Keresse meg a konjugált komplex számot online. Komplex számok és algebrai műveletek rajtuk

Tekintsünk egy másodfokú egyenletet.

Határozzuk meg a gyökereit.

Nincs olyan valós szám, amelynek négyzete -1. De ha a képlet definiálja az operátort én képzeletbeli egységként, akkor ennek az egyenletnek a megoldása a formába írható . Ahol és - komplex számok, amelyekben -1 a valós rész, 2 vagy a második esetben -2 a képzetes rész. A képzeletbeli rész egyben valós (valós) szám is. A képzeletbeli rész a képzeletbeli egységgel szorozva már azt jelenti képzeletbeli szám.

Általában a komplex számnak van alakja

z = x + iy ,

ahol x, y valós számok, képzeletbeli egység. Számos alkalmazott tudományban, például az elektrotechnikában, az elektronikában, a jelelméletben a képzeletbeli egységet jelölik j. Valós számok x = Re(z)és y=im(z) hívott valós és képzeletbeli részek számok z. A kifejezést ún algebrai forma komplex szám jelölése.

Bármely valós szám az alakban lévő komplex szám speciális esete . Az imaginárius szám a komplex számok speciális esete is. .

A C komplex számok halmazának definíciója

Ez a kifejezés a következőképpen szól: set TÓL TŐL, olyan elemekből álló xés y valós számok halmazába tartoznak Rés a képzeletbeli egység. Vegye figyelembe, hogy stb.

Két komplex szám és akkor és csak akkor egyenlők, ha valós és képzeletbeli részük egyenlő, azaz. és .

A komplex számokat és függvényeket széles körben használják a tudományban és a technológiában, különösen a mechanikában, az AC áramkörök elemzésében és számításában, az analóg elektronikában, a jelelméletben és -feldolgozásban, az automatikus vezérlés elméletében és más alkalmazott tudományokban.

1. Komplex számok aritmetikája

Két komplex szám összeadása abból áll, hogy összeadjuk valós és imaginárius részeiket, azaz.

Ennek megfelelően két komplex szám különbsége

Összetett szám hívott összetett konjugált szám z=x +i.y.

A z és z * komplex konjugált számok az imaginárius rész előjeleiben különböznek. Ez nyilvánvaló

.

Az összetett kifejezések közötti bármely egyenlőség érvényes marad, ha ebben az egyenlőségben mindenhol érvényesül én kicserélve - én, azaz menj a konjugált számok egyenlőségéhez. Számok énés – én algebrailag megkülönböztethetetlenek, mert .

Két komplex szám szorzata (szorzása) a következőképpen számítható ki:

Két komplex szám osztása:

Példa:

1. Komplex sík

Egy komplex szám grafikusan ábrázolható téglalap alakú koordinátarendszerben. Állítsunk be egy téglalap alakú koordináta-rendszert a síkban (x, y).

tengelyen Ökör elrendezzük a valódi részeket x, ez az úgynevezett valódi (valódi) tengely, a tengelyen Oy– képzeletbeli részek y komplex számok. A nevet viseli képzeletbeli tengely. Ezenkívül minden komplex szám a sík egy bizonyos pontjának felel meg, és egy ilyen síkot hívnak összetett sík. pont DE a komplex sík a vektornak fog megfelelni OA.

Szám x hívott abszcissza komplex szám, szám y – ordináta.

Egy komplex konjugált számpár a valós tengely körül szimmetrikusan elhelyezkedő pontokként jelenik meg.

Ha a gépen meg poláris koordináta-rendszer, majd minden komplex szám z poláris koordináták határozzák meg. Ahol modult számok a pont poláris sugara és a szög - a polárszög vagy a komplex szám argumentuma z.

Komplex számmodulus mindig nem negatív. Egy komplex szám argumentuma nincs egyértelműen definiálva. Az argumentum fő értékének meg kell felelnie a feltételnek . A komplex sík minden pontja megfelel az argumentum összértékének is. A 2π többszörösével eltérő érveket egyenlőnek tekintjük. A nulla szám argumentum nincs megadva.

Az argumentum fő értékét a következő kifejezések határozzák meg:

Ez nyilvánvaló

Ahol
, .

Komplex számábrázolás z mint

hívott trigonometrikus formaösszetett szám.

Példa.

1. A komplex számok exponenciális alakja

Bomlás be Maclaurin sorozat valódi argumentumfüggvényekhez úgy néz ki, mint a:

Egy összetett argumentum exponenciális függvényére z a bomlás hasonló

.

Az imaginárius argumentum exponenciális függvényének Maclaurin-sorbővítése így ábrázolható

A kapott azonosságot ún Euler képlet.

Negatív érv esetén úgy néz ki

Ezeket a kifejezéseket kombinálva a következő kifejezéseket definiálhatjuk szinuszra és koszinuszra

.

Az Euler-képlet segítségével a komplex számok ábrázolásának trigonometrikus alakjából

elérhető demonstratív komplex szám (exponenciális, poláris) alakja, azaz. formában való ábrázolása

,

ahol - egy pont poláris koordinátái téglalap alakú koordinátákkal ( x,y).

Egy komplex szám konjugátumát a következőképpen írjuk fel exponenciális formában.

Az exponenciális alakhoz könnyű meghatározni a következő képleteket a komplex számok szorzására és osztására

Vagyis exponenciális formában a komplex számok szorzata és felosztása könnyebb, mint algebrai formában. Szorzáskor a faktorok moduljait megszorozzuk, és az argumentumokat összeadjuk. Ez a szabály számos tényezőre vonatkozik. Különösen komplex szám szorzásakor z a én vektor z 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban forog

Az osztás során a számláló modulusát elosztjuk a nevező modulusával, és a nevező argumentumát kivonjuk a számláló argumentumából.

A komplex számok exponenciális alakját használva jól ismert trigonometrikus azonosságokra kaphatunk kifejezéseket. Például az identitásból

az Euler-képlet segítségével felírhatjuk

Ebben a kifejezésben a valós és a képzetes részek egyenlővé tételével megkapjuk a szögösszeg koszinuszának és szinuszának kifejezéseit

1. Komplex számok hatványai, gyökei és logaritmusai

Komplex szám felemelése természetes hatványra n képlet szerint állítják elő

Példa. Kiszámít .

Képzelj el egy számot trigonometrikus formában

’

A hatványozási képlet alkalmazásával azt kapjuk

Az érték elhelyezése a kifejezésben r= 1, megkapjuk az ún De Moivre képlete, amellyel több szög szinuszainak és koszinuszainak kifejezéseit határozhatja meg.

Gyökér n komplex szám hatványa z Megvan n kifejezés által meghatározott különböző értékek

Példa. Találjuk meg.

Ehhez a komplex számot () a trigonometrikus alakra fejezzük ki

.

A komplex szám gyökének kiszámítására szolgáló képlet szerint azt kapjuk

Komplex szám logaritmusa z egy szám w, amelyekre . Egy komplex szám természetes logaritmusának végtelen számú értéke van, és a képlet alapján számítják ki

Valós (koszinusz) és képzeletbeli (szinusz) részekből áll. Az ilyen feszültséget hosszvektorként ábrázolhatjuk Hm, kezdeti fázis (szög), szögsebességgel forog ω .

Sőt, ha összetett függvényeket adunk hozzá, akkor azok valós és képzeletbeli részeit is hozzáadjuk. Ha egy komplex függvényt megszorozunk egy állandóval vagy egy valós függvénnyel, akkor a valós és a képzetes részeit ugyanazzal a tényezővel szorozzuk meg. Egy ilyen összetett függvény differenciálása/integrálása a valós és képzeletbeli részek differenciálására/integrálására redukálódik.

Például a komplex feszültségkifejezés differenciálása

az, hogy megszorozzuk vele iω az f(z), és függvény valós része a függvény képzeletbeli része. Példák: .

Jelentése z A komplex z sík egy pontja és a hozzá tartozó érték képviseli w- egy pont a komplex síkban w. Amikor megjelenik w = f(z) síkvonalak zátmennek a sík vonalaiba w, az egyik sík ábráit egy másik sík alakjaivá alakítja, de a vonalak vagy ábrák alakja jelentősen megváltozhat.