Milinganyo ya trigonometric ya utata tofauti. Njia za msingi za kutatua milinganyo ya trigonometric

Faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali soma sera yetu ya faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi tunazoweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

• Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

• Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha kuhusu matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
• Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kukutumia arifa na ujumbe muhimu.
• Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
• Ukiweka droo ya zawadi, shindano au motisha kama hiyo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuzi kwa wahusika wengine

Hatutoi taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

• Katika tukio ambalo ni muhimu - kwa mujibu wa sheria, amri ya mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kulingana na maombi ya umma au maombi kutoka kwa miili ya serikali katika eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kwamba ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya maslahi ya umma.
• Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa au kuuza, tunaweza kuhamisha taarifa za kibinafsi tunazokusanya kwa mrithi husika wa wahusika wengine.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, na pia kutoka kwa ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kudumisha faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa taarifa zako za kibinafsi ni salama, tunawasiliana na wafanyakazi wetu kuhusu sheria za faragha na usalama na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Milinganyo ya trigonometric sio mada rahisi zaidi. Kwa uchungu ni tofauti.) Kwa mfano, hizi:

sin2x + cos3x = ctg5x

dhambi(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Na kadhalika...

Lakini hizi (na zingine zote) monsters za trigonometric zina sifa mbili za kawaida na za lazima. Kwanza - hutaamini - kuna kazi za trigonometric katika milinganyo.) Pili: misemo yote yenye x ni ndani ya kazi hizi hizo. Na hapo tu! Ikiwa x inaonekana mahali fulani nje, kwa mfano, sin2x + 3x = 3, hii itakuwa mlinganyo wa aina mchanganyiko. Equations vile zinahitaji mbinu ya mtu binafsi. Hapa hatutazizingatia.

Hatutatua milinganyo miovu katika somo hili pia.) Hapa tutashughulikia milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric. Kwa nini? Ndiyo, kwa sababu uamuzi yoyote milinganyo ya trigonometric ina hatua mbili. Katika hatua ya kwanza, equation mbaya hupunguzwa hadi rahisi na mabadiliko mbalimbali. Kwa pili - equation hii rahisi zaidi inatatuliwa. Hakuna njia nyingine.

Kwa hivyo, ikiwa una shida katika hatua ya pili, hatua ya kwanza haina maana sana.)

Je, milinganyo ya msingi ya trigonometric inaonekanaje?

dhambi = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Hapa a inasimama kwa nambari yoyote. Yoyote.

Kwa njia, ndani ya kazi kunaweza kuwa sio x safi, lakini aina fulani ya usemi, kama vile:

cos(3x+π /3) = 1/2

na kadhalika. Hii inachanganya maisha, lakini haiathiri njia ya kutatua equation ya trigonometric.

Jinsi ya kutatua equations za trigonometric?

Milinganyo ya trigonometric inaweza kutatuliwa kwa njia mbili. Njia ya kwanza: kutumia mantiki na mduara wa trigonometric. Tutachunguza njia hii hapa. Njia ya pili - kutumia kumbukumbu na fomula - itazingatiwa katika somo linalofuata.

Njia ya kwanza ni wazi, ya kuaminika, na ni ngumu kusahau.) Ni nzuri kwa kutatua milinganyo ya trigonometriki, ukosefu wa usawa, na kila aina ya mifano gumu isiyo ya kawaida. Mantiki ni nguvu kuliko kumbukumbu!

Tunatatua milinganyo kwa kutumia mduara wa trigonometric.

Tunajumuisha mantiki ya msingi na uwezo wa kutumia mduara wa trigonometric. Huwezi!? Hata hivyo ... Itakuwa vigumu kwako katika trigonometry ...) Lakini haijalishi. Angalia masomo "mduara wa Trigonometric ...... Ni nini?" na "Kuhesabu pembe kwenye mduara wa trigonometric." Kila kitu ni rahisi huko. Tofauti na vitabu vya kiada ...)

Ah, unajua!? Na hata mastered "Kazi ya vitendo na mduara trigonometric"!? Kubali pongezi. Mada hii itakuwa karibu na kueleweka kwako.) Kinachopendeza hasa ni kwamba mduara wa trigonometric haujali ni mlinganyo gani unaosuluhisha. Sine, cosine, tangent, cotangent - kila kitu ni sawa kwake. Kanuni ya suluhisho ni sawa.

Kwa hivyo tunachukua mlinganyo wowote wa msingi wa trigonometric. Angalau hii:

cosx = 0.5

Nahitaji kupata X. Kuzungumza kwa lugha ya kibinadamu, unahitaji tafuta pembe (x) ambayo kosini yake ni 0.5.

Je, tulitumiaje mduara hapo awali? Tulichora kona juu yake. Katika digrii au radiani. Na mara moja kuonekana kazi za trigonometric za pembe hii. Sasa tufanye kinyume. Chora cosine sawa na 0.5 kwenye mduara na mara moja tutaona kona. Inabakia tu kuandika jibu.) Ndiyo, ndiyo!

Tunatoa mduara na kuweka alama ya cosine sawa na 0.5. Kwenye mhimili wa cosine, bila shaka. Kama hii:

Sasa hebu tuchore pembe ambayo cosine hii inatupa. Weka kipanya chako juu ya picha (au gusa picha kwenye kompyuta kibao), na ona kona hii hii X.

Ni pembe gani inayo kosine ya 0.5?

x \u003d π / 3

cos 60°= maana ( π /3) = 0,5

Watu wengine wataguna kwa mashaka, ndio ... Wanasema, ilikuwa ni thamani ya kuifunga duara, wakati kila kitu kiko wazi hata hivyo ... Unaweza, bila shaka, kuguna ...) Lakini ukweli ni kwamba hii ni makosa. jibu. Au tuseme, haitoshi. Wajuzi wa mduara wanaelewa kuwa bado kuna kundi zima la pembe ambazo pia hutoa cosine sawa na 0.5.

Ukigeuza upande unaohamishika wa OA kwa zamu kamili, hatua A itarudi kwenye nafasi yake ya awali. Na cosine sawa na 0.5. Wale. pembe itabadilika 360° au 2π radiani, na cosine sio. Pembe mpya 60 ° + 360 ° = 420 ° pia itakuwa suluhisho kwa mlinganyo wetu, kwa sababu.

Kuna idadi isiyo na kikomo ya mizunguko kamili kama hii ... Na pembe hizi zote mpya zitakuwa suluhisho kwa mlingano wetu wa trigonometric. Na zote zinahitaji kuandikwa kwa namna fulani. Wote. Vinginevyo, uamuzi hauzingatiwi, ndio ...)

Hisabati inaweza kufanya hivyo kwa urahisi na kifahari. Katika jibu moja fupi, andika seti isiyo na mwisho ufumbuzi. Hivi ndivyo inavyoonekana kwa mlinganyo wetu:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Nitafafanua. Bado kuandika kwa maana nzuri zaidi kuliko kuchora kwa ujinga herufi kadhaa za kushangaza, sivyo?)

π /3 ni angle sawa na sisi saw kwenye duara na kutambuliwa kulingana na jedwali la cosine.

2p ni zamu moja kamili katika radiani.

n - hii ni idadi ya kamili, i.e. mzima mapinduzi. Ni wazi kwamba n inaweza kuwa 0, ±1, ±2, ±3.... na kadhalika. Kama inavyoonyeshwa na ingizo fupi:

n ∈ Z

n ni mali ( ∈ ) kwa seti ya nambari kamili ( Z ) Kwa njia, badala ya barua n barua inaweza kutumika k, m, t na kadhalika.

Dokezo hili linamaanisha kuwa unaweza kuchukua nambari kamili n . Angalau -3, angalau 0, angalau +55. Unataka nini. Ukichomeka nambari hiyo kwenye jibu lako, unapata pembe maalum, ambayo hakika itakuwa suluhu la mlinganyo wetu mkali.)

Au, kwa maneno mengine, x \u003d π / 3 ndio mzizi pekee wa seti isiyo na mwisho. Ili kupata mizizi mingine yote, inatosha kuongeza idadi yoyote ya zamu kamili kwa π / 3 ( n ) katika radiani. Wale. 2pn radian.

Kila kitu? Hapana. Mimi hasa kunyoosha furaha. Ili kukumbuka vyema.) Tulipokea sehemu tu ya majibu ya mlingano wetu. Nitaandika sehemu hii ya kwanza ya suluhisho kama ifuatavyo:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - sio mizizi moja, ni mfululizo mzima wa mizizi, iliyoandikwa kwa fomu fupi.

Lakini kuna pembe zingine ambazo pia hutoa cosine sawa na 0.5!

Wacha turudi kwenye picha yetu, kulingana na ambayo tuliandika jibu. Huyo hapo:

Hoja ya panya juu ya picha na ona kona nyingine hiyo pia inatoa cosine ya 0.5. Unafikiri ni sawa na nini? Pembetatu ni sawa ... Ndiyo! Ni sawa na pembe X , iliyopangwa tu katika mwelekeo mbaya. Hii ndio kona -X. Lakini tayari tumehesabu x. π /3 au 60°. Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwa usalama:

x 2 \u003d - π / 3

Na, kwa kweli, tunaongeza pembe zote ambazo zinapatikana kwa zamu kamili:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Hiyo ndiyo yote sasa.) Katika mzunguko wa trigonometric, sisi saw(nani anaelewa, bila shaka)) zote pembe zinazotoa kosini sawa na 0.5. Na waliandika pembe hizi kwa fomu fupi ya hisabati. Jibu ni safu mbili zisizo na mwisho za mizizi:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Hili ndilo jibu sahihi.

Tumaini, kanuni ya jumla ya kutatua milinganyo ya trigonometric kwa msaada wa mduara inaeleweka. Tunaweka alama ya cosine (sine, tangent, cotangent) kutoka kwa equation iliyotolewa kwenye mduara, kuchora pembe zinazofanana na kuandika jibu. Bila shaka, unahitaji kufikiri ni aina gani ya pembe sisi ni saw kwenye mduara. Wakati mwingine sio wazi sana. Kweli, kama nilivyosema, mantiki inahitajika hapa.)

Kwa mfano, hebu tuchambue mlinganyo mwingine wa trigonometric:

Tafadhali kumbuka kuwa nambari 0.5 sio nambari pekee inayowezekana katika milinganyo!) Ni rahisi zaidi kwangu kuiandika kuliko mizizi na sehemu.

Tunafanya kazi kulingana na kanuni ya jumla. Tunatoa mduara, alama (kwenye mhimili wa sine, bila shaka!) 0.5. Tunachora mara moja pembe zote zinazolingana na sine hii. Tunapata picha hii:

Wacha tushughulike na pembe kwanza. X katika robo ya kwanza. Tunakumbuka meza ya sines na kuamua thamani ya pembe hii. Jambo ni rahisi:

x \u003d π / 6

Tunakumbuka zamu kamili na, kwa dhamiri safi, andika safu ya kwanza ya majibu:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Nusu ya kazi imekamilika. Sasa tunahitaji kufafanua kona ya pili... Hii ni ngumu zaidi kuliko katika cosines, ndio ... Lakini mantiki itatuokoa! Jinsi ya kuamua angle ya pili kupitia x? Ndiyo Rahisi! Pembetatu kwenye picha ni sawa, na kona nyekundu X sawa na pembe X . Ni tu inayohesabiwa kutoka kwa pembe π katika mwelekeo mbaya. Ndiyo sababu ni nyekundu.) Na kwa jibu, tunahitaji angle iliyopimwa kwa usahihi kutoka kwa semiaxis chanya OX, i.e. kutoka kwa pembe ya digrii 0.

Weka mshale juu ya picha na uone kila kitu. Niliondoa kona ya kwanza ili sio ngumu picha. Pembe ya kupendeza kwetu (iliyochorwa kwa kijani kibichi) itakuwa sawa na:

π - x

x tunaijua π /6 . Kwa hivyo pembe ya pili itakuwa:

π - π /6 = 5π /6

Tena, tunakumbuka nyongeza ya mapinduzi kamili na kuandika safu ya pili ya majibu:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ni hayo tu. Jibu kamili lina safu mbili za mizizi:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Milinganyo yenye tanjiti na kotanji inaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia kanuni ya jumla sawa ya kutatua milinganyo ya trigonometriki. Isipokuwa, kwa kweli, unajua jinsi ya kuteka tangent na cotangent kwenye mduara wa trigonometric.

Katika mifano hapo juu, nilitumia thamani ya tabular ya sine na cosine: 0.5. Wale. moja ya maana hizo ambazo mwanafunzi anazijua lazima. Sasa tupanue uwezo wetu maadili mengine yote. Amua, kwa hivyo amua!)

Kwa hivyo, wacha tuseme tunahitaji kutatua equation ifuatayo ya trigonometric:

Hakuna thamani kama hiyo ya cosine katika meza fupi. Tunapuuza ukweli huu mbaya. Tunachora mduara, alama 2/3 kwenye mhimili wa cosine na chora pembe zinazolingana. Tunapata picha hii.

Tunaelewa, kwa wanaoanza, na pembe katika robo ya kwanza. Ili kujua x ni sawa na nini, wangeandika jibu mara moja! Hatujui... Kushindwa!? Tulia! Hisabati haiachi yenyewe katika matatizo! Aligundua arc cosines kwa kesi hii. Sijui? Kwa bure. Jua. Ni rahisi zaidi kuliko unavyofikiri. Kulingana na kiunga hiki, hakuna herufi moja ya hila kuhusu "kazi za trigonometric inverse" ... Ni ya kupita kiasi katika mada hii.

Ikiwa unafahamu, jiambie tu, "X ni pembe ambayo cosine ni 2/3." Na mara moja, kwa ufafanuzi wa arccosine, tunaweza kuandika:

Tunakumbuka juu ya mapinduzi ya ziada na kwa utulivu tunaandika safu ya kwanza ya mizizi ya equation yetu ya trigonometric:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Mfululizo wa pili wa mizizi pia umeandikwa karibu moja kwa moja, kwa pembe ya pili. Kila kitu ni sawa, x tu (arccos 2/3) itakuwa na minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Na mambo yote! Hili ndilo jibu sahihi. Rahisi zaidi kuliko kwa maadili ya jedwali. Huna haja ya kukumbuka chochote.) Kwa njia, makini zaidi ataona kwamba picha hii yenye ufumbuzi kupitia arc cosine. kimsingi haina tofauti na picha ya equation cosx = 0.5.

Hasa! Kanuni ya jumla juu ya hilo na kwa ujumla! Nilichora hasa picha mbili zinazofanana. Mduara unatuonyesha pembe X kwa cosine yake. Ni cosine ya tabular, au la - mduara haujui. Hii ni pembe ya aina gani, π / 3, au ni aina gani ya arc cosine ni juu yetu kuamua.

Kwa sine wimbo huo huo. Kwa mfano:

Tena tunachora mduara, alama sine sawa na 1/3, chora pembe. Inageuka hii ndio picha:

Na tena picha ni karibu sawa na kwa equation sinx = 0.5. Tena tunaanza kutoka kona katika robo ya kwanza. x ni sawa na nini ikiwa sine yake ni 1/3? Hakuna shida!

Kwa hivyo pakiti ya kwanza ya mizizi iko tayari:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Hebu tuangalie pembe ya pili. Katika mfano na thamani ya jedwali ya 0.5, ilikuwa sawa na:

π - x

Kwa hiyo hapa itakuwa sawa kabisa! x pekee ni tofauti, arcsin 1/3. Kwa hiyo!? Unaweza kuandika kwa usalama pakiti ya pili ya mizizi:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Hili ni jibu sahihi kabisa. Ingawa haionekani kuwa ya kawaida sana. Lakini inaeleweka, natumai.)

Hivi ndivyo milinganyo ya trigonometric hutatuliwa kwa kutumia duara. Njia hii ni wazi na inaeleweka. Ni yeye ambaye anaokoa katika hesabu za trigonometric na uteuzi wa mizizi kwa muda fulani, katika usawa wa trigonometric - kwa ujumla hutatuliwa karibu kila mara kwenye mduara. Kwa kifupi, katika kazi yoyote ambayo ni ngumu zaidi kuliko yale ya kawaida.

Kuweka maarifa katika vitendo?

Tatua milinganyo ya trigonometric:

Mara ya kwanza ni rahisi, moja kwa moja kwenye somo hili.

Sasa ni ngumu zaidi.

Kidokezo: hapa lazima ufikirie juu ya duara. Binafsi.)

Na sasa wasio na adabu kwa nje ... Pia huitwa kesi maalum.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Kidokezo: hapa unahitaji kufikiri katika mduara ambapo kuna mfululizo wa majibu mawili, na ambapo kuna moja ... Na jinsi ya kuandika moja badala ya mfululizo wa majibu mawili. Ndio, ili hakuna mzizi mmoja kutoka kwa nambari isiyo na kikomo inayopotea!)

Kweli, rahisi sana):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Kidokezo: hapa unahitaji kujua ni nini arcsine, arccosine? Arc tangent ni nini, arc tangent? Ufafanuzi rahisi zaidi. Lakini huna haja ya kukumbuka maadili yoyote ya jedwali!)

Majibu ni, bila shaka, katika mkanganyiko):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Je! si kila kitu kitafanya kazi? Inatokea. Soma somo tena. Pekee kwa kufikiri(kuna neno la kizamani kama hilo...) Na fuata viungo. Viungo kuu ni kuhusu mduara. Bila hiyo katika trigonometry - jinsi ya kuvuka barabara iliyofunikwa macho. Wakati mwingine inafanya kazi.)

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Kujifunza - kwa riba!)

unaweza kufahamiana na vitendaji na derivatives.

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Suluhisho la hesabu rahisi zaidi za trigonometric"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, maoni, mapendekezo! Nyenzo zote zinachunguzwa na programu ya antivirus.

Miongozo na simulators katika duka la mtandaoni "Integral" kwa daraja la 10 kutoka 1C
Tunatatua matatizo katika jiometri. Kazi zinazoingiliana za kujenga katika nafasi
Mazingira ya programu "1C: Mjenzi wa hisabati 6.1"

Tutajifunza nini:
1. Milinganyo ya trigonometric ni nini?

3. Mbinu mbili kuu za kutatua milinganyo ya trigonometric.
4. Milinganyo ya trigonometriki ya homogeneous.
5. Mifano.

Milinganyo ya trigonometric ni nini?

Jamani, tayari tumesoma arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent. Sasa hebu tuangalie milinganyo ya trigonometric kwa ujumla.

Milinganyo ya trigonometriki - milinganyo ambayo kigeugeu kimo chini ya ishara ya kazi ya trigonometric.

Tunarudia fomu ya kutatua hesabu rahisi zaidi za trigonometric:

1) Ikiwa |а|≤ 1, basi equation cos(x) = a ina suluhu:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ikiwa |а|≤ 1, basi equation sin(x) = a ina suluhu:

3) Kama |a| > 1, kisha equation sin(x) = a na cos(x) = a haina suluhu 4) Mlinganyo tg(x)=a una suluhisho: x=arctg(a)+ πk

5) Mlinganyo ctg(x)=a una suluhisho: x=arcctg(a)+ πk

Kwa fomula zote, k ni nambari kamili

Milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki ina umbo: Т(kx+m)=a, T- kitendakazi chochote cha trigonometriki.

Tatua milinganyo: a) dhambi(3x)= √3/2

Suluhisho:

A) Wacha tuangazie 3x=t, kisha tutaandika tena mlinganyo wetu katika fomu:

Suluhisho la mlingano huu litakuwa: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Kutoka kwa jedwali la maadili tunapata: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Wacha turudi kwenye utofauti wetu: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Kisha x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Jibu: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, ambapo n ni nambari kamili. (-1)^n - toa moja kwa nguvu ya n.

Mifano zaidi ya milinganyo ya trigonometric.

Suluhisho:

A) Wakati huu tutaenda moja kwa moja kwa hesabu ya mizizi ya equation mara moja:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Kisha x/5= πk => x=5πk

Jibu: x=5πk, ambapo k ni nambari kamili.

B) Tunaandika kwa fomu: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Tunajua kwamba: artg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Jibu: x=2π/9 + πk/3, ambapo k ni nambari kamili.

Tatua milinganyo: cos(4x)= √2/2. Na pata mizizi yote kwenye sehemu.

Suluhisho:

Wacha tutatue mlingano wetu kwa njia ya jumla: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sasa hebu tuone ni mizizi gani inayoanguka kwenye sehemu yetu. Kwa k Kwa k=0, x= π/16, tuko katika sehemu iliyotolewa .
Na k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, ziligonga tena.
Kwa k=2, x= π/16+ π=17π/16, lakini hapa hatukupiga, ambayo ina maana kwamba hatutapiga k kubwa pia.

Jibu: x= π/16, x= 9π/16

Njia kuu mbili za suluhisho.

Wacha tusuluhishe equation:

Suluhisho:
Ili kutatua equation yetu, tunatumia njia ya kuanzisha tofauti mpya, iliyoashiria: t=tg(x).

Kama matokeo ya uingizwaji, tunapata: t 2 + 2t -1 = 0

Pata mizizi ya equation ya quadratic: t = -1 na t = 1/3

Kisha tg(x)=-1 na tg(x)=1/3, tulipata equation rahisi zaidi ya trigonometric, wacha tupate mizizi yake.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Jibu: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Mfano wa kutatua equation

Tatua milinganyo: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Suluhisho:

Hebu tutumie kitambulisho: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mlinganyo wetu unakuwa: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Wacha tuanzishe uingizwaji t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Suluhisho la mlinganyo wetu wa quadratic ni mizizi: t=2 na t=-1/2

Kisha cos(x)=2 na cos(x)=-1/2.

Kwa sababu cosine haiwezi kuchukua thamani kubwa kuliko moja, basi cos(x)=2 haina mizizi.

Kwa cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Jibu: x= ±2π/3 + 2πk

Milinganyo ya trigonometriki ya homogeneous.

Milinganyo ya fomu

milinganyo ya trigonometric yenye homogeneous ya shahada ya pili.

Ili kutatua equation ya trigonometric ya homogeneous ya shahada ya kwanza, tunaigawanya kwa cos(x): Haiwezekani kugawanya kwa cosine ikiwa ni sawa na sifuri, wacha tuhakikishe kuwa hii sivyo:
Acha cos(x)=0, kisha asin(x)+0=0 => sin(x)=0, lakini sine na cosine sio sawa na sifuri kwa wakati mmoja, tulipata ukinzani, ili tuweze kugawanya kwa usalama. kwa sifuri.

Tatua mlinganyo:
Mfano: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Suluhisho:

Ondoa kipengele cha kawaida: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Kisha tunahitaji kutatua equations mbili:

cos(x)=0 na cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 kwa x= π/2 + πk;

Zingatia equation cos(x)+sin(x)=0 Gawa mlinganyo wetu kwa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Jibu: x= π/2 + πk na x= -π/4+πk

Jinsi ya kutatua equations za trigonometric homogeneous ya shahada ya pili?
Jamani, shikamaneni na sheria hizi kila wakati!

1. Angalia mgawo a ni sawa na nini, ikiwa \u003d 0 basi equation yetu itachukua fomu cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), mfano wa suluhisho ambalo liko kwenye uliopita. slaidi

2. Ikiwa a≠0, basi unahitaji kugawanya sehemu zote mbili za mlinganyo kwa kosini yenye mraba, tunapata:

Tunafanya mabadiliko ya kutofautisha t=tg(x) tunapata equation:

Tatua Mfano #:3

Gawanya pande zote mbili za equation kwa mraba wa cosine:

Tunafanya mabadiliko ya kutofautiana t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Pata mizizi ya equation ya quadratic: t=-3 na t=1

Kisha: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Jibu: x=-arctg(3) + πk na x= π/4+ πk

Tatua Mfano #:4

Suluhisho:
Wacha tubadilishe usemi wetu:

Tunaweza kutatua milinganyo kama hii: x= - π/4 + 2πk na x=5π/4 + 2πk

Jibu: x= - π/4 + 2πk na x=5π/4 + 2πk

Tatua Mfano #:5

Suluhisho:
Wacha tubadilishe usemi wetu:

Tunatanguliza uingizwaji tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Suluhisho la equation yetu ya quadratic itakuwa mizizi: t=-2 na t=1/2

Kisha tunapata: tg(2x)=-2 na tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Jibu: x=-arctg(2)/2 + πk/2 na x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Kazi za suluhisho la kujitegemea.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Tatua milinganyo: dhambi(3x)= √3/2. Na upate mizizi yote kwenye sehemu [π/2; π].

3) Tatua mlingano: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Tatua mlingano: 3 dhambi 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Tatua mlingano: 3sin 2 (3x) + 10 dhambi(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Tatua mlingano: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Wakati wa kutatua mengi matatizo ya hisabati, hasa yale yanayotokea kabla ya daraja la 10, utaratibu wa vitendo vinavyofanyika ambavyo vitasababisha lengo hufafanuliwa wazi. Matatizo hayo ni pamoja na, kwa mfano, milinganyo ya mstari na ya quadratic, usawa wa mstari na quadratic, milinganyo ya sehemu na milinganyo ambayo inapungua hadi quadratic. Kanuni ya ufumbuzi wa mafanikio wa kila moja ya kazi zilizotajwa ni kama ifuatavyo: ni muhimu kuanzisha aina gani ya kazi inayotatuliwa, kumbuka mlolongo muhimu wa vitendo ambao utasababisha matokeo yaliyohitajika, i.e. jibu na ufuate hatua hizi.

Kwa wazi, mafanikio au kushindwa katika kutatua tatizo fulani inategemea hasa jinsi aina ya equation inayotatuliwa imedhamiriwa, jinsi mlolongo wa hatua zote za ufumbuzi wake unafanywa kwa usahihi. Bila shaka, katika kesi hii, ni muhimu kuwa na ujuzi wa kufanya mabadiliko na mahesabu sawa.

Hali tofauti hutokea na milinganyo ya trigonometric. Si vigumu kuanzisha ukweli kwamba equation ni trigonometric. Ugumu hutokea wakati wa kuamua mlolongo wa vitendo ambavyo vinaweza kusababisha jibu sahihi.

Wakati mwingine ni vigumu kuamua aina yake kwa kuonekana kwa equation. Na bila kujua aina ya equation, karibu haiwezekani kuchagua moja sahihi kutoka kwa fomula kadhaa za trigonometric.

Ili kutatua equation ya trigonometric, lazima tujaribu:

1. kuleta kazi zote zilizojumuishwa katika equation kwa "pembe sawa";
2. kuleta equation kwa "kazi sawa";
3. Factorize upande wa kushoto wa equation, nk.

Fikiria njia za msingi za kutatua milinganyo ya trigonometric.

I. Kupunguza hadi milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki

Mpango wa suluhisho

Hatua ya 1. Eleza utendaji wa trigonometriki kulingana na vipengele vinavyojulikana.

Hatua ya 2 Pata hoja ya kazi kwa kutumia fomula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

dhambi x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Hatua ya 3 Tafuta tofauti isiyojulikana.

Mfano.

2 cos(3x - π/4) = -√2.

Suluhisho.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x - π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Jibu: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Ubadilishaji unaobadilika

Mpango wa suluhisho

Hatua ya 1. Leta mlingano kwa umbo la aljebra kuhusiana na mojawapo ya vitendakazi vya trigonometriki.

Hatua ya 2 Onyesha kazi inayotokana na t ya kutofautiana (ikiwa ni lazima, anzisha vikwazo kwenye t).

Hatua ya 3 Andika na utatue mlingano wa aljebra unaotokana.

Hatua ya 4 Fanya badala ya kinyume.

Hatua ya 5 Tatua mlinganyo rahisi zaidi wa trigonometric.

Mfano.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Suluhisho.

1) 2(1 - dhambi 2 (x/2)) - 5dhambi (x/2) - 5 = 0;

2dhambi 2(x/2) + 5dhambi(x/2) + 3 = 0.

2) Acha dhambi (x/2) = t, wapi |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 au e = -3/2 haikidhi masharti |t| ≤ 1.

4) dhambi (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Jibu: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Mbinu ya kupunguza mpangilio wa equation

Mpango wa suluhisho

Hatua ya 1. Badilisha equation hii na ya mstari kwa kutumia fomula za kupunguza nguvu:

dhambi 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hatua ya 2 Tatua mlinganyo unaotokana kwa kutumia njia I na II.

Mfano.

cos2x + cos2x = 5/4.

Suluhisho.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Jibu: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Milinganyo ya homogeneous

Mpango wa suluhisho

Hatua ya 1. Leta equation hii kwenye fomu

a) dhambi x + b cos x = 0 (mlingano wa homogeneous wa shahada ya kwanza)

au kwa mtazamo

b) dhambi 2 x + b dhambi x cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ya shahada ya pili).

Hatua ya 2 Gawa pande zote mbili za mlinganyo kwa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

na upate equation ya tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Hatua ya 3 Tatua mlinganyo kwa kutumia njia zinazojulikana.

Mfano.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Suluhisho.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

dhambi 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Hebu tg x = t, basi

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 au t = -4, hivyo

tg x = 1 au tg x = -4.

Kutoka kwa equation ya kwanza x = π/4 + πn, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Jibu: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Mbinu ya kubadilisha mlinganyo kwa kutumia fomula za trigonometriki

Mpango wa suluhisho

Hatua ya 1. Kwa kutumia aina zote za fomula za trigonometriki, leta mlinganyo huu kwa mlinganyo ambao unaweza kutatuliwa kwa njia I, II, III, IV.

Hatua ya 2 Tatua equation inayotokana kwa kutumia njia zinazojulikana.

Mfano.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Suluhisho.

1) (dhambi x + dhambi 3x) + dhambi 2x = 0;

2sin 2x cos x + dhambi 2x = 0.

2) dhambi 2x (2cos x + 1) = 0;

dhambi 2x = 0 au 2cos x + 1 = 0;

Kutoka kwa equation ya kwanza 2x = π/2 + πn, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili cos x = -1/2.

Tunayo x = π/4 + πn/2, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili x = ± (π - π/3) + 2πk, k Є Z.

Matokeo yake, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Jibu: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Uwezo na ujuzi wa kutatua milinganyo ya trigonometriki ni nyingi sana muhimu, maendeleo yao yanahitaji jitihada kubwa, kwa upande wa mwanafunzi na mwalimu.

Matatizo mengi ya sterometry, fizikia, nk yanahusishwa na ufumbuzi wa equations trigonometric.Mchakato wa kutatua matatizo hayo, kama ilivyokuwa, ina ujuzi na ujuzi mwingi unaopatikana wakati wa kujifunza vipengele vya trigonometry.

Equations Trigonometric inachukua nafasi muhimu katika mchakato wa kufundisha hisabati na maendeleo ya utu kwa ujumla.

Je, una maswali yoyote? Je! hujui jinsi ya kutatua milinganyo ya trigonometric?
Ili kupata msaada wa mwalimu - kujiandikisha.
Somo la kwanza ni bure!

tovuti, na kunakili kamili au sehemu ya nyenzo, kiunga cha chanzo kinahitajika.

Inahitaji ujuzi wa kanuni za msingi za trigonometry - jumla ya mraba wa sine na cosine, usemi wa tangent kupitia sine na cosine, na wengine. Kwa wale ambao wamesahau au hawajui, tunapendekeza kusoma makala "".
Kwa hivyo, tunajua kanuni za msingi za trigonometric, ni wakati wa kuziweka katika vitendo. Kutatua milinganyo ya trigonometric kwa mbinu sahihi, ni shughuli ya kusisimua kabisa, kama, kwa mfano, kutatua mchemraba wa Rubik.

Kulingana na jina yenyewe, ni wazi kwamba equation ya trigonometric ni equation ambayo haijulikani ni chini ya ishara ya kazi ya trigonometric.
Kuna kinachojulikana milinganyo rahisi ya trigonometric. Hivi ndivyo wanavyoonekana: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Fikiria, jinsi ya kutatua milinganyo kama hiyo ya trigonometric, kwa uwazi, tutatumia mduara wa trigonometric tayari unaojulikana.

dhambi = a

maana x = a

tani x = a

kitanda x = a

Mlinganyo wowote wa trigonometriki hutatuliwa katika hatua mbili: tunaleta mlinganyo kwa njia rahisi zaidi na kisha kuutatua kama mlinganyo rahisi zaidi wa trigonometriki.
Kuna njia 7 kuu ambazo milinganyo ya trigonometric hutatuliwa.

1. Njia ya ubadilishanaji na uwekaji mbadala

Tatua mlingano 2cos 2 (x + /6) - 3sin(/3 - x) +1 = 0

Kwa kutumia fomula za kupunguza tunapata:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Wacha tubadilishe cos(x + /6) na y kwa unyenyekevu na tupate equation ya kawaida ya quadratic:

Miaka 2 - 3y + 1 + 0

Mizizi ambayo y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sasa turudi nyuma

Tunabadilisha maadili yaliyopatikana ya y na kupata majibu mawili:

2. Kutatua milinganyo ya trigonometriki kupitia uwekaji alama

Jinsi ya kutatua equation sin x + cos x = 1 ?

Wacha tuhamishe kila kitu kushoto ili 0 ibaki kulia:

dhambi x + cos x - 1 = 0

Tunatumia vitambulisho vilivyo hapo juu ili kurahisisha mlinganyo:

dhambi x - 2 dhambi 2 (x/2) = 0

Wacha tufanye factorization:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 dhambi 2 (x/2) = 0

2dhambi(x/2) * = 0

Tunapata equations mbili

3. Kupunguzwa kwa equation ya homogeneous

Mlinganyo ni sawa kuhusiana na sine na kosine ikiwa masharti yake yote kuhusiana na sine na kosine ni ya kiwango sawa cha pembe sawa. Ili kutatua equation ya homogeneous, endelea kama ifuatavyo:

a) kuhamisha wanachama wake wote upande wa kushoto;

b) kuweka mambo yote ya kawaida nje ya mabano;

c) kusawazisha mambo yote na mabano kwa 0;

d) katika mabano, usawa wa homogeneous wa shahada ya chini hupatikana, ambayo, kwa upande wake, imegawanywa na sine au cosine kwa kiwango cha juu;

e) kutatua mlinganyo unaotokana na tg.

Tatua mlingano 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Wacha tutumie formula sin 2 x + cos 2 x = 1 na tuondoe mbili zilizo wazi upande wa kulia:

3dhambi 2 x + 4 dhambi x cos x + 5 cos x = 2dhambi 2 x + 2 cos 2 x

dhambi 2 x + 4 dhambi x cos x + 3 cos 2 x = 0

Gawanya na cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Tunabadilisha tg x na y na kupata equation ya quadratic:

y 2 + 4y +3 = 0 ambayo mizizi yake ni y 1 =1, y 2 = 3

Kuanzia hapa tunapata suluhisho mbili kwa equation ya asili:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Kutatua milinganyo, kupitia mpito hadi pembe ya nusu

Tatua mlingano 3sin x - 5cos x = 7

Wacha tuendelee kwa x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) - 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Kuhamisha kila kitu kushoto:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Gawanya kwa cos(x/2):

tg 2 (x/2) - 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Utangulizi wa pembe ya msaidizi

Kwa kuzingatia, wacha tuchukue equation ya fomu: dhambi x + b cos x \u003d c,

ambapo a, b, c ni baadhi ya viambajengo vya kiholela na x haijulikani.

Gawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa:



Sasa coefficients ya equation, kulingana na fomula za trigonometric, ina mali ya dhambi na cos, yaani: moduli yao sio zaidi ya 1 na jumla ya mraba = 1. Hebu tuwaeleze kwa mtiririko huo kama cos na dhambi, wapi kinachojulikana angle msaidizi. Kisha equation itachukua fomu:

cos * dhambi x + dhambi * cos x \u003d C

au dhambi(x + ) = C

Suluhisho la equation hii rahisi ya trigonometric ni

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, wapi



Ikumbukwe kwamba majina cos na dhambi yanaweza kubadilishana.

Tatua equation sin 3x - cos 3x = 1

Katika equation hii, coefficients ni:

a \u003d, b \u003d -1, kwa hivyo tunagawanya sehemu zote mbili kwa \u003d 2