Bainisha nambari changamano. Nambari changamano ni nini? Mifano

§ moja. Nambari tata

1°. Ufafanuzi. Nukuu ya algebra.

Ufafanuzi 1. Nambari tata inayoitwa jozi zilizoamuru za nambari halisi na , ikiwa dhana ya usawa imefafanuliwa kwao, shughuli za kuongeza na kuzidisha ambazo zinakidhi misemo ifuatayo:

1) Nambari mbili
na
sawa ikiwa na tu ikiwa
,
, i.e.


,
.

2) Jumla ya nambari changamano
na

na sawa
, i.e.

+
=
.

3) Bidhaa ya nambari ngumu
na
nambari inaitwa
na sawa, i.e.

∙=.

Seti ya nambari changamano imebainishwa C.

Fomula (2),(3) za nambari za fomu
kuchukua fomu

inatoka wapi kwamba shughuli za kuongeza na kuzidisha kwa nambari za fomu
sanjari na kujumlisha na kuzidisha kwa nambari halisi nambari changamano ya fomu
inatambuliwa na nambari halisi .

Nambari tata
kuitwa kitengo cha kufikiria na kuashiria , i.e.
Kisha kutoka (3)

Kutoka (2),(3)  maana yake

Usemi (4) unaitwa nukuu ya algebra nambari changamano.

Katika muundo wa algebra, shughuli za kuongeza na kuzidisha huchukua fomu:

Nambari changamano imebainishwa
,- sehemu halisi, ni sehemu ya kufikirika, ni nambari ya kufikiria tu. Uteuzi:
,
.

Ufafanuzi 2. Nambari tata
kuitwa kuunganisha yenye nambari changamano
.

Sifa za muunganisho mgumu.

2)
.

3) Kama
, basi
.

4)
.

5)
ni nambari halisi.

Uthibitisho unafanywa kwa hesabu moja kwa moja.

Ufafanuzi 3. Nambari
kuitwa moduli nambari changamano
na kuashiria
.

Ni dhahiri kwamba
, na

. Fomula pia ni dhahiri:
na
.

2°. Sifa za kuongeza na kuzidisha shughuli.

1) Mawasiliano:
,
.

2) Ushirikiano:,
.

3) Usambazaji:.

Uthibitisho 1) - 3) unafanywa na mahesabu ya moja kwa moja kulingana na mali sawa kwa nambari halisi.

4)
,
.

5) , C ! , kuridhisha equation
. Vile

6) ,C, 0, ! :
. Vile hupatikana kwa kuzidisha mlinganyo kwa

.

Mfano. Hebu fikiria nambari changamano
katika mfumo wa algebra. Ili kufanya hivyo, zidisha nambari na denominator ya sehemu kwa munganishaji wa dhehebu. Tuna:

3°. Tafsiri ya kijiometri ya nambari ngumu. Aina ya trigonometric na kielelezo cha kuandika nambari changamano.

Hebu mfumo wa kuratibu wa mstatili upewe kwenye ndege. Kisha
C mtu anaweza kuhusisha hatua kwenye ndege na kuratibu
.(tazama Mchoro 1). Ni dhahiri kwamba mawasiliano kama haya ni ya mtu mmoja-mmoja. Katika kesi hii, nambari halisi ziko kwenye mhimili wa abscissa, na nambari za kufikiria ziko kwenye mhimili wa kuratibu. Kwa hiyo, mhimili wa abscissa unaitwa mhimili halisi, na mhimili y - mhimili wa kufikirika. Ndege ambayo nambari ngumu ziko inaitwa ndege tata.

Kumbuka hilo na
ni linganifu kuhusu asili, na na zina ulinganifu kwa heshima na Ox.

Kila nambari changamano (yaani, kila nukta kwenye ndege) inaweza kuhusishwa na vekta kuanzia hatua ya O na kuishia kwenye hatua.
. Mawasiliano kati ya vekta na nambari changamano ni moja hadi moja. Kwa hivyo, vekta inayolingana na nambari changamano , iliyoonyeshwa kwa herufi sawa

D mstari wa vekta
inayolingana na nambari changamano
, ni sawa na
, na
,
.

Kutumia tafsiri ya vekta, mtu anaweza kuona kwamba vekta
− jumla ya vekta na , a
− jumla ya vekta na
.(tazama Mchoro 2). Kwa hivyo, ukosefu wa usawa ufuatao ni kweli:

Pamoja na urefu vekta sisi kuanzisha angle kati ya vector na mhimili wa Ox, unaohesabiwa kutoka kwa mwelekeo mzuri wa mhimili wa Ox: ikiwa hesabu ni kinyume cha saa, basi ishara ya pembe inachukuliwa kuwa chanya, ikiwa ni ya saa, basi hasi. Kona hii inaitwa hoja changamano ya nambari na kuashiria
. Kona haijafafanuliwa kipekee, lakini kwa usahihi
…. Kwa
hoja haijafafanuliwa.

Formula (6) hufafanua kinachojulikana nukuu ya trigonometric nambari changamano.

Kutoka (5) inafuata kwamba ikiwa
na
basi

,
.

Kutoka (5)
kwa nini na Nambari changamano imefafanuliwa kipekee. Mazungumzo si ya kweli: yaani, kwa nambari changamano moduli yake ni ya kipekee, na hoja , kutokana na (7), − kwa usahihi
. Pia inafuata kutoka (7) kwamba hoja inaweza kupatikana kama suluhisho la equation

Walakini, sio suluhisho zote za equation hii ni suluhisho la (7).

Kati ya maadili yote ya hoja ya nambari tata, moja huchaguliwa, ambayo inaitwa dhamana kuu ya hoja na inaonyeshwa.
. Kawaida thamani kuu ya hoja huchaguliwa ama katika muda
, au katika muda

Katika fomu ya trigonometric, ni rahisi kufanya shughuli za kuzidisha na kugawanya.

Nadharia 1. Moduli ya bidhaa ya nambari changamano na ni sawa na bidhaa ya moduli, na hoja ni sawa na jumla ya hoja, i.e.

, a.

Vile vile

Ushahidi. Hebu,. Kisha kwa kuzidisha moja kwa moja tunapata:

Vile vile

.■

Matokeo(Mchanganyiko wa De Moivre). Kwa
Fomula ya Moivre ni halali

P mfano. Hebu Tafuta eneo la kijiometri la uhakika
. Inafuata kutoka kwa Theorem 1 kwamba.

Kwa hiyo, ili kuijenga, lazima kwanza ujenge uhakika , ambayo ni kinyume kuhusu mduara wa kitengo, na kisha utafute nukta inayolingana nayo kuhusu mhimili wa x.

Hebu
,wale.
Nambari tata
iliyoashiria
, i.e. R fomula ya Euler ni halali

Kwa sababu
, basi
,
. Kutoka kwa nadharia 1
vipi kuhusu utendaji
inawezekana kufanya kazi kama na kazi ya kawaida ya kielelezo, i.e. usawa ni kweli

,
,
.

Kutoka (8)
nukuu ya kielelezo nambari changamano

, wapi
,

Mfano. .

4°. Mizizi nguvu ya nambari changamano.

Fikiria mlinganyo

,
KUTOKA ,
N .

Hebu
, na suluhisho la Eq.(9) linatafutwa kwa namna
. Kisha (9) huchukua fomu
, tunapata wapi hiyo
,
, i.e.

,
,
.

Kwa hivyo, equation (9) ina mizizi

,
.

Wacha tuonyeshe kuwa kati ya (10) wapo haswa mizizi mbalimbali. Kweli,

ni tofauti, kwa sababu hoja zao ni tofauti na tofauti kidogo kuliko
. Zaidi,
, kwa sababu
. Vile vile
.

Hivyo, equation (9) kwa
ina hasa mizizi
iko kwenye wima ya kawaida -gon iliyoandikwa kwenye mduara wa radius Iliyoundwa na T.O.

Hivyo, imethibitishwa

Nadharia 2. uchimbaji wa mizizi nguvu ya nambari changamano
daima inawezekana. Maadili yote ya mizizi shahada ya iko juu ya sahihi -gon iliyoandikwa kwenye mduara na katikati katika sifuri na radius
. Ambapo,

Matokeo. Mizizi -th shahada ya 1 huonyeshwa na fomula

Bidhaa ya mizizi miwili ya 1 ni mzizi, 1 ni mzizi - digrii kutoka kwa umoja, mzizi
:
.

Wakati wa kusoma mali ya equation ya quadratic, kizuizi kiliwekwa - kwa kibaguzi chini ya sifuri, hakuna suluhisho. Mara moja iliainishwa kuwa tunazungumza juu ya seti ya nambari halisi. Akili ya kudadisi ya mwanahisabati itapendezwa - ni siri gani iliyomo katika uhifadhi kuhusu maadili halisi?

Baada ya muda, wanahisabati walianzisha dhana ya nambari changamano, ambapo thamani ya masharti ya mzizi wa pili wa minus moja inachukuliwa kama kitengo.

Rejea ya historia

Nadharia ya hisabati hukua kwa kufuatana, kutoka rahisi hadi ngumu. Wacha tuone jinsi wazo linaloitwa "nambari ngumu" liliibuka na kwa nini inahitajika.

Tangu nyakati za zamani, msingi wa hisabati imekuwa akaunti ya kawaida. Watafiti walijua tu seti ya asili ya maadili. Kuongeza na kutoa kulikuwa rahisi. Mahusiano ya kiuchumi yalipozidi kuwa magumu, kuzidisha kulianza kutumika badala ya kuongeza maadili sawa. Kulikuwa na operesheni kinyume na kuzidisha - mgawanyiko.

Wazo la nambari asilia lilipunguza matumizi ya shughuli za hesabu. Haiwezekani kutatua matatizo yote ya mgawanyiko kwenye seti ya maadili kamili. iliongoza kwanza kwenye dhana ya maana za kimantiki, na kisha kwa maana zisizo na mantiki. Ikiwa kwa busara inawezekana kuonyesha eneo halisi la uhakika kwenye mstari, basi kwa wasio na akili haiwezekani kuonyesha hatua hiyo. Unaweza tu kukadiria muda. Muungano wa nambari za busara na zisizo na maana ziliunda seti halisi, ambayo inaweza kuwakilishwa kama mstari fulani na kiwango fulani. Kila hatua kwenye mstari ni nambari ya asili, na kati yao ni maadili ya busara na yasiyo na maana.

Enzi ya hisabati ya kinadharia ilianza. Ukuzaji wa unajimu, mechanics, fizikia ilihitaji suluhisho la hesabu ngumu zaidi na ngumu zaidi. Kwa ujumla, mizizi ya equation ya quadratic ilipatikana. Wakati wa kutatua polynomial ngumu zaidi ya ujazo, wanasayansi waliingia kwenye mkanganyiko. Dhana ya mizizi ya mchemraba kutoka kwa hasi ina maana, lakini kwa mizizi ya mraba, kutokuwa na uhakika kunapatikana. Kwa kuongezea, equation ya quadratic ni kesi maalum tu ya ujazo.

Mnamo 1545, Mitaliano J. Cardano alipendekeza kuanzisha dhana ya nambari ya kufikiria.

Nambari hii ilikuwa mzizi wa pili wa minus moja. Neno nambari changamano hatimaye liliundwa miaka mia tatu tu baadaye, katika kazi za mwanahisabati maarufu Gauss. Alipendekeza kupanua rasmi sheria zote za aljebra hadi nambari ya kufikiria. Mstari halisi umepanuka hadi kwenye ndege. Dunia imekuwa kubwa zaidi.

Dhana za kimsingi

Kumbuka idadi ya kazi ambazo zina vikwazo kwenye seti halisi:

y = arcsin(x), iliyofafanuliwa katika anuwai ya maadili kati ya hasi na chanya.
y = ln(x), inaleta maana kwa hoja chanya.
mzizi wa mraba y = √x, unaokokotolewa kwa x ≥ 0 pekee.

Kuashiria i = √(-1), tunatanguliza dhana kama nambari ya kufikiria, hii itaondoa vizuizi vyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa kazi zilizo hapo juu. Misemo kama y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) ina maana katika baadhi ya nafasi ya nambari changamano.

Fomu ya aljebra inaweza kuandikwa kama usemi z = x + i×y kwenye seti ya maadili halisi ya x na y, na i 2 = -1.

Dhana mpya huondoa vikwazo vyote juu ya matumizi ya kazi yoyote ya algebra na kwa kuonekana kwake inafanana na grafu ya mstari wa moja kwa moja katika kuratibu za maadili halisi na ya kufikiria.

Ndege tata

Fomu ya kijiometri ya nambari ngumu kuibua huturuhusu kuwakilisha mali zao nyingi. Kwenye mhimili wa Re(z) tunaashiria maadili halisi ya x, kwenye Im(z) - maadili ya kufikiria ya y, kisha hatua z kwenye ndege itaonyesha thamani tata inayohitajika.

Ufafanuzi:

Re(z) - mhimili halisi.
Im(z) - maana yake ni mhimili wa kufikirika.
z ni sehemu ya masharti ya nambari changamano.
Thamani ya nambari ya urefu wa vekta kutoka hatua ya sifuri hadi z inaitwa moduli.
Shoka halisi na za kufikiria hugawanya ndege katika robo. Na thamani chanya ya kuratibu - mimi robo. Wakati hoja ya mhimili halisi ni chini ya 0, na mhimili wa kufikirika ni mkubwa kuliko robo 0 - II. Wakati kuratibu ni hasi - III robo. Robo ya mwisho, ya nne ina thamani nyingi chanya na maadili hasi ya kufikiria.

Kwa hivyo, kwenye ndege yenye thamani za x na y za kuratibu, mtu anaweza daima kuibua nukta ya nambari changamano. Alama i imetambulishwa ili kutenganisha sehemu halisi na ile ya kuwaziwa.

Mali

Wakati thamani ya hoja ya kufikiria ni sifuri, tunapata nambari tu (z = x), ambayo iko kwenye mhimili halisi na ni ya seti halisi.
Katika kesi maalum, wakati thamani ya hoja halisi inakuwa sifuri, usemi z = i×y unafanana na eneo la uhakika kwenye mhimili wa kufikiria.
Fomu ya jumla z = x + i×y itakuwa ya maadili yasiyo ya sifuri ya hoja. Inamaanisha eneo la sehemu inayoonyesha nambari changamano katika robo moja.

nukuu ya trigonometric

Kumbuka mfumo wa kuratibu wa polar na ufafanuzi wa dhambi na cos. Ni dhahiri kwamba kwa msaada wa kazi hizi inawezekana kuelezea eneo la hatua yoyote kwenye ndege. Ili kufanya hivyo, inatosha kujua urefu wa boriti ya polar na angle ya mwelekeo kwa mhimili halisi.

Ufafanuzi. Ingizo la fomu ∣z ∣ likizidishwa kwa jumla ya vitendakazi vya trigonometric cos(ϴ) na sehemu ya kufikirika i ×sin(ϴ) inaitwa nambari changamano ya trigonometric. Hapa jina ni pembe ya mwelekeo kwa mhimili halisi

ϴ = arg(z), na r = ∣z∣, urefu wa boriti.

Kutoka kwa ufafanuzi na mali ya kazi za trigonometric, formula muhimu sana ya De Moivre ifuatavyo:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × dhambi(n × ϴ)).

Kutumia fomula hii, ni rahisi kutatua mifumo mingi ya hesabu iliyo na kazi za trigonometric. Hasa wakati kazi ya ufafanuzi inatokea.

Moduli na awamu

Ili kukamilisha maelezo ya seti tata, tunapendekeza ufafanuzi mbili muhimu.

Kujua theorem ya Pythagorean, ni rahisi kuhesabu urefu wa boriti katika mfumo wa kuratibu wa polar.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), nukuu kama hiyo kwenye nafasi changamano inaitwa "moduli" na inaashiria umbali kutoka 0 hadi hatua kwenye ndege.

Pembe ya mwelekeo wa boriti tata kwa mstari halisi ϴ inaitwa kawaida awamu.

Inaweza kuonekana kutoka kwa ufafanuzi kwamba sehemu halisi na za kufikiria zinaelezewa kwa kutumia kazi za mzunguko. Yaani:

x = r × cos(ϴ);
y = r × dhambi(ϴ);

Kinyume chake, awamu hiyo inahusiana na maadili ya algebra kupitia formula:

ϴ = arctan(x / y) + µ, urekebishaji µ huletwa ili kuzingatia upimaji wa kazi za kijiometri.

Fomula ya Euler

Wanahisabati mara nyingi hutumia fomu ya kielelezo. Nambari za ndege tata zimeandikwa kama usemi

z = r × e i × ϴ , ambayo inafuata kutoka kwa fomula ya Euler.

Rekodi kama hiyo imeenea kwa hesabu ya vitendo ya kiasi cha kimwili. Njia ya uwakilishi katika mfumo wa nambari ngumu za kielelezo ni rahisi sana kwa mahesabu ya uhandisi, ambapo inakuwa muhimu kuhesabu mizunguko na mikondo ya sinusoidal na ni muhimu kujua thamani ya viunga vya kazi na kipindi fulani. Mahesabu yenyewe hutumika kama zana katika muundo wa mashine na mifumo mbali mbali.

Kufafanua Operesheni

Kama ilivyobainishwa tayari, sheria zote za aljebra za kufanya kazi na kazi za msingi za hisabati zinatumika kwa nambari changamano.

operesheni ya jumla

Wakati wa kuongeza maadili magumu, sehemu zao za kweli na za kufikiria pia huongezwa.

z = z 1 + z 2 , ambapo z 1 na z 2 ni nambari changamano za jumla. Kubadilisha usemi, baada ya kufungua mabano na kurahisisha nukuu, tunapata hoja halisi x \u003d (x 1 + x 2), hoja ya kufikiria y \u003d (y 1 + y 2).

Kwenye grafu, hii inaonekana kama nyongeza ya vekta mbili, kulingana na sheria inayojulikana ya parallelogram.

operesheni ya kutoa

Inachukuliwa kama kesi maalum ya kuongeza, wakati nambari moja ni chanya, nyingine ni hasi, yaani, iko katika robo ya kioo. Nukuu za aljebra inaonekana kama tofauti kati ya sehemu halisi na za kufikirika.

z \u003d z 1 - z 2, au, kwa kuzingatia maadili ya hoja, sawa na operesheni ya kuongeza, tunapata kwa maadili halisi \u200b\u200bx \u003d (x 1 - x 2) na ya kufikiria. y \u003d (y 1 - y 2).

Kuzidisha katika ndege tata

Kutumia sheria za kufanya kazi na polynomials, tunapata fomula ya kutatua nambari ngumu.

Kufuatia kanuni za jumla za aljebra z=z 1 ×z 2 , tunaelezea kila hoja na kutoa zinazofanana. Sehemu halisi na za kufikiria zinaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

x \u003d x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Inaonekana nzuri zaidi ikiwa tunatumia nambari changamano za kielelezo.

Usemi huo unaonekana hivi: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i (ϴ 1+ ϴ 2) .

Mgawanyiko

Tunapozingatia utendakazi wa mgawanyiko kama kinyume cha utendakazi wa kuzidisha, tunapata usemi rahisi katika fomu ya kielelezo. Kugawanya thamani ya z 1 na z 2 ni matokeo ya kugawanya moduli zao na tofauti ya awamu. Rasmi, unapotumia fomu ya kielelezo cha nambari changamano, inaonekana kama hii:

z \u003d z 1 / z 2 \u003d r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 \u003d r 1 / r 2 × e i (ϴ 1- ϴ 2) .

Katika mfumo wa nukuu ya algebraic, operesheni ya kugawanya nambari za ndege tata imeandikwa ngumu zaidi:

Kwa kuandika hoja na kufanya mabadiliko ya polynomial, ni rahisi kupata maadili x \u003d x 1 × x 2 + y 1 × y 2, mtawaliwa, y \u003d x 2 × y 1 - x 1 × y 2, hata hivyo, ndani ya nafasi iliyoelezwa, usemi huu unaeleweka, ikiwa z 2 ≠ 0.

Tunatoa mizizi

Yote yaliyo hapo juu yanaweza kutumika katika ufafanuzi wa kazi ngumu zaidi za algebra - kuinua kwa nguvu yoyote na kinyume chake - kuchimba mzizi.

Kutumia wazo la jumla la kuinua kwa nguvu n, tunapata ufafanuzi:

z n = (r × e i ϴ) n.

Kutumia mali ya kawaida, tunaweza kuiandika tena kwa fomu:

z n = r n × e i ϴ n.

Tulipata fomula rahisi ya kuongeza nambari changamano hadi nguvu.

Kutokana na ufafanuzi wa shahada tunapata matokeo muhimu sana. Nguvu sawa ya kitengo cha kufikiria daima ni 1. Nguvu yoyote isiyo ya kawaida ya kitengo cha kufikiria daima ni -1.

Sasa hebu tujifunze kazi ya kinyume - kuchimba mzizi.

Kwa unyenyekevu wa nukuu, tunachukua n = 2. Mzizi wa mraba w wa thamani changamano z kwenye ndege changamano C kwa kawaida huchukuliwa kuwa usemi z = ±, ambao ni halali kwa hoja yoyote halisi kubwa kuliko au sawa na sifuri. Kwa w ≤ 0, hakuna suluhisho.

Hebu tuangalie equation rahisi zaidi ya quadratic z 2 = 1. Kutumia fomula za nambari ngumu, tunaandika tena r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 . Inaweza kuonekana kutoka kwa rekodi kwamba r 2 \u003d 1 na ϴ \u003d 0, kwa hiyo, tuna suluhisho pekee sawa na 1. Lakini hii inapingana na dhana kwamba z \u003d -1, pia inafanana na ufafanuzi wa mraba. mzizi.

Wacha tujue ni nini hatuzingatii. Ikiwa tunakumbuka nukuu ya trigonometric, basi tunarejesha taarifa - kwa mabadiliko ya mara kwa mara katika awamu ϴ, nambari ngumu haibadilika. Hebu p inaashiria thamani ya kipindi, basi tuna r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p) , wapi 2ϴ = 0 + p, au ϴ = p / 2. Kwa hiyo, tuna e i 0 = 1 na e i p / 2 = -1 . Tulipata suluhisho la pili, ambalo linalingana na uelewa wa jumla wa mizizi ya mraba.

Kwa hivyo, ili kupata mzizi wa kiholela wa nambari changamano, tutafuata utaratibu.

Tunaandika fomu ya kielelezo w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) , k ni nambari kamili ya kiholela.
Nambari inayotakiwa inaweza pia kuwakilishwa katika fomu ya Euler z = r × e i ϴ.
Hebu tumia ufafanuzi wa jumla wa kazi ya uchimbaji wa mizizi r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
Kutoka kwa mali ya jumla ya usawa wa modules na hoja, tunaandika r n = ∣w∣ na nϴ = arg (w) + p×k.
Rekodi ya mwisho ya mzizi wa nambari changamano inaelezewa na fomula z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n.
Maoni. Thamani ∣w∣ ni, kwa ufafanuzi, nambari halisi chanya, kwa hivyo mzizi wowote wa nguvu unaeleweka.

Shamba na mnyambuliko

Kwa kumalizia, tunatoa ufafanuzi mbili muhimu, ambazo hazina umuhimu mdogo kwa kutatua matatizo yaliyotumiwa na nambari ngumu, lakini ni muhimu katika maendeleo zaidi ya nadharia ya hisabati.

Misemo ya kujumlisha na kuzidisha inasemekana kuunda uwanja ikiwa inakidhi misemo ya vipengele vyovyote vya ndege changamano z:

Kutoka kwa mabadiliko katika maeneo ya maneno magumu, jumla tata haibadilika.
Taarifa hiyo ni kweli - kwa usemi changamano, jumla yoyote ya nambari mbili inaweza kubadilishwa na thamani yao.
Kuna thamani ya upande wowote 0 ambayo z + 0 = 0 + z = z ni kweli.
Kwa z yoyote kuna kinyume - z, kuongeza ambayo inatoa sifuri.
Wakati maeneo ya mambo magumu yanabadilishwa, bidhaa ngumu haibadilika.
Kuzidisha kwa nambari zozote mbili kunaweza kubadilishwa na thamani yao.
Kuna thamani ya 1, kuzidisha ambayo haibadilishi nambari changamano.
Kwa kila z ≠ 0, kuna ulinganifu wa z -1 ambao, ukizidishwa, husababisha 1.
Kuzidisha jumla ya nambari mbili kwa theluthi ni sawa na kuzidisha kila nambari kwa nambari hiyo na kuongeza matokeo.
0 ≠ 1.

Nambari z 1 = x + i×y na z 2 = x - i×y huitwa conjugate.

Nadharia. Kwa muunganisho, taarifa hiyo ni kweli:

Mnyambuliko wa jumla ni sawa na jumla ya vipengele vya mnyambuliko.
Muunganisho wa bidhaa ni sawa na bidhaa ya miunganisho.
sawa na nambari yenyewe.

Kwa ujumla algebra, mali hizo huitwa automorphisms ya shamba.

Mifano

Kufuatia sheria zilizo hapo juu na kanuni za nambari ngumu, unaweza kuziendesha kwa urahisi.

Hebu fikiria mifano rahisi zaidi.

Jukumu la 1. Kwa kutumia mlingano 3y +5 x i= 15 - 7i, bainisha x na y.

Suluhisho. Kumbuka ufafanuzi wa usawa tata, kisha 3y = 15, 5x = -7. Kwa hivyo, x = -7 / 5, y = 5.

Jukumu la 2. Hesabu maadili 2 + i 28 na 1 + i 135 .

Suluhisho. Kwa wazi, 28 ni nambari iliyo sawa, kutokana na matokeo ya ufafanuzi wa nambari changamano katika nguvu tuliyo nayo i 28 = 1, ambayo ina maana kwamba usemi ni 2 + i 28 = 3. Thamani ya pili, i 135 = -1 , kisha 1 + i 135 = 0.

Jukumu la 3. Kuhesabu bidhaa ya maadili 2 + 5i na 4 + 3i.

Suluhisho. Kutoka kwa mali ya jumla ya kuzidisha namba tata, tunapata (2 + 5i) X (4 + 3i) = 8 - 15 + i (6 + 20). Thamani mpya itakuwa -7 + 26i.

Jukumu la 4. Kuhesabu mizizi ya equation z 3 = -i.

Suluhisho. Kuna njia kadhaa za kupata nambari changamano. Hebu fikiria mojawapo ya iwezekanavyo. Kwa ufafanuzi, ∣ - i∣ = 1, awamu ya -i ni -p / 4. Mlinganyo wa awali unaweza kuandikwa upya kama r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk , wapi z = e - p / 12 + pk /3 , kwa nambari yoyote k.

Seti ya ufumbuzi ina fomu (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Kwa nini nambari ngumu zinahitajika

Historia inajua mifano mingi wakati wanasayansi, wakati wa kufanya kazi kwenye nadharia, hawafikiri hata juu ya matumizi ya vitendo ya matokeo yao. Hisabati ni, kwanza kabisa, mchezo wa akili, ufuasi mkali wa uhusiano wa sababu-na-athari. Takriban miundo yote ya hisabati imepunguzwa ili kutatua milinganyo muhimu na tofauti, na hizo, kwa upande wake, kwa makadirio fulani, hutatuliwa kwa kutafuta mizizi ya polynomials. Hapa tunakutana kwanza na kitendawili cha nambari za kufikiria.

Wanasayansi wa asili, kutatua matatizo ya vitendo kabisa, kuamua ufumbuzi wa equations mbalimbali, kugundua paradoksia za hisabati. Ufafanuzi wa vitendawili hivi husababisha uvumbuzi wa kushangaza kabisa. Asili mbili ya mawimbi ya sumakuumeme ni mfano mmoja kama huo. Nambari tata zina jukumu muhimu katika kuelewa sifa zao.

Hii, kwa upande wake, imepata matumizi ya vitendo katika optics, umeme wa redio, nishati na maeneo mengine mengi ya kiteknolojia. Mfano mwingine, ni vigumu zaidi kuelewa matukio ya kimwili. Antimatter ilitabiriwa kwenye ncha ya kalamu. Na tu baada ya miaka mingi majaribio ya kuiunganisha kimwili huanza.

Mtu haipaswi kufikiria kuwa hali kama hizo zipo tu katika fizikia. Hakuna uvumbuzi mdogo wa kuvutia unaofanywa katika wanyamapori, katika awali ya macromolecules, wakati wa utafiti wa akili ya bandia. Na hii yote ni kutokana na upanuzi wa ufahamu wetu, kuepuka kuongeza rahisi na kutoa maadili ya asili.

Kumbuka habari muhimu kuhusu nambari ngumu.

Nambari tata ni kielelezo cha fomu a + bi, wapi a, b ni nambari halisi, na i- kinachojulikana kitengo cha kufikiria, ishara ambayo mraba wake ni -1, i.e. i 2 = -1. Nambari a kuitwa sehemu halisi, na nambari b - sehemu ya kufikirika nambari changamano z = a + bi. Ikiwa a b= 0, basi badala ya a + 0i andika kwa urahisi a. Inaweza kuonekana kuwa nambari halisi ni kesi maalum ya nambari ngumu.

Shughuli za hesabu kwenye nambari changamano ni sawa na zile halisi: zinaweza kuongezwa, kupunguzwa, kuzidishwa na kugawanywa kwa kila mmoja. Kuongeza na kutoa kuendelea kulingana na kanuni ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, na kuzidisha - kulingana na kanuni ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (tangazo + bc)i(hapa inatumika tu i 2 = -1). Nambari = a – bi kuitwa mchanganyiko tata kwa z = a + bi. Usawa z · = a 2 + b 2 hukuruhusu kuelewa jinsi ya kugawanya nambari moja changamano na nambari changamano nyingine (isiyo ya sifuri):

(Kwa mfano, .)

Nambari tata zina uwakilishi rahisi na wa kuona wa kijiometri: nambari z = a + bi inaweza kuwakilishwa kama vekta na kuratibu ( a; b) kwenye ndege ya Cartesian (au, ambayo ni karibu sawa, hatua - mwisho wa vector na kuratibu hizi). Katika kesi hii, jumla ya nambari mbili changamano zinaonyeshwa kama jumla ya vekta zinazolingana (ambazo zinaweza kupatikana kwa kanuni ya parallelogram). Kwa nadharia ya Pythagorean, urefu wa vekta na kuratibu ( a; b) ni sawa na. Thamani hii inaitwa moduli nambari changamano z = a + bi na inaonyeshwa na | z|. Pembe ambayo vekta hii hufanya kwa mwelekeo mzuri wa mhimili wa x (iliyohesabiwa kinyume cha saa) inaitwa hoja nambari changamano z na imeonyeshwa na Arg z. Hoja haijafafanuliwa kipekee, lakini hadi tu nyongeza ya 2 π radians (au 360 °, ikiwa unahesabu kwa digrii) - baada ya yote, ni wazi kwamba kugeuka kwa pembe kama hiyo karibu na asili haitabadilisha vector. Lakini ikiwa vector ya urefu r huunda pembe φ na mwelekeo mzuri wa mhimili wa x, basi kuratibu zake ni sawa na ( r cos φ ; r dhambi φ ) Kwa hivyo inageuka nukuu ya trigonometric nambari changamano: z = |z| (cos (Arg z) + i dhambi (Arg z)). Mara nyingi ni rahisi kuandika nambari ngumu katika fomu hii, kwa sababu hurahisisha mahesabu. Kuzidisha kwa nambari ngumu katika fomu ya trigonometric inaonekana rahisi sana: z moja · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos (Arg z 1+arg z 2) + i dhambi (Arg z 1+arg z 2)) (wakati wa kuzidisha nambari mbili changamano, moduli zao huzidishwa na hoja zinaongezwa). Kuanzia hapa fuata Njia za De Moivre: z n = |z|n(cos ( n(Arg z)) + i dhambi ( n(Arg z))). Kwa msaada wa fomula hizi, ni rahisi kujifunza jinsi ya kutoa mizizi ya digrii yoyote kutoka kwa nambari ngumu. mzizi wa z ni nambari changamano w, nini w n = z. Ni wazi kwamba , Na wapi k inaweza kuchukua thamani yoyote kutoka kwa seti (0, 1, ..., n- moja). Hii ina maana kwamba daima kuna hasa n mizizi n digrii kutoka kwa nambari changamano (kwenye ndege ziko kwenye wima ya kawaida n-gonjwa).

MadaNambari tata na polynomials

Mhadhara 22

§ moja. Nambari ngumu: ufafanuzi wa kimsingi

Alama ingiza uwiano
na inaitwa kitengo cha kufikiria. Kwa maneno mengine,
.

Ufafanuzi. Udhihirisho wa fomu
, wapi
, inaitwa nambari changamano, na nambari inayoitwa sehemu halisi ya nambari changamano na kuashiria
, nambari - sehemu ya kufikiria na kuashiria
.

Kutokana na ufafanuzi huu inafuata kwamba nambari halisi ni zile nambari changamano ambazo sehemu yake ya kufikirika ni sawa na sifuri.

Ni rahisi kuwakilisha nambari ngumu kama sehemu za ndege ambayo mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian hupewa, ambayo ni: nambari changamano.
pointi ya mechi
na kinyume chake. kwenye ekseli
nambari halisi huonyeshwa na inaitwa mhimili halisi. Nambari tata za fomu

zinaitwa za kufikirika tu. Zinaonyeshwa kama nukta kwenye mhimili.
, ambayo inaitwa mhimili wa kufikirika. Ndege hii, ambayo hutumika kuwakilisha nambari changamano, inaitwa ndege changamano. Nambari changamano ambayo si halisi, i.e. vile vile
, wakati mwingine huitwa kuwazia.

Nambari mbili changamano zinasemekana kuwa sawa ikiwa na tu ikiwa zina sehemu sawa halisi na za kuwaziwa.

Kuongeza, kutoa na kuzidisha kwa nambari ngumu hufanywa kulingana na sheria za kawaida za algebra ya polynomial, kwa kuzingatia ukweli kwamba.

. Uendeshaji wa mgawanyiko unaweza kufafanuliwa kama kinyume cha operesheni ya kuzidisha na mtu anaweza kuthibitisha upekee wa matokeo (ikiwa kigawanyiko ni tofauti na sifuri). Walakini, katika mazoezi, njia tofauti hutumiwa.

Nambari tata
na
zinaitwa conjugate, kwenye ndege tata zinawakilishwa na pointi za ulinganifu kuhusu mhimili halisi. Ni dhahiri kwamba:

1)

;

2)
;

3)
.

Sasa kugawanyika kwenye inaweza kufanyika kama ifuatavyo:

Si vigumu kuonyesha hivyo

wapi ishara inasimama kwa operesheni yoyote ya hesabu.

Hebu
nambari fulani ya kufikiria, na ni kutofautiana kweli. Bidhaa ya binomials mbili

ni trinomia ya mraba yenye coefficients halisi.

Sasa, kwa kuwa na nambari changamano tulizo nazo, tunaweza kutatua mlinganyo wowote wa quadratic
.Kama , basi

na equation ina mizizi miwili changamani ya uunganishaji

Ikiwa a
, basi equation ina mizizi miwili tofauti halisi. Ikiwa a
, basi equation ina mizizi miwili inayofanana.

§2. Fomu ya trigonometric ya nambari changamano

Kama ilivyoelezwa hapo juu, nambari ngumu
rahisi kuwakilisha kwa nukta
. Mtu anaweza pia kutambua nambari kama hiyo na vekta ya radius ya hatua hii
. Kwa tafsiri hii, kuongeza na kutoa nambari ngumu hufanywa kulingana na sheria za kuongeza na kutoa vectors. Kwa kuzidisha na mgawanyiko wa nambari ngumu, fomu nyingine ni rahisi zaidi.

Tunatanguliza kwenye ndege tata
mfumo wa kuratibu polar. Kisha wapi
,
na nambari changamano
inaweza kuandikwa kama:

Aina hii ya nukuu inaitwa trigonometric (kinyume na muundo wa aljebra
) Katika fomu hii, nambari inaitwa moduli na - hoja changamano ya nambari . Wao ni alama:
,

. Kwa moduli, tunayo formula

Hoja ya nambari inafafanuliwa kwa utata, lakini hadi muda
,
. Thamani ya hoja inayokidhi ukosefu wa usawa
, inaitwa mkuu na inaashiria
. Kisha,
. Kwa thamani kuu ya hoja, unaweza kupata maneno yafuatayo:

hoja ya nambari
inachukuliwa kuwa haijafafanuliwa.

Hali ya usawa wa nambari mbili ngumu katika fomu ya trigonometric ina fomu: moduli za nambari ni sawa, na hoja hutofautiana kwa nyingi.
.

Pata bidhaa ya nambari mbili ngumu katika fomu ya trigonometric:

Kwa hivyo, wakati wa kuzidisha nambari, moduli zao huongezeka, na hoja zinaongezwa.

Vile vile, inaweza kuanzishwa kuwa wakati wa kugawanya, moduli za nambari zinagawanywa, na hoja zinatolewa.

Kuelewa ufafanuzi kama kuzidisha mara nyingi, tunaweza kupata fomula ya kuongeza nambari changamano hadi nguvu:

Tunapata formula kwa
- mzizi nguvu ya nambari changamano (sio kuchanganyikiwa na mzizi wa hesabu wa nambari halisi!). Operesheni ya uchimbaji wa mizizi ni kinyume cha operesheni ya upanuzi. Ndiyo maana
ni nambari changamano vile vile
.

Hebu
inayojulikana, na
inahitajika kupatikana. Kisha

Kutoka kwa usawa wa nambari mbili changamano katika fomu ya trigonometric, inafuata hiyo

,
,
.

Kutoka hapa
(ni mzizi wa hesabu!),

,
.

Ni rahisi kuthibitisha hilo inaweza tu kukubali kimsingi maadili tofauti, kwa mfano, wakati
. Hatimaye tuna formula:

,
.

Hivyo mizizi digrii kutoka kwa nambari changamano ina maadili tofauti. Kwenye ndege tata, maadili haya yanapatikana kwenye wima kwa usahihi. -gon iliyoandikwa kwenye mduara wa radius
inayozingatia asili. Mzizi wa "kwanza" una hoja
, hoja za mizizi miwili ya "jirani" hutofautiana na
.

Mfano. Wacha tuchukue mzizi wa mchemraba wa kitengo cha kufikiria:
,
,
. Kisha: