Nambari hasi. Nambari hasi

§ 77. Kwenye sehemu za kitengo.

Tulisoma mali ya nambari kamili na vitendo juu yao. Mbali na nambari kamili, kuna nambari za sehemu, ambazo sasa tutajijulisha nazo. Mwanafunzi anaposema kwamba inamchukua nusu saa kutembea kutoka nyumbani hadi shuleni, yeye huonyesha wakati si kwa saa nzima, bali kwa sehemu ya saa. Wakati daktari anamshauri mgonjwa kufuta poda katika robo ya glasi ya maji ya moto, basi maji hupimwa si kwa glasi nzima, lakini katika sehemu za kioo. Ikiwa watermelon moja itagawanywa kwa usawa kati ya wavulana watatu, basi kila mmoja wao anaweza tu kupata theluthi moja ya watermelon, au theluthi yake.

Katika visa vyote, hatukuzungumza juu ya vitengo vizima, lakini juu ya sehemu, au sehemu za kitengo. Hisa zinaweza kuwa tofauti sana, kwa mfano, gramu ni elfu ya kilo, millimeter ni milioni ya kilomita. Kwanza tutazungumza juu ya hisa rahisi zaidi (nusu, tatu, robo, nk).

Kwa uwazi zaidi, tutaonyesha hisa hizi kama sehemu za mstari wa moja kwa moja.

Ikiwa tutachukua sehemu ya AB kama kitengo (Mchoro 9), basi, tukigawanya katika sehemu mbili sawa, tunaweza kusema kwamba sehemu zinazosababisha AC na CB zitakuwa nusu za sehemu ya AB.

Zaidi ya hayo, ikiwa tutachukua sehemu ya DE (Mchoro 10) kama kitengo na kuigawanya katika sehemu 3 sawa, basi kila moja ya sehemu zilizopatikana DF, FH, HE itakuwa sawa na theluthi moja ya sehemu DE, na sehemu DH. itakuwa sawa na theluthi mbili ya sehemu DE. Vile vile, sehemu FE itakuwa sawa na theluthi mbili ya sehemu DE.

Hebu tuchukue sehemu nyingine MN (Mchoro 11), tuchukue kama kitengo na tugawanye katika sehemu nne sawa; basi kila moja ya makundi Mbunge, PQ, QR, RN itakuwa sawa na robo moja ya sehemu ya MN; kila moja ya sehemu MQ, PR, QN itakuwa sawa na robo mbili yake, na kila moja ya sehemu MR na PN itakuwa sawa na robo tatu ya MN.

Katika mifano iliyozingatiwa, tulifahamiana na nusu, theluthi, robo, theluthi mbili, robo mbili, robo tatu, ambayo ni, ama na sehemu moja ya kitengo, au mbili, au na sehemu tatu sawa za kitengo. .

Nambari inayoundwa na sehemu moja au zaidi sawa ya moja inaitwa risasi.

Tumeshasema kuwa badala ya neno "share" unaweza kusema neno "sehemu"; kwa hivyo, sehemu inaweza kuitwa nambari inayoonyesha sehemu moja au zaidi zinazofanana za kitengo.

Kwa hivyo, nambari zilizotajwa katika aya hii: nusu, au sekunde moja, theluthi moja, robo moja, theluthi mbili na zingine, zitakuwa sehemu.

Mara nyingi ni muhimu kuzingatia sio tu sehemu za vitu, lakini pamoja nao vitu vyote. Kwa mfano, wavulana wawili wanaamua kugawana sawa tufaha zao tano. Kwa wazi, kila mmoja wao atachukua apples mbili kwanza, na watakata apple ya mwisho iliyobaki katika sehemu mbili sawa. Kisha kila mmoja atakuwa na apples mbili na nusu. Hapa idadi ya tufaha kwa kila mvulana imeonyeshwa kama nambari nzima (mbili) na sehemu fulani (nusu).

Nambari zinazojumuisha nambari nzima na sehemu huitwa nambari mchanganyiko.

§ 78. Picha ya sehemu.

Fikiria mchoro wa mwisho wa aya iliyotangulia (Mchoro 11). Tulisema kuwa sehemu ya MR ni robo tatu ya sehemu ya MN. Sasa swali linatokea jinsi sehemu hii, yaani robo tatu, inaweza kuandikwa kwa kutumia namba. Kumbuka jinsi sehemu ya robo tatu iliibuka. Tulichukua sehemu ya MN kama kitengo, tukaigawanya katika sehemu 4 sawa na tukachukua 3 kutoka kwa sehemu hizi. Ni mchakato huu wa kuibuka kwa sehemu ambayo inapaswa kuonyeshwa kwenye rekodi yake, i.e. kutoka kwa rekodi hii inapaswa kuonekana kuwa kitengo kinagawanywa katika sehemu 4 sawa na sehemu zinazozalishwa zinachukuliwa 3. Kwa sababu ya hili, sehemu hiyo inaonyeshwa kwa kutumia namba mbili zilizotengwa na mstari wa usawa. Nambari imeandikwa chini ya mstari, ikionyesha ni sehemu ngapi sawa kitengo kimegawanywa, ambayo sehemu hiyo inachukuliwa, na nambari nyingine imeandikwa juu ya mstari, kuonyesha ni hisa ngapi zilizomo.

katika sehemu hii. Sehemu ya robo tatu itaandikwa kama hii: 3/4.

Nambari iliyo juu ya mstari inaitwa namba sehemu; nambari hii inaonyesha idadi ya sehemu zilizomo katika sehemu iliyotolewa.

Nambari iliyo chini ya mstari inaitwa dhehebu sehemu; inaonyesha ni sehemu ngapi sawa kitengo kimegawanywa.

3 - nambari,
_
4 ni dhehebu.

Dashi inayotenganisha nambari kutoka kwa denominator inaitwa upau wa sehemu. Numerator na denominator zote kwa pamoja huitwa masharti ya sehemu. Wacha tuandike sehemu kama mfano:

theluthi mbili - 2/3; tano kumi na mbili - 5/12.

Nambari zilizochanganywa zimeandikwa kama ifuatavyo: kwanza wanaandika nambari kamili na karibu nayo sehemu inahusishwa na kulia. Kwa mfano, nambari iliyochanganywa ya mbili na tano ya tano inapaswa kuandikwa kama hii: 2 4/5.

§ 79. Kuibuka kwa sehemu.

Fikiria swali la jinsi na wapi sehemu zinatokea, kwa nini na chini ya hali gani zinaonekana.

Chukua, kwa mfano, ukweli huu. Unahitaji kupima urefu wa ubao na mita. Tunachukua mtawala wa mbao wa urefu wa mita na kuitumia kando ya chini ya ubao, kusonga kutoka kushoto kwenda kulia. Hebu iingie mara mbili, lakini bado kuna sehemu fulani ya ubao ambapo mtawala hautafaa kwa mara ya tatu, kwa sababu urefu wa sehemu iliyobaki ni chini ya urefu wa mtawala.

Ikiwa sehemu iliyobaki ya bodi ina, kwa mfano, nusu ya mita, basi urefu wa bodi ni mita mbili na nusu (2 1/2).

Sasa tutapima upana wa bodi na mtawala sawa. Wacha tuseme kwamba alifanya hivyo mara moja, lakini baada ya kucheleweshwa huku, sehemu ndogo ya ubao ilibaki, chini ya urefu wa mita. Kutumia mita kwa sehemu hii ya ubao, hebu sema, iliwezekana kupata kuwa ni sawa na robo moja (1/4) ya mita.

Kwa hivyo upana wote wa bodi ni 1 1/4 m.

Kwa hivyo, wakati wa kupima urefu na upana wa ubao, tulipata nambari 2 1/2 m na 1 1/4 m (yaani, nambari za sehemu).

Sio tu urefu na upana wa vitu, lakini pia idadi nyingine nyingi mara nyingi huonyeshwa kwa nambari za sehemu.

Tunapima wakati sio tu kwa masaa, dakika na sekunde, lakini mara nyingi katika sehemu za saa, katika sehemu za dakika na hata sehemu za sekunde.

Mara nyingi, nambari za sehemu zinaonyesha uzito, kwa mfano, wanasema: 1/2 kg, l 1/2 kg, 1/2 g, 3/4 g, 1/2 t, nk.

Kufikia sasa, tumekuwa tukizungumza juu ya asili ya sehemu kutoka kwa kipimo, lakini kuna chanzo kingine cha sehemu - hii ni hatua ya mgawanyiko. Hebu tuishie hapo. Hebu apples 3 zinahitajika kugawanywa kati ya wavulana 4; ni wazi, katika kesi hii, kila mvulana hatapata apple nzima, kwa sababu kuna apples chache kuliko watoto. Kwanza, chukua maapulo 2 na ukate kila nusu. Itageuka nusu 4, na kwa kuwa kuna wavulana wanne, kila mmoja anaweza kupewa nusu ya apple. Tukata apple ya tatu iliyobaki katika sehemu 4 na kisha kuongeza kila mvulana kwa kile anacho, robo nyingine. Kisha maapulo yote yatasambazwa na kila mvulana atapokea nusu moja na robo moja ya apple. Lakini kwa kuwa kila nusu ina robo 2, hatimaye inaweza kusemwa kwamba kila mvulana atakuwa na robo mbili na kuongeza robo moja kila moja, yaani, jumla ya robo tatu (3/4) ya tufaha.

§ 80. Ulinganisho wa sehemu kwa ukubwa.

Ikiwa tunalinganisha idadi yoyote na kila mmoja, kwa mfano, sehemu mbili, basi inaweza kugeuka kuwa moja yao ni sawa na nyingine, au ni kubwa kuliko nyingine, au chini ya nyingine.

Katika Mchoro 12, sehemu ya AB ni sawa na sehemu ya CD; sehemu ya EF ni kubwa kuliko sehemu ya QH; sehemu ya KL ni chini ya sehemu ya MN.

Tutakutana na kesi tatu sawa wakati wa kulinganisha sehemu. Wacha tujaribu kulinganisha sehemu kadhaa na kila mmoja.

1. Sehemu mbili zinachukuliwa kuwa sawa ikiwa kiasi kinacholingana na sehemu hizi ni sawa kwa kila mmoja (pamoja na kitengo sawa cha kipimo). Wacha tuchukue sehemu ya SC na tuichukue kama kitengo.

Tunagawanya sehemu ya SK kwa nusu kwa uhakika D (Mchoro 13). Kisha tutaashiria sehemu ya CD ya sehemu hii kwa sehemu 1/2. Ikiwa tutagawanya sehemu sawa SK katika sehemu 4 sawa, basi CD ya sehemu itaonyeshwa kama sehemu 2/4; ikiwa tunagawanya sehemu ya SK katika sehemu 8 sawa, basi CD ya sehemu itafanana na sehemu 4/8. Kwa kuwa tulichukua sehemu sawa mara tatu, sehemu 1/2, 2/4 na 4/8 ni sawa kwa kila mmoja.

2. Wacha tuchukue sehemu mbili zilizo na nambari sawa: 1/4 na 1/8, na tuone ni maadili gani yanayolingana nao. Katika kesi ya kwanza, thamani fulani imegawanywa katika sehemu 4 sawa, na katika kesi ya pili, pia imegawanywa katika sehemu 8 sawa.

Kielelezo cha 14 kinaonyesha kuwa 1/4 ni kubwa kuliko 1/8. Kwa hivyo, kati ya sehemu mbili zilizo na nambari sawa, sehemu kubwa ni ile iliyo na dhehebu ndogo.

3. Chukua sehemu mbili zilizo na madhehebu sawa: 5/8 na 3/8. Ikiwa tutaweka alama kwa kila sehemu hizi kwenye mchoro uliopita, tutaona kwamba sehemu inayolingana na sehemu ya kwanza ni kubwa kuliko sehemu inayolingana na ya pili. Kwa hivyo, kati ya sehemu mbili zilizo na dhehebu sawa, sehemu kubwa ni ile iliyo na nambari kubwa.

4. Ikiwa sehemu mbili zinatolewa na nambari tofauti na denominators, basi thamani yao inaweza kuhukumiwa kwa kulinganisha kila mmoja wao na moja. Kwa mfano, 2/3 ni chini ya 4/5, kwa sababu sehemu ya kwanza inatofautiana na umoja kwa 1/3, na ya pili na 1/5, yaani, sehemu ya pili ina upungufu mdogo wa umoja kuliko ya kwanza.

Walakini, ni rahisi kulinganisha sehemu kama hizo kwa kuzipunguza kwa dhehebu la kawaida, ambalo litajadiliwa hapa chini.

§ 81. Sehemu ni za kawaida na zisizofaa. Nambari zilizochanganywa.

Hebu tuchukue sehemu ya AB sawa na vitengo viwili vya mstari (Mchoro 15). Tunagawanya kila kitengo katika sehemu 10 sawa, basi kila sehemu itakuwa sawa na 1/10, i.e.

AD = DE = EF = FH = ... = 1/10 AC.

Fikiria sehemu zingine na ufikirie juu ya sehemu gani zimeonyeshwa. Kwa mfano, AF - 3/10, AK - 5/10, AM - 7/10; AO - 9 / 10 , AS - 10 / 10 , AR - 11 / 10 , AR - 13 / 10 . Tulionyesha sehemu zote zilizochukuliwa kama nambari za sehemu na denominator ya 10. Sehemu nne za kwanza (3/10, 5/10, 7/10; 9/10) zina nambari chini ya denomineta, kila moja ni chini ya 1.

Sehemu ya tano (10/10) ina nambari sawa na denominator, na sehemu yenyewe ni sawa na 1, inalingana na sehemu ya AC, iliyochukuliwa kama kitengo.

Sehemu mbili za mwisho (11/10, 13/10) zina nambari kubwa kuliko denomineta, na kila sehemu ni kubwa kuliko 1.

Sehemu ambayo nambari yake ni chini ya denominator inaitwa sehemu sahihi. Kama ilivyoelezwa hapo juu, sehemu inayofaa ni chini ya moja. Hii inamaanisha kuwa sehemu nne za kwanza ni sawa na kwa hivyo tunaweza kuandika: 3/10<1, 5 / 10 <1, 7 / 10 <1, 9 / 10 <1.

Sehemu ambayo nambari yake ni sawa na au kubwa kuliko denominator inaitwa sehemu isiyofaa. Kwa hivyo, sehemu isiyofaa ni sawa na moja au kubwa kuliko hiyo. Kwa hivyo sehemu tatu za mwisho sio sawa na unaweza kuandika:

10 / 10 =1 ; 11 / 10 >1 ; 13 / 10 >1 ;

Hebu tuzingatie sehemu mbili za mwisho (zisizofaa). Sehemu 11/10 ina kitengo kizima na sehemu sahihi 1/10, ambayo ina maana kwamba inaweza kuandikwa hivi: 1 1/10. Matokeo yake yalikuwa nambari ambayo ni mchanganyiko wa nambari kamili na sehemu inayofaa, ambayo ni, nambari iliyochanganywa. Vile vile vinaweza kurudiwa kwa sehemu isiyofaa 13/10. Tunaweza kuiwakilisha kama 1 3/10. Hii pia itakuwa nambari iliyochanganywa.

Unahitaji kujifunza jinsi ya kuchukua nafasi ya sehemu isiyofaa na nambari iliyochanganywa. Tulibadilisha kwa urahisi sehemu mbili zilizopita zisizofaa na nambari zilizochanganywa. Lakini ikiwa tulikutana na sehemu, kwa mfano 545/32, basi ni ngumu zaidi kutoa sehemu kamili kutoka kwayo, na bila kutoa sehemu kamili ni ngumu kuhukumu thamani ya nambari hii.

Kwa upande mwingine, wakati wa kufanya mahesabu mbalimbali, wakati mwingine ni rahisi zaidi kutumia sio nambari zilizochanganywa, lakini sehemu zisizofaa. Hii ina maana kwamba, ikiwa ni lazima, unahitaji kuwa na uwezo wa kufanya mabadiliko ya kinyume, yaani, kuchukua nafasi ya nambari iliyochanganywa na sehemu isiyofaa.

§ 82. Ubadilishaji wa sehemu isiyofaa hadi nambari mchanganyiko na ubadilishaji kinyume.

Wacha tuchukue sehemu isiyofaa 9/4 na jaribu kuibadilisha na nambari iliyochanganywa. Tutabishana kama ifuatavyo: ikiwa robo 4 zimo katika kitengo kimoja, basi vitengo vingi vilivyomo katika robo 9 mara nyingi robo 4 ziko katika robo 9. Ili kujibu swali hili, inatosha kugawanya 9 na 4. Mgawo unaotokana utaonyesha idadi ya integers, na salio itatoa idadi ya robo ambazo hazijumuishi kitengo kizima. 4 iko katika 9 mara mbili na salio ya 1. Kwa hiyo 9 / 4 = 2 1 / 4, tangu 9: 4 = 2 na 1 katika salio.

Wacha tugeuze sehemu isiyofaa 545/32 iliyotajwa hapo juu kuwa nambari iliyochanganywa.

545; 32 \u003d 17 na 1 katika salio, kwa hivyo 545/32 \u003d 17 1/32.

Ili kubadilisha sehemu isiyofaa kwa nambari iliyochanganywa, unahitaji kugawanya nambari ya sehemu na denominator na kupata salio; mgawo utaonyesha idadi ya vitengo vizima, na salio itaonyesha idadi ya sehemu za kitengo.

Kwa kuwa, kwa kubadilisha sehemu isiyofaa kuwa nambari iliyochanganywa, kila wakati tunachagua sehemu kamili, mabadiliko haya kawaida huitwa kuondoa nambari kamili kutoka kwa sehemu isiyofaa.

Fikiria kesi wakati sehemu isiyofaa ni sawa na nambari kamili. Acha inatakiwa kuwatenga nambari kamili kutoka isiyo sahihi

sehemu 36/12 Kulingana na sheria, tunapata 36: 12 = 3 na 0 katika salio, i.e. nambari imegawanywa na denominator bila salio, ambayo inamaanisha 36/12 = 3.

Hebu sasa tugeuke kwenye mabadiliko ya kinyume, yaani, kwa ubadilishaji wa nambari iliyochanganywa kuwa sehemu isiyofaa.

Hebu tuchukue nambari iliyochanganywa 3 3/4 na kuigeuza kuwa sehemu isiyofaa. Wacha tufikirie kama hii: kila kitengo kizima kina robo 4, na vitengo 3 vitakuwa na robo mara 3 zaidi, i.e. 4 x 3 \u003d robo 12. Hii inamaanisha kuwa vitengo 3 nzima vina robo 12, na hata katika sehemu ya sehemu ya nambari iliyochanganywa kuna robo 3, na kutakuwa na robo 15 kwa jumla, au 15/4. Kwa hiyo, 3 3 / 4 = 15 / 4 .

Mfano. Badilisha nambari iliyochanganywa 8 4/9 kuwa sehemu isiyofaa:

Ili kugeuza nambari iliyochanganywa kuwa sehemu isiyofaa, unahitaji kuzidisha dhehebu kwa nambari kamili, ongeza nambari kwa bidhaa inayotokana na ufanye jumla hii kuwa nambari ya sehemu inayohitajika, na uiache denominator sawa.

§ 83. Kubadilisha nambari kamili hadi sehemu isiyofaa.

Nambari yoyote nzima inaweza kuonyeshwa kwa idadi yoyote ya sehemu za moja. Hii wakati mwingine ni muhimu katika mahesabu. Hebu, kwa mfano, nambari 5 ionyeshwe katika sehemu ya sita ya kitengo.

Tutabishana kama ifuatavyo: kwa kuwa kuna sita katika kitengo kimoja, basi katika vitengo 5 vya hisa hizi hakutakuwa na sita, lakini mara 5 zaidi, i.e. 6 x 5 \u003d 30 sita. Kitendo kimepangwa kama hii:

Kwa njia hiyo hiyo, tunaweza kugeuza nambari yoyote nzima kuwa sehemu isiyofaa na denominator yoyote. Wacha tuchukue nambari 10 na tuwakilishe kama sehemu isiyofaa na madhehebu tofauti:

denominator 2, basi

denominator 3, basi

denominator 5, basi

Kwa hivyo, ili kueleza nambari kamili kama sehemu isiyofaa na dhehebu fulani, unahitaji kuzidisha dhehebu hili kwa nambari fulani, fanya bidhaa inayotokana na nambari na utie saini denominator hii.

Denominator ndogo kabisa ni moja (1). Kwa hivyo, wanapotaka kuwakilisha nambari kamili kama sehemu, mara nyingi huchukua moja kama denominator (l2 = 12 / 1). Wazo hili wakati mwingine huonyeshwa kama ifuatavyo: nambari yoyote nzima inaweza kuzingatiwa kama sehemu na dhehebu sawa na moja (2 = 2/1; 3 = 3/1; 4 = 4/1; 5 = 5/1, nk. )

§ 84. Badilisha katika thamani ya sehemu na mabadiliko katika masharti yake.

Katika sehemu hii, tutazingatia jinsi thamani ya sehemu itabadilika wakati wanachama wake wanabadilika.

Swali la 1. Nini kinatokea kwa thamani ya sehemu kadiri nambari yake inavyoongezeka mara kadhaa? Hebu tuchukue sehemu ya 1/12 na tutaongeza hatua kwa hatua nambari yake kwa mara mbili, tatu, nne, nk. Kisha unapata sehemu zifuatazo:

Ikiwa tutaanza kulinganisha sehemu hizi na kila mmoja, tutaona kwamba zinaongezeka polepole: sehemu ya pili ni kubwa mara mbili kuliko ya kwanza, kwa sababu ina sehemu mara mbili, sehemu ya tatu ni kubwa mara tatu kuliko ya kwanza, na kadhalika.

Kutoka kwa hili tunaweza kuhitimisha: Ikiwa nambari ya sehemu imeongezeka mara kadhaa, basi sehemu itaongezeka kwa kiasi sawa.

Swali la 2. Nini kinatokea kwa thamani ya sehemu wakati kupunguza nambari yake mara kadhaa? Wacha tuchukue sehemu 24/25 na polepole tutapunguza nambari yake kwa mara mbili, mara tatu, mara nne, nk. Kisha tunapata sehemu zifuatazo:

Angalia sehemu hizi moja baada ya nyingine kutoka kushoto kwenda kulia na utaona kwamba sehemu ya pili (12/25) ni nusu ya kwanza 24/25, kwa sababu ina nusu ya sehemu, yaani, nusu ya nambari; sehemu ya nne 6/25 ni mara nne chini ya ya kwanza na nusu ya pili.

Ina maana, Ikiwa nambari ya sehemu imepunguzwa mara kadhaa, basi sehemu itapungua kwa kiasi sawa.

swali la 3. Nini kinatokea kwa thamani ya sehemu wakati kuongeza dhehebu lake mara kadhaa? Tunaweza kujibu swali hili kwa kuchukua sehemu fulani, kwa mfano 1/2, na kuongeza dhehebu lake bila kubadilisha nambari. Wacha tuongeze dhehebu mara mbili, mara tatu, nk na tuone kinachotokea kwa sehemu:

Hatua kwa hatua kuongeza denominator, hatimaye tukaileta hadi 100. Denominator ikawa kubwa kabisa, lakini thamani ya sehemu ilipungua sana, ikawa sawa na mia moja. Kutoka kwa hili ni wazi kwamba ongezeko la denominator ya sehemu bila shaka itasababisha kupungua kwa sehemu yenyewe.

Ina maana, Ikiwa denominator ya sehemu imeongezeka mara kadhaa, basi sehemu itapungua kwa kiasi sawa.

swali la 4. Ni nini hufanyika kwa thamani ya sehemu wakati denominata yake inapozidishwa? Tutachukua sehemu hizo ambazo ziliandikwa hivi karibuni na kuziandika tena kutoka mwisho; basi sehemu yetu ya kwanza itakuwa ndogo zaidi, na ya mwisho itakuwa kubwa zaidi, lakini ya kwanza itakuwa na dhehebu kubwa zaidi, na sehemu ya mwisho itakuwa na denominator ndogo zaidi:

Ni rahisi kuhitimisha: Ikiwa denominator ya sehemu imepunguzwa kwa sababu ya 1, basi sehemu itaongezeka kwa sababu sawa.

swali la 5. Ni nini hufanyika kwa sehemu wakati nambari na denominata zinapoongezeka au kupungua kwa kiwango sawa?

Wacha tuchukue sehemu ya 1/2 na tutaongeza mlolongo na wakati huo huo nambari yake na dhehebu. Sababu wakati mwingine huwekwa karibu na sehemu, ambayo masharti ya sehemu ya kwanza yanazidishwa:

Tuliandika sehemu sita, ni tofauti kwa muonekano wao, lakini ni rahisi kujua kuwa zote ni sawa kwa saizi. Kwa kweli, wacha tulinganishe angalau sehemu ya kwanza na ya pili. Sehemu ya kwanza ni 1/2; ikiwa tunaongeza nambari yake mara mbili, basi sehemu hiyo itaongezeka mara mbili, lakini ikiwa tunarudia mara mbili dhehebu lake, basi itapungua kwa nusu, ambayo ni, kwa maneno mengine, itabaki bila kubadilika. Kwa hivyo 1/2 = 2/4. Hoja sawa inaweza kurudiwa kwa sehemu zingine.

Hitimisho: ikiwa nambari na denominator ya sehemu zinazidishwa kwa nambari sawa(ongeza idadi sawa ya nyakati), thamani ya sehemu haitabadilika.

Tunaandika mali hii kwa fomu ya jumla. Hebu tuangazie sehemu kwa a / b , nambari ambayo nambari na denominator huzidishwa - kwa herufi t ; basi mali iliyoainishwa itachukua fomu ya usawa:

Inabakia kuzingatia swali la kupunguza wakati huo huo nambari na denominator kwa idadi sawa ya nyakati. Wacha tuandike sehemu kadhaa mfululizo, ambapo katika nafasi ya kwanza kutakuwa na sehemu 36/48, na 3/4 ya mwisho:

Zote zitakuwa sawa kwa kila mmoja, ambazo zinaweza kupatikana kwa kulinganisha sehemu zote mbili za karibu, kwa mfano, kupunguza nusu ya nambari ya sehemu ya kwanza (36), tunapunguza sehemu hiyo kwa mara 2, lakini kupunguza nusu ya dhehebu lake (48) , tunaongeza sehemu kwa mara 2, i.e. kama matokeo, tunaiacha bila kubadilika.

Hitimisho: ikiwa nambari na denominator ya sehemu imegawanywa na nambari sawa (iliyopunguzwa na idadi sawa ya nyakati), basi thamani ya sehemu haitabadilika:

Kiini cha hitimisho mbili za mwisho ni kwamba kwa kuongezeka kwa wakati mmoja au kupungua kwa nambari na denominator kwa idadi sawa ya nyakati, thamani ya sehemu haitabadilika.

Mali hii ya ajabu ya sehemu itakuwa ya umuhimu mkubwa katika yafuatayo, kwa hivyo tutaiita mali ya msingi ya sehemu.

§ 85. Kupunguzwa kwa sehemu.

Hebu tuchukue sehemu ya AB (Mchoro 16) na tugawanye katika sehemu 20 sawa, basi kila moja ya sehemu hizi itakuwa sawa na 1/20; Sehemu ya AC, ambayo ina sehemu 15 kama hizo, itawakilishwa na sehemu 15/20.

Sasa hebu jaribu kupanua hisa, kwa mfano, tunagawanya sehemu sio sehemu 20, lakini katika sehemu 4 sawa. Hisa mpya ziligeuka kuwa kubwa zaidi kuliko zile zilizopita, kwani kila hisa mpya ina 5 za zamani, ambazo zinaonekana wazi kwenye mchoro. Sasa hebu tufikirie juu ya kile sehemu ya AC ni sawa na kusagwa mpya, ambayo wakati wa kusagwa kwanza ilikuwa sawa na 15/20 ya sehemu ya AB. Inaweza kuonekana kutoka kwa kuchora kwamba ikiwa sehemu ya AB imegawanywa katika sehemu 4, basi sehemu ya AC itakuwa sawa na 3/4 ya sehemu ya AB.

Kwa hivyo, sehemu ya AC, kulingana na sehemu ngapi sehemu ya AB imegawanywa, inaweza kuwakilishwa na sehemu 15/20 na sehemu 3/4. Kwa ukubwa, hii ni sehemu sawa, kwa sababu inapima sehemu sawa katika vitengo sawa vya kipimo. Kwa hivyo, badala ya sehemu 15/20, tunaweza kutumia sehemu 3/4, na kinyume chake.

Swali linatokea, ni sehemu gani inayofaa zaidi kutumia? Ni rahisi zaidi kutumia sehemu ya pili, kwa sababu nambari yake na denominator imeonyeshwa kwa nambari ndogo kuliko ya kwanza, na kwa maana hii ni rahisi zaidi.

Katika mchakato wa kutoa hoja, ilibainika kuwa thamani moja (sehemu ya AC) ilionyeshwa katika sehemu mbili, tofauti kwa sura, lakini sawa katika thamani (15/20, 3/4). , lakini seti isiyohesabika. Kulingana na mali ya msingi ya sehemu, tunaweza kuleta ya kwanza ya sehemu hizi kwa fomu ambayo nambari na denominator itakuwa ndogo zaidi. Kwa kweli, ikiwa nambari na denominator ya sehemu 15/20 imegawanywa na 5, basi itakuwa sawa na 3/4, yaani 15/20 = 3/4.

Mabadiliko haya (upunguzaji wa wakati huo huo wa nambari na dhehebu kwa idadi sawa ya nyakati), ambayo hukuruhusu kupata sehemu na nambari kubwa na dhehebu kutoka kwa sehemu iliyo na nambari kubwa na denominator, lakini sawa kwa saizi na washiriki wadogo, inayoitwa kupunguzwa kwa sehemu.

Kwa hivyo, upunguzaji wa sehemu ni uingizwaji wake na sehemu nyingine sawa na maneno madogo, kwa kugawanya nambari na denominator kwa nambari sawa.

Tulipunguza sehemu ya 15/20 na tukaja kwa sehemu ya 3/4, ambayo haiwezi kupunguzwa tena, kwa sababu maneno yake 3 na 4 hayana mgawanyiko wa kawaida (isipokuwa moja). Sehemu kama hiyo inaitwa isiyoweza kupunguzwa. Kuna njia mbili unazoweza kuchukua wakati wa kupunguza sehemu. Njia ya kwanza ni kwamba sehemu hiyo hupunguzwa polepole, na sio mara moja, i.e. baada ya kupunguzwa kwa kwanza, sehemu inayoweza kupunguzwa hupatikana tena, ambayo hupunguzwa tena, na mchakato huu unaweza kuwa mrefu ikiwa nambari na dhehebu huonyeshwa kwa idadi kubwa. na kuwa na vigawanyiko vingi vya kawaida.

Hebu tuchukue sehemu 60/120 na tupunguze sequentially, kwanza kwa 2, tunapata 60/120 = 30/60 Sehemu mpya (30/60) pia inaweza kupunguzwa na 2, tunapata 30/60 = 15/30. Masharti ya sehemu mpya 15/30 yana vigawanyiko vya kawaida, kwa hivyo unaweza kupunguza sehemu hii kwa 3, unapata 15/30 = 5/10. Hatimaye, sehemu ya mwisho inaweza kupunguzwa kwa 5, yaani 5/10 = 1/2. Huu ni upunguzaji mfululizo wa sehemu.

Ni rahisi kujua kuwa sehemu hii (60/120) inaweza kupunguzwa mara moja na 60, na tutapata matokeo sawa. 60 ni nini kwa nambari 60 na 120? Kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida. Hii inamaanisha kuwa kupunguza sehemu na mgawanyiko mkubwa zaidi wa washiriki wake hufanya iwezekane kuileta mara moja kwa fomu ya sehemu isiyoweza kupunguzwa, kupita mgawanyiko wa kati. Hii ni njia ya pili ya kupunguza sehemu.

§ 86. Kupunguzwa kwa visehemu hadi vidogo vya kawaida vya kawaida.

Wacha tuchukue sehemu kadhaa:

Ikiwa tutaanza kulinganisha sehemu ya kwanza na ya pili (1/2 na 1/3), tutahisi ugumu fulani. Bila shaka, tunaelewa kuwa nusu ni zaidi ya theluthi moja, kwa kuwa katika kesi ya kwanza thamani imegawanywa katika sehemu mbili sawa, na katika kesi ya pili katika sehemu tatu sawa; lakini ni tofauti gani kati yao, bado ni ngumu kujibu. Jambo lingine ni sehemu ya pili na ya tatu (1/3 na 2/3), ni rahisi kuzilinganisha, kwani ni wazi mara moja kuwa sehemu ya pili ni chini ya theluthi na theluthi moja. Ni rahisi kuelewa kuwa katika kesi hizo tunapolinganisha sehemu na madhehebu sawa, hakuna ugumu, katika hali sawa wakati madhehebu ya sehemu zilizolinganishwa ni tofauti, usumbufu fulani hutokea. Thibitisha hili kwa kulinganisha data iliyobaki ya sehemu.

Kwa hiyo, swali linatokea: inawezekana, wakati wa kulinganisha sehemu mbili, ili kuhakikisha kuwa madhehebu ni sawa? Hii inaweza kufanywa kwa kuzingatia mali ya msingi ya sehemu, i.e. ikiwa tunaongeza dhehebu mara kadhaa, basi ili thamani ya sehemu isibadilike, nambari yake lazima iongezwe kwa kiwango sawa.

Kwa njia hii tunaweza kupunguza visehemu vilivyo na madhehebu tofauti hadi dhehebu moja.

Ikiwa ungependa kupunguza sehemu fulani kuwa dhehebu la kawaida, basi kwanza unahitaji kupata nambari ambayo inaweza kugawanywa na kiashiria cha kila moja ya sehemu hizi. Kwa hiyo, hatua ya kwanza katika mchakato wa kupunguza sehemu kwa dhehebu ya kawaida ni kutafuta nyingi zaidi ya kawaida kwa madhehebu yaliyotolewa. Baada ya idadi ndogo ya kawaida kupatikana, ni muhimu, kwa kuigawanya kwa kila dhehebu, kupata kwa kila sehemu kile kinachojulikana. kizidishi cha ziada. Hizi zitakuwa nambari zinazoonyesha ni mara ngapi nambari na denominator ya kila sehemu lazima iongezwe ili madhehebu yao yawe sawa. Fikiria mifano.

1. Wacha tupunguze sehemu 7/30 na 8/15 kwa dhehebu la kawaida. Pata kizidishio kidogo cha kawaida kwa madhehebu 30 na 15. Katika kesi hii, hii itakuwa denominator ya sehemu ya kwanza, yaani 30. Hii itakuwa denominator ya chini kabisa kwa sehemu 7/30 na 8/15. Sasa hebu tupate mambo ya ziada: 30: 30 = 1, 30: 15 = 2. Kwa hiyo, kwa sehemu ya kwanza, sababu ya ziada itakuwa 1, na kwa pili, 2. Sehemu ya kwanza itabaki bila kubadilika. Kuzidisha masharti ya sehemu ya pili kwa sababu ya ziada, tunaileta kwa dhehebu 30:

2. Hebu tulete sehemu tatu kwa denominator ya kawaida: 7/30, 11/60 na 3/70.

Wacha tutafute kwa madhehebu 30, 60 na 70 idadi ndogo ya kawaida:

Nambari isiyo ya kawaida zaidi itakuwa 2 2 3 5 7 = 420.

Hii itakuwa dhehebu la chini kabisa la sehemu hizi.

Sasa hebu tutafute mambo ya ziada: 420: 30 = 14; 420: 60 = 7; 420: 70 = 6. Kwa hiyo, kwa sehemu ya kwanza, sababu ya ziada itakuwa 14, kwa pili 7 na ya tatu 6. Kuzidisha masharti ya sehemu kwa vipengele vya ziada vinavyofanana, tunapata sehemu na madhehebu sawa:

3. Hebu tupunguze sehemu kwa denominator ya kawaida: 8/25 na 5/12. Madhehebu ya sehemu hizi (25 na 12) ni nambari za coprime. Kwa hiyo, nyingi ndogo zaidi zitapatikana kutokana na kuzidisha kwao: 25 x 12 \u003d 300. Sababu ya ziada kwa sehemu ya kwanza itakuwa 12, na kwa pili 25. Sehemu hizi zitachukua fomu:

Ili kupunguza sehemu hadi kiwango cha chini kabisa cha denominator, lazima kwanza utafute kizidishio kisicho cha kawaida zaidi kati ya madhehebu yote na ubaini sababu ya ziada kwa kila denominata, na kisha kuzidisha masharti yote mawili ya kila sehemu kwa kipengele cha ziada kinacholingana.

Baada ya kujifunza jinsi ya kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida, kulinganisha sehemu katika saizi haitaleta shida tena. Sasa tunaweza kulinganisha thamani ya sehemu zozote mbili, tukizileta kwanza kwa dhehebu moja.

Katika makala hii, tutafafanua seti ya nambari kamili, fikiria ni nambari gani zinazoitwa chanya na ambazo ni hasi. Pia tutaonyesha jinsi nambari kamili zinavyotumika kuelezea mabadiliko katika baadhi ya viwango. Wacha tuanze na ufafanuzi na mifano ya nambari kamili.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nambari nzima. Ufafanuzi, mifano

Kwanza, hebu tukumbuke nambari za asili ℕ. Jina lenyewe linaonyesha kuwa hizi ni nambari ambazo kwa kawaida zimetumika kuhesabu tangu zamani. Ili kufunika dhana ya nambari kamili, tunahitaji kupanua ufafanuzi wa nambari za asili.

Ufafanuzi 1. Nambari kamili

Nambari kamili ni nambari asilia, vinyume vyake, na nambari sifuri.

Seti ya nambari kamili inaashiriwa na herufi ℤ .

Seti ya nambari asilia ℕ ni sehemu ndogo ya nambari kamili ℤ. Kila nambari asilia ni nambari kamili, lakini sio kila nambari ni nambari asilia.

Inafuata kutoka kwa ufafanuzi kwamba nambari yoyote 1, 2, 3 ni nambari kamili. . , nambari 0 , pamoja na nambari - 1 , - 2 , - 3 , . .

Ipasavyo, tunatoa mifano. Nambari 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 ni nambari nzima.

Acha mstari wa kuratibu uchorwe kwa usawa na uelekezwe kulia. Wacha tuitazame ili kuibua eneo la nambari kamili kwenye mstari ulionyooka.

Sehemu ya kumbukumbu kwenye mstari wa kuratibu inafanana na nambari 0, na pointi zilizo kwenye pande zote za sifuri zinahusiana na integers chanya na hasi. Kila nukta inalingana na nambari kamili.

Sehemu yoyote kwenye mstari ulionyooka ambayo uratibu wake ni nambari kamili inaweza kufikiwa kwa kuweka kando idadi fulani ya sehemu za kitengo kutoka asili.

Nambari chanya na hasi

Kati ya nambari zote kamili, ni busara kutofautisha kati ya nambari chanya na hasi. Wacha tutoe ufafanuzi wao.

Ufafanuzi 2. Nambari kamili

Nambari kamili chanya ni nambari kamili zilizo na ishara ya kuongeza.

Kwa mfano, nambari ya 7 ni nambari kamili na ishara ya kuongeza, ambayo ni, nambari chanya. Kwenye mstari wa kuratibu, nambari hii iko upande wa kulia wa sehemu ya kumbukumbu, ambayo nambari 0 inachukuliwa. Mifano mingine ya nambari chanya: 12, 502, 42, 33, 100500.

Ufafanuzi 3. Nambari kamili hasi

Nambari kamili hasi ni nambari kamili zenye ishara ya kuondoa.

Mifano ya nambari hasi: - 528 , - 2568 , - 1 .

Nambari 0 hutenganisha nambari chanya na hasi na yenyewe si chanya wala hasi.

Nambari yoyote ambayo ni kinyume cha nambari chanya ni, kwa ufafanuzi, nambari hasi. Kinyume chake pia ni kweli. Uwiano wa nambari yoyote hasi ni nambari chanya.

Inawezekana kutoa uundaji mwingine wa ufafanuzi wa nambari hasi na chanya, kwa kutumia kulinganisha kwao na sifuri.

Ufafanuzi 4. Nambari kamili

Nambari kamili ni nambari kamili ambazo ni kubwa kuliko sifuri.

Ufafanuzi 5. Nambari kamili hasi

Nambari kamili hasi ni nambari kamili ambazo ni chini ya sifuri.

Ipasavyo, nambari chanya ziko upande wa kulia wa asili kwenye mstari wa kuratibu, na nambari hasi ziko upande wa kushoto wa sifuri.

Hapo awali tulisema kwamba nambari asilia ni sehemu ndogo ya nambari kamili. Hebu tufafanue jambo hili. Seti ya nambari za asili ni nambari chanya. Kwa upande wake, seti ya nambari hasi ni seti ya nambari kinyume na zile za asili.

Muhimu!

Nambari yoyote ya asili inaweza kuitwa nambari kamili, lakini nambari yoyote haiwezi kuitwa nambari asilia. Kujibu swali ikiwa nambari hasi ni za asili, mtu lazima aseme kwa ujasiri - hapana, sio.

Nambari kamili zisizo chanya na zisizo hasi

Hebu tupe ufafanuzi.

Ufafanuzi 6. Nambari kamili zisizo hasi

Nambari kamili zisizo hasi ni nambari kamili chanya na nambari sifuri.

Ufafanuzi 7. Nambari kamili zisizo chanya

Nambari kamili zisizo chanya ni nambari hasi na nambari sifuri.

Kama unaweza kuona, nambari ya sifuri sio chanya au hasi.

Mifano ya nambari kamili zisizo hasi: 52, 128, 0.

Mifano ya nambari kamili zisizo chanya: - 52 , - 128 , 0 .

Nambari isiyo hasi ni nambari kubwa kuliko au sawa na sifuri. Kwa hivyo, nambari kamili isiyo chanya ni nambari chini ya au sawa na sifuri.

Maneno "nambari isiyo chanya" na "nambari isiyo hasi" hutumiwa kwa ufupi. Kwa mfano, badala ya kusema kwamba nambari a ni nambari kamili kuliko au sawa na sifuri, unaweza kusema: a ni nambari kamili isiyo hasi.

Kutumia Nambari Wakati Unaelezea Mabadiliko ya Maadili

Nambari kamili zinatumika kwa nini? Kwanza kabisa, kwa msaada wao ni rahisi kuelezea na kuamua mabadiliko katika idadi ya vitu vyovyote. Hebu tuchukue mfano.

Acha idadi fulani ya crankshafts ihifadhiwe kwenye ghala. Ikiwa crankshafts nyingine 500 zitaletwa kwenye ghala, idadi yao itaongezeka. Nambari 500 inaonyesha tu mabadiliko (kuongezeka) kwa idadi ya sehemu. Ikiwa basi sehemu 200 zimechukuliwa kutoka kwa ghala, basi nambari hii pia itaonyesha mabadiliko katika idadi ya crankshafts. Wakati huu, katika mwelekeo wa kupunguza.

Ikiwa hakuna kitu kinachochukuliwa kutoka kwenye ghala, na hakuna kitu kinacholetwa, basi nambari 0 itaonyesha kutofautiana kwa idadi ya sehemu.

Urahisi wa wazi wa kutumia integers, tofauti na namba za asili, ni kwamba ishara yao inaonyesha wazi mwelekeo wa mabadiliko katika ukubwa (ongezeko au kupungua).

Kupungua kwa joto kwa digrii 30 kunaweza kuwa na sifa ya nambari hasi - 30, na ongezeko la digrii 2 - kwa integer chanya 2 .

Hapa kuna mfano mwingine kwa kutumia nambari kamili. Wakati huu, hebu fikiria kwamba tunapaswa kutoa sarafu 5 kwa mtu. Kisha, tunaweza kusema kwamba tuna - 5 sarafu. Nambari ya 5 inaelezea kiasi cha deni, na ishara ya minus inaonyesha kwamba lazima turudishe sarafu.

Ikiwa tunadaiwa sarafu 2 kwa mtu mmoja na 3 kwa mwingine, basi deni la jumla (sarafu 5) linaweza kuhesabiwa na sheria ya kuongeza nambari hasi:

2 + (- 3) = - 5

Ukiona kosa katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubofye Ctrl+Enter

Nambari kamili

Ufafanuzi wa nambari za asili ni nambari chanya. Nambari za asili hutumiwa kuhesabu vitu na kwa madhumuni mengine mengi. Hapa kuna nambari:

Hii ni safu ya asili ya nambari.
Sifuri ni nambari ya asili? Hapana, sifuri sio nambari asilia.
Kuna nambari ngapi za asili? Kuna seti isiyo na kikomo ya nambari za asili.
Nambari ndogo ya asili ni ipi? Moja ni nambari ndogo ya asili.
Nambari kubwa ya asili ni ipi? Haiwezi kubainishwa, kwa sababu kuna seti isiyo na kikomo ya nambari za asili.

Jumla ya nambari asilia ni nambari asilia. Kwa hivyo, kuongezwa kwa nambari za asili a na b:

Bidhaa ya nambari za asili ni nambari ya asili. Kwa hivyo, bidhaa ya nambari asilia a na b:

c daima ni nambari ya asili.

Tofauti ya nambari za asili Sio kila wakati nambari asilia. Ikiwa minuend ni kubwa kuliko subtrahend, basi tofauti ya nambari za asili ni nambari ya asili, vinginevyo sivyo.

Mgawo wa nambari za asili Hakuna nambari ya asili kila wakati. Ikiwa kwa nambari asilia a na b

ambapo c ni nambari asilia, inamaanisha kuwa a inaweza kugawanywa sawasawa na b. Katika mfano huu, a ni mgao, b ni mgawanyiko, c ni mgawo.

Kigawanyaji cha nambari asilia ni nambari asilia ambayo nambari ya kwanza inaweza kugawanywa kwa usawa.

Kila nambari ya asili inaweza kugawanywa na 1 na yenyewe.

Nambari rahisi za asili zinaweza tu kugawanywa na 1 na zenyewe. Hapa tunamaanisha kugawanywa kabisa. Mfano, namba 2; 3; 5; 7 inaweza kugawanywa tu na 1 na yenyewe. Hizi ni nambari rahisi za asili.

Moja haizingatiwi kuwa nambari kuu.

Nambari ambazo ni kubwa kuliko moja na ambazo sio kuu zinaitwa nambari za mchanganyiko. Mifano ya nambari za mchanganyiko:

Moja haizingatiwi kuwa nambari iliyojumuishwa.

Seti ya nambari asilia ina nambari moja, nambari kuu na nambari za mchanganyiko.

Seti ya nambari asilia inaonyeshwa na herufi ya Kilatini N.

Sifa za kuongeza na kuzidisha nambari za asili:

mali ya kubadilisha ya nyongeza

mali ya ushirika ya nyongeza

(a + b) + c = a + (b + c);

mali ya kubadilisha ya kuzidisha

mali ya ushirika ya kuzidisha

(ab)c = a(bc);

mali ya ugawaji wa kuzidisha

A (b + c) = ab + ac;

Nambari nzima

Nambari kamili ni nambari asilia, sifuri na kinyume cha nambari asilia.

Nambari zilizo kinyume na nambari asilia ni nambari hasi, kwa mfano:

1; -2; -3; -4;...

Seti ya nambari kamili inaonyeshwa na herufi ya Kilatini Z.

Nambari za busara

Nambari za busara ni nambari kamili na sehemu.

Nambari yoyote ya kimantiki inaweza kuwakilishwa kama sehemu ya muda. Mifano:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Inaweza kuonekana kutoka kwa mifano kwamba nambari yoyote kamili ni sehemu ya muda na kipindi cha sifuri.

Nambari yoyote ya kimantiki inaweza kuwakilishwa kama sehemu ya m/n, ambapo m ni nambari kamili na n ni nambari asilia. Wacha tuwakilishe nambari 3, (6) kutoka kwa mfano uliopita kama sehemu kama hiyo.

Kwa nambari nzima ni pamoja na nambari asilia, sifuri, na nambari kinyume na nambari asilia.

Nambari kamili ni nambari chanya.

Kwa mfano: 1, 3, 7, 19, 23, nk. Tunatumia nambari kama hizo kwa kuhesabu (kuna maapulo 5 kwenye meza, gari ina magurudumu 4, nk)

Barua ya Kilatini \ mathbb(N) - iliyoashiria seti ya nambari za asili.

Nambari za asili haziwezi kujumuisha hasi (mwenyekiti hawezi kuwa na idadi hasi ya miguu) na nambari za sehemu (Ivan hakuweza kuuza baiskeli 3.5).

Nambari zilizo kinyume na nambari asilia ni nambari hasi: -8, -148, -981, ....

Uendeshaji wa hesabu na nambari kamili

Unaweza kufanya nini na nambari kamili? Wanaweza kuzidishwa, kuongezwa na kupunguzwa kutoka kwa kila mmoja. Wacha tuchambue kila operesheni kwenye mfano maalum.

Nyongeza kamili

Nambari mbili zilizo na ishara zinazofanana huongezwa kama ifuatavyo: moduli za nambari hizi huongezwa na jumla inayosababishwa hutanguliwa na ishara ya mwisho:

(+11) + (+9) = +20

Utoaji wa nambari kamili

Nambari mbili zilizo na ishara tofauti huongezwa kama ifuatavyo: moduli ya nambari ndogo hutolewa kutoka kwa moduli ya nambari kubwa, na ishara ya nambari kubwa ya modulo imewekwa mbele ya jibu:

(-7) + (+8) = +1

Kuzidisha nambari kamili

Ili kuzidisha nambari moja hadi nyingine, unahitaji kuzidisha moduli za nambari hizi na kuweka ishara "+" mbele ya jibu lililopokelewa ikiwa nambari za asili zilikuwa na ishara sawa, na ishara "-" ikiwa nambari za asili zilikuwa. na ishara tofauti:

(-5) \cdoti (+3) = -15

(-3) \cdoti (-4) = +12

Unapaswa kukumbuka yafuatayo sheria nzima ya kuzidisha nambari:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Kuna sheria ya kuzidisha nambari kadhaa. Hebu tukumbuke:

Ishara ya bidhaa itakuwa "+" ikiwa idadi ya mambo yenye ishara hasi ni sawa na "-" ikiwa idadi ya mambo yenye ishara hasi ni isiyo ya kawaida.

(-5) \cdoti (-4) \cdoti (+1) \cdoti (+6) \cdoti (+1) = +120

Mgawanyiko wa nambari kamili

Mgawanyiko wa nambari mbili unafanywa kama ifuatavyo: moduli ya nambari moja imegawanywa na moduli ya nyingine, na ikiwa ishara za nambari ni sawa, basi ishara "+" imewekwa mbele ya mgawo unaosababisha. , na ikiwa ishara za nambari za asili ni tofauti, basi ishara "-" imewekwa.

(-25) : (+5) = -5

Sifa za kuongeza na kuzidisha nambari kamili

Wacha tuchambue sifa za kimsingi za kujumlisha na kuzidisha kwa nambari zozote a , b na c :

a + b = b + a - commutative mali ya kuongeza;
(a + b) + c \u003d a + (b + c) - mali ya ushirika ya kuongeza;
a \cdot b = b \cdot a - mali ya kubadilisha ya kuzidisha;
(a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- mali ya ushirika ya kuzidisha;
a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c ni mali ya ugawaji ya kuzidisha.

Nini maana ya integer

Kwa hivyo, fikiria ni nambari gani zinazoitwa nambari kamili.

Kwa hivyo, nambari kamili zitaashiria nambari kama hizi: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$, n.k.

Seti ya nambari za asili ni sehemu ndogo ya seti ya nambari kamili, i.e. asili yoyote itakuwa nambari kamili, lakini sio nambari yoyote kamili ni nambari asilia.

Nambari kamili chanya na nambari hasi kamili

Ufafanuzi 2

pamoja.

Nambari $3, 78, 569, 10450$ ni nambari chanya.

Ufafanuzi 3

ni nambari kamili zilizotiwa saini kuondoa.

Nambari $−3, −78, −569, -10450$ ni nambari hasi.

Maoni 1

Nambari sifuri hairejelei ama nambari kamili chanya au nambari hasi.

Nambari zote chanya ni nambari kamili kuliko sifuri.

Nambari zote hasi ni nambari kamili chini ya sifuri.

Seti ya nambari asilia ni seti ya nambari zote chanya, na seti ya vinyume vyote vya nambari asilia ni seti ya nambari zote hasi.

Nambari kamili zisizo chanya na nambari kamili zisizo hasi

Nambari zote chanya na nambari sifuri huitwa nambari kamili zisizo hasi.

Nambari kamili zisizo chanya zote ni nambari hasi na nambari $0$.

Maoni 2

Kwa njia hii, nambari nzima isiyo hasi ni nambari kamili kuliko sifuri au sawa na sifuri, na nambari kamili isiyo chanya ni nambari kamili chini ya sifuri au sawa na sifuri.

Kwa mfano, nambari kamili zisizo chanya: $−32, -123, 0, −5$, na nambari kamili zisizo hasi: $54, 123, 0.856 342.$

Maelezo ya kubadilisha maadili kwa kutumia nambari kamili

Nambari kamili hutumiwa kuelezea mabadiliko katika idadi ya vitu vyovyote.

Fikiria mifano.

Mfano 1

Tuseme duka linauza idadi fulani ya vitu. Wakati duka inapokea $ 520 ya vitu, idadi ya vitu katika duka itaongezeka, na idadi ya $ 520 $ inaonyesha mabadiliko mazuri katika nambari. Wakati duka linauza vitu vya $ 50, idadi ya vitu kwenye duka itapungua, na nambari ya $ 50 $ itaonyesha mabadiliko mabaya katika nambari. Ikiwa duka haitaleta wala kuuza bidhaa, basi idadi ya bidhaa itabaki bila kubadilika (yaani, tunaweza kuzungumza juu ya mabadiliko ya sifuri katika nambari).

Katika mfano ulio hapo juu, mabadiliko ya idadi ya bidhaa yanaelezewa kwa kutumia nambari kamili $520$, $−50$, na $0$, mtawalia. Thamani chanya ya nambari kamili $520$ inaonyesha mabadiliko chanya katika nambari. Thamani hasi ya nambari kamili $−50$ inaonyesha mabadiliko hasi katika nambari. Nambari kamili $0$ inaonyesha kutobadilika kwa nambari.

Nambari kamili ni rahisi kutumia, kwa sababu hakuna dalili wazi ya ongezeko la idadi au kupungua inahitajika - ishara ya integer inaonyesha mwelekeo wa mabadiliko, na thamani inaonyesha mabadiliko ya kiasi.

Kwa kutumia integers, unaweza kueleza si tu mabadiliko ya wingi, lakini pia mabadiliko katika thamani yoyote.

Fikiria mfano wa mabadiliko ya gharama ya bidhaa.

Mfano 2

Kuongezeka kwa gharama, kwa mfano, kwa rubles $ 20 $ huonyeshwa kwa kutumia integer chanya $ 20 $. Kupunguza gharama, kwa mfano, kwa rubles $ 5$ inaelezwa kwa kutumia integer hasi $ -5$. Ikiwa hakuna mabadiliko ya gharama, basi mabadiliko kama hayo yanaamuliwa kwa kutumia nambari kamili $0$.

Kando, zingatia thamani ya nambari hasi kama saizi ya deni.

Mfano 3

Kwa mfano, mtu ana rubles 5,000. Kisha, kwa kutumia integer chanya $ 5,000$, unaweza kuonyesha idadi ya rubles ambayo ana. Mtu lazima alipe kodi kwa kiasi cha rubles 7,000, lakini hana aina hiyo ya pesa; katika kesi hii, hali kama hiyo inaelezewa na nambari hasi $ -7,000$. Katika kesi hiyo, mtu ana $ -7,000 $ rubles, ambapo "-" inaonyesha deni, na idadi ya $ 7,000 $ inaonyesha kiasi cha deni.