लम्बवत रेखाओं के गुण लंब रेखाओं के प्रमाण हैं। परोक्ष गुण

ज्यामिति

खंड द्वितीय। स्टीरियोमेट्री

§आठ। लंबवत और तिरछा। एक विमान पर एक झुकाव का प्रक्षेपण।

2. लंबवत और तिरछे के गुण।

एक लंबवत और तिरछा के गुणों पर विचार करें।

1) किसी दिए गए बिंदु से एक तल पर गिराया गया लम्ब, उसी बिंदु से तल पर खींचे गए किसी भी तिरछे से कम होता है।

चित्र 411: एएन एके।

2) यदि किसी दिए गए बिंदु से समतल पर खींची गई दो तिरछी रेखाएँ समान हों, तो उनके अनुमान समान होते हैं।

K1 और लंबवतएएन और एके \u003d एके 1. फिर संपत्ति के अनुसार: NK = NK 1 ।

3) यदि किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए तल पर खींची गई दो तिरछी रेखाएं समान प्रक्षेपण हैं, तो वे एक दूसरे के बराबर हैं।

आकृति 412 में, बिंदु A से समतल a तक, दो झुके हुए AK और A खींचे गए हैं K1 और लंबवत AH, इसके अलावा, KH = K 1 एन। फिर संपत्ति से: AK = AK 1 .

4) यदि किसी दिए गए बिंदु से समतल पर दो झुके हुए तल खींचे जाते हैं, तो एक बड़े झुकाव वाले का एक बड़ा प्रक्षेपण होता है।

ली और लंबवत एएन,एके > अलि . फिर संपत्ति से:एच के> एचएल।

5) यदि किसी दिए गए बिंदु से समतल पर दो झुकी हुई रेखाएँ खींची जाती हैं, तो उनमें से सबसे बड़ी वह होती है जिसका इस तल पर एक बड़ा प्रक्षेपण होता है।

आकृति 413 में, बिंदु A से समतल a तक, दो झुके हुए AK और A खींचे गए हैंली और लंबवत एएन, एनके> एच एल . फिर संपत्ति से: AK> ए एल।

उदाहरण 1. एक बिंदु से एक समतल पर दो झुकी हुई रेखाएँ खींची जाती हैं, जिनकी लंबाई 41 सेमी और 50 सेमी है। झुकी हुई रेखाओं के अनुमानों का पता लगाएं, यदि वे 3:10 से संबंधित हैं, और बिंदु से दूरी विमान।

समाधान। 1) ए एल = 41 सेमी; एके = 50 सेमी (चित्र। 413)। संपत्ति से, हमारे पास H . हैएल एन.के. एच एल = 3 x सेमी, एचके = 10 x सेमी, एएच = एच . को निरूपित करें एएन देखें - बिंदु ए से विमान की दूरीα .

4) समीकरण करने पर, हमें 41 2 - 9x 2 = 50 2 - प्राप्त होता है। 100 एक्स 2; एक्स 2 = 9; x = 3 (दिया गया x> 0)। तो, एल = 3 ∙ 3 = 9 (सेमी), एनके = 10 3 = 30 (सेमी)।

उदाहरण 2. दिए गए बिंदु से तक दो झुकाव वाले विमान खींचे गए हैं, प्रत्येकसेमी में। तिरछे के बीच का कोण 60 ° है, और उनके अनुमानों के बीच का कोण एक सीधी रेखा है। एक बिंदु से एक समतल की दूरी ज्ञात कीजिए।

1. एक बिंदु के माध्यम से लेकिन(चित्र 3) केवल एक लंब रेखा खींची जा सकती है अबएक सीधी रेखा के लिए सीडी;बिंदु से गुजरने वाली अन्य रेखाएं लेकिनऔर क्रॉसिंग सीडी, कहा जाता है तिरछी सीधी रेखाएं (चित्र 3, सीधा ऐतथा ए एफ).

2. एक बिंदु से एआप एक सीधी रेखा पर लम्बवत गिरा सकते हैं सीडी; लंबवत की लंबाई (खंड की लंबाई अब) बिंदु से खींचा गया लेकिनसीधे सीडी, से सबसे छोटी दूरी है एइससे पहले सीडी(चित्र 3)।

3. एक सीधी रेखा के बिंदुओं से एक सीधी रेखा पर खींचे गए कई लंब कभी एक दूसरे को नहीं काटते (चित्र 4)।

संकेत: समतल पर एक चिन्ह है - 4 समकोण (90)।
3-आयामी अंतरिक्ष में: 2 रेखाएं लंबवत हैं यदि वे सम्मान हैं। एक ही तल में पड़ी 2 सीधी रेखाओं के समानांतर और एक दूसरे के लंबवत हैं।
आमतौर पर वे एक सीधी रेखा और एक समतल के पर्प-स्टी के संकेतों के बारे में बात करते हैं ...

समतल लंबवतता

परिभाषा दो प्रतिच्छेदी तल कहलाते हैं सीधायदि तीसरा तल, इन तलों के प्रतिच्छेदन की रेखा के लंबवत, उन्हें लंबवत रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करता है।
प्रमेय 5 यदि एक तल किसी अन्य तल के लंबवत रेखा से होकर गुजरता है, तो ये तल लंबवत होते हैं। सबूत।
प्रमेय 5 समतल लम्बवतता का चिन्ह।यदि एक तल किसी अन्य तल के लंबवत रेखा से होकर गुजरता है, तो ये तल लंबवत होते हैं।
प्रमाण: मान लीजिए कि एक समतल है, b - इसके लिए लंबवत एक रेखा, - रेखा b से गुजरने वाला एक तल, और c - एक रेखा जिसके साथ तल और प्रतिच्छेद करते हैं। आइए हम साबित करें कि विमान और लंबवत हैं। आइए हम रेखा b के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से समतल में रेखा a, रेखा c के लंबवत के साथ ड्रा करें। आइए सीधी रेखाओं a और b से होकर एक तल बनाएं। यह रेखा c के लंबवत है, क्योंकि रेखाएँ a और b लंबवत हैं, समतल और लंबवत हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक रेखा और एक विमान की लंबवतता

परिभाषा एक रेखा जो एक समतल को प्रतिच्छेद करती है, कहलाती है सीधायह समतल यदि यह प्रत्येक रेखा के लंबवत है जो दिए गए विमान में स्थित है और चौराहे के बिंदु से गुजरती है। संदर्भ समस्या संख्या 1 भी देखें।
प्रमेय 1 एक रेखा और एक विमान की लंबवतता का संकेत।यदि किसी समतल को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा उस तल में दी गई रेखा और तल के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाओं के लंबवत हो, तो वह तल पर लंबवत होती है। सबूत।
प्रमेय 2 लंबवत रेखाओं और ग्रहों की पहली संपत्ति. यदि एक तल दो समानांतर रेखाओं में से एक के लंबवत है, तो यह दूसरी के लिए भी लंबवत है। सबूत।
प्रमेय 3 लंबवत रेखाओं और ग्रहों की दूसरी संपत्ति. एक ही तल पर लंबवत दो रेखाएँ समानांतर हैं। सबूत।

1. अंतरिक्ष में समानांतर रेखाएं

अंतरिक्ष में दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि वे एक ही तल में हों और प्रतिच्छेद न करें।

रेखाओं a और b की समांतरता को इस प्रकार दर्शाया गया है: a∥b या b∥a।

प्रमेय 1। दो समानांतर रेखाओं के माध्यम से एक विमान खींचना संभव है, और उस पर केवल एक।

प्रमेय 2। किसी दी गई रेखा के बाहर अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से, कोई दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा खींच सकता है, और केवल एक।

प्रमेय 3. यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक किसी दिए गए तल को काटती है, तो दूसरी रेखा भी इस तल को काटती है।

प्रमेय 4. तीसरी रेखा के समांतर दो रेखाएँ समांतर हैं।

प्रमेय 3.2.

एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ समानांतर हैं।

इस संपत्ति को कहा जाता है संक्रामिता समानांतर रेखाएं।

सबूत

समांतर रेखाओं का गुण निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया जाता है, उल्टा प्रमेय 3.1 के लिए।

प्रमेय 3.4.

यदि दो समान्तर रेखाएँ एक तीसरी रेखा द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं, तो प्रतिच्छेद करने वाले अंतः कोण बराबर होते हैं।

सबूत

इस प्रमेय के आधार पर निम्नलिखित गुण आसानी से सिद्ध हो जाते हैं।

• यदि दो समान्तर रेखाएँ एक तीसरी रेखा द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं, तो संगत कोण बराबर होते हैं।
• यदि दो समान्तर रेखाएँ एक तीसरी रेखा द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं, तो एक तरफा अंतः कोणों का योग 180° होता है।

कोरोलरी 3.2.

यदि कोई रेखा किसी एक समान्तर रेखा के लंबवत है, तो वह दूसरी पर भी लंबवत है।

समानांतरवाद की अवधारणा हमें निम्नलिखित नई अवधारणा को पेश करने की अनुमति देती है, जिसकी आवश्यकता बाद में अध्याय 11 में होगी।

दो किरणें कहलाती हैं समान रूप से निर्देशित , यदि ऐसी कोई रेखा है कि, सबसे पहले, वे इस रेखा के लंबवत हैं, और दूसरी बात, किरणें इस रेखा के सापेक्ष एक अर्ध-तल में स्थित हैं।

दो किरणें कहलाती हैं विपरीत दिशाओं मे , यदि उनमें से प्रत्येक को एक दूसरे के पूरक किरण के साथ समान रूप से निर्देशित किया जाता है।

एक ही दिशा के बीम अबतथा सीडीहम निरूपित करेंगे: और विपरीत दिशा में निर्देशित किरणें अबतथा सीडी –

समतल समानता

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a) एक बिंदु के माध्यम से लेकिनकेवल एक लम्बवत रेखा खींची जा सकती है लेकिनएचएक सीधी रेखा के लिए बीटी;बिंदु से गुजरने वाली अन्य रेखाएं लेकिनऔर क्रॉसिंग बीटी, कहा जाता है परोक्ष(प्रत्यक्ष लेकिनबी,एसीतथा लेकिनटी).

बी) लंबवत की लंबाई ( खंड की लंबाई लेकिन एच ) बिंदु से खींचा गया लेकिनसीधे बीटी, से सबसे छोटी दूरी है एइससे पहले बीटी.

बिंदु से रेखा की दूरीबुलाया लंबवत लंबाईइस बिंदु से एक सीधी रेखा तक खींचा गया।

ग) विभिन्न बिंदुओं से एक सीधी रेखा पर खींचे गए कई लंब कभी एक दूसरे को नहीं काटते हैं।

15. त्रिकोण- यह एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं और इन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंड होते हैं। अंक कहलाते हैं चोटियों, और खंड एक त्रिभुज की भुजाएँ.

कोने: ए, बी, सी

पार्टियां: एसी, एबी, बीसी, या क्रमशः बी, सी, ए।

परिमापएक त्रिभुज, किसी भी अन्य आकृति की तरह, सभी भुजाओं की लंबाई का योग कहलाता है। परिमाप- ग्रीक शब्द पेरी - "चारों ओर", "के बारे में" और मेट्रो - "मैं मापता हूं"।

16. अगर दो त्रिभुज बराबर हैं, तो एक त्रिभुज के तत्व (अर्थात तीन भुजाएँ और तीन कोण) क्रमशः दूसरे त्रिभुज के तत्वों के बराबर होते हैं।

समान त्रिभुजों में सभी संगत तत्व समान होते हैं (भुजाएँ, कोण, ऊँचाई, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक, मध्य रेखाएँ, आदि)

समान त्रिभुजों में समान भुजाओं के समान कोण होते हैं, और समान भुजाओं के विपरीत समान कोण होते हैं।

17. प्रमेय- एक बयान, जिसकी वैधता तर्क से स्थापित होती है। तर्क को ही कहा जाता है प्रमेय प्रमाण. प्रमेय में दो कथन होते हैं: कथन-शर्त, कथन-निष्कर्ष। प्रमेय को हमेशा इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यदि "कथन-शर्त", तो "कथन-निष्कर्ष"।

एक चिन्ह एक संपत्ति है जिसके द्वारा किसी वस्तु को जाना या पहचाना जाता है,किसी वस्तु का गुण जो अन्य वस्तुओं के साथ उसके अंतर या समानता को निर्धारित करता है।

गणित में एक चिन्ह एक प्रमेय है, जिसमें कहा गया है कि कुछ शर्तें सुनिश्चित करती हैं कि आकृति (आकृतियाँ) एक विशिष्ट सेट से संबंधित है जिसे पहले परिभाषित किया गया था (उदाहरण के लिए, त्रिभुजों का एक सेट)।

18. प्रमेय। त्रिभुजों की समता का प्रथम चिन्ह. यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

यदि एक

फिर

19. त्रिकोण ऊंचाईत्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा वाली रेखा पर खींचा गया लंब कहलाता है।

त्रिभुज की ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे कहते हैं ऑर्थोसेंटरत्रिकोण।

h a शीर्ष A से भुजा a तक खींची गई ऊंचाई है,

h b - शीर्ष B से भुजा b तक खींची गई ऊँचाई,

h c - शीर्ष C से भुजा c तक खींची गई ऊँचाई।

20. मंझला(अव्य. मेडियाना- औसत) त्रिकोणत्रिभुज के शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्य बिन्दु से मिलाने वाला रेखाखंड कहलाता है। त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

21. त्रिभुज समद्विभाजकबुलाया त्रिभुज के कोण का समद्विभाजकत्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा में एक बिंदु से जोड़ना।

l a कोण A का समद्विभाजक है, l b कोण B का समद्विभाजक है,

परिभाषा.1. समानांतर सीधा
परिभाषा.2. लम्बवत रेखायें
प्रमेय.1. I समानांतर रेखाओं का गुण
प्रमेय।2। समानांतर रेखाओं का II गुण
प्रमेय 3. III समानांतर रेखाओं का गुण
प्रमेय 4. समानांतर रेखाओं का IV गुण
प्रमेय 5. समानांतर रेखाओं का V गुण
प्रमेय 6. मैं समानांतर रेखाओं का संकेत करता हूँ
प्रमेय 7. समानांतर रेखाओं का II चिन्ह
प्रमेय 8. समानांतर रेखाओं का III चिन्ह
प्रमेय.9. समानांतर रेखाओं का IV चिन्ह
प्रमेय 10. समानांतर रेखाओं का V मानदंड
प्रमेय 11. तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ
प्रमेय 11.1 उपपत्ति
प्रमेय 12. समांतर रेखाओं में से किसी एक को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा
प्रमेय 13. समानांतर रेखाओं के खंड
प्रमेय 14. थेल्स प्रमेय
प्रमेय 14.1. एक कोण की भुजाओं को प्रतिच्छेद करने वाली समांतर रेखाएँ
प्रमेय 15. समांतर रेखाओं में से एक के लंबवत रेखा
प्रमेय 16. एक तीसरी रेखा पर लंबवत दो (या अधिक) रेखाएं

परिभाषा 1. समानांतर सीधी रेखाएं हैं जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, चाहे हम उन्हें कितना भी जारी रखें।
छवि पर एकतथा बी. परिभाषा 2. लंबवत सीधी रेखाएँ होती हैं जो समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
छवि पर सीतथा डी.
जब रेखाओं का एक जोड़ा (इस मामले में समानांतर) एक निश्चित रेखा को काटता है (ऐसी रेखा को कहा जाता है काटनेवालासीधी रेखा) निम्नलिखित कोण बनते हैं (आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोणों के अलावा हमने विषय में पारित किया है):
आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोने - 2 और 8; 3 और 5
बाहरी क्रॉस-झूठ वाले कोने - 1 और 7; 4 और 6
आंतरिक एक तरफा कोने - 2 और 5; 3 और 8
बाहरी एक तरफा कोने - 1 और 6; 4 और 7
संगत कोण 1 और 5 हैं; 2 और 6; 3 और 7; 4 और 8
इन कोणों के बीच पैटर्न का अनुमान लगाया जा सकता है। समानांतर रेखाओं के गुण:
प्रमेय 1. प्रतिच्छेद करने वाले आंतरिक कोण बराबर होते हैं

सबूत:मान लीजिए कि a और b दो समानांतर रेखाएँ हैं, c एक छेदक है, A और B इन रेखाओं के साथ छेदक का प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। प्रमेय का अभिकथन असत्य होने दें। आइए फिर हम बिंदु A से होकर एक रेखा d खींचते हैं, जिससे कि रेखाओं b और d पर आंतरिक क्रॉस-लाइन कोण और छेदक c बराबर हों। फिर, रेखाओं के समांतरता के पहले चिन्ह से, रेखाएँ b और d समानांतर हैं। लेकिन रेखाएँ b और a समानांतर हैं। इसलिए, दो रेखाएँ बिंदु A - a और d से होकर जाती हैं, जो रेखा b के समानांतर है। यह IX स्वयंसिद्ध के विपरीत है। अतः प्रमेय का कथन सत्य है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमेय 2। बाहरी विकर्ण कोण बराबर होते हैं

सबूत:
प्रमेय 3. आंतरिक एक तरफा कोणों का योग 180 डिग्री . है

सबूत:यह समांतर रेखाओं के प्रथम गुण से स्पष्ट है।
प्रमेय 4. बाहरी एक तरफा कोणों का योग 180 डिग्री . होता है

सबूत:यह समांतर रेखाओं के प्रथम गुण से स्पष्ट है।
प्रमेय 5. संगत कोण हैं

सबूत:यह समांतर रेखाओं के प्रथम गुण से स्पष्ट है।

समानांतर रेखाओं के चिन्ह :

सबूत:
प्रमेय 8. यदि दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एकतथा बीतीसरा प्रत्यक्ष साथआंतरिक एक तरफा कोणों का योग 180 डिग्री (एक जोड़ी) के बराबर होता है, तो ऐसी सीधी रेखाएं एकतथा बीसमानांतर हैं

सबूत:स्पष्ट रूप से समानांतर रेखाओं के पहले चिन्ह से।
प्रमेय 9. यदि दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एकतथा बीतीसरा प्रत्यक्ष साथबाहरी एकतरफा कोणों का योग 180 डिग्री (एक जोड़ी) के बराबर होता है, तो ऐसी सीधी रेखाएं एकतथा बीसमानांतर हैं

सबूत:स्पष्ट रूप से समानांतर रेखाओं के पहले चिन्ह से।
प्रमेय 10. यदि दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एकतथा बीतीसरा प्रत्यक्ष साथसंगत कोण बराबर (एक जोड़ी) हैं, तो ऐसी रेखाएँ एकतथा बीसमानांतर हैं

सबूत:स्पष्ट रूप से समानांतर रेखाओं के पहले चिन्ह से।
प्रमेय 11 . तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ समानांतर हैं।

सबूत:मान लीजिए कि रेखाएँ a और b रेखा c के समानांतर हैं। मान लें कि रेखाएँ a और b समानांतर नहीं हैं। फिर या तो रेखाएँ a और b संपाती होती हैं, जो स्थिति का खंडन करती हैं, या वे किसी बिंदु S पर प्रतिच्छेद करती हैं। फिर दो रेखाएँ बिंदु S - a और b से होकर गुजरती हैं, जो रेखा c के समानांतर होती है, जो IX स्वयंसिद्ध का खंडन करती है। तो मूल धारणा गलत है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमेय 11.1 . यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक के समानांतर तीसरी रेखा खींची जाती है, तो इनमें से दूसरी रेखा या तो तीसरी के समानांतर होती है या इसके साथ मेल खाती है।

सबूत:रेखाओं की समांतरता के प्रमेय 11 से यह स्पष्ट है।
प्रमेय 12 . यदि कोई रेखा किसी एक समान्तर रेखा को काटती है, तो वह दूसरी को काटती है।
प्रमेय 13 . समानांतर रेखाओं के एक निश्चित (अन्य) जोड़े के बीच संलग्न समानांतर रेखाओं के खंड बराबर होते हैं।
प्रमेय 14 . (थेल्स प्रमेय) यदि किसी कोण की भुजाओं को प्रतिच्छेद करने वाली समांतर रेखाएँ उसकी एक भुजा पर समान खंडों को काटती हैं, तो वे दूसरी ओर के समान खंडों को काटती हैं।

सबूत:मान लीजिए कि ए 1, ए 2, ए 3 कोण के एक तरफ समानांतर रेखाओं के चौराहे बिंदु हैं, और बिंदु ए 2 बिंदु ए 1 और ए 3 के बीच स्थित है। मान लीजिए कि B 1 , B 2 , B 3 कोण की दूसरी भुजा के साथ इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन के संगत बिंदु हैं। आइए हम सिद्ध करें कि यदि ए 1 ए 2 = ए 2 ए 3, तो बी 1 बी 2 = बी 2 बी 3। आइए हम रेखा A 1 A 3 के समानांतर बिंदु B 2 से होकर एक रेखा EF खींचते हैं। त्रिभुज EB 2 B 1 और FB 2 B 3 दूसरे त्रिभुज समानता मानदंड के अनुसार बराबर हैं। उनके पक्ष EB 2 और FA 2 स्थिति के बराबर हैं, कोण B 1 B 2 E और B 3 B 2 F ऊर्ध्वाधर के बराबर हैं, और कोण B 1 EB 2 और B 2 FB 3 समान हैं, जो आंतरिक क्रॉसवाइज पर स्थित हैं। सेकेंड ईएफ। तो बी 1 बी 2 = बी 2 बी 3। क्यू.ई.डी.
प्रमेय 14.1. . समानांतर रेखाएं, कोण के किनारों को पार करते हुए, आनुपातिक खंडों को काटती हैं।

प्रमेय 15 . तीसरी रेखा पर लंबवत दो (या अधिक) रेखाएँ समानांतर होती हैं।

सबूत:वास्तव में, आंतरिक अनुप्रस्थ कोण 90° हैं। अत: समांतर रेखाओं के प्रथम चिह्न से ये रेखाएँ समांतर होती हैं।
प्रमेय 16 . यदि कोई रेखा किसी एक समान्तर रेखा के लंबवत है, तो वह दूसरी पर भी लंबवत है।

सबूत:स्पष्ट रूप से प्रमेय 15 से।