X. sehemu sawia katika pembetatu ya kulia na mduara. kazi za trigonometric za pembe ya papo hapo. Mali ya ziada

Hebu kwanza tuchunguze secant AC, inayotolewa kutoka kwa uhakika A nje ya mzunguko uliopewa (Mchoro 288). Chora tangent AT kutoka sehemu sawa. Tutaita sehemu kati ya nukta A na sehemu ya makutano iliyo karibu nayo na mduara sehemu ya nje ya secant (sehemu ya AB kwenye Mchoro 288), wakati sehemu ya AC hadi mwisho wa sehemu mbili za makutano ni secant tu. . Sehemu ya tangent kutoka A hadi hatua ya kuwasiliana pia inaitwa kwa ufupi tangent. Kisha

Nadharia. Bidhaa ya secant na sehemu yake ya nje ni sawa na mraba wa tangent.

Ushahidi. Hebu tuunganishe kitone. Pembetatu ACT na BT A zinafanana, kwa kuwa zina pembe ya kawaida kwenye vertex A, na pembe ACT na ni sawa, kwa kuwa zote mbili zinapimwa na nusu ya arc TB sawa. Kwa hivyo, kutoka hapa tunapata matokeo yanayohitajika:

Tangent ni sawa na maana ya kijiometri kati ya secant inayotolewa kutoka kwa uhakika sawa na sehemu yake ya nje.

Matokeo. Kwa sekunde yoyote inayotolewa kupitia sehemu fulani A, bidhaa ya urefu wake na sehemu ya nje ni ya kudumu:

Fikiria sasa chords zinazokatiza katika sehemu ya ndani. Taarifa sahihi:

Ikiwa chords mbili zinaingiliana, basi bidhaa ya makundi ya chord moja ni sawa na bidhaa ya makundi ya nyingine (maana ya makundi ambayo chord imegawanywa na hatua ya makutano).

Kwa hiyo, katika mtini. 289 chords AB na CD huingiliana kwenye sehemu ya M, na tunayo Kwa maneno mengine,

Kwa hatua fulani M, bidhaa ya sehemu ambayo inagawanya chord yoyote inayopita ndani yake ni ya kudumu.

Ili kuthibitisha hili, tunaona kwamba pembetatu MBC na MAD ni sawa: pembe CMB na DMA ni wima, pembe MAD na MCB zinatokana na arc sawa. Kutoka hapa tunapata

Q.E.D.

Ikiwa sehemu fulani M iko umbali wa l kutoka katikati, basi, tukichora kipenyo kupitia hiyo na kuizingatia kama moja ya chords, tunaona kuwa bidhaa ya sehemu za kipenyo, na kwa hivyo ya chord nyingine yoyote, ni sawa. kwa Pia ni sawa na mraba wa nusu-guu ya chini kabisa (perpendicular kwa kipenyo maalum) inayopitia M.

Nadharia juu ya uthabiti wa bidhaa ya sehemu za chord na nadharia juu ya uthabiti wa bidhaa ya secant na sehemu yake ya nje ni kesi mbili za taarifa moja, tofauti pekee ni ikiwa senti hutolewa kupitia nje au ya nje. hatua ya ndani ya duara. Sasa unaweza kubainisha kipengele kimoja zaidi ambacho kinatofautisha pembe nne zilizoandikwa:

Katika quadrilateral yoyote iliyoandikwa, bidhaa za cutoff ambazo diagonals zinagawanywa na hatua yao ya makutano ni sawa.

Umuhimu wa hali hiyo ni dhahiri, kwani diagonals zitakuwa chords ya mduara unaozunguka. Inaweza kuonyeshwa kuwa hali hii pia ni ya kutosha.

Hisabati. Aljebra. Jiometri. Trigonometry

JIOMETRI: Planimetry

10. Nadharia juu ya mistari sawia

Ushahidi. Inahitajika kuthibitisha uwiano zifuatazo tatu: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Pembetatu ABD na ADC zinafanana kwa sababu

Hakimiliki © 2005-2013 Xenoid v2.0

Matumizi ya vifaa vya tovuti yanawezekana mradi kiungo kinachotumika kinaonyeshwa

§ 11. Sehemu za uwiano katika mduara.

1. Truss ya daraja imefungwa na arc ya mduara (Mchoro 38); urefu wa truss MK= h= m 3; arc radius AMB ya span R = 8.5 m. Kokotoa urefu AB wa urefu wa daraja.

2. Katika basement iliyofunikwa ya nusu-silinda, nguzo mbili zinapaswa kuwekwa, kila moja kwa umbali sawa kutoka kwa ukuta wa karibu. Amua urefu wa racks ikiwa upana wa basement kando ya chini ni 4 m, na umbali kati ya racks ni 2 m.

3. 1) Perpendicular kwa kipenyo hutolewa kutoka kwa hatua ya mduara. Kuamua urefu wake na urefu wafuatayo wa makundi ya kipenyo: 1) 12 cm na 3 cm; 2) 16 cm na 9 cm, 3) 2 m na 5 dm.

2) Perpendicular inatolewa kutoka kwa hatua ya kipenyo hadi kwenye makutano na mduara. Kuamua urefu wa perpendicular hii ikiwa kipenyo ni 40 cm, na perpendicular inayotolewa ni 8 cm kutoka kwa moja ya mwisho wa kipenyo.

4. Kipenyo kinagawanywa katika makundi: AC \u003d 8 dm na CB \u003d 5 m, na kutoka kwa uhakika C CD ya perpendicular ya urefu fulani hutolewa kwake. Onyesha nafasi ya uhakika D kuhusiana na mduara wakati CD ni sawa: 1) 15 dm; 2) mita 2; 3) 23 dm.

5. DIA-semicircle; CD - perpendicular kwa kipenyo AB. Inahitajika:

1) kuamua DB ikiwa AD = 25 na CD = 10;

2) kuamua AB ikiwa AD: DB= 4: 9 na CD=30;

3) fafanua AD ikiwa CD=3AD na radius ni r;

4) kuamua AD ikiwa AB=50 na CD=15.

6. 1) Perpendicular, iliyopungua kutoka hatua ya mduara hadi radius ya cm 34, inagawanya kwa uwiano wa 8: 9 (kuanzia katikati). Kuamua urefu wa perpendicular.

2) Chord BDC ni perpendicular kwa radius ODA. Amua BC ikiwa OA = 25 cm na AD = 10 cm.

3) Upana wa pete inayoundwa na duru mbili za kuzingatia ni 8 dm; chord ya mduara mkubwa, tangent kwa ndogo, ni m 4. Tambua radii ya miduara.

7. Kwa kulinganisha sehemu, thibitisha kwamba maana ya hesabu ya namba mbili zisizo sawa ni kubwa kuliko maana yao ya kijiometri.

8. Jenga sehemu, wastani wa uwiano kati ya makundi 3 cm na 5 cm.

9. Tengeneza sehemu sawa na: √15; √10; √6; √3.

10. ADB-kipenyo; AC-chord; CD ni perpendicular kwa kipenyo. Tambua chord ya AC: 1) ikiwa AB = 2 m na AD = 0.5 m; 2) ikiwa AD = 4 cm na DB = 5 cm; 3) ikiwa AB=20m na ​​DB=15m.

11. kipenyo cha AB; AC-chord; AD ni makadirio yake kwenye kipenyo cha AB. Inahitajika:

1) kuamua AD ikiwa AB=18 cm na AC=12 cm;

2) kuamua radius ikiwa AC = 12 m na AD = 4 m;

3) kuamua DB ikiwa AC = 24 cm na DB = 7/9 AD.

12. kipenyo cha AB; AC-chord; AD ni makadirio yake kwenye kipenyo cha AB. Inahitajika:

1) kuamua AC ikiwa AB = 35 cm na AC = 5AD;

2) kuamua AC ikiwa radius ni sawa na r na AC=DB.

13. Chodi mbili huingiliana ndani ya duara. Sehemu za chord moja ni 24 cm na 14 cm; moja ya makundi ya chord nyingine ni cm 28. Kuamua sehemu yake ya pili.

14. Truss ya daraja ni mdogo na arc ya mduara (Mchoro 38); urefu wa daraja AB = 6 m, urefu A = 1.2 m. Tambua radius ya arc (OM = R).

15. Sehemu mbili za AB na CD huingiliana kwa uhakika M ili MA \u003d 7 cm, MB \u003d 21 cm,
MC = 3 cm na MD = cm 16. Je, pointi A, B, C na D ziko kwenye mduara sawa?

16. Urefu wa pendulum MA = l= 1 m (Kielelezo 39), urefu wake wa kuinua, unapopotoshwa na angle α, CA = h\u003d sentimita 10. Tafuta umbali BC wa uhakika B kutoka MA (BC \u003d X).

17. Kutafsiri upana wa njia ya reli b\u003d 1.524 m mahali AB (Mchoro 40) mzunguko unafanywa; wakati iligeuka,; hiyo BC= a= 42.4 m. Amua radius ya curvature OA = R.

18. Chord AMB inazungushwa karibu na uhakika M ili sehemu MA imeongezeka mara 2 1/2. Je, sehemu ya MB imebadilikaje?

19. 1) Kati ya chords mbili za kuingiliana, moja iligawanywa katika sehemu za cm 48 na 3 cm, na nyingine kwa nusu. Tambua urefu wa chord ya pili.

2) Kati ya chords mbili za kuingiliana, moja iligawanywa katika sehemu za 12 m na 18 m, na nyingine kwa uwiano wa 3: 8. Tambua urefu wa chord ya pili.

20. Kati ya chords mbili zinazoingiliana, ya kwanza ni 32 cm, na sehemu za chord nyingine ni.
12 cm na cm 16. Kuamua makundi ya chord ya kwanza.

21. Sekanti ya ABC inazungushwa karibu na sehemu ya nje A ili sehemu yake ya nje AB imepungua mara tatu. Urefu wa secant ulibadilikaje?

22. Acha ADB na AEC ziwe mistari miwili inayokatiza duara: ya kwanza iko kwenye pointi D na B, ya pili iko kwenye pointi E na C. Inahitajika:

1) kuamua AE ikiwa AD = 5 cm, DB = 15 cm na AC = 25 cm;

2) kuamua BD ikiwa AB = 24 m, AC = 16 m na EC = 10 m;

3) bainisha AB na AC ikiwa AB+AC=50 m, AD: AE = 3:7.

23. Radi ya mduara ni cm 7. Kutoka hatua ya 9 cm kutoka katikati, secant hutolewa ili igawanywe kwa nusu na mduara. Bainisha urefu wa sekunde hii.

24. MAB na MCD ni sekti mbili kwa duara moja. Inahitajika:

1) kuamua CD ikiwa MV = 1 m, MD = 15 dm na CD = MA;

2) kuamua MD ikiwa MA = 18 cm, AB = 12 cm na MC: CD = 5: 7;

3) bainisha AB ikiwa AB=MC, MA=20 na CD=11.

25. Chords mbili zinapanuliwa kwa makutano ya pande zote. Amua urefu wa upanuzi unaosababishwa ikiwa chords ni sawa a na b, na viendelezi vyao vinahusiana kama t:p.

26. Kutoka hatua moja, secant na tangent hutolewa kwenye mduara. Tambua urefu wa tangent ikiwa sehemu za nje na za ndani za secant zinaonyeshwa kwa nambari zifuatazo: 1) 4 na 5; 2) 2.25 na 1.75; 3) 1 na 2.

27. Tangent ni 20 cm, na secant kubwa inayotolewa kutoka hatua sawa ni cm 50. Tambua radius ya mduara.

28. Sekanti ni kubwa mara 2 1/4 kuliko sehemu yake ya nje. Je, ni mara ngapi zaidi ya tanjenti inayotolewa kutoka sehemu moja?

29. Chord ya kawaida ya miduara miwili ya kuingiliana inaendelea, na tangents hutolewa kwao kutoka kwa hatua iliyochukuliwa juu ya kuendelea. Thibitisha kuwa wako sawa.

30. Kwa upande mmoja wa kona A, sehemu zimewekwa moja baada ya nyingine: AB \u003d 6 cm na BC \u003d 8 cm; na kwa upande mwingine sehemu ya AD = 10 cm imewekwa chini. Mduara hutolewa kupitia pointi B, C na D. Jua ikiwa mstari wa AD unagusa mduara huu, na ikiwa sivyo, basi ikiwa hatua D itakuwa ya kwanza (kuhesabu kutoka A) au hatua ya pili ya makutano.

31. Hebu iwe: AB-tangent na ACD-secant ya mduara sawa. Inahitajika:

1) kuamua CD ikiwa AB = 2 cm na AD = 4 cm;

2) kuamua AD ikiwa AC:CD = 4: 5 na AB = 12 cm;

3) kuamua AB ikiwa AB = CD na AC = a.

32. 1) Unaweza kuona umbali gani kutoka kwa puto (Mchoro 41), ambayo imeongezeka hadi urefu wa kilomita 4 juu ya ardhi (radius ya dunia ni = 6370 km)?

2) Mlima Elbrus (katika Caucasus) una urefu wa mita 5,600 juu ya usawa wa bahari.Je, unaweza kuona umbali gani kutoka juu ya mlima huu?

3) M - chapisho la uchunguzi na urefu wa mita A juu ya ardhi (Mchoro 42); eneo la dunia R, МТ= d ni umbali mkubwa unaoonekana. Thibitisha hilo d= √2R h+ h 2

Maoni. Kwa sababu h 2 kutokana na udogo wake ikilinganishwa na 2R h karibu haiathiri matokeo, basi unaweza kutumia formula takriban d≈ √2R h .

33. 1) Tangent na secant, kutoka kwa hatua moja, kwa mtiririko huo ni sawa na cm 20 na 40 cm; secant iko umbali wa cm 8 kutoka katikati.

2) Amua umbali kutoka katikati hadi mahali ambapo tangent na secant huenda, ikiwa kwa mtiririko huo ni 4 cm na 8 cm, na secant huondolewa katikati na.
12 cm

34. 1) Kutoka kwa hatua ya kawaida, tangent na secant hutolewa kwenye mduara. Tambua urefu wa tangent ikiwa ni urefu wa 5 cm kuliko sehemu ya nje ya secant na kwa kiasi sawa chini ya sehemu ya ndani.

2) Kutoka hatua moja, secant na tangent hutolewa kwenye mduara. Sekant ni a, na sehemu yake ya ndani ni ndefu kuliko sehemu ya nje kwa urefu wa tangent. Bainisha tangent.

36. Kutoka hatua moja, tangent na secant hutolewa kwenye mduara mmoja. Tangent ni kubwa zaidi kuliko makundi ya ndani na nje ya secant kwa 2 cm na 4 cm, kwa mtiririko huo.Kuamua urefu wa secant.

36. Kutoka hatua moja, tangent na secant hutolewa kwenye mduara. Tambua urefu wao ikiwa tangent ni 20 cm chini ya sehemu ya ndani ya secant na 8 cm zaidi ya sehemu ya nje.

37. 1) Sekanti na tanjiti hutolewa kutoka sehemu moja hadi duara. Jumla yao ni 30 cm, na sehemu ya ndani ya secant ni 2 cm chini ya tangent. Bainisha sekanti na tangent.

2) Kutoka hatua moja, secant na tangent hutolewa kwenye mduara. Jumla yao ni 15 cm, na sehemu ya nje ya secant ni 2 cm chini ya tangent. Bainisha sekanti na tangent.

38. Sehemu ya AB inapanuliwa na umbali BC. Kwenye AB na AC, kama kwenye kipenyo, miduara hujengwa. BD perpendicular inachorwa kwenye sehemu ya AC kwenye hatua B hadi inapoingiliana na mduara mkubwa. Kutoka kwa uhakika C, tangent SC inatolewa kwenye mduara mdogo. Thibitisha kuwa CD = CK.

39. Tangenti mbili zinazofanana na tangent ya tatu ambayo hupita kati yao hutolewa kwenye mduara fulani. Radi ni wastani wa uwiano kati ya sehemu za tanjenti ya tatu. Thibitisha.

40. Mistari miwili ya sambamba hutolewa kwa umbali wa dm 15 kutoka kwa kila mmoja; hatua M inapewa kati yao kwa umbali wa 3 dm kutoka kwa mmoja wao. Mduara huchorwa kupitia nukta M, inayoendana na sambamba zote mbili. Amua umbali kati ya makadirio ya kituo na uelekeze M kwenye mojawapo ya sambamba hizi.

41. Katika mzunguko wa radius r Pembetatu ya isosceles imeandikwa ambayo jumla ya urefu na msingi ni sawa na kipenyo cha mduara. Kuamua urefu.

42. Kuamua radius ya mduara unaozunguka kuhusu pembetatu ya isosceles: 1) ikiwa msingi ni 16 cm na urefu ni 4 cm; 2) ikiwa upande ni 12 dm na urefu ni 9 dm; 3) ikiwa upande ni 15 m na msingi ni 18 m.

43. Katika pembetatu ya isosceles, msingi ni 48 dm, na upande ni 30 dm. Tambua radii ya miduara, iliyopigwa na iliyoandikwa, na umbali kati ya vituo vyao.

44. Radi ni r, chord ya arc hii ni sawa na a. Amua chord ya arc mara mbili.

45. Radi ya mduara ni 8 dm; chord AB ni 12 dm. Tanjenti huchorwa kupitia nukta A, na kutoka kwa nukta B ni chord BC sambamba na tanjiti. Amua umbali kati ya tangent na chord BC.

46. ​​Pointi A inatolewa kutoka kwa mstari wa moja kwa moja wa MN kwa mbali Na. radius iliyotolewa r Mduara umezungushwa ili upite kwenye sehemu A na kugusa mstari MN. Amua umbali kati ya mahali ulipopokea na eneo ulilopewa A.

Mali 1 . Ikiwa chords AB na CD ya mduara hukutana kwenye hatua S, basi AS BS = CS DS, yaani DS/BS = AS/CS.

Ushahidi. Hebu kwanza tuthibitishe kwamba pembetatu ASD na CSB zinafanana.

Pembe zilizoandikwa DCB na DAB ni sawa kwani zinatokana na upinde sawa.

Angles ASD na BSC ni sawa kama wima.

Kutoka kwa usawa wa pembe zilizoonyeshwa inafuata kwamba pembetatu ASD na CSB ni sawa. Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu hufuata uwiano

DS/BS = AS/CS, au AS BS = CS DS,

Q.E.D.

Mali 2. Ikiwa secants mbili hutolewa kutoka hatua ya P hadi kwenye mduara, kuingilia mduara kwa pointi A, B na C, D, kwa mtiririko huo, basi АР/СР = DP/BP.

Ushahidi. Wacha A na C ziwe sehemu za makutano ya senti na mduara ulio karibu na uhakika P. Pembetatu PAD na RSV ni sawa. Wana pembe ya kawaida kwenye vertex P, na pembe B na D ni sawa na iliyoandikwa, kulingana na arc sawa. Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu hufuata uwiano АР/СР = DP / BP, ambayo ilitakiwa kuthibitishwa.

Bisector mali ya pembe ya pembetatu

Sehemu ya pembetatu ya pembetatu inagawanya upande wa pili katika sehemu sawia na pande zingine mbili.

Ushahidi. Acha CD iwe sehemu mbili ya pembetatu ABC. Ikiwa pembetatu ABC ni isosceles na msingi AB, basi mali iliyoonyeshwa ya bisector ni dhahiri, kwa kuwa katika kesi hii bisector pia ni wastani. Fikiria kesi ya jumla ambapo AC si sawa na BC. Wacha tushushe perpendiculars AF na BE kutoka wima A na B hadi CD ya mstari. Pembetatu za kulia ACF na ZOTE ni sawa, kwa kuwa zina pembe za papo hapo sawa kwenye kipeo C.

Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu, uwiano wa pande hufuata: AC / BC \u003d AF / BE. Pembetatu za kulia ADF na BDE pia zinafanana. Pembe zao kwenye kipeo D ni sawa na wima. Inafuata kutoka kwa kufanana: AF/BE = AD/BD. Kulinganisha usawa huu na ule uliopita, tunapata: AC / BC \u003d AD / BD au AC / AD \u003d BC / BD, ambayo ni, AD na BD ni sawia na pande AC na BC.