Wakilisha nambari changamano katika mifano ya umbo la aljebra. Nambari tata na shughuli za aljebra juu yao

Fikiria equation ya quadratic.

Hebu tufafanue mizizi yake.

Hakuna nambari halisi ambayo mraba wake ni -1. Lakini ikiwa formula inafafanua mwendeshaji i kama kitengo cha kufikiria, basi suluhisho la equation hii inaweza kuandikwa kwa fomu . Ambapo na - nambari changamano, ambayo -1 ni sehemu halisi, 2 au katika kesi ya pili -2 ni sehemu ya kufikiria. Sehemu ya kufikiria pia ni nambari halisi (halisi). Sehemu ya kufikirika ikizidishwa na kitengo cha kufikiria inamaanisha tayari nambari ya kufikiria.

Kwa ujumla, nambari changamano ina fomu

z = x + iy ,

wapi x, y ni nambari halisi, ni kitengo cha kufikiria. Katika idadi ya sayansi zilizotumika, kwa mfano, katika uhandisi wa umeme, umeme, nadharia ya ishara, kitengo cha kufikiria kinaonyeshwa na j. Nambari halisi x = Re(z) na y=Mimi(z) kuitwa sehemu halisi na za kufikirika nambari z. Usemi huo unaitwa fomu ya algebra nukuu ya nambari changamano.

Nambari yoyote halisi ni kipochi maalum cha nambari changamano katika fomu . Nambari ya kuwazia pia ni kisa maalum cha nambari changamano. .

Ufafanuzi wa seti ya nambari changamano C

Usemi huu unasomeka kama ifuatavyo: set KUTOKA, inayojumuisha vipengele vile x na y ni ya seti ya nambari halisi R na ni kitengo cha kufikirika. Kumbuka kwamba nk.

Nambari mbili changamano na ni sawa ikiwa na tu ikiwa sehemu zao halisi na za kufikiria ni sawa, i.e. na.

Nambari tata na utendaji hutumiwa sana katika sayansi na teknolojia, haswa, katika mechanics, uchambuzi na hesabu ya saketi za AC, vifaa vya elektroniki vya analogi, nadharia ya ishara na usindikaji, nadharia ya udhibiti otomatiki, na sayansi zingine zinazotumika.

1. Hesabu ya nambari changamano

Kuongezewa kwa nambari mbili ngumu kunajumuisha kuongeza sehemu zao halisi na za kufikiria, i.e.

Ipasavyo, tofauti ya nambari mbili ngumu

Nambari tata kuitwa changamano kuunganisha nambari z=x +i.y

Nambari changamano za z na z * hutofautiana katika ishara za sehemu ya kufikiria. Ni dhahiri kwamba

.

Usawa wowote kati ya misemo changamano inasalia kuwa halali ikiwa katika usawa huu kila mahali i kubadilishwa na - i, i.e. nenda kwa usawa wa nambari za kuunganisha. Nambari i na – i hazitofautishwi kialjebra kwa sababu .

Bidhaa (kuzidisha) ya nambari mbili changamano inaweza kuhesabiwa kama ifuatavyo:

Mgawanyiko wa nambari mbili ngumu:

Mfano:

1. Ndege tata

Nambari changamano inaweza kuwakilishwa kwa picha katika mfumo wa kuratibu wa mstatili. Hebu tuweke mfumo wa kuratibu wa mstatili katika ndege (x, y).

kwenye ekseli Ng'ombe tutapanga sehemu halisi x, inaitwa mhimili halisi (halisi)., kwenye mhimili Oy- sehemu za kufikiria y nambari ngumu. Yeye hubeba jina mhimili wa kufikirika. Zaidi ya hayo, kila nambari tata inalingana na hatua fulani ya ndege, na ndege kama hiyo inaitwa ndege tata. hatua LAKINI ndege tata itafanana na vector OA.

Nambari x kuitwa abscissa nambari changamano, nambari y – kuratibu.

Jozi ya nambari changamano za kuunganisha huonyeshwa kama nukta zilizopatikana kwa ulinganifu kuhusu mhimili halisi.

Ikiwa kwenye ndege iliyowekwa mfumo wa kuratibu polar, kisha kila nambari changamano z imedhamiriwa na kuratibu za polar. Ambapo moduli nambari ni radius ya polar ya uhakika, na pembe - pembe yake ya polar au hoja ya nambari changamano z.

Moduli ya nambari tata siku zote zisizo hasi. Hoja ya nambari changamano haijafafanuliwa kipekee. Thamani kuu ya hoja lazima ikidhi hali hiyo . Kila sehemu ya ndege changamano pia inalingana na jumla ya thamani ya hoja. Hoja ambazo hutofautiana kwa kizidishio cha 2π huchukuliwa kuwa sawa. Hoja ya nambari sifuri haijafafanuliwa.

Thamani kuu ya hoja imedhamiriwa na misemo:

Ni dhahiri kwamba

Ambapo
, .

Uwakilishi wa nambari tata z kama

kuitwa fomu ya trigonometric nambari changamano.

Mfano.

1. Aina ya kielelezo cha nambari changamano

Mtengano ndani Mfululizo wa Maclaurin kwa kazi za hoja halisi inaonekana kama:

Kwa utendaji wa kielelezo wa hoja changamano z mtengano ni sawa

.

Upanuzi wa mfululizo wa Maclaurin kwa utendaji kazi wa kielelezo wa hoja ya kufikirika unaweza kuwakilishwa kama

Utambulisho unaosababishwa unaitwa Fomula ya Euler.

Kwa hoja hasi, inaonekana kama

Kwa kuchanganya semi hizi, tunaweza kufafanua misemo ifuatayo ya sine na cosine

.

Kwa kutumia fomula ya Euler, kutoka kwa fomu ya trigonometric ya uwakilishi wa nambari changamano

inapatikana maandamano(kielelezo, polar) fomu ya nambari changamano, i.e. uwakilishi wake katika fomu

,

wapi - kuratibu za polar za uhakika na kuratibu za mstatili ( x,y).

Muunganisho wa nambari changamano umeandikwa katika umbo la kielelezo kama ifuatavyo.

Kwa fomu ya kielelezo, ni rahisi kufafanua kanuni zifuatazo za kuzidisha na kugawanya nambari changamano

Hiyo ni, kwa fomu ya kielelezo, bidhaa na mgawanyiko wa nambari ngumu ni rahisi zaidi kuliko fomu ya algebraic. Wakati wa kuzidisha, moduli za mambo huongezeka, na hoja zinaongezwa. Sheria hii inatumika kwa idadi yoyote ya mambo. Hasa, wakati wa kuzidisha nambari changamano z kwenye i vekta z huzunguka kinyume cha saa kwa 90

Katika mgawanyiko, moduli ya nambari hugawanywa na moduli ya denominator, na hoja ya denominator hutolewa kutoka kwa hoja ya nambari.

Kwa kutumia fomu ya kielelezo cha nambari changamano, mtu anaweza kupata usemi wa vitambulisho vya trigonometriki vinavyojulikana sana. Kwa mfano, kutoka kwa utambulisho

kwa kutumia formula ya Euler, tunaweza kuandika

Kusawazisha sehemu halisi na za kufikiria katika usemi huu, tunapata misemo ya kosine na sine ya jumla ya pembe.

1. Nguvu, mizizi na logariti za nambari changamano

Kuinua nambari changamano hadi nguvu asilia n zinazozalishwa kulingana na formula

Mfano. Kokota .

Fikiria nambari kwa fomu ya trigonometric

’

Kwa kutumia formula ya ufafanuzi, tunapata

Kuweka thamani katika usemi r= 1, tunapata kinachojulikana Fomula ya De Moivre, ambayo unaweza kuamua maneno ya sines na cosines ya pembe nyingi.

Mzizi n nguvu ya nambari changamano z Ina n maadili tofauti yaliyoamuliwa na usemi

Mfano. Hebu tupate.

Ili kufanya hivyo, tunaelezea nambari changamano () kwa fomu ya trigonometric

.

Kulingana na fomula ya kuhesabu mzizi wa nambari changamano, tunapata

Logariti ya nambari changamano z ni nambari w, kwa ajili yake. Logariti asilia ya nambari changamano ina idadi isiyo na kikomo ya thamani na inakokotolewa na fomula

Inajumuisha sehemu halisi (cosine) na za kufikirika (sine). Dhiki kama hiyo inaweza kuwakilishwa kama vekta ya urefu U m, awamu ya awali (pembe), inayozunguka kwa kasi ya angular ω .

Kwa kuongezea, ikiwa kazi ngumu zinaongezwa, basi sehemu zao za kweli na za kufikiria huongezwa. Ikiwa kazi ngumu inazidishwa na kazi ya mara kwa mara au ya kweli, basi sehemu zake za kweli na za kufikiria zinazidishwa na jambo moja. Utofautishaji/muunganisho wa kazi changamano kama hii hupunguzwa hadi kutofautisha/kuunganishwa kwa sehemu halisi na za kufikirika.

Kwa mfano, utofautishaji wa usemi changamano wa mkazo

ni kuzidisha kwa iω ni sehemu halisi ya chaguo za kukokotoa f(z), na ni sehemu ya kufikirika ya utendaji. Mifano: .

Maana z inawakilishwa na nukta katika ndege changamano z, na thamani inayolingana w- hatua katika ndege tata w. Inapoonyeshwa w = f(z) mistari ya ndege z kupita kwenye mistari ya ndege w, takwimu za ndege moja katika takwimu za nyingine, lakini maumbo ya mistari au takwimu inaweza kubadilika kwa kiasi kikubwa.