Jumla ya pembe zote za quadrilateral ni 360. Pembe ya pembe nne iliyoandikwa na mali zake. Nadharia ya kina

Leo tutazingatia takwimu ya kijiometri - quadrilateral. Kutoka kwa jina la takwimu hii tayari inakuwa wazi kuwa takwimu hii ina pembe nne. Lakini sifa na mali zingine za takwimu hii, tutazingatia hapa chini.

Ni nini sehemu ya nne

Upande wa nne ni poligoni yenye pointi nne (vipeo) na sehemu nne (pande) zinazounganisha pointi hizi kwa jozi. Eneo la quadrilateral ni nusu ya bidhaa za diagonal zake na pembe kati yao.

Upande wa nne ni poligoni yenye vipeo vinne, vitatu kati ya hivyo haviko kwenye mstari mmoja.

Aina za quadrilaterals

  • Upande wa nne ambao pande zake tofauti ziko sambamba kwa pande zote mbili huitwa parallelogramu.
  • Upande wa nne ambao pande mbili zinazopingana zinalingana na zingine mbili haziko inaitwa trapezoid.
  • Upande wa nne wenye pembe zote za kulia ni mstatili.
  • Upande wa nne na pande zote sawa ni rhombus.
  • Alama ya pembe nne ambayo pande zote ni sawa na pembe zote ni za kulia inaitwa mraba.
Upande wa nne unaweza kuwa:


kujikatiza


yasiyo ya convex


mbonyeo

Upande wa nne unaoingiliana ni pembe nne ambayo pande zake zozote zina sehemu ya makutano (kwa bluu kwenye takwimu).

Non-convex quadrilateral ni quadrilateral ambayo moja ya pembe za ndani ni zaidi ya digrii 180 (iliyoonyeshwa kwa machungwa kwenye takwimu).

Jumla ya pembe pande zote nne ambazo hazijiingiliani kila wakati ni sawa na digrii 360.

Aina maalum za quadrilaterals

Quadrangles inaweza kuwa na mali ya ziada, na kutengeneza aina maalum za maumbo ya kijiometri:

  • Parallelogram
  • Mstatili
  • Mraba
  • Trapeze
  • Deltoid
  • Counterparallelogram

Quadrilateral na mduara

Upande wa nne ulioandikwa kuzunguka mduara (mduara ulioandikwa kwa pembe nne).

Sifa kuu ya pembe nne iliyozungushwa:

Upande wa nne unaweza kuzungushwa kuzunguka mduara ikiwa tu ikiwa jumla ya urefu wa pande tofauti ni sawa.

Upande wa nne ulioandikwa kwenye mduara (mduara ulioandikwa kuzunguka pembe nne)

Sifa kuu ya pembe nne iliyoandikwa:

Upande wa nne unaweza kuandikwa kwenye mduara ikiwa na tu ikiwa jumla ya pembe tofauti ni digrii 180.

Sifa za urefu wa upande wa pande nne

Moduli ya tofauti ya pande zote mbili za pembe nne haizidi jumla ya pande zake nyingine mbili.

| a - b| ≤ c + d

| a - c | ≤ b + d

| a - d| ≤ b + c

| b - c | ≤ a + d

| b - d| ≤ a + b

| c - d| ≤ a + b

Muhimu. Ukosefu wa usawa ni kweli kwa mchanganyiko wowote wa pande za quadrilateral. Takwimu hutolewa tu kwa urahisi wa kuelewa.

Katika quadrilateral yoyote jumla ya urefu wa pande zake tatu si chini ya urefu wa upande wa nne.

Muhimu. Wakati wa kutatua shida ndani ya mtaala wa shule, unaweza kutumia usawa mkali (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.


Javascript imezimwa kwenye kivinjari chako.
Vidhibiti vya ActiveX lazima viwezeshwe ili kufanya hesabu!

poligoni zilizoandikwa na kuzungushwa,

§ 106. MALI ZA ROBO ZILIZOANDIKWA NA ZINAZINGIRA.

Nadharia 1. Jumla ya pembe kinyume cha pembe nne iliyoandikwa ni 180°.

Hebu ABCD ya quadrilateral iandikwe kwenye mduara na kituo cha O (Mchoro 412). Inatakiwa kuthibitisha hilo / A+ / C = 180 ° na / B+ / D = 180 °.

/ A, kama ilivyoandikwa kwenye mduara O, hupima 1/2 BCD.
/ C, kama ilivyoandikwa kwenye mduara sawa, hupima 1/2 MBAYA.

Kwa hivyo, jumla ya pembe A na C hupimwa na nusu ya jumla ya arcs BCD na BAD; kwa jumla, safu hizi hufanya mduara, ambayo ni, zina 360 °.
Kutoka hapa / A+ / C = 360 °: 2 = 180 °.

Vile vile, inathibitishwa kuwa / B+ / D = 180 °. Walakini, hii pia inaweza kupatikana kwa njia nyingine. Tunajua kuwa jumla ya pembe za ndani za pembe nne ya mbonyeo ni 360°. Jumla ya pembe A na C ni 180 °, ambayo ina maana kwamba jumla ya pembe nyingine mbili za quadrilateral pia inabaki 180 °.

Nadharia 2(nyuma). Ikiwa jumla ya pembe mbili kinyume katika pembe nne ni 180° , basi mduara unaweza kuzungushwa kuhusu quadrilateral vile.

Hebu jumla ya pembe tofauti za ABCD ya quadrilateral iwe 180 °, yaani
/ A+ / C = 180 ° na / B+ / D = 180 ° (Mchoro 412).

Wacha tuthibitishe kuwa mduara unaweza kuzungushwa karibu na pembe nne kama hiyo.

Ushahidi. Mduara unaweza kuchorwa kupitia wima yoyote 3 ya pembe nne hii, kwa mfano, kupitia alama A, B na C. Sehemu ya D itakuwa wapi?

Pointi D inaweza kuchukua moja tu ya nafasi tatu zifuatazo: kuwa ndani ya duara, kuwa nje ya duara, kuwa kwenye mzunguko wa duara.

Fikiria kwamba vertex iko ndani ya mduara na inachukua nafasi ya D "(Mchoro 413). Kisha katika ABCD ya quadrilateral "tutakuwa na:

/ B+ / D" = 2 d.

Kuendelea upande wa AD" kwa makutano na mduara kwa uhakika E na kuunganisha pointi E na C, tunapata ABCE iliyoandikwa ya quadrilateral, ambayo, kulingana na nadharia ya moja kwa moja.

/ B+ / E = 2 d.

Kutoka kwa usawa hizi mbili zifuatazo:

/ D" = 2 d - / B;
/ E=2 d - / B;

/ D" = / E,

lakini hii haiwezi kuwa, kwa sababu / D", kama ya nje kwa pembetatu CD"E, lazima iwe kubwa kuliko pembe E. Kwa hivyo, sehemu D haiwezi kuwa ndani ya duara.

Pia imethibitishwa kuwa vertex D haiwezi kuchukua nafasi ya D" nje ya mduara (Mchoro 414).

Inabakia kutambua kwamba vertex D lazima iko kwenye mzunguko wa mduara, yaani, sanjari na hatua E, ambayo ina maana kwamba mduara unaweza kuzunguka karibu na ABCD ya quadrilateral.

Matokeo. 1. Mduara unaweza kuzungushwa karibu na mstatili wowote.

2. Mduara unaweza kuzungushwa karibu na trapezoid ya isosceles.

Katika hali zote mbili, jumla ya pembe za kinyume ni 180 °.

Nadharia 3. Katika pembe nne iliyozungushwa, jumla ya pande tofauti ni sawa. Acha ABCD ya pembe nne izungushwe kuhusu mduara (Mchoro 415), yaani, pande zake AB, BC, CD na DA ni tanjent kwa mduara huu.

Inahitajika kuthibitisha kwamba AB + CD = AD + BC. Tunaashiria pointi za kuwasiliana na barua M, N, K, P. Kulingana na sifa za tangents inayotolewa kwenye mduara kutoka kwa pointi moja (§ 75), tunayo:

AR = AK;
BP = VM;
DN=DK;
CN=CM.

Wacha tuongeze usawa huu muda baada ya muda. Tunapata:

AR + BP + DN + CN = AK + BM + DK + SM,

yaani, AB + CD = AD + BC, ambayo ilipaswa kuthibitishwa.

Mazoezi.

1. Katika pembe nne iliyoandikwa, pembe mbili kinyume zinahusiana kama 3: 5,
na nyingine mbili zinahusiana kama 4: 5. Bainisha ukubwa wa pembe hizi.

2. Katika quadrangle iliyoelezwa, jumla ya pande mbili za kinyume ni cm 45. Pande mbili zilizobaki zinahusiana kama 0.2: 0.3. Tafuta urefu wa pande hizi.

Umbo la pembe nne ni kielelezo kinachojumuisha pande nne zilizounganishwa kwa kila mmoja kwenye vipeo, na kutengeneza pembe nne pamoja na pande, wakati quadrangle yenyewe daima iko kwenye ndege sawa kuhusiana na mstari wa moja kwa moja ambayo moja ya pande zake iko. Kwa maneno mengine, takwimu nzima iko upande mmoja wa pande zake zote.

Kama unaweza kuona, ufafanuzi ni rahisi sana kukumbuka.

Tabia za msingi na aina

Karibu takwimu zote zinazojulikana kwetu, zinazojumuisha pembe nne na pande, zinaweza kuhusishwa na quadrilaterals convex. Yafuatayo yanaweza kutofautishwa:

  1. parallelogram;
  2. mraba;
  3. mstatili;
  4. trapezoid;
  5. rhombus.

Takwimu hizi zote zimeunganishwa sio tu na ukweli kwamba wao ni quadrangular, lakini pia na ukweli kwamba wao pia ni convex. Angalia tu mchoro:

Takwimu inaonyesha trapezoid ya convex. Hapa unaweza kuona kwamba trapezoid iko kwenye ndege moja au upande mmoja wa sehemu. Ikiwa utafanya vitendo sawa, unaweza kujua kwamba katika kesi ya pande nyingine zote, trapezoid ni convex.

Je, parallelogramu ni pembe nne mbonyeo?

Hapo juu ni picha ya parallelogram. Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, parallelogram pia ni mbonyeo. Ikiwa unatazama takwimu kwa heshima na mistari ambayo makundi AB, BC, CD na AD ya uongo, inakuwa wazi kuwa daima ni kwenye ndege moja kutoka kwa mistari hii. Sifa kuu za parallelogram ni kwamba pande zake zinafanana kwa jozi na ni sawa kwa njia sawa na vile pembe tofauti ni sawa kwa kila mmoja.

Sasa, fikiria mraba au mstatili. Kwa mujibu wa mali zao kuu, pia ni parallelograms, yaani, pande zao zote zimepangwa kwa jozi kwa sambamba. Tu katika kesi ya mstatili, urefu wa pande unaweza kuwa tofauti, na pembe ni sawa (sawa na digrii 90), mraba ni mstatili ambao pande zote ni sawa na pembe pia ni sawa, wakati urefu. ya pande na pembe ya parallelogram inaweza kuwa tofauti.

Matokeo yake, jumla ya pembe zote nne za quadrilateral lazima iwe sawa na digrii 360. Njia rahisi zaidi ya kuamua hii ni kwa mstatili: pembe zote nne za mstatili ni sawa, yaani, sawa na digrii 90. Jumla ya pembe hizi za digrii 90 hutoa digrii 360, kwa maneno mengine, ikiwa unaongeza digrii 90 mara 4, unapata matokeo yaliyohitajika.

Sifa ya vilalo vya pembe nne iliyobonyea

Milalo ya mkato wa pembe nne mbonyeo hupishana. Hakika, jambo hili linaweza kuzingatiwa kwa macho, angalia tu takwimu:

Kielelezo kilicho upande wa kushoto kinaonyesha sehemu ya pembe nne isiyo na konde au pembe nne. Unavyotaka. Kama unaweza kuona, diagonal haziingiliani, angalau sio zote. Upande wa kulia ni mbonyeo ya pembe nne. Hapa mali ya diagonals ya kuingiliana tayari imezingatiwa. Mali sawa inaweza kuchukuliwa kuwa ishara ya convexity ya quadrilateral.

Sifa zingine na ishara za msongamano wa pembe nne

Hasa, kwa mujibu wa neno hili, ni vigumu sana kutaja mali na vipengele maalum. Ni rahisi kutenganisha kulingana na aina tofauti za pembe nne za aina hii. Unaweza kuanza na parallelogram. Tayari tunajua kuwa hii ni takwimu ya quadrangular, ambayo pande zake ni jozi sambamba na sawa. Wakati huo huo, mali ya diagonals ya parallelogram kuingiliana na kila mmoja, pamoja na ishara ya convexity ya takwimu yenyewe, pia ni pamoja na hapa: parallelogram ni daima katika ndege moja na upande mmoja jamaa. kwa upande wake wowote.

Kwa hiyo, sifa kuu na mali zinajulikana:

  1. jumla ya pembe za quadrilateral ni digrii 360;
  2. diagonals ya takwimu huingiliana kwa hatua moja.

Mstatili. Takwimu hii ina mali na sifa zote sawa na parallelogram, lakini pembe zake zote ni sawa na digrii 90. Kwa hivyo jina, mstatili.

Mraba, parallelogram sawa, lakini pembe zake ni sawa, kama mstatili. Kwa sababu hii, mraba mara chache huitwa mstatili. Lakini kipengele kikuu cha kutofautisha cha mraba, pamoja na wale ambao tayari wameorodheshwa hapo juu, ni kwamba pande zake zote nne ni sawa.

Trapezoid ni takwimu ya kuvutia sana.. Hii pia ni quadrilateral na pia convex. Katika makala hii, trapezoid tayari imezingatiwa kwa kutumia mfano wa kuchora. Ni wazi kwamba yeye pia ni convex. Tofauti kuu, na, ipasavyo, ishara ya trapezoid ni kwamba pande zake zinaweza kuwa si sawa kwa kila mmoja kwa urefu, pamoja na pembe zake kwa thamani. Katika kesi hii, takwimu daima inabakia kwenye ndege moja kwa heshima na mistari yoyote ya moja kwa moja inayounganisha wima zake mbili pamoja na sehemu zinazounda takwimu.

Rhombus ni takwimu ya kuvutia sawa. Sehemu ya rhombus inaweza kuchukuliwa kuwa mraba. Ishara ya rhombus ni ukweli kwamba diagonals yake sio tu kuingiliana, lakini pia kugawanya pembe za rhombus kwa nusu, na diagonals wenyewe huingiliana kwa pembe za kulia, yaani, ni perpendicular. Ikiwa urefu wa pande za rhombus ni sawa, basi diagonals pia imegawanywa katika nusu kwenye makutano.

Deltoids au rhomboidi ya convex (rhombuses) inaweza kuwa na urefu tofauti wa upande. Lakini wakati huo huo, mali kuu na sifa za rhombus yenyewe na sifa na mali ya convexity bado zimehifadhiwa. Hiyo ni, tunaweza kuona kwamba diagonals hupunguza pembe na kuingiliana kwa pembe za kulia.

Jukumu la leo lilikuwa kuzingatia na kuelewa ni nini mbonyeo quadrilaterals, ni nini na sifa zao kuu na mali. Makini! Inafaa kukumbuka mara nyingine tena kwamba jumla ya pembe za quadrilateral ya convex ni digrii 360. Mzunguko wa takwimu, kwa mfano, ni sawa na jumla ya urefu wa sehemu zote zinazounda takwimu. Njia za kuhesabu eneo na eneo la quadrilaterals zitajadiliwa katika makala zifuatazo.

"Mduara Uliowekwa" tumeona kwamba mduara unaweza kuzungushwa karibu na pembetatu yoyote. Hiyo ni, kwa pembetatu yoyote kuna mduara ambao wima zote tatu za pembetatu "hukaa" juu yake. Kama hii:

Swali: Je, hiyo hiyo inaweza kusemwa kuhusu sehemu ya pembe nne? Je, ni kweli kwamba daima kutakuwa na mduara ambao wima zote nne za quadrilateral "zitakaa"?

Inageuka kuwa hii SI KWELI! SI DAIMA pembe nne inaweza kuandikwa kwenye mduara. Kuna hali muhimu sana:

Katika mchoro wetu:

.

Angalia, pembe na uongo kinyume na kila mmoja, ambayo ina maana wao ni kinyume. Vipi kuhusu pembe basi? Je, wao pia wanaonekana kuwa kinyume? Je, inawezekana kuchukua pembe na badala ya pembe na?

Ndiyo, bila shaka unaweza! Jambo kuu ni kwamba quadrangle ina pembe mbili tofauti, jumla ambayo itakuwa. Pembe mbili zilizobaki basi zenyewe pia zitaongeza. Je, si imani? Hebu tuhakikishe. Angalia:

Hebu. Je, unakumbuka jumla ya pembe zote nne za quadrilateral yoyote ni nini? Bila shaka,. Hiyo ni - daima! . Lakini, → .

Uchawi moja kwa moja!

Kwa hivyo kumbuka kwa dhati:

Ikiwa pembe nne imeandikwa kwenye mduara, basi jumla ya pembe zake mbili za kinyume ni

na kinyume chake:

Ikiwa pembe nne ina pembe mbili kinyume ambazo jumla yake ni sawa, basi pembetatu kama hiyo imeandikwa.

Hatutathibitisha haya yote hapa (ikiwa una nia, angalia viwango vifuatavyo vya nadharia). Lakini hebu tuone ukweli huu wa ajabu unaongoza nini, kwamba jumla ya pembe tofauti za quadrilateral iliyoandikwa ni sawa.

Kwa mfano, swali linakuja akilini, inawezekana kuelezea mduara karibu na parallelogram? Hebu jaribu "njia ya poke" kwanza.

Kwa namna fulani haifanyi kazi.

Sasa tumia maarifa:

tuseme kwamba kwa namna fulani tuliweza kutoshea mduara kwenye parallelogramu. Kisha ni lazima hakika kuwa:, yaani.

Na sasa hebu tukumbuke mali ya parallelogram:

Kila paralelogramu ina pembe kinyume.

Tulipata hiyo

Na vipi kuhusu pembe? Naam, sawa bila shaka.

Imeandikwa → →

Sambamba → →

Inashangaza, sawa?

Ilibadilika kuwa ikiwa parallelogram imeandikwa kwenye mduara, basi pembe zake zote ni sawa, yaani, ni mstatili!

Na wakati huo huo - katikati ya mduara sanjari na hatua ya makutano ya diagonals ya mstatili huu. Hii, kwa kusema, imeambatanishwa kama bonasi.

Kweli, hiyo inamaanisha kwamba tuligundua kuwa parallelogram iliyoandikwa kwenye mduara - mstatili.

Sasa hebu tuzungumze kuhusu trapezoid. Ni nini hufanyika ikiwa trapezoid imeandikwa kwenye mduara? Na inageuka itakuwa isosceles trapezium. Kwa nini?

Hebu trapezoid imeandikwa kwenye mduara. Kisha tena, lakini kwa sababu ya usawa wa mistari na.

Kwa hivyo, tunayo: → → trapezoid ya isosceles.

Hata rahisi kuliko na mstatili, sawa? Lakini unahitaji kukumbuka kwa dhati - kuja kwa manufaa:

Hebu tuorodheshe zaidi kauli kuu tangent kwa pembe nne iliyoandikwa kwenye mduara:

  1. Upande wa nne umeandikwa kwenye mduara ikiwa na tu ikiwa jumla ya pembe zake mbili kinyume ni
  2. Parallelogram iliyoandikwa kwenye mduara mstatili na katikati ya mduara sanjari na hatua ya makutano ya diagonals
  3. Trapezoid iliyoandikwa kwenye mduara ni isosceles.

Imeandikwa pembe nne. Kiwango cha wastani

Inajulikana kuwa kwa pembetatu yoyote kuna mduara uliozungukwa (tulithibitisha hili katika mada "Mduara uliowekwa"). Nini kinaweza kusema juu ya pande nne? Hapa inageuka kuwa SI KILA pande nne zinazoweza kuandikwa kwenye mduara, lakini kuna nadharia hii:

Upande wa nne umeandikwa kwenye mduara ikiwa na tu ikiwa jumla ya pembe zake tofauti ni.

Katika mchoro wetu -

Hebu jaribu kuelewa kwa nini? Kwa maneno mengine, sasa tutathibitisha nadharia hii. Lakini kabla ya kuthibitisha, unahitaji kuelewa jinsi madai yenyewe yanavyofanya kazi. Je, umeona maneno "basi na kisha tu" katika taarifa? Maneno kama haya yanamaanisha kuwa wanahisabati hatari wamesukuma kauli mbili kuwa moja.

Kufafanua:

  1. "Kisha" inamaanisha: Ikiwa pembe nne imeandikwa kwenye mduara, basi jumla ya pembe zake mbili zinazopingana ni sawa.
  2. "Basi tu" inamaanisha: Ikiwa pembe nne ina pembe mbili kinyume, jumla yake ni sawa, basi pembetatu kama hiyo inaweza kuandikwa kwenye mduara.

Kama vile Alice: "Nadhani ninachosema" na "Ninasema kile ninachofikiria".

Sasa hebu tuone ni kwa nini 1 na 2 zote ni za kweli?

Kwanza 1.

Hebu quadrilateral imeandikwa kwenye mduara. Tunaweka alama katikati yake na kuteka radii na. Nini kitatokea? Je! unakumbuka kuwa pembe iliyoandikwa ni nusu ya pembe ya kati inayolingana? Ikiwa unakumbuka - sasa inatumika, na ikiwa sivyo - angalia mada "Mzunguko. Pembe iliyoandikwa".

Imeandikwa

Imeandikwa

Lakini angalia:.

Tunapata hiyo ikiwa - imeandikwa, basi

Kweli, ni wazi kwamba na pia inaongeza. (inapaswa pia kuzingatiwa).

Sasa "kinyume", ambayo ni, 2.

Wacha igeuke kuwa jumla ya pembe mbili zinazopingana za quadrilateral ni sawa. Tuseme basi

Bado hatujui ikiwa tunaweza kuelezea mduara unaoizunguka. Lakini tunajua kwa hakika kwamba tumehakikishiwa kuwa na uwezo wa kuelezea mduara unaozunguka pembetatu. Basi tufanye hivyo.

Ikiwa hatua hiyo "haikukaa chini" kwenye duara, basi iligeuka kuwa nje au ndani.

Wacha tuzingatie kesi zote mbili.

Acha hoja iwe nje kwanza. Kisha sehemu huingilia mduara kwa wakati fulani. Unganisha na. Matokeo yake ni iliyoandikwa (!) quadrilateral.

Tayari tunajua kuhusu yeye kwamba jumla ya pembe zake kinyume ni sawa, yaani, lakini kwa hali tuliyo nayo.

Inageuka kuwa inapaswa kuwa kama hii.

Lakini hii haiwezi kuwa kwa njia yoyote, kwani - kona ya nje kwa na ina maana .

Na ndani? Hebu tufanye jambo kama hilo. Acha hoja ndani.

Kisha uendelezaji wa sehemu huingilia mduara kwa uhakika. Tena - quadrilateral iliyoandikwa, na kwa mujibu wa hali hiyo inapaswa kuridhika, lakini - angle ya nje kwa na njia, yaani, tena, haiwezi kuwa hivyo.

Hiyo ni, hatua haiwezi kuwa nje au ndani ya duara - ambayo inamaanisha iko kwenye duara!

Imethibitisha nadharia nzima!

Sasa hebu tuone ni matokeo gani mazuri ya nadharia hii inatoa.

Muhimu 1

Sambamba iliyoandikwa kwenye mduara inaweza tu kuwa mstatili.

Hebu tuelewe kwa nini ni hivyo. Hebu parallelogram iandikwe kwenye mduara. Kisha inapaswa kufanyika.

Lakini kutokana na sifa za parallelogram, tunajua hilo.

Na sawa, bila shaka, kwa pembe na.

Kwa hivyo mstatili uligeuka - pembe zote ziko pamoja.

Lakini, kwa kuongeza, kuna ukweli wa ziada wa kupendeza: katikati ya mduara unaozunguka kuhusu mstatili unafanana na hatua ya makutano ya diagonals.

Hebu tuelewe kwa nini. Natumaini unakumbuka vizuri kwamba angle kulingana na kipenyo ni pembe ya kulia.

Kipenyo,

Kipenyo

na hivyo kituo. Ni hayo tu.

Matokeo 2

Trapezoid iliyoandikwa kwenye mduara ni isosceles.

Hebu trapezoid imeandikwa kwenye mduara. Kisha.

Na pia.

Tumejadili kila kitu? Si kweli. Kwa kweli, kuna njia nyingine, "ya siri" ya kutambua pembe nne iliyoandikwa. Tutaunda njia hii sio madhubuti sana (lakini kwa uwazi), lakini tutathibitisha tu katika kiwango cha mwisho cha nadharia.

Ikiwa katika sehemu ya nne mtu anaweza kuona picha kama hapa kwenye takwimu (hapa pembe "zikiangalia" kando ya vidokezo na ni sawa), basi pembetatu kama hiyo ni iliyoandikwa.

Hii ni kuchora muhimu sana - katika matatizo mara nyingi ni rahisi kupata pembe sawa kuliko jumla ya pembe na.

Licha ya ukosefu kamili wa ukali katika uundaji wetu, ni sahihi, na zaidi ya hayo, inakubaliwa daima na wachunguzi wa USE. Unapaswa kuandika kama hii:

"- iliyoandikwa" - na kila kitu kitakuwa sawa!

Usisahau ishara hii muhimu - kumbuka picha, na labda itachukua jicho lako kwa wakati wakati wa kutatua tatizo.

Imeandikwa pembe nne. Maelezo mafupi na kanuni za msingi

Ikiwa pembe nne imeandikwa kwenye mduara, basi jumla ya pembe zake mbili za kinyume ni

na kinyume chake:

Ikiwa pembe nne ina pembe mbili kinyume ambazo jumla yake ni sawa, basi pembetatu kama hiyo imeandikwa.

Upande wa nne umeandikwa kwenye mduara ikiwa na tu ikiwa jumla ya pembe zake mbili kinyume ni sawa.

Parallelogram iliyoandikwa kwenye mduara- hakika mstatili, na katikati ya mduara inafanana na hatua ya makutano ya diagonals.

Trapezoid iliyoandikwa kwenye mduara ni isosceles.

Dhana ya poligoni

Ufafanuzi 1

poligoni inayoitwa takwimu ya kijiometri katika ndege, ambayo ina sehemu zilizounganishwa kwa jozi, jirani ambazo hazilala kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja.

Katika kesi hii, sehemu zinaitwa pande za poligoni, na mwisho wao ni vipeo vya poligoni.

Ufafanuzi 2

$n$-gon ni poligoni yenye wima $n$.

Aina za polygons

Ufafanuzi 3

Ikiwa poligoni daima iko upande mmoja wa mstari wowote unaopita kwenye pande zake, basi poligoni inaitwa mbonyeo(Mchoro 1).

Kielelezo 1. Poligoni mbonyeo

Ufafanuzi 4

Ikiwa poligoni iko kwenye pande tofauti za angalau mstari mmoja ulionyooka unaopita kwenye pande zake, basi poligoni inaitwa non-convex (Mchoro 2).

Kielelezo 2. Poligoni isiyo na convex

Jumla ya pembe za poligoni

Tunatanguliza nadharia juu ya jumla ya pembe za -gon.

Nadharia 1

Jumla ya pembe za convex -gon hufafanuliwa kama ifuatavyo

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Ushahidi.

Hebu tupewe poligoni mbonyeo $A_1A_2A_3A_4A_5\doti A_n$. Unganisha kipeo chake $A_1$ kwa vipeo vingine vyote vya poligoni uliyopewa (Mchoro 3).

Kielelezo cha 3

Kwa muunganisho kama huo, tunapata pembetatu $n-2$. Kwa muhtasari wa pembe zao, tunapata jumla ya pembe za -gon iliyotolewa. Kwa kuwa jumla ya pembe za pembetatu ni $(180)^0,$ tunapata kwamba jumla ya pembe za convex -gon huamuliwa na fomula.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Nadharia imethibitishwa.

Dhana ya quadrilateral

Kwa kutumia ufafanuzi wa $2$, ni rahisi kutambulisha ufafanuzi wa pembe nne.

Ufafanuzi wa 5

Upande wa nne ni poligoni yenye wima $4$ (Mchoro 4).

Kielelezo 4. Quadrilateral

Kwa pembe nne, dhana za quadrilateral ya convex na quadrilateral isiyo ya convex hufafanuliwa vile vile. Mifano ya classical ya quadrangles convex ni mraba, mstatili, trapezoid, rhombus, parallelogram (Mchoro 5).

Mchoro wa 5. Upande wa nne wa convex

Nadharia 2

Jumla ya pembe za pembe nne mbonyeo ni $(360)^0$

Ushahidi.

Kwa nadharia $1$, tunajua kuwa jumla ya pembe za convex -gon huamuliwa na fomula.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Kwa hiyo, jumla ya pembe za quadrilateral convex ni

\[\kushoto(4-2\kulia)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Nadharia imethibitishwa.

Machapisho yanayofanana