Algebra óra "Identitások. Azonos kifejezések transzformációja" témában. Kifejezés konvertálása. Identitástranszformációk 4 mely azonos kifejezéseket ismeri

Identitás transzformációk

1. Az identitás fogalma. Az azonos transzformációk főbb típusai és vizsgálatuk szakaszai.

A kifejezések és képletek különféle transzformációinak tanulmányozása foglalja el a tanulási idő legkevesebb részét az iskolai matematika során. A legegyszerűbb ^ "" formációk, amelyek az aritmetikai műveletek tulajdonságain alapulnak, már általános iskolában vannak. De a transzformációk végrehajtásához szükséges készségek és képességek kialakításának fő terhét az iskolai algebra 1> menete viseli, ez kapcsolódik:

az elvégzett átalakítások számának meredek növekedésével, azok sokszínűségével;

a tevékenységek bonyolításával azok alátámasztására és az alkalmazhatóság feltételeinek tisztázására;

i) az identitás, azonos transzformáció, ekvivalens transzformáció, logikai következmény általánosított fogalmainak kiosztásával és tanulmányozásával.

Az azonos transzformációk sora az alábbi fejlesztést kapja az alapiskola algebrai tantárgyában:

,4 b osztály - a zárójelek kinyitása, hasonló kifejezések előállítása, vegye ki - M (Chsho faktor a zárójelekből;

7 Osztály - egész és tört kifejezések azonos transzformációja;

H osztály - négygyököt tartalmazó kifejezések azonos transzformációi;

( > osztály- azonos transzformációi trigonometrikus kifejezések és mmrizsny tartalmaz egy fokot egy racionális kitevő.

Az azonos transzformációk sora az algebratanfolyam egyik fontos ideológiai vonala. Ezért az 5-6. évfolyamon a matematika tanítását a niKiiM úgy építi fel, hogy a tanulók már ezen az évfolyamon elsajátítsák a legegyszerűbb azonos transzformációk készségeit (anélkül, hogy az „azonos módon különböző transzformációk” kifejezést használnák). Ezek a készségek akkor alakulnak ki, amikor egy gyakorlatot hajtunk végre a hasonló kifejezések redukálására, zárójelek felnyitására és zárójelekbe helyezésére, tényező kihúzására a zárójelekből stb. Figyelembe veszik a numerikus és alfabetikus kifejezések legegyszerűbb transzformációit is. Ezen a tanulási szinten olyan transzformációkat sajátítanak el, amelyeket közvetlenül az aritmetikai műveletek törvényei és tulajdonságai alapján hajtanak végre.

Az 5-6. osztályos feladatok főbb típusai, amelyek megoldásában az aritmetikai műveletek tulajdonságait és törvényszerűségeit aktívan alkalmazzák, és amelyek révén az azonos transzformációk készsége kialakul, a következők:

algoritmusok alátámasztása a vizsgált numerikus halmazok számain végzett műveletek végrehajtására;

egy numerikus kifejezés értékeinek kiszámítása a legracionálisabb módon;

a numerikus kifejezések értékeinek összehasonlítása a megadott műveletek végrehajtása nélkül;

a szó szerinti kifejezések egyszerűsítése;

két szó szerinti kifejezés értékének egyenlőségének bizonyítéka stb.

Fejezd ki a 153-as számot bittagok összegeként; két szám különbségeként, két szám szorzataként.

Fejezd ki a 27-es számot három azonos tényező szorzataként!

Ezek a gyakorlatok ugyanazon szám különböző jelölési formákban történő ábrázolására szolgálnak az azonos transzformációk fogalmának asszimilációjához. Kezdetben ezek az ábrázolások tetszőlegesek lehetnek, a jövőben - céltudatosak. Például a bittagok összegeként való ábrázolást a természetes számok „oszlopban” való összeadásának szabályainak magyarázatára használják, a „kényelmes” számok összege vagy különbségeként történő megjelenítést különféle szorzatok gyors számításaira használják, és a faktorok szorzataként történő ábrázolást különféle törtkifejezések egyszerűsítésére használják.

Keresse meg a 928 36 + 72 36 kifejezés értékét.

A kifejezés értékének racionális kiszámítása a szorzás eloszlási törvényének az összeadásra vonatkozó felhasználásán alapul: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36 000.

A matematika iskolai tantárgyán az alfanumerikus kifejezések és képletek transzformációinak alkalmazásának elsajátításának következő szakaszai különíthetők el.

színpad. Az algebra kezdetei. Ebben a szakaszban az átalakítások osztatlan rendszerét alkalmazzák; azt a képlet egyik vagy mindkét részén végrehajtandó műveletek szabályai képviselik.

Példa. Egyenletek megoldása:

a) 5x - bx = 2; b) 5x = 3x + 2; ban ben) 6 (2-4 év) + 5 év = 3 (1 - Zu).

A megoldás általános ötlete, hogy ezeket a képleteket több szabály segítségével leegyszerűsítsék. Az első feladatban az egyszerűsítés az azonosság alkalmazásával érhető el: 5x- bx= (5-3)x. Az ezen az azonosságon alapuló identitástranszformáció az adott egyenletet egy ekvivalens urshshomie-vé alakítja 2x - 2.

Második egyenlet megoldásához nemcsak azonos, hanem paranoid transzformációt is igényel; mint ilyen, az ||n jogot használja úgy, hogy az egyenlet elemeit az egyenlet egyik részéből a másikba egy módosított sikkevel átviszi. Egy ilyen egyszerű feladat megoldása során, mint a b), mindkét transz transzformációban használt mon - azonos és egyenértékű. Ezt a javaslatot nehézkesebb feladatoknál is használják, például a harmadiknál.

Az első szakasz mólja a legegyszerűbb egyenletek gyors megoldásának megtanítása, a függvényeket meghatározó képletek egyszerűsítése, a cselekvések tulajdonságai alapján racionális számítások elvégzése.

cinege. Sajátos transzformációs típusok alkalmazásához szükséges készségek kialakításaII dönthető Az identitás és az identitástranszformáció fogalma kifejezetten be van vezetve az shn "sbra 7 osztályban. Így például Yu. N. Makarychev "Algebra 7" np tankönyvében bevezetik az azonos kifejezések fogalmát: változók, kém egyformán egyenlő" akkor az azonosság fogalma: „A változók bármely értékéhez párosított egyenlőséget nevezünk identitás."

11 példát mutatunk be:

A tankönyvben A.G. Mordkovich "Algebra 7" azonnal megjelenik, és az identitás finomított fogalma: "Identitás a helyes egyenlőség minden megengedettnél alkotó változóinak értékeit.

Az azonos transzformáció fogalmának bevezetésekor mindenekelőtt el kell vetnünk az azonos transzformációk tanulmányozásának célszerűségét. Ehhez különféle gyakorlatokat mérlegelhet a kifejezések jelentésének megtalálásához.

liiiipiiMep, keresse meg a 37.1x + 37,ly amikor kifejezés értékét x= 0,98, y = 0,02. A szorzás eloszlási tulajdonságát felhasználva a 37,1l + 37,1 kifejezést nál nél a 37.1(x +) kifejezéssel számítható ki y), ugyanúgy egyenlő vele. Még lenyűgözőbb féreg 1 megoldása a következő feladathoz: keresse meg a kifejezés értékét

() - (a-6) _ p r i. a) q = z > ^ = 2; b) a = 121, b - 38; c) a = 2,52, b= 1 -.

ab 9

Az elvégzett átalakítások után kiderül, hogy ennek a kifejezésnek az értékkészlete egyetlen 4-es számból áll.

Yu. N. Makarychev „Algebra 7” tankönyvében az identitástranszformáció fogalmának bevezetését egy példa motiválja: „Az xy-da kifejezés értékének meghatározása x = 2,3 esetén; y = 0,8; z = 0,2, akkor 3 műveletet kell végrehajtania: HU - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.

11 Meg kell jegyezni a transzformációk egy fajtáját, amely a Kuron algebrára és az elemzés kezdetére jellemző. Ezek olyan kifejezések transzformációi, amelyek tartalmazzák átállás előtti,és a differenciálás és az integráció szabályaira épülő átalakítások. A fő különbség ezen „analitikus” és „algebrai” transzformációk között annak a halmaznak a természetében rejlik, amelyen a változók átfutnak az azonosságokban. Az algebrai azonosságokban a változók átfutnak számú területekés az analitikus halmazokban ezek a halmazok bizonyosan vándorolnak sok funkciót. Például az összeg megkülönböztetésének szabálya: (Z "+g)" itt / és g a halmazokon átfutó változók

I I de differenciálható függvények közös definíciós tartománnyal. Külsőleg ezek a transzformációk hasonlóak az algebrai típusú transzformációkhoz, ezért néha azt mondják, hogy "határok algebra", "differenciálási algebra".

Az algebra iskolai tantárgyban és az algebrai majriálisban tanult azonosságok és az analízis kezdetei a következőkre oszthatók: két osztály.

Az első a redukált szorzás azonosságaiból áll, tisztességes be

av v.

iioGom kommutatív gyűrű, és az azonosságok - =-,a* 0, mindenben korrekt

Om mező.

A második osztályt az aritmetikai kifejezéseket és az alapvető elemi függvényeket összekötő azonosságok, valamint az elemi összetételek alkotják.Hhixfunkciókat. Ennek az osztálynak a legtöbb azonosságának van egy közös matematikai alapja is, amely abban áll, hogy a hatvány-, az exponenciális és a logaritmikus függvények különböző numerikus csoportok izomorfizmusai. Például van egy állítás: létezik a valós számok additív csoportjának egyedi folyamatos izomorf leképezése / a pozitív valós számok multiplikatív csoportjába, amely alatt az o egység egy adott számra van leképezve. a> 0, egy F 1; ezt a leképezést egy bázisú reciprok függvény adja a:/(X)= a. Hasonló állítások léteznek a hatvány- és logaritmikus függvényekre is.

Mindkét osztály identitásának tanulmányozásának módszertana számos közös vonást tartalmaz. Általában az iskolai matematika kurzusban tanulmányozott identitás-transzformációk a következők:

gyököket és fokokat tartalmazó kifejezések átalakítása törtkitevővel;

a végpontig áthaladó kifejezések transzformációi, illetve a differenciálás és az integráció szabályain alapuló transzformációk.

Ez az eredmény csak két művelet végrehajtásával érhető el, a kifejezés használatával x (y-z), azonosan egyenlő a kifejezéssel xy-xz:x(y-z)= 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Egyszerűsítettük a számításokat a kifejezés lecserélésével xy-xz azonosan egyenlő kifejezés x (y - z).

Az egyik kifejezés helyettesítését egy másikkal, azzal azonosan nevezzük identitás-átalakítás vagy egyszerűen kifejezés transzformáció.

A különféle típusú transzformációk fejlesztése ebben a szakaszban a rövidített szorzóképletek bevezetésével kezdődik. Ezután megvizsgáljuk a hatványra emelés műveletéhez kapcsolódó transzformációkat az elemi függvények különféle osztályaival - exponenciális, hatvány, logaritmikus, trigonometrikus. Az ilyen típusú transzformációk mindegyike átesik egy tanulmányi szakaszon, amelyben a figyelem a jellemző tulajdonságaik asszimilációjára összpontosul.

Az anyagfelhalmozással lehetővé válik az azonos és egyenértékű transzformációk fogalmának kiemelése és ennek alapján bevezetése.

Megjegyzendő, hogy az azonos transzformáció fogalmát az algebra iskolai tantárgyában nem teljes általánosságban, hanem csak kifejezésekre alkalmazva adjuk meg. Az átalakítások két csoportra oszthatók: azonos átalakulások kifejezés transzformációk, és egyenértékű - képlet transzformációk. Abban az esetben, ha a képlet egy részének egyszerűsítésére van szükség, ebben a képletben egy kifejezés kiemelésre kerül, amely argumentumként szolgál az alkalmazott azonos transzformációhoz. Például az egyenletek 5x - Zx - 2 és 2x = 2 nemcsak egyenértékűnek, hanem azonosnak is tekinthetők.

Az algebra tankönyveiben Sh.A. Alimova és mások szerint az identitás fogalmát a 7-8. osztályban nem vezetik be kifejezetten, és csak a 9. évfolyamon a „Trigonometrikus identitások” témakörben az 1. feladat megoldása során: „Bizonyítsa be, hogy afkk, nak nek < eZ , érvényes az 1 + ctg 2 a = -\-» egyenlőség, ez a fogalom kerül bevezetésre. Itt elmagyarázzák a tanulóknak, hogy bűn a

a megadott egyenlőség „a minden megengedett értékére érvényes, pl. úgy, hogy a bal és jobb oldali része értelmes legyen. Az ilyen egyenlőségeket ún identitások, és az ilyen egyenlőségek bizonyítására szolgáló problémákat azonosságok bizonyítási problémáinak nevezzük.

III szakasz. Transzformációk integrált rendszerének szervezése (szintézis).

Ennek a szakasznak a fő célja egy rugalmas és hatékony apparátus kialakítása, amely alkalmas különféle oktatási feladatok megoldására.

A transzformációk tanulmányozásának második szakaszának alkalmazása az alapiskola teljes algebrai kurzusa során történik. A harmadik szakaszba való áttérés a kurzus utolsó megismétlése során történik a már ismert, részenként tanult anyag megértése során, bizonyos átalakítások szerint.

Az algebra és az elemzés kezdete során az alapvetően már kialakult, integrált transzformációrendszert fokozatosan továbbfejlesztjük. Néhány új típusú transzformáció is hozzáadódik hozzá (például trigonometrikus és logaritmikus függvényekhez kapcsolódóan), de ezek csak gazdagítják, bővítik a képességeit, de nem változtatnak a szerkezetén.

Ezen új transzformációk tanulmányozásának módszertana gyakorlatilag nem tér el az algebra során használt módszertől.

Meg kell jegyezni a transzformáció egy típusát, amely az algebra tanfolyamaira és az elemzés kezdetére jellemző. Ezek olyan kifejezések transzformációi, amelyek tartalmazzák korlátozza az átmeneteket, és a differenciálás és az integráció szabályaira épülő átalakítások. A fő különbség ezen "analitikus" és "algebrai" transzformációk között a halmaz karakterében rejlik, amelyen a változók átfutnak az azonosságokban. Az algebrai azonosságokban a változók átfutnak számú területek míg az analitikus halmazokban bizonyos sok funkciót. Például az összeg-differenciálási szabály: ( f + g )" = f + g "; itt áporodott szag - szorzó differenciálható függvényeken futó változók közös definíciós tartománnyal. Külsőleg ezek a transzformációk hasonlóak az algebrai típusú transzformációkhoz, ezért néha azt mondják, hogy "határok algebra", "differenciálási algebra".

Az algebra iskolai kurzusban tanult identitások és az algebra tantárgy algebrai anyaga és az elemzés kezdetei feloszthatók két osztály.

Az első a redukált szorzás azonosságaiból áll, tisztességes be

tetszőleges kommutatív gyűrű, és az azonosság - \u003d -, a * 0, bármely

ac s

A második osztályt az aritmetikai műveleteket és az alapvető elemi függvényeket összekötő azonosságok, valamint az elemi függvények kompozíciói alkotják. Ennek az osztálynak a legtöbb azonosságának van egy közös matematikai alapja is, amely abban áll, hogy a hatvány-, az exponenciális és a logaritmikus függvények különböző numerikus csoportok izomorfizmusai. Például van egy állítás: létezik a valós számok additív csoportjának egyedi folytonos izomorf leképezése / a pozitív valós számok multiplikatív csoportjába, amely alatt az adott számra van leképezve. a> 0, egy F egy; ezt a leképezést az i bázisú exponenciális függvény adja: / (x) = a*. Hasonló állítások léteznek a hatvány- és logaritmikus függvényekre is.

Mindkét osztály identitásának tanulmányozásának módszertana számos közös vonást tartalmaz. Általában az iskolai matematika kurzusban tanulmányozott identitás-transzformációk a következők:

algebrai kifejezések transzformációi;

gyököket és fokokat tartalmazó kifejezések átalakítása tört kitevővel;

trigonometrikus kifejezések transzformációi;

hatványokat és logaritmusokat tartalmazó kifejezések átalakítása;

határátmeneteket tartalmazó kifejezések transzformációi, valamint szabályokon, differenciáláson és integráción alapuló transzformációk.

2. A feladatrendszer felépítésének jellemzői az azonos transzformációk vizsgálatában

Bármilyen feladatrendszer szervezésének alapelve ezek bemutatása az egyszerűtől a bonyolultig figyelembe véve a tanulók számára a megvalósítható nehézségek leküzdését és a problémahelyzetek kialakítását. Ez az alapelv konkretizálást igényel a tananyag jellemzőihez képest. Adjunk példát egy gyakorlatrendszerre a következő témában: „Az összeg négyzete és

két szám különbsége.

I la ez az alapvető gyakorlatrendszer véget ér. Egy ilyen rendszernek biztosítania kell az alapanyag asszimilációját.

A következő gyakorlatok (17-19) lehetővé teszik a tanulók számára, hogy a tipikus hibákra összpontosítsanak, és hozzájáruljanak érdeklődésük és kreatív képességeik fejlesztéséhez.

A gyakorlatok száma a rendszerben minden esetben lehet kevesebb vagy több, de végrehajtásuk sorrendje azonos legyen.

A matematika módszertanának különféle feladatrendszereinek leírásához használja a fogalmat is gyakorlati ciklus. A gyakorlati ciklusra jellemző, hogy a tanulmányozás több szempontja és az anyag elrendezésének módszerei gyakorlatsorba kapcsolódnak. Az azonos transzformációk kapcsán a ciklus fogalma a következőképpen adható meg.

Egy-egy identitás vizsgálatához egy gyakorlati ciklus kapcsolódik, amely köré más identitások csoportosulnak, amelyek azzal természetes kapcsolatban állnak. A "stop the loop with végrehajtó igénylő feladatokat tartalmaz elismerik-< ii ban ben sem a figyelembe vett azonosság alkalmazhatósága. A vizsgált identitás különféle numerikus tartományokon történő számítások elvégzésére szolgál.

A feladatok minden ciklusban fel vannak osztva két csoport. Nak nek első olyan feladatokat tartalmaznak, amelyeket az identitás első megismerése során végeznek el. Több leckében adják elő, amelyeket egy téma egyesít. Második csoport gyakorlat összekapcsolja a vizsgált identitást különféle alkalmazásokkal. Az ebbe a csoportba tartozó gyakorlatok általában szétszórva vannak különböző témákban.

A ciklus leírt felépítése az adott típusú transzformációk alkalmazásához szükséges készségek kialakításának szakaszára vonatkozik. A végső szakaszban - (A szintézis folyamata, a ciklusok módosulnak. Először, mindkét shdapia csoport egyesül, kialakul "letekert" ciklus , és írja le az első csoportból a megfogalmazás vagy a végrehajtás bonyolultsága szempontjából legegyszerűbbet. A többi feladattípus nehezebbé válik. Másodszor, a különböző identitásokhoz kapcsolódó ciklusok összeolvadása történik, emiatt megnő az egyik vagy másik identitás alkalmazhatóságát felismerő cselekvések szerepe.

Vegyünk egy konkrét példát a hurokra.

Példa. Munkaciklus az x identitáshoz -y 2 = (x-y)(x + y).

A ciklus első feladatcsoportjának végrehajtása a következőképpen történik:

körülmények. A tanulók most ismerkedtek meg az azonosság megfogalmazásával (vagy inkább két megfogalmazással: „Két kifejezés négyzetének különbsége egyenlő e kifejezések összegének és különbségének szorzatával” és „Az összeg szorzata és két kifejezés különbsége egyenlő e kifejezések négyzeteinek különbségével”), képlet formájában való írása, bizonyíték . Ezt követően számos példát mutatunk be egy ezen az azonosságon alapuló transzformáció használatára. Végül a tanulók elkezdik önállóan elvégezni a gyakorlatokat.

Első feladatcsoport

A feladatok második csoportja

(Az egyes csoportok feladatait multimédiás kivetítővel lehet bemutatni a tanulóknak)

Végezzük el ennek a feladattípus-rendszernek a módszertani elemzését.

Az a0 feladat célja a vizsgált identitás szerkezetének rögzítése. Ezt a betűk (x és y) az azonosság jelölésében más betűkben. Az ilyen típusú feladatok lehetővé teszik a verbális kifejezés és az identitás szimbolikus formája közötti kapcsolat tisztázását.

Az a 2) feladat ennek az azonosságnak a numerikus rendszerrel való kapcsolatának megállapítására összpontosít. Az itt konvertált kifejezés nem tisztán szó szerinti, hanem alfanumerikus. Az elvégzett műveletek leírásához szükséges a fogalom használata helyettesítés betűk szám szerint az azonosságban. Képességfejlesztés

a helyettesítő művelet alkalmazása és az ötlet elmélyítése az r 2) típusú feladatok ellátása során történik.

Az identitás elsajátításának következő lépését az a) feladat szemlélteti. Az új feladatban az átalakításra javasolt kifejezésnek nincs négyzetek felosztása; az átalakulás csak akkor válik lehetségessé. h(n1k észreveszi, hogy a 121-es szám egy szám négyzeteként is ábrázolható. Így ez a feladat nem egy, hanem két lépésben valósul meg: a sávoniiiu felismertük annak lehetőségét, hogy ezt a kifejezést a négyzetek különbségének mdf-jére redukáljuk, a másodikon transzformációt hajtanak végre az identitás felhasználásával.

Az identitás elsajátításának első szakaszában minden lépés rögzítésre kerül:

I "I / s 2 \u003d 11 2 - & 2 \u003d (11 - £) (11 + nak nek), a jövőben egyes felismerési műveleteket szóban hajtanak végre a tanulók.

A dd) példában szükséges, hogy kapcsolatot létesítsen ez az azonosság és a monomiális műveletekhez kapcsolódó többi identitás között; e 3) a négyzetek különbségére vonatkozó azonosságot kétszer kell alkalmazni; c) a hallgatóknak le kell küzdeniük egy bizonyos pszichológiai akadályt, és hozzá kell férniük az irracionális számok területéhez.

A b) típusú feladatok a termékcsere képességeinek fejlesztését célozzák (, v - y)(x + y) a különbséghez x 2 - nál nél 2 . A c) típusú feladatok hasonló szerepet töltenek be. A d) típusú példákban az átalakítások egyik irányát kell választani.

Az első csoport feladatai általában az identitás szerkezetének elsajátítására, a legegyszerűbb esetekben a helyettesítési műveletekre, valamint az identitás által végrehajtott transzformációk visszafordíthatóságára vonatkozó elképzelésekre irányulnak,

A főbb jellemzők és célkitűzések, amelyeket az első | ciklus feladatainak romjai, minden olyan gyakorlati ciklusra utalnak, amely az identitáshasználat bajonettjeit képezi. Minden újonnan bevezetett peri-im azonosság esetén a ciklus feladatcsoportjának meg kell őriznie az itt leírt jellemzőket; az egyetlen különbség a feladatok számában van.

1 A ciklus második feladatcsoportja az elsőtől eltérően e sajátos identitás t i pi sajátosságainak minél teljesebb kihasználását és figyelembevételét célozza. Ennek a csoportnak a feladatai feltételezik az azonosság használatának már kialakult készségeit a négyzetek különbségére (a legegyszerűbb esetekben); tspi, ennek a csoportnak az a feladata, hogy elmélyítse az identitás megértését, átgondolva annak különféle helyzetekben való alkalmazását, kombinálva a matematika tantárgy egyéb témáihoz kapcsolódó anyagok felhasználásával.

Tekintsük az l) feladat megoldását:

x 3 - 4x \u003d 15 o x 3 - 9x \u003d 15 - 5x o x (x ~ 3) (x + 3) \u003d 5 (3 - x) ox \u003d 3, vagy \{\ 1-3) = -5. Az egyenlet x(x + 3) = -5 tehát nincs valódi gyöke \ A 3 az egyenlet egyetlen gyöke.

Látjuk, hogy az identitás használata a négyzetek különbségére az n része, én pedig a példa megoldásában, a transzformációk végrehajtásának vezérgondolata.

Az elemi függvények azonosságához társított feladatciklusoknak megvannak a maguk sajátosságai, amelyek abból fakadnak, hogy először. a megfelelő identitásokat a funkcionális anyagok tanulmányozása kapcsán tanulmányozzák, /u>-"touykh, később jelennek meg, mint az első csoport identitásai, és tanulmányozzák velük

a már kialakult készségeket felhasználva azonos átalakítások végrehajtására. Az elemi függvényekhez kapcsolódó identitástranszformációk használatának jelentős része irracionális és transzcendentális egyenletek megoldására esik. Az azonosságok asszimilációjával kapcsolatos ciklusok csak a legegyszerűbb egyenleteket tartalmazzák, de már itt is célszerű az ilyen egyenletek megoldási módszerének elsajátításán dolgozni: redukálni az ismeretlent algebrai egyenletre cserélve.

A megoldás lépéseinek sorrendje a következő:

a) keress egy függvényt<р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;

b) végezzen cserét nál nél= cp(x) és oldjuk meg az F(y) = 0 egyenletet;

c) oldja meg az egyes egyenleteket <р(х) = ahol (nál nél k ) az F(y) = 0 egyenlet gyökeinek halmaza.

Az elemi függvényekkel való azonosságok tanulmányozása során új szempont a definíciós tartomány figyelembe vétele. Íme példa három feladatra:

a) Ábrázolja az y \u003d 4 log 2 x függvényt.

b) Oldja meg az lg egyenletet! x + lg (x - 3) = 1.

c) Melyik halmazon van az lg (x - 5) + lg (x + 5) = lg ( x 2 - 25) identitás?

Tipikus hiba, amit a tanulók elkövetnek az a) feladat megoldása során, az egyenlőség alkalmazása a 1. kizáró feltétel b > 0. Ebben az esetben a kívánt grafikon a helyes válasz helyett parabola alakú - a parabola jobb oldali ága. A b) feladatban az összetett egyenlet- és egyenlőtlenségrendszerek megszerzésének egyik forrását mutatjuk be, amikor figyelembe kell venni a függvények meghatározásának területeit, a c) feladatban pedig egy olyan gyakorlatot, amely előkészítő gyakorlatként szolgálhat.

Az ezeket a feladatokat egyesítő gondolat - a függvény definíciós tartományának tanulmányozásának szükségessége - csak a külső formában heterogén feladatok összehasonlításával derülhet ki. Ennek a gondolatnak a jelentősége a matematika szempontjából nagyon nagy. Több gyakorlati ciklus alapjául szolgálhat - az elemi funkciók minden osztályához.

Végezetül megjegyezzük, hogy az azonos átalakulások iskolai tanulmányozása nagy jelentőséggel bír. oktatási érték. Az a képesség, hogy bizonyos számításokat végezzenek, számításokat végezzenek, hosszú ideig lankadatlan figyelemmel követjenek valamilyen tárgyat, a legkülönfélébb szakmák emberei számára szükséges, függetlenül attól, hogy szellemi vagy fizikai munka területén dolgoznak. A „Kifejezések azonos átalakításai” című rész sajátossága olyan, hogy széles lehetőségeket nyit meg a tanulókban ezeknek a fontos, szakmailag jelentős képességeknek a fejlesztésére.

„Identitások. A kifejezések identitás-transzformációja”.

Az óra céljai

Nevelési:

az "azonosan egyenlő kifejezések", "identitás", "azonos átalakítások" fogalmainak megismertetése és kezdetben megszilárdítása;

a személyazonosság-bizonyítási módok mérlegelése, a személyazonosság-bizonyítási készségek fejlesztésének elősegítése;

a tanult anyag tanulók általi asszimilációjának ellenőrzése, a tanultak alkalmazásának készségeinek kialakítása az új észlelése érdekében.

Nevelési : fejleszti a tanulók gondolkodását, beszédét.

Nevelési : a szorgalmat, pontosságot, a gyakorlatok megoldásának rögzítésének helyességét nevelni.

Az óra típusa: új anyagok tanulása

Felszerelés : Multimédiás tábla, tábla, tankönyv, munkafüzet.

P lan lecke

Szervezési pillanat (a tanulók megcélzása a leckével)

Házi feladat ellenőrzése (hibajavítás)

szóbeli gyakorlatok

Új anyagok tanulmányozása (Az "identitás", az "azonos átalakulások" fogalmainak bevezetése és elsődleges megszilárdítása).

Képzési gyakorlatok (Az "identitás", "azonos transzformációk" fogalmainak kialakítása).

Az óra összegzése (Összefoglalja a leckében szerzett elméleti információkat).

Házi feladat üzenete (magyarázza meg a házi feladat tartalmát)

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat.

Házi feladat ellenőrzése.

Kérdések a házi feladattal kapcsolatban.

Tájékoztatás a táblán.

Matek kellett
Nélküle lehetetlen
Tanítunk, tanítunk, barátok,
Mire emlékezünk reggel?

II . szóbeli gyakorlatok.

Végezzünk egy edzést.

Összeadás eredménye. (Összeg)

Hány számot ismersz? (Tíz)

Százas szám. (Százalék)

osztás eredménye? (Magán)

A legkisebb természetes szám? (egy)

Kapható-e nulla természetes számok osztásakor? (Nem)

Mennyi a -200 és 200 közötti számok összege? (0)

Mi a legnagyobb negatív egész szám. (-egy)

Milyen számmal nem lehet osztani? (0)

Szorzás eredménye? (Munka)

A legnagyobb kétjegyű szám? (99)

Mi a termék -200 és 200 között? (0)

A kivonás eredménye. (Különbség)

Hány gramm egy kilogrammban? (1000)

Összeadás kommutatív tulajdonsága. (Az összeg a feltételek helyeinek átrendeződésétől nem változik)

A szorzás kommutatív tulajdonsága. (A szorzat nem változik a tényezők helyeinek permutációjától)

Az összeadás asszociatív tulajdonsága. (Ha két szám összegéhez egy számot szeretne hozzáadni, az első számhoz hozzáadhatja a második és a harmadik összegét)

A szorzás asszociatív tulajdonsága. (Ha két szám szorzatát meg szeretné szorozni a harmadik számmal, az első számot megszorozhatja a második és a harmadik szorzatával)

elosztó tulajdon. (Ha egy számot meg szeretne szorozni két szám összegével, megszorozhatja ezt a számot minden egyes taggal, és összeadhatja az eredményeket)

III . Új anyagok tanulása .

Tanár. Keresse meg az x=5 és y=4 kifejezések értékét

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Ugyanazt az eredményt kaptuk. A disztribúciós tulajdonságból következik, hogy általában a változók bármely értékénél a 3(x + y) és a 3x + 3y kifejezések értéke egyenlő.

Tekintsük most a 2x + y és 2xy kifejezéseket. x=1 és y=2 esetén egyenlő értékeket vesz fel:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

Azonban megadhat x és y értékeket úgy, hogy ezeknek a kifejezéseknek az értéke nem egyenlő. Például, ha x=3, y=4, akkor

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

Definíció: Két olyan kifejezést, amelyek értéke egyenlő a változók bármely értékére, azonosnak mondjuk.

A 3(x+y) és 3x+3y kifejezések azonosak, de a 2x+y és 2xy kifejezések nem azonosak.

A 3(x + y) és 3x + 3y egyenlőség igaz x és y bármely értékére. Az ilyen egyenlőségeket identitásoknak nevezzük.

Definíció: Azt az egyenlőséget, amely a változók bármely értékére igaz, azonosságnak nevezzük.

A valódi számszerű egyenlőségeket is azonosságnak tekintjük. Identitásokkal már találkoztunk. Az identitások olyan egyenlőségek, amelyek a számokkal kapcsolatos cselekvések alapvető tulajdonságait fejezik ki (a tanulók mindegyik tulajdonságot kiejtéssel kommentálják).

a + b = b + a ab=ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Az identitásokra más példákat is adhatunk (A tanulók az egyes tulajdonságokat kommentálják, kiejtik).

a + 0 = a

a * 1 = a

a + (-a) = 0

egy * (- b ) = - ab

a - b = a + (- b )

(- a ) * (- b ) = ab

Definíció: Egy kifejezés helyettesítését egy másikkal, azzal azonosan azonos transzformációnak nevezzük, vagy egyszerűen egy kifejezés transzformációjának.

Tanár:

A változókkal rendelkező kifejezések azonos transzformációit a számokkal végzett műveletek tulajdonságai alapján hajtjuk végre.

A kifejezések identitástranszformációit széles körben használják a kifejezések értékeinek kiszámításához és más problémák megoldásához. Már el kellett végeznie néhány azonos átalakítást, például a hasonló kifejezések redukálását, a zárójelek bővítését. Emlékezzünk az átalakításokra vonatkozó szabályokra:

Diákok:

Hasonló kifejezések létrehozásához össze kell adni az együtthatóikat, és meg kell szorozni az eredményt a közös betűrésszel;

Ha a zárójelek előtt plusz jel van, akkor a zárójelek elhagyhatók, megtartva az egyes kifejezések zárójelbe tett jelét;

Ha a zárójelek előtt mínusz jel van, akkor a zárójelek elhagyhatók az egyes zárójelbe tett kifejezések előjelének megváltoztatásával.

Tanár:

1. példa Hasonló kifejezéseket mutatunk be

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

Milyen szabályt alkalmaztunk?

Diák:

A hasonló kifejezések redukciós szabályát alkalmaztuk. Ez a transzformáció a szorzás elosztó tulajdonságán alapul.

Tanár:

2. példa Bontsa ki a zárójeleket a 2a + (b-3 c) = 2 a + b – 3 c

Alkalmaztuk a pluszjel előtti zárójelek nyitásának szabályát.

Diák:

Az elvégzett transzformáció az összeadás asszociatív tulajdonságán alapul.

Tanár:

3. példa: Nyissuk meg a zárójeleket az a - (4b- c) =a – 4 b + c

A zárójelek nyitásának szabályát alkalmaztuk, amelyeket mínusz jel előz meg.

Milyen tulajdonságon alapul ez az átalakítás?

Diák:

Az elvégzett transzformáció a szorzás elosztó tulajdonságán és az összeadás asszociatív tulajdonságán alapul.

IV . Edző gyakorlatok

(Mielőtt elkezdjük, végezzünk fizikai tevékenységet

Gyorsan felálltak és mosolyogtak.

Egyre magasabbra húzva.

Gyerünk, egyenesítsd ki a vállaid

Emelje fel, engedje le.

Forduljon jobbra, forduljon balra

Ülj le, kelj fel. Ülj le, kelj fel.

És a helyszínen futottak.

(Jól van, ülj le.)

Mini önálló munkát végzünk - megfelelés, És aki úgy gondolja, hogy a téma jól érthető - online dönt - tesztelés.

1) 5 (3x -2) - (4x + 9) A) 5-10: x

2) 5x-4 (2x-5) + 5 B) 11x -19

3) (5x-10): x B) 3x + 25

4) 11x-4 (x - 3) + 5x D) -3x + 25

E) 12x +12

V . Összegezve a tanulságot .

A tanár kérdéseket tesz fel, a tanulók pedig tetszés szerint válaszolnak rájuk.

Melyik két kifejezést nevezzük azonosan egyenlőnek? Adj rá példákat.

Milyen egyenlőséget nevezünk identitásnak? Adj egy példát.

Milyen azonos átalakulásokat ismer?

VI . Házi feladat . 5. o., keressen régi azonos kifejezéseket az Internet segítségével

Adjunk meg két algebrai kifejezést:

Készítsünk táblázatot az egyes kifejezések értékeiről az x betű különböző számértékeihez.

Látjuk, hogy mindazok az értékek, amelyeket az x betűhöz adtak, mindkét kifejezés értéke egyenlőnek bizonyult. Ugyanez igaz minden más x értékre is.

Ennek ellenőrzésére átalakítjuk az első kifejezést. Az elosztási törvény alapján ezt írjuk:

Miután elvégeztük a jelzett műveleteket a számokon, kapjuk:

Tehát az első kifejezés egyszerűsítése után pontosan megegyezik a második kifejezéssel.

Most már világos, hogy x bármely értékére mindkét kifejezés értéke egyenlő.

Azokat a kifejezéseket, amelyek értéke megegyezik a bennük szereplő betűk bármely értékével, azonosnak vagy azonosnak nevezzük.

Ezért ezek azonos kifejezések.

Tegyünk egy fontos megjegyzést. Vegyünk kifejezéseket:

Miután összeállítottunk egy, az előzőhöz hasonló táblázatot, megbizonyosodunk arról, hogy mindkét kifejezés, bármely x értékre, egyenlő számértékekkel rendelkezik. Csak akkor, ha a második kifejezés egyenlő 6-tal, és az első elveszti értelmét, mivel a nevező nulla. (Emlékezzünk rá, hogy nem oszthatunk nullával.) Mondhatjuk-e, hogy ezek a kifejezések azonosak?

Korábban megállapodtunk abban, hogy minden kifejezést csak a betűk megengedett értékeire kell figyelembe venni, vagyis azon értékekre, amelyeknél a kifejezés nem veszíti el jelentését. Ez azt jelenti, hogy itt két kifejezés összehasonlításakor csak azokat a betűértékeket vesszük figyelembe, amelyek mindkét kifejezésre érvényesek. Ezért ki kell zárnunk az értéket. És mivel az x összes többi értékére mindkét kifejezés azonos számértékkel rendelkezik, jogunk van azonosnak tekinteni őket.

Az elmondottak alapján a következő definíciót adjuk az azonos kifejezésekre:

1. A kifejezéseket azonosnak nevezzük, ha azonos számértékekkel rendelkeznek a bennük szereplő betűk összes megengedett értékéhez.

Ha két azonos kifejezést egyenlőségjellel kötünk össze, akkor azonosságot kapunk. Eszközök:

2. Az identitás olyan egyenlőség, amely a benne szereplő betűk minden megengedett értékére igaz.

Korábban is találkoztunk már identitásokkal. Így például minden egyenlőség azonosság, amellyel az összeadás és szorzás alaptörvényeit fejeztük ki.

Például az összeadás kommutatív törvényét kifejező egyenlőségek

és a szorzás asszociatív törvénye

bármely betűértékre érvényesek. Ezért ezek az egyenlőségek identitások.

Minden valódi aritmetikai egyenlőség azonosságnak is számít, például:

Az algebrában gyakran le kell cserélni egy kifejezést egy másik kifejezéssel, amely megegyezik vele. Legyen például szükséges, hogy megtaláljuk a kifejezés értékét

A számításokat nagyban megkönnyítjük, ha az adott kifejezést egy vele azonos kifejezésre cseréljük. Az elosztási törvény alapján ezt írhatjuk:

De a zárójelben lévő számok 100-at adnak. Tehát van egy azonosságunk:

Ha a jobb oldali a helyett 6,53-at cserélünk, azonnal (gondolatban) megtaláljuk ennek a kifejezésnek a számértékét (653).

Egy kifejezés lecserélését egy másik, vele azonos kifejezéssel a kifejezés azonos transzformációjának nevezzük.

Emlékezzünk vissza, hogy a betűk bármely megengedett értékére vonatkozó algebrai kifejezés néhány

szám. Ebből következik, hogy az aritmetikai műveletek összes törvénye és tulajdonsága, amelyet az előző fejezetben megadtunk, alkalmazható az algebrai kifejezésekre. Tehát az aritmetikai műveletek törvényeinek és tulajdonságainak alkalmazása egy adott algebrai kifejezést egy vele azonos kifejezéssé alakít át.

Az identitáskonverzió az a munka, amelyet numerikus és alfabetikus kifejezésekkel, valamint változókat tartalmazó kifejezésekkel végzünk. Mindezeket az átalakításokat azért hajtjuk végre, hogy az eredeti kifejezést olyan formába hozzuk, amely alkalmas lesz a probléma megoldására. Ebben a témában megvizsgáljuk az azonos transzformációk fő típusait.

Egy kifejezés identitástranszformációja. Ami?

Az azonos transzformált mi fogalmával először a 7. osztály algebraóráin találkozunk. Ezután először az azonosan egyenlő kifejezések fogalmával ismerkedünk meg. Foglalkozzunk a fogalmakkal, definíciókkal, hogy megkönnyítsük a téma asszimilációját.

1. definíció

Egy kifejezés identitástranszformációja olyan műveletek, amelyeket az eredeti kifejezés olyan kifejezésre cserélnek, amely megegyezik az eredetivel.

Ezt a meghatározást gyakran rövidített formában használják, amelyből az „azonos” szó kimarad. Feltételezzük, hogy a kifejezés transzformációját minden esetben úgy hajtjuk végre, hogy az eredetivel azonos kifejezést kapjunk, és ezt nem kell külön hangsúlyozni.

Illusztráljuk ezt a definíciót példákkal.

1. példa

Ha lecseréljük a kifejezést x + 3 - 2 az azonosan egyenlő kifejezésre x+1, akkor végrehajtjuk a kifejezés azonos transzformációját x + 3 - 2.

2. példa

A 2-6 kifejezés lecserélése kifejezésre a 3 az identitás transzformációja, míg a kifejezés helyettesítése x a kifejezésre x2 nem azonos transzformáció, mivel a kifejezések xés x2 nem egyformák.

Felhívjuk a figyelmet a kifejezések írási formájára az azonos átalakítások végrehajtásakor. Általában az eredeti kifejezést és a kapott kifejezést egyenlőségként írjuk fel. Tehát az x + 1 + 2 = x + 3 írás azt jelenti, hogy az x + 1 + 2 kifejezést x + 3 alakra redukáltuk.

A cselekvések szekvenciális végrehajtása az egyenlőségek láncolatához vezet bennünket, amely több egymást követő azonos transzformációból áll. Tehát az x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x jelölést két transzformáció szekvenciális megvalósításaként értjük: először az x + 1 + 2 kifejezést x + 3 alakra redukáltuk, majd redukáltuk a 3 + x alak.

Identitástranszformációk és ODZ

Számos olyan kifejezés, amelyet a 8. osztályban kezdünk tanulmányozni, nincs értelme a változók egyetlen értékének sem. Az azonos transzformációk végrehajtása ezekben az esetekben megköveteli, hogy figyeljünk a változók megengedett értékeinek tartományára (ODV). Azonos transzformációk végrehajtása az ODZ-t változatlanul hagyhatja vagy szűkítheti.

3. példa

A kifejezésből való átmenet végrehajtásakor a + (-b) a kifejezésre a-b a változók megengedett értékeinek tartománya aés b ugyanaz marad.

4. példa

Átmenet az x kifejezésről a kifejezésre x 2 x az x változó elfogadható értékeinek tartományának szűküléséhez vezet az összes valós szám halmazáról az összes valós szám halmazára, amelyből a nullát kizártuk.

5. példa

Egy kifejezés identitástranszformációja x 2 x Az x kifejezés az x változó elfogadható értékeinek tartományának a nulla kivételével az összes valós szám halmazáról az összes valós szám halmazára való kiterjesztéséhez vezet.

A változók megengedett értékeinek tartományának szűkítése vagy bővítése azonos átalakítások végrehajtásakor fontos a problémák megoldásában, mivel ez befolyásolhatja a számítások pontosságát és hibákhoz vezethet.

Alapvető identitástranszformációk

Lássuk most, melyek az azonos transzformációk, és hogyan hajtják végre őket. Hadd emeljük ki a főcsoportban az azonos transzformációk azon típusait, amelyekkel leggyakrabban kell foglalkoznunk.

Az alapvető identitástranszformációk mellett számos olyan transzformáció létezik, amelyek egy adott típusú kifejezésekre vonatkoznak. A törtek esetében ezek a redukció és az új nevezőre redukálás módszerei. Gyökökkel és hatványokkal rendelkező kifejezéseknél minden olyan művelet, amelyet a gyökök és hatványok tulajdonságai alapján hajtanak végre. Logaritmikus kifejezések esetén a logaritmusok tulajdonságai alapján végrehajtott műveletek. Trigonometrikus kifejezéseknél minden művelet trigonometrikus képletekkel. Mindezeket az átalakításokat részletesen tárgyaljuk a forrásunkon található külön témakörökben. Emiatt ebben a cikkben nem foglalkozunk velük.

Térjünk át a főbb azonos transzformációk vizsgálatára.

A kifejezések, tényezők átrendezése

Kezdjük a feltételek átrendezésével. Leggyakrabban ezzel az azonos átalakulással foglalkozunk. A fő szabálynak pedig itt a következő állítás tekinthető: a kifejezések helyenkénti átrendezése semmilyen összegben nem befolyásolja az eredményt.

Ez a szabály az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonságain alapul. Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik, hogy a kifejezéseket helyenként átrendezzük, és egyúttal olyan kifejezéseket kapjunk, amelyek azonosak az eredetivel. Éppen ezért az összegben a tagok helyenkénti átrendezése azonos transzformáció.

6. példa

Három tag összege van 3 + 5 + 7 . Ha felcseréljük a 3-as és 5-ös tagokat, akkor a kifejezés 5 + 3 + 7 alakot ölt. Ebben az esetben több lehetőség is van a feltételek átrendezésére. Ezek mindegyike olyan kifejezések megszerzéséhez vezet, amelyek azonosak az eredetivel.

Nem csak a számok, hanem a kifejezések is lehetnek tagok az összegben. A számokhoz hasonlóan átrendezhetők anélkül, hogy a számítások végeredményét befolyásolnák.

7. példa

Az 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + formájú 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 és - 12 a három tag összegében. 12) a kifejezések átrendezhetők, például így (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . Viszont átrendezheti a tagokat az 1 a + b tört nevezőjében, míg a tört alakja 1 b + a lesz. És a gyökérjel alatti kifejezés a 2 + 2 a + 5 egy olyan összeg is, amelyben a kifejezések felcserélhetők.

A tagokhoz hasonlóan az eredeti kifejezésekben is felcserélhetjük a faktorokat és azonosan helyes egyenleteket kaphatunk. Ezt a műveletet a következő szabály szabályozza:

2. definíció

A szorzatban a tényezők helyenkénti átrendezése nem befolyásolja a számítás eredményét.

Ez a szabály a szorzás kommutatív és asszociatív tulajdonságain alapul, amelyek megerősítik az azonos transzformáció helyességét.

8. példa

Munka 3 5 7 a faktorok permutációja az alábbi formák valamelyikében ábrázolható: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 ill. 3 7 5.

9. példa

Az x + 1 x 2 - x + 1 x szorzatban szereplő tényezők megváltoztatása x 2 - x + 1 x x + 1

Konzol bővítése

A zárójelek tartalmazhatnak numerikus kifejezéseket és változókat tartalmazó kifejezéseket. Ezek a kifejezések azonosan egyenrangú kifejezésekké alakíthatók, amelyekben egyáltalán nem lesz zárójel, vagy kevesebb lesz belőlük, mint az eredeti kifejezésekben. A kifejezések átalakításának ezt a módját zárójel-kiterjesztésnek nevezzük.

10. példa

Végezzünk műveleteket zárójelekkel az űrlap kifejezésében 3 + x − 1 x hogy az azonosan igaz kifejezést kapjuk 3 + x − 1 x.

A 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x kifejezés zárójelek nélkül konvertálható a 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x azonos kifejezéssé .

Részletesen megvitattuk a kifejezések zárójelekkel történő konvertálására vonatkozó szabályokat a „Zárójel-kiterjesztés” témakörben, amelyet az erőforrásunkon teszünk közzé.

Csoportosítási feltételek, tényezők

Azokban az esetekben, amikor három vagy több kifejezéssel van dolgunk, egy ilyen típusú azonos transzformációhoz folyamodhatunk terminusok csoportosításaként. Az átalakítás ezen módszere alatt több kifejezés egyesítését értjük egy csoportba úgy, hogy azokat átrendezzük és zárójelbe tesszük.

Csoportosításkor a kifejezések felcserélése oly módon történik, hogy a csoportosított kifejezések egymás mellett legyenek a kifejezésrekordban. Ezt követően zárójelbe tehetők.

11. példa

Fogadd el a kifejezést 5 + 7 + 1 . Ha az első tagot csoportosítjuk a harmadikkal, akkor azt kapjuk (5 + 1) + 7 .

A tényezők csoportosítása a fogalmak csoportosításához hasonlóan történik.

12. példa

Munkában 2 3 4 5 csoportosíthatjuk az első faktort a harmadikkal, a másodikat a negyedikkel, ebben az esetben a kifejezéshez jutunk (2 4) (3 5). És ha az első, második és negyedik faktort csoportosítjuk, megkapjuk a kifejezést (2 3 5) 4.

A csoportosított kifejezések és tényezők prímszámokkal és kifejezésekkel is ábrázolhatók. A csoportosítási szabályokat a „Csoportozási feltételek és tényezők” témakörben tárgyaltuk részletesen.

A különbségek helyettesítése összegekkel, részszorzatokkal és fordítva

A különbségek összegekkel való helyettesítése az ellentétes számok megismerésének köszönhetően vált lehetővé. Most ki kell vonni egy számból a számok b szám kiegészítésének tekinthető a számok −b. Egyenlőség a − b = a + (− b) méltányosnak tekinthető, és ennek alapján végrehajtja az eltérések összegekkel történő pótlását.

13. példa

Fogadd el a kifejezést 4 + 3 − 2 , amelyben a számok különbsége 3 − 2 felírhatjuk összegként 3 + (− 2) . Kap 4 + 3 + (− 2) .

14. példa

Minden különbség a kifejezésben 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 olyan összegekkel helyettesíthetők, mint 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).

Bármilyen eltérésből összegezhetünk. Hasonlóképpen végezhetünk fordított helyettesítést.

Az osztás szorzással az osztó reciprojával való helyettesítését a reciprok számok fogalma teszi lehetővé. Ez a transzformáció így írható fel a: b = a (b − 1).

Ez a szabály volt az alapja a közönséges törtek osztására vonatkozó szabálynak.

15. példa

Magán 1 2: 3 5 formájú termékkel helyettesíthető 1 2 5 3.

Hasonlóképpen, analógia alapján az osztást szorzással helyettesíthetjük.

16. példa

A kifejezés esetében 1+5:x:(x+3) osztás helyett x-vel lehet szorozni 1 x. Felosztás szerint x + 3-vel szorozva helyettesíthetjük 1 x + 3. A transzformáció lehetővé teszi, hogy az eredetivel azonos kifejezést kapjunk: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

A szorzás osztással való helyettesítése a séma szerint történik a b = a: (b − 1).

17. példa

Az 5 x x 2 + 1 - 3 kifejezésben a szorzás helyettesíthető osztással: x 2 + 1 x - 3.

Számokkal végzett műveletek végrehajtása

A számokkal végzett műveletek végrehajtása a műveleti sorrend szabálya szerint történik. Először is a műveleteket számok hatványaival és számgyökeivel hajtják végre. Ezt követően a logaritmusokat, trigonometrikus és egyéb függvényeket helyettesítjük az értékükkel. Ezután a zárójelben szereplő műveletek végrehajtásra kerülnek. És akkor már elvégezheti az összes többi műveletet balról jobbra. Fontos megjegyezni, hogy a szorzás és az osztás az összeadás és kivonás előtt történik.

A számokkal végzett műveletek lehetővé teszik, hogy az eredeti kifejezést egy vele megegyezőre alakítsuk át.

18. példa

Alakítsuk át a 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x kifejezést úgy, hogy minden lehetséges műveletet végrehajtunk számokkal.

Megoldás

Először is nézzük a fokozatot 2 3 és gyökér 4, és számítsa ki értéküket: 2 3 = 8 és 4 = 2 2 = 2 .

Helyettesítsük be a kapott értékeket az eredeti kifejezésbe, és kapjuk: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Most tegyük a zárójeleket: 8 − 1 = 7 . És menjünk tovább a 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) kifejezésre.

Csak a szorzást kell elvégeznünk 3 és 7 . A következőt kapjuk: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Válasz: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

A számokkal végzett műveleteket másfajta azonosság-transzformációk előzhetik meg, például számcsoportosítás vagy zárójel-kiterjesztés.

19. példa

Fogadd el a kifejezést 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Megoldás

Először is a zárójelben lévő hányadost változtatjuk meg 6: 3 jelentéséről 2 . A következőt kapjuk: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Bővítsük ki a zárójeleket: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Csoportosítsuk a szorzatban szereplő numerikus tényezőket, valamint azokat a kifejezéseket, amelyek számok: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Tegyük a zárójeleket: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Válasz:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Ha numerikus kifejezésekkel dolgozunk, akkor munkánk célja a kifejezés értékének megtalálása lesz. Ha a kifejezéseket változókkal alakítjuk át, akkor cselekvéseink célja a kifejezés egyszerűsítése lesz.

A közös tényező zárójelbe állítása

Azokban az esetekben, amikor a kifejezésben szereplő kifejezések ugyanazt a tényezőt tartalmazzák, akkor ezt a közös tényezőt kivehetjük a zárójelekből. Ehhez először az eredeti kifejezést egy közös tényező és egy zárójelben lévő kifejezés szorzataként kell ábrázolnunk, amely az eredeti kifejezésekből áll, közös tényező nélkül.

20. példa

Számszerűen 2 7 + 2 3 ki tudjuk venni a közös tényezőt 2 a zárójeleken kívül, és az űrlap azonosan helyes kifejezését kapja 2 (7 + 3).

Erőforrásunk megfelelő részében frissítheti a közös tényező zárójelekbe helyezésének szabályait. Az anyag részletesen tárgyalja a közös tényező zárójelből való kiemelésének szabályait, és számos példával szolgál.

Hasonló kifejezések csökkentése

Most térjünk át a hasonló kifejezéseket tartalmazó összegekre. Itt két lehetőség lehetséges: azonos tagokat tartalmazó összegek, illetve olyan összegek, amelyek tagjai számszerű együtthatóval különböznek. A hasonló kifejezéseket tartalmazó összegekkel végzett műveleteket hasonló kifejezések redukciójának nevezzük. Ezt a következőképpen hajtjuk végre: zárójelbe tesszük a közös betűrészt, és zárójelben kiszámítjuk a numerikus együtthatók összegét.

21. példa

Fontolja meg a kifejezést 1 + 4 x − 2 x. Kivehetjük x szó szerinti részét a zárójelekből, és megkapjuk a kifejezést 1 + x (4 - 2). Számítsuk ki a zárójelben lévő kifejezés értékét, és kapjuk meg az 1 + x · 2 alak összegét.

Számok és kifejezések helyettesítése azonos kifejezésekkel

Az eredeti kifejezést alkotó számok és kifejezések helyettesíthetők velük azonos kifejezésekkel. Az eredeti kifejezés ilyen átalakítása egy vele azonos kifejezéshez vezet.

22. példa 23. példa

Fontolja meg a kifejezést 1 + a5, amelyben az a 5 fokot helyettesíthetjük egy vele azonos szorzattal, pl. egy 4. Ez megadja nekünk a kifejezést 1+4.

Az elvégzett átalakítás mesterséges. Ennek csak más átalakításokra való felkészülésben van értelme.

24. példa

Tekintsük az összeg transzformációját 4 x 3 + 2 x 2. Itt a kifejezés 4x3 termékként tudjuk képviselni 2x2x2x. Ennek eredményeként az eredeti kifejezés felveszi a formáját 2 x 2 2 x + 2 x 2. Most elkülöníthetjük a közös tényezőt 2x2és vedd ki a zárójelből: 2 x 2 (2 x + 1).

Ugyanazon szám összeadása és kivonása

Ugyanazon szám vagy kifejezés egyidejű összeadása és kivonása mesterséges kifejezéstranszformációs technika.

25. példa

Fontolja meg a kifejezést x 2 + 2 x. Hozzáadhatunk vagy kivonhatunk belőle egyet, ami lehetővé teszi, hogy később egy másik azonos transzformációt hajtsunk végre - a binomiális négyzetének kiválasztásához: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ennek mindkét része azonos kifejezés. Az identitásokat betűkre és számokra osztják.

Identitáskifejezések

A két algebrai kifejezést ún azonos(vagy egyformán egyenlő), ha a betűk bármely számértéke azonos számértékkel rendelkezik. Ilyenek például a kifejezések:

x(5 + x) és 5 x + x 2

Mindkét bemutatott kifejezés, bármilyen értékre x egyenlőek lesznek egymással, tehát azonosnak vagy azonosan egyenlőnek nevezhetők.

Az egymással egyenlő numerikus kifejezéseket azonosnak is nevezhetjük. Például:

20 - 8 és 10 + 2

Betű- és számazonosítók

Levél azonosság egy egyenlőség, amely a benne szereplő betűk bármely értékére érvényes. Más szavakkal, egy ilyen egyenlőség, amelyben mindkét rész azonos kifejezések, például:

(a + b)m = am + bm
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Numerikus identitás- ez egy olyan egyenlőség, amely csak számjegyekkel kifejezett számokat tartalmaz, amelyekben mindkét rész azonos számértékkel rendelkezik. Például:

4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 (4 + 6) = 50

Kifejezések identitástranszformációi

Minden algebrai művelet az egyik algebrai kifejezés átalakítása egy másikba, amely megegyezik az elsővel.

Kifejezés értékének kiszámításakor, zárójelek nyitásakor, a közös tényező zárójelből való kiemelésekor és számos más esetben bizonyos kifejezéseket helyettesítenek másokkal, amelyek azonosak velük. Az egyik kifejezés helyettesítését egy másikkal, azzal azonosan nevezzük a kifejezés azonos átalakítása vagy egyszerűen kifejezéskonverzió. Minden kifejezéskonverzió a számokkal végzett műveletek tulajdonságai alapján történik.

Tekintsük a kifejezés azonos transzformációját a közös tényező zárójelből való kivételével:

10x - 7x + 3x = (10 - 7 + 3)x = 6x