Milinganyo yenye x mraba. Milinganyo ya quadratic. kwa ufupi kuhusu kuu. Makutano ya matawi ya parabola na mhimili wa abscissa

Milinganyo ya quadratic inasomwa katika daraja la 8, kwa hivyo hakuna chochote ngumu hapa. Uwezo wa kuyatatua ni muhimu.

Mlinganyo wa quadratic ni mlinganyo wa fomu ax 2 + bx + c = 0, ambapo coefficients a , b na c ni nambari za kiholela, na ≠ 0.

Kabla ya kusoma njia maalum za kutatua, tunaona kuwa hesabu zote za quadratic zinaweza kugawanywa katika madarasa matatu:

Usiwe na mizizi;
Wana mzizi mmoja kabisa;
Wana mizizi miwili tofauti.

Hii ni tofauti muhimu kati ya milinganyo ya quadratic na ya mstari, ambapo mzizi daima upo na ni wa kipekee. Jinsi ya kuamua ni mizizi ngapi equation ina? Kuna jambo la ajabu kwa hili - kibaguzi.

Mbaguzi

Hebu shoka la quadratic equation 2 + bx + c = 0. Kisha kibaguzi ni nambari D = b 2 - 4ac tu.

Fomula hii lazima ijulikane kwa moyo. Inatoka wapi sio muhimu sasa. Jambo lingine ni muhimu: kwa ishara ya kibaguzi, unaweza kuamua ni mizizi ngapi equation ya quadratic ina. Yaani:

Ikiwa D< 0, корней нет;
Ikiwa D = 0, kuna mzizi mmoja;
Ikiwa D> 0, kutakuwa na mizizi miwili.

Tafadhali kumbuka: kibaguzi kinaonyesha idadi ya mizizi, na sio ishara zao zote, kwani kwa sababu fulani watu wengi wanafikiria. Angalia mifano na utaelewa kila kitu mwenyewe:

Jukumu. Equations za quadratic zina mizizi ngapi:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Tunaandika coefficients kwa equation ya kwanza na kupata kibaguzi:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Kwa hivyo, kibaguzi ni chanya, kwa hivyo equation ina mizizi miwili tofauti. Tunachambua equation ya pili kwa njia ile ile:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Ubaguzi ni hasi, hakuna mizizi. Equation ya mwisho inabaki:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Kibaguzi ni sawa na sifuri - mzizi utakuwa mmoja.

Kumbuka kwamba hesabu zimeandikwa kwa kila mlinganyo. Ndiyo, ni ya muda mrefu, ndiyo, ni ya kuchosha - lakini huwezi kuchanganya tabia mbaya na usifanye makosa ya kijinga. Chagua mwenyewe: kasi au ubora.

Kwa njia, ikiwa "utajaza mkono wako", baada ya muda hutahitaji tena kuandika coefficients zote. Utafanya shughuli kama hizo katika kichwa chako. Watu wengi huanza kufanya hivi mahali fulani baada ya hesabu 50-70 zilizotatuliwa - kwa ujumla, sio nyingi.

Mizizi ya equation ya quadratic

Sasa hebu tuendelee kwenye suluhisho. Ikiwa kibaguzi D> 0, mizizi inaweza kupatikana kwa kutumia fomula:

Fomula ya msingi ya mizizi ya equation ya quadratic

Wakati D = 0, unaweza kutumia yoyote ya fomula hizi - unapata nambari sawa, ambayo itakuwa jibu. Hatimaye, ikiwa D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Mlingano wa kwanza:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (-3) = 16.

D > 0  mlingano una mizizi miwili. Hebu tutafute:

Mlinganyo wa pili:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (-1) 15 = 64.

D > 0  mlingano tena una mizizi miwili. Hebu tutafute

\[\anza(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \kulia))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \kulia))=3. \\ \mwisho(patanisha)\]

Hatimaye, equation ya tatu:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0  mlingano una mzizi mmoja. Fomula yoyote inaweza kutumika. Kwa mfano, ya kwanza:

Kama unaweza kuona kutoka kwa mifano, kila kitu ni rahisi sana. Ikiwa unajua fomula na uweze kuhesabu, hakutakuwa na matatizo. Mara nyingi, makosa hutokea wakati coefficients hasi inabadilishwa kuwa fomula. Hapa, tena, mbinu iliyoelezwa hapo juu itasaidia: angalia formula halisi, rangi kila hatua - na uondoe makosa hivi karibuni.

Milinganyo ya quadratic isiyo kamili

Inatokea kwamba equation ya quadratic ni tofauti kidogo na ile iliyotolewa katika ufafanuzi. Kwa mfano:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Ni rahisi kuona kwamba moja ya masharti hayapo katika milinganyo hii. Milinganyo kama hiyo ya quadratic ni rahisi zaidi kusuluhisha kuliko ile ya kawaida: hauitaji hata kuhesabu kibaguzi. Kwa hivyo, wacha tuanzishe dhana mpya:

Ax ya equation 2 + bx + c = 0 inaitwa equation ya quadratic isiyo kamili ikiwa b = 0 au c = 0, i.e. mgawo wa variable x au kipengele bure ni sawa na sifuri.

Bila shaka, kesi ngumu sana inawezekana wakati coefficients hizi zote mbili ni sawa na sifuri: b \u003d c \u003d 0. Katika kesi hii, equation inachukua fomu ax 2 \u003d 0. Ni wazi, equation vile ina moja. mzizi: x \u003d 0.

Wacha tuzingatie kesi zingine. Wacha b \u003d 0, kisha tupate equation ya quadratic isiyo kamili ya fomu ax 2 + c \u003d 0. Wacha tuibadilishe kidogo:

Kwa kuwa mzizi wa mraba wa hesabu unapatikana tu kutoka kwa nambari isiyo hasi, usawa wa mwisho unaeleweka tu wakati (−c / a ) ≥ 0. Hitimisho:

Ikiwa mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika wa fomu shoka 2 + c = 0 unakidhi ukosefu wa usawa (−c / a ) ≥ 0, kutakuwa na mizizi miwili. Fomula imetolewa hapo juu;
Ikiwa (−c / a)< 0, корней нет.

Kama unavyoona, ubaguzi haukuhitajika - hakuna hesabu ngumu hata kidogo katika milinganyo ya quadratic isiyokamilika. Kwa kweli, si lazima hata kukumbuka usawa (−c / a) ≥ 0. Inatosha kueleza thamani ya x 2 na kuona ni nini upande wa pili wa ishara sawa. Ikiwa kuna nambari nzuri, kutakuwa na mizizi miwili. Ikiwa hasi, hakutakuwa na mizizi hata kidogo.

Sasa hebu tushughulikie equations ya fomu ax 2 + bx = 0, ambayo kipengele cha bure ni sawa na sifuri. Kila kitu ni rahisi hapa: daima kutakuwa na mizizi miwili. Inatosha kuunda polynomial:

Kuondoa sababu ya kawaida kwenye mabano

Bidhaa ni sawa na sifuri wakati angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri. Hapa ndipo mizizi inatoka. Kwa kumalizia, tutachambua kadhaa ya milinganyo hii:

Jukumu. Tatua milinganyo ya quadratic:

x2 - 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Hakuna mizizi, kwa sababu mraba hauwezi kuwa sawa na nambari hasi.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.

Kiwango cha kwanza

Milinganyo ya quadratic. Mwongozo wa Kina (2019)

Katika neno "quadratic equation" neno muhimu ni "quadratic". Hii ina maana kwamba equation lazima lazima iwe na kutofautiana (sawa X) katika mraba, na wakati huo huo haipaswi kuwa na X katika shahada ya tatu (au zaidi).

Suluhisho la equations nyingi hupunguzwa kwa ufumbuzi wa equations za quadratic.

Wacha tujifunze kubaini kuwa tuna equation ya quadratic, na sio nyingine.

Mfano 1

Ondoa dhehebu na zidisha kila neno la equation kwa

Wacha tuhamishe kila kitu kwa upande wa kushoto na kupanga masharti katika mpangilio wa kushuka wa nguvu za x

Sasa tunaweza kusema kwa ujasiri kwamba equation hii ni quadratic!

Mfano 2

Zidisha pande za kushoto na kulia kwa:

Mlinganyo huu, ingawa hapo awali ulikuwa ndani yake, sio mraba!

Mfano 3

Wacha tuzidishe kila kitu kwa:

Inatisha? Daraja la nne na la pili ... Walakini, ikiwa tutafanya uingizwaji, tutaona kwamba tunayo equation rahisi ya quadratic:

Mfano 4

Inaonekana kuwa, lakini hebu tuangalie kwa karibu. Wacha tuhamishe kila kitu kwa upande wa kushoto:

Unaona, imepungua - na sasa ni mlinganyo rahisi wa mstari!

Sasa jaribu kujiamulia ni ipi kati ya milinganyo ifuatayo ni ya quadratic na ambayo sio:

Mifano:

Majibu:

mraba;
mraba;
si mraba;
si mraba;
si mraba;
mraba;
si mraba;
mraba.

Wanahisabati kwa masharti hugawanya hesabu zote za quadratic katika aina zifuatazo:

Kamilisha milinganyo ya quadratic- equations ambayo coefficients na, pamoja na neno la bure c, si sawa na sifuri (kama katika mfano). Kwa kuongeza, kati ya equations kamili za quadratic, kuna kupewa ni hesabu ambazo mgawo (mlinganyo kutoka kwa mfano wa kwanza sio kamili tu, bali pia umepunguzwa!)

Milinganyo ya quadratic isiyo kamili- milinganyo ambapo mgawo na au neno huru c ni sawa na sifuri:
Hazijakamilika kwa sababu baadhi ya kipengele hakipo. Lakini equation lazima iwe na x mraba kila wakati !!! Vinginevyo, haitakuwa tena quadratic, lakini equation nyingine.

Kwa nini walikuja na mgawanyiko huo? Inaweza kuonekana kuwa kuna X yenye mraba, na sawa. Mgawanyiko kama huo ni kwa sababu ya njia za suluhisho. Hebu fikiria kila mmoja wao kwa undani zaidi.

Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika

Kwanza, hebu tuzingatie kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika - ni rahisi zaidi!

Milinganyo ya quadratic isiyokamilika ni ya aina:

, katika mlinganyo huu mgawo ni sawa.
, katika mlingano huu neno huru ni sawa na.
, katika mlinganyo huu mgawo na neno huria ni sawa.

1. i. Kwa kuwa tunajua jinsi ya kuchukua mzizi wa mraba, hebu tuonyeshe kutoka kwa mlinganyo huu

Usemi huo unaweza kuwa hasi au chanya. Nambari ya mraba haiwezi kuwa mbaya, kwa sababu wakati wa kuzidisha nambari mbili hasi au mbili chanya, matokeo yatakuwa nambari chanya kila wakati, kwa hivyo: ikiwa, basi equation haina suluhisho.

Na ikiwa, basi tunapata mizizi miwili. Fomula hizi hazihitaji kukariri. Jambo kuu ni kwamba unapaswa kujua kila wakati na kukumbuka kuwa haiwezi kuwa chini.

Hebu jaribu kutatua baadhi ya mifano.

Mfano 5:

Tatua Mlingano

Sasa inabakia kutoa mzizi kutoka sehemu za kushoto na za kulia. Baada ya yote, unakumbuka jinsi ya kuchimba mizizi?

Jibu:

Usisahau kamwe kuhusu mizizi yenye ishara hasi !!!

Mfano 6:

Tatua Mlingano

Jibu:

Mfano 7:

Tatua Mlingano

Lo! Mraba wa nambari hauwezi kuwa hasi, ambayo ina maana kwamba equation

hakuna mizizi!

Kwa equations vile ambazo hakuna mizizi, wanahisabati walikuja na icon maalum - (seti tupu). Na jibu linaweza kuandikwa kama hii:

Jibu:

Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mizizi miwili. Hakuna vikwazo hapa, kwani hatukuondoa mizizi.
Mfano 8:

Tatua Mlingano

Wacha tutoe sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:

Kwa njia hii,

Equation hii ina mizizi miwili.

Jibu:

Aina rahisi zaidi ya milinganyo ya quadratic isiyokamilika (ingawa zote ni rahisi, sivyo?). Ni wazi, equation hii kila wakati ina mzizi mmoja tu:

Hapa tutafanya bila mifano.

Kutatua milinganyo kamili ya quadratic

Tunakukumbusha kwamba mlinganyo kamili wa quadratic ni mlinganyo wa mlinganyo wa fomu ambapo

Kutatua milinganyo kamili ya quadratic ni ngumu zaidi (kidogo tu) kuliko ile iliyotolewa.

Kumbuka, equation yoyote ya quadratic inaweza kutatuliwa kwa kutumia kibaguzi! Hata haijakamilika.

Njia zingine zitakusaidia kuifanya haraka, lakini ikiwa una shida na hesabu za quadratic, kwanza bwana suluhisho kwa kutumia kibaguzi.

1. Kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia kibaguzi.

Kutatua equations za quadratic kwa njia hii ni rahisi sana, jambo kuu ni kukumbuka mlolongo wa vitendo na michache ya kanuni.

Ikiwa, basi equation ina mizizi. Tahadhari maalum inapaswa kulipwa kwa hatua. Kibaguzi () hutuambia idadi ya mizizi ya mlinganyo.

Ikiwa, basi formula katika hatua itapunguzwa. Kwa hivyo, equation itakuwa na mzizi tu.
Ikiwa, basi hatutaweza kutoa mzizi wa kibaguzi katika hatua hiyo. Hii inaonyesha kuwa equation haina mizizi.

Wacha turudi kwenye milinganyo yetu na tuangalie mifano michache.

Mfano 9:

Tatua Mlingano

Hatua ya 1 ruka.

Hatua ya 2

Kupata kibaguzi:

Kwa hivyo equation ina mizizi miwili.

Hatua ya 3

Jibu:

Mfano 10:

Tatua Mlingano

Equation iko katika fomu ya kawaida, kwa hivyo Hatua ya 1 ruka.

Hatua ya 2

Kupata kibaguzi:

Kwa hivyo equation ina mzizi mmoja.

Jibu:

Mfano 11:

Tatua Mlingano

Equation iko katika fomu ya kawaida, kwa hivyo Hatua ya 1 ruka.

Hatua ya 2

Kupata kibaguzi:

Hii ina maana kwamba hatutaweza kung'oa mzizi kutoka kwa kibaguzi. Hakuna mizizi ya equation.

Sasa tunajua jinsi ya kuandika majibu kama haya kwa usahihi.

Jibu: hakuna mizizi

2. Suluhisho la milinganyo ya quadratic kwa kutumia nadharia ya Vieta.

Ikiwa unakumbuka, basi kuna aina kama hii ya equations inayoitwa kupunguzwa (wakati mgawo a ni sawa na):

Milinganyo kama hii ni rahisi sana kusuluhisha kwa kutumia nadharia ya Vieta:

Jumla ya mizizi kupewa equation ya quadratic ni sawa, na bidhaa ya mizizi ni sawa.

Mfano 12:

Tatua Mlingano

Mlinganyo huu unafaa kwa suluhisho kwa kutumia nadharia ya Vieta, kwa sababu .

Jumla ya mizizi ya equation ni, i.e. tunapata equation ya kwanza:

Na bidhaa ni:

Wacha tuunda na kutatua mfumo:

na. Jumla ni;
na. Jumla ni;
na. Kiasi ni sawa.

na ndio suluhisho la mfumo:

Jibu: ; .

Mfano 13:

Tatua Mlingano

Jibu:

Mfano 14:

Tatua Mlingano

Equation imepunguzwa, ambayo inamaanisha:

Jibu:

QUADRATIC EQUATIONS. KIWANGO CHA WASTANI

Mlinganyo wa quadratic ni nini?

Kwa maneno mengine, equation ya quadratic ni equation ya fomu, ambapo - haijulikani, - baadhi ya idadi, zaidi ya hayo.

Nambari inaitwa ya juu zaidi au mgawo wa kwanza mlinganyo wa quadratic, - mgawo wa pili, a - mwanachama huru.

Kwa nini? Kwa sababu kama, equation itakuwa mara moja kuwa linear, kwa sababu itatoweka.

Katika kesi hii, na inaweza kuwa sawa na sifuri. Katika equation hii ya kinyesi inaitwa haijakamilika. Ikiwa masharti yote yamewekwa, yaani, equation imekamilika.

Suluhisho kwa aina mbalimbali za milinganyo ya quadratic

Njia za kutatua milinganyo isiyokamilika ya quadratic:

Kuanza, tutachambua njia za kutatua hesabu za quadratic ambazo hazijakamilika - ni rahisi zaidi.

Aina zifuatazo za equations zinaweza kutofautishwa:

I. , katika mlinganyo huu mgawo na neno huria ni sawa.

II. , katika mlinganyo huu mgawo ni sawa.

III. , katika mlingano huu neno huru ni sawa na.

Sasa fikiria suluhisho la kila aina ndogo hizi.

Ni wazi, equation hii kila wakati ina mzizi mmoja tu:

Nambari ya mraba haiwezi kuwa mbaya, kwa sababu wakati wa kuzidisha nambari mbili hasi au mbili, matokeo yatakuwa nambari chanya kila wakati. Ndiyo maana:

ikiwa, basi equation haina ufumbuzi;

ikiwa tuna mizizi miwili

Fomula hizi hazihitaji kukariri. Jambo kuu la kukumbuka ni kwamba haiwezi kuwa chini.

Mifano:

Ufumbuzi:

Jibu:

Usisahau kamwe kuhusu mizizi yenye ishara hasi!

Mraba wa nambari hauwezi kuwa hasi, ambayo ina maana kwamba equation

hakuna mizizi.

Ili kuandika kwa ufupi kwamba tatizo halina ufumbuzi, tunatumia ikoni ya kuweka tupu.

Jibu:

Kwa hivyo, equation hii ina mizizi miwili: na.

Jibu:

Wacha tutoe sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:

Bidhaa ni sawa na sifuri ikiwa angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri. Hii inamaanisha kuwa equation ina suluhisho wakati:

Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mizizi miwili: na.

Mfano:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Tunatengeneza upande wa kushoto wa equation na kupata mizizi:

Jibu:

Njia za kutatua hesabu kamili za quadratic:

1. Mbaguzi

Kutatua hesabu za quadratic kwa njia hii ni rahisi, jambo kuu ni kukumbuka mlolongo wa vitendo na fomula kadhaa. Kumbuka, mlinganyo wowote wa quadratic unaweza kutatuliwa kwa kutumia kibaguzi! Hata haijakamilika.

Je, umeona mzizi wa kibaguzi katika fomula ya mzizi? Lakini ubaguzi unaweza kuwa mbaya. Nini cha kufanya? Tunahitaji kulipa kipaumbele maalum kwa hatua ya 2. Mbaguzi anatuambia idadi ya mizizi ya equation.

Ikiwa, basi equation ina mzizi:
Ikiwa, basi equation ina mzizi sawa, lakini kwa kweli, mzizi mmoja:
Mizizi hiyo inaitwa mizizi mara mbili.
Ikiwa, basi mzizi wa kibaguzi haujatolewa. Hii inaonyesha kuwa equation haina mizizi.

Kwa nini kuna idadi tofauti ya mizizi? Wacha tugeukie maana ya kijiometri ya equation ya quadratic. Grafu ya kazi ni parabola:

Katika kesi fulani, ambayo ni equation ya quadratic,. Na hii ina maana kwamba mizizi ya equation ya quadratic ni pointi za makutano na mhimili wa x (mhimili). Parabola haiwezi kuvuka mhimili hata kidogo, au inaweza kuikata kwa moja (wakati sehemu ya juu ya parabola iko kwenye mhimili) au pointi mbili.

Kwa kuongeza, mgawo ni wajibu wa mwelekeo wa matawi ya parabola. Ikiwa, basi matawi ya parabola yanaelekezwa juu, na ikiwa - basi chini.

Mifano:

Ufumbuzi:

Jibu:

Jibu:.

Jibu:

Hii inamaanisha kuwa hakuna suluhisho.

Jibu:.

2. Nadharia ya Vieta

Kutumia theorem ya Vieta ni rahisi sana: unahitaji tu kuchagua jozi ya namba ambazo bidhaa ni sawa na muda wa bure wa equation, na jumla ni sawa na mgawo wa pili, kuchukuliwa na ishara kinyume.

Ni muhimu kukumbuka kuwa nadharia ya Vieta inaweza kutumika tu kwa kupewa milinganyo ya roboduara ().

Hebu tuangalie mifano michache:

Mfano #1:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Mlinganyo huu unafaa kwa suluhisho kwa kutumia nadharia ya Vieta, kwa sababu . Coefficients nyingine:; .

Jumla ya mizizi ya equation ni:

Na bidhaa ni:

Wacha tuchague jozi kama hizo za nambari, bidhaa ambayo ni sawa, na angalia ikiwa jumla yao ni sawa:

na. Jumla ni;
na. Jumla ni;
na. Kiasi ni sawa.

na ndio suluhisho la mfumo:

Hivyo, na ni mizizi ya equation yetu.

Jibu:; .

Mfano #2:

Suluhisho:

Tunachagua jozi kama hizo za nambari ambazo hutoa katika bidhaa, na kisha angalia ikiwa jumla yao ni sawa:

na: toa kwa jumla.

na: toa kwa jumla. Ili kuipata, unahitaji tu kubadilisha ishara za mizizi inayodaiwa: na, baada ya yote, bidhaa.

Jibu:

Mfano #3:

Suluhisho:

Neno la bure la equation ni hasi, na hivyo bidhaa ya mizizi ni nambari hasi. Hii inawezekana tu ikiwa moja ya mizizi ni hasi na nyingine ni chanya. Kwa hivyo jumla ya mizizi ni tofauti za moduli zao.

Tunachagua jozi kama hizo za nambari ambazo hutoa katika bidhaa, na tofauti ambayo ni sawa na:

na: tofauti yao - haifai;

na: - haifai;

na: - inafaa. Inabakia tu kukumbuka kuwa moja ya mizizi ni hasi. Kwa kuwa jumla yao lazima iwe sawa, basi mizizi, ambayo ni ndogo kwa thamani kamili, lazima iwe hasi:. Tunaangalia:

Jibu:

Mfano #4:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Equation imepunguzwa, ambayo inamaanisha:

Neno la bure ni hasi, na hivyo bidhaa ya mizizi ni hasi. Na hii inawezekana tu wakati mzizi mmoja wa equation ni hasi na mwingine ni chanya.

Tunachagua jozi kama hizo za nambari ambazo bidhaa ni sawa, na kisha kuamua ni mizizi gani inapaswa kuwa na ishara mbaya:

Ni wazi, mizizi tu na inafaa kwa hali ya kwanza:

Jibu:

Mfano #5:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Equation imepunguzwa, ambayo inamaanisha:

Jumla ya mizizi ni hasi, ambayo ina maana kwamba angalau moja ya mizizi ni hasi. Lakini kwa kuwa bidhaa zao ni chanya, inamaanisha kuwa mizizi yote miwili ni minus.

Tunachagua jozi kama hizo za nambari, bidhaa ambayo ni sawa na:

Kwa wazi, mizizi ni nambari na.

Jibu:

Kukubaliana, ni rahisi sana - kuvumbua mizizi kwa mdomo, badala ya kuhesabu ubaguzi huu mbaya. Jaribu kutumia nadharia ya Vieta mara nyingi iwezekanavyo.

Lakini nadharia ya Vieta inahitajika ili kuwezesha na kuharakisha kupata mizizi. Ili kuifanya iwe faida kwako kuitumia, lazima ulete vitendo kwa automatism. Na kwa hili, suluhisha mifano mitano zaidi. Lakini usidanganye: huwezi kutumia kibaguzi! Nadharia ya Vieta pekee:

Suluhisho za kazi za kujitegemea:

Kazi ya 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Kulingana na nadharia ya Vieta:

Kama kawaida, tunaanza uteuzi na bidhaa:

Haifai kwa sababu kiasi;

: kiasi ndicho unachohitaji.

Jibu:; .

Jukumu la 2.

Na tena, nadharia yetu tunayopenda ya Vieta: jumla inapaswa kufanya kazi, lakini bidhaa ni sawa.

Lakini kwa kuwa haipaswi kuwa, lakini, tunabadilisha ishara za mizizi: na (kwa jumla).

Jibu:; .

Jukumu la 3.

Hmm... Iko wapi?

Ni muhimu kuhamisha masharti yote katika sehemu moja:

Jumla ya mizizi ni sawa na bidhaa.

Ndiyo, acha! Equation haijatolewa. Lakini nadharia ya Vieta inatumika tu katika milinganyo uliyopewa. Kwa hivyo kwanza unahitaji kuleta equation. Ikiwa huwezi kuleta, kuacha wazo hili na kutatua kwa njia nyingine (kwa mfano, kwa njia ya kibaguzi). Acha nikukumbushe kwamba kuleta mlinganyo wa quadratic inamaanisha kufanya mgawo unaoongoza kuwa sawa na:

Bora kabisa. Kisha jumla ya mizizi ni sawa, na bidhaa.

Ni rahisi kuchukua hapa: baada ya yote - nambari kuu (samahani kwa tautology).

Jibu:; .

Jukumu la 4.

Neno huru ni hasi. Ni nini maalum juu yake? Na ukweli kwamba mizizi itakuwa ya ishara tofauti. Na sasa, wakati wa uteuzi, hatuangalie jumla ya mizizi, lakini tofauti kati ya moduli zao: tofauti hii ni sawa, lakini bidhaa.

Kwa hivyo, mizizi ni sawa na, lakini moja yao iko na minus. Nadharia ya Vieta inatuambia kwamba jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili na ishara kinyume, yaani. Hii ina maana kwamba mzizi mdogo utakuwa na minus: na, tangu.

Jibu:; .

Jukumu la 5.

Ni nini kinachopaswa kufanywa kwanza? Hiyo ni kweli, toa equation:

Tena: tunachagua sababu za nambari, na tofauti zao zinapaswa kuwa sawa na:

Mizizi ni sawa na, lakini mmoja wao ni minus. Ambayo? Jumla yao lazima iwe sawa, ambayo inamaanisha kuwa kwa minus kutakuwa na mzizi mkubwa.

Jibu:; .

Acha nifanye muhtasari:

Nadharia ya Vieta inatumika tu katika milinganyo ya quadratic iliyotolewa.
Kutumia nadharia ya Vieta, unaweza kupata mizizi kwa uteuzi, kwa mdomo.
Ikiwa equation haijatolewa au hakuna jozi inayofaa ya mambo ya muda wa bure ilipatikana, basi hakuna mizizi kamili, na unahitaji kutatua kwa njia nyingine (kwa mfano, kwa njia ya kibaguzi).

3. Mbinu kamili ya uteuzi wa mraba

Ikiwa maneno yote yaliyo na yasiyojulikana yanawakilishwa kama maneno kutoka kwa fomula za kuzidisha kwa kifupi - mraba wa jumla au tofauti - basi baada ya mabadiliko ya vigezo inawezekana kuwakilisha equation katika mfumo wa equation ya quadratic isiyo kamili ya aina. .

Kwa mfano:

Mfano 1:

Tatua mlingano:.

Suluhisho:

Jibu:

Mfano 2:

Tatua mlingano:.

Suluhisho:

Jibu:

Kwa ujumla, mabadiliko yataonekana kama hii:

Hii ina maana:.

Je, haikukumbushi chochote? Ni mbaguzi! Hivyo ndivyo fomula ya kibaguzi ilivyopatikana.

QUADRATIC EQUATIONS. KWA UFUPI KUHUSU KUU

Mlinganyo wa Quadratic ni equation ya fomu, ambapo haijulikani, ni coefficients ya quadratic equation, ni neno huru.

Mlinganyo kamili wa quadratic- equation ambayo coefficients si sawa na sifuri.

Ilipunguza equation ya quadratic- equation ambayo mgawo, yaani:.

Mlinganyo wa quadratic usio kamili- mlinganyo ambapo mgawo na au neno huru c ni sawa na sifuri:

ikiwa mgawo, equation ina fomu:,
ikiwa neno huru, mlinganyo una fomu: ,
ikiwa na, mlinganyo una fomu: .

1. Algorithm ya kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika

1.1. Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika wa fomu, ambapo,:

1) Eleza haijulikani:,

2) Angalia ishara ya usemi:

ikiwa, basi equation haina suluhu,
ikiwa, basi equation ina mizizi miwili.

1.2. Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika wa fomu, ambapo,:

1) Wacha tutoe sababu ya kawaida kutoka kwa mabano: ,

2) Bidhaa ni sawa na sifuri ikiwa angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, equation ina mizizi miwili:

1.3. Mlinganyo usio kamili wa fomu ya quadratic, ambapo:

Mlinganyo huu daima huwa na mzizi mmoja tu:.

2. Algorithm ya kutatua milinganyo kamili ya quadratic ya fomu ambapo

2.1. Suluhisho kwa kutumia kibaguzi

1) Wacha tulete equation kwa fomu ya kawaida:

2) Hesabu kibaguzi kwa kutumia formula: , ambayo inaonyesha idadi ya mizizi ya equation:

3) Tafuta mizizi ya equation:

ikiwa, basi equation ina mzizi, ambayo hupatikana na formula:
ikiwa, basi equation ina mzizi, ambayo hupatikana na formula:
ikiwa, basi equation haina mizizi.

2.2. Suluhisho kwa kutumia nadharia ya Vieta

Jumla ya mizizi ya equation iliyopunguzwa ya quadratic (equation ya fomu, ambapo) ni sawa, na bidhaa za mizizi ni sawa, i.e. , a.

2.3. Suluhisho kamili la mraba

Tunaendelea kusoma mada suluhisho la equations". Tayari tumefahamiana na hesabu za mstari na sasa tutafahamiana milinganyo ya quadratic.

Kwanza, tutajadili equation ya quadratic ni nini, jinsi imeandikwa kwa fomu ya jumla, na kutoa ufafanuzi unaohusiana. Baada ya hayo, kwa kutumia mifano, tutachambua kwa undani jinsi equations zisizo kamili za quadratic zinatatuliwa. Ifuatayo, tunaendelea kusuluhisha hesabu kamili, pata fomula ya mizizi, ujue na ubaguzi wa equation ya quadratic na fikiria suluhisho kwa mifano ya kawaida. Hatimaye, tunafuatilia uhusiano kati ya mizizi na coefficients.

Urambazaji wa ukurasa.

Mlinganyo wa quadratic ni nini? Aina zao

Kwanza unahitaji kuelewa wazi equation ya quadratic ni nini. Kwa hiyo, ni busara kuanza kuzungumza juu ya usawa wa quadratic na ufafanuzi wa equation ya quadratic, pamoja na ufafanuzi unaohusiana nayo. Baada ya hayo, unaweza kuzingatia aina kuu za equations za quadratic: kupunguzwa na kutopunguzwa, pamoja na usawa kamili na usio kamili.

Ufafanuzi na mifano ya milinganyo ya quadratic

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa Quadratic ni mlinganyo wa fomu a x 2 +b x+c=0, ambapo x ni kigezo, a , b na c ni nambari fulani, na a ni tofauti na sifuri.

Wacha tuseme mara moja kwamba equations za quadratic mara nyingi huitwa equations ya shahada ya pili. Hii ni kwa sababu equation ya quadratic ni mlinganyo wa algebra shahada ya pili.

Ufafanuzi uliosikika unaturuhusu kutoa mifano ya milinganyo ya quadratic. Kwa hivyo 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, nk. ni milinganyo ya quadratic.

Ufafanuzi.

Nambari a , b na c huitwa mgawo wa mlinganyo wa quadratic a x 2 +b x + c=0, na mgawo a unaitwa kwanza, au mkuu, au mgawo katika x 2, b ni mgawo wa pili, au mgawo katika x, na c ni mwanachama bila malipo.

Kwa mfano, hebu tuchukue equation ya quadratic ya fomu 5 x 2 -2 x−3=0, hapa mgawo unaoongoza ni 5, mgawo wa pili ni -2, na neno la bure ni -3. Kumbuka kwamba wakati viambatanisho b na/au c ni hasi, kama ilivyo katika mfano uliopewa, fomu fupi ya mlinganyo wa quadratic wa fomu 5 x 2 -2 x-3=0 inatumiwa, sio 5 x 2 +(-- 2 )x+(−3)=0 .

Inafaa kumbuka kuwa wakati hesabu za a na / au b ni sawa na 1 au -1, basi kwa kawaida hazipo wazi katika nukuu ya mlinganyo wa quadratic, ambayo ni kwa sababu ya upekee wa nukuu ya vile . Kwa mfano, katika mlinganyo wa quadratic y 2 -y+3=0, mgawo unaoongoza ni mmoja, na mgawo katika y ni -1.

Milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa na isiyopunguzwa

Kulingana na thamani ya mgawo wa kuongoza, milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa na isiyopunguzwa inajulikana. Wacha tutoe ufafanuzi unaolingana.

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa quadratic ambao mgawo unaoongoza ni 1 unaitwa kupunguzwa equation ya quadratic. Vinginevyo, equation ya quadratic ni bila kupunguzwa.

Kulingana na ufafanuzi huu, milinganyo ya quadratic x 2 -3 x+1=0, x 2 -x-2/3=0, nk. - kupunguzwa, katika kila mmoja wao mgawo wa kwanza ni sawa na moja. Na 5 x 2 −x−1=0 , nk. - milinganyo ya quadratic isiyopunguzwa, coefficients yao inayoongoza ni tofauti na 1 .

Kutoka kwa usawa wowote usiopunguzwa wa quadratic, kwa kugawanya sehemu zake zote mbili kwa mgawo wa kuongoza, unaweza kwenda kwa moja iliyopunguzwa. Kitendo hiki ni mageuzi sawa, yaani, equation iliyopunguzwa ya quadratic iliyopatikana kwa njia hii ina mizizi sawa na equation ya awali isiyopunguzwa ya quadratic, au, kama hiyo, haina mizizi.

Hebu tuchukue mfano wa jinsi mpito kutoka kwa mlinganyo wa quadratic ambao haujapunguzwa hadi uliopunguzwa unafanywa.

Mfano.

Kutoka kwa mlingano wa 3 x 2 +12 x−7=0, nenda kwa mlingano wa quadratic uliopunguzwa.

Suluhisho.

Inatosha kwetu kufanya mgawanyiko wa sehemu zote mbili za equation ya awali na mgawo wa 3 unaoongoza, sio sifuri, ili tuweze kufanya kitendo hiki. Tunayo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , ambayo ni sawa na (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , na kadhalika (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , kutoka wapi . Kwa hivyo tulipata equation ya quadratic iliyopunguzwa, ambayo ni sawa na ile ya asili.

Jibu:

Milinganyo kamili na isiyo kamili ya quadratic

Kuna hali a≠0 katika ufafanuzi wa mlinganyo wa roboduara. Hali hii ni muhimu ili equation a x 2 +b x+c=0 iwe mraba haswa, kwani kwa a=0 inakuwa kweli mlinganyo wa mstari wa fomu b x+c=0 .

Kama kwa coefficients b na c, wanaweza kuwa sawa na sifuri, wote tofauti na kwa pamoja. Katika kesi hizi, equation ya quadratic inaitwa haijakamilika.

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa quadratic a x 2 +b x+c=0 unaitwa haijakamilika, ikiwa angalau moja ya mgawo b , c ni sawa na sifuri.

Kwa upande wake

Ufafanuzi.

Mlinganyo kamili wa quadratic ni mlinganyo ambapo coefficients zote ni tofauti na sufuri.

Majina haya hayapewi kwa bahati. Hili litakuwa wazi kutokana na mjadala ufuatao.

Ikiwa mgawo b ni sawa na sifuri, basi equation ya quadratic inachukua fomu x 2 +0 x+c=0 , na ni sawa na equation a x 2 +c=0 . Ikiwa c=0 , yaani, equation ya quadratic ina umbo a x 2 +b x+0=0 , basi inaweza kuandikwa upya kama x 2 +b x=0 . Na kwa b=0 na c=0 tunapata equation ya quadratic a·x 2 =0. Milinganyo inayotokana inatofautiana na mlinganyo kamili wa quadratic kwa kuwa pande zao za mkono wa kushoto hazina neno lenye mabadiliko ya x, au neno lisilolipishwa, au zote mbili. Kwa hivyo jina lao - milinganyo ya quadratic isiyo kamili.

Kwa hivyo milinganyo x 2 +x+1=0 na -2 x 2 -5 x+0,2=0 ni mifano ya milinganyo kamili ya quadratic, na x 2 =0, -2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 ni milinganyo ya quadratic isiyokamilika.

Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika

Inafuata kutoka kwa habari ya aya iliyotangulia kwamba kuna aina tatu za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:

a x 2 =0 , coefficients b=0 na c=0 inalingana nayo;
a x 2 +c=0 wakati b=0 ;
na a x 2 +b x=0 wakati c=0 .

Wacha tuchambue ili jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika ya kila aina hizi hutatuliwa.

x 2 \u003d 0

Wacha tuanze kwa kusuluhisha milinganyo isiyokamilika ya quadratic ambayo coefficients b na c ni sawa na sifuri, ambayo ni, na milinganyo ya fomu x 2 =0. Mlinganyo a·x 2 =0 ni sawa na mlinganyo x 2 =0, ambao hupatikana kutoka kwa asili kwa kugawanya sehemu zake zote mbili kwa nambari isiyo ya sifuri a. Ni wazi, mzizi wa equation x 2 \u003d 0 ni sifuri, tangu 0 2 \u003d 0. Mlinganyo huu hauna mizizi mingine, ambayo inaelezewa, kwa hakika, kwa nambari yoyote isiyo ya sifuri p, usawa p 2 >0 hufanyika, ambayo ina maana kwamba kwa p≠0, usawa p 2 =0 haipatikani kamwe.

Kwa hivyo, equation ya quadratic isiyo kamili x 2 \u003d 0 ina mzizi mmoja x \u003d 0.

Kama mfano, tunatoa suluhisho la equation ya quadratic isiyokamilika -4 · x 2 =0. Ni sawa na equation x 2 \u003d 0, mzizi wake pekee ni x \u003d 0, kwa hivyo, equation ya asili ina sifuri moja ya mizizi.

Suluhisho fupi katika kesi hii linaweza kutolewa kama ifuatavyo.
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sasa fikiria jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inavyotatuliwa, ambapo mgawo b ni sawa na sifuri, na c≠0, yaani, milinganyo ya fomu x 2 +c=0. Tunajua kwamba uhamisho wa neno kutoka upande mmoja wa equation hadi mwingine kwa ishara kinyume, pamoja na mgawanyiko wa pande zote mbili za equation kwa nambari isiyo ya sifuri, hutoa mlinganyo sawa. Kwa hivyo, mabadiliko sawa yafuatayo ya equation ya quadratic isiyokamilika x 2 +c=0 inaweza kufanywa:

hoja c kwa upande wa kulia, ambayo inatoa equation a x 2 =-c,
na kugawanya sehemu zake zote mbili kwa a , tunapata .

Equation inayotokana inatuwezesha kupata hitimisho kuhusu mizizi yake. Kulingana na maadili ya a na c, thamani ya usemi inaweza kuwa hasi (kwa mfano, ikiwa a=1 na c=2 , basi ) au chanya, (kwa mfano, ikiwa a=−2 na c=6 , basi ), si sawa na sifuri , kwa sababu kwa hali c≠0 . Tutachambua kesi hizo tofauti na.

Ikiwa , basi equation haina mizizi. Taarifa hii inafuatia ukweli kwamba mraba wa nambari yoyote ni nambari isiyo hasi. Inafuata kutoka kwa hili kwamba when , basi kwa nambari yoyote p usawa hauwezi kuwa kweli.

Ikiwa , basi hali na mizizi ya equation ni tofauti. Katika kesi hii, ikiwa tunakumbuka kuhusu, basi mzizi wa equation mara moja inakuwa dhahiri, ni namba, tangu. Ni rahisi kukisia kuwa nambari pia ndio mzizi wa equation, kwa kweli,. Equation hii haina mizizi mingine, ambayo inaweza kuonyeshwa, kwa mfano, kwa kupingana. Hebu tufanye.

Wacha tuonyeshe vizizi vilivyotolewa tu vya equation kama x 1 na −x 1 . Tuseme kwamba equation ina mzizi mwingine x 2 tofauti na mizizi iliyoonyeshwa x 1 na −x 1 . Inajulikana kuwa uingizwaji katika mlinganyo badala ya x wa mizizi yake hugeuza mlinganyo kuwa usawa wa kweli wa nambari. Kwa x 1 na −x 1 tuna , na kwa x 2 tuna . Sifa za usawa wa nambari huturuhusu kufanya uondoaji wa muda kwa muda wa usawa wa kweli wa nambari, kwa hivyo kuondoa sehemu zinazolingana za usawa hutoa x 1 2 - x 2 2 =0. Sifa za utendakazi zilizo na nambari huturuhusu kuandika upya usawa unaotokana kama (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Tunajua kuwa bidhaa ya nambari mbili ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa angalau moja yao ni sawa na sifuri. Kwa hiyo, inafuata kutoka kwa usawa uliopatikana kwamba x 1 -x 2 =0 na/au x 1 +x 2 =0, ambayo ni sawa, x 2 =x 1 na/au x 2 = -x 1. Kwa hivyo tumekuja kwa mkanganyiko, kwani mwanzoni tulisema kwamba mzizi wa equation x 2 ni tofauti na x 1 na −x 1 . Hii inathibitisha kwamba equation haina mizizi nyingine zaidi ya na.

Hebu tufanye muhtasari wa habari katika aya hii. Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika a x 2 +c=0 ni sawa na equation , ambayo

haina mizizi ikiwa,
ina mizizi miwili na ikiwa .

Fikiria mifano ya utatuzi wa milinganyo ya robodi isiyokamilika ya fomu a·x 2 +c=0 .

Hebu tuanze na mlingano wa roboduara 9 x 2 +7=0 . Baada ya kuhamisha neno la bure kwa upande wa kulia wa equation, itachukua fomu 9 · x 2 = -7. Kugawanya pande zote mbili za equation inayotokana na 9, tunafika. Kwa kuwa nambari hasi inapatikana kwa upande wa kulia, usawa huu hauna mizizi, kwa hiyo, usawa wa awali wa quadratic usio kamili 9 x 2 +7=0 hauna mizizi.

Wacha tusuluhishe mlinganyo mmoja wa kiduara ambao haujakamilika −x 2 +9=0. Tunahamisha tisa kwa upande wa kulia: -x 2 \u003d -9. Sasa tunagawanya sehemu zote mbili kwa -1, tunapata x 2 =9. Upande wa kulia una nambari chanya, ambayo tunahitimisha kuwa au . Baada ya kuandika jibu la mwisho: equation ya quadratic isiyokamilika -x 2 +9=0 ina mizizi miwili x=3 au x=-3.

a x 2 +b x=0

Inabakia kushughulika na suluhisho la aina ya mwisho ya milinganyo ya quadratic isiyokamilika kwa c=0 . Milinganyo ya quadratic isiyokamilika ya fomu ya x 2 +b x=0 inakuruhusu kutatua njia ya factorization. Kwa wazi, tunaweza, iko upande wa kushoto wa equation, ambayo inatosha kuchukua sababu ya kawaida x nje ya mabano. Hili huturuhusu kuhama kutoka kwa mlinganyo wa awali wa quadratic usio kamili hadi mlinganyo sawa wa fomu x·(a·x+b)=0 . Na mlinganyo huu ni sawa na seti ya milinganyo miwili x=0 na a x+b=0 , ambayo ya mwisho ni ya mstari na ina mzizi x=−b/a .

Kwa hivyo, mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika a x 2 +b x=0 una mizizi miwili x=0 na x=-b/a.

Ili kuunganisha nyenzo, tutachambua suluhisho la mfano maalum.

Mfano.

Tatua mlinganyo.

Suluhisho.

Tunatoa x kutoka kwa mabano, hii inatoa mlinganyo. Ni sawa na milinganyo miwili x=0 na . Tunatatua usawa wa mstari unaosababishwa: , na baada ya kugawanya nambari iliyochanganywa na sehemu ya kawaida, tunapata. Kwa hivyo, mizizi ya equation ya asili ni x=0 na .

Baada ya kupata mazoezi muhimu, suluhisho za hesabu kama hizo zinaweza kuandikwa kwa ufupi:

Jibu:

x=0 , .

Ubaguzi, fomula ya mizizi ya equation ya quadratic

Ili kutatua equations za quadratic, kuna formula ya mizizi. Hebu tuandike formula ya mizizi ya equation ya quadratic:, wapi D=b 2 −4 a c- kinachojulikana kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic. Nukuu kimsingi inamaanisha kuwa.

Ni muhimu kujua jinsi fomula ya mizizi ilipatikana, na jinsi inavyotumika katika kutafuta mizizi ya milinganyo ya quadratic. Hebu tushughulike na hili.

Utoaji wa fomula ya mizizi ya equation ya quadratic

Hebu tuhitaji kutatua mlingano wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0 . Wacha tufanye mabadiliko sawa:

Tunaweza kugawanya sehemu zote mbili za mlingano huu kwa nambari isiyo ya sifuri a, kwa hivyo tunapata mlinganyo wa quadratic uliopunguzwa.
Sasa chagua mraba kamili upande wake wa kushoto:. Baada ya hapo, equation itachukua fomu.
Katika hatua hii, inawezekana kutekeleza uhamisho wa maneno mawili ya mwisho kwa upande wa kulia na ishara kinyume, tuna .
Na wacha pia tubadilishe usemi ulio upande wa kulia: .

Kwa hivyo, tunafika kwenye mlinganyo , ambao ni sawa na mlinganyo wa awali wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0 .

Tayari tumetatua milinganyo inayofanana katika umbo katika aya zilizopita tulipochanganua . Hii inaruhusu sisi kupata hitimisho zifuatazo kuhusu mizizi ya equation:

ikiwa , basi equation haina ufumbuzi halisi;
ikiwa, basi equation ina fomu, kwa hiyo,, ambayo mizizi yake pekee inaonekana;
ikiwa , basi au , ambayo ni sawa na au, yaani, equation ina mizizi miwili.

Kwa hivyo, kuwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation, na hivyo equation ya awali ya quadratic, inategemea ishara ya kujieleza upande wa kulia. Kwa upande wake, ishara ya usemi huu imedhamiriwa na ishara ya nambari, kwani denominator 4 a 2 ni chanya kila wakati, ambayo ni, ishara ya usemi b 2 -4 a c. Usemi huu b 2 −4 a c unaitwa kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic na alama na barua D. Kuanzia hapa, kiini cha kibaguzi ni wazi - kwa thamani yake na ishara, inahitimishwa ikiwa equation ya quadratic ina mizizi halisi, na ikiwa ni hivyo, nambari yao ni nini - moja au mbili.

Tunarudi kwenye equation , iandike upya kwa kutumia nukuu ya kibaguzi: . Na tunahitimisha:

ikiwa D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
ikiwa D=0, basi equation hii ina mzizi mmoja;
hatimaye, ikiwa D>0, basi equation ina mizizi miwili au , ambayo inaweza kuandikwa upya kwa fomu au , na baada ya kupanua na kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida, tunapata.

Kwa hivyo tulipata fomula za mizizi ya equation ya quadratic, zinaonekana kama , ambapo kibaguzi D huhesabiwa kwa fomula D=b 2 -4 a c.

Kwa msaada wao, kwa ubaguzi mzuri, unaweza kuhesabu mizizi halisi ya equation ya quadratic. Wakati kibaguzi ni sawa na sifuri, fomula zote mbili hutoa thamani ya mizizi sawa inayolingana na suluhu la pekee la mlinganyo wa quadratic. Na kwa ubaguzi mbaya, tunapojaribu kutumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic, tunakabiliwa na kutoa mzizi wa mraba kutoka kwa nambari hasi, ambayo hutupeleka nje ya upeo wa mtaala wa shule. Kwa ubaguzi mbaya, usawa wa quadratic hauna mizizi halisi, lakini ina jozi mchanganyiko tata mizizi, ambayo inaweza kupatikana kwa kutumia kanuni sawa za mizizi tuliyopata.

Algorithm ya kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia kanuni za mizizi

Katika mazoezi, wakati wa kutatua equation ya quadratic, unaweza kutumia mara moja formula ya mizizi, ambayo unaweza kuhesabu maadili yao. Lakini hii ni zaidi juu ya kupata mizizi ngumu.

Walakini, katika kozi ya algebra ya shule, kwa kawaida tunazungumza sio juu ya ngumu, lakini juu ya mizizi halisi ya equation ya quadratic. Katika kesi hii, inashauriwa kwanza kupata kibaguzi kabla ya kutumia kanuni za mizizi ya equation ya quadratic, hakikisha kuwa sio hasi (vinginevyo, tunaweza kuhitimisha kuwa equation haina mizizi halisi), na baada ya hapo. kuhesabu maadili ya mizizi.

Hoja iliyo hapo juu inaruhusu sisi kuandika algorithm ya kutatua equation ya quadratic. Ili kutatua equation ya quadratic x 2 + b x + c \u003d 0, unahitaji:

kwa kutumia fomula ya kibaguzi D=b 2 −4 a c kukokotoa thamani yake;
kuhitimisha kwamba equation ya quadratic haina mizizi halisi ikiwa kibaguzi ni hasi;
hesabu mzizi pekee wa equation kwa kutumia fomula ikiwa D=0 ;
tafuta mizizi miwili halisi ya mlinganyo wa quadratic ukitumia fomula ya mzizi ikiwa kibaguzi ni chanya.

Hapa tunaona tu kwamba ikiwa kibaguzi ni sawa na sifuri, fomula pia inaweza kutumika, itatoa thamani sawa na .

Unaweza kuendelea na mifano ya kutumia algoriti kwa ajili ya kutatua milinganyo ya quadratic.

Mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic

Zingatia masuluhisho ya milinganyo mitatu ya quadratic yenye ubaguzi chanya, hasi na sufuri. Baada ya kushughulikiwa na suluhisho lao, kwa mlinganisho itawezekana kutatua equation nyingine yoyote ya quadratic. Tuanze.

Mfano.

Tafuta mizizi ya equation x 2 +2 x−6=0 .

Suluhisho.

Katika kesi hii, tuna coefficients zifuatazo za equation ya quadratic: a=1 , b=2 na c=−6 . Kulingana na algoriti, kwanza unahitaji kukokotoa kibaguzi, kwa hili tunabadilisha a, b na c iliyoonyeshwa kwenye fomula ya kibaguzi. D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Tangu 28>0, yaani, ubaguzi ni mkubwa kuliko sifuri, equation ya quadratic ina mizizi miwili halisi. Wacha tuzipate kwa njia ya mizizi , tunapata , hapa tunaweza kurahisisha misemo inayopatikana kwa kufanya kuainisha ishara ya mizizi ikifuatiwa na kupunguza sehemu:

Jibu:

Wacha tuendelee kwenye mfano unaofuata wa kawaida.

Mfano.

Tatua mlingano wa quadratic −4 x 2 +28 x−49=0 .

Suluhisho.

Tunaanza kwa kutafuta ubaguzi: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mzizi mmoja, ambao tunapata kama, ambayo ni,

Jibu:

x=3.5 .

Inabakia kuzingatia suluhisho la milinganyo ya quadratic na kibaguzi hasi.

Mfano.

Tatua mlingano 5 y 2 +6 y+2=0 .

Suluhisho.

Hapa kuna mgawo wa mlinganyo wa quadratic: a=5 , b=6 na c=2 . Kubadilisha maadili haya kwa fomula ya kibaguzi, tunayo D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Ubaguzi ni hasi, kwa hivyo, usawa huu wa quadratic hauna mizizi halisi.

Ikiwa unahitaji kutaja mizizi ngumu, basi tunatumia fomula inayojulikana ya mizizi ya equation ya quadratic, na kutekeleza. shughuli na nambari changamano:

Jibu:

hakuna mizizi halisi, mizizi tata ni:.

Mara nyingine tena, tunaona kwamba ikiwa ubaguzi wa equation ya quadratic ni mbaya, basi shule kawaida huandika mara moja jibu, ambalo linaonyesha kuwa hakuna mizizi halisi, na haipati mizizi tata.

Fomula ya mizizi kwa mgawo wa pili

Fomula ya mizizi ya equation ya quadratic , ambapo D=b 2 −4 a c hukuruhusu kupata fomula iliyoshikamana zaidi inayokuruhusu kutatua milinganyo ya quadratic na mgawo hata wa x (au kwa urahisi na mgawo unaoonekana kama n 2. , kwa mfano, au 14 ln5=2 7 ln5 ). Hebu tumpeleke nje.

Wacha tuseme tunahitaji kutatua mlinganyo wa quadratic wa fomu a x 2 +2 n x + c=0 . Wacha tupate mizizi yake kwa kutumia fomula inayojulikana kwetu. Ili kufanya hivyo, tunahesabu kibaguzi D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), na kisha tunatumia formula ya mizizi:

Rejelea usemi n 2 −a c kama D 1 (wakati mwingine huashiria D "). Kisha fomula ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic unaozingatiwa na mgawo wa pili 2 n inachukua fomu. , ambapo D 1 =n 2 −a c.

Ni rahisi kuona kwamba D=4·D 1 , au D 1 =D/4 . Kwa maneno mengine, D 1 ni sehemu ya nne ya kibaguzi. Ni wazi kwamba ishara ya D 1 ni sawa na ishara ya D. Hiyo ni, ishara D 1 pia ni kiashiria cha kuwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation ya quadratic.

Kwa hivyo, ili kutatua equation ya quadratic na mgawo wa pili 2 n, unahitaji

Kokotoa D 1 =n 2 −a·c ;
Ikiwa D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Ikiwa D 1 =0, basi uhesabu mzizi pekee wa equation kwa kutumia formula;
Ikiwa D 1 >0, basi pata mizizi miwili halisi kwa kutumia fomula.

Fikiria suluhisho la mfano kwa kutumia fomula ya mizizi iliyopatikana katika aya hii.

Mfano.

Tatua mlingano wa quadratic 5 x 2 −6 x−32=0 .

Suluhisho.

Mgawo wa pili wa mlinganyo huu unaweza kuwakilishwa kama 2·(-3) . Hiyo ni, unaweza kuandika upya mlinganyo wa awali wa quadratic katika fomu 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , hapa a=5 , n=−3 na c=−32 , na kukokotoa sehemu ya nne ya kibaguzi: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (-32)=9+160=169. Kwa kuwa thamani yake ni chanya, equation ina mizizi miwili halisi. Tunawapata kwa kutumia formula ya mizizi inayolingana:

Kumbuka kwamba ilikuwa inawezekana kutumia formula ya kawaida kwa mizizi ya equation ya quadratic, lakini katika kesi hii, kazi zaidi ya computational ingepaswa kufanywa.

Jibu:

Urahisishaji wa namna ya milinganyo ya quadratic

Wakati mwingine, kabla ya kuanza kuhesabu mizizi ya equation ya quadratic kwa kutumia fomula, hainaumiza kuuliza swali: "Inawezekana kurahisisha fomu ya equation hii"? Kubali kwamba kwa upande wa hesabu itakuwa rahisi kutatua mlingano wa quadratic 11 x 2 -4 x -6=0 kuliko 1100 x 2 -400 x-600=0 .

Kawaida, kurahisisha fomu ya equation ya quadratic hupatikana kwa kuzidisha au kugawanya pande zote mbili kwa nambari fulani. Kwa mfano, katika aya iliyotangulia, tulifanikiwa kurahisisha mlinganyo 1100 x 2 -400 x -600=0 kwa kugawanya pande zote mbili na 100 .

Mabadiliko sawa yanafanywa na equations za quadratic, coefficients ambayo sio . Katika kesi hii, sehemu zote mbili za equation kawaida hugawanywa na maadili kamili ya coefficients yake. Kwa mfano, hebu tuchukue mlingano wa quadratic 12 x 2 -42 x+48=0. thamani kamili za viambajengo vyake: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Tukigawanya sehemu zote mbili za mlingano wa awali wa quadratic kwa 6, tunafika kwenye mlingano wa quadratic sawa 2 x 2 -7 x+8=0 .

Na kuzidisha kwa sehemu zote mbili za equation ya quadratic kawaida hufanywa ili kuondoa mgawo wa sehemu. Katika kesi hii, kuzidisha kunafanywa kwa madhehebu ya coefficients yake. Kwa mfano, ikiwa sehemu zote mbili za mlinganyo wa quadratic zimezidishwa na LCM(6, 3, 1)=6 , basi itachukua fomu rahisi zaidi x 2 +4 x−18=0 .

Kwa kumalizia aya hii, tunaona kuwa karibu kila wakati ondoa minus kwenye mgawo wa juu zaidi wa mlinganyo wa quadratic kwa kubadilisha ishara za maneno yote, ambayo yanalingana na kuzidisha (au kugawa) sehemu zote mbili kwa -1. Kwa mfano, kwa kawaida kutoka kwa mlinganyo wa quadratic −2·x 2 −3·x+7=0 nenda kwenye suluhisho 2·x 2 +3·x−7=0 .

Uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equation ya quadratic

Fomula ya mizizi ya equation ya quadratic inaonyesha mizizi ya equation kulingana na coefficients yake. Kulingana na formula ya mizizi, unaweza kupata mahusiano mengine kati ya mizizi na coefficients.

Fomula zinazojulikana zaidi na zinazotumika kutoka kwa nadharia ya Vieta ya fomu na . Hasa, kwa equation ya quadratic iliyotolewa, jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni neno la bure. Kwa mfano, kwa fomu ya equation ya quadratic 3 x 2 -7 x+22 = 0, tunaweza kusema mara moja kwamba jumla ya mizizi yake ni 7/3, na bidhaa ya mizizi ni 22/3.

Kwa kutumia fomula zilizoandikwa tayari, unaweza kupata idadi ya mahusiano mengine kati ya mizizi na mgawo wa equation ya quadratic. Kwa mfano, unaweza kueleza jumla ya mraba wa mizizi ya equation ya quadratic kulingana na coefficients yake:.

Bibliografia.

Aljebra: kitabu cha kiada kwa seli 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; mh. S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M. : Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Aljebra. darasa la 8. Saa 2:00 Sehemu ya 1. Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu / A. G. Mordkovich. Toleo la 11, limefutwa. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-01155-2.

Shule ya sekondari ya vijijini ya Kopyevskaya

Njia 10 za Kutatua Milinganyo ya Quadratic

Mkuu: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

mwalimu wa hisabati

s.Kopyevo, 2007

1. Historia ya maendeleo ya milinganyo ya quadratic

1.1 Milinganyo ya quadratic katika Babeli ya kale

1.2 Jinsi Diophantus alikusanya na kutatua milinganyo ya roboduara

1.3 Milinganyo ya quadratic nchini India

1.4 Milinganyo ya quadratic katika al-Khwarizmi

1.5 Milinganyo ya quadratic katika Ulaya XIII - XVII karne

1.6 Kuhusu nadharia ya Vieta

2. Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic

Hitimisho

Fasihi

1. Historia ya maendeleo ya milinganyo ya quadratic

1.1 Milinganyo ya quadratic katika Babeli ya kale

Haja ya kutatua equations sio tu ya kwanza, lakini pia ya shahada ya pili katika nyakati za zamani ilisababishwa na hitaji la kutatua shida zinazohusiana na kupata maeneo ya ardhi na kazi za ardhi za asili ya kijeshi, na vile vile ukuzaji wa unajimu na unajimu. hisabati yenyewe. Milinganyo ya quadratic iliweza kutatua takriban 2000 BC. e. Wababeli.

Kwa kutumia nukuu za kisasa za algebra, tunaweza kusema kwamba katika maandishi yao ya kikabari, pamoja na yale ambayo hayajakamilika, kuna vile, kwa mfano, hesabu kamili za quadratic:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Kanuni ya kusuluhisha milinganyo hii, iliyotajwa katika maandishi ya Babeli, inapatana kimsingi na ile ya kisasa, lakini haijulikani jinsi Wababeli walikuja kwenye kanuni hii. Karibu maandishi yote ya kikabari yaliyopatikana hadi sasa yanatoa matatizo tu na masuluhisho yaliyotajwa kwa njia ya mapishi, bila dalili ya jinsi yalivyopatikana.

Licha ya ngazi ya juu maendeleo ya algebra huko Babeli, katika maandishi ya kikabari hakuna dhana ya nambari hasi na mbinu za jumla za kutatua milinganyo ya quadratic.

1.2 Jinsi Diophantus alikusanya na kutatua milinganyo ya roboduara.

Hesabu ya Diophantus haina udhihirisho wa utaratibu wa aljebra, lakini ina mfululizo wa matatizo ya utaratibu, ikifuatana na maelezo na kutatuliwa kwa kuunda milinganyo ya digrii mbalimbali.

Wakati wa kukusanya milinganyo, Diophantus huchagua kwa ustadi zisizojulikana ili kurahisisha suluhisho.

Hapa, kwa mfano, ni moja ya kazi zake.

Jukumu la 11."Tafuta nambari mbili ukijua kuwa jumla yao ni 20 na bidhaa yao ni 96"

Diophantus anasema kama ifuatavyo: inafuata kutoka kwa hali ya tatizo kwamba namba zinazohitajika si sawa, kwa kuwa ikiwa walikuwa sawa, basi bidhaa zao zingekuwa sawa na 96, lakini kwa 100. Hivyo, mmoja wao atakuwa zaidi ya. nusu ya jumla yao, i.e. 10+x, nyingine ni ndogo, i.e. ya 10. Tofauti kati yao 2x .

Kwa hivyo equation:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Kutoka hapa x = 2. Moja ya nambari zinazohitajika ni 12 , nyingine 8 . Suluhisho x = -2 kwa Diophantus haipo, kwa kuwa hisabati ya Kigiriki ilijua nambari nzuri tu.

Ikiwa tutasuluhisha shida hii kwa kuchagua nambari moja inayotaka kama isiyojulikana, basi tutakuja kwenye suluhisho la equation.

y(20 -y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ni wazi kwamba Diophantus hurahisisha suluhisho kwa kuchagua nusu ya tofauti ya nambari zinazohitajika kuwa haijulikani; anafanikiwa kupunguza tatizo hadi kutatua equation ya quadratic isiyokamilika (1).

1.3 Milinganyo ya quadratic nchini India

Matatizo ya milinganyo ya quadratic tayari yanapatikana katika njia ya astronomia "Aryabhattam", iliyokusanywa mwaka 499 na mwanahisabati wa Kihindi na mwanaastronomia Aryabhatta. Mwanasayansi mwingine wa Kihindi, Brahmagupta (karne ya 7), alielezea kanuni ya jumla ya utatuzi wa milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa hadi fomu moja ya kisheria:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Katika equation (1), coefficients, isipokuwa kwa a, pia inaweza kuwa hasi. Sheria ya Brahmagupta kimsingi inalingana na yetu.

Katika India ya kale, mashindano ya umma katika kutatua matatizo magumu yalikuwa ya kawaida. Katika mojawapo ya vitabu vya kale vya Kihindi, yafuatayo yanasemwa kuhusu mashindano hayo: “Kama vile jua linavyoangaza nyota kwa mng’ao wake, ndivyo mtu mwenye elimu atapita utukufu wa mwingine katika mikutano ya hadhara, akipendekeza na kutatua matatizo ya aljebra.” Kazi mara nyingi zilivaliwa kwa umbo la kishairi.

Hapa kuna moja ya shida za mwanahisabati maarufu wa India wa karne ya XII. Bhaskara.

Kazi ya 13.

"Kundi la nyani wachanga, Na kumi na wawili katika mizabibu ...

Baada ya kula nguvu, alikuwa na furaha. Walianza kuruka, kunyongwa ...

Sehemu ya nane kati yao katika mraba Ni nyani wangapi,

Kuwa na furaha katika meadow. Unaniambia, katika kundi hili?

Suluhisho la Bhaskara linaonyesha kwamba alijua kuhusu thamani mbili ya mizizi ya equations ya quadratic (Mchoro 3).

Equation inayolingana na shida 13 ni:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara anaandika chini ya kivuli cha:

x 2 - 64x = -768

na, ili kukamilisha upande wa kushoto wa mlinganyo huu kwa mraba, anaongeza kwa pande zote mbili 32 2 , kupata basi:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Milinganyo ya quadratic katika al-Khorezmi

Hati ya aljebra ya Al-Khorezmi inatoa uainishaji wa milinganyo ya mstari na ya quadratic. Mwandishi anaorodhesha aina 6 za milinganyo, akizielezea kama ifuatavyo:

1) "Mraba ni sawa na mizizi", i.e. shoka 2 + c = b X.

2) "Mraba ni sawa na nambari", i.e. shoka 2 = s.

3) "Mizizi ni sawa na nambari", i.e. ah = s.

4) "Mraba na namba ni sawa na mizizi", i.e. shoka 2 + c = b X.

5) "Mraba na mizizi ni sawa na nambari", i.e. ah 2+ bx = s.

6) "Mizizi na nambari ni sawa na mraba", i.e. bx + c \u003d shoka 2.

Kwa al-Khwarizmi, ambaye aliepuka matumizi ya nambari hasi, masharti ya kila moja ya milinganyo hii ni nyongeza, sio kutoa. Katika kesi hii, equations ambazo hazina suluhu chanya ni wazi hazizingatiwi. Mwandishi anaeleza njia za kutatua milinganyo hii kwa kutumia mbinu za al-jabr na al-muqabala. Maamuzi yake, bila shaka, hayapatani kabisa na yetu. Bila kutaja ukweli kwamba ni kejeli tu, inapaswa kuzingatiwa, kwa mfano, kwamba wakati wa kutatua equation ya quadratic isiyo kamili ya aina ya kwanza.

al-Khorezmi, kama wanahisabati wote kabla ya karne ya 17, haizingatii suluhisho la sifuri, labda kwa sababu haijalishi katika shida maalum za vitendo. Wakati wa kutatua milinganyo kamili ya quadratic, al-Khorezmi huweka sheria za kusuluhisha, na kisha uthibitisho wa kijiometri, kwa kutumia mifano maalum ya nambari.

Kazi ya 14."Mraba na nambari 21 ni sawa na mizizi 10. Tafuta mizizi" (kwa kuzingatia mzizi wa equation x 2 + 21 = 10x).

Suluhisho la mwandishi huenda kama hii: kugawanya idadi ya mizizi kwa nusu, kupata 5, kuzidisha 5 yenyewe, toa 21 kutoka kwa bidhaa, mabaki 4. Chukua mizizi ya 4, unapata 2. Ondoa 2 kutoka 5, wewe pata 3, hii itakuwa mzizi unaotaka. Au ongeza 2 hadi 5, ambayo itatoa 7, hii pia ni mzizi.

Treatise al - Khorezmi ndio kitabu cha kwanza ambacho kimetujia, ambamo uainishaji wa milinganyo ya robo huelezwa kwa utaratibu na fomula za utatuzi wao zimetolewa.

1.5 Milinganyo ya quadratic katika Ulaya XIII - XVII karne nyingi

Mifumo ya kutatua milinganyo ya quadratic kwenye modeli ya al - Khorezmi huko Uropa ilionyeshwa kwa mara ya kwanza katika "Kitabu cha Abacus", kilichoandikwa mnamo 1202 na mwanahisabati wa Italia Leonardo Fibonacci. Kazi hii kubwa, ambayo inaonyesha ushawishi wa hisabati, nchi zote za Uislamu na Ugiriki ya Kale, inatofautishwa na ukamilifu na uwazi wa uwasilishaji. Mwandishi alijitengenezea kwa uhuru mifano mipya ya aljebra ya utatuzi wa matatizo na alikuwa wa kwanza barani Ulaya kukaribia kuanzishwa kwa nambari hasi. Kitabu chake kilichangia kuenea kwa ujuzi wa algebra sio tu nchini Italia, bali pia Ujerumani, Ufaransa na nchi nyingine za Ulaya. Kazi nyingi kutoka kwa "Kitabu cha Abacus" zilipitishwa katika karibu vitabu vyote vya Uropa vya karne ya 16 - 17. na sehemu ya XVIII.

Sheria ya jumla ya kusuluhisha milinganyo ya quadratic imepunguzwa kwa fomu moja ya kisheria:

x 2+ bx = na,

kwa mchanganyiko wote unaowezekana wa ishara za coefficients b , Na iliundwa katika Ulaya tu mwaka 1544 na M. Stiefel.

Vieta ina chimbuko la jumla la fomula ya kusuluhisha mlinganyo wa quadratic, lakini Vieta ilitambua mizizi chanya pekee. Wanahisabati wa Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli walikuwa kati ya wa kwanza katika karne ya 16. Kuzingatia, pamoja na mizizi chanya, na hasi. Tu katika karne ya XVII. Shukrani kwa kazi ya Girard, Descartes, Newton na wanasayansi wengine, njia ya kutatua hesabu za quadratic inachukua sura ya kisasa.

1.6 Kuhusu nadharia ya Vieta

Nadharia inayoelezea uhusiano kati ya coefficients ya equation ya quadratic na mizizi yake, yenye jina la Vieta, iliundwa na yeye kwa mara ya kwanza mnamo 1591 kama ifuatavyo: "Ikiwa B + D kuzidishwa na A - A 2 , sawa BD, basi A sawa KATIKA na sawa D ».

Ili kuelewa Vieta, mtu lazima akumbuke hilo LAKINI, kama vokali yoyote, ilimaanisha kwake haijulikani (yetu X), vokali KATIKA, D- coefficients kwa haijulikani. Katika lugha ya aljebra ya kisasa, uundaji wa Vieta hapo juu unamaanisha: ikiwa

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Kuelezea uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equations kwa fomula za jumla zilizoandikwa kwa kutumia alama, Viet ilianzisha usawa katika njia za kutatua equations. Walakini, ishara ya Vieta bado iko mbali na fomu yake ya kisasa. Hakutambua namba hasi, na kwa hiyo, wakati wa kutatua equations, alizingatia kesi tu ambapo mizizi yote ni chanya.

2. Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic

Milinganyo ya quadratic ndio msingi ambao muundo wa aljebra unategemea. Milinganyo ya quadratic hutumiwa sana katika kutatua milinganyo ya trigonometric, kielelezo, logarithmic, isiyo na mantiki na ya kupita maumbile na usawa. Sote tunajua jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic kutoka shuleni (darasa la 8) hadi kuhitimu.

Mada hii inaweza kuonekana kuwa ngumu mwanzoni kwa sababu ya fomula nyingi ambazo sio rahisi sana. Sio tu kwamba equations ya quadratic yenyewe ina maingizo ya muda mrefu, lakini mizizi pia hupatikana kwa njia ya kibaguzi. Kuna fomula tatu mpya kwa jumla. Si rahisi sana kukumbuka. Hii inawezekana tu baada ya ufumbuzi wa mara kwa mara wa equations vile. Kisha fomula zote zitakumbukwa na wao wenyewe.

Mtazamo wa jumla wa equation ya quadratic

Hapa nukuu yao ya wazi inapendekezwa, wakati shahada kubwa imeandikwa kwanza, na kisha - kwa utaratibu wa kushuka. Mara nyingi kuna hali wakati masharti yanasimama tofauti. Kisha ni bora kuandika tena equation katika utaratibu wa kushuka wa kiwango cha kutofautiana.

Hebu tuanzishe notation. Zinawasilishwa kwenye jedwali hapa chini.

Ikiwa tutakubali nukuu hizi, milinganyo yote ya quadratic itapunguzwa hadi nukuu ifuatayo.

Zaidi ya hayo, mgawo ni ≠ 0. Acha fomula hii ibainishwe kwa nambari moja.

Wakati equation inatolewa, haijulikani ni mizizi ngapi itakuwa kwenye jibu. Kwa sababu moja ya chaguzi tatu inawezekana kila wakati:

suluhisho litakuwa na mizizi miwili;
jibu litakuwa namba moja;
Equation haina mizizi hata kidogo.

Na wakati uamuzi haujaletwa hadi mwisho, ni ngumu kuelewa ni ipi kati ya chaguzi zitaanguka katika kesi fulani.

Aina za rekodi za milinganyo ya quadratic

Majukumu yanaweza kuwa na maingizo tofauti. Siku zote hazitaonekana kama fomula ya jumla ya mlinganyo wa quadratic. Wakati mwingine itakosa masharti fulani. Kilichoandikwa hapo juu ni mlingano kamili. Ukiondoa muda wa pili au wa tatu ndani yake, unapata kitu tofauti. Rekodi hizi pia huitwa milinganyo ya quadratic, haijakamilika tu.

Zaidi ya hayo, maneno tu ambayo coefficients "b" na "c" yanaweza kutoweka. Nambari "a" haiwezi kuwa sawa na sifuri kwa hali yoyote. Kwa sababu katika kesi hii formula inageuka kuwa equation ya mstari. Fomula za fomu isiyokamilika ya milinganyo itakuwa kama ifuatavyo:

Kwa hivyo, kuna aina mbili tu, pamoja na zile kamili, pia kuna equations za quadratic ambazo hazijakamilika. Wacha fomula ya kwanza iwe nambari mbili, na ya pili nambari tatu.

Ubaguzi na utegemezi wa idadi ya mizizi kwenye thamani yake

Nambari hii lazima ijulikane ili kuhesabu mizizi ya equation. Inaweza kuhesabiwa kila wakati, bila kujali fomula ya equation ya quadratic ni nini. Ili kuhesabu kibaguzi, unahitaji kutumia usawa ulioandikwa hapa chini, ambao utakuwa na namba nne.

Baada ya kubadilisha maadili ya coefficients kwenye fomula hii, unaweza kupata nambari zilizo na ishara tofauti. Ikiwa jibu ni ndiyo, basi jibu la equation litakuwa mizizi miwili tofauti. Kwa nambari hasi, mizizi ya equation ya quadratic haitakuwapo. Ikiwa ni sawa na sifuri, jibu litakuwa moja.

Je, equation kamili ya quadratic inatatuliwaje?

Kwa kweli, kuzingatia suala hili tayari imeanza. Kwa sababu kwanza unahitaji kupata kibaguzi. Baada ya kufafanuliwa kuwa kuna mizizi ya equation ya quadratic, na idadi yao inajulikana, unahitaji kutumia kanuni za vigezo. Ikiwa kuna mizizi miwili, basi unahitaji kutumia formula hiyo.

Kwa kuwa ina ishara "±", kutakuwa na maadili mawili. Usemi ulio chini ya ishara ya mzizi wa mraba ndio kibaguzi. Kwa hivyo, fomula inaweza kuandikwa tena kwa njia tofauti.

Mfumo wa tano. Kutoka kwa rekodi sawa inaweza kuonekana kwamba ikiwa kibaguzi ni sifuri, basi mizizi yote itachukua maadili sawa.

Ikiwa suluhisho la equations za quadratic bado halijafanywa, basi ni bora kuandika maadili ya coefficients zote kabla ya kutumia kanuni za kibaguzi na za kutofautiana. Baadaye wakati huu hautasababisha shida. Lakini mwanzoni kabisa kuna mkanganyiko.

Je, equation ya quadratic isiyokamilika inatatuliwaje?

Kila kitu ni rahisi zaidi hapa. Hata hakuna haja ya fomula za ziada. Na hutahitaji wale ambao tayari wameandikwa kwa ubaguzi na haijulikani.

Kwanza, fikiria nambari ya equation isiyokamilika ya pili. Katika usawa huu, inatakiwa kuchukua kiasi kisichojulikana kutoka kwa mabano na kutatua usawa wa mstari, ambao utabaki kwenye mabano. Jibu litakuwa na mizizi miwili. Ya kwanza ni lazima sawa na sifuri, kwa sababu kuna sababu inayojumuisha kutofautiana yenyewe. Ya pili hupatikana kwa kutatua equation ya mstari.

Equation isiyo kamili katika nambari ya tatu inatatuliwa kwa kuhamisha nambari kutoka upande wa kushoto wa equation hadi kulia. Kisha unahitaji kugawanya kwa mgawo mbele ya haijulikani. Inabakia tu kutoa mzizi wa mraba na usisahau kuiandika mara mbili na ishara tofauti.

Zifuatazo ni baadhi ya vitendo vinavyokusaidia kujifunza jinsi ya kutatua aina zote za usawa ambazo hubadilika kuwa milinganyo ya quadratic. Watamsaidia mwanafunzi kuepuka makosa kutokana na kutokuwa makini. Upungufu huu ndio sababu ya alama duni wakati wa kusoma mada ya kina "Quadric Equations (Daraja la 8)". Baadaye, vitendo hivi havitahitaji kufanywa kila wakati. Kwa sababu kutakuwa na tabia thabiti.

Kwanza unahitaji kuandika equation katika fomu ya kawaida. Hiyo ni, kwanza neno na shahada kubwa zaidi ya kutofautiana, na kisha - bila shahada na mwisho - nambari tu.

Ikiwa minus inaonekana kabla ya mgawo "a", basi inaweza kutatiza kazi kwa anayeanza kusoma hesabu za quadratic. Ni bora kuiondoa. Kwa kusudi hili, usawa wote lazima uzidishwe na "-1". Hii ina maana kwamba masharti yote yatabadilisha ishara kuwa kinyume.

Kwa njia hiyo hiyo, inashauriwa kuondokana na sehemu. Zidisha equation kwa kipengele kinachofaa ili madhehebu yaghairi.

Mifano

Inahitajika kutatua milinganyo ifuatayo ya quadratic:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Equation ya kwanza: x 2 - 7x \u003d 0. Haijakamilika, kwa hiyo inatatuliwa kama ilivyoelezwa kwa fomula namba mbili.

Baada ya kuweka mabano, zinageuka: x (x - 7) \u003d 0.

Mzizi wa kwanza unachukua thamani: x 1 \u003d 0. Ya pili itapatikana kutoka kwa usawa wa mstari: x - 7 \u003d 0. Ni rahisi kuona kwamba x 2 \u003d 7.

Equation ya pili: 5x2 + 30 = 0. Tena haijakamilika. Ni pekee inayotatuliwa kama ilivyoelezwa kwa fomula ya tatu.

Baada ya kuhamisha 30 kwa upande wa kulia wa equation: 5x 2 = 30. Sasa unahitaji kugawanya na 5. Inageuka: x 2 = 6. Majibu yatakuwa namba: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Equation ya tatu: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Hapa na chini, ufumbuzi wa equations quadratic itaanza kwa kuandika tena katika fomu ya kawaida: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Sasa ni wakati wa kutumia pili. kidokezo muhimu na zidisha kila kitu kwa minus moja . Inageuka x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Kulingana na formula ya nne, unahitaji kuhesabu kibaguzi: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Ni nambari chanya. Kutoka kwa kile kilichosemwa hapo juu, zinageuka kuwa equation ina mizizi miwili. Wanahitaji kuhesabiwa kulingana na fomula ya tano. Kulingana na hayo, zinageuka kuwa x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Kisha x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Equation ya nne x 2 + 8 + 3x \u003d 0 inabadilishwa kuwa hii: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Ubaguzi wake ni sawa na thamani hii: -23. Kwa kuwa nambari hii ni hasi, jibu la kazi hii litakuwa kiingilio kifuatacho: "Hakuna mizizi."

Equation ya tano 12x + x 2 + 36 = 0 inapaswa kuandikwa upya kama ifuatavyo: x 2 + 12x + 36 = 0. Baada ya kutumia formula kwa kibaguzi, nambari ya sifuri inapatikana. Hii inamaanisha kuwa itakuwa na mzizi mmoja, ambayo ni: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Equation ya sita (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) inahitaji mabadiliko, ambayo yanajumuisha ukweli kwamba unahitaji kuleta maneno kama hayo, kabla ya kufungua mabano. Katika nafasi ya kwanza kutakuwa na usemi huo: x 2 + 2x + 1. Baada ya usawa, kuingia hii itaonekana: x 2 + 3x + 2. Baada ya maneno sawa kuhesabiwa, equation itachukua fomu: x 2 - x \u003d 0. Haijakamilika . Sawa na hiyo tayari imezingatiwa juu kidogo. Mizizi ya hii itakuwa nambari 0 na 1.