Egyenes és jobb prizma. A prizma meghatározása és tulajdonságai

Poliéder

A sztereometria vizsgálatának fő tárgya a háromdimenziós testek. Test a tér valamely felület által határolt része.

poliéder Olyan testet, amelynek felülete véges számú sík sokszögből áll, ún. Egy poliédert konvexnek nevezünk, ha a felületén lévő minden lapos sokszög síkjának egyik oldalán fekszik. Egy ilyen sík és egy poliéder felületének közös részét ún él. A konvex poliéder lapjai lapos konvex sokszögek. Az arcok oldalait ún a poliéder élei, és a csúcsok a poliéder csúcsai.

Például egy kocka hat négyzetből áll, amelyek a lapjai. 12 élt (négyzetek oldalát) és 8 csúcsot (négyzetek csúcsait) tartalmaz.

A legegyszerűbb poliéderek a prizmák és a piramisok, amelyeket tovább fogunk vizsgálni.

Prizma

A prizma meghatározása és tulajdonságai

prizma poliédernek nevezzük, amely két párhuzamos síkban fekvő sík sokszögből áll, amelyek párhuzamos transzlációval kombinálódnak, és ezeknek a sokszögeknek a megfelelő pontjait összekötő összes szakaszból. A sokszögeket ún prizma alapok, és a sokszögek megfelelő csúcsait összekötő szakaszok a prizma oldalélei.

Prizma magassága alapjai síkjai közötti távolságnak nevezzük (). A prizma két, nem ugyanahhoz a laphoz tartozó csúcsát összekötő szakaszt nevezzük prizma átlós(). A prizmát ún n-szén ha alapja n-szög.

Bármely prizma a következő tulajdonságokkal rendelkezik, amelyek abból a tényből következnek, hogy a prizma alapjait párhuzamos fordítással kombinálják:

1. A prizma alapjai egyenlők.

2. A prizma oldalélei párhuzamosak és egyenlőek.

A prizma felületét alapok és oldalsó felület. A prizma oldalfelülete paralelogrammákból áll (ez a prizma tulajdonságaiból következik). A prizma oldalfelületének területe az oldallapok területének összege.

egyenes prizma

A prizmát ún egyenes ha oldalélei merőlegesek az alapokra. Ellenkező esetben a prizmát ún ferde.

Az egyenes prizma lapjai téglalapok. Egy egyenes prizma magassága megegyezik az oldallapjaival.

teljes prizma felület az oldalfelület és az alapterületek összege.

Helyes prizma derékszögű prizmának nevezzük, amelynek alapjában szabályos sokszög található.

13.1. Tétel. Az egyenes prizma oldalfelületének területe megegyezik a prizma kerületének és magasságának szorzatával (vagy ennek megfelelően az oldalsó élével).

Bizonyíték. Az egyenes prizma oldallapjai téglalapok, amelyek alapjai a prizma alapjainál lévő sokszögek oldalai, a magasságok pedig a prizma oldalélei. Ekkor definíció szerint az oldalfelület:

,

ahol az egyenes prizma alapjának kerülete.

Paralelepipedon

Ha egy prizma alapjain paralelogrammák fekszenek, akkor az ún paralelepipedon. A paralelepipedon minden lapja paralelogramma. Ebben az esetben a paralelepipedon szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlőek.

13.2. Tétel. A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, és a metszéspontot kettéosztjuk.

Bizonyíték. Vegyünk például két tetszőleges átlót, és . Mert a paralelepipedon lapjai paralelogrammák, akkor és , ami azt jelenti, hogy T szerint körülbelül két, a harmadikkal párhuzamos egyenes. Ezenkívül ez azt jelenti, hogy a vonalak és a vonalak ugyanabban a síkban (a síkban) fekszenek. Ez a sík párhuzamos síkokat metszi és párhuzamos egyenesek mentén és . Így a négyszög paralelogramma, és a paralelogramma tulajdonsága alapján átlói és metszéspontjai kettéosztják a metszéspontot, amit bizonyítani kellett.

Olyan derékszögű paralelepipedont nevezünk, amelynek alapja téglalap kocka alakú. A téglatest minden lapja téglalap. A téglalap alakú paralelepipedon nem párhuzamos éleinek hosszát lineáris méreteinek (méréseknek) nevezzük. Három méret van (szélesség, magasság, hosszúság).

13.3. Tétel. Egy téglatestben bármely átló négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével (a Pythagorean T kétszeri alkalmazásával bizonyítva).

Olyan téglalap alakú paralelepipedont nevezünk, amelynek minden éle egyenlő kocka.

Feladatok

13.1 Hány átlót tesz ki n- karbon prizma

13.2 Egy ferde háromszög prizmában az oldalélek távolsága 37, 13 és 40. Határozza meg a nagyobb oldallap és a szemközti oldalél közötti távolságot!

13.3 Egy szabályos háromszög alakú prizma alsó alaplapjának oldalán keresztül egy síkot húzunk, amely metszi az oldallapokat szegmensek mentén, amelyek szöge . Határozza meg ennek a síknak a dőlésszögét a prizma alapjához képest.

A különböző prizmák különböznek egymástól. Ugyanakkor sok a közös bennük. A prizma alapterületének meghatározásához ki kell találnia, hogy milyen fajta.

Általános elmélet

Prizma minden olyan poliéder, amelynek oldalai paralelogramma alakúak. Sőt, bármely poliéder lehet az alapján - a háromszögtől az n-szögig. Ráadásul a prizma alapjai mindig egyenlőek egymással. Ami nem vonatkozik az oldalfelületekre - ezek mérete jelentősen eltérhet.

A problémák megoldása során nem csak a prizma alapterületével találkozunk. Szükséges lehet az oldalfelület ismerete, vagyis minden olyan lap, amely nem alap. A teljes felület már a prizmát alkotó összes lap egyesülése lesz.

Néha magasságok jelennek meg a feladatokban. Az alapokra merőleges. A poliéder átlója olyan szakasz, amely páronként összeköt két olyan csúcsot, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.

Meg kell jegyezni, hogy az egyenes vagy ferde prizma alapjának területe nem függ a köztük és az oldallapok közötti szögtől. Ha ugyanazok az ábrák vannak a felső és az alsó oldalon, akkor területük egyenlő lesz.

háromszög prizma

Az alján van egy három csúcsú alak, azaz egy háromszög. Köztudott, hogy más. Ha akkor elég felidézni, hogy a területét a lábak szorzatának fele határozza meg.

A matematikai jelölés így néz ki: S = ½ av.

Az alap területének általános formában történő megismeréséhez hasznosak a képletek: Gém és az, amelyikben az oldal felét a hozzá húzott magasságba veszik.

Az első képletet így kell felírni: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Ez a bejegyzés egy fél kerületet (p) tartalmaz, azaz három oldal összegét osztva kettővel.

Második: S = ½ n a * a.

Ha meg akarjuk tudni egy háromszög hasáb alapjának területét, amely szabályos, akkor a háromszög egyenlő oldalú. Saját képlete van: S = ¼ a 2 * √3.

négyszögű prizma

Alapja bármely ismert négyszög. Lehet téglalap vagy négyzet, paralelepipedon vagy rombusz. A prizma alapterületének kiszámításához minden esetben saját képletre lesz szüksége.

Ha az alap téglalap, akkor a területét a következőképpen határozzuk meg: S = av, ahol a, b a téglalap oldalai.

Ha négyszögletű prizmáról van szó, a szabályos prizma alapterületét a négyzet képletével számítjuk ki. Mert ő fekszik a bázison. S \u003d a 2.

Abban az esetben, ha az alap paralelepipedon, a következő egyenlőségre lesz szükség: S \u003d a * n a. Előfordul, hogy a paralelepipedon oldala és az egyik szög adott. Ezután a magasság kiszámításához egy további képletet kell használnia: na \u003d b * sin A. Ezenkívül az A szög szomszédos a "b" oldallal, és a magasság na ezzel a szöggel ellentétes.

Ha egy rombusz a prizma alapjában fekszik, akkor a terület meghatározásához ugyanaz a képlet szükséges, mint a paralelogramma esetében (mivel ez egy speciális eset). De használhatja ezt is: S = ½ d 1 d 2. Itt d 1 és d 2 a rombusz két átlója.

Szabályos ötszögletű prizma

Ebben az esetben a sokszöget háromszögekre kell felosztani, amelyek területei könnyebben kideríthetők. Bár előfordul, hogy a figurák különböző számú csúcsúak lehetnek.

Mivel a prizma alapja szabályos ötszög, öt egyenlő oldalú háromszögre osztható. Ekkor a prizma alapterülete egyenlő egy ilyen háromszög területével (a képlet fent látható), megszorozva öttel.

Szabályos hatszögletű prizma

Az ötszögű prizmánál leírt elv szerint az alap hatszög 6 egyenlő oldalú háromszögre osztható. Az ilyen prizma alapterületének képlete hasonló az előzőhöz. Csak benne kell hattal szorozni.

A képlet így fog kinézni: S = 3/2 és 2 * √3.

Feladatok

No. 1. Adott egy szabályos vonal, melynek átlója 22 cm, a poliéder magassága 14 cm. Számítsa ki a prizma alapjának és a teljes felületének területét!

Megoldás. A prizma alapja négyzet, de az oldala nem ismert. Értékét a négyzet átlójából (x), amely a prizma átlójához (d) és magasságához (h) viszonyít. x 2 \u003d d 2 - n 2. Másrészt ez az "x" szakasz egy olyan háromszög hipotenusza, amelynek lábai egyenlők a négyzet oldalával. Vagyis x 2 \u003d a 2 + a 2. Így kiderül, hogy a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Helyettesítse a d helyett a 22-es számot, és cserélje ki az „n”-et annak értékére - 14, így kiderül, hogy a négyzet oldala 12 cm. Most már könnyen megtudhatja az alapterületet: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

A teljes felület területének meghatározásához hozzá kell adni az alapterület értékének kétszeresét, és megnégyszereznie kell az oldalt. Ez utóbbit könnyű megtalálni a téglalap képletével: szorozzuk meg a poliéder magasságát és az alap oldalát. Vagyis 14 és 12, ez a szám 168 cm 2 lesz. A prizma teljes felülete 960 cm 2 .

Válasz. A prizma alapterülete 144 cm2. A teljes felület - 960 cm 2 .

2. szám Dana Az alapon egy 6 cm-es oldalú háromszög fekszik, ebben az esetben az oldallap átlója 10 cm. Számítsa ki a területeket: az alap és az oldalfelület!

Megoldás. Mivel a prizma szabályos, az alapja egy egyenlő oldalú háromszög. Ezért a területe egyenlő 6 négyzet-szer ¼-vel és 3 négyzetgyökével. Egyszerű számítással a következő eredményt kapjuk: 9√3 cm 2. Ez a prizma egyik alapterülete.

Minden oldallap egyforma, téglalap 6 és 10 cm oldalakkal. Területük kiszámításához elegendő ezeket a számokat megszorozni. Ezután szorozza meg őket hárommal, mert a prizmának pontosan annyi oldallapja van. Ezután az oldalfelület területét 180 cm 2 -re tekerjük.

Válasz. Területek: alap - 9√3 cm 2, a prizma oldalfelülete - 180 cm 2.

Általános információk az egyenes prizmáról

A prizma oldalfelületét (pontosabban az oldalfelületét) ún összeg oldalsó arcterületek. A prizma teljes felülete egyenlő az oldalfelület és az alapok területeinek összegével.

19.1. Tétel. Az egyenes prizma oldalfelülete egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával, azaz az oldalél hosszával.

Bizonyíték. Az egyenes prizma oldallapjai téglalapok. Ezeknek a téglalapoknak az alapja a sokszög oldalai, amelyek a prizma alapjában helyezkednek el, és a magasságuk megegyezik az oldalélek hosszával. Ebből következik, hogy a prizma oldalfelülete egyenlő

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

ahol a 1 és n az alap bordáinak hossza, p a prizma alapjának kerülete, I pedig az oldalbordák hossza. A tétel bizonyítást nyert.

Gyakorlati feladat

Feladat (22) . Ferde prizmában szakasz, merőleges az oldalélekre és az összes oldalélt metszi. Határozzuk meg a prizma oldalfelületét, ha a szelvény kerülete p, oldalélei l.

Megoldás. A megrajzolt metszet síkja két részre osztja a prizmát (411. ábra). Vegyük alá az egyiket egy párhuzamos fordításnak, amely egyesíti a prizma alapjait. Ebben az esetben egy egyenes prizmát kapunk, amelyben az eredeti prizma szakasza szolgál alapként, és az oldalélek egyenlőek l-lel. Ennek a prizmának az oldalfelülete megegyezik az eredetivel. Így az eredeti prizma oldalfelülete egyenlő pl.

A téma általánosítása

És most próbáljuk meg összefoglalni a prizma témáját, és emlékezzünk arra, hogy milyen tulajdonságai vannak a prizmának.

Prizma tulajdonságai

Először is, egy prizmánál minden alapja egyenlő sokszög;
Másodszor, egy prizma esetében az összes oldallapja paralelogramma;
Harmadszor, egy ilyen sokoldalú ábrán, mint egy prizma, minden oldalél egyenlő;

Emlékeztetni kell arra is, hogy a poliéderek, például a prizmák lehetnek egyenesek és ferdeek.

Mi az az egyenes prizma?

Ha egy prizma oldaléle merőleges az alapja síkjára, akkor az ilyen prizmát egyenesnek nevezzük.

Nem lesz felesleges felidézni, hogy az egyenes prizma oldallapjai téglalapok.

Mi az a ferde prizma?

De ha a prizma oldaléle nem merőleges az alapja síkjára, akkor nyugodtan mondhatjuk, hogy ez egy ferde prizma.

Mi a helyes prizma?

Ha egy szabályos sokszög egy egyenes prizma alapjában fekszik, akkor az ilyen prizma szabályos.

Most emlékezzünk vissza a szabályos prizmák tulajdonságaira.

Szabályos prizma tulajdonságai

Először is, a szabályos sokszögek mindig egy szabályos prizma alapjául szolgálnak;
Másodszor, ha egy szabályos prizma oldallapjait tekintjük, akkor ezek mindig egyenlő téglalapok;
Harmadszor, ha összehasonlítjuk az oldalbordák méretét, akkor a megfelelő prizmában mindig egyenlőek.
Negyedszer, a szabályos prizma mindig egyenes;
Ötödször, ha egy szabályos prizmában az oldallapok négyzet alakúak, akkor egy ilyen alakzatot általában félig szabályos sokszögnek neveznek.

Prizma szakasz

Most nézzük egy prizma keresztmetszetét:

Házi feladat

És most próbáljuk meg a vizsgált témát problémák megoldásával megszilárdítani.

Rajzoljunk egy ferde háromszög alakú prizmát, amelyben az élei közötti távolság: 3 cm, 4 cm és 5 cm lesz, és ennek a prizmának az oldalfelülete 60 cm2 lesz. Ezekkel a paraméterekkel keresse meg az adott prizma oldalélét.

Tudja-e, hogy nemcsak a geometria órákon vesznek körül minket folyamatosan geometriai alakzatok, hanem a mindennapi életben is vannak olyan tárgyak, amelyek egy-egy geometrikus alakra hasonlítanak.

Minden otthonban, iskolában vagy munkahelyen van számítógép, melynek rendszeregysége egyenes prizma alakú.

Ha felvesz egy egyszerű ceruzát, látni fogja, hogy a ceruza fő része egy prizma.

A város főutcáján sétálva azt látjuk, hogy a lábunk alatt hatszögletű hasáb alakú cserép hever.

A. V. Pogorelov, Geometria 7-11. osztályosoknak, Tankönyv oktatási intézmények számára

Definíció 1. Prizmás felület
Tétel 1. Prizmás felület párhuzamos szakaszain
Definíció 2. Prizmás felület merőleges metszete
Definíció 3. Prizma
Definíció 4. Prizmamagasság
Definíció 5. Közvetlen prizma
2. Tétel. A prizma oldalfelületének területe

Párhuzamos :
Definíció 6. Paralleleppiped
3. Tétel Egy paralelepipedon átlóinak metszéspontjáról
Definíció 7. Jobb oldali paralelepipedon
Definíció 8. Téglalap alakú paralelepipedon
Definíció 9. A paralelepipedon méretei
Definíció 10. Kocka
Definíció 11. Romboéder
Tétel 4. Négyszögletes paralelepipedon átlóiról
5. Tétel. Prizma térfogata
Tétel 6. Egyenes prizma térfogata
7. Tétel. Téglalap alakú paralelepipedon térfogata

prizma poliédernek nevezzük, amelyben két lap (alap) párhuzamos síkban fekszik, és az ezeken a lapokon nem fekvő élek párhuzamosak egymással.
Az alapoktól eltérő arcokat hívják oldalsó.
Az oldallapok és alapok oldalait ún prizma élei, az élek végeit ún a prizma csúcsai. Oldalsó bordákéleknek nevezzük, amelyek nem tartoznak az alapokhoz. Az oldallapok egyesülését ún a prizma oldalfelülete, és az összes arc egyesülését hívják a prizma teljes felülete. Prizma magassága a felső alap pontjából az alsó alap síkjába ejtett merőlegest vagy ennek a merőlegesnek a hosszát nevezzük. egyenes prizma prizmának nevezzük, amelyben az oldalélek merőlegesek az alapok síkjaira. Helyes egyenes prizmának nevezzük (3. ábra), melynek alapjában szabályos sokszög fekszik.

Megnevezések:
l - oldalsó borda;
P - alap kerülete;
S o - alapterület;
H - magasság;
P ^ - a merőleges szakasz kerülete;
S b - oldalfelület;
V - térfogat;
S p - a prizma teljes felületének területe.

2. definíció . A prizmatikus felület merőleges metszete ennek a felületnek az éleire merőleges sík metszete. Az előző tétel alapján ugyanannak a prizmatikus felületnek minden merőleges szakasza egyenlő sokszög lesz.

3. definíció . A prizma olyan poliéder, amelyet egy prizmatikus felület és két egymással párhuzamos sík határol (de nem párhuzamos a prizmafelület éleivel).
Az ezekben az utolsó síkokban fekvő arcokat ún prizma alapok; prizmás felülethez tartozó lapok - oldalsó arcok; a prizmatikus felület élei - a prizma oldalélei. Az előző tétel értelmében a prizma alapjai az egyenlő sokszögek. A prizma minden oldallapja paralelogrammák; minden oldalél egyenlő egymással.
Nyilvánvaló, hogy ha az ABCDE prizma alapja és az AA" élek egyike adott nagyságrendben és irányban, akkor a BB", CC", .. élekkel egyenlő és párhuzamos élek megrajzolásával lehet prizmát építeni a széle AA".

4. definíció . A prizma magassága az alapjainak síkjai közötti távolság (HH").

5. definíció . Egy prizmát egyenesnek nevezünk, ha alapjai egy prizmatikus felület merőleges metszetei. Ebben az esetben a prizma magassága természetesen az övé oldalborda; oldalsó élek lesznek téglalapok.
A prizmákat az oldallapok száma alapján osztályozhatjuk, ami megegyezik az alapjául szolgáló sokszög oldalainak számával. Így a prizmák lehetnek háromszögűek, négyszögletesek, ötszögűek stb.

2. tétel . A prizma oldalfelületének területe megegyezik az oldalsó él és a merőleges szakasz kerületének szorzatával.
Legyen az ABCDEA"B"C"D"E" az adott prizma, abcde pedig a merőleges metszete úgy, hogy az ab, bc, .. szakaszok merőlegesek az oldaléleire. Az ABA"B" lap paralelogramma, területe egyenlő az AA " alap szorzatával egy olyan magassághoz, amely megegyezik az ab-val; a BCV "C" felület területe egyenlő a BB" alap szorzatával a bc magassággal stb. Ezért az oldalfelület (azaz az oldallapok területének összege) egyenlő az oldalél szorzatával, vagyis az AA", BB", .. szakaszok teljes hosszával, az ab+bc+cd+de+ea összeggel.