuwa mwangalifu sana!

1. , . Tafuta.
2. , . Tafuta.
3. , . Tafuta.

Niliamua? Natumai ulikuwa makini sana na umeona samaki mdogo.

Tunalinganisha matokeo.

Katika visa viwili vya kwanza, tunatumia fomula hapo juu kwa utulivu na kupata maadili yafuatayo:

Katika kesi ya tatu, kwa kuzingatia kwa uangalifu nambari za serial za nambari tulizopewa, tunaelewa kuwa sio sawa kutoka kwa nambari tunayotafuta: ni nambari iliyotangulia, lakini imeondolewa kwa msimamo, kwa hivyo haiwezekani. kutumia fomula.

Jinsi ya kutatua? Kwa kweli sio ngumu kama inavyoonekana! Wacha tuandike nawe ni nini kila nambari tuliyopewa na nambari inayotakiwa inajumuisha.

Kwa hivyo tunayo na. Hebu tuone kile tunachoweza kufanya nao. Ninapendekeza kugawanyika. Tunapata:

Tunabadilisha data yetu katika fomula:

Hatua inayofuata tunaweza kupata - kwa hili tunahitaji kuchukua mzizi wa mchemraba wa nambari inayosababisha.

Sasa tuangalie tena tulichonacho. Tuna, lakini tunahitaji kupata, na, kwa upande wake, ni sawa na:

Tulipata data zote muhimu kwa hesabu. Badilisha katika formula:

Jibu letu: .

Jaribu kutatua shida nyingine mwenyewe:
Imetolewa:,
Tafuta:

Ulipata kiasi gani? Nina -.

Kama unaweza kuona, kwa kweli, unahitaji kumbuka formula moja tu-. Wengine wote unaweza kujiondoa bila shida yoyote mwenyewe wakati wowote. Ili kufanya hivyo, andika tu maendeleo rahisi zaidi ya kijiometri kwenye karatasi na uandike ni nini, kulingana na fomula hapo juu, kila nambari yake ni sawa na.

Jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri.

Sasa fikiria fomula zinazoturuhusu kuhesabu haraka jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri katika muda fulani:

Ili kupata fomula ya jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri yenye ukomo, tunazidisha sehemu zote za mlinganyo ulio hapo juu kwa. Tunapata:

Angalia kwa makini: fomula mbili za mwisho zinafanana nini? Hiyo ni kweli, wanachama wa kawaida, kwa mfano na kadhalika, isipokuwa kwa mwanachama wa kwanza na wa mwisho. Wacha tujaribu kutoa mlingano wa 1 kutoka kwa mlinganyo wa 2. Ulipata nini?

Sasa eleza kupitia fomula ya mwanachama wa maendeleo ya kijiometri na ubadilishe usemi unaotokana na fomula yetu ya mwisho:

Panga usemi. Unapaswa kupata:

Kinachobaki kufanya ni kueleza:

Ipasavyo, katika kesi hii.

Nini kama? Ni formula gani inafanya kazi basi? Hebu fikiria maendeleo ya kijiometri katika. Mwanamke huyo anafananaje? Kwa usahihi safu ya nambari zinazofanana, mtawaliwa, fomula itaonekana kama hii:

Kama ilivyo kwa maendeleo ya hesabu na kijiometri, kuna hadithi nyingi. Mmoja wao ni hadithi ya Sethi, muundaji wa chess.

Watu wengi wanajua kuwa mchezo wa chess ulizuliwa nchini India. Mfalme wa Kihindu alipokutana naye, alifurahishwa na akili yake na nyadhifa mbalimbali zinazowezekana ndani yake. Baada ya kujua kwamba ilivumbuliwa na mmoja wa raia zake, mfalme aliamua kumtuza yeye binafsi. Alimwita mvumbuzi kwake na kuamuru kumwomba chochote anachotaka, akiahidi kutimiza hata tamaa ya ustadi zaidi.

Seta aliomba muda wa kufikiria, na siku iliyofuata Seta alipotokea mbele ya mfalme, alimshangaza mfalme kwa unyenyekevu usio na kifani wa ombi lake. Aliomba nafaka ya ngano kwa mraba wa kwanza wa chessboard, ngano kwa pili, kwa tatu, kwa nne, na kadhalika.

Mfalme alikasirika na kumfukuza Sethi, akisema kwamba ombi la mtumishi halistahili ukarimu wa kifalme, lakini aliahidi kwamba mtumishi atapata nafaka zake kwa seli zote za bodi.

Na sasa swali ni: kwa kutumia formula kwa jumla ya wanachama wa maendeleo ya kijiometri, uhesabu ni nafaka ngapi Seth inapaswa kupokea?

Tuanze kujadili. Kwa kuwa, kwa mujibu wa hali hiyo, Seth aliomba nafaka ya ngano kwa kiini cha kwanza cha chessboard, kwa pili, kwa tatu, kwa nne, nk, tunaona kwamba tatizo ni kuhusu maendeleo ya kijiometri. Ni nini sawa katika kesi hii?
Kwa usahihi.

Jumla ya seli za chessboard. Kwa mtiririko huo,. Tuna data yote, inabakia tu kubadilisha katika fomula na kuhesabu.

Ili kuwakilisha angalau takriban "mizani" ya nambari fulani, tunabadilisha kwa kutumia sifa za digrii:

Bila shaka, ikiwa unataka, unaweza kuchukua calculator na kuhesabu ni aina gani ya nambari unayomaliza, na ikiwa sio, itabidi kuchukua neno langu kwa hilo: thamani ya mwisho ya kujieleza itakuwa.
Hiyo ni:

trilioni quadrillion bilioni milioni elfu.

Fuh) Ikiwa unataka kufikiria ukubwa wa nambari hii, basi kadiria ni ghala gani la ukubwa lingehitajika kuchukua kiasi kizima cha nafaka.
Kwa urefu wa ghalani wa m na upana wa m, urefu wake ungepaswa kupanua km, i.e. mara mbili kutoka kwa Dunia hadi Jua.

Ikiwa mfalme alikuwa na nguvu katika hisabati, angeweza kumpa mwanasayansi mwenyewe kuhesabu nafaka, kwa sababu ili kuhesabu nafaka milioni, angehitaji angalau siku ya kuhesabu bila kuchoka, na kutokana na kwamba ni muhimu kuhesabu quintillions. nafaka ingepaswa kuhesabiwa maisha yake yote.

Na sasa tutatatua tatizo rahisi kwa jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri.
Vasya, mwanafunzi wa darasa la 5, aliugua homa, lakini anaendelea kwenda shule. Kila siku, Vasya huwaambukiza watu wawili ambao, kwa upande wake, huwaambukiza watu wawili zaidi, na kadhalika. Mtu mmoja tu darasani. Je! ni siku ngapi darasa zima litapata mafua?

Kwa hiyo, mwanachama wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri ni Vasya, yaani, mtu. th mwanachama wa maendeleo ya kijiometri, hawa ni watu wawili ambao aliwaambukiza siku ya kwanza ya kuwasili kwake. Jumla ya washiriki wa mwendelezo ni sawa na idadi ya wanafunzi 5A. Ipasavyo, tunazungumza juu ya maendeleo ambayo:

Wacha tubadilishe data yetu katika fomula ya jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri:

Darasa zima litaugua ndani ya siku chache. Je, huamini katika kanuni na nambari? Jaribu kuonyesha "maambukizi" ya wanafunzi mwenyewe. Imetokea? Tazama jinsi inavyoonekana kwangu:

Jihesabu ni siku ngapi wanafunzi wangepata mafua ikiwa kila mtu angemwambukiza mtu, na kulikuwa na mtu darasani.

Ulipata thamani gani? Ilibadilika kuwa kila mtu alianza kuugua baada ya siku.

Kama unaweza kuona, kazi kama hiyo na mchoro wake unafanana na piramidi, ambayo kila baadae "huleta" watu wapya. Hata hivyo, mapema au baadaye wakati unakuja wakati mwisho hauwezi kuvutia mtu yeyote. Kwa upande wetu, ikiwa tunafikiria kuwa darasa limetengwa, mtu kutoka hufunga mnyororo (). Kwa hivyo, ikiwa mtu alihusika katika piramidi ya kifedha ambayo pesa ilitolewa ikiwa ungeleta washiriki wengine wawili, basi mtu huyo (au kwa ujumla) hataleta mtu yeyote, kwa mtiririko huo, angepoteza kila kitu alichowekeza katika kashfa hii ya kifedha. .

Kila kitu kilichosemwa hapo juu kinarejelea kupungua au kuongezeka kwa maendeleo ya kijiometri, lakini, kama unavyokumbuka, tuna aina maalum - ukuaji wa kijiometri unaopungua sana. Jinsi ya kuhesabu jumla ya wanachama wake? Na kwa nini aina hii ya maendeleo ina sifa fulani? Hebu tufikirie pamoja.

Kwa hivyo, kwa wanaoanza, wacha tuangalie tena picha hii ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana kutoka kwa mfano wetu:

Na sasa hebu tuangalie fomula ya jumla ya maendeleo ya kijiometri, inayotokana mapema kidogo:
au

Je, tunajitahidi nini? Hiyo ni kweli, grafu inaonyesha kuwa inaelekea sifuri. Hiyo ni, wakati, itakuwa karibu sawa, kwa mtiririko huo, wakati wa kuhesabu usemi, tutapata karibu. Katika suala hili, tunaamini kwamba wakati wa kuhesabu jumla ya maendeleo ya kijiometri ya kupungua kwa kiasi kikubwa, bracket hii inaweza kupuuzwa, kwa kuwa itakuwa sawa.

- fomula ni jumla ya masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana.

MUHIMU! Tunatumia fomula ya jumla ya masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana ikiwa tu hali inatamka wazi kwamba tunahitaji kupata jumla. isiyo na mwisho idadi ya wanachama.

Ikiwa nambari maalum n imeonyeshwa, basi tunatumia fomula ya jumla ya maneno n, hata kama au.

Na sasa tufanye mazoezi.

1. Pata jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri na.
2. Tafuta jumla ya masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana na na.

Natumai ulikuwa makini sana. Linganisha majibu yetu:

Sasa unajua kila kitu kuhusu maendeleo ya kijiometri, na ni wakati wa kuondoka kutoka kwa nadharia hadi mazoezi. Matatizo ya kawaida ya kielelezo yanayopatikana kwenye mtihani ni matatizo ya riba ya mchanganyiko. Ni juu yao kwamba tutazungumza.

Matatizo ya kukokotoa riba kiwanja.

Lazima uwe umesikia kuhusu kinachojulikana kama fomula ya riba kiwanja. Unaelewa anamaanisha nini? Ikiwa sivyo, wacha tufikirie, kwa sababu baada ya kugundua mchakato yenyewe, utaelewa mara moja ni nini maendeleo ya kijiometri inahusiana nayo.

Sisi sote tunakwenda benki na tunajua kwamba kuna hali tofauti za amana: hii ni muda, na matengenezo ya ziada, na riba na njia mbili tofauti za kuhesabu - rahisi na ngumu.

KUTOKA maslahi rahisi kila kitu kiko wazi zaidi au kidogo: riba inatozwa mara moja mwishoni mwa muda wa kuweka akiba. Hiyo ni, ikiwa tunazungumza juu ya kuweka rubles 100 kwa mwaka chini, basi watapewa sifa tu mwishoni mwa mwaka. Ipasavyo, hadi mwisho wa amana, tutapokea rubles.

Maslahi ya pamoja ni chaguo ambalo mtaji wa riba, i.e. nyongeza yao kwa kiasi cha amana na hesabu inayofuata ya mapato sio kutoka kwa awali, lakini kutoka kwa kiasi kilichokusanywa cha amana. Mtaji haufanyiki kila mara, lakini kwa upimaji fulani. Kama sheria, vipindi kama hivyo ni sawa na mara nyingi benki hutumia mwezi, robo au mwaka.

Hebu sema kwamba tunaweka rubles zote sawa kwa mwaka, lakini kwa mtaji wa kila mwezi wa amana. Tunapata nini?

Unaelewa kila kitu hapa? Ikiwa sivyo, hebu tuchukue hatua kwa hatua.

Tulileta rubles kwa benki. Kufikia mwisho wa mwezi, tunapaswa kuwa na kiasi katika akaunti yetu inayojumuisha rubles zetu pamoja na riba kwao, ambayo ni:

Nakubali?

Tunaweza kuiondoa kwenye mabano kisha tukapata:

Kukubaliana, fomula hii tayari inafanana zaidi na ile tuliyoandika mwanzoni. Inabakia kukabiliana na asilimia

Katika hali ya tatizo, tunaambiwa kuhusu kila mwaka. Kama unavyojua, hatuzidishi kwa - tunabadilisha asilimia kuwa desimali, ambayo ni:

Haki? Sasa unauliza, namba imetoka wapi? Rahisi sana!
Narudia: hali ya tatizo inasema kuhusu MWAKA riba iliyopatikana MWEZI. Kama unavyojua, katika mwaka wa miezi, mtawalia, benki itatutoza sehemu ya faida ya kila mwaka kwa mwezi:

Gundua? Sasa jaribu kuandika jinsi sehemu hii ya fomula ingeonekana kama ningesema kwamba riba inakokotolewa kila siku.
Je, uliweza? Wacha tulinganishe matokeo:

Umefanya vizuri! Wacha turudi kwenye kazi yetu: andika ni kiasi gani kitakachowekwa kwa akaunti yetu kwa mwezi wa pili, kwa kuzingatia kwamba riba inatozwa kwa kiasi cha amana kilichokusanywa.
Hiki ndicho kilichonipata:

Au, kwa maneno mengine:

Nadhani tayari umeona muundo na kuona maendeleo ya kijiometri katika haya yote. Andika ni kiasi gani mwanachama wake atakuwa sawa na, au, kwa maneno mengine, ni kiasi gani cha pesa tutapokea mwishoni mwa mwezi.
Je! Inaangalia!

Kama unaweza kuona, ikiwa utaweka pesa katika benki kwa mwaka kwa riba rahisi, basi utapokea rubles, na ikiwa utaiweka kwa kiwango cha kiwanja, utapokea rubles. Faida ni ndogo, lakini hii hutokea tu katika mwaka wa th, lakini kwa muda mrefu, mtaji ni faida zaidi:

Fikiria aina nyingine ya shida ya riba iliyojumuishwa. Baada ya kile ulichofikiria, itakuwa ya msingi kwako. Kwa hivyo kazi ni:

Zvezda ilianza kuwekeza katika tasnia hiyo mnamo 2000 na mtaji wa dola. Kila mwaka tangu 2001, imepata faida ambayo ni sawa na mtaji wa mwaka uliopita. Kampuni ya Zvezda itapokea faida ngapi mwishoni mwa 2003, ikiwa faida haikutolewa kutoka kwa mzunguko?

Mji mkuu wa kampuni ya Zvezda mnamo 2000.
- mji mkuu wa kampuni ya Zvezda mnamo 2001.
- mji mkuu wa kampuni ya Zvezda mnamo 2002.
- mji mkuu wa kampuni ya Zvezda mnamo 2003.

Au tunaweza kuandika kwa ufupi:

Kwa kesi yetu:

2000, 2001, 2002 na 2003.

Mtawalia:
rubles
Kumbuka kwamba katika tatizo hili hatuna mgawanyiko ama kwa au kwa, kwa kuwa asilimia hutolewa MWAKA na inakokotolewa MWAKA. Hiyo ni, wakati wa kusoma tatizo kwa riba ya kiwanja, makini na asilimia gani iliyotolewa, na katika kipindi gani inashtakiwa, na kisha tu kuendelea na mahesabu.
Sasa unajua kila kitu kuhusu maendeleo ya kijiometri.

Fanya mazoezi.

1. Pata muda wa maendeleo ya kijiometri ikiwa inajulikana kuwa, na
2. Pata jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri, ikiwa inajulikana kuwa, na
3. MDM Capital ilianza kuwekeza katika sekta hiyo mwaka 2003 ikiwa na mtaji wa dola. Kila mwaka tangu 2004, amepata faida ambayo ni sawa na mtaji wa mwaka uliopita. Kampuni ya "MSK Cash Flows" ilianza kuwekeza katika sekta hiyo mwaka 2005 kwa kiasi cha $ 10,000, kuanza kupata faida mwaka 2006 kwa kiasi cha. Je, ni kwa dola ngapi mtaji wa kampuni moja unazidi ule wa kampuni nyingine mwishoni mwa 2007, ikiwa faida haikutolewa kutoka kwa mzunguko?

Majibu:

1. Kwa kuwa hali ya shida haisemi kwamba maendeleo hayana mwisho na inahitajika kupata jumla ya idadi fulani ya washiriki wake, hesabu hufanywa kulingana na formula:
2. 
   Kampuni "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - huongezeka kwa 100%, yaani, mara 2.
   Mtawalia:
   rubles
   Mtiririko wa Pesa wa MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - huongezeka kwa, yaani, nyakati.
   Mtawalia:
   rubles
   rubles

Hebu tufanye muhtasari.

1) Maendeleo ya kijiometri () ni mlolongo wa nambari, muda wa kwanza ambao ni tofauti na sifuri, na kila muda, kuanzia pili, ni sawa na uliopita, umeongezeka kwa idadi sawa. Nambari hii inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

2) equation ya wanachama wa maendeleo ya kijiometri -.

3) inaweza kuchukua thamani yoyote, isipokuwa na.

• ikiwa, basi washiriki wote wanaofuata wa maendeleo wana ishara sawa - wao chanya;
• ikiwa, basi wanachama wote wanaofuata wa mwendelezo ishara mbadala;
• wakati - maendeleo inaitwa kupungua kwa kiasi kikubwa.

4) , katika - mali ya maendeleo ya kijiometri (maneno ya jirani)

au
, kwa (masharti ya usawa)

Unapoipata, usisahau hilo kuwe na majibu mawili..

Kwa mfano,

5) Jumla ya washiriki wa maendeleo ya kijiometri huhesabiwa na formula:
au

Ikiwa maendeleo yanapungua sana, basi:
au

MUHIMU! Tunatumia fomula ya jumla ya masharti ya uendelezaji wa kijiometri unaopungua sana ikiwa tu hali inasema wazi kwamba ni muhimu kupata jumla ya idadi isiyo na kikomo ya maneno.

6) Kazi za riba ya kiwanja pia huhesabiwa kulingana na fomula ya mshiriki wa maendeleo ya kijiometri, mradi pesa hazikutolewa kutoka kwa mzunguko:

MAENDELEO YA JIometri. KWA UFUPI KUHUSU KUU

Maendeleo ya kijiometri( ) ni mlolongo wa nambari, neno la kwanza ambalo ni tofauti na sifuri, na kila neno, kuanzia la pili, ni sawa na la awali, lililozidishwa na nambari sawa. Nambari hii inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

Denominator ya maendeleo ya kijiometri inaweza kuchukua thamani yoyote isipokuwa na.

• Ikiwa, basi wanachama wote wanaofuata wa maendeleo wana ishara sawa - wao ni chanya;
• ikiwa, basi wanachama wote wanaofuata wa ishara za maendeleo hubadilishana;
• wakati - maendeleo inaitwa kupungua kwa kiasi kikubwa.

Equation ya wanachama wa maendeleo ya kijiometri - .

Jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri imehesabiwa kwa formula:
au

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Mlolongo wa nambari. Maendeleo ya kijiometri"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, maoni, mapendekezo! Nyenzo zote zinachunguzwa na programu ya antivirus.

Vifaa vya kufundishia na simulators kwenye duka la mtandaoni "Integral" kwa daraja la 9
Nguvu na Mizizi Kazi na Grafu

Jamani, leo tutafahamiana na aina nyingine ya maendeleo.
Mada ya somo la leo ni maendeleo ya kijiometri.

Maendeleo ya kijiometri

Mfano. 1,2,4,8,16… Mwendelezo wa kijiometri, ambapo mwanachama wa kwanza ni sawa na mmoja, na $q=2$.

Mfano. 8,8,8,8… Mwendelezo wa kijiometri ambao muhula wake wa kwanza ni nane,
na $q=1$.

Mfano. 3,-3,3,-3,3... Mwendelezo wa kijiometri ambao muhula wake wa kwanza ni tatu,
na $q=-1$.

Maendeleo ya kijiometri ina mali ya monotonicity.
Ikiwa $b_(1)>0$, $q>1$,
basi mlolongo unaongezeka.
Ikiwa $b_(1)>0$, $0 Mfuatano huo kwa kawaida huashiriwa kama: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Kama tu katika mwendelezo wa hesabu, ikiwa idadi ya vipengee katika maendeleo ya kijiometri ni ya mwisho, basi mwendelezo unaitwa mwendelezo wa kijiometri wenye kikomo.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Kumbuka kwamba ikiwa mlolongo ni maendeleo ya kijiometri, basi mlolongo wa maneno ya mraba pia ni maendeleo ya kijiometri. Mfuatano wa pili una muhula wa kwanza $b_(1)^2$ na dhehebu $q^2$.

Mfumo wa mwanachama wa nth wa maendeleo ya kijiometri

Turudi kwenye mifano yetu.

Mfano. 1,2,4,8,16… Mwendelezo wa kijiometri ambao muhula wake wa kwanza ni sawa na moja,
na $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Mfano. 16,8,4,2,1,1/2… Mwendelezo wa kijiometri ambao muhula wake wa kwanza ni kumi na sita na $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Mfano. 8,8,8,8… Mwendelezo wa kijiometri ambapo muhula wa kwanza ni nane na $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Mfano. 3,-3,3,-3,3… Mwendelezo wa kijiometri ambao muhula wake wa kwanza ni tatu na $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Mfano. Kwa kuzingatia maendeleo ya kijiometri $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Inajulikana kuwa $b_(1)=6, q=3$. Tafuta $b_(5)$.
b) Inajulikana kuwa $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Tafuta n.
c) Inajulikana kuwa $q=-2, b_(6)=96$. Tafuta $b_(1)$.
d) Inajulikana kuwa $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Tafuta q.

Suluhisho.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ tangu $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Mfano. Tofauti kati ya wanachama wa saba na wa tano wa maendeleo ya kijiometri ni 192, jumla ya wanachama wa tano na wa sita wa maendeleo ni 192. Pata mwanachama wa kumi wa maendeleo haya.

Suluhisho.
Tunajua kwamba: $b_(7)-b_(5)=192$ na $b_(5)+b_(6)=192$.
Pia tunajua: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Kisha:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Tuna mfumo wa equations:
$\anza(kesi)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\mwisho(kesi)$.
Kusawazisha, milinganyo yetu inapata:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Tulipata masuluhisho mawili q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Badilisha mfululizo katika mlinganyo wa pili:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ hakuna suluhu.
Tulipata hiyo: $b_(1)=4, q=2$.
Hebu tutafute muhula wa kumi: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Jumla ya maendeleo ya kijiometri yenye ukomo

Acha mwendelezo mahiri wa kijiometri utolewe: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Hebu tuanzishe nukuu ya jumla ya wanachama wake: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Katika kesi wakati $q=1$. Wanachama wote wa maendeleo ya kijiometri ni sawa na mwanachama wa kwanza, basi ni dhahiri kwamba $S_(n)=n*b_(1)$.
Fikiria sasa kesi $q≠1$.
Zidisha kiasi kilicho hapo juu kwa q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Kumbuka:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Tumepata fomula ya jumla ya maendeleo ya kijiometri yenye ukomo.

Suluhisho.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Mfano.
Pata mwanachama wa tano wa maendeleo ya kijiometri, ambayo inajulikana: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Suluhisho.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Tabia ya tabia ya maendeleo ya kijiometri

Mlolongo wa nambari ni uendelezaji wa kijiometri tu wakati mraba wa kila masharti yake ni sawa na bidhaa ya masharti yake mawili ya jirani ya maendeleo. Usisahau kwamba kwa maendeleo ya mwisho hali hii haijaridhika kwa muda wa kwanza na wa mwisho.

Moduli ya mwanachama yeyote wa maendeleo ya kijiometri ni sawa na maana ya kijiometri ya wanachama wawili walio karibu nayo.

Suluhisho.
Wacha tutumie sifa ya tabia:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ na $x_(2)=-1$.
Badilisha kwa mpangilio katika usemi asilia, masuluhisho yetu:
Kwa $x=2$, tulipata mfuatano: 4;6;9 ni maendeleo ya kijiometri na $q=1.5$.
Kwa $x=-1$, tulipata mlolongo: 1;0;0.
Jibu: $x=2.$

Kazi za suluhisho la kujitegemea