Grafika funkcije snage svih različitih snaga. Funkcije i grafovi

Grafikon (slika 2).

Slika 2. Graf funkcije $f\lijevo(x\desno)=x^(2n)$

Svojstva funkcije potencije s prirodnim neparnim eksponentom

Domena definicije su svi realni brojevi.

$f\lijevo(-x\desno)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ je neparna funkcija.

$f(x)$ je kontinuiran na cijeloj domeni definicije.

Raspon su svi realni brojevi.

$f"\lijevo(x\desno)=\lijevo(x^(2n-1)\desno)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funkcija raste preko cijele domene definicije.

$f\lijevo(x\desno)0$, za $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\lijevo(x\desno))=(\lijevo(\lijevo(2n-1\desno)\cdot x^(2\lijevo(n-1\desno))\desno))"=2 \lijevo(2n-1\desno)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funkcija je konkavna za $x\in (-\infty ,0)$ i konveksna za $x\in (0,+\infty)$.

Grafikon (slika 3).

Slika 3. Graf funkcije $f\lijevo(x\desno)=x^(2n-1)$

Funkcija potencije s cjelobrojnim eksponentom

Za početak uvodimo pojam stupnja s cjelobrojnim eksponentom.

Definicija 3

Stupanj realnog broja $a$ s cjelobrojnim eksponentom $n$ određuje se formulom:

Slika 4

Razmotrimo sada funkciju potencije s cjelobrojnim eksponentom, njezina svojstva i graf.

Definicija 4

$f\lijevo(x\desno)=x^n$ ($n\in Z)$ naziva se funkcija potencije s cjelobrojnim eksponentom.

Ako je stupanj veći od nule, tada dolazimo do slučaja potencne funkcije s prirodnim eksponentom. Već smo to razmotrili gore. Za $n=0$ dobivamo linearnu funkciju $y=1$. Njegovo razmatranje prepuštamo čitatelju. Preostaje razmotriti svojstva funkcije potencije s negativnim cijelim eksponentom

Svojstva funkcije potencije s negativnim cijelim eksponentom

Opseg je $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent paran, onda je i funkcija parna, ako je neparan, onda je i funkcija neparna.

$f(x)$ je kontinuiran na cijeloj domeni definicije.

Raspon vrijednosti:

Ako je eksponent paran, tada $(0,+\infty)$, ako je neparan, onda $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent neparan, funkcija se smanjuje kao $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Za paran eksponent, funkcija opada kao $x\in (0,+\infty)$. i raste kao $x\in \lijevo(-\infty ,0\desno)$.

$f(x)\ge 0$ preko cijele domene

Prikazana su svojstva i grafovi funkcija snage za različite vrijednosti eksponenta. Osnovne formule, domene i skupovi vrijednosti, paritet, monotonost, porast i pad, ekstremi, konveksnost, infleksije, točke presjeka s koordinatnim osima, limiti, partikularne vrijednosti.

Formule funkcije snage

Na domeni funkcije snage y = x p vrijede formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Svojstva funkcija snage i njihovih grafova

Funkcija stepena s eksponentom jednakim nuli, p = 0

Ako je eksponent funkcije potencije y = x p jednak nuli, p = 0 , tada je funkcija potencije definirana za sve x ≠ 0 i konstantna je, jednaka jedinici:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Funkcija potencije s prirodnim neparnim eksponentom, p = n = 1, 3, 5, ...

Promotrimo funkciju potencije y = x p = x n s prirodnim neparnim eksponentom n = 1, 3, 5, ... . Takav se pokazatelj također može napisati kao: n = 2k + 1, gdje je k = 0, 1, 2, 3, ... nenegativan cijeli broj. Ispod su svojstva i grafovi takvih funkcija.

Graf potencije y = x n s prirodnim neparnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = 1, 3, 5, ... .

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: -∞ < y < ∞
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono raste
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na -∞< x < 0 выпукла вверх
na 0< x < ∞ выпукла вниз
Prijelomne točke: x=0, y=0
x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
pri x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
za x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
za n = 1, funkcija je inverzna sama sebi: x = y
za n ≠ 1, inverzna funkcija je korijen stupnja n:

Funkcija potencije s prirodnim parnim eksponentom, p = n = 2, 4, 6, ...

Promotrimo funkciju potencije y = x p = x n s prirodnim parnim eksponentom n = 2, 4, 6, ... . Takav pokazatelj se također može napisati kao: n = 2k, gdje je k = 1, 2, 3, ... prirodan broj. Svojstva i grafovi takvih funkcija dati su u nastavku.

Grafik potencije y = x n s prirodnim parnim eksponentom za razne vrijednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ... .

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: 0 ≤ y< ∞
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
za x ≤ 0 monotono opada
za x ≥ 0 monotono raste
Ekstremi: minimum, x=0, y=0
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
za x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
za n = 2, kvadratni korijen:
za n ≠ 2, korijen stupnja n:

Funkcija potencije s cjelobrojnim negativnim eksponentom, p = n = -1, -2, -3, ...

Razmotrimo funkciju potencije y = x p = x n s negativnim cijelim eksponentom n = -1, -2, -3, ... . Ako stavimo n = -k, gdje je k = 1, 2, 3, ... prirodan broj, tada se može prikazati kao:

Graf potencije y = x n s negativnim cijelim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = -1, -2, -3, ... .

Neparni eksponent, n = -1, -3, -5, ...

Ispod su svojstva funkcije y = x n s neparnim negativnim eksponentom n = -1, -3, -5, ... .

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y ≠ 0
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono se smanjuje
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na x< 0 : выпукла вверх
za x > 0 : konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
za n = -1,
za n< -2 ,

Parni eksponent, n = -2, -4, -6, ...

Ispod su svojstva funkcije y = x n s parnim negativnim eksponentom n = -2, -4, -6, ... .

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y > 0
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 : монотонно возрастает
za x > 0 : monotono opadajuća
Ekstremi: Ne
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak: y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
za n = -2,
za n< -2 ,

Funkcija stepena s racionalnim (frakcijskim) eksponentom

Razmotrimo funkciju potencije y = x p s racionalnim (frakcijskim) eksponentom, gdje je n cijeli broj, m > 1 je prirodan broj. Štoviše, n, m nemaju zajedničkih djelitelja.

Nazivnik frakcijskog pokazatelja je neparan

Neka je nazivnik razlomljenog eksponenta neparan: m = 3, 5, 7, ... . U ovom slučaju, funkcija snage x p definirana je i za pozitivne i za negativne x vrijednosti. Razmotrimo svojstva takvih funkcija snage kada je eksponent p unutar određenih granica.

p je negativan, p< 0

Neka racionalni eksponent (s neparnim nazivnikom m = 3, 5, 7, ... ) bude manji od nule: .

Grafovi eksponencijalnih funkcija s racionalnim negativnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta, gdje je m = 3, 5, 7, ... neparan.

Neparni brojnik, n = -1, -3, -5, ...

Ovdje su svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim negativnim eksponentom, gdje je n = -1, -3, -5, ... neparan negativan cijeli broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodni broj.

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y ≠ 0
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono se smanjuje
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na x< 0 : выпукла вверх
za x > 0 : konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:

Parni brojnik, n = -2, -4, -6, ...

Svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim negativnim eksponentom, gdje je n = -2, -4, -6, ... paran negativan cijeli broj, m = 3, 5, 7 ... neparan prirodan broj .

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y > 0
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 : монотонно возрастает
za x > 0 : monotono opadajuća
Ekstremi: Ne
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak: y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:

P-vrijednost je pozitivna, manja od jedan, 0< p < 1

Graf funkcije snage s racionalnim eksponentom (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Neparni brojnik, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: -∞ < x < +∞
Više vrijednosti: -∞ < y < +∞
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono raste
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na x< 0 : выпукла вниз
za x > 0 : konveksno gore
Prijelomne točke: x=0, y=0
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = -1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Parni brojnik, n = 2, 4, 6, ...

Prikazana su svojstva funkcije snage y = x p s racionalnim eksponentom unutar 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: -∞ < x < +∞
Više vrijednosti: 0 ≤ y< +∞
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 : монотонно убывает
za x > 0 : monotono rastuće
Ekstremi: minimum pri x = 0, y = 0
Konveksan: konveksan prema gore na x ≠ 0
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Znak: za x ≠ 0, y > 0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = 1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Eksponent p je veći od jedan, p > 1

Graf funkcije snage s racionalnim eksponentom (p > 1) za različite vrijednosti eksponenta, gdje je m = 3, 5, 7, ... neparan.

Neparni brojnik, n = 5, 7, 9, ...

Svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim eksponentom većim od jedan: . Gdje je n = 5, 7, 9, ... neparan prirodan broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodan broj.

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: -∞ < y < ∞
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono raste
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na -∞< x < 0 выпукла вверх
na 0< x < ∞ выпукла вниз
Prijelomne točke: x=0, y=0
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = -1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Parni brojnik, n = 4, 6, 8, ...

Svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim eksponentom većim od jedan: . Gdje je n = 4, 6, 8, ... paran prirodan broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodan broj.

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: 0 ≤ y< ∞
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 монотонно убывает
za x > 0 monotono raste
Ekstremi: minimum pri x = 0, y = 0
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = 1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Nazivnik frakcijskog pokazatelja je paran

Neka je nazivnik razlomačkog eksponenta paran: m = 2, 4, 6, ... . U ovom slučaju, funkcija snage x p nije definirana za negativne vrijednosti argumenta. Njegova svojstva podudaraju se sa svojstvima funkcije potencije s iracionalnim eksponentom (vidi sljedeći odjeljak).

Funkcija potencije s iracionalnim eksponentom

Promotrimo funkciju potencije y = x p s iracionalnim eksponentom p . Svojstva takvih funkcija razlikuju se od gore navedenih po tome što nisu definirana za negativne vrijednosti argumenta x. Za pozitivne vrijednosti argumenta, svojstva ovise samo o vrijednosti eksponenta p i ne ovise o tome je li p cijeli broj, racionalan ili iracionalan.

y = x p za različite vrijednosti eksponenta p.

Funkcija potencije s negativnim p< 0

Domena: x > 0
Više vrijednosti: y > 0
Monotonija: monotono se smanjuje
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Ograničenja: ;
privatna vrijednost: Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funkcija potencije s pozitivnim eksponentom p > 0

Indikator je manji od jedne 0< p < 1

Domena: x ≥ 0
Više vrijednosti: y ≥ 0
Monotonija: monotono raste
Konveksan: konveksno gore
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
Privatne vrijednosti: Za x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indikator je veći od jednog p > 1

Domena: x ≥ 0
Više vrijednosti: y ≥ 0
Monotonija: monotono raste
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
Privatne vrijednosti: Za x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

Funkcija snage, njezina svojstva i graf Demonstracijski materijal Sat-predavanje Pojam funkcije. Svojstva funkcija. Funkcija stepena, njezina svojstva i graf. Grade 10 Sva prava pridržana. Autorsko pravo sa Autorsko pravo sa

Tijek lekcije: Ponavljanje. Funkcija. Svojstva funkcija. Učenje novog gradiva. 1. Definicija funkcije potencije Definicija funkcije potencije. 2. Svojstva i grafovi potencijskih funkcija.Svojstva i grafovi potencijskih funkcija. Konsolidacija proučavanog materijala. Usmeno brojanje. Usmeno brojanje. Sažetak lekcije. Domaća zadaća Domaća zadaća.

Domena i raspon funkcije Sve vrijednosti nezavisne varijable čine domenu funkcije x y=f(x) f Domena funkcije Domena funkcije Sve vrijednosti koje zavisna varijabla poprima čine domenu funkcije Funkcija. Svojstva funkcije

Graf funkcije Neka je dana funkcija gdje je xY y x.75 3 0,6 4 0,5 Graf funkcije je skup svih točaka koordinatne ravnine čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. Funkcija. Svojstva funkcije

Y x Područje definicije i opseg funkcije 4 y=f(x) Područje funkcije: Područje funkcije: Funkcija. Svojstva funkcije

Parna funkcija y x y=f(x) Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na y-os Funkcija y=f(x) se poziva čak i ako je f(-x) = f(x) za bilo koji x iz domene funkcije Funkcija. Svojstva funkcije

Neparna funkcija y x y \u003d f (x) Graf neparne funkcije je simetričan oko ishodišta O (0; 0) Funkcija y \u003d f (x) naziva se neparnom ako je f (-x) \u003d -f (x) ) za bilo koji x iz područja definicija funkcije Funkcija. Svojstva funkcije

Definicija funkcije snage Funkcija, gdje je p zadani realni broj, naziva se funkcija snage. p y \u003d x p P \u003d x y 0 Napredak lekcije

Funkcija potencije x y 1. Područje definiranja i područje vrijednosti funkcija potencije oblika, gdje je n prirodan broj, sve su realni brojevi. 2. Ove funkcije su neparne. Njihov graf je simetričan u odnosu na ishodište. Svojstva i dijagrami funkcije snage

Funkcije stepena s racionalnim pozitivnim eksponentom Područje definiranja su svi pozitivni brojevi i broj 0. Raspon funkcija s takvim eksponentom također su svi pozitivni brojevi i broj 0. Ove funkcije nisu niti parne niti neparne. y x Svojstva i grafovi funkcije potencije

Funkcija potencije s racionalnim negativnim eksponentom. Područje definiranja i opseg takvih funkcija su svi pozitivni brojevi. Funkcije nisu ni parne ni neparne. Takve funkcije opadaju u cijeloj svojoj domeni definicije. y x Svojstva i grafovi funkcije snage Tijek lekcije

1. Funkcija stepena, njezina svojstva i graf;

2. Transformacije:

Paralelni prijenos;

Simetrija oko koordinatnih osi;

Simetrija o podrijetlu;

Simetrija u odnosu na pravac y = x;

Istezanje i skupljanje duž koordinatnih osi.

3. Eksponencijalna funkcija, njezina svojstva i graf, slične transformacije;

4. Logaritamska funkcija, njena svojstva i graf;

5. Trigonometrijska funkcija, njezina svojstva i graf, slične transformacije (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Funkcija: y = x\n - njezina svojstva i graf.

Funkcija stepena, njezina svojstva i graf

y \u003d x, y = x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x itd. Sve ove funkcije su posebni slučajevi funkcije snage, tj. funkcije y = xp, gdje je p zadani realni broj.
Svojstva i graf potencije bitno ovise o svojstvima potencije s realnim eksponentom, a posebno o vrijednostima za koje x i str ima smisla xp. Prijeđimo na slično razmatranje različitih slučajeva, ovisno o
eksponent str.

1. Indeks p = 2n je paran prirodan broj.

y=x2n, gdje n je prirodan broj i ima sljedeća svojstva:

• domena definicije su svi realni brojevi, tj. skup R;
• skup vrijednosti - nenegativni brojevi, tj. y je veći ili jednak 0;
• funkcija y=x2nčak, jer x 2n = (-x) 2n
• funkcija je opadajuća na intervalu x< 0 i raste na intervalu x > 0.

Grafikon funkcije y=x2n ima isti oblik kao npr. graf funkcije y=x4.

2. Indikator p = 2n - 1- neparan prirodan broj

U ovom slučaju, funkcija snage y=x2n-1, gdje je prirodni broj, ima sljedeća svojstva:

• domena definiranja - skup R;
• skup vrijednosti - skup R;
• funkcija y=x2n-1čudno jer (- x) 2n-1= x 2n-1;
• funkcija raste na cijeloj realnoj osi.

Grafikon funkcije y=x2n-1 y=x3.

3. Indikator p=-2n, gdje n- prirodni broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x-2n=1/x2n ima sljedeća svojstva:

• skup vrijednosti - pozitivni brojevi y>0;
• funkcija y = 1/x2nčak, jer 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• funkcija je rastuća na intervalu x0.

Graf funkcije y = 1/x2n ima isti oblik kao npr. graf funkcije y = 1/x2.

4. Indikator p = -(2n-1), gdje n- prirodni broj.
U ovom slučaju, funkcija snage y=x-(2n-1) ima sljedeća svojstva:

• domena definicije je skup R, osim za x = 0;
• skup vrijednosti - skup R, osim za y = 0;
• funkcija y=x-(2n-1)čudno jer (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• funkcija je opadajuća na intervalima x< 0 i x > 0.

Grafikon funkcije y=x-(2n-1) ima isti oblik kao npr. graf funkcije y = 1/x3.