Brojke. Cijeli brojevi. Svojstva cijelih brojeva. Najveći zajednički višekratnik i najmanji zajednički djelitelj. Kriteriji djeljivosti i metode grupiranja (2019.)

§ 77. O razlomcima jedinice.

Proučavali smo svojstva cijelih brojeva i djelovanja na njih. Osim cijelih brojeva, postoje i frakcijski brojevi s kojima ćemo se sada upoznati. Kada učenik kaže da mu treba pola sata hoda od kuće do škole, on vrijeme ne izražava u cijelim satima, već u dijelovima sata. Kada liječnik savjetuje pacijentu da otopi prašak u četvrtini čaše vruće vode, tada se voda ne mjeri u cijelim čašama, već u dijelovima čaše. Ako se jedna lubenica ima podjednako podijeliti na tri dječaka, onda svaki od njih može dobiti samo trećinu lubenice ili trećinu.

U svim slučajevima nismo govorili o cijelim jedinicama, već o dijelovima ili dijelovima jedinice. Dionice mogu biti vrlo raznolike, na primjer, gram je tisućinka kilograma, milimetar je milijunti dio kilometra. Prvo ćemo govoriti o najjednostavnijim dionicama (polovica, trećina, četvrtina itd.).

Radi veće jasnoće, prikazat ćemo ove dionice kao ravne linije.

Ako uzmemo segment AB kao jedinicu (slika 9), tada, podijelivši ga na dva jednaka dijela, možemo reći da će rezultirajući segmenti AC i CB biti polovice segmenta AB.

Nadalje, ako segment DE (sl. 10) uzmemo kao jedinicu i podijelimo ga na 3 jednaka dijela, tada će svaki od dobivenih segmenta DF, FH, HE biti jednak jednoj trećini segmenta DE, a segment DH bit će jednak dvije trećine segmenta DE. Slično, segment FE bit će jednak dvije trećine segmenta DE.

Uzmimo još jedan segment MN (slika 11), uzmimo ga kao jedinicu i podijelimo na četiri jednaka dijela; tada će svaki od segmenata MP, PQ, QR, RN biti jednak jednoj četvrtini segmenta MN; svaki od segmenata MQ, PR, QN bit će jednak dvjema četvrtinama, a svaki od segmenata MR i PN bit će jednak tri četvrtine MN.

U razmatranim primjerima upoznali smo se s polovicom, trećinom, četvrtinom, dvije trećine, dvije četvrtine, tri četvrtine, odnosno ili s jednim dijelom jedinice, ili s dva, ili s tri jednaka dijela jedinice .

Naziva se broj sastavljen od jednog ili više jednakih dijelova jedan pucao.

Već smo rekli da umjesto riječi "dijeliti" možete reći riječ "dio"; stoga se razlomkom može nazvati broj koji izražava jedan ili više identičnih dijelova jedinice.

Dakle, brojevi spomenuti u ovom odlomku: polovica, ili jedna sekunda, jedna trećina, jedna četvrtina, dvije trećine i ostali, bit će razlomci.

Često je potrebno uzeti u obzir ne samo dijelove predmeta, već zajedno s njima cijele objekte. Na primjer, dva dječaka odluče podjednako podijeliti svojih pet jabuka. Očito je da će svatko od njih prvo uzeti dvije jabuke, a preostalu posljednju jabuku prerezati na dva jednaka dijela. Tada će svaki imati dvije i pol jabuke. Ovdje je broj jabuka za svakog dječaka izražen kao cijeli broj (dvije) s nekim razlomkom (polovica).

Brojevi koji sadrže cijeli broj i razlomak nazivaju se mješoviti brojevi.

§ 78. Slika razlomaka.

Razmotrite posljednji crtež prethodnog odlomka (slika 11). Rekli smo da je segment MR tri četvrtine segmenta MN. Sada se postavlja pitanje kako se taj razlomak, tj. tri četvrtine, može napisati brojevima. Prisjetimo se kako je nastao razlomak tri četvrtine. Uzeli smo odsječak MN kao jedinicu, podijelili ga na 4 jednaka dijela i od tih dijelova uzeli 3. Upravo taj proces nastanka razlomka trebao bi se odraziti na njegov zapis, odnosno iz tog zapisa se vidi da je jedinica se dijeli na 4 jednaka dijela, a dobiveni dijelovi se uzimaju 3. Zbog toga je razlomak prikazan pomoću dva broja odvojena vodoravnom crtom. Ispod crte je napisan broj koji označava na koliko je jednakih dijelova podijeljena jedinica od koje se uzima razlomak, a iznad crte je napisan drugi broj koji pokazuje koliko dionica sadrži

u ovom razlomku. Razlomak tri četvrtine bit će napisan ovako: 3/4.

Poziva se broj iznad crte brojnik razlomci; ovaj broj označava broj dijelova sadržanih u danom razlomku.

Poziva se broj ispod crte nazivnik razlomci; pokazuje na koliko je jednakih dijelova jedinica podijeljena.

3 - brojnik,
_
4 je nazivnik.

Crtica koja odvaja brojnik od nazivnika naziva se razlomka. I brojnik i nazivnik zajedno se nazivaju članovima razlomka. Napišimo razlomak kao primjer:

dvije trećine - 2/3; pet dvanaestina - 5/12.

Mješoviti brojevi se zapisuju na sljedeći način: prvo se napiše cijeli broj, a uz njega se desno pripiše razlomak. Na primjer, mješoviti broj od dvije i četiri petine trebao bi biti napisan ovako: 2 4 / 5.

§ 79. Nastanak razlomaka.

Razmotrite pitanje kako i gdje nastaju razlomci, zašto i pod kojim okolnostima se pojavljuju.

Uzmimo, na primjer, ovu činjenicu. Duljinu ploče trebate izmjeriti metrom. Uzimamo metar dugačko drveno ravnalo i prislonimo ga duž donjeg ruba ploče, krećući se s lijeva na desno. Neka stane dva puta, ali još uvijek postoji dio ploče gdje ravnalo neće stati treći put, jer je duljina preostalog dijela manja od duljine ravnala.

Ako ostatak ploče sadrži npr. pola metra, tada je duljina ploče dva i pol (2 1/2) metra.

Sada ćemo istim ravnalom izmjeriti širinu ploče. Recimo, jednom je to učinila, ali nakon ovog jedinog kašnjenja ostao je mali dio ploče, nepunih metar. Primjenom metra na ovaj dio ploče, recimo, bilo je moguće pronaći da je jednak jednoj četvrtini (1/4) metra.

Dakle, cijela širina ploče je 1 1/4 m.

Tako smo pri mjerenju duljine i širine ploče dobili brojeve 2 1/2 m i 1 1/4 m (tj. razlomke).

Ne samo duljina i širina predmeta, nego i mnoge druge veličine često se izražavaju u razlomcima.

Vrijeme ne mjerimo samo u satima, minutama i sekundama, već često i u dijelovima sata, u dijelovima minute, pa čak i u dijelovima sekunde.

Vrlo često razlomački brojevi izražavaju težinu, na primjer, kažu: 1/2 kg, l 1/2 kg, 1/2 g, 3/4 g, 1/2 t itd.

Do sada smo govorili o podrijetlu razlomaka iz mjerenja, ali postoji još jedan izvor razlomaka - to je radnja dijeljenja. Stanimo tu. Neka se 3 jabuke trebaju podijeliti na 4 dječaka; očito, u ovom slučaju, svaki dječak neće dobiti cijelu jabuku, jer ima manje jabuka nego djece. Prvo uzmite 2 jabuke i svaku prepolovite. Ispast će 4 polovice, a budući da su dječaka četiri, svakome se može dati pola jabuke. Preostalu treću jabuku ćemo prerezati na 4 dijela i zatim svakom dječaku dodati na ono što ima, još jednu četvrtinu. Zatim će se sve jabuke podijeliti i svaki će dječak dobiti jednu polovicu i jednu četvrtinu jabuke. Ali budući da svaka polovica sadrži 2 četvrtine, može se na kraju reći da će svaki dječak imati dvije četvrtine i plus po jednu četvrtinu, odnosno ukupno tri četvrtine (3/4) jabuke.

§ 80. Usporedba razlomaka po veličini.

Ako međusobno usporedimo bilo koje količine, na primjer, dva segmenta, tada se može ispostaviti da je jedan od njih točno jednak drugome, ili da je veći od drugog, ili manji od drugog.

Na slici 12, segment AB jednak je segmentu CD; segment EF je veći od segmenta QH; segment KL je manji od segmenta MN.

Ista tri slučaja susrest ćemo i pri usporedbi razlomaka. Pokušajmo međusobno usporediti neke razlomke.

1. Dva razlomka se smatraju jednakima ako su količine koje tim razlomcima odgovaraju međusobno jednake (s istom mjernom jedinicom). Uzmimo segment SC i uzmimo ga kao jedinicu.

Segment SK podijelimo na pola točkom D (slika 13). Tada ćemo dio tog segmenta CD označiti razlomkom 1/2. Ako isti segment SK podijelimo na 4 jednaka dijela, tada će segment CD biti izražen kao razlomak 2 / 4; ako segment SK podijelimo na 8 jednakih dijelova, tada će segment CD odgovarati razlomku 4/8. Budući da smo isti segment uzeli tri puta, razlomci 1/2, 2/4 i 4/8 su međusobno jednaki.

2. Uzmimo dva razlomka s jednakim brojnicima: 1/4 i 1/8 i vidimo koje im vrijednosti odgovaraju. U prvom slučaju se neka vrijednost podijeli na 4 jednaka dijela, au drugom slučaju također na 8 jednakih dijelova.

Slika 14 pokazuje da je 1/4 veće od 1/8. Dakle, od dva razlomka s istim brojnikom, veći je razlomak s manjim nazivnikom.

3. Uzmite dva razlomka s jednakim nazivnicima: 5/8 i 3/8. Označimo li svaki od ovih razlomaka na prethodnom crtežu, vidjet ćemo da je segment koji odgovara prvom razlomku veći od segmenta koji odgovara drugom. Dakle, od dva razlomka s istim nazivnikom, veći je razlomak s većim brojnikom.

4. Ako su dana dva razlomka s različitim brojnicima i nazivnicima, tada se njihova vrijednost može prosuditi uspoređujući svaki od njih s jednim. Na primjer, 2/3 je manje od 4/5, jer se prvi razlomak razlikuje od jedinice za 1/3, a drugi za 1/5, tj. drugi razlomak je manji od jedinice od prvog.

No, takve je razlomke najlakše usporediti svođenjem na zajednički nazivnik, o čemu će biti riječi u nastavku.

§ 81. Razlomci su pravilni i nepravi. Mješoviti brojevi.

Uzmimo segment AB jednak dvjema linearnim jedinicama (slika 15). Svaku jedinicu podijelimo na 10 jednakih dijelova, tada će svaki dio biti jednak 1/10, tj.

AD = DE = EF = FH = ... = 1/10 AC.

Razmotrite ostale segmente i razmislite kojim su razlomcima izraženi. Na primjer, AF - 3/10, AK - 5/10, AM - 7/10; AO-9/10, AS-10/10, AR-11/10, AR-13/10. Izrazili smo sve segmente uzete kao razlomke s nazivnikom 10. Prva četiri razlomka (3/10, 5/10, 7/10; 9/10) imaju brojnike manje od nazivnika, svaki od njih je manji od 1.

Peti ulomak (10/10) ima brojnik jednak nazivniku, a sam ulomak je jednak 1, odgovara segmentu AC, uzetom kao jedinica.

Zadnja dva razlomka (11/10, 13/10) imaju brojnike veće od nazivnika, a svaki razlomak je veći od 1.

Razlomak čiji je brojnik manji od nazivnika nazivamo pravim razlomkom. Kao što je gore navedeno, pravi razlomak je manji od jedan. To znači da su prva četiri razlomka točna i stoga možemo napisati: 3 / 10<1, 5 / 10 <1, 7 / 10 <1, 9 / 10 <1.

Razlomak čiji je brojnik jednak ili veći od nazivnika naziva se nepravi razlomak. Dakle, nepravi razlomak je ili jednak jedinici ili veći od nje. Dakle, zadnja tri razlomka su nepravilna i možete napisati:

10 / 10 =1 ; 11 / 10 >1 ; 13 / 10 >1 ;

Usredotočimo se na posljednja dva (neprava) razlomka. Razlomak 11/10 sastoji se od jedne cijele jedinice i pravilnog razlomka 1/10, što znači da se može napisati ovako: 1 1/10. Rezultat je bio broj koji je kombinacija cijelog i pravog razlomka, odnosno mješoviti broj. Isto se može ponoviti za nepravi razlomak 13/10. Možemo ga predstaviti kao 1 3/10. Ovo će također biti mješoviti broj.

Morate naučiti kako zamijeniti nepravi razlomak mješovitim brojem. Prethodna dva nepravilna razlomka lako smo zamijenili mješovitim brojevima. Ali ako smo sreli razlomak, na primjer 545/32, onda je iz njega teže izdvojiti cijeli dio, a bez izdvajanja cijelog dijela teško je prosuditi vrijednost tog broja.

S druge strane, pri izvođenju raznih izračuna ponekad je prikladnije koristiti ne miješane brojeve, već nepravilne razlomke. To znači da, ako je potrebno, morate znati napraviti inverznu transformaciju, odnosno zamijeniti mješoviti broj nepravilnim razlomkom.

§ 82. Pretvaranje nepravog razlomka u mješoviti broj i inverzna transformacija.

Uzmimo nepravilan razlomak 9/4 i pokušajmo ga zamijeniti mješovitim brojem. Tvrdit ćemo na sljedeći način: ako su 4 četvrtine sadržane u jednoj jedinici, tada je onoliko cijelih jedinica sadržano u 9 četvrtina toliko puta 4 četvrtine sadržano u 9 četvrtina. Za odgovor na ovo pitanje dovoljno je podijeliti 9 s 4. Dobiveni kvocijent označit će broj cijelih brojeva, a ostatak će dati broj četvrtina koje ne čine cjelinu. 4 je sadržano u 9 dva puta s ostatkom 1. Dakle, 9 / 4 = 2 1 / 4, budući da je 9: 4 = 2 i 1 u ostatku.

Pretvorimo gore navedeni nepravi razlomak 545/32 u mješoviti broj.

545; 32 \u003d 17 i 1 u ostatku, dakle 545 / 32 \u003d 17 1 / 32.

Da biste nepravi razlomak pretvorili u mješoviti broj, trebate brojnik razlomka podijeliti s nazivnikom i pronaći ostatak; kvocijent će pokazati broj cijelih jedinica, a ostatak će pokazati broj razlomaka jedinice.

Budući da pretvaranjem nepravog razlomka u mješoviti broj svaki put odabiremo cjelobrojni dio, ova se transformacija obično naziva eliminacija cijelog broja iz nepravog razlomka.

Razmotrimo slučaj kada je nepravi razlomak jednak cijelom broju. Neka se zahtijeva isključivanje cijelog broja iz netočnog

razlomci 36/12 Prema pravilu dobijemo 36: 12 = 3 i 0 u ostatku, tj. brojnik se podijeli s nazivnikom bez ostatka, što znači 36/12 = 3.

Prijeđimo sada na inverznu transformaciju, tj. na pretvaranje mješovitog broja u nepravi razlomak.

Uzmimo mješoviti broj 3 3/4 i pretvorimo ga u nepravi razlomak. Recimo ovako: svaka cijela jedinica sadrži 4 četvrtine, a 3 jedinice će sadržavati 3 puta više četvrtina, tj. 4 x 3 \u003d 12 četvrtina. To znači da 3 cijele jedinice sadrže 12 četvrtina, a čak iu razlomku mješovitog broja nalaze se 3 četvrtine, a ukupno će biti 15 četvrtina, odnosno 15/4. Prema tome, 3 3 / 4 = 15 / 4 .

Primjer. Pretvorite mješoviti broj 8 4 / 9 u nepravi razlomak:

Da biste mješoviti broj pretvorili u nepravi razlomak, trebate pomnožiti nazivnik s cijelim brojem, dodati brojnik dobivenom umnošku i taj zbroj učiniti brojnikom željenog razlomka, a nazivnik ostaviti isti.

§ 83. Pretvaranje cijelog broja u nepravi razlomak.

Svaki cijeli broj može se izraziti bilo kojim brojem razlomaka od jedan. Ovo je ponekad korisno u izračunima. Neka je, na primjer, broj 5 izražen u šestinama jedinice.

Tvrdit ćemo na sljedeći način: budući da u jednoj jedinici postoji šest šestina, tada u 5 jedinica ovih dionica neće biti šest, već 5 puta više, tj. 6 x 5 \u003d 30 šestina. Akcija je ovako organizirana:

Na isti način, svaki cijeli broj možemo pretvoriti u nepravi razlomak s bilo kojim nazivnikom. Uzmimo broj 10 i predstavimo ga kao nepravi razlomak s različitim nazivnicima:

nazivnik 2, dakle

nazivnik 3, dakle

nazivnik 5, dakle

Dakle, da biste cijeli broj izrazili kao nepravilan razlomak s danim nazivnikom, trebate pomnožiti taj nazivnik s danim brojem, rezultirajući umnožak pretvoriti u brojnik i potpisati taj nazivnik.

Najmanji mogući nazivnik je jedan (1). Stoga, kada žele predstaviti cijeli broj kao razlomak, često uzimaju jedan kao nazivnik (l2 = 12 / 1). Ova se misao ponekad izražava na sljedeći način: bilo koji cijeli broj može se smatrati razlomkom s nazivnikom jednakim jedan (2 = 2/1; 3 = 3/1; 4 = 4/1; 5 = 5/1, itd.) )

§ 84. Promjena vrijednosti razlomka s promjenom njegovih članova.

U ovom odjeljku razmotrit ćemo kako će se promijeniti vrijednost razlomka kada se promijene njegovi članovi.

1. pitanje.Što se događa s vrijednošću razlomka kako se njegov brojnik povećava nekoliko puta? Uzmimo razlomak 1/12 i postupno ćemo povećavati njegov brojnik dva, tri, četiri itd. puta. Tada ćete dobiti sljedeće razlomke:

Počnemo li te razlomke međusobno uspoređivati, vidjet ćemo da se oni postupno povećavaju: drugi je razlomak dvostruko veći od prvoga, jer ima dvostruko više dijelova, treći je razlomak tri puta veći od prvoga, itd.

Iz ovoga možemo zaključiti: Ako se brojnik razlomka poveća nekoliko puta, tada će se razlomak povećati za isti iznos.

2. pitanje.Što se događa s vrijednošću razlomka kada smanjujući njegov brojnik nekoliko puta? Uzmimo razlomak 24/25 i postupno ćemo mu smanjivati ​​brojnik dva puta, tri puta, četiri puta itd. Tada ćemo dobiti sljedeće razlomke:

Pogledajte ove razlomke jedan po jedan s lijeva na desno i vidjet ćete da je drugi razlomak (12 / 25) pola prvih 24 / 25, jer ima pola dijelova, odnosno pola brojnika; četvrti razlomak 6/25 je četiri puta manji od prvog i pola drugog.

Sredstva, Ako se brojnik razlomka smanji nekoliko puta, razlomak će se smanjiti za isti iznos.

3. pitanje.Što se događa s vrijednošću razlomka kada povećavajući svoj nazivnik nekoliko puta? Na ovo pitanje možemo odgovoriti tako da uzmemo neki razlomak, na primjer 1/2, i povećamo njegov nazivnik bez promjene brojnika. Udvostručimo nazivnik, utrostručimo ga itd. i vidimo što će se dogoditi s razlomkom:

Postupno povećavajući nazivnik, konačno smo ga doveli do 100. Nazivnik je postao prilično velik, ali se vrijednost dionice jako smanjila, postala je jednaka jednoj stotini. Iz ovoga je jasno da će povećanje nazivnika razlomka neizbježno dovesti do smanjenja samog razlomka.

Sredstva, Ako se nazivnik razlomka poveća nekoliko puta, razlomak će se smanjiti za isti iznos.

4. pitanje.Što se događa s vrijednošću razlomka kada se pomnoži njegov nazivnik? Uzet ćemo one razlomke koji su nedavno napisani i prepisati ih s kraja; tada će naš prvi razlomak biti najmanji, a posljednji najveći, ali će prvi imati najveći nazivnik, a zadnji će imati najmanji nazivnik:

Lako je zaključiti: Ako se nazivnik razlomka smanji za faktor 1, tada će se razlomak povećati za isti faktor.

5. pitanje.Što se događa s razlomkom kada se i brojnik i nazivnik povećaju ili smanje za isti iznos?

Uzmimo razlomak 1/2 i uzastopno i istovremeno povećavamo njegov brojnik i nazivnik. Uz razlomak se ponekad stavlja faktor kojim se množe članovi prvog razlomka:

Napisali smo šest razlomaka, razlikuju se po izgledu, ali lako je zaključiti da su svi jednaki po veličini. Zapravo, usporedimo barem prvi razlomak s drugim. Prvi razlomak je 1/2; ako udvostručimo njegov brojnik, tada će se razlomak udvostručiti, ali ako odmah udvostručimo njegov nazivnik, tada će se smanjiti za pola, odnosno, drugim riječima, ostat će nepromijenjen. Dakle, 1/2 = 2/4. Isto razmišljanje se može ponoviti za druge razlomke.

Zaključak: ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože istim brojem(povećati isti broj puta), vrijednost razlomka se neće promijeniti.

Ovo svojstvo pišemo u općem obliku. Označimo razlomak sa a / b , broj kojim se množe brojnik i nazivnik - slovom t ; tada će navedeno svojstvo imati oblik jednakosti:

Ostaje razmotriti pitanje istovremenog smanjenja brojnika i nazivnika za isti broj puta. Napišimo nekoliko razlomaka u nizu, pri čemu će na prvom mjestu biti razlomak 36/48, a na zadnjem 3/4:

Svi će oni biti međusobno jednaki, što se može pronaći usporedbom bilo koja dva susjedna razlomka, na primjer, prepolovivši brojnik prvog razlomka (36), smanjimo razlomak 2 puta, ali prepolovimo njegov nazivnik (48) , povećavamo razlomak 2 puta, tj. Kao rezultat, ostavljamo ga nepromijenjenim.

Zaključak: ako se brojnik i nazivnik razlomka dijele s istim brojem (smanjuju isti broj puta), tada se vrijednost razlomka neće promijeniti:

Bit posljednja dva zaključka je da se s istovremenim povećanjem ili smanjenjem brojnika i nazivnika za isti broj puta, vrijednost razlomka neće promijeniti.

Ovo izvanredno svojstvo razlomka bit će od velike važnosti u nastavku, pa ćemo ga nazvati osnovno svojstvo razlomka.

§ 85. Redukcija razlomaka.

Uzmimo segment AB (slika 16) i podijelimo ga na 20 jednakih dijelova, tada će svaki od tih dijelova biti jednak 1/20; Segment AC, koji sadrži 15 takvih dijelova, bit će predstavljen razlomkom 15 / 20.

Pokušajmo sada povećati udjele, na primjer, podijelimo segment ne na 20 dijelova, već na 4 jednaka dijela. Ispostavilo se da su nove dionice veće od prethodnih, budući da svaka nova dionica sadrži 5 prijašnjih, što je jasno vidljivo na crtežu. Razmislimo sada čemu je jednak segment AC kod novog drobljenja, koji je kod prvog drobljenja iznosio 15/20 segmenta AB. Iz crteža se vidi da ako se segment AB podijeli na 4 dijela, tada će segment AC biti jednak 3/4 segmenta AB.

Dakle, segment AC, ovisno o tome na koliko je dijelova podijeljen segment AB, može se prikazati i razlomkom 15/20 i razlomkom 3/4. U veličini, ovo je isti razlomak, jer mjeri isti segment u istim mjernim jedinicama. Dakle, umjesto razlomka 15/20 možemo koristiti razlomak 3/4 i obrnuto.

Postavlja se pitanje koja je frakcija prikladnija za korištenje? Pogodnije je koristiti drugi razlomak, jer su njegov brojnik i nazivnik izraženi manjim brojevima od prvog, te je u tom smislu jednostavniji.

U procesu rasuđivanja pokazalo se da je jedna vrijednost (odsječak AC) izražena u dva razlomka, različita po izgledu, ali jednaka po vrijednosti (15/20, 3/4).Očito, ne mogu postojati dva takva razlomka. , ali nebrojen skup. Na temelju osnovnog svojstva razlomka možemo prvi od tih razlomaka dovesti u takav oblik da će brojnik i nazivnik biti najmanji. Zapravo, ako se brojnik i nazivnik razlomka 15/20 podijele s 5, tada će biti jednako 3/4, tj. 15/20 = 3/4.

Ova transformacija (istodobno smanjenje brojnika i nazivnika za isti broj puta), koja vam omogućuje da dobijete razlomak s velikim brojnikom i nazivnikom iz razlomka s velikim brojnikom i nazivnikom, ali jednake veličine s manjim članovima, je zove redukcija razlomaka.

Prema tome, redukcija razlomka je njegova zamjena drugim njemu jednakim razlomkom s manjim članovima, dijeljenjem brojnika i nazivnika istim brojem.

Skratili smo razlomak 15 / 20 i došli do razlomka 3 / 4, koji se više ne može reducirati, jer njegovi članovi 3 i 4 nemaju zajednički djelitelj (osim jedan). Takav se razlomak naziva nesvodljiv. Postoje dva puta kojima možete ići kada smanjujete razlomke. Prvi način je da se razlomak skraćuje postupno, a ne odmah, tj. nakon prvog skraćivanja opet se dobije svodivi razlomak, koji se zatim opet skraćuje, a taj proces može biti dugotrajan ako su brojnik i nazivnik izraženi velikim brojevima. i imaju mnogo zajedničkih razdjelnika.

Uzmimo razlomak 60/120 i smanjimo ga redom, prvo za 2, dobivamo 60/120 = 30/60 Novi razlomak (30/60) također se može smanjiti za 2, dobivamo 30/60 = 15/30. Članovi novog razlomka 15/30 imaju zajedničke djelitelje, tako da možete smanjiti ovaj razlomak za 3, dobit ćete 15/30 = 5/10. Konačno, posljednji razlomak se može smanjiti za 5, tj. 5/10 = 1/2. Ovo je sukcesivno smanjivanje razlomaka.

Lako je shvatiti da bi se ovaj razlomak (60/120) mogao odmah smanjiti za 60, i dobili bismo isti rezultat. Koliko je 60 za brojeve 60 i 120? Najveći zajednički djelitelj. To znači da smanjivanje razlomka za najveći zajednički djelitelj njegovih članova omogućuje da se odmah dovede u oblik nesvodivog razlomka, zaobilazeći međudijeljenja. Ovo je drugi način smanjivanja razlomaka.

§ 86. Svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik.

Uzmimo neke razlomke:

Ako počnemo uspoređivati ​​prvi razlomak s drugim (1/2 i 1/3), osjetit ćemo neke poteškoće. Dakako, razumijemo da je polovica veća od jedne trećine, budući da se u prvom slučaju vrijednost dijeli na dva jednaka dijela, a u drugom slučaju na tri jednaka dijela; ali kakva je razlika među njima, još je teško odgovoriti. Druga stvar je drugi ulomak i treći (1/3 i 2/3), lako ih je usporediti, jer je odmah jasno da je drugi ulomak manji od trećeg za jednu trećinu. Lako je razumjeti da u onim slučajevima kada uspoređujemo razlomke s istim nazivnicima nema poteškoća, u istim slučajevima kada su nazivnici uspoređivanih razlomaka različiti, nastaju neke neugodnosti. Provjerite to uspoređujući ostale podatke razlomka.

Stoga se postavlja pitanje: je li moguće, uspoređujući dva razlomka, osigurati da su nazivnici isti? To se može učiniti na temelju osnovnog svojstva razlomka, tj. ako nazivnik povećamo nekoliko puta, tada da se vrijednost razlomka ne bi promijenila, za toliko se mora povećati i njegov brojnik.

Na taj način možemo svesti razlomke s različitim nazivnicima na zajednički nazivnik.

Ako neke razlomke želite svesti na zajednički nazivnik, tada prvo trebate pronaći broj koji bi bio djeljiv s nazivnikom svakog od tih razlomaka. Stoga je prvi korak u procesu svođenja razlomaka na zajednički nazivnik pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika za zadane nazivnike. Nakon što se pronađe najmanji zajednički višekratnik, potrebno je, dijeleći ga sa svakim nazivnikom, za svaki razlomak dobiti tzv. dodatni multiplikator. To će biti brojevi koji pokazuju koliko se puta brojnik i nazivnik svakog razlomka moraju povećati kako bi im se nazivnici izjednačili. Razmotrite primjere.

1. Svedimo razlomke 7/30 i 8/15 na zajednički nazivnik. Nađite najmanji zajednički višekratnik za nazivnike 30 i 15. U ovom slučaju, to će biti nazivnik prvog razlomka, tj. 30. To će biti najmanji zajednički nazivnik za razlomke 7/30 i 8/15. Nađimo sada dodatne faktore: 30: 30 = 1, 30: 15 = 2. Dakle, za prvi razlomak dodatni faktor će biti 1, a za drugi 2. Prvi razlomak će ostati nepromijenjen. Množenjem članova drugog razlomka s dodatnim faktorom dovodimo ga do nazivnika 30:

2. Dovedimo tri razlomka na zajednički nazivnik: 7/30, 11/60 i 3/70.

Nađimo za nazivnike 30, 60 i 70 najmanji zajednički višekratnik:

Najmanji zajednički višekratnik bit će 2 2 3 5 7 = 420.

Ovo će biti najmanji zajednički nazivnik ovih razlomaka.

Nađimo sada dodatne faktore: 420: 30 = 14; 420 : 60 = 7; 420: 70 = 6. Dakle, za prvi razlomak dodatni faktor bit će 14, za drugi 7, a za treći 6. Množenjem članova razlomaka s odgovarajućim dodatnim faktorima, dobivamo razlomke s jednakim nazivnicima:

3. Svedimo razlomak na zajednički nazivnik: 8/25 i 5/12. Nazivnici ovih razlomaka (25 i 12) su prosti brojevi. Stoga će se njihovim množenjem dobiti najmanji zajednički višekratnik: 25 x 12 \u003d 300. Dodatni faktor za prvi razlomak bit će 12, a za drugi 25. Ti će razlomci imati oblik:

Da biste razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik, prvo morate pronaći najmanji zajednički višekratnik svih nazivnika i odrediti dodatni faktor za svaki nazivnik, a zatim pomnožiti oba člana svakog razlomka s odgovarajućim dodatnim faktorom.

Nakon što smo naučili kako razlomke svesti na zajednički nazivnik, usporedba razlomaka po veličini više neće predstavljati poteškoće. Sada možemo usporediti vrijednost bilo koja dva razlomka, dovodeći ih prvo na zajednički nazivnik.

Postoji mnogo vrsta brojeva, a jedna od njih su cijeli brojevi. Cijeli brojevi su se pojavili kako bi se olakšalo brojanje ne samo u pozitivnom, već iu negativnom smjeru.

Razmotrite primjer:
Danju je vani bilo 3 stupnja. Do večeri je temperatura pala za 3 stupnja.
3-3=0
Vani je bilo 0 stupnjeva. A noću je temperatura pala za 4 stupnja i počela pokazivati ​​na termometru -4 stupnja.
0-4=-4

Niz cijelih brojeva.

Takav problem ne možemo opisati prirodnim brojevima, ovaj problem ćemo razmatrati na koordinatnom pravcu.

Imamo niz brojeva:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Ovaj niz brojeva zove se pored cijelih brojeva.

Cijeli pozitivni brojevi. Cijeli negativni brojevi.

Niz cijelih brojeva sastoji se od pozitivnih i negativnih brojeva. Desno od nule su prirodni brojevi ili se još nazivaju cijeli pozitivni brojevi. I lijevo od nule idi cijeli negativni brojevi.

Nula nije ni pozitivna ni negativna. To je granica između pozitivnih i negativnih brojeva.

je skup brojeva koji se sastoji od prirodnih brojeva, negativnih cijelih brojeva i nule.

Niz cijelih brojeva u pozitivnim i negativnim smjerovima je beskrajno mnoštvo.

Ako uzmemo bilo koja dva cijela broja, tada će se zvati brojevi između tih cijelih brojeva završni set.

Na primjer:
Uzmimo cijele brojeve od -2 do 4. Svi brojevi između tih brojeva uključeni su u konačni skup. Naš konačni skup brojeva izgleda ovako:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Prirodni brojevi se označavaju latiničnim slovom N.
Cijeli brojevi se označavaju latiničnim slovom Z. Cijeli skup prirodnih brojeva i cijelih brojeva može se prikazati na slici.


Nepozitivni cijeli brojevi drugim riječima, oni su negativni cijeli brojevi.
Nenegativni cijeli brojevi su pozitivni cijeli brojevi.

Do cijeli brojevi uključuju prirodne brojeve, nulu i brojeve suprotne prirodnim brojevima.

Cijeli brojevi su pozitivni cijeli brojevi.

Na primjer: 1, 3, 7, 19, 23 itd. Takve brojeve koristimo za brojanje (na stolu je 5 jabuka, auto ima 4 kotača itd.)

Latinsko slovo \mathbb(N) - označeno skup prirodnih brojeva.

Prirodni brojevi ne mogu sadržavati negativne (stolica ne može imati negativan broj nogu) i razlomke (Ivan nije mogao prodati 3,5 bicikla).

Brojevi suprotni prirodnim brojevima su cijeli negativni brojevi: -8, -148, -981, ....

Aritmetičke operacije s cijelim brojevima

Što možete učiniti s cijelim brojevima? One se mogu međusobno množiti, zbrajati i oduzimati. Analizirajmo svaku operaciju na konkretnom primjeru.

Cjelobrojno zbrajanje

Dva cijela broja s istim predznakom zbrajaju se na sljedeći način: zbrajaju se moduli tih brojeva i rezultirajućem zbroju prethodi završni predznak:

(+11) + (+9) = +20

Oduzimanje cijelih brojeva

Dva cijela broja s različitim predznacima zbrajaju se na sljedeći način: modul manjeg broja oduzima se od modula većeg broja, a ispred odgovora se stavlja znak većeg modula broja:

(-7) + (+8) = +1

Cjelobrojno množenje

Za množenje jednog cijelog broja drugim potrebno je pomnožiti module tih brojeva i ispred dobivenog odgovora staviti znak “+” ako su izvorni brojevi bili s istim predznacima, odnosno znak “-” ako su izvorni brojevi bili s različitim znakovima:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Trebali biste zapamtiti sljedeće pravilo množenja cijelih brojeva:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Postoji pravilo za množenje nekoliko cijelih brojeva. Prisjetimo se:

Predznak umnoška bit će “+” ako je broj faktora s negativnim predznakom paran i “-” ako je broj faktora s negativnim predznakom neparan.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Dijeljenje cijelih brojeva

Dijeljenje dva cijela broja provodi se na sljedeći način: modul jednog broja dijeli se modulom drugog, a ako su predznaci brojeva isti, tada se ispred dobivenog kvocijenta stavlja znak "+". , a ako su znakovi izvornih brojeva različiti, tada se stavlja znak "−".

(-25) : (+5) = -5

Svojstva zbrajanja i množenja cijelih brojeva

Analizirajmo osnovna svojstva zbrajanja i množenja za bilo koje cijele brojeve a, b i c:

1. a + b = b + a - komutativno svojstvo zbrajanja;
2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - asocijativno svojstvo zbrajanja;
3. a \cdot b = b \cdot a - komutativno svojstvo množenja;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- asocijativna svojstva množenja;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c je svojstvo distribucije množenja.

Prva razina

Najveći zajednički višekratnik i najmanji zajednički djelitelj. Kriteriji djeljivosti i metode grupiranja (2019.)

Da biste si MNOGO pojednostavili život kada trebate nešto izračunati, osvojiti dragocjeno vrijeme na OGE ili USE, napraviti manje glupih pogrešaka - pročitajte ovaj odjeljak!

Evo što ćete naučiti:

• kako izračunati brže, lakše i točnije koristećigrupiranje brojevaprilikom zbrajanja i oduzimanja,
• kako brzo množiti i dijeliti bez grešaka pomoću pravila množenja i kriteriji djeljivosti,
• kako znatno ubrzati izračune pomoću najmanji zajednički višekratnik(NOC) i najveći zajednički djelitelj(GCD).

Posjedovanje tehnika iz ovog odjeljka može preokrenuti vagu u jednom ili drugom smjeru ... bilo da upišete sveučilište svojih snova ili ne, vi ili vaši roditelji morat ćete platiti puno novca za obrazovanje ili ćete ući na proračun .

Zaronimo odmah u... (Idemo!)

Važna nota!Ako umjesto formula vidite besmislice, izbrišite predmemoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (u sustavu Windows) ili Cmd+R (na Macu)

Mnogo cijeli brojevi sastoji se od 3 dijela:

1. cijeli brojevi(u nastavku ćemo ih detaljnije razmotriti);
2. brojevi suprotni prirodnim brojevima(sve će doći na svoje mjesto čim znaš što su prirodni brojevi);
3. nula - " " (kamo bez toga?)

slovo Z.

Cijeli brojevi

“Bog je stvorio prirodne brojeve, sve ostalo je djelo ljudskih ruku” (c) njemački matematičar Kronecker.

Prirodni brojevi su brojevi koje koristimo za brojanje predmeta i na tome se temelji njihova povijest nastanka - potreba za brojanjem strijela, skinova itd.

1, 2, 3, 4...n

slovo N.

Sukladno tome, ova definicija ne uključuje (zar ne možete računati ono čega nema?), a još više ne uključuje negativne vrijednosti (postoji li jabuka?).

Osim toga, nisu uključeni svi razlomački brojevi (također ne možemo reći "imam laptop" ili "prodao sam automobile")

Bilo koje prirodni broj može se napisati s 10 znamenki:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Dakle, 14 nije broj. Ovo je broj. Od kojih se brojeva sastoji? Tako je, iz brojeva i.

Dodatak. Grupiranje prilikom dodavanja za brže brojanje i manje pogrešaka

Što zanimljivo možete reći o ovom postupku? Naravno, sada ćete odgovoriti "vrijednost zbroja se ne mijenja preuređivanjem članova." Čini se da je primitivno pravilo poznato iz prvog razreda, međutim, kada se rješavaju veliki primjeri, ono odmah zaboravljen!

Ne zaboravi na njegakoristiti grupiranje, kako bi se olakšao proces brojanja i smanjila vjerojatnost pogrešaka, jer nećete imati kalkulator za ispit.

Vidite sami koji je izraz lakše dodati?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Naravno drugo! Iako je rezultat isti. Ali! S obzirom na drugi način, manja je vjerojatnost da ćete pogriješiti i sve ćete napraviti brže!

Dakle, u svom umu razmišljate ovako:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Oduzimanje. Grupiranje pri oduzimanju za brže brojanje i manje pogreške

Kod oduzimanja možemo i grupirati oduzete brojeve, na primjer:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Što ako je oduzimanje isprepleteno sa zbrajanjem u primjeru? Možete i grupirati, odgovorit ćete, i to s pravom. Samo molim vas, ne zaboravite na znakove ispred brojeva, na primjer: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Zapamtite: neispravno postavljeni znakovi dovest će do pogrešnog rezultata.

Množenje. Kako umnožiti u svom umu

Očito je da se vrijednost proizvoda također neće promijeniti promjenom mjesta faktora:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Neću vam reći da "koristite ovo pri rješavanju problema" (sami ste dobili savjet, zar ne?), nego vam radije reći kako brzo pomnožiti neke brojeve u svojoj glavi. Dakle, pažljivo pogledajte tablicu:

I još malo o množenju. Naravno, sjećate se dvije posebne prilike... Pogađate što mislim? Evo o tome:

O da, pogledajmo znakovi djeljivosti. Ukupno postoji 7 pravila za znakove djeljivosti, od kojih prva 3 već sigurno znate!

Ali ostalo uopće nije teško zapamtiti.

7 znakova djeljivosti brojeva koji će vam pomoći da brzo računate u glavi!

• Vi, naravno, znate prva tri pravila.
• Četvrti i peti se lako pamte - kada dijelimo s i gledamo je li zbroj znamenki koje čine broj djeljiv s ovim.
• Kod dijeljenja s obraćamo pozornost na posljednje dvije znamenke broja – je li broj koji one čine djeljiv?
• Kada dijelimo brojem, on mora biti djeljiv sa i sa u isto vrijeme. To je sva mudrost.

Razmišljate li sada - "što mi sve ovo treba"?

Prvo, ispit je bez kalkulatora a ova pravila će vam pomoći u snalaženju u primjerima.

I drugo, čuli ste o zadacima GCD i NOC? Poznata kratica? Počnimo pamtiti i razumjeti.

Najveći zajednički djelitelj (gcd) - potreban za smanjivanje razlomaka i brze izračune

Recimo da imate dva broja: i. Koji je najveći broj djeljiv s oba ova broja? Odgovorit ćete bez oklijevanja, jer znate da:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Koji su brojevi u ekspanziji uobičajeni? Tako je, 2 * 2 = 4. To je bio vaš odgovor. Imajući na umu ovaj jednostavan primjer, nećete zaboraviti algoritam za pronalaženje GCD. Pokušajte to "ugraditi" u svojoj glavi. Dogodilo se?

Da biste pronašli NOD potrebno vam je:

1. Rastavite brojeve na proste faktore (na brojeve koji se ne mogu podijeliti ni s čim osim samim sobom ili s npr. 3, 7, 11, 13 itd.).
2. Umnožite ih.

Shvaćate li zašto su nam trebali znakovi djeljivosti? Tako da pogledate broj i možete početi dijeliti bez ostatka.

Na primjer, pronađimo GCD brojeva 290 i 485

Prvi broj - .

Gledajući ga, odmah možete znati čime je djeljiv, napišimo:

ne možete ga podijeliti ni na što drugo, ali možete - i, dobivamo:

290 = 29 * 5 * 2

Uzmimo drugi broj - 485.

Prema znakovima djeljivosti mora biti djeljiv s bez ostatka, budući da završava s. Mi dijelimo:

Analizirajmo izvorni broj.

• Ne može se podijeliti sa (zadnja znamenka je neparna),
• - nije djeljiv sa, pa ni broj nije djeljiv sa,
• također nije djeljiv sa i (zbroj znamenki u broju nije djeljiv sa i sa)
• također nije djeljiv, jer nije djeljiv sa i,
• također nije djeljiv s i, budući da nije djeljiv s i.
• ne može se potpuno podijeliti

Dakle, broj se može rastaviti samo na i.

A sad da nađemo GCD ovi brojevi (i). Koji je ovo broj? Ispravno, .

Hoćemo li vježbati?

Zadatak broj 1. Nađi GCD brojeva 6240 i 6800

1) Odmah dijelim sa, jer su oba broja 100% djeljiva sa:

2) Podijelit ću s preostalim velikim brojevima (s), budući da su podijeljeni s bez ostatka (istovremeno, neću rastavljati - to je već uobičajeni djelitelj):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Ostat ću sam i početi razmatrati brojeve i. Oba broja su točno djeljiva sa (završavaju parnim znamenkama (u ovom slučaju predstavljamo kao, ali se mogu podijeliti sa)):

4) Radimo s brojevima i. Imaju li zajedničke djelitelje? Lako je kao u prethodnim koracima i ne možete reći, pa ćemo ih samo rastaviti na jednostavne faktore:

5) Kao što vidimo, bili smo u pravu: i nemaju zajedničkih djelitelja, a sada trebamo množiti.
GCD

Zadatak broj 2. Nađi NOT brojeva 345 i 324

Ovdje ne mogu brzo pronaći barem jedan zajednički djelitelj, pa samo rastavljam na proste faktore (što je manje moguće):

Točno, GCD, a ja u početku nisam provjeravao kriterij djeljivosti i, možda, ne bih morao raditi toliko radnji. Ali provjerio si, zar ne? Dobro napravljeno! Kao što vidite, prilično je jednostavno.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) - štedi vrijeme, pomaže u rješavanju problema izvan okvira

Recimo da imate dva broja - i. S kojim je najmanjim brojem djeljiv bez traga(tj. potpuno)? Teško je zamisliti? Evo vizualnog traga za vas:

Sjećate li se što to slovo znači? Tako je, samo cijeli brojevi. Dakle, koji je najmanji broj koji odgovara x? :

U ovom slučaju.

Iz ovog jednostavnog primjera slijedi nekoliko pravila.

Pravila za brzo pronalaženje NOC-a

Pravilo 1. Ako je jedan od dva prirodna broja djeljiv s drugim brojem, tada je veći od ta dva broja njihov najmanji zajednički višekratnik.

Pronađite sljedeće brojeve:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Naravno, lako ste se nosili s ovim zadatkom i dobili ste odgovore -, i.

Imajte na umu da u pravilu govorimo o DVA broja, ako ima više brojeva, onda pravilo ne radi.

Na primjer, LCM (7;14;21) nije jednak 21, jer se ne može podijeliti bez ostatka sa.

Pravilo 2. Ako su dva (ili više od dva) broja međusobno prosti, tada je najmanji zajednički višekratnik jednak njihovom umnošku.

pronaći NOC za sljedeće brojeve:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

Jeste li brojali? Evo odgovora - , ; .

Kao što razumijete, nije uvijek lako uzeti i pokupiti taj isti x, pa za malo složenije brojeve postoji sljedeći algoritam:

Hoćemo li vježbati?

Nađi najmanji zajednički višekratnik - LCM (345; 234)

Raščlanimo svaki broj:

Zašto sam samo napisao? Zapamtite znakove djeljivosti s: djeljivo s (zadnja znamenka je parna) i zbroj znamenki djeljiv je s. U skladu s tim, možemo odmah podijeliti sa, pišući to kao.

Sada ispisujemo najdužu ekspanziju u retku - drugu:

Dodajmo tome brojeve iz prve ekspanzije, kojih nema u onome što smo napisali:

Napomena: napisali smo sve osim za, budući da ga već imamo.

Sada trebamo pomnožiti sve ove brojeve!

Pronađite sami najmanji zajednički višekratnik (LCM).

Kakve ste odgovore dobili?

Evo što mi se dogodilo:

Koliko vam je trebalo da pronađete NOC? Moje vrijeme je 2 minute, stvarno znam jedan trik, koju predlažem da otvorite odmah!

Ako ste vrlo pažljivi, onda ste vjerojatno primijetili da smo za navedene brojeve već tražili GCD i mogli biste faktorizirati ove brojeve iz tog primjera, pojednostavljujući tako svoj zadatak, ali to nije sve.

Pogledajte sliku, možda vam padne na pamet neka druga misao:

Dobro? Dat ću vam savjet: pokušajte množiti NOC i GCD među sobom i zapiši sve faktore koji će biti pri množenju. Jeste li uspjeli? Trebali biste završiti s ovakvim lancem:

Pogledajte ga pobliže: usporedite faktore s načinom na koji se rastavljaju i .

Kakav zaključak možete izvući iz ovoga? Ispravno! Ako pomnožimo vrijednosti NOC i GCD između sebe, tada dobivamo umnožak ovih brojeva.

Sukladno tome, imati brojeve i značenje GCD(ili NOC), možemo pronaći NOC(ili GCD) na sljedeći način:

1. Nađi umnožak brojeva:

2. Dobiveni produkt podijelimo s našim GCD (6240; 6800) = 80:

To je sve.

Napišimo pravilo u općem obliku:

Pokušaj pronaći GCD ako se zna da:

Jeste li uspjeli? .

Negativni brojevi - "lažni brojevi" i njihovo prepoznavanje od strane čovječanstva.

Kao što ste već shvatili, ovo su brojevi suprotni prirodnim, to jest:

Negativni brojevi se mogu zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti – baš kao i prirodni brojevi. Čini se da su toliko posebni? Ali činjenica je da su negativni brojevi svoje zasluženo mjesto u matematici "osvojili" sve do 19. stoljeća (do tog trenutka je veliki iznos sporovi postoje li ili ne).

Sam negativni broj nastao je zbog takve operacije s prirodnim brojevima kao što je "oduzimanje". Doista, oduzmite od - to je negativan broj. Zato se skup negativnih brojeva često naziva "proširenje skupa". prirodni brojevi».

Negativne brojeve ljudi dugo nisu prepoznavali. Dakle, Stari Egipat, Babilon i Stara Grčka - svjetla svog vremena, nisu prepoznavali negativne brojeve, au slučaju dobivanja negativnih korijena u jednadžbi (na primjer, kao što imamo), korijeni su odbačeni kao nemogući.

Prvi put su negativni brojevi stekli pravo na postojanje u Kini, a zatim u 7. stoljeću u Indiji. Što mislite o ovom priznanju? Tako je, negativni brojevi počeli su označavati dugove (inače - nestašice). Vjerovalo se da su negativni brojevi privremena vrijednost, koja će se kao rezultat promijeniti u pozitivnu (to jest, novac će i dalje biti vraćen vjerovniku). No, indijski matematičar Brahmagupta već je tada negativne brojeve smatrao ravnopravnim s pozitivnima.

U Europi je korisnost negativnih brojeva, kao i činjenica da se njima može označavati dug, došla puno kasnije, odnosno jedno tisućljeće. Prvi put se spominje 1202. godine u “Knjizi o abakusu” Leonarda iz Pise (odmah kažem da autor knjige nema nikakve veze s Krivim tornjem u Pizi, ali su Fibonaccijevi brojevi njegovo djelo ( nadimak Leonarda iz Pise je Fibonacci)). Nadalje, Europljani su došli do zaključka da negativni brojevi mogu značiti ne samo dugove, već i nedostatak nečega, međutim, nisu svi to prepoznali.

Dakle, u XVII stoljeću Pascal je to vjerovao. Što mislite kako je to opravdao? Tako je, "ništa ne može biti manje od NIŠTA". Odjek tih vremena ostaje činjenica da se negativni broj i operacija oduzimanja označavaju istim simbolom - minus "-". I istina: . Je li broj " " pozitivan, od kojeg se oduzima, ili negativan, koji se dodaje? ... Nešto iz niza "što je prvo: kokoš ili jaje?" Evo takve vrste ove matematičke filozofije.

Negativni brojevi osigurali su svoje pravo na postojanje s pojavom analitičke geometrije, drugim riječima, kada su matematičari uveli nešto poput realne osi.

Od tog trenutka je došla ravnopravnost. Ipak, pitanja je bilo više nego odgovora, npr.

proporcija

Taj se udio naziva Arno paradoks. Razmislite, što je tu dvojbeno?

Razgovarajmo zajedno " " više od " " zar ne? Dakle, po logici, lijeva strana proporcije bi trebala biti veća od desne strane, ali su jednake... Ovdje je paradoks.

Kao rezultat toga, matematičari su se složili da je Karl Gauss (da, da, to je onaj koji je razmatrao zbroj (ili) brojeva) 1831. godine tome stao na kraj - rekao je da negativni brojevi imaju ista prava kao i pozitivni, a to što ne vrijede za sve ne znači ništa, jer ni razlomci ne vrijede za mnoge stvari (ne događa se da bager kopa rupu, ne možeš kupiti kartu za kino itd.).

Matematičari su se smirili tek u 19. stoljeću, kada su teoriju negativnih brojeva stvorili William Hamilton i Hermann Grassmann.

Eto koliko su oni kontroverzni, ti negativni brojevi.

Pojava "praznine", ili biografija nule.

U matematici poseban broj. Na prvi pogled, to nije ništa: dodajte, oduzmite - ništa se neće promijeniti, ali samo morate pripisati pravo na "", a rezultirajući broj bit će mnogo puta veći od izvornog. Množenjem s nulom sve pretvaramo u ništa, ali ne možemo dijeliti s "ništa". Jednom riječju, magični broj)

Povijest nule je duga i komplicirana. Trag nule nalazi se u spisima Kineza 2000. godine. a još ranije kod Maya. Prva upotreba simbola nule, kakva je danas, viđena je među grčkim astronomima.

Postoje mnoge verzije zašto je odabrana takva oznaka "ništa". Neki su povjesničari skloni vjerovati da se radi o omikronu, tj. Prvo slovo grčke riječi za ništa je ouden. Prema drugoj verziji, riječ "obol" (kovanica gotovo bez vrijednosti) dala je život simbolu nule.

Nula (ili zero) kao matematički simbol prvi put se pojavljuje kod Indijanaca (imajte na umu da su se negativni brojevi tamo počeli “razvijati”). Prvi pouzdani dokazi o pisanju nule datiraju iz 876. godine, au njima je "" sastavni dio broja.

I nula je u Europu stigla sa zakašnjenjem - tek 1600. godine, i baš kao i negativni brojevi, naišla je na otpor (što ćete, Europljani su).

“Nulu su često mrzili, bojali je se ili čak zabranjivali od pamtivijeka”, piše američki matematičar Charles Seif. Dakle, turski sultan Abdul-Hamid II krajem 19.st. naredio je svojim cenzorima da izbrišu formulu vode H2O iz svih udžbenika kemije, uzimajući slovo "O" za nulu i ne želeći da njegovi inicijali budu oklevetani zbog blizine prezrene nule.

Na internetu možete pronaći rečenicu: “Zero je najjača sila u svemiru, ona može sve! Nula stvara red u matematici, a u nju unosi i kaos. Apsolutno točna tvrdnja :)

Sažetak odjeljka i osnovne formule

Skup cijelih brojeva sastoji se od 3 dijela:

• prirodni brojevi (u nastavku ćemo ih detaljnije razmotriti);
• brojevi suprotni prirodnim;
• nula - " "

Označava se skup cijelih brojeva slovo Z.

1. Prirodni brojevi

Prirodni brojevi su brojevi kojima brojimo predmete.

Označava se skup prirodnih brojeva slovo N.

U operacijama s cijelim brojevima trebat će vam sposobnost pronalaženja GCD i LCM.

Najveći zajednički djelitelj (GCD)

Da biste pronašli NOD potrebno vam je:

1. Rastaviti brojeve na proste faktore (na brojeve koji se ne mogu podijeliti ni sa čim osim samim sobom ili sa npr. itd.).
2. Zapiši faktore koji su dio oba broja.
3. Umnožite ih.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Da biste pronašli NOC potrebno vam je:

1. Faktorizirajte brojeve na proste faktore (već znate kako se to radi jako dobro).
2. Napišite faktore uključene u proširenje jednog od brojeva (bolje je uzeti najduži lanac).
3. Dodajte im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva.
4. Pronađite umnožak dobivenih faktora.

2. Negativni brojevi

To su brojevi koji su suprotni prirodnim brojevima, tj.

Sada želim čuti od tebe...

Nadam se da ste cijenili superkorisne "trikove" ovog odjeljka i shvatili kako će vam pomoći na ispitu.

I što je još važnije, u životu. Ne govorim o tome, ali vjerujte mi, ovaj jest. Sposobnost brzog i bezgrešnog brojanja spašava u mnogim životnim situacijama.

Sad je tvoj red!

Napiši, hoćeš li koristiti metode grupiranja, kriterije djeljivosti, GCD i LCM u izračunima?

Možda ste ih već koristili? Gdje i kako?

Možda imate pitanja. Ili prijedloge.

Napišite u komentarima kako vam se sviđa članak.

I sretno na ispitima!

Sadržaj članka

Pojam broja u matematici može se odnositi na objekte različite prirode: prirodne brojeve koji se koriste u brojanju (pozitivni cijeli brojevi 1, 2, 3 itd.), brojeve koji su mogući rezultati (idealiziranih) mjerenja (to su brojevi kao npr. 2/ 3, - nazivaju se realni brojevi), negativni brojevi, imaginarni brojevi (recimo k) i druge apstraktnije klase brojeva koje se koriste u višim dijelovima matematike (na primjer, hiperkompleksni i transfinitni brojevi). Broj se mora razlikovati od njegovog simbola ili oznake koja ga predstavlja. Razmotrit ćemo logičke odnose između različitih klasa brojeva.

Takve se zagonetke lako rješavaju ako uzmemo u obzir da različite klase brojeva imaju prilično različita značenja; iako imaju dovoljno zajedničkog da se svi mogu nazvati brojevima, ne treba misliti da će svi zadovoljiti ista pravila.

pozitivni cijeli brojevi.

Iako svi učimo pozitivne cijele brojeve (1, 2, 3 itd.) u ranom djetinjstvu, kada nam jedva pada na pamet razmišljati o definicijama, ipak se takvi brojevi mogu definirati po svim pravilima formalne logike. Stroga definicija broja 1 zauzela bi više od desetak stranica, a formula poput 1 + 1 = 2, da je napisana do detalja bez ikakvih kratica, protegla bi se na nekoliko kilometara. Međutim, svaka matematička teorija prisiljena je započeti s nekim nedefiniranim pojmovima i aksiomima ili postulatima o njima. Kako su prirodni brojevi dobro poznati i teško ih je definirati nečim jednostavnijim, uzet ćemo ih kao izvorne nedefinirane pojmove i pretpostaviti da su osnovna svojstva tih brojeva poznata.

Negativni cijeli brojevi i nula.

Negativni brojevi danas su uobičajeni: koriste se, na primjer, za predstavljanje temperatura ispod nule. Stoga se čini iznenađujućim da prije nekoliko stoljeća nije bilo posebnog tumačenja negativnih brojeva, a negativni brojevi koji su se pojavljivali u tijeku izračuna nazivali su se "imaginarnim". Iako je intuitivno tumačenje negativnih brojeva samo po sebi korisno, kada pokušavamo razumjeti "pravila" kao što je (-4)g(-3) = +12, moramo definirati negativne brojeve u smislu pozitivnih brojeva. Da bismo to učinili, moramo izgraditi skup takvih matematičkih objekata koji će se u aritmetici i algebri ponašati točno onako kako bi se očekivalo od negativnih brojeva. Jedan od načina za konstruiranje takvog skupa je razmatranje uređenih parova pozitivnih brojeva ( a,b). "Uređeno" znači da je, na primjer, par (2,3) različit od para (3,2). Tako uređeni parovi mogu se smatrati novom klasom brojeva. Sada moramo reći kada su dva takva nova broja jednaka i što znači njihovo zbrajanje i množenje. Naš izbor definicija vođen je željom da par ( a,b) djelovao je kao razlika ( a – b), koji je do sada definiran samo kada a više b. Budući da je u algebri ( a-b) + (CD) = (a+c) – (b+d), dolazimo do potrebe da zbrajanje novih brojeva definiramo kao ( a,b) + (c,d) = (a+c, b+d); jer ( a – b)ґ(c – d) = ak + bd – (prije Krista + oglas), množenje definiramo jednakošću ( a,b)ґ(c,d) = (klima+bd, prije Krista + oglas); i od ( a-b) = (CD), ako a + d = b + c, jednakost novih brojeva definiramo relacijom ( a,b) = (c,d), ako a + d = b + c. Na ovaj način,

Koristeći definicije jednakosti parova, zbroj i umnožak parova možemo napisati u jednostavnijem obliku:

Svi parovi ( a,a) su jednaki (po definiciji jednakosti parova) i ponašaju se onako kako očekujemo da će djelovati nula. Na primjer, (2.3) + (1.1) = (3.4) = (2.3); (2.3)g(1.1) = (2 + 3, 2 + 3) = (5.5) = (1.1). Parovi ( a,a) možemo simbolizirati 0 (koja još nije korištena).

Parovi ( a,b), gdje b više a, ponašati se kao što bi negativni brojevi trebali, a možemo označiti par ( a,b) simbol –( b – a). Na primjer, -4 je (1,5) i -3 je (1,4); (–4)g(–3) = (21.9), odnosno (13.1). Željeli bismo označiti posljednji broj kao 12, ali to očito nije isto što i prirodni broj 12, budući da označava par pozitivnih cijelih brojeva, a ne jedan pozitivan cijeli broj. Mora se naglasiti da budući da parovi ( a,b), gdje b manje a, djeluju kao pozitivni cijeli brojevi ( a – b), pisat ćemo brojeve poput ( a – b). U isto vrijeme, moramo zaboraviti na pozitivne cijele brojeve s kojima smo započeli, i od sada koristiti samo naše nove brojeve, koje ćemo zvati cijeli brojevi. Činjenica da namjeravamo koristiti stare nazive za neke od novih brojeva ne bi nas trebala zavarati da su novi brojevi zapravo objekti druge vrste.

Razlomci.

Intuitivno razmišljamo o razlomku 2/3 kao o rezultatu razbijanja 1 na tri jednaka dijela i uzimanja dva od njih. Međutim, matematičar se nastoji što manje oslanjati na intuiciju i racionalne brojeve definirati pomoću jednostavnijih objekata – cijelih brojeva. To se može učiniti tretiranjem 2/3 kao uređenog para (2,3) cijelih brojeva. Za potpunu definiciju potrebno je formulirati pravila jednakosti razlomaka, te zbrajanja i množenja. Naravno, ta pravila moraju biti ekvivalentna pravilima aritmetike i, naravno, različita od pravila za one uređene parove koje smo definirali kao cijele brojeve. Evo pravila:

Lako je vidjeti da parovi ( a,1) djeluju kao cijeli brojevi a; Nastavljajući razmišljati na isti način kao u slučaju negativnih brojeva, označavamo s 2 razlomak (2.1), ili (4.2), ili bilo koji drugi razlomak jednak (2.1). Zaboravimo sada cijele brojeve i zadržimo ih samo kao sredstvo za pisanje određenih razlomaka.

Racionalni i iracionalni brojevi.

Razlomci se također nazivaju racionalnim brojevima, jer se mogu prikazati u obliku odnosa(od lat. omjer omjer) dvaju cijelih brojeva. Ali ako trebamo broj čiji je kvadrat 2, onda ne možemo proći s racionalnim brojevima, jer ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat jednak 2. Isto postaje jasno ako se zapitamo o broju koji izražava omjer opsega kruga i njegovog promjera. Stoga, ako želimo dobiti kvadratne korijene svih pozitivnih brojeva, tada moramo proširiti klasu racionalnih brojeva. Novi brojevi, nazvani iracionalni (tj. neracionalni), mogu se definirati na različite načine. Uređeni parovi nisu dobri za ovo; jedan od najjednostavnijih načina je definirati iracionalne brojeve kao beskonačne decimale koje se ne ponavljaju.

Realni brojevi.

Racionalni i iracionalni brojevi zajedno se nazivaju realni ili realni brojevi. Geometrijski, mogu se prikazati točkama na ravnoj crti, s razlomcima između cijelih brojeva i iracionalnim brojevima između razlomaka, kao što je prikazano na slici. 1. Može se pokazati da sustav realnih brojeva ima svojstvo poznato kao "potpunost" što znači da svaka točka na liniji odgovara nekom realnom broju.

Kompleksni brojevi.

Budući da su kvadrati pozitivnih i negativnih realnih brojeva pozitivni, ne postoji točka na liniji realnih brojeva koja odgovara broju čiji je kvadrat -1. Ali kad bismo pokušali riješiti kvadratne jednadžbe poput x 2 + 1 = 0, onda bi se trebalo ponašati kao da postoji neki broj ja, čiji bi kvadrat bio -1. No budući da takvog broja nema, ne preostaje nam ništa drugo nego upotrijebiti "imaginarni" ili "imaginarni" broj. Prema tome, "broj" ja i njegove kombinacije s običnim brojevima (poput 2 + 3 ja) postala je poznata kao imaginarna. Suvremeni matematičari takve brojeve radije nazivaju "složenima" jer su, kao što ćemo vidjeti, jednako "stvarni" kao i oni s kojima smo se prije susretali. Dugo su vremena matematičari slobodno koristili imaginarne brojeve i dobivali korisne rezultate, iako nisu u potpunosti razumjeli što rade. Sve do početka 19.st nikome nije palo na pamet "oživjeti" imaginarne brojeve uz pomoć njihove eksplicitne definicije. Da biste to učinili, morate izgraditi neki skup matematičkih objekata koji bi se, sa stajališta algebre, ponašali kao izrazi a+bi, ako se s tim slažemo ja 2 = -1. Takvi se objekti mogu definirati na sljedeći način. Uzmimo kao naše nove brojeve uređene parove realnih brojeva, čije je zbrajanje i množenje određeno formulama:

Takve uređene parove nazivamo kompleksnim brojevima. Parovi privatnog oblika ( a,0) s drugim članom jednakim nuli ponašaju se kao realni brojevi, pa ćemo se dogovoriti da ih označimo na isti način: npr. 2 znači (2,0). S druge strane, kompleksni broj (0, b) po definiciji množenja ima svojstvo (0, b)ґ(0,b) = (0 – b 2 , 0 + 0) = (–b 2 ,0) = –b 2. Na primjer, u slučaju (0,1)g(0,1) nalazimo proizvod (-1,0); dakle, (0,1) 2 = (–1,0). Već smo se dogovorili da složeni broj (-1,0) zapišemo kao -1, pa ako je broj (0,1) označen simbolom ja, tada dobivamo kompleksan broj ja, tako da ja 2 = -1. Osim toga, kompleksni broj (2,3) sada se može napisati kao 2 + 3 ja.

Važna razlika između ovog pristupa složenim brojevima i tradicionalnog je u tome što u ovom slučaju broj ja ne sadrži ništa tajanstveno ili imaginarno: to je nešto dobro definirano pomoću brojeva koji su već postojali prije, iako se, naravno, ne podudara ni s jednim od njih. Slično tome, realni broj 2 nije složen, iako koristimo simbol 2 za predstavljanje kompleksnog broja. Kako u imaginarnim brojevima zapravo nema ničeg "imaginarnog", ne čudi njihova široka uporaba u stvarnim situacijama, primjerice u elektrotehnici (gdje umjesto slova ja obično koriste slovo j, kao u elektrotehnici ja- simbol za trenutnu vrijednost struje).

Algebra kompleksnih brojeva u mnogome je slična algebri realnih brojeva, iako postoje značajne razlike. Na primjer, ne vrijedi pravilo za kompleksne brojeve: , dakle , dok .

Zbrajanje složenih brojeva omogućuje jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Na primjer, zbroj brojeva 2 + 3 ja i 3 - ja postoji broj 5 + 2 ja, što odgovara četvrtom vrhu paralelograma s tri vrha u točkama 0, 2 + 3 ja i 3 - ja.

Točka na ravnini može se odrediti ne samo pravokutnim (kartezijevim) koordinatama ( x,g), ali i svojim polarnim koordinatama ( r,q) određujući udaljenost od točke do ishodišta i kut. Prema tome, kompleksni broj x+iy također se može napisati u polarnim koordinatama (sl. 2, b). Duljina radijus vektora r jednaka udaljenosti od ishodišta do točke koja odgovara kompleksnom broju; veličina r naziva se modul kompleksnog broja i određuje se formulom . Često se modul piše kao . Kutak q naziva se "kut", "argument" ili "faza" kompleksnog broja. Takav broj ima beskonačno mnogo kutova koji se razlikuju za višekratnik od 360°; na primjer, ja ima kut od 90°, 450°, -270°, j Budući da su kartezijeve i polarne koordinate iste točke povezane relacijama x = r cos q, g = r grijeh q, jednakost x + iy = r(cos q + ja grijeh q).

Ako a z = x + iy, zatim broj x-iy naziva se kompleksni konjugat od z i označeno n z = re iq. Logaritam kompleksnog broja re iq, po definiciji, jednako je ln r + iq, gdje ln znači osnovni logaritam e, a q poprima sve moguće vrijednosti mjerene u radijanima. Dakle, kompleksni broj ima beskonačno mnogo logaritama. Na primjer, ln (–2) = ln 2 + ip+ bilo koji cijeli višekratnik od 2 str. Općenito, stupnjevi se sada mogu definirati pomoću relacije a b = e b ul a. Na primjer, ja –2ja = e–2ln ja. Budući da su vrijednosti argumenta broja ja jednak str/2 (90° izraženo u radijanima) plus višekratnik cijelog broja, zatim broj ja –2ja materija ep, e 3 str, e -str itd., koji su svi valjani.

hiperkompleksni brojevi.

Kompleksni brojevi su izmišljeni kako bi se mogle riješiti sve kvadratne jednadžbe s realnim koeficijentima. Može se pokazati da zapravo kompleksni brojevi omogućuju mnogo više: njihovim uvođenjem algebarske jednadžbe bilo kojeg stupnja postaju rješive, čak i sa kompleksnim koeficijentima. Posljedično, kada bi nas zanimalo samo rješavanje algebarskih jednadžbi, nestala bi potreba za uvođenjem novih brojeva. Međutim, za druge svrhe potrebni su brojevi koji su raspoređeni donekle slično složenim, ali s više komponenti. Ponekad se takvi brojevi nazivaju hiperkompleksnim. Primjeri su kvaternioni i matrice.