Milinganyo ya trigonometric na cosine. Milinganyo changamano zaidi ya trigonometriki

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Suluhisho la hesabu rahisi zaidi za trigonometric"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, maoni, mapendekezo! Nyenzo zote zinachunguzwa na programu ya antivirus.

Miongozo na simulators katika duka la mtandaoni "Integral" kwa daraja la 10 kutoka 1C
Tunatatua matatizo katika jiometri. Kazi zinazoingiliana za kujenga katika nafasi
Mazingira ya programu "1C: Mjenzi wa hisabati 6.1"

Tutajifunza nini:
1. Milinganyo ya trigonometric ni nini?

3. Mbinu mbili kuu za kutatua milinganyo ya trigonometric.
4. Milinganyo ya trigonometriki ya homogeneous.
5. Mifano.

Milinganyo ya trigonometric ni nini?

Jamani, tayari tumesoma arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent. Sasa hebu tuangalie milinganyo ya trigonometric kwa ujumla.

Milinganyo ya trigonometriki - milinganyo ambayo kigeugeu kimo chini ya ishara ya kazi ya trigonometric.

Tunarudia fomu ya kutatua hesabu rahisi zaidi za trigonometric:

1) Ikiwa |а|≤ 1, basi equation cos(x) = a ina suluhu:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ikiwa |а|≤ 1, basi equation sin(x) = a ina suluhu:

3) Kama |a| > 1, kisha equation sin(x) = a na cos(x) = a haina suluhu 4) Mlinganyo tg(x)=a una suluhisho: x=arctg(a)+ πk

5) Mlinganyo ctg(x)=a una suluhisho: x=arcctg(a)+ πk

Kwa fomula zote, k ni nambari kamili

Milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki ina umbo: Т(kx+m)=a, T- kitendakazi chochote cha trigonometriki.

Tatua milinganyo: a) dhambi(3x)= √3/2

Suluhisho:

A) Wacha tuangazie 3x=t, kisha tutaandika tena mlinganyo wetu katika fomu:

Suluhisho la mlingano huu litakuwa: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Kutoka kwa jedwali la maadili tunapata: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Wacha turudi kwenye utofauti wetu: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Kisha x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Jibu: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, ambapo n ni nambari kamili. (-1)^n - toa moja kwa nguvu ya n.

Mifano zaidi ya milinganyo ya trigonometric.

Suluhisho:

A) Wakati huu tutaenda moja kwa moja kwa hesabu ya mizizi ya equation mara moja:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Kisha x/5= πk => x=5πk

Jibu: x=5πk, ambapo k ni nambari kamili.

B) Tunaandika kwa fomu: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Tunajua kwamba: artg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Jibu: x=2π/9 + πk/3, ambapo k ni nambari kamili.

Tatua milinganyo: cos(4x)= √2/2. Na pata mizizi yote kwenye sehemu.

Suluhisho:

Wacha tutatue mlingano wetu kwa njia ya jumla: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sasa hebu tuone ni mizizi gani inayoanguka kwenye sehemu yetu. Kwa k Kwa k=0, x= π/16, tuko katika sehemu iliyotolewa .
Na k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, ziligonga tena.
Kwa k=2, x= π/16+ π=17π/16, lakini hapa hatukupiga, ambayo ina maana kwamba hatutapiga k kubwa pia.

Jibu: x= π/16, x= 9π/16

Njia kuu mbili za suluhisho.

Wacha tusuluhishe equation:

Suluhisho:
Ili kutatua equation yetu, tunatumia njia ya kuanzisha tofauti mpya, iliyoashiria: t=tg(x).

Kama matokeo ya uingizwaji, tunapata: t 2 + 2t -1 = 0

Pata mizizi ya equation ya quadratic: t = -1 na t = 1/3

Kisha tg(x)=-1 na tg(x)=1/3, tulipata equation rahisi zaidi ya trigonometric, wacha tupate mizizi yake.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Jibu: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Mfano wa kutatua equation

Tatua milinganyo: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Suluhisho:

Hebu tutumie kitambulisho: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mlinganyo wetu unakuwa: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Wacha tuanzishe uingizwaji t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Suluhisho la mlinganyo wetu wa quadratic ni mizizi: t=2 na t=-1/2

Kisha cos(x)=2 na cos(x)=-1/2.

Kwa sababu cosine haiwezi kuchukua thamani kubwa kuliko moja, basi cos(x)=2 haina mizizi.

Kwa cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Jibu: x= ±2π/3 + 2πk

Milinganyo ya trigonometriki ya homogeneous.

Milinganyo ya fomu

milinganyo ya trigonometric yenye homogeneous ya shahada ya pili.

Ili kutatua equation ya trigonometric ya homogeneous ya shahada ya kwanza, tunaigawanya kwa cos(x): Haiwezekani kugawanya kwa cosine ikiwa ni sawa na sifuri, wacha tuhakikishe kuwa hii sivyo:
Acha cos(x)=0, kisha asin(x)+0=0 => sin(x)=0, lakini sine na cosine sio sawa na sifuri kwa wakati mmoja, tulipata ukinzani, ili tuweze kugawanya kwa usalama. kwa sifuri.

Tatua mlinganyo:
Mfano: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Suluhisho:

Ondoa kipengele cha kawaida: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Kisha tunahitaji kutatua equations mbili:

cos(x)=0 na cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 kwa x= π/2 + πk;

Zingatia equation cos(x)+sin(x)=0 Gawa mlinganyo wetu kwa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Jibu: x= π/2 + πk na x= -π/4+πk

Jinsi ya kutatua equations za trigonometric homogeneous ya shahada ya pili?
Jamani, shikamaneni na sheria hizi kila wakati!

1. Angalia mgawo a ni sawa na nini, ikiwa \u003d 0 basi equation yetu itachukua fomu cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), mfano wa suluhisho ambalo liko kwenye uliopita. slaidi

2. Ikiwa a≠0, basi unahitaji kugawanya sehemu zote mbili za mlinganyo kwa kosini yenye mraba, tunapata:

Tunafanya mabadiliko ya kutofautisha t=tg(x) tunapata equation:

Tatua Mfano #:3

Gawanya pande zote mbili za equation kwa mraba wa cosine:

Tunafanya mabadiliko ya kutofautiana t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Pata mizizi ya equation ya quadratic: t=-3 na t=1

Kisha: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Jibu: x=-arctg(3) + πk na x= π/4+ πk

Tatua Mfano #:4

Suluhisho:
Wacha tubadilishe usemi wetu:

Tunaweza kutatua milinganyo kama hii: x= - π/4 + 2πk na x=5π/4 + 2πk

Jibu: x= - π/4 + 2πk na x=5π/4 + 2πk

Tatua Mfano #:5

Suluhisho:
Wacha tubadilishe usemi wetu:

Tunatanguliza uingizwaji tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Suluhisho la equation yetu ya quadratic itakuwa mizizi: t=-2 na t=1/2

Kisha tunapata: tg(2x)=-2 na tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Jibu: x=-arctg(2)/2 + πk/2 na x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Kazi za suluhisho la kujitegemea.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Tatua milinganyo: dhambi(3x)= √3/2. Na upate mizizi yote kwenye sehemu [π/2; π].

3) Tatua mlingano: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Tatua mlingano: 3 dhambi 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Tatua mlingano: 3sin 2 (3x) + 10 dhambi(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Tatua mlingano: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Dhana ya kutatua milinganyo ya trigonometric.

• Ili kutatua mlinganyo wa trigonometriki, ubadilishe kuwa milinganyo ya msingi ya trigonometriki moja au zaidi. Kutatua mlinganyo wa trigonometriki hatimaye huja kwenye kutatua milinganyo minne ya msingi ya trigonometriki.

Inahitaji ujuzi wa kanuni za msingi za trigonometry - jumla ya mraba wa sine na cosine, usemi wa tangent kupitia sine na cosine, na wengine. Kwa wale ambao wamesahau au hawajui, tunapendekeza kusoma makala "".
Kwa hivyo, tunajua kanuni za msingi za trigonometric, ni wakati wa kuziweka katika vitendo. Kutatua milinganyo ya trigonometric kwa mbinu sahihi, ni shughuli ya kusisimua kabisa, kama, kwa mfano, kutatua mchemraba wa Rubik.

Kulingana na jina yenyewe, ni wazi kwamba equation ya trigonometric ni equation ambayo haijulikani ni chini ya ishara ya kazi ya trigonometric.
Kuna kinachojulikana milinganyo rahisi ya trigonometric. Hivi ndivyo wanavyoonekana: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Fikiria, jinsi ya kutatua milinganyo kama hiyo ya trigonometric, kwa uwazi, tutatumia mduara wa trigonometric tayari unaojulikana.

dhambi = a

maana x = a

tani x = a

kitanda x = a

Mlinganyo wowote wa trigonometriki hutatuliwa katika hatua mbili: tunaleta mlinganyo kwa njia rahisi zaidi na kisha kuutatua kama mlinganyo rahisi zaidi wa trigonometriki.
Kuna njia 7 kuu ambazo milinganyo ya trigonometric hutatuliwa.

1. Njia ya ubadilishanaji na uwekaji mbadala

Tatua mlingano 2cos 2 (x + /6) - 3sin(/3 - x) +1 = 0

Kwa kutumia fomula za kupunguza tunapata:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Wacha tubadilishe cos(x + /6) na y kwa unyenyekevu na tupate equation ya kawaida ya quadratic:

Miaka 2 - 3y + 1 + 0

Mizizi ambayo y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sasa turudi nyuma

Tunabadilisha maadili yaliyopatikana ya y na kupata majibu mawili:

2. Kutatua milinganyo ya trigonometriki kupitia uwekaji alama

Jinsi ya kutatua equation sin x + cos x = 1 ?

Wacha tuhamishe kila kitu kushoto ili 0 ibaki kulia:

dhambi x + cos x - 1 = 0

Tunatumia vitambulisho vilivyo hapo juu ili kurahisisha mlinganyo:

dhambi x - 2 dhambi 2 (x/2) = 0

Wacha tufanye factorization:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 dhambi 2 (x/2) = 0

2dhambi(x/2) * = 0

Tunapata equations mbili

3. Kupunguzwa kwa equation ya homogeneous

Mlinganyo ni sawa kuhusiana na sine na kosine ikiwa masharti yake yote yanayohusiana na sine na kosine yana kiwango sawa cha pembe sawa. Ili kutatua equation ya homogeneous, endelea kama ifuatavyo:

a) kuhamisha wanachama wake wote upande wa kushoto;

b) kuweka mambo yote ya kawaida nje ya mabano;

c) kusawazisha mambo yote na mabano kwa 0;

d) katika mabano, usawa wa homogeneous wa shahada ya chini hupatikana, ambayo, kwa upande wake, imegawanywa na sine au cosine kwa kiwango cha juu;

e) kutatua mlinganyo unaotokana na tg.

Tatua mlingano 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Wacha tutumie formula sin 2 x + cos 2 x = 1 na tuondoe mbili zilizo wazi upande wa kulia:

3dhambi 2 x + 4 dhambi x cos x + 5 cos x = 2dhambi 2 x + 2 cos 2 x

dhambi 2 x + 4 dhambi x cos x + 3 cos 2 x = 0

Gawanya na cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Tunabadilisha tg x na y na kupata equation ya quadratic:

y 2 + 4y +3 = 0 ambayo mizizi yake ni y 1 =1, y 2 = 3

Kuanzia hapa tunapata suluhisho mbili kwa equation ya asili:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Kutatua milinganyo, kupitia mpito hadi pembe ya nusu

Tatua mlingano 3sin x - 5cos x = 7

Wacha tuendelee kwa x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) - 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Kuhamisha kila kitu kushoto:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Gawanya kwa cos(x/2):

tg 2 (x/2) - 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Utangulizi wa pembe ya msaidizi

Kwa kuzingatia, wacha tuchukue equation ya fomu: dhambi x + b cos x \u003d c,

ambapo a, b, c ni baadhi ya viambajengo vya kiholela na x haijulikani.

Gawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa:



Sasa coefficients ya equation, kulingana na fomula za trigonometric, ina mali ya dhambi na cos, yaani: moduli yao sio zaidi ya 1 na jumla ya mraba = 1. Hebu tuwaeleze kwa mtiririko huo kama cos na dhambi, wapi kinachojulikana angle msaidizi. Kisha equation itachukua fomu:

cos * dhambi x + dhambi * cos x \u003d C

au dhambi(x + ) = C

Suluhisho la equation hii rahisi ya trigonometric ni

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, wapi



Ikumbukwe kwamba majina cos na dhambi yanaweza kubadilishana.

Tatua equation sin 3x - cos 3x = 1

Katika equation hii, coefficients ni:

a \u003d, b \u003d -1, kwa hivyo tunagawanya sehemu zote mbili kwa \u003d 2

Unaweza kuagiza suluhisho la kina kwa shida yako !!!

Usawa ulio na kitu kisichojulikana chini ya ishara ya chaguo za kukokotoa za trigonometric (`sin x, cos x, tg x` au `ctg x`) inaitwa mlinganyo wa trigonometric, na tutazingatia fomula zao zaidi.

Milinganyo rahisi zaidi ni `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ambapo `x` ndiyo pembe inayopatikana, `a` ni nambari yoyote. Hebu tuandike kanuni za mizizi kwa kila mmoja wao.

1. Mlinganyo `dhambi x=a`.

Kwa `|a|>1` haina suluhu.

Na `|a| \leq 1` ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu.

Mfumo wa mizizi: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \katika Z`

2. Mlinganyo `cos x=a`

Kwa `|a|>1` - kama ilivyo kwa sine, hakuna suluhu kati ya nambari halisi.

Na `|a| \leq 1` ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu.

Mfumo wa mizizi: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \katika Z`

Kesi maalum za sine na cosine katika grafu.

3. Mlinganyo `tg x=a`

Ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu kwa thamani zozote za `a`.

Fomula ya mizizi: `x=arctg a + \pi n, n \katika Z`

4. Mlinganyo `ctg x=a`

Pia ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu kwa thamani zozote za `a`.

Mfumo wa mizizi: `x=arcctg a + \pi n, n \katika Z`

Fomula za mizizi ya milinganyo ya trigonometric kwenye jedwali

Kwa sinus:
Kwa cosine:
Kwa tangent na cotangent:
Fomula za kutatua milinganyo iliyo na vitendaji kinyume vya trigonometriki:

Njia za kutatua milinganyo ya trigonometric

Suluhisho la equation yoyote ya trigonometric lina hatua mbili:

• kutumia kuibadilisha kuwa rahisi zaidi;
• suluhisha equation rahisi inayotokana kwa kutumia fomula zilizo hapo juu za mizizi na meza.

Hebu fikiria njia kuu za ufumbuzi kwa kutumia mifano.

njia ya algebra.

Kwa njia hii, uingizwaji wa kutofautiana na uingizwaji wake katika usawa unafanywa.

Mfano. Tatua mlingano: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

tengeneza mbadala: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, kisha `2y^2-3y+1=0`,

tunapata mizizi: `y_1=1, y_2=1/2`, ambapo visa viwili hufuata:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Jibu: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorization.

Mfano. Tatua mlingano: `sin x+cos x=1`.

Suluhisho. Hamishia upande wa kushoto masharti yote ya usawa: `sin x+cos x-1=0`. Kwa kutumia , tunabadilisha na kutengeneza upande wa kushoto:

`dhambi x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-dhambi x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-dhambi x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Jibu: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Kupunguzwa kwa equation ya homogeneous

Kwanza, unahitaji kuleta equation hii ya trigonometric kwa moja ya aina mbili:

`a sin x+b cos x=0` (mlinganyo wa homogeneous wa shahada ya kwanza) au `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (mlingano wa homogeneous wa shahada ya pili).

Kisha gawanya sehemu zote mbili kwa `cos x \ne 0` kwa kesi ya kwanza, na kwa `cos^2 x \ne 0` kwa pili. Tunapata milinganyo ya `tg x`: `a tg x+b=0` na `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ambayo lazima isuluhishwe kwa kutumia mbinu zinazojulikana.

Mfano. Tatua mlingano: `2 dhambi^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Suluhisho. Hebu tuandike upande wa kulia kama `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 dhambi^2 x+dhambi x cos x — cos^2 x=` `dhambi^2 x+cos^2 x`,

`2 dhambi^2 x+dhambi x cos x - cos^2 x -` ` dhambi^2 x - cos^2 x=0`

`dhambi^2 x+dhambi x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Huu ni mlinganyo wa trigonometric homogeneous wa shahada ya pili, ikigawanya sehemu zake za kushoto na kulia kwa `cos^2 x \ne 0`, tunapata:

`\frac (dhambi^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Wacha tuanzishe kibadala `tg x=t`, kama matokeo `t^2 + t - 2=0`. Mizizi ya mlingano huu ni `t_1=-2` na `t_2=1`. Kisha:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \katika Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \katika Z`.

Jibu. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \katika Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \katika Z`.

Nenda Nusu Kona

Mfano. Tatua mlingano: `11 dhambi x - 2 cos x = 10`.

Suluhisho. Kwa kutumia fomula za pembe mbili, matokeo yake ni: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Kwa kutumia njia ya aljebra iliyoelezwa hapo juu, tunapata:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 actg 2+2\pi n`, `n \katika Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \katika Z`.

Jibu. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \katika Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \katika Z`.

Utangulizi wa pembe ya msaidizi

Katika mlinganyo wa trigonometriki `a sin x + b cos x =c`, ambapo a,b,c ni vigawo na x ni kigezo, tunagawanya sehemu zote mbili kwa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Coefficients kwenye upande wa kushoto zina sifa za sine na kosine, yaani, jumla ya miraba yake ni 1 na moduli yake ni angalau 1. Hebu tuyaashiria kama ifuatavyo: `\frac a(sqrt (a^2+b^) 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , kisha:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Hebu tuangalie kwa makini mfano ufuatao:

Mfano. Tatua mlingano: `3 dhambi x+4 cos x=2`.

Suluhisho. Kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa `sqrt (3^2+4^2)`, tunapata:

`\frac (3 dhambi x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 dhambi x+4/5 cos x=2/5`.

Rejelea `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kwa kuwa `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, tunachukua `\varphi=arcsin 4/5` kama pembe kisaidizi. Kisha tunaandika usawa wetu katika fomu:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Kutumia fomula ya jumla ya pembe za sine, tunaandika usawa wetu katika fomu ifuatayo:

`dhambi(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \katika Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \ in Z`.

Jibu. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \ in Z`.

Milinganyo ya trigonometriki ya kimaumbile-ya kimantiki

Hizi ni usawa na sehemu, katika nambari na denominators ambazo kuna kazi za trigonometric.

Mfano. Tatua mlinganyo. `\frac (dhambi x)(1+cos x)=1-cos x`.

Suluhisho. Zidisha na ugawanye upande wa kulia wa mlinganyo kwa `(1+cos x)`. Kama matokeo, tunapata:

`\frac (dhambi x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (dhambi x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Kwa kuzingatia kwamba kipunguzi hakiwezi kuwa sifuri, tunapata `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \katika Z`.

Sawazisha nambari ya sehemu na sufuri: `dhambi x-sin^2 x=0`, `dhambi x(1-dhambi x)=0`. Kisha `dhambi x=0` au `1-dhambi x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \katika Z`
2. `1-dhambi x=0`, `dhambi x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \katika Z`.

Ikizingatiwa kuwa ` x \ne \pi+2\pi n, n \katika Z`, suluhu ni `x=2\pi n, n \katika Z` na `x=\pi /2+2\pi n` , `n \katika Z`.

Jibu. `x=2\pi n`, `n \katika Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \katika Z`.

Trigonometry, na milinganyo ya trigonometric haswa, hutumiwa katika karibu maeneo yote ya jiometri, fizikia, na uhandisi. Utafiti unaanza katika daraja la 10, kuna kazi za mtihani kila wakati, kwa hivyo jaribu kukumbuka fomula zote za hesabu za trigonometric - hakika zitakuja kwako!

Hata hivyo, huna haja hata ya kukariri, jambo kuu ni kuelewa kiini, na kuwa na uwezo wa kuamua. Sio ngumu kama inavyoonekana. Jionee mwenyewe kwa kutazama video.

Wakati wa kutatua mengi matatizo ya hisabati, hasa yale yanayotokea kabla ya daraja la 10, utaratibu wa vitendo vinavyofanyika ambavyo vitasababisha lengo hufafanuliwa wazi. Matatizo hayo ni pamoja na, kwa mfano, milinganyo ya mstari na ya quadratic, usawa wa mstari na quadratic, milinganyo ya sehemu na milinganyo ambayo inapungua hadi quadratic. Kanuni ya ufumbuzi wa mafanikio wa kila moja ya kazi zilizotajwa ni kama ifuatavyo: ni muhimu kuanzisha aina gani ya kazi inayotatuliwa, kumbuka mlolongo muhimu wa vitendo ambao utasababisha matokeo yaliyohitajika, i.e. jibu na ufuate hatua hizi.

Kwa wazi, mafanikio au kushindwa katika kutatua tatizo fulani inategemea hasa jinsi aina ya equation inayotatuliwa imedhamiriwa, jinsi mlolongo wa hatua zote za ufumbuzi wake unafanywa kwa usahihi. Bila shaka, katika kesi hii, ni muhimu kuwa na ujuzi wa kufanya mabadiliko na mahesabu sawa.

Hali tofauti hutokea na milinganyo ya trigonometric. Si vigumu kuanzisha ukweli kwamba equation ni trigonometric. Ugumu hutokea wakati wa kuamua mlolongo wa vitendo ambavyo vinaweza kusababisha jibu sahihi.

Wakati mwingine ni vigumu kuamua aina yake kwa kuonekana kwa equation. Na bila kujua aina ya equation, karibu haiwezekani kuchagua moja sahihi kutoka kwa fomula kadhaa za trigonometric.

Ili kutatua equation ya trigonometric, lazima tujaribu:

1. kuleta kazi zote zilizojumuishwa katika equation kwa "pembe sawa";
2. kuleta equation kwa "kazi sawa";
3. Factorize upande wa kushoto wa equation, nk.

Fikiria njia za msingi za kutatua milinganyo ya trigonometric.

I. Kupunguza hadi milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki

Mpango wa suluhisho

Hatua ya 1. Eleza utendaji wa trigonometriki kulingana na vipengele vinavyojulikana.

Hatua ya 2 Pata hoja ya kazi kwa kutumia fomula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

dhambi x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Hatua ya 3 Tafuta tofauti isiyojulikana.

Mfano.

2 cos(3x - π/4) = -√2.

Suluhisho.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x - π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x - π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Jibu: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Ubadilishaji unaobadilika

Mpango wa suluhisho

Hatua ya 1. Leta mlingano kwa umbo la aljebra kuhusiana na mojawapo ya vitendakazi vya trigonometriki.

Hatua ya 2 Onyesha kazi inayotokana na t ya kutofautiana (ikiwa ni lazima, anzisha vikwazo kwenye t).

Hatua ya 3 Andika na utatue mlingano wa aljebra unaotokana.

Hatua ya 4 Fanya badala ya kinyume.

Hatua ya 5 Tatua mlinganyo rahisi zaidi wa trigonometric.

Mfano.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Suluhisho.

1) 2(1 - dhambi 2 (x/2)) - 5dhambi (x/2) - 5 = 0;

2dhambi 2(x/2) + 5dhambi(x/2) + 3 = 0.

2) Acha dhambi (x/2) = t, wapi |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 au e = -3/2 haikidhi masharti |t| ≤ 1.

4) dhambi (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Jibu: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Mbinu ya kupunguza mpangilio wa equation

Mpango wa suluhisho

Hatua ya 1. Badilisha equation hii na ya mstari kwa kutumia fomula za kupunguza nguvu:

dhambi 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hatua ya 2 Tatua mlinganyo unaotokana kwa kutumia njia I na II.

Mfano.

cos2x + cos2x = 5/4.

Suluhisho.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Jibu: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Milinganyo ya homogeneous

Mpango wa suluhisho

Hatua ya 1. Leta equation hii kwenye fomu

a) dhambi x + b cos x = 0 (mlingano wa homogeneous wa shahada ya kwanza)

au kwa mtazamo

b) dhambi 2 x + b dhambi x cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ya shahada ya pili).

Hatua ya 2 Gawa pande zote mbili za mlinganyo kwa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

na upate equation ya tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Hatua ya 3 Tatua mlinganyo kwa kutumia njia zinazojulikana.

Mfano.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Suluhisho.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

dhambi 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Hebu tg x = t, basi

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 au t = -4, hivyo

tg x = 1 au tg x = -4.

Kutoka kwa equation ya kwanza x = π/4 + πn, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Jibu: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Mbinu ya kubadilisha mlinganyo kwa kutumia fomula za trigonometriki

Mpango wa suluhisho

Hatua ya 1. Kwa kutumia aina zote za fomula za trigonometriki, leta mlinganyo huu kwa mlinganyo ambao unaweza kutatuliwa kwa njia I, II, III, IV.

Hatua ya 2 Tatua equation inayotokana kwa kutumia njia zinazojulikana.

Mfano.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Suluhisho.

1) (dhambi x + dhambi 3x) + dhambi 2x = 0;

2sin 2x cos x + dhambi 2x = 0.

2) dhambi 2x (2cos x + 1) = 0;

dhambi 2x = 0 au 2cos x + 1 = 0;

Kutoka kwa equation ya kwanza 2x = π/2 + πn, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili cos x = -1/2.

Tunayo x = π/4 + πn/2, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili x = ± (π - π/3) + 2πk, k Є Z.

Matokeo yake, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Jibu: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Uwezo na ujuzi wa kutatua milinganyo ya trigonometriki ni nyingi sana muhimu, maendeleo yao yanahitaji jitihada kubwa, kwa upande wa mwanafunzi na mwalimu.

Matatizo mengi ya sterometry, fizikia, nk yanahusishwa na ufumbuzi wa equations trigonometric.Mchakato wa kutatua matatizo hayo, kama ilivyokuwa, ina ujuzi na ujuzi mwingi unaopatikana wakati wa kujifunza vipengele vya trigonometry.

Equations Trigonometric inachukua nafasi muhimu katika mchakato wa kufundisha hisabati na maendeleo ya utu kwa ujumla.

Je, una maswali yoyote? Je! hujui jinsi ya kutatua milinganyo ya trigonometric?
Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu -.
Somo la kwanza ni bure!

blog.site, pamoja na kunakili kamili au sehemu ya nyenzo, kiungo cha chanzo kinahitajika.