दीर्घवृत्त के दीर्घ अक्ष की लंबाई ज्ञात कीजिए। दूसरे क्रम की पंक्तियाँ। दीर्घवृत्त और उसका विहित समीकरण। घेरा

11.1. मूल अवधारणा

वर्तमान निर्देशांक के संबंध में दूसरी डिग्री के समीकरणों द्वारा परिभाषित रेखाओं पर विचार करें

समीकरण के गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, लेकिन ए, बी, या सी में से कम से कम एक संख्या शून्य नहीं है। ऐसी रेखाओं को द्वितीय कोटि की रेखाएँ (वक्र) कहते हैं। यह नीचे स्थापित किया जाएगा कि समीकरण (11.1) विमान में एक वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय या परवलय को परिभाषित करता है। इस अभिकथन पर आगे बढ़ने से पहले, आइए हम प्रगणित वक्रों के गुणों का अध्ययन करें।

11.2. घेरा

दूसरे क्रम का सबसे सरल वक्र एक वृत्त है। याद रखें कि एक बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या R का एक वृत्त उस तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो शर्त को पूरा करता है। मान लीजिए कि एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली के एक बिंदु में निर्देशांक x 0, y 0 a - वृत्त का एक मनमाना बिंदु है (चित्र 48 देखें)।

तब स्थिति से हम समीकरण प्राप्त करते हैं

(11.2)

समीकरण (11.2) दिए गए वृत्त पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट है और किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं है जो वृत्त पर स्थित नहीं है।

समीकरण (11.2) कहलाता है वृत्त का विहित समीकरण

विशेष रूप से, यह मानकर और , हम मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त का समीकरण प्राप्त करते हैं .

सरल परिवर्तन के बाद वृत्त समीकरण (11.2) का रूप लेगा। दूसरे क्रम के वक्र के सामान्य समीकरण (11.1) के साथ इस समीकरण की तुलना करते समय, यह देखना आसान है कि सर्कल समीकरण के लिए दो शर्तें संतुष्ट हैं:

1) x 2 और y 2 पर गुणांक एक दूसरे के बराबर हैं;

2) वर्तमान निर्देशांक के xy उत्पाद वाला कोई सदस्य नहीं है।

आइए उलटा समस्या पर विचार करें। समीकरण (11.1) में मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

आइए इस समीकरण को रूपांतरित करें:

(11.4)

यह इस प्रकार है कि समीकरण (11.3) शर्त के तहत एक सर्कल को परिभाषित करता है . इसका केंद्र बिंदु पर है , और त्रिज्या

.

यदि , तो समीकरण (11.3) का रूप है

.

यह एक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है . इस मामले में, वे कहते हैं: "वृत्त एक बिंदु में विकृत हो गया है" (शून्य त्रिज्या है)।

यदि एक , फिर समीकरण (11.4), और इसलिए समतुल्य समीकरण (11.3), किसी भी रेखा का निर्धारण नहीं करेगा, क्योंकि समीकरण का दायां पक्ष (11.4) ऋणात्मक है, और बायां पक्ष ऋणात्मक नहीं है (जैसे: "काल्पनिक वृत्त")।

11.3. अंडाकार

एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण

अंडाकार तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, उनमें से प्रत्येक से इस तल के दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग कहलाता है चाल , एक स्थिर मान है जो फ़ोकस के बीच की दूरी से अधिक है।

द्वारा फॉसी को निरूपित करें एफ1तथा F2, उनके बीच की दूरी 2 . में सी, और दीर्घवृत्त के एक मनमाना बिंदु से foci तक की दूरी का योग - 2 . के माध्यम से एक(अंजीर देखें। 49)। परिभाषा के अनुसार 2 एक > 2सी, अर्थात। एक > सी.

एक दीर्घवृत्त के समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम एक समन्वय प्रणाली का चयन करते हैं ताकि फोकस एफ1तथा F2अक्ष पर स्थित है, और मूल खंड के मध्य बिंदु के साथ मेल खाता है एफ 1 एफ 2. तब foci में निम्नलिखित निर्देशांक होंगे: तथा .

आज्ञा देना दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है। फिर, एक दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, अर्थात्।

यह, वास्तव में, एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।

हम समीकरण (11.5) को एक सरल रूप में इस प्रकार बदलते हैं:

इसलिये एक>साथ, फिर । चलो रखो

(11.6)

तब अंतिम समीकरण रूप लेता है या

(11.7)

यह सिद्ध किया जा सकता है कि समीकरण (11.7) मूल समीकरण के तुल्य है। इसे कहते हैं दीर्घवृत्त का विहित समीकरण .

दीर्घवृत्त दूसरे क्रम का एक वक्र है।

एक दीर्घवृत्त के आकार का उसके समीकरण के अनुसार अध्ययन

आइए इसके विहित समीकरण का उपयोग करके दीर्घवृत्त का आकार स्थापित करें।

1. समीकरण (11.7) में केवल सम घातों में x और y होते हैं, इसलिए यदि कोई बिंदु एक दीर्घवृत्त का है, तो बिंदु भी उसी से संबंधित हैं। यह इस प्रकार है कि दीर्घवृत्त कुल्हाड़ियों के संबंध में सममित है और साथ ही उस बिंदु के संबंध में है, जिसे दीर्घवृत्त का केंद्र कहा जाता है।

2. निर्देशांक अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। रखने पर, हम दो बिंदु पाते हैं और, जिस पर अक्ष दीर्घवृत्त को काटती है (चित्र 50 देखें)। समीकरण (11.7) में रखने पर, हम दीर्घवृत्त के अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु पाते हैं: और। अंक ए 1 , ए2 , बी 1, बी2बुलाया दीर्घवृत्त के शीर्ष. सेगमेंट ए 1 ए2तथा बी1 बी2, साथ ही उनकी लंबाई 2 एकऔर 2 बीक्रमशः कहा जाता है प्रमुख और लघु कुल्हाड़ियोंअंडाकार नंबर एकतथा बीक्रमशः बड़े और छोटे कहलाते हैं। धुरा शाफ्टअंडाकार

3. समीकरण (11.7) से यह पता चलता है कि बाईं ओर का प्रत्येक पद एक से अधिक नहीं है, अर्थात। असमानताएँ हैं और या और। इसलिए, दीर्घवृत्त के सभी बिंदु सीधी रेखाओं से बने आयत के अंदर होते हैं।

4. समीकरण (11.7) में, गैर-ऋणात्मक पदों का योग और एक के बराबर होता है। नतीजतन, जैसे-जैसे एक पद बढ़ता है, दूसरा घटता जाता है, अर्थात यदि बढ़ता है, तो घटता है और इसके विपरीत।

जो कहा गया है, उससे यह पता चलता है कि दीर्घवृत्त का आकार अंजीर में दिखाया गया है। 50 (अंडाकार बंद वक्र)।

दीर्घवृत्त के बारे में अधिक जानकारी

दीर्घवृत्त का आकार अनुपात पर निर्भर करता है। जब दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है, तो दीर्घवृत्त समीकरण (11.7) का रूप ले लेता है। दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता के रूप में, अनुपात का अधिक बार उपयोग किया जाता है। दीर्घवृत्त के अर्ध-प्रमुख अक्ष के बीच की आधी दूरी के अनुपात को दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहा जाता है और o6o को अक्षर ε ("एप्सिलॉन") द्वारा दर्शाया जाता है:

0 . के साथ<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

इससे पता चलता है कि दीर्घवृत्त की विलक्षणता जितनी छोटी होगी, दीर्घवृत्त उतना ही कम तिरछा होगा; यदि हम = 0 डालते हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है।

मान लीजिए M(x; y) दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है जिसका फोकस F 1 और F 2 है (चित्र 51 देखें)। F 1 M=r 1 और F 2 M = r 2 खंडों की लंबाई को बिंदु M की फोकल त्रिज्या कहा जाता है। स्पष्टतः,

सूत्र हैं

सीधी रेखाएं कहलाती हैं

प्रमेय 11.1.यदि दीर्घवृत्त के एक मनमाना बिंदु से कुछ फ़ोकस तक की दूरी है, d इस फ़ोकस के अनुरूप समान बिंदु से नियति तक की दूरी है, तो अनुपात दीर्घवृत्त की विलक्षणता के बराबर एक स्थिर मान है:

यह समानता (11.6) से इस प्रकार है कि . यदि , तो समीकरण (11.7) एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है, जिसका प्रमुख अक्ष ओए अक्ष पर स्थित होता है, और लघु अक्ष ऑक्स अक्ष पर स्थित होता है (चित्र 52 देखें)। ऐसे दीर्घवृत्त की नाभियाँ बिन्दुओं पर होती हैं और जहाँ .

11.4. अतिशयोक्ति

अतिपरवलय का विहित समीकरण

अतिशयोक्ति तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय कहलाता है, प्रत्येक से इस तल के दो दिए गए बिंदुओं की दूरी के अंतर का मापांक कहलाता है चाल , एक स्थिर मान है, जो foci के बीच की दूरी से छोटा है।

द्वारा फॉसी को निरूपित करें एफ1तथा F2के माध्यम से उनके बीच की दूरी 2s, और हाइपरबोला के प्रत्येक बिंदु से फॉसी के माध्यम से दूरी में अंतर का मापांक 2ए. परिभाषा से 2ए < 2s, अर्थात। एक < सी.

अतिपरवलय समीकरण को व्युत्पन्न करने के लिए, हम एक समन्वय प्रणाली का चयन करते हैं ताकि फोकस एफ1तथा F2अक्ष पर स्थित है, और मूल खंड के मध्य बिंदु के साथ मेल खाता है एफ 1 एफ 2(अंजीर देखें। 53)। तब foci के निर्देशांक होंगे और

आज्ञा देना अतिपरवलय का एक मनमाना बिंदु हो। फिर अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार या, यानी सरलीकरण के बाद, जैसा कि दीर्घवृत्त समीकरण प्राप्त करते समय किया गया था, हम प्राप्त करते हैं अतिपरवलय का विहित समीकरण

(11.9)

(11.10)

हाइपरबोला दूसरे क्रम की एक पंक्ति है।

इसके समीकरण के अनुसार अतिपरवलय के रूप की जांच

आइए हम अतिपरवलय के आकार को उसके कोकोनिक समीकरण का उपयोग करके स्थापित करें।

1. समीकरण (11.9) में केवल सम घातों में x और y हैं। इसलिए, अतिपरवलय कुल्हाड़ियों के संबंध में सममित है और साथ ही बिंदु के संबंध में, जिसे कहा जाता है हाइपरबोला का केंद्र।

2. निर्देशांक अक्षों के साथ अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। समीकरण (11.9) में रखने पर, हम हाइपरबोला के अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु पाते हैं: और। (11.9) डालने पर, हम प्राप्त करते हैं, जो नहीं हो सकता। अत: अतिपरवलय y-अक्ष को नहीं काटता।

अंक और कहलाते हैं चोटियों अतिपरवलय, और खंड

वास्तविक धुरी , रेखा खंड - वास्तविक अर्ध-अक्ष अतिशयोक्ति।

बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को कहते हैं काल्पनिक धुरी , संख्या बी - काल्पनिक धुरी . भुजाओं वाला आयत 2एतथा 2 बीबुलाया अतिपरवलय का मुख्य आयत .

3. समीकरण (11.9) से यह पता चलता है कि मिन्यूअंड एक से कम नहीं है, अर्थात् वह या । इसका मतलब यह है कि हाइपरबोला के बिंदु रेखा के दाईं ओर (हाइपरबोला की दाहिनी शाखा) और रेखा के बाईं ओर (हाइपरबोला की बाईं शाखा) में स्थित होते हैं।

4. अतिपरवलय के समीकरण (11.9) से यह देखा जा सकता है कि जब यह बढ़ता है तो यह भी बढ़ता है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि अंतर एक स्थिर मान को एक के बराबर रखता है।

यह कहा गया है कि हाइपरबोला का आकार चित्र 54 में दिखाया गया है (एक वक्र जिसमें दो अनबाउंड शाखाएं होती हैं)।

अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख

रेखा L को स्पर्शोन्मुख कहा जाता है एक असंबद्ध वक्र K के लिए यदि वक्र K के बिंदु M से इस रेखा तक की दूरी d शून्य हो जाती है क्योंकि बिंदु M वक्र K के साथ मूल से अनिश्चित काल तक चलता है। चित्र 55 एक स्पर्शोन्मुख की अवधारणा को दर्शाता है: रेखा L वक्र K के लिए एक स्पर्शोन्मुख है।

आइए हम दिखाते हैं कि हाइपरबोला में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं:

(11.11)

चूँकि रेखाएँ (11.11) और अतिपरवलय (11.9) निर्देशांक अक्षों के संबंध में सममित हैं, यह संकेतित रेखाओं के केवल उन बिंदुओं पर विचार करने के लिए पर्याप्त है जो पहले चतुर्थांश में स्थित हैं।

हाइपरबोला पर एक बिंदु के रूप में एक ही भुज x वाले बिंदु N को एक सीधी रेखा पर लें (देखिए आकृति 56), और सरल रेखा की कोटि और अतिपरवलय की शाखा के बीच N का अंतर ज्ञात कीजिए:

जैसा कि आप देख सकते हैं, जैसे-जैसे x बढ़ता है, भिन्न का हर बढ़ता जाता है; अंश एक स्थिर मान है। इसलिए, खंड की लंबाई ΜN शून्य हो जाता है। चूँकि N बिंदु से रेखा तक की दूरी d से अधिक है, तो d और भी अधिक शून्य हो जाता है। इस प्रकार, रेखाएँ अतिपरवलय (11.9) की स्पर्शोन्मुख हैं।

हाइपरबोला (11.9) का निर्माण करते समय, यह सलाह दी जाती है कि पहले हाइपरबोला के मुख्य आयत का निर्माण करें (चित्र 57 देखें), इस आयत के विपरीत शीर्षों से गुजरने वाली रेखाएँ खींचें - हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख और शीर्षों को चिह्नित करें और हाइपरबोला .

एक समबाहु अतिपरवलय का समीकरण।

जिनके स्पर्शोन्मुख निर्देशांक अक्ष हैं

हाइपरबोला (11.9) को समबाहु कहा जाता है यदि इसके अर्ध-अक्ष बराबर () हों। इसका विहित समीकरण

(11.12)

एक समबाहु अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख में समीकरण होते हैं और इसलिए समन्वय कोणों के द्विभाजक होते हैं।

एक नए समन्वय प्रणाली में इस अतिपरवलय के समीकरण पर विचार करें (चित्र 58 देखें), जो पुराने निर्देशांक अक्षों को एक कोण से घुमाकर प्राप्त किया गया है। हम निर्देशांक अक्षों के घूर्णन के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं:

हम समीकरण (11.12) में x और y के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

एक समबाहु अतिपरवलय का समीकरण, जिसके लिए अक्ष ऑक्स और ओए स्पर्शोन्मुख हैं, का रूप होगा।

अतिशयोक्ति के बारे में अधिक

सनक हाइपरबोला (11.9) हाइपरबोला के वास्तविक अक्ष के फॉसी के बीच की दूरी का अनुपात है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है:

चूंकि अतिपरवलय के लिए अतिपरवलय की उत्केन्द्रता एक से अधिक होती है: . विलक्षणता एक अतिपरवलय के आकार की विशेषता है। वास्तव में, यह समानता (11.10) से निम्नानुसार है कि। तथा .

इससे यह देखा जा सकता है कि हाइपरबोला की विलक्षणता जितनी छोटी होगी, अनुपात उतना ही छोटा होगा - इसके अर्ध-अक्षों का, जिसका अर्थ है कि इसका मुख्य आयत जितना अधिक विस्तारित होता है।

एक समबाहु अतिपरवलय की उत्केन्द्रता है। सचमुच,

फोकल त्रिज्या तथा हाइपरबोला की दाहिनी शाखा के बिंदुओं के लिए रूप है और , और बाईं ओर - तथा .

सीधी रेखाओं को हाइपरबोला की डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है। चूंकि अतिपरवलय > 1 के लिए, तो . इसका मतलब है कि दायां डायरेक्ट्रिक्स हाइपरबोला के केंद्र और दाएं शीर्ष के बीच स्थित है, बाएं डायरेक्ट्रिक्स केंद्र और बाएं चरम के बीच है।

हाइपरबोला के डायरेक्ट्रिक्स में एक दीर्घवृत्त के डायरेक्ट्रिक्स के समान गुण होते हैं।

समीकरण द्वारा परिभाषित वक्र भी एक अतिपरवलय है, जिसका वास्तविक अक्ष 2b ओए अक्ष पर स्थित है, और काल्पनिक अक्ष 2 एक- ऑक्स अक्ष पर। चित्र 59 में, इसे एक बिंदीदार रेखा के रूप में दिखाया गया है।

जाहिर है, हाइपरबोलस और सामान्य स्पर्शोन्मुख हैं। ऐसे अतिपरवलय संयुग्म कहलाते हैं।

11.5. परवलय

विहित परवलय समीकरण

एक परवलय एक तल में सभी बिंदुओं का समूह होता है, जिनमें से प्रत्येक किसी दिए गए बिंदु से समान रूप से दूर होता है, जिसे फोकस कहा जाता है, और एक दी गई रेखा, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है। फोकस F से डायरेक्ट्रिक्स की दूरी को परवलय का पैरामीटर कहा जाता है और इसे p (p > 0) द्वारा दर्शाया जाता है।

परवलय समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम ऑक्सी समन्वय प्रणाली का चयन करते हैं ताकि ऑक्सी अक्ष फोकस F से होकर डायरेक्ट्रिक्स से F की दिशा में डायरेक्ट्रिक्स की ओर जाए, और मूल O फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच में स्थित हो। (चित्र 60 देखें)। चयनित सिस्टम में, फ़ोकस F में निर्देशांक होते हैं, और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण का रूप , या होता है।

1. समीकरण (11.13) में, चर y को सम अंश में शामिल किया गया है, जिसका अर्थ है कि परवलय ऑक्स अक्ष के बारे में सममित है; x-अक्ष परवलय की सममिति की धुरी है।

2. चूंकि ρ > 0, यह (11.13) से अनुसरण करता है कि . इसलिए, परवलय y-अक्ष के दाईं ओर स्थित है।

3. जब हमारे पास y \u003d 0 होता है। इसलिए, परवलय मूल से होकर गुजरता है।

4. x में असीमित वृद्धि के साथ, मॉड्यूल y भी अनिश्चित काल के लिए बढ़ता है। परवलय का रूप (आकृति) चित्र 61 में दिखाया गया है। बिंदु O (0; 0) को परवलय का शीर्ष कहा जाता है, खंड FM \u003d r को बिंदु M का फोकल त्रिज्या कहा जाता है।

समीकरण , , ( पी>0) परवलय को भी परिभाषित करते हैं, उन्हें चित्र 62 में दिखाया गया है

यह दिखाना आसान है कि एक वर्ग ट्रिनोमियल का ग्राफ, जहां, बी और सी कोई भी वास्तविक संख्या है, उपरोक्त परिभाषा के अर्थ में एक परवलय है।

11.6. द्वितीय कोटि रेखाओं का सामान्य समीकरण

निर्देशांक अक्षों के समानांतर समरूपता के अक्षों के साथ दूसरे क्रम के वक्रों के समीकरण

आइए पहले बिंदु पर केंद्रित एक दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात करें, जिसकी सममिति कुल्हाड़ियाँ निर्देशांक अक्षों ऑक्स और ओए के समानांतर हैं और अर्ध-अक्ष क्रमशः हैं एकतथा बी. आइए हम दीर्घवृत्त ओ 1 के केंद्र में नई समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति रखें, जिसकी कुल्हाड़ियों और अर्ध-अक्ष एकतथा बी(अंजीर देखें। 64):

और अंत में, चित्र 65 में दिखाए गए परवलय में संगत समीकरण होते हैं।

समीकरण

एक दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय के समीकरण और परिवर्तन के बाद एक वृत्त का समीकरण (खुले कोष्ठक, समीकरण के सभी पदों को एक दिशा में ले जाना, समान पद लाना, गुणांकों के लिए नया संकेतन प्रस्तुत करना) के एकल समीकरण का उपयोग करके लिखा जा सकता है फार्म

जहां गुणांक ए और सी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं।

प्रश्न उठता है: क्या प्रपत्र का कोई समीकरण (11.14) दूसरे क्रम के किसी एक वक्र (वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय) को निर्धारित करता है? उत्तर निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है।

प्रमेय 11.2. समीकरण (11.14) हमेशा परिभाषित करता है: या तो एक सर्कल (ए = सी के लिए), या एक अंडाकार (ए सी> 0 के लिए), या एक हाइपरबोला (एसी के लिए)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

दूसरे क्रम का सामान्य समीकरण

अब दो अज्ञात के साथ दूसरी डिग्री के सामान्य समीकरण पर विचार करें:

यह निर्देशांक (बी¹ 0) के उत्पाद के साथ एक शब्द की उपस्थिति से समीकरण (11.14) से भिन्न होता है। यह संभव है कि निर्देशांक अक्षों को कोण a से घुमाकर इस समीकरण को रूपांतरित किया जाए ताकि निर्देशांक के गुणनफल वाला पद इसमें अनुपस्थित हो।

कुल्हाड़ियों को मोड़ने के लिए सूत्रों का उपयोग करना

आइए पुराने निर्देशांकों को नए के रूप में व्यक्त करें:

हम कोण को चुनते हैं ताकि x "y" पर गुणांक गायब हो जाए, यानी, ताकि समानता

इस प्रकार, जब कुल्हाड़ियों को एक कोण के माध्यम से घुमाया जाता है जो स्थिति (11.17) को संतुष्ट करता है, समीकरण (11.15) समीकरण (11.14) में कम हो जाता है।

निष्कर्ष: दूसरे क्रम का सामान्य समीकरण (11.15) विमान पर (अपक्षय और क्षय के मामलों को छोड़कर) निम्नलिखित वक्रों को परिभाषित करता है: वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय।

नोट: यदि ए = सी, तो समीकरण (11.17) अपना अर्थ खो देता है। इस स्थिति में cos2α = 0 (देखें (11.16)), फिर 2α = 90°, यानी α = 45°। तो, ए = सी पर, समन्वय प्रणाली को 45 डिग्री घुमाया जाना चाहिए।

परिभाषा 7.1.समतल पर उन सभी बिंदुओं का समुच्चय जिसके लिए दो निश्चित बिंदुओं F1 और F2 की दूरियों का योग दिया गया स्थिरांक है, कहलाता है अंडाकार

एक दीर्घवृत्त की परिभाषा इसे ज्यामितीय रूप से बनाने का निम्नलिखित तरीका देती है। हम समतल पर दो बिंदु F1 और F 2 स्थिर करते हैं, और एक गैर-ऋणात्मक स्थिरांक को 2a से निरूपित करते हैं। मान लीजिए कि बिंदु F 1 और F 2 के बीच की दूरी 2c के बराबर है। कल्पना कीजिए कि लंबाई 2a का एक अविभाज्य धागा बिंदु F 1 और F 2 पर तय किया गया है, उदाहरण के लिए, दो सुइयों की मदद से। यह स्पष्ट है कि यह केवल c के लिए ही संभव है। धागे को पेंसिल से खींचकर एक रेखा खींचिए, जो एक दीर्घवृत्त होगी (चित्र 7.1)।

अत: वर्णित समुच्चय रिक्त नहीं है यदि a c. जब a = c, दीर्घवृत्त एक खंड होता है जिसके सिरे F 1 और F 2 होते हैं, और जब c = 0 होता है, अर्थात। यदि दीर्घवृत्त की परिभाषा में निर्दिष्ट निश्चित बिंदु मेल खाते हैं, तो यह त्रिज्या a का एक वृत्त है। इन अपक्षयी मामलों को छोड़कर, हम एक नियम के रूप में आगे यह मानेंगे कि a > c > 0.

दीर्घवृत्त की परिभाषा 7.1 में स्थिर बिंदु F 1 और F 2 (चित्र 7.1 देखें) कहलाते हैं अंडाकार चाल, उनके बीच की दूरी, 2c द्वारा निरूपित, - फोकल लम्बाई, और खंड एफ 1 एम और एफ 2 एम, अंडाकार पर एक मनमाना बिंदु एम को अपने फोकस के साथ जोड़ते हैं, - फोकल त्रिज्या.

अंडाकार का रूप पूरी तरह से फोकल लम्बाई से निर्धारित होता है |एफ 1 एफ 2 | = 2с और पैरामीटर ए, और विमान पर इसकी स्थिति - अंक F 1 और F 2 की एक जोड़ी द्वारा।

यह एक दीर्घवृत्त की परिभाषा से इस प्रकार है कि यह एक सीधी रेखा के बारे में सममित है जो F 1 और F 2 के साथ-साथ एक सीधी रेखा के बारे में है जो खंड F 1 F 2 को आधे में विभाजित करती है और इसके लंबवत है (चित्र। 7.2, ए)। इन पंक्तियों को कहा जाता है अंडाकार कुल्हाड़ियों. उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु O दीर्घवृत्त की सममिति का केंद्र है, और इसे कहते हैं दीर्घवृत्त का केंद्र, और समरूपता की कुल्हाड़ियों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु (अंजीर में अंक ए, बी, सी और डी। 7.2, ए) - दीर्घवृत्त के शीर्ष.

संख्या a कहलाती है दीर्घवृत्त का अर्ध-प्रमुख अक्ष, और बी = (ए 2 - सी 2) - इसका अर्ध-मामूली धुरी. यह देखना आसान है कि c> 0 के लिए, प्रमुख अर्ध-अक्ष a, दीर्घवृत्त के केंद्र से उसके उन शीर्षों की दूरी के बराबर है जो दीर्घवृत्त के फ़ोकस के समान अक्ष पर हैं (चित्र में शीर्ष A और B) 7.2, a), और लघु अर्ध-अक्ष b, केंद्र दीर्घवृत्त से इसके अन्य दो शीर्षों (चित्र 7.2, a में शीर्ष C और D) की दूरी के बराबर है।

अंडाकार समीकरण।बिंदु F 1 और F 2, दीर्घ अक्ष 2a पर फॉसी के साथ समतल पर कुछ दीर्घवृत्त पर विचार करें। मान लीजिए 2c फोकस दूरी है, 2c = |F 1 F 2 |

हम विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी चुनते हैं ताकि इसकी उत्पत्ति अंडाकार के केंद्र से मेल खाती हो, और फॉसी चालू हो सूच्याकार आकृति का भुज(चित्र। 7.2, बी)। इस समन्वय प्रणाली को कहा जाता है कैनन काविचाराधीन दीर्घवृत्त के लिए, और संबंधित चर हैं कैनन का.

चयनित समन्वय प्रणाली में, foci के निर्देशांक F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) होते हैं। बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम शर्त लिखते हैं |F 1 M| + |एफ 2 एम| = 2a निर्देशांक में:

((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a। (7.2)

यह समीकरण असुविधाजनक है क्योंकि इसमें दो वर्ग मूलक हैं। तो चलिए इसे रूपांतरित करते हैं। हम समीकरण (7.2) में दूसरे रेडिकल को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और इसे वर्ग करते हैं:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 ।

कोष्ठक खोलने और समान पदों को कम करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

((x + c) 2 + y 2) = a + x

जहां = सी/ए। हम दूसरे रेडिकल को हटाने के लिए स्क्वेरिंग ऑपरेशन दोहराते हैं: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, या, दर्ज किए गए पैरामीटर का मान दिया गया है, (a 2 - c 2) x 2 / ए 2 + वाई 2 = ए 2 - सी 2। चूँकि a 2 - c 2 = b 2 > 0, तो

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

समीकरण (7.4) दीर्घवृत्त पर स्थित सभी बिंदुओं के निर्देशांकों से संतुष्ट होता है। लेकिन इस समीकरण को प्राप्त करते समय, मूल समीकरण (7.2) के गैर-समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग किया गया था - दो वर्ग जो वर्ग मूलकों को हटाते हैं। एक समीकरण को चुकता करना एक समान परिवर्तन है यदि दोनों पक्षों में समान चिह्न वाली मात्राएँ हों, लेकिन हमने अपने परिवर्तनों में इसकी जाँच नहीं की।

यदि हम निम्नलिखित पर विचार करें तो हम परिवर्तनों की तुल्यता की जाँच नहीं कर सकते हैं। F 1 और F 2 बिंदुओं की एक जोड़ी |F 1 F 2 | = 2c, समतल पर इन बिंदुओं पर दीर्घवृत्त के परिवार को फॉसी के साथ परिभाषित करता है। विमान का प्रत्येक बिंदु, खंड F 1 F 2 के बिंदुओं को छोड़कर, निर्दिष्ट परिवार के कुछ दीर्घवृत्त से संबंधित है। इस मामले में, कोई भी दो दीर्घवृत्त प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, क्योंकि फोकल त्रिज्या का योग विशिष्ट रूप से एक विशिष्ट दीर्घवृत्त को निर्धारित करता है। तो, बिना चौराहों के दीर्घवृत्त का वर्णित परिवार खंड F 1 F 2 के बिंदुओं को छोड़कर, पूरे विमान को कवर करता है। उन बिंदुओं के एक समूह पर विचार करें जिनके निर्देशांक पैरामीटर a के दिए गए मान के साथ समीकरण (7.4) को संतुष्ट करते हैं। क्या इस समुच्चय को अनेक दीर्घवृत्तों में बाँटा जा सकता है? सेट के कुछ बिंदु अर्ध-प्रमुख अक्ष वाले दीर्घवृत्त के हैं a. मान लीजिए कि इस सेट में एक अर्ध-प्रमुख अक्ष वाले दीर्घवृत्त पर स्थित एक बिंदु है। तब इस बिंदु के निर्देशांक समीकरण का पालन करते हैं

वे। समीकरण (7.4) और (7.5) के उभयनिष्ठ हल हैं। हालांकि, यह सत्यापित करना आसान है कि सिस्टम

के लिए कोई समाधान नहीं है। ऐसा करने के लिए, यह बाहर करने के लिए पर्याप्त है, उदाहरण के लिए, पहले समीकरण से x:

जो परिवर्तन के बाद समीकरण की ओर जाता है

a के लिए कोई समाधान नहीं है, क्योंकि . तो, (7.4) अर्ध-प्रमुख अक्ष a> 0 और लघु अर्ध-अक्ष b = √ (a 2 - c 2)> 0 के साथ एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। इसे कहा जाता है दीर्घवृत्त का विहित समीकरण.

अंडाकार दृश्य।ऊपर चर्चा की गई एक दीर्घवृत्त के निर्माण की ज्यामितीय विधि एक दीर्घवृत्त की उपस्थिति का पर्याप्त विचार देती है। लेकिन एक दीर्घवृत्त के रूप की जाँच उसके विहित समीकरण (7.4) की सहायता से भी की जा सकती है। उदाहरण के लिए, y 0 पर विचार करते हुए, आप y को x: y = b√(1 - x 2 /a 2) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, और, इस फ़ंक्शन की जांच करने के बाद, इसका ग्राफ बना सकते हैं। अंडाकार बनाने का एक और तरीका है। दीर्घवृत्त (7.4) के विहित समन्वय प्रणाली के मूल में केन्द्रित त्रिज्या का एक वृत्त समीकरण x 2 + y 2 = a 2 द्वारा वर्णित है। यदि इसे गुणांक a/b > 1 के साथ संकुचित किया जाता है शाफ़्ट, तो आपको एक वक्र मिलता है जो समीकरण x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, यानी एक दीर्घवृत्त द्वारा वर्णित है।

टिप्पणी 7.1.यदि एक ही वृत्त को गुणांक a/b . से संपीडित किया जाता है

अंडाकार विलक्षणता. किसी दीर्घवृत्त की फोकस दूरी का उसके दीर्घ अक्ष से अनुपात कहलाता है अंडाकार विलक्षणताऔर द्वारा निरूपित किया जाता है। दिए गए दीर्घवृत्त के लिए

विहित समीकरण (7.4), = 2c/2a = с/a. अगर (7.4) में पैरामीटर ए और बी असमानता से संबंधित हैं a

सी = 0 के लिए, जब अंडाकार एक सर्कल में बदल जाता है, और ε = 0. अन्य मामलों में, 0

समीकरण (7.3) समीकरण (7.4) के बराबर है क्योंकि समीकरण (7.4) और (7.2) समतुल्य हैं। इसलिए, (7.3) भी एक दीर्घवृत्तीय समीकरण है। इसके अलावा, संबंध (7.3) इस मायने में दिलचस्प है कि यह लंबाई के लिए एक सरल मूलांक-मुक्त सूत्र देता है |F 2 M| दीर्घवृत्त के बिंदु M(x; y) की फोकल त्रिज्या में से एक: |F 2 M| = ए + x।

दूसरे फोकल त्रिज्या के लिए एक समान सूत्र समरूपता के विचारों से या दोहराए जाने वाले गणनाओं से प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें समीकरण (7.2) से पहले, पहले कट्टरपंथी को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, न कि दूसरा। अत: दीर्घवृत्त पर स्थित किसी बिंदु M(x; y) के लिए (देखिए आकृति 7.2)

|एफ 1 एम | = ए - x, |एफ 2 एम| = ए + x, (7.6)

और इनमें से प्रत्येक समीकरण एक दीर्घवृत्त समीकरण है।

उदाहरण 7.1।आइए अर्ध-प्रमुख अक्ष 5 और विलक्षणता 0.8 वाले दीर्घवृत्त का विहित समीकरण ज्ञात करें और इसकी रचना करें।

दीर्घवृत्त a = 5 और उत्केन्द्रता = 0.8 के प्रमुख अर्ध-अक्ष को जानने के बाद, हम इसका लघु अर्ध-अक्ष b ज्ञात करते हैं। चूँकि b \u003d (a 2 - c 2), और c \u003d a \u003d 4, फिर b \u003d (5 2 - 4 2) \u003d 3. तो विहित समीकरण का रूप x 2/5 2 है। + y 2 / 3 2 \u003d 1. एक दीर्घवृत्त का निर्माण करने के लिए, विहित समन्वय प्रणाली के मूल पर केंद्रित एक आयत खींचना सुविधाजनक है, जिसके किनारे दीर्घवृत्त की समरूपता के अक्षों के समानांतर हैं और इसके बराबर हैं संगत अक्ष (चित्र। 7.4)। यह आयत के साथ प्रतिच्छेद करती है

दीर्घवृत्त की कुल्हाड़ियाँ A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), और दीर्घवृत्त स्वयं इसमें अंकित है। अंजीर पर। 7.4 अंडाकार के foci F 1.2 (±4; 0) को भी दर्शाता है।

एक दीर्घवृत्त के ज्यामितीय गुण।आइए पहले समीकरण (7.6) को |F 1 M| . के रूप में फिर से लिखें = (ए/ε - एक्स)ε। ध्यान दें कि a > c के लिए a / - x का मान धनात्मक है, क्योंकि फ़ोकस F 1 दीर्घवृत्त से संबंधित नहीं है। यह मान इस रेखा के बाईं ओर बिंदु M(x; y) से लंबवत रेखा d: x = a/ε की दूरी है। दीर्घवृत्त समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

|एफ 1 एम|/(ए/ε - एक्स) =

इसका अर्थ है कि इस दीर्घवृत्त में समतल के वे बिंदु M (x; y) होते हैं जिसके लिए फोकल त्रिज्या F 1 M की लंबाई और सीधी रेखा d की दूरी का अनुपात के बराबर एक स्थिर मान है (चित्र। 7.5)।

रेखा d में एक "डबल" है - एक ऊर्ध्वाधर रेखा d", दीर्घवृत्त के केंद्र के संबंध में d के सममित, जो समीकरण x \u003d -a / ε द्वारा दिया गया है। d के संबंध में, दीर्घवृत्त है डी के संबंध में उसी तरह वर्णित है। दोनों रेखाएँ d और d" कहलाती हैं दीर्घवृत्त डायरेक्ट्रिक्स. दीर्घवृत्त की दिशाएँ दीर्घवृत्त की समरूपता की धुरी के लंबवत होती हैं, जिस पर इसके फॉसी स्थित होते हैं, और दीर्घवृत्त के केंद्र से a / \u003d a 2 / c (चित्र 7.5 देखें) की दूरी से अलग होते हैं। .

नियता से उसके निकटतम फोकस की दूरी p कहलाती है अंडाकार का फोकल पैरामीटर. यह पैरामीटर बराबर है

पी \u003d ए / - सी \u003d (ए 2 - सी 2) / सी \u003d बी 2 / सी

दीर्घवृत्त में एक और महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण होता है: फोकल त्रिज्या F 1 M और F 2 M, बिंदु M पर दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा के साथ समान कोण बनाते हैं (चित्र। 7.6)।

इस संपत्ति का स्पष्ट भौतिक अर्थ है। यदि एक प्रकाश स्रोत को फोकस F 1 पर रखा जाता है, तो इस फोकस को छोड़ने वाला बीम, दीर्घवृत्त से परावर्तन के बाद, दूसरे फोकल त्रिज्या के साथ जाएगा, क्योंकि परावर्तन के बाद यह परावर्तन से पहले वक्र के समान कोण पर होगा। इस प्रकार, फोकस F 1 को छोड़ने वाली सभी किरणें दूसरे फोकस F 2 में केंद्रित होंगी और इसके विपरीत। इस व्याख्या के आधार पर, इस संपत्ति को कहा जाता है एक अंडाकार की ऑप्टिकल संपत्ति.

दूसरे क्रम की पंक्तियाँ।
दीर्घवृत्त और उसका विहित समीकरण। घेरा

गहन अध्ययन के बाद विमान पर सीधी रेखाएंहम द्वि-आयामी दुनिया की ज्यामिति का अध्ययन करना जारी रखते हैं। दांव को दोगुना कर दिया गया है और मैं आपको दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय की सुरम्य गैलरी में जाने के लिए आमंत्रित करता हूं, जो कि विशिष्ट प्रतिनिधि हैं दूसरे क्रम की पंक्तियाँ. दौरा पहले ही शुरू हो चुका है, और सबसे पहले, संग्रहालय की विभिन्न मंजिलों पर पूरी प्रदर्शनी के बारे में एक संक्षिप्त जानकारी:

बीजीय रेखा की अवधारणा और उसका क्रम

समतल पर एक रेखा कहलाती है बीजगणितीय, मैं फ़िन एफ़िन समन्वय प्रणालीइसके समीकरण का रूप है , जहां एक बहुपद है जिसमें रूप की शर्तें शामिल हैं (एक वास्तविक संख्या है, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, बीजीय रेखा के समीकरण में साइन, कोसाइन, लॉगरिदम और अन्य कार्यात्मक ब्यू मोंडे शामिल नहीं हैं। केवल "x" और "y" in पूर्णांक गैर-ऋणात्मकडिग्री।

लाइन ऑर्डरइसमें शामिल शर्तों के अधिकतम मूल्य के बराबर है।

संबंधित प्रमेय के अनुसार, बीजीय रेखा की अवधारणा, साथ ही उसका क्रम, पसंद पर निर्भर नहीं करता है एफ़िन समन्वय प्रणाली, इसलिए, होने में आसानी के लिए, हम मानते हैं कि बाद की सभी गणनाएँ होती हैं कार्तीय निर्देशांक.

सामान्य समीकरणदूसरे क्रम की रेखा का रूप है, जहाँ मनमानी वास्तविक संख्याएं हैं (यह एक गुणक के साथ लिखने के लिए प्रथागत है - "दो"), और गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं।

यदि , तो समीकरण सरल हो जाता है , और यदि गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं, तो यह ठीक है एक "सपाट" सीधी रेखा का सामान्य समीकरण, जो दर्शाता है पहली ऑर्डर लाइन.

कई लोगों ने नई शर्तों का अर्थ समझा, लेकिन, फिर भी, सामग्री को 100% आत्मसात करने के लिए, हम अपनी उंगलियों को सॉकेट में चिपका देते हैं। पंक्ति क्रम निर्धारित करने के लिए, पुनरावृति करें सभी शर्तेंइसके समीकरण और उनमें से प्रत्येक के लिए खोजें शक्तियों का योगआने वाले चर।

उदाहरण के लिए:

शब्द में "x" से पहली डिग्री शामिल है;
शब्द में पहली शक्ति में "Y" शामिल है;
पद में कोई चर नहीं हैं, इसलिए उनकी शक्तियों का योग शून्य है।

अब आइए जानें कि समीकरण रेखा को क्यों सेट करता है दूसरागण:

शब्द में दूसरी डिग्री में "x" शामिल है;
शब्द में चरों की डिग्री का योग है: 1 + 1 = 2;
शब्द में दूसरी डिग्री में "y" शामिल है;
अन्य सभी शर्तें - कमतरडिग्री।

अधिकतम मूल्य: 2

यदि हम इसके अतिरिक्त अपने समीकरण में जोड़ते हैं, कहते हैं, तो यह पहले से ही निर्धारित करेगा तीसरी क्रम पंक्ति. यह स्पष्ट है कि तीसरे क्रम रेखा समीकरण के सामान्य रूप में शब्दों का "पूर्ण सेट" होता है, चर की डिग्री का योग जिसमें तीन के बराबर होता है:
, जहां गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं।

इस घटना में कि एक या अधिक उपयुक्त शब्द जोड़े जाते हैं जिनमें शामिल हैं , तो हम बात करेंगे चौथी क्रम पंक्तियाँ, आदि।

हमें तीसरी, चौथी और उच्च कोटि की बीजगणितीय रेखाओं को एक से अधिक बार देखना होगा, विशेष रूप से, जब हम उनसे परिचित हों ध्रुवीय समन्वय प्रणाली.

हालांकि, आइए हम सामान्य समीकरण पर लौटते हैं और इसकी सरलतम स्कूल विविधताओं को याद करते हैं। उदाहरण परवलय हैं, जिनके समीकरण को एक सामान्य रूप में आसानी से कम किया जा सकता है, और एक समान समीकरण के साथ अतिपरवलय। हालाँकि, सब कुछ इतना सहज नहीं है ....

सामान्य समीकरण का एक महत्वपूर्ण दोष यह है कि यह लगभग हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि यह किस रेखा को परिभाषित करता है। सरलतम मामले में भी, आपको तुरंत पता नहीं चलेगा कि यह अतिशयोक्ति है। इस तरह के लेआउट केवल एक बहाना पर अच्छे होते हैं, इसलिए, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के दौरान, एक विशिष्ट समस्या पर विचार किया जाता है द्वितीय क्रम रेखा समीकरण को विहित रूप में घटाना.

समीकरण का विहित रूप क्या है?

यह समीकरण का आम तौर पर स्वीकृत मानक रूप है, जब कुछ ही सेकंड में यह स्पष्ट हो जाता है कि यह किस ज्यामितीय वस्तु को परिभाषित करता है। इसके अलावा, कई व्यावहारिक कार्यों को हल करने के लिए विहित रूप बहुत सुविधाजनक है। इसलिए, उदाहरण के लिए, विहित समीकरण के अनुसार "फ्लैट" सीधे, सबसे पहले, यह तुरंत स्पष्ट है कि यह एक सीधी रेखा है, और दूसरी बात, इससे संबंधित बिंदु और दिशा वेक्टर बस दिखाई दे रहे हैं।

जाहिर है, कोई भी पहली ऑर्डर लाइनएक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरी मंजिल पर, अब कोई चौकीदार नहीं हमारी प्रतीक्षा कर रहा है, बल्कि नौ मूर्तियों की एक और अधिक विविध कंपनी है:

दूसरे क्रम की पंक्तियों का वर्गीकरण

क्रियाओं के एक विशेष सेट की मदद से, किसी भी द्वितीय-क्रम रेखा समीकरण को निम्न प्रकारों में से एक में घटाया जाता है:

(और सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं)

1) दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है;

2) अतिपरवलय का विहित समीकरण है;

3) परवलय का विहित समीकरण है;

4) – काल्पनिकअंडाकार;

5) - प्रतिच्छेदन रेखाओं की एक जोड़ी;

6) - युगल काल्पनिकप्रतिच्छेदन रेखाएं (मूल बिंदु पर प्रतिच्छेदन का एकमात्र वास्तविक बिंदु);

7) - समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी;

8) - युगल काल्पनिकसमानांतर रेखाएं;

9) मेल खाने वाली रेखाओं का एक युग्म है।

कुछ पाठकों को यह आभास हो सकता है कि सूची अधूरी है। उदाहरण के लिए, पैराग्राफ संख्या 7 में, समीकरण युग्म सेट करता है प्रत्यक्ष, अक्ष के समानांतर, और प्रश्न उठता है: समीकरण कहाँ है जो y-अक्ष के समानांतर रेखाओं को निर्धारित करता है? इसका जवाब दो कैनन नहीं माना जाता है. सीधी रेखाएं 90 डिग्री घुमाए गए समान मानक मामले का प्रतिनिधित्व करती हैं, और वर्गीकरण में एक अतिरिक्त प्रविष्टि बेमानी है, क्योंकि इसमें कुछ भी मौलिक रूप से नया नहीं है।

इस प्रकार, नौ और केवल नौ विभिन्न प्रकार की दूसरी क्रम रेखाएं हैं, लेकिन व्यवहार में सबसे आम हैं दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय.

आइए पहले दीर्घवृत्त को देखें। हमेशा की तरह, मैं उन बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित करता हूं जो समस्याओं को हल करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं, और यदि आपको सूत्रों की विस्तृत व्युत्पत्ति, प्रमेयों के प्रमाण की आवश्यकता है, तो कृपया देखें, उदाहरण के लिए, बाज़िलेव / अतानासियन या अलेक्जेंड्रोव की पाठ्यपुस्तक।

दीर्घवृत्त और उसका विहित समीकरण

वर्तनी ... कृपया कुछ यैंडेक्स उपयोगकर्ताओं की गलतियों को न दोहराएं, जो "एक दीर्घवृत्त का निर्माण कैसे करें", "एक दीर्घवृत्त और एक अंडाकार के बीच का अंतर" और "एलीब्स सनकीपन" में रुचि रखते हैं।

एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का रूप होता है , जहाँ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ होती हैं, तथा । मैं बाद में एक दीर्घवृत्त की परिभाषा तैयार करूंगा, लेकिन अभी के लिए बात करने से विराम लेने और एक सामान्य समस्या को हल करने का समय है:

कैसे एक अंडाकार बनाने के लिए?

हाँ, इसे ले लो और बस इसे खींचो। असाइनमेंट सामान्य है, और छात्रों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा ड्राइंग के साथ पूरी तरह से सामना नहीं करता है:

उदाहरण 1

समीकरण द्वारा दिए गए दीर्घवृत्त की रचना कीजिए

समाधान: पहले हम समीकरण को विहित रूप में लाते हैं:

क्यों लाए? विहित समीकरण के फायदों में से एक यह है कि यह आपको तुरंत निर्धारित करने की अनुमति देता है अंडाकार शिखर, जो बिंदुओं पर हैं। यह देखना आसान है कि इनमें से प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

इस मामले में :


रेखा खंडबुलाया प्रमुख धुरीअंडाकार;
रेखा खंड – छोटी धुरी;
संख्या बुलाया सेमीमेजर एक्सिसअंडाकार;
संख्या – अर्ध-मामूली धुरी.
हमारे उदाहरण में:।

जल्दी से कल्पना करने के लिए कि यह या वह दीर्घवृत्त कैसा दिखता है, बस इसके विहित समीकरण के "ए" और "बी" के मूल्यों को देखें।

सब कुछ ठीक, साफ और सुंदर है, लेकिन एक चेतावनी है: मैंने प्रोग्राम का उपयोग करके ड्राइंग को पूरा किया। और आप किसी भी आवेदन के साथ आकर्षित कर सकते हैं। हालाँकि, कठोर वास्तविकता में, कागज का एक चेकर का टुकड़ा मेज पर पड़ा होता है, और चूहे हमारे हाथों के चारों ओर नृत्य करते हैं। कलात्मक प्रतिभा वाले लोग, निश्चित रूप से बहस कर सकते हैं, लेकिन आपके पास चूहे भी हैं (यद्यपि छोटे वाले)। यह व्यर्थ नहीं है कि मानव जाति ने एक शासक, एक कंपास, एक चांदा और ड्राइंग के लिए अन्य सरल उपकरणों का आविष्कार किया।

इस कारण से, हम केवल शीर्षों को जानकर, एक दीर्घवृत्त को सटीक रूप से खींचने में सक्षम होने की संभावना नहीं रखते हैं। फिर भी ठीक है, अगर दीर्घवृत्त छोटा है, उदाहरण के लिए, अर्ध-अक्षों के साथ। वैकल्पिक रूप से, आप पैमाने को कम कर सकते हैं और तदनुसार, ड्राइंग के आयाम। लेकिन सामान्य मामले में अतिरिक्त अंक खोजना अत्यधिक वांछनीय है।

दीर्घवृत्त के निर्माण के दो दृष्टिकोण हैं - ज्यामितीय और बीजीय। छोटे एल्गोरिदम और ड्राइंग के महत्वपूर्ण अव्यवस्था के कारण मुझे कंपास और शासक के साथ निर्माण करना पसंद नहीं है। आपात स्थिति में, कृपया पाठ्यपुस्तक देखें, लेकिन वास्तव में बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करना कहीं अधिक तर्कसंगत है। मसौदे पर दीर्घवृत्त समीकरण से, हम जल्दी से व्यक्त करते हैं:

तब समीकरण को दो कार्यों में विभाजित किया जाता है:
- दीर्घवृत्त के ऊपरी चाप को परिभाषित करता है;
- दीर्घवृत्त के निचले चाप को परिभाषित करता है।

विहित समीकरण द्वारा दिया गया दीर्घवृत्त समन्वय अक्षों के साथ-साथ मूल के संबंध में सममित है। और यह बहुत अच्छा है - समरूपता लगभग हमेशा एक फ्रीबी का अग्रदूत होता है। जाहिर है, यह पहली समन्वय तिमाही से निपटने के लिए पर्याप्त है, इसलिए हमें एक फ़ंक्शन की आवश्यकता है . यह एब्सिस्सा के साथ अतिरिक्त अंक खोजने का सुझाव देता है . हमने कैलकुलेटर पर तीन एसएमएस किए:

बेशक, यह भी सुखद है कि यदि गणना में कोई गंभीर त्रुटि होती है, तो यह निर्माण के दौरान तुरंत स्पष्ट हो जाएगा।

ड्राइंग (लाल रंग) पर अंक चिह्नित करें, अन्य चाप (नीला रंग) पर सममित बिंदु और ध्यान से पूरी कंपनी को एक लाइन से कनेक्ट करें:


प्रारंभिक स्केच को पतला और पतला बनाना बेहतर है, और उसके बाद ही पेंसिल पर दबाव डालें। परिणाम काफी सभ्य अंडाकार होना चाहिए। वैसे, क्या आप जानना चाहेंगे कि यह वक्र क्या है?

एक दीर्घवृत्त की परिभाषा। दीर्घवृत्त foci और दीर्घवृत्त विलक्षणता

एक अंडाकार अंडाकार का एक विशेष मामला है। शब्द "अंडाकार" को परोपकारी अर्थ में नहीं समझा जाना चाहिए ("बच्चे ने एक अंडाकार खींचा", आदि)। यह एक विस्तृत सूत्रीकरण वाला गणितीय शब्द है। इस पाठ का उद्देश्य अंडाकारों के सिद्धांत और उनके विभिन्न प्रकारों पर विचार करना नहीं है, जिन पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मानक पाठ्यक्रम में व्यावहारिक रूप से ध्यान नहीं दिया जाता है। और, अधिक वर्तमान जरूरतों के अनुसार, हम तुरंत एक दीर्घवृत्त की सख्त परिभाषा पर जाते हैं:

अंडाकार- यह समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनमें से प्रत्येक के लिए दिए गए दो बिंदुओं से दूरियों का योग कहलाता है चालदीर्घवृत्त, एक स्थिर मान है, संख्यात्मक रूप से इस दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष की लंबाई के बराबर: .
इस मामले में, foci के बीच की दूरी इस मान से कम है: .

अब यह स्पष्ट हो जाएगा:

कल्पना कीजिए कि नीला बिंदु एक दीर्घवृत्त पर "सवारी" करता है। इसलिए, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम दीर्घवृत्त का कौन सा बिंदु लेते हैं, खंडों की लंबाई का योग हमेशा समान रहेगा:

आइए सुनिश्चित करें कि हमारे उदाहरण में योग का मूल्य वास्तव में आठ के बराबर है। मानसिक रूप से बिंदु "em" को दीर्घवृत्त के दाहिने शीर्ष पर रखें, फिर: , जिसे जाँचना आवश्यक था।

दीर्घवृत्त खींचने का दूसरा तरीका दीर्घवृत्त की परिभाषा पर आधारित है। उच्च गणित, कभी-कभी, तनाव और तनाव का कारण होता है, इसलिए यह एक और सत्र उतारने का समय है। कृपया कागज का एक टुकड़ा या कार्डबोर्ड की एक बड़ी शीट लें और इसे टेबल पर दो कीलों से पिन करें। ये तरकीबें होंगी। उभरे हुए नाखून के सिरों पर एक हरे रंग का धागा बांधें और एक पेंसिल से इसे पूरी तरह से खींचे। पेंसिल की गर्दन किसी बिंदु पर होगी, जो दीर्घवृत्त से संबंधित है। अब हरे धागे को बहुत तना हुआ रखते हुए, पेंसिल को कागज़ की शीट पर चलाना शुरू करें। प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक आप प्रारंभिक बिंदु पर वापस नहीं आ जाते ... उत्कृष्ट ... ड्राइंग को डॉक्टर द्वारा सत्यापन के लिए शिक्षक को प्रस्तुत किया जा सकता है =)

दीर्घवृत्त का फोकस कैसे ज्ञात करें?

उपरोक्त उदाहरण में, मैंने "तैयार" फोकस बिंदुओं को चित्रित किया है, और अब हम सीखेंगे कि उन्हें ज्यामिति की गहराई से कैसे निकाला जाए।

यदि दीर्घवृत्त को विहित समीकरण द्वारा दिया जाता है, तो इसके नाभियों में निर्देशांक होते हैं , वह कहां है दीर्घवृत्त के समरूपता के केंद्र में प्रत्येक foci से दूरी.

उबले हुए शलजम की तुलना में गणना आसान है:

! अर्थ "सीई" के साथ चाल के विशिष्ट निर्देशांक की पहचान करना असंभव है!मैं दोहराता हूं, यह है प्रत्येक फोकस से केंद्र की दूरी(जो सामान्य स्थिति में बिल्कुल मूल स्थान पर स्थित होना आवश्यक नहीं है)।
और, इसलिए, foci के बीच की दूरी को दीर्घवृत्त की विहित स्थिति से भी नहीं जोड़ा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, दीर्घवृत्त को दूसरी जगह ले जाया जा सकता है और मान अपरिवर्तित रहेगा, जबकि चालें, निश्चित रूप से, उनके निर्देशांक बदल देंगी। कृपया इसे ध्यान में रखें क्योंकि आप इस विषय को और अधिक एक्सप्लोर करते हैं।

एक दीर्घवृत्त की विलक्षणता और उसका ज्यामितीय अर्थ

एक दीर्घवृत्त की विलक्षणता एक ऐसा अनुपात है जो मूल्यों को भीतर ले जा सकता है।

हमारे मामले में:

आइए जानें कि दीर्घवृत्त का आकार उसकी उत्केन्द्रता पर कैसे निर्भर करता है। इसके लिए बाएँ और दाएँ कोने को ठीक करेंविचाराधीन दीर्घवृत्त का, अर्थात् अर्ध-प्रमुख अक्ष का मान स्थिर रहेगा। तब विलक्षणता सूत्र रूप लेगा:।

आइए एकता के लिए विलक्षणता के मूल्य का अनुमान लगाना शुरू करें। यह तभी संभव है जब . इसका क्या मतलब है? ...याद करने की तरकीबें . इसका मतलब यह है कि अंडाकार का फॉसी एब्सिस्सा अक्ष के साथ साइड शिखर तक "फैलाएगा"। और, चूंकि "हरे खंड रबर नहीं हैं", दीर्घवृत्त अनिवार्य रूप से चपटा होना शुरू हो जाएगा, अक्ष पर पतले और पतले सॉसेज में बदल जाएगा।

इस तरह, दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता एक के जितनी करीब होती है, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक तिरछा होता है.

अब विपरीत प्रक्रिया का अनुकरण करते हैं: दीर्घवृत्त का फोकस केंद्र की ओर बढ़ते हुए एक दूसरे की ओर गए। इसका मतलब है कि "सीई" का मान छोटा हो रहा है और तदनुसार, विलक्षणता शून्य हो जाती है:।
इस मामले में, "ग्रीन सेगमेंट", इसके विपरीत, "भीड़ हो जाएगा" और वे दीर्घवृत्त की रेखा को ऊपर और नीचे "धक्का" देना शुरू कर देंगे।

इस तरह, विलक्षणता मान शून्य के जितना करीब होगा, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक दिखाई देगा... सीमित मामले को देखें, जब मूल रूप से फ़ॉसी सफलतापूर्वक फिर से जुड़ जाते हैं:

एक वृत्त एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है

वास्तव में, अर्ध-अक्षों की समानता के मामले में, दीर्घवृत्त का विहित समीकरण रूप लेता है, जो रिफ्लेक्सिव रूप से "ए" त्रिज्या के मूल में केंद्र के साथ स्कूल से जाने-माने सर्कल समीकरण में बदल जाता है।

व्यवहार में, "बोलने वाले" अक्षर "एर" के साथ अंकन का अधिक बार उपयोग किया जाता है:। त्रिज्या को खंड की लंबाई कहा जाता है, जबकि वृत्त के प्रत्येक बिंदु को त्रिज्या की दूरी से केंद्र से हटा दिया जाता है।

ध्यान दें कि एक दीर्घवृत्त की परिभाषा पूरी तरह से सही रहती है: फ़ॉसी का मिलान होता है, और वृत्त पर प्रत्येक बिंदु के लिए मिलान किए गए खंडों की लंबाई का योग एक स्थिर मान होता है। चूँकि foci के बीच की दूरी है किसी भी वृत्त की उत्केन्द्रता शून्य होती है.

एक सर्कल आसानी से और जल्दी से बनाया जाता है, यह अपने आप को एक कंपास के साथ बांटने के लिए पर्याप्त है। फिर भी, कभी-कभी इसके कुछ बिंदुओं के निर्देशांक का पता लगाना आवश्यक होता है, इस मामले में हम परिचित तरीके से चलते हैं - हम समीकरण को एक हंसमुख मतन के रूप में लाते हैं:

ऊपरी अर्धवृत्त का कार्य है;
निचले अर्धवृत्त का कार्य है।

तब हम वांछित मान पाते हैं, विभेदक, एकीकृतऔर अन्य अच्छे काम करें।

बेशक, लेख केवल संदर्भ के लिए है, लेकिन दुनिया में कोई प्यार के बिना कैसे रह सकता है? स्वतंत्र समाधान के लिए रचनात्मक कार्य

उदाहरण 2

एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण की रचना करें यदि उसका एक नाभ और अर्ध-लघु अक्ष ज्ञात हो (केंद्र मूल में है)। शीर्ष, अतिरिक्त बिंदु ज्ञात कीजिए और रेखाचित्र पर एक रेखा खींचिए। विलक्षणता की गणना करें।

पाठ के अंत में समाधान और ड्राइंग

आइए एक क्रिया जोड़ें:

किसी दीर्घवृत्त को घुमाएँ और अनुवाद करें

आइए दीर्घवृत्त के विहित समीकरण पर लौटते हैं, अर्थात्, उस स्थिति पर, जिसकी पहेली इस वक्र के पहले उल्लेख के बाद से जिज्ञासु मन को पीड़ा दे रही है। यहाँ हमने एक दीर्घवृत्त पर विचार किया है , लेकिन व्यवहार में समीकरण नहीं हो सकता ? आखिरकार, यहाँ, हालांकि, यह एक दीर्घवृत्त की तरह भी लगता है!

ऐसा समीकरण दुर्लभ है, लेकिन यह सामने आता है। और यह एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है। आइए रहस्यवादी को दूर भगाएं:

निर्माण के परिणामस्वरूप, हमारा मूल अंडाकार प्राप्त होता है, जिसे 90 डिग्री घुमाया जाता है। वह है, - ये है गैर-विहित प्रविष्टिअंडाकार . अभिलेख!- समीकरण किसी अन्य अंडाकार को निर्दिष्ट नहीं करता है, क्योंकि धुरी पर कोई बिंदु (फोसी) नहीं है जो अंडाकार की परिभाषा को पूरा करेगा।

बीजगणित और ज्यामिति पर व्याख्यान। सेमेस्टर 1.

व्याख्यान 15. अंडाकार।

अध्याय 15

वस्तु 1। बुनियादी परिभाषाएँ।

परिभाषा। एक दीर्घवृत्त एक विमान का GMT है, जिसकी दूरी का योग विमान के दो निश्चित बिंदुओं, जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मान है।

परिभाषा। समतल के एक मनमाना बिंदु M से दीर्घवृत्त के फोकस तक की दूरी को बिंदु M की फोकल त्रिज्या कहा जाता है।

पदनाम:
दीर्घवृत्त के केंद्र हैं,
बिंदु M की फोकस त्रिज्याएँ हैं।

एक दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, एक बिंदु M दीर्घवृत्त का एक बिंदु है यदि और केवल यदि
एक स्थिर मूल्य है। यह स्थिरांक आमतौर पर 2a के रूप में दर्शाया जाता है:

. (1)

नोटिस जो
.

एक दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, इसके नाभियाँ निश्चित बिंदु हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी भी दिए गए दीर्घवृत्त के लिए एक स्थिर मान है।

परिभाषा। दीर्घवृत्त के फोकस के बीच की दूरी को फोकस दूरी कहा जाता है।

पद:
.

त्रिभुज से
उसका अनुसरण करता है
, अर्थात।

.

के बराबर संख्या b से निरूपित करें
, अर्थात।

. (2)

परिभाषा। रवैया

(3)

दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता कहलाती है।

आइए हम दिए गए तल पर एक समन्वय प्रणाली का परिचय दें, जिसे हम दीर्घवृत्त के लिए विहित कहेंगे।

परिभाषा। वह अक्ष जिस पर दीर्घवृत्त की नाभि स्थित होती है, फोकस अक्ष कहलाती है।

आइए दीर्घवृत्त के लिए विहित PDSC का निर्माण करें, चित्र 2 देखें।

हम फोकल अक्ष को भुजिका अक्ष के रूप में चुनते हैं, और खंड के मध्य से कोटि अक्ष खींचते हैं
फोकल अक्ष के लंबवत।

तब foci के निर्देशांक होते हैं
,
.

आइटम 2. एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण।

प्रमेय। एक दीर्घवृत्त के लिए विहित समन्वय प्रणाली में, दीर्घवृत्त समीकरण का रूप है:

. (4)

सबूत। हम दो चरणों में सबूत पेश करेंगे। पहले चरण में, हम यह सिद्ध करेंगे कि दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक समीकरण (4) को संतुष्ट करते हैं। दूसरे चरण में, हम सिद्ध करेंगे कि समीकरण (4) का कोई भी हल दीर्घवृत्त पर स्थित एक बिंदु के निर्देशांक देता है। यहाँ से यह उस समीकरण (4) का अनुसरण करेगा जो निर्देशांक तल के केवल उन बिंदुओं से संतुष्ट होता है जो दीर्घवृत्त पर स्थित होते हैं। यहाँ से और वक्र समीकरण की परिभाषा से, यह अनुसरण करेगा कि समीकरण (4) एक दीर्घवृत्त समीकरण है।

1) मान लीजिए कि बिंदु M(x, y) दीर्घवृत्त का एक बिंदु है, अर्थात। इसकी फोकल त्रिज्या का योग 2a है:

.

हम निर्देशांक तल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं और इस सूत्र का उपयोग करके दिए गए बिंदु M की फोकल त्रिज्या पाते हैं:

,
, जहां से हमें मिलता है:

आइए एक रूट को समानता के दाईं ओर ले जाएं और इसे वर्गाकार करें:

कम करना, हमें मिलता है:

हम समान देते हैं, 4 से कम करते हैं और रेडिकल को अलग करते हैं:

.

हम वर्ग

कोष्ठक खोलें और छोटा करें
:

हमें कहाँ से मिलता है:

समानता (2) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

.

अंतिम समानता को विभाजित करके
, हम समानता प्राप्त करते हैं (4), p.t.d.

2) अब मान लीजिए कि संख्याओं का एक युग्म (x, y) समीकरण (4) को संतुष्ट करता है और मान लीजिए कि M(x, y) ऑक्सी निर्देशांक तल पर संगत बिंदु है।

तब से (4) यह निम्नानुसार है:

.

हम इस समानता को बिंदु M की फोकल त्रिज्या के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:

.

यहाँ हमने समानता (2) और (3) का प्रयोग किया है।

इस तरह,
. वैसे ही,
.

अब ध्यान दें कि यह समानता (4) से अनुसरण करता है कि

या
और क्योंकि
, तो निम्नलिखित असमानता इस प्रकार है:

.

इससे, बदले में, यह इस प्रकार है

या
तथा

,
. (5)

यह समानता (5) से इस प्रकार है कि
, अर्थात। बिंदु M(x, y) दीर्घवृत्त का एक बिंदु है, आदि।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिभाषा। समीकरण (4) को दीर्घवृत्त का विहित समीकरण कहा जाता है।

परिभाषा। दीर्घवृत्त के लिए विहित निर्देशांक अक्ष दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष कहलाते हैं।

परिभाषा। एक दीर्घवृत्त के लिए विहित समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को दीर्घवृत्त का केंद्र कहा जाता है।

आइटम 3. अंडाकार गुण।

प्रमेय। (एक दीर्घवृत्त के गुण।)

1. दीर्घवृत्त के लिए विहित समन्वय प्रणाली में, सभी

दीर्घवृत्त के बिंदु आयत में हैं

,
.

2. अंक पर पड़े हैं

3. एक दीर्घवृत्त एक वक्र होता है जो सममित होता है

उनकी मुख्य कुल्हाड़ियों।

4. दीर्घवृत्त का केंद्र इसकी सममिति का केंद्र है।

सबूत। 1, 2) दीर्घवृत्त के विहित समीकरण से तुरंत अनुसरण करता है।

3, 4) माना M(x, y) दीर्घवृत्त का एक स्वेच्छ बिन्दु है। तब इसके निर्देशांक समीकरण (4) को संतुष्ट करते हैं। लेकिन तब बिंदुओं के निर्देशांक भी समीकरण (4) को संतुष्ट करते हैं, और इसलिए, दीर्घवृत्त के बिंदु हैं, जिनसे प्रमेय के कथन अनुसरण करते हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिभाषा। मात्रा 2a को दीर्घवृत्त की दीर्घ अक्ष कहा जाता है, मात्रा a को दीर्घवृत्त का प्रमुख अर्ध-अक्ष कहा जाता है।

परिभाषा। मात्रा 2b को दीर्घवृत्त का लघु अक्ष कहा जाता है, मात्रा b को दीर्घवृत्त का लघु अर्धअक्ष कहा जाता है।

परिभाषा। एक दीर्घवृत्त के मुख्य अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु दीर्घवृत्त शीर्ष कहलाते हैं।

टिप्पणी। एक दीर्घवृत्त का निर्माण निम्न प्रकार से किया जा सकता है। एक विमान में, हम चालों में "एक कील ठोकते हैं" और उन्हें लंबाई का एक धागा बांधते हैं
. फिर हम एक पेंसिल लेते हैं और धागे को फैलाने के लिए इसका इस्तेमाल करते हैं। फिर हम पेंसिल लेड को प्लेन के साथ ले जाते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि धागा एक तना हुआ अवस्था में है।

विलक्षणता की परिभाषा से यह इस प्रकार है कि

हम एक संख्या a को ठीक करते हैं और c को शून्य की ओर जाने देते हैं। तो फिर
,
तथा
. सीमा में हमें मिलता है

या
वृत्त समीकरण है।

आइए अब प्रयास करें
. फिर
,
और हम देखते हैं कि सीमा में दीर्घवृत्त एक रेखाखंड में परिवर्तित हो जाता है
चित्रा 3 के संकेतन में।

मद 4. एक दीर्घवृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण।

प्रमेय। होने देना
मनमानी वास्तविक संख्याएं हैं। तब समीकरणों का निकाय

,
(6)

दीर्घवृत्त के लिए विहित समन्वय प्रणाली में दीर्घवृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण हैं।

सबूत। यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि समीकरणों की प्रणाली (6) समीकरण (4) के बराबर है, अर्थात। उनके पास समाधान का एक ही सेट है।

1) मान लीजिए (x, y) निकाय का एक मनमाना हल है (6)। पहले समीकरण को a से, दूसरे को b से विभाजित करें, दोनों समीकरणों का वर्ग करें और जोड़ें:

.

वे। निकाय का कोई भी हल (x, y) (6) समीकरण (4) को संतुष्ट करता है।

2) इसके विपरीत, मान लीजिए कि युग्म (x, y) समीकरण (4) का हल है, अर्थात्।

.

इस समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि निर्देशांक वाला बिंदु
मूल बिन्दु पर केन्द्रित इकाई त्रिज्या के एक वृत्त पर स्थित है, अर्थात्। त्रिकोणमितीय वृत्त का एक बिंदु है, जो किसी कोण से मेल खाता है
:

साइन और कोसाइन की परिभाषा से, यह तुरंत इस प्रकार है कि

,
, कहाँ पे
जहां से यह पता चलता है कि युग्म (x, y) निकाय (6) आदि का हल है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

टिप्पणी। त्रिज्या के एक सर्कल के एब्सिस्सा अक्ष के एक समान "संपीड़न" के परिणामस्वरूप एक अंडाकार प्राप्त किया जा सकता है।

होने देना
मूल बिंदु पर केन्द्रित वृत्त का समीकरण है। एब्सिस्सा अक्ष के लिए सर्कल का "संपीड़न" निम्नलिखित नियम के अनुसार किए गए समन्वय विमान के परिवर्तन से ज्यादा कुछ नहीं है। प्रत्येक बिंदु M(x, y) के लिए हम पत्राचार में उसी तल का एक बिंदु रखते हैं
, कहाँ पे
,
"संपीड़न" कारक है।

इस परिवर्तन के साथ, वृत्त का प्रत्येक बिंदु विमान के दूसरे बिंदु पर "पास" होता है, जिसमें एक ही एब्सिस्सा होता है, लेकिन एक छोटा कोर्डिनेट होता है। आइए बिंदु के पुराने कोटि को नए के रूप में व्यक्त करें:

और वृत्त समीकरण में स्थानापन्न करें:

.

यहाँ से हमें मिलता है:

. (7)

यह इस प्रकार है कि यदि, "संपीड़न" परिवर्तन से पहले, बिंदु M(x, y) वृत्त पर स्थित है, अर्थात। इसके निर्देशांक सर्कल समीकरण को संतुष्ट करते हैं, फिर "संपीड़न" परिवर्तन के बाद, यह बिंदु बिंदु में "पास" हो जाता है
, जिनके निर्देशांक दीर्घवृत्त समीकरण (7) को संतुष्ट करते हैं। यदि हम एक लघु अर्ध-अक्ष b वाले दीर्घवृत्त का समीकरण प्राप्त करना चाहते हैं, तो हमें संपीड़न कारक लेने की आवश्यकता है

.

आइटम 5. एक दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा।

प्रमेय। होने देना
- दीर्घवृत्त का मनमाना बिंदु

.

तब बिंदु पर इस दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा का समीकरण
की तरह लगता है:

. (8)

सबूत। यह उस मामले पर विचार करने के लिए पर्याप्त है जब स्पर्शरेखा बिंदु समन्वय विमान की पहली या दूसरी तिमाही में होता है:
. ऊपरी आधे तल में दीर्घवृत्त समीकरण का रूप है:

. (9)

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा के समीकरण का उपयोग करें
बिंदु पर
:

कहाँ पे
बिंदु पर इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान है
. पहली तिमाही में दीर्घवृत्त को फ़ंक्शन (8) के ग्राफ के रूप में देखा जा सकता है। आइए संपर्क के बिंदु पर इसके व्युत्पन्न और इसके मूल्य का पता लगाएं:

,

. यहां हमने इस तथ्य का लाभ उठाया है कि स्पर्श बिंदु
दीर्घवृत्त का एक बिंदु है और इसलिए इसके निर्देशांक दीर्घवृत्त (9) के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, अर्थात।

.

हम व्युत्पन्न के पाए गए मान को स्पर्शरेखा समीकरण (10) में प्रतिस्थापित करते हैं:

,

हमें कहाँ से मिलता है:

यह संकेत करता है:

आइए इस समीकरण को में विभाजित करें
:

.

यह ध्यान रखना बाकी है कि
, इसलिये दूरसंचार विभाग
दीर्घवृत्त के अंतर्गत आता है और इसके निर्देशांक इसके समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

समन्वय तल के तीसरे या चौथे क्वार्टर में स्थित स्पर्शरेखा बिंदु पर स्पर्शरेखा समीकरण (8) इसी तरह सिद्ध होता है।

और, अंत में, हम आसानी से देख सकते हैं कि समीकरण (8) बिंदुओं पर स्पर्शरेखा का समीकरण देता है
,
:

या
, तथा
या
.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

मद 6. दीर्घवृत्त का दर्पण गुण।

प्रमेय। दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा में स्पर्शरेखा बिंदु की फोकल त्रिज्या के बराबर कोण होते हैं।

होने देना
- संपर्क के बिंदु
,
स्पर्शरेखा बिंदु के फोकल त्रिज्या हैं, पी और क्यू बिंदु पर अंडाकार के लिए खींची गई स्पर्शरेखा पर फॉसी के अनुमान हैं
.

प्रमेय कहता है कि

. (11)

इस समानता को घटना के कोणों की समानता के रूप में व्याख्या की जा सकती है और इसके फोकस से जारी एक अंडाकार से प्रकाश किरण के प्रतिबिंब के रूप में व्याख्या की जा सकती है। इस गुण को दीर्घवृत्त का दर्पण गुण कहते हैं:

दीर्घवृत्त के दर्पण से परावर्तन के बाद दीर्घवृत्त के फोकस से उत्सर्जित प्रकाश की किरण दीर्घवृत्त के दूसरे फोकस से होकर गुजरती है।

प्रमेय का प्रमाण। कोणों की समानता (11) को सिद्ध करने के लिए, हम त्रिभुजों की समरूपता सिद्ध करते हैं
तथा
, जिसमें पक्ष
तथा
समान होगा। चूँकि त्रिभुज समकोण हैं, यह समानता सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है

परिभाषा। एक अंडाकार एक विमान में बिंदुओं का स्थान है, इस विमान के दो दिए गए बिंदुओं से उनमें से प्रत्येक की दूरी का योग, जिसे फॉसी कहा जाता है, एक स्थिर मूल्य है (बशर्ते यह मान फॉसी के बीच की दूरी से अधिक हो)।

आइए उनके बीच की दूरी के माध्यम से foci को निरूपित करें - के माध्यम से, और दीर्घवृत्त के प्रत्येक बिंदु से foci तक की दूरी के योग के बराबर एक स्थिर मूल्य, के माध्यम से (शर्त के अनुसार)।

आइए एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का निर्माण करें ताकि फॉसी एब्सिस्सा अक्ष पर हो, और निर्देशांक की उत्पत्ति खंड के मध्य के साथ मेल खाती है (चित्र। 44)। फिर फ़ोकस में निम्नलिखित निर्देशांक होंगे: बायाँ फ़ोकस और दायाँ फ़ोकस। आइए हमारे द्वारा चुने गए समन्वय प्रणाली में दीर्घवृत्त के समीकरण को प्राप्त करें। यह अंत करने के लिए, दीर्घवृत्त के एक मनमाना बिंदु पर विचार करें। एक दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, इस बिंदु से नाभियों तक की दूरी का योग है:

दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं, इसलिए,

इस समीकरण को सरल बनाने के लिए, हम इसे इस रूप में लिखते हैं

तब समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है

या, स्पष्ट सरलीकरण के बाद:

अब हम फिर से समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं, जिसके बाद हमारे पास होगा:

या, समान परिवर्तनों के बाद:

चूँकि दीर्घवृत्त की परिभाषा में शर्त के अनुसार, तो एक धनात्मक संख्या होती है। हम संकेतन का परिचय देते हैं

तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:

एक दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, इसके किसी भी बिंदु के निर्देशांक समीकरण (26) को संतुष्ट करते हैं। लेकिन समीकरण (29) समीकरण (26) का परिणाम है। इसलिए, यह दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु के निर्देशांक को भी संतुष्ट करता है।

यह दिखाया जा सकता है कि उन बिंदुओं के निर्देशांक जो दीर्घवृत्त पर नहीं हैं, समीकरण (29) को संतुष्ट नहीं करते हैं। इस प्रकार, समीकरण (29) एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। इसे दीर्घवृत्त का विहित समीकरण कहते हैं।

आइए इसके विहित समीकरण का उपयोग करके दीर्घवृत्त का आकार स्थापित करें।

सबसे पहले, ध्यान दें कि इस समीकरण में केवल x और y की सम घातें हैं। इसका मतलब यह है कि यदि कोई बिंदु एक दीर्घवृत्त से संबंधित है, तो इसमें एक बिंदु भी शामिल है जो भुज अक्ष के बारे में एक बिंदु के साथ सममित है, और एक बिंदु जो y-अक्ष के बारे में एक बिंदु के साथ सममित है। इस प्रकार, दीर्घवृत्त में समरूपता के दो परस्पर लंबवत अक्ष होते हैं, जो हमारे चुने हुए समन्वय प्रणाली में समन्वय अक्षों के साथ मेल खाते हैं। दीर्घवृत्त की समरूपता की कुल्हाड़ियों को दीर्घवृत्त की कुल्हाड़ी कहा जाएगा, और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु - दीर्घवृत्त का केंद्र। वह अक्ष जिस पर दीर्घवृत्त का फॉसी स्थित होता है (इस मामले में, भुज अक्ष) को फोकल अक्ष कहा जाता है।

आइए पहली तिमाही में पहले दीर्घवृत्त का आकार निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम y के संबंध में समीकरण (28) को हल करते हैं:

यह स्पष्ट है कि यहाँ, क्योंकि y के लिए काल्पनिक मान लेता है। 0 से a की वृद्धि के साथ, y, b से 0 तक घट जाता है। पहली तिमाही में स्थित दीर्घवृत्त का भाग बिंदु B (0; b) से घिरा एक चाप होगा और निर्देशांक अक्षों पर स्थित होगा (चित्र। 45)। अब दीर्घवृत्त की सममिति का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दीर्घवृत्त का आकार चित्र में दिखाया गया है। 45.

दीर्घवृत्त का अक्षों से प्रतिच्छेदन बिंदु दीर्घवृत्त के शीर्ष कहलाते हैं। यह दीर्घवृत्त की समरूपता का अनुसरण करता है कि, शीर्षों के अलावा, दीर्घवृत्त में दो और शीर्ष होते हैं (चित्र 45 देखें)।

दीर्घवृत्त के विपरीत शीर्षों के साथ-साथ उनकी लंबाई को जोड़ने वाले खंडों को क्रमशः दीर्घवृत्त की प्रमुख और छोटी कुल्हाड़ियों कहा जाता है। संख्या ए और बी को क्रमशः दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अर्ध-अक्ष कहा जाता है।

दीर्घवृत्त के अर्ध-प्रमुख अक्ष और नाभियों के बीच की आधी दूरी के अनुपात को दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहा जाता है और इसे आमतौर पर अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है:

चूँकि , तब दीर्घवृत्त की विलक्षणता एक से कम होती है: विलक्षणता दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता होती है। वास्तव में, यह सूत्र (28) से अनुसरण करता है, इससे यह देखा जा सकता है कि दीर्घवृत्त की विलक्षणता जितनी छोटी होगी, उसका लघु अर्ध-अक्ष b प्रमुख अर्ध-अक्ष से भिन्न होगा, अर्थात, दीर्घवृत्त उतना ही कम होगा (फोकल के साथ) एक्सिस)।

सीमित स्थिति में, जब आपको त्रिज्या a: , या का एक वृत्त प्राप्त होता है। उसी समय, दीर्घवृत्त का केंद्र, जैसा कि था, एक बिंदु पर विलीन हो जाता है - वृत्त का केंद्र। वृत्त की उत्केन्द्रता शून्य है:

दीर्घवृत्त और वृत्त के बीच का संबंध दूसरे दृष्टिकोण से स्थापित किया जा सकता है। आइए हम दिखाते हैं कि अर्ध-अक्ष a और b वाले एक दीर्घवृत्त को त्रिज्या a के एक वृत्त का प्रक्षेपण माना जा सकता है।

आइए हम दो विमानों P और Q पर विचार करें, जो आपस में एक ऐसा कोण बनाते हैं, जिसके लिए (चित्र 46)। हम पी विमान में एक समन्वय प्रणाली का निर्माण करते हैं, और क्यू विमान में एक ऑक्सी प्रणाली का निर्माण करते हैं जिसमें एक सामान्य उत्पत्ति ओ और विमानों के चौराहे की रेखा के साथ मेल खाने वाला एक सामान्य एब्सिस्सा अक्ष होता है। विमान पी में सर्कल पर विचार करें

मूल और त्रिज्या a पर केंद्रित है। आज्ञा देना एक मनमाने ढंग से वृत्त का चुना हुआ बिंदु हो, Q समतल पर इसका प्रक्षेपण हो, और ऑक्स अक्ष पर बिंदु M का प्रक्षेपण हो। आइए हम दिखाते हैं कि बिंदु अर्ध-अक्ष a और b वाले दीर्घवृत्त पर स्थित है।