Ni nini eneo la uso wa prism. Prism ya kawaida ya quadrangular
Kozi ya video "Pata A" inajumuisha mada zote muhimu kwa kufaulu kwa mtihani wa hisabati kwa alama 60-65. Kabisa kazi zote 1-13 za Profaili TUMIA katika hisabati. Inafaa pia kwa kupitisha MATUMIZI ya Msingi katika hisabati. Ikiwa unataka kupitisha mtihani na pointi 90-100, unahitaji kutatua sehemu ya 1 katika dakika 30 na bila makosa!
Kozi ya maandalizi ya mtihani wa darasa la 10-11, na vile vile kwa walimu. Kila kitu unachohitaji kutatua sehemu ya 1 ya mtihani katika hisabati (matatizo 12 ya kwanza) na tatizo la 13 (trigonometry). Na hii ni zaidi ya alama 70 kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja, na hakuna mwanafunzi wa alama mia au mwanadamu anayeweza kufanya bila wao.
Nadharia zote zinazohitajika. Ufumbuzi wa haraka, mitego na siri za mtihani. Majukumu yote muhimu ya sehemu ya 1 kutoka kwa Benki ya majukumu ya FIPI yamechanganuliwa. Kozi hiyo inatii kikamilifu mahitaji ya USE-2018.
Kozi hiyo ina mada 5 kubwa, masaa 2.5 kila moja. Kila mada inatolewa kutoka mwanzo, kwa urahisi na kwa uwazi.
Mamia ya kazi za mitihani. Matatizo ya maandishi na nadharia ya uwezekano. Rahisi na rahisi kukumbuka algorithms ya utatuzi wa shida. Jiometri. Nadharia, nyenzo za kumbukumbu, uchambuzi wa aina zote za kazi za USE. Stereometry. Ujanja wa kusuluhisha, karatasi muhimu za kudanganya, ukuzaji wa mawazo ya anga. Trigonometry kutoka mwanzo - kwa kazi 13. Kuelewa badala ya cramming. Maelezo ya kuona ya dhana ngumu. Aljebra. Mizizi, nguvu na logarithms, kazi na derivative. Msingi wa kutatua shida ngumu za sehemu ya 2 ya mtihani.
Polyhedra
Kitu kuu cha utafiti wa sterometry ni miili ya tatu-dimensional. Mwili ni sehemu ya nafasi iliyofungwa na uso fulani.
polihedroni Mwili ambao uso wake una idadi ndogo ya poligoni za ndege huitwa. Polyhedron inaitwa convex ikiwa iko upande mmoja wa ndege ya kila poligoni bapa kwenye uso wake. Sehemu ya kawaida ya ndege hiyo na uso wa polyhedron inaitwa makali. Nyuso za polihedroni mbonyeo ni poligoni mbonyeo bapa. Pande za nyuso zinaitwa kingo za polyhedron, na vipeo vipeo vya polyhedron.
Kwa mfano, mchemraba una miraba sita ambayo ni nyuso zake. Ina kingo 12 (pande za mraba) na wima 8 (vipeo vya mraba).
Polyhedra rahisi zaidi ni prisms na piramidi, ambazo tutajifunza zaidi.
Prism
Ufafanuzi na mali ya prism
mche inaitwa polihedron inayojumuisha poligoni mbili bapa zilizolala katika ndege sambamba zikiunganishwa na tafsiri sambamba, na sehemu zote zinazounganisha pointi zinazolingana za poligoni hizi. Polygons zinaitwa misingi ya prism, na sehemu zinazounganisha wima sambamba za poligoni ni kingo za upande wa prism.
Urefu wa prism inayoitwa umbali kati ya ndege za besi zake (). Sehemu inayounganisha wima mbili za prism ambayo sio ya uso mmoja inaitwa prism diagonal(). Prism inaitwa n-makaa ya mawe ikiwa msingi wake ni n-gon.
Prism yoyote ina mali zifuatazo, ambazo hufuata kutoka kwa ukweli kwamba misingi ya prism imejumuishwa na tafsiri sambamba:
1. Misingi ya prism ni sawa.
2. Mipaka ya upande wa prism ni sawa na sawa.
Uso wa prism umeundwa na besi na uso wa upande. Uso wa nyuma wa prism una msambamba (hii inafuata kutoka kwa mali ya prism). Eneo la uso wa nyuma wa prism ni jumla ya maeneo ya nyuso za nyuma.
prism moja kwa moja
Prism inaitwa moja kwa moja ikiwa kingo zake za upande ni perpendicular kwa besi. Vinginevyo, prism inaitwa oblique.
Nyuso za prism moja kwa moja ni rectangles. Urefu wa prism moja kwa moja ni sawa na nyuso zake za upande.
uso kamili wa prism ni jumla ya eneo la uso wa kando na maeneo ya besi.
Prism sahihi inaitwa prism ya kulia yenye poligoni ya kawaida kwenye msingi.
Nadharia 13.1. Eneo la uso wa nyuma wa prism moja kwa moja ni sawa na bidhaa ya mzunguko na urefu wa prism (au, sawa, kwa makali ya nyuma).
Ushahidi. Nyuso za upande wa mche iliyonyooka ni mistatili ambayo besi zake ni pande za poligoni kwenye misingi ya mche, na urefu ni kingo za kando za mche. Halafu, kwa ufafanuzi, eneo la uso wa upande ni:
,
iko wapi mzunguko wa msingi wa prism moja kwa moja.
Parallelepiped
Ikiwa parallelograms ziko kwenye misingi ya prism, basi inaitwa parallelepiped. Nyuso zote za parallelepiped ni parallelograms. Katika kesi hii, nyuso za kinyume za parallelepiped ni sawa na sawa.
Nadharia 13.2. Ulalo wa parallelepiped intersect katika hatua moja na hatua ya makutano imegawanywa katika nusu.
Ushahidi. Fikiria diagonal mbili za kiholela, kwa mfano, na. Kwa sababu nyuso za parallelepiped ni parallelograms, basi na, ambayo ina maana kwamba kulingana na T kuhusu mistari miwili ya moja kwa moja sambamba na ya tatu. Kwa kuongeza, hii ina maana kwamba mistari na uongo katika ndege moja (ndege). Ndege hii inakatiza ndege sambamba na kando ya mistari sambamba na. Kwa hiyo, quadrilateral ni parallelogram, na kwa mali ya parallelogram, diagonals yake na intersect na hatua ya makutano imegawanywa katika nusu, ambayo ilikuwa imethibitishwa.
Parallelepiped ya kulia ambayo msingi wake ni mstatili inaitwa mchemraba. Nyuso zote za cuboid ni rectangles. Urefu wa kingo zisizo sambamba za parallelepiped ya mstatili huitwa vipimo vyake vya mstari (vipimo). Kuna saizi tatu (upana, urefu, urefu).
Nadharia 13.3. Katika mchemraba, mraba wa mlalo wowote ni sawa na jumla ya miraba ya vipimo vyake vitatu. 
(imethibitishwa kwa kutumia Pythagorean T mara mbili).
Parallelepiped ya mstatili ambayo kingo zote ni sawa inaitwa mchemraba.
Kazi
13.1 Ni diagonal ngapi hufanya n- prism ya kaboni
13.2 Katika prism ya pembetatu iliyoinama, umbali kati ya kingo za kando ni 37, 13, na 40. Tafuta umbali kati ya uso mkubwa wa upande na ukingo wa upande mwingine.
13.3 Kupitia upande wa msingi wa chini wa prism ya kawaida ya triangular, ndege hutolewa ambayo inapita nyuso za upande pamoja na makundi, pembe kati ya ambayo ni. Pata angle ya mwelekeo wa ndege hii kwa msingi wa prism.
Prisms tofauti ni tofauti kutoka kwa kila mmoja. Wakati huo huo, wana mengi sawa. Ili kupata eneo la msingi wa prism, unahitaji kujua ni aina gani inaonekana.
Nadharia ya jumla
Prism ni polihedron yoyote ambayo pande zake zina umbo la parallelogram. Zaidi ya hayo, polyhedron yoyote inaweza kuwa chini yake - kutoka pembetatu hadi n-gon. Zaidi ya hayo, misingi ya prism daima ni sawa kwa kila mmoja. Nini haitumiki kwa nyuso za upande - zinaweza kutofautiana kwa kiasi kikubwa kwa ukubwa.
Wakati wa kutatua shida, sio tu eneo la msingi wa prism ambayo inakabiliwa. Inaweza kuwa muhimu kujua uso wa upande, yaani, nyuso zote ambazo sio msingi. Uso kamili utakuwa tayari umoja wa nyuso zote zinazounda prism.
Wakati mwingine urefu huonekana katika kazi. Ni perpendicular kwa besi. Ulalo wa polihedron ni sehemu inayounganisha kwa jozi wima zozote mbili ambazo sio za uso mmoja.
Ikumbukwe kwamba eneo la msingi wa prism moja kwa moja au iliyoelekezwa haitegemei angle kati yao na nyuso za upande. Ikiwa wana takwimu sawa katika nyuso za juu na za chini, basi maeneo yao yatakuwa sawa.
prism ya pembe tatu
Ina kielelezo chenye wima tatu kwenye msingi, yaani, pembetatu. Inajulikana kuwa tofauti. Ikiwa basi inatosha kukumbuka kuwa eneo lake limedhamiriwa na nusu ya bidhaa za miguu.
Nukuu za hisabati inaonekana kama hii: S = ½ av.
Ili kujua eneo la msingi katika fomu ya jumla, fomula ni muhimu: Heron na ile ambayo nusu ya upande huchukuliwa kwa urefu unaotolewa kwake.
Fomula ya kwanza inapaswa kuandikwa kama hii: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Ingizo hili lina nusu ya mzunguko (p), yaani, jumla ya pande tatu zilizogawanywa na mbili.
Pili: S = ½ n a * a.
Ikiwa unataka kujua eneo la msingi wa prism ya triangular, ambayo ni ya kawaida, basi pembetatu inageuka kuwa sawa. Ina fomula yake mwenyewe: S = ¼ a 2 * √3.
prism ya quadrangular
Msingi wake ni yoyote ya quadrilaterals inayojulikana. Inaweza kuwa mstatili au mraba, parallelepiped au rhombus. Katika kila kisa, ili kuhesabu eneo la msingi wa prism, utahitaji formula yako mwenyewe.
Ikiwa msingi ni mstatili, basi eneo lake limedhamiriwa kama ifuatavyo: S = av, ambapo a, b ni pande za mstatili.
Linapokuja suala la prism ya quadrangular, eneo la msingi la prism ya kawaida huhesabiwa kwa kutumia fomula ya mraba. Kwa sababu ni yeye anayelala chini. S \u003d a 2.
Katika kesi wakati msingi ni parallelepiped, usawa wafuatayo utahitajika: S \u003d a * n a. Inatokea kwamba upande wa parallelepiped na moja ya pembe hutolewa. Kisha, ili kuhesabu urefu, utahitaji kutumia formula ya ziada: na \u003d b * dhambi A. Zaidi ya hayo, angle A iko karibu na upande "b", na urefu ni kinyume na pembe hii.
Ikiwa rhombus iko chini ya prism, basi formula sawa itahitajika ili kuamua eneo lake kama kwa parallelogram (kwa kuwa ni kesi maalum). Lakini pia unaweza kutumia hii: S = ½ d 1 d 2. Hapa d 1 na d 2 ni diagonal mbili za rhombus.
Prism ya pentagonal ya mara kwa mara
Kesi hii inahusisha kugawanya poligoni katika pembetatu, maeneo ambayo ni rahisi kujua. Ingawa hutokea kwamba takwimu zinaweza kuwa na idadi tofauti ya wima.
Kwa kuwa msingi wa prism ni pentagon ya kawaida, inaweza kugawanywa katika pembetatu tano za usawa. Kisha eneo la msingi wa prism ni sawa na eneo la pembetatu kama hiyo (formula inaweza kuonekana hapo juu), ikizidishwa na tano.
Prism ya mara kwa mara ya hexagonal
Kulingana na kanuni iliyoelezewa kwa prism ya pentagonal, inawezekana kugawanya hexagon ya msingi katika pembetatu 6 za usawa. Njia ya eneo la msingi wa prism kama hiyo ni sawa na ile iliyopita. Ni ndani yake tu inapaswa kuzidishwa na sita.
Fomula itaonekana kama hii: S = 3/2 na 2 * √3.
Kazi
Nambari 1. Mstari wa moja kwa moja wa kawaida hutolewa. Ulalo wake ni 22 cm, urefu wa polyhedron ni cm 14. Kuhesabu eneo la msingi wa prism na uso mzima.
Suluhisho. Msingi wa prism ni mraba, lakini upande wake haujulikani. Unaweza kupata thamani yake kutoka kwa diagonal ya mraba (x), ambayo inahusiana na diagonal ya prism (d) na urefu wake (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. Kwa upande mwingine, sehemu hii "x" ni hypotenuse katika pembetatu ambayo miguu yake ni sawa na upande wa mraba. Hiyo ni, x 2 \u003d a 2 + a 2. Kwa hivyo, zinageuka kuwa 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Badilisha nambari 22 badala ya d, na ubadilishe "n" na thamani yake - 14, zinageuka kuwa upande wa mraba ni cm 12. Sasa ni rahisi kujua eneo la msingi: 12 * 12 \u003d 144 cm 2. .
Ili kujua eneo la uso mzima, unahitaji kuongeza mara mbili ya thamani ya eneo la msingi na mara nne upande. Mwisho ni rahisi kupata kwa formula ya mstatili: kuzidisha urefu wa polyhedron na upande wa msingi. Hiyo ni, 14 na 12, nambari hii itakuwa sawa na 168 cm 2. Jumla ya eneo la prism linapatikana kuwa 960 cm 2.
Jibu. Sehemu ya msingi ya prism ni 144 cm2. Uso mzima - 960 cm 2 .
Nambari 2. Dana Katika msingi uongo pembetatu na upande wa cm 6. Katika kesi hii, diagonal ya uso wa upande ni cm 10. Kuhesabu maeneo: msingi na uso wa upande.
Suluhisho. Kwa kuwa prism ni ya kawaida, msingi wake ni pembetatu ya usawa. Kwa hiyo, eneo lake linageuka kuwa sawa na mara 6 za mraba ¼ na mizizi ya mraba ya 3. Hesabu rahisi husababisha matokeo: 9√3 cm 2. Hili ni eneo la msingi mmoja wa prism.
Nyuso zote za upande ni sawa na ni rectangles na pande za cm 6 na 10. Ili kuhesabu maeneo yao, inatosha kuzidisha namba hizi. Kisha zizidishe kwa tatu, kwa sababu prism ina nyuso nyingi za upande. Kisha eneo la uso wa upande limejeruhiwa 180 cm 2.
Jibu. Maeneo: msingi - 9√3 cm 2, uso wa upande wa prism - 180 cm 2.
Ufafanuzi. Prism- hii ni polihedron, wima zote ambazo ziko katika ndege mbili zinazofanana, na katika ndege hizo mbili kuna nyuso mbili za prism, ambazo ni polygons sawa na pande zinazofanana, na kingo zote ambazo hazijalala katika hizi. ndege ziko sambamba.
Nyuso mbili zinazofanana zinaitwa misingi ya prism(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Nyuso zingine zote za prism zinaitwa nyuso za upande(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Nyuso zote za upande huunda uso wa upande wa prism .
Nyuso zote za upande wa prism ni parallelograms .
Kingo ambazo hazilala kwenye besi huitwa kingo za nyuma za prism ( AA 1, B.B.1, CC 1, DD 1, EE 1).
Prism Diagonal sehemu inaitwa, miisho yake ni vipeo viwili vya prism ambavyo havilala kwenye moja ya nyuso zake ( AD 1).
Urefu wa sehemu inayounganisha besi za prism na perpendicular kwa besi zote mbili kwa wakati mmoja inaitwa. urefu wa prism .
Uteuzi:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Kwanza, kwa mpangilio wa njia ya kupita, wima za msingi mmoja zinaonyeshwa, na kisha, kwa mpangilio sawa, wima za nyingine; ncha za kila makali ya upande huteuliwa na herufi zile zile, wima tu ziko ndani. msingi mmoja unaonyeshwa na herufi bila faharisi, na kwa nyingine - na faharisi)
Jina la prism linahusishwa na idadi ya pembe katika takwimu iliyo chini yake, kwa mfano, katika Mchoro 1, msingi ni pentagon, hivyo prism inaitwa. prism ya pentagonal. Lakini tangu prism kama hiyo ina nyuso 7, basi heptahedron(Nyuso 2 ndio msingi wa prism, nyuso 5 ni sambamba, ni nyuso zake za upande)
Miongoni mwa prisms moja kwa moja, aina fulani inasimama: prisms ya kawaida.
Prism moja kwa moja inaitwa sahihi, ikiwa besi zake ni poligoni za kawaida.
Parallelepiped
Parallelepiped- Hii ni prism ya quadrangular, ambayo chini yake iko parallelogram (oblique parallelepiped). Parallelepiped ya kulia- parallelepiped ambayo kingo zake za nyuma ni za kawaida kwa ndege za msingi.mchemraba- parallelepiped ya kulia ambayo msingi wake ni mstatili.
Sifa na nadharia:
Baadhi ya sifa za parallelepiped ni sawa na sifa zinazojulikana za parallelogram. Pipu ya parallele ya mstatili yenye vipimo sawa inaitwa mchemraba
.Mchemraba una nyuso zote miraba sawa. Mraba wa mshazari ni sawa na jumla ya miraba ya vipimo vyake vitatu. 
,
ambapo d ni diagonal ya mraba;
a - upande wa mraba.
Wazo la prism hutolewa na:
- miundo mbalimbali ya usanifu;
- Toys za watoto;
- masanduku ya kufunga;
- vitu vya wabunifu, nk.
Jumla na eneo la nyuma la prism
Jumla ya eneo la prism ni jumla ya maeneo ya nyuso zake zote Eneo la uso wa baadaye inaitwa jumla ya maeneo ya nyuso zake za upande. misingi ya prism ni poligoni sawa, basi maeneo yao ni sawa. Ndiyo maanaS full \u003d S upande + 2S kuu,
wapi S kamili- jumla ya eneo la uso, S upande- eneo la uso wa upande, S kuu- eneo la msingi
Eneo la uso wa nyuma wa prism moja kwa moja ni sawa na bidhaa ya mzunguko wa msingi na urefu wa prism..
S upande\u003d P kuu * h,
wapi S upande ni eneo la uso wa nyuma wa prism moja kwa moja,
P kuu - mzunguko wa msingi wa prism moja kwa moja,
h ni urefu wa prism moja kwa moja, sawa na makali ya upande.
Kiasi cha Prism
Kiasi cha prism ni sawa na bidhaa ya eneo la msingi na urefu.
Polygon yoyote inaweza kulala chini ya prism - pembetatu, quadrilateral, nk. Misingi yote miwili ni sawa, na ipasavyo, ambayo pembe za nyuso zinazofanana zimeunganishwa kwa kila mmoja, zinafanana kila wakati. Katika msingi wa prism ya kawaida kuna poligoni ya kawaida, ambayo ni, ambayo pande zote ni sawa. Katika prism moja kwa moja, kando kati ya nyuso za upande ni perpendicular kwa msingi. Katika kesi hii, poligoni yenye idadi yoyote ya pembe inaweza kulala chini ya prism moja kwa moja. Prism ambayo msingi wake ni parallelogram inaitwa parallelepiped. Mstatili ni kesi maalum ya parallelogram. Ikiwa takwimu hii iko kwenye msingi, na nyuso za upande ziko kwenye pembe za kulia kwa msingi, parallelepiped inaitwa mstatili. Jina la pili la mwili huu wa kijiometri ni mstatili.
