निम्नलिखित भावों के मान समान रूप से समान हैं। पहचान परिवर्तन

विषय "पहचान प्रमाण» ग्रेड 7 (केआरओ)

पाठ्यपुस्तक मकर्यचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी.

पाठ मकसद

शैक्षिक:

परिचित और शुरू में "समान रूप से समान भाव", "पहचान", "समान परिवर्तन" की अवधारणाओं को समेकित करना;

पहचान साबित करने के तरीकों पर विचार करने के लिए, पहचान साबित करने के लिए कौशल के विकास में योगदान करने के लिए;

कवर की गई सामग्री के छात्रों के आत्मसात की जाँच करने के लिए, नए की धारणा के लिए अध्ययन किए गए को लागू करने के कौशल को बनाने के लिए।

विकसित होना:

छात्रों का सक्षम गणितीय भाषण विकसित करना (विशेष गणितीय शब्दों का उपयोग करते समय शब्दावली को समृद्ध और जटिल बनाना),

सोच विकसित करो,

शैक्षिक: परिश्रम, सटीकता, अभ्यास के समाधान की रिकॉर्डिंग की शुद्धता की खेती करना।

पाठ का प्रकार: नई सामग्री सीखना

कक्षाओं के दौरान

1 . आयोजन का समय।

गृहकार्य की जाँच करना।

गृहकार्य पर प्रश्न।

बोर्ड पर डीब्रीफिंग।

गणित की जरूरत
उसके बिना यह असंभव है
हम पढ़ाते हैं, सिखाते हैं, दोस्तों,
हम सुबह क्या याद करते हैं?

2 . चलो एक कसरत करते हैं।

जोड़ परिणाम। (जोड़)

आप कितने नंबर जानते हैं? (दस)

किसी संख्या का सौवां भाग। (प्रतिशत)

विभाजन परिणाम? (निजी)

सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या? (एक)

क्या प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने पर शून्य प्राप्त करना संभव है? (नहीं)

सबसे बड़ा ऋणात्मक पूर्णांक क्या है। (-एक)

किस संख्या से विभाजित नहीं किया जा सकता है? (0)

गुणन परिणाम? (काम)

घटाव का परिणाम। (अंतर)

जोड़ की कम्यूटेटिव संपत्ति। (शर्तों के स्थानों की पुनर्व्यवस्था से योग नहीं बदलता है)

गुणन की कम्यूटेटिव संपत्ति। (उत्पाद कारकों के स्थानों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है)

एक नए विषय का अध्ययन (एक नोटबुक में एक नोट के साथ परिभाषा)

x=5 और y=4 . पर व्यंजकों का मान ज्ञात कीजिए

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

हमें वही परिणाम मिला। यह वितरण संपत्ति से इस प्रकार है कि, सामान्य रूप से, चर के किसी भी मूल्य के लिए, अभिव्यक्ति के मान 3(x + y) और 3x + 3y बराबर हैं।

अब व्यंजकों 2x + y और 2xy पर विचार करें। x=1 और y=2 के लिए वे समान मान लेते हैं:

हालाँकि, आप x और y मान निर्दिष्ट कर सकते हैं जैसे कि इन भावों के मान समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि x=3, y=4, तो

परिभाषा: दो व्यंजक जिनके मान चर के किसी भी मान के लिए समान हैं, समान रूप से समान कहलाते हैं।

व्यंजक 3(x+y) और 3x+3y समान रूप से समान हैं, लेकिन व्यंजक 2x+y और 2xy समान रूप से समान नहीं हैं।

समानता 3(x + y) और 3x + 3y x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है। ऐसी समानताएं पहचान कहलाती हैं।

परिभाषा:एक समानता जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य है, एक पहचान कहलाती है।

वास्तविक संख्यात्मक समानताएं भी पहचान मानी जाती हैं। हम पहले ही पहचान के साथ मिल चुके हैं। सर्वसमिकाएँ वे समानताएँ हैं जो क्रियाओं के मूल गुणों को संख्याओं पर व्यक्त करती हैं (छात्र प्रत्येक गुण का उच्चारण करके उस पर टिप्पणी करते हैं)।

ए + बी = बी + ए
अब = बीए
(ए + बी) + सी = ए + (बी + सी)
(एबी) सी = ए (बीसी)
ए (बी + सी) = एबी + एसी

सर्वसमिकाओं के अन्य उदाहरण दीजिए

परिभाषा: एक व्यंजक का दूसरे व्यंजक के स्थान पर, जो उसके समान रूप से समान हो, समरूप रूपांतरण या केवल व्यंजक का रूपांतरण कहलाता है।

संख्याओं पर संक्रियाओं के गुणों के आधार पर चरों के साथ व्यंजकों के समान परिवर्तन किए जाते हैं।

अभिव्यक्तियों के मूल्यों की गणना और अन्य समस्याओं को हल करने में अभिव्यक्तियों के पहचान परिवर्तनों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। आपको पहले से ही कुछ समान परिवर्तन करने थे, उदाहरण के लिए, समान शब्दों की कमी, कोष्ठक का विस्तार।

5 . नंबर 691, नंबर 692 (कोष्ठक खोलने के नियमों के उच्चारण के साथ, नकारात्मक और सकारात्मक संख्याओं को गुणा करना)

तर्कसंगत समाधान चुनने के लिए पहचान:(सामने का काम)

6 . पाठ को सारांशित करना।

शिक्षक प्रश्न पूछता है, और छात्र अपनी इच्छानुसार उनका उत्तर देते हैं।

किन दो भावों को समान रूप से समान कहा जाता है? उदाहरण दो।

किस समानता को पहचान कहा जाता है? एक उदाहरण दें।

आप कौन से समान परिवर्तन जानते हैं?

7. गृहकार्य। परिभाषाएँ सीखें, समान भावों के उदाहरण दें (कम से कम 5), उन्हें एक नोटबुक में लिखें

यह लेख एक प्रारंभिक प्रदान करता है पहचान की धारणा. यहां हम एक पहचान को परिभाषित करते हैं, प्रयुक्त संकेतन का परिचय देते हैं, और निश्चित रूप से, सर्वसमिकाओं के विभिन्न उदाहरण देते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

पहचान क्या है?

सामग्री की प्रस्तुति के साथ शुरू करना तर्कसंगत है पहचान की परिभाषा. यू. एन. मकर्यचेव की पाठ्यपुस्तक, बीजगणित में 7 कक्षाओं के लिए, पहचान की परिभाषा इस प्रकार दी गई है:

परिभाषा।

पहचानचर के किसी भी मूल्य के लिए एक समानता सत्य है; कोई भी वास्तविक संख्यात्मक समानता भी एक पहचान है।

उसी समय, लेखक तुरंत यह निर्धारित करता है कि भविष्य में इस परिभाषा को स्पष्ट किया जाएगा। चर और ODZ के स्वीकार्य मूल्यों की परिभाषा से परिचित होने के बाद, यह स्पष्टीकरण 8 वीं कक्षा में होता है। परिभाषा बन जाती है:

परिभाषा।

पहचानवास्तविक संख्यात्मक समानताएं हैं, साथ ही समानताएं जो उनमें शामिल चर के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए सही हैं।

तो क्यों, एक पहचान को परिभाषित करते समय, 7 वीं कक्षा में हम चर के किसी भी मूल्य के बारे में बात करते हैं, और 8 वीं कक्षा में हम उनके डीपीवी से चर के मूल्यों के बारे में बात करना शुरू करते हैं? ग्रेड 8 तक, काम विशेष रूप से पूर्णांक अभिव्यक्तियों (विशेष रूप से, मोनोमियल और बहुपद के साथ) के साथ किया जाता है, और वे उनमें शामिल चर के किसी भी मूल्य के लिए समझ में आते हैं। इसलिए, 7वीं कक्षा में, हम कहते हैं कि एक पहचान एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए सही है। और 8 वीं कक्षा में, ऐसे भाव दिखाई देते हैं जो पहले से ही चर के सभी मूल्यों के लिए नहीं, बल्कि केवल उनके ODZ के मूल्यों के लिए समझ में आते हैं। इसलिए, सर्वसमिकाओं से, हम उन समानता को कहना शुरू करते हैं जो चर के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए सही हैं।

तो पहचान समानता का एक विशेष मामला है। यानी कोई भी पहचान एक समानता है। लेकिन हर समानता एक पहचान नहीं है, बल्कि केवल एक समानता है जो कि उनके स्वीकार्य मूल्यों की सीमा से चर के किसी भी मूल्य के लिए सही है।

पहचान चिन्ह

यह ज्ञात है कि समानता लेखन में, "=" के रूप में एक समान चिह्न का उपयोग किया जाता है, बाईं ओर और दाईं ओर जिसमें कुछ संख्याएं या भाव होते हैं। यदि हम इस चिन्ह में एक और क्षैतिज रेखा जोड़ते हैं, तो हमें प्राप्त होता है पहचान चिन्ह"≡", या जैसा कि इसे भी कहा जाता है बराबर चिह्न.

पहचान का चिन्ह आमतौर पर केवल तभी उपयोग किया जाता है जब इस बात पर जोर देना आवश्यक हो कि हमारे सामने न केवल समानता है, बल्कि सटीक पहचान है। अन्य मामलों में, पहचान के प्रतिनिधित्व समानता से भिन्न नहीं होते हैं।

पहचान उदाहरण

यह लाने का समय है पहचान के उदाहरण. पहले पैराग्राफ में दी गई पहचान की परिभाषा हमें इसमें मदद करेगी।

संख्यात्मक समानताएं 2=2 सर्वसमिकाओं के उदाहरण हैं, क्योंकि ये समानताएं सत्य हैं, और कोई भी वास्तविक संख्यात्मक समानता, परिभाषा के अनुसार, एक पहचान है। इन्हें 2≡2 और के रूप में लिखा जा सकता है।

2+3=5 और 7−1=2·3 के रूप की संख्यात्मक समानताएं भी सर्वसमिकाएं हैं, क्योंकि ये समानताएं सत्य हैं। अर्थात्, 2+3≡5 और 7−1≡2 3 ।

आइए सर्वसमिकाओं के उदाहरणों पर आगे बढ़ते हैं जिनमें न केवल संख्याएँ होती हैं, बल्कि उनके अंकन में चर भी होते हैं।

समानता पर विचार करें 3·(x+1)=3·x+3 । चर x के किसी भी मान के लिए, योग के संबंध में गुणन के वितरण गुण के कारण लिखित समानता सत्य है, इसलिए, मूल समानता एक पहचान का एक उदाहरण है। पहचान का एक और उदाहरण यहां दिया गया है: y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:y, यहां चर x और y के लिए स्वीकार्य मानों की सीमा सभी जोड़े (x, y) है, जहां x और y शून्य को छोड़कर कोई भी संख्या है।

लेकिन समानताएं x+1=x−1 और a+2 b=b+2 a सर्वसमिकाएं नहीं हैं, क्योंकि ऐसे चरों के मान हैं जिनके लिए ये समानताएं गलत होंगी। उदाहरण के लिए, x=2 के लिए, समानता x+1=x−1 गलत समानता 2+1=2−1 में बदल जाती है। इसके अलावा, x+1=x−1 चर x के किसी भी मान के लिए समानता बिल्कुल भी हासिल नहीं की जाती है। और समता a+2·b=b+2·a गलत समानता में बदल जाएगी यदि हम चर a और b का कोई भिन्न मान लें। उदाहरण के लिए, a=0 और b=1 के साथ, हम गलत समानता 0+2 1=1+2 0 पर आ जाएंगे। समानता |x|=x , जहां |x| - चर x , भी एक पहचान नहीं है, क्योंकि यह x के ऋणात्मक मानों के लिए मान्य नहीं है।

सबसे प्रसिद्ध सर्वसमिकाओं के उदाहरण हैं sin 2 α+cos 2 α=1 और a log a b =b ।

इस लेख के अंत में, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि गणित का अध्ययन करते समय, हम लगातार पहचान का सामना करते हैं। संख्या क्रिया गुण रिकॉर्ड पहचान हैं, उदाहरण के लिए, a+b=b+a , 1 a=a , 0 a=0 और a+(−a)=0 । इसके अलावा, पहचान हैं

संख्याओं के जोड़ और गुणा के मूल गुण।

जोड़ की क्रमागत संपत्ति: जब शब्दों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो योग का मूल्य नहीं बदलता है। किसी भी संख्या a और b के लिए, समानता सत्य है

जोड़ का साहचर्य गुण: दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप पहली संख्या में दूसरी और तीसरी का योग जोड़ सकते हैं। किसी भी संख्या a, b और c के लिए समानता सत्य है

गुणन का कम्यूटेटिव गुण: कारकों के क्रमपरिवर्तन से उत्पाद का मूल्य नहीं बदलता है। किसी भी संख्या a, b और c के लिए, समानता सत्य है

गुणन का साहचर्य गुण: दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरी और तीसरी संख्या के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं।

किसी भी संख्या a, b और c के लिए, समानता सत्य है

वितरण गुण: किसी संख्या को योग से गुणा करने के लिए, आप उस संख्या को प्रत्येक पद से गुणा कर सकते हैं और परिणाम जोड़ सकते हैं। किसी भी संख्या a, b और c के लिए समानता सत्य है

यह जोड़ के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों से इस प्रकार है कि किसी भी राशि में आप अपनी पसंद के अनुसार शब्दों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं और उन्हें मनमाने तरीके से समूहों में जोड़ सकते हैं।

उदाहरण 1 आइए 1.23+13.5+4.27 के योग की गणना करें।

ऐसा करने के लिए, पहले पद को तीसरे के साथ जोड़ना सुविधाजनक है। हम पाते हैं:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

यह गुणन के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों से अनुसरण करता है: किसी भी उत्पाद में, आप कारकों को किसी भी तरह से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं और मनमाने ढंग से उन्हें समूहों में जोड़ सकते हैं।

उदाहरण 2 आइए गुणनफल 1.8 0.25 64 0.5 का मान ज्ञात करें।

पहले कारक को चौथे के साथ और दूसरे को तीसरे के साथ मिलाने पर, हमारे पास होगा:

1.8 0.25 64 0.5 \u003d (1.8 0.5) (0.25 64) \u003d 0.9 16 \u003d 14.4।

वितरण गुण तब भी मान्य होता है जब संख्या को तीन या अधिक पदों के योग से गुणा किया जाता है।

उदाहरण के लिए, किसी भी संख्या a, b, c और d के लिए, समानता सत्य है

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

हम जानते हैं कि घटाव को घटाव में विपरीत संख्या जोड़कर घटाव द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

यह फॉर्म ए-बी की संख्यात्मक अभिव्यक्ति को संख्याओं ए और -बी के योग पर विचार करने की अनुमति देता है, फॉर्म ए + बी-सी-डी की संख्यात्मक अभिव्यक्ति को संख्याओं ए, बी, -सी, -डी, आदि का योग माना जाता है। कार्यों की मानी गई संपत्तियां भी ऐसी राशियों के लिए मान्य हैं।

उदाहरण 3 आइए व्यंजक 3.27-6.5-2.5+1.73 का मान ज्ञात करें।

यह व्यंजक संख्या 3.27, -6.5, -2.5 और 1.73 का योग है। जोड़ गुणों को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -चार।

उदाहरण 4 आइए गुणनफल 36·() की गणना करें।

गुणक को संख्याओं और - के योग के रूप में माना जा सकता है। गुणन के वितरण गुण का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

36()=36-36=9-10=-1.

पहचान

परिभाषा। दो व्यंजक जिनके संगत मान चर के किसी भी मान के लिए समान होते हैं, समान रूप से समान कहलाते हैं।

परिभाषा। एक समानता जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य है, एक पहचान कहलाती है।

आइए x=5, y=4 के लिए व्यंजक 3(x+y) और 3x+3y के मान ज्ञात करें:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

हमें वही परिणाम मिला। यह वितरण संपत्ति से इस प्रकार है कि, सामान्य रूप से, चर के किसी भी मूल्य के लिए, अभिव्यक्तियों के संबंधित मान 3(x+y) और 3x+3y बराबर हैं।

अब व्यंजकों 2x+y और 2xy पर विचार करें। x=1, y=2 के लिए वे समान मान लेते हैं:

हालाँकि, आप x और y मान निर्दिष्ट कर सकते हैं जैसे कि इन भावों के मान समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि x=3, y=4, तो

व्यंजक 3(x+y) और 3x+3y समान रूप से समान हैं, लेकिन व्यंजक 2x+y और 2xy समान रूप से समान नहीं हैं।

समानता 3(x+y)=x+3y, x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है, एक पहचान है।

वास्तविक संख्यात्मक समानताएं भी पहचान मानी जाती हैं।

तो, सर्वसमिकाएँ संख्याओं पर क्रियाओं के मुख्य गुणों को व्यक्त करने वाली समानताएँ हैं:

ए+बी=बी+ए, (ए+बी)+सी=ए+(बी+सी),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

पहचान के अन्य उदाहरण दिए जा सकते हैं:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

ए 1=ए, ए (-बी)=-एबी, (-ए)(-बी)=एबी।

अभिव्यक्तियों की पहचान परिवर्तन

एक व्यंजक के स्थान पर दूसरे व्यंजक के स्थान पर, समान रूप से उसके समान, समरूप रूपांतरण या केवल व्यंजक का रूपांतरण कहलाता है।

संख्याओं पर संक्रियाओं के गुणों के आधार पर चरों के साथ व्यंजकों के समान परिवर्तन किए जाते हैं।

x, y, z दिए गए व्यंजक xy-xz का मान ज्ञात करने के लिए, आपको तीन चरण करने होंगे। उदाहरण के लिए, x=2.3, y=0.8, z=0.2 से हम पाते हैं:

xy-xz=2.3 0.8-2.3 0.2=1.84-0.46=1.38.

यह परिणाम केवल दो चरणों में प्राप्त किया जा सकता है, अभिव्यक्ति x(y-z) का उपयोग करके, जो समान रूप से अभिव्यक्ति xy-xz के बराबर है:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.

हमने व्यंजक xy-xz को समान रूप से समान व्यंजक x(y-z) से प्रतिस्थापित करके परिकलनों को सरल बनाया है।

अभिव्यक्तियों के मूल्यों की गणना और अन्य समस्याओं को हल करने में अभिव्यक्तियों के पहचान परिवर्तनों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। कुछ समान परिवर्तन पहले ही किए जा चुके हैं, उदाहरण के लिए, समान शब्दों की कमी, कोष्ठक का उद्घाटन। इन परिवर्तनों को करने के नियमों को याद करें:

समान पदों को लाने के लिए, आपको उनके गुणांकों को जोड़ना होगा और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करना होगा;

यदि कोष्ठक के सामने धन का चिह्न है, तो कोष्ठकों में संलग्न प्रत्येक पद के चिह्न को बनाए रखते हुए कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है;

यदि कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न है, तो कोष्ठक में संलग्न प्रत्येक पद के चिह्न को बदलकर कोष्ठक को छोड़ा जा सकता है।

उदाहरण 1 आइए योग 5x+2x-3x में समान पदों को जोड़ें।

हम समान पदों को कम करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x।

यह परिवर्तन गुणन के वितरण गुण पर आधारित है।

उदाहरण 2 आइए व्यंजक 2a+(b-3c) में कोष्ठकों का विस्तार करें।

प्लस चिह्न से पहले कोष्ठक खोलने के नियम को लागू करना:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

किया गया परिवर्तन जोड़ की साहचर्य संपत्ति पर आधारित है।

उदाहरण 3 आइए व्यंजक a-(4b-c) में कोष्ठकों का विस्तार करें।

आइए ऋण चिह्न से पहले कोष्ठक का विस्तार करने के लिए नियम का उपयोग करें:

a-(4b-c)=a-4b+c.

किया गया परिवर्तन गुणन के वितरण गुण और योग के साहचर्य गुण पर आधारित है। आइए इसे दिखाते हैं। आइए इस व्यंजक में दूसरे पद -(4b-c) को एक गुणनफल (-1)(4b-c) के रूप में निरूपित करें:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)।

क्रियाओं के इन गुणों को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

सर्वसमिकाओं की अवधारणा से निपटने के बाद, हम समान रूप से समान अभिव्यक्तियों के अध्ययन के लिए आगे बढ़ सकते हैं। इस लेख का उद्देश्य यह समझाना है कि यह क्या है और उदाहरणों के साथ यह दिखाना है कि कौन से भाव समान रूप से दूसरों के बराबर होंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

समान समान भाव: परिभाषा

समान रूप से समान अभिव्यक्तियों की अवधारणा का अध्ययन आमतौर पर एक स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम के ढांचे में पहचान की अवधारणा के साथ किया जाता है। यहाँ एक पाठ्यपुस्तक से ली गई एक मूल परिभाषा है:

परिभाषा 1

समान रूप से समानएक दूसरे में ऐसे भाव होंगे, जिनके मूल्य उनकी रचना में शामिल चर के किसी भी संभावित मूल्यों के लिए समान होंगे।

साथ ही, ऐसे संख्यात्मक व्यंजकों को समान रूप से समान माना जाता है, जो समान मानों के अनुरूप होंगे।

यह एक काफी व्यापक परिभाषा है, जो सभी पूर्णांक अभिव्यक्तियों के लिए सही होगी, जिसका अर्थ चर के मान बदलने पर नहीं बदलता है। हालाँकि, बाद में इस परिभाषा को स्पष्ट करना आवश्यक हो जाता है, क्योंकि पूर्णांकों के अलावा, अन्य प्रकार के भाव भी होते हैं जो कुछ चर के साथ समझ में नहीं आते हैं। यह चर के कुछ मूल्यों की स्वीकार्यता और अस्वीकार्यता की अवधारणा को जन्म देता है, साथ ही स्वीकार्य मूल्यों की सीमा निर्धारित करने की आवश्यकता भी देता है। आइए एक परिष्कृत परिभाषा तैयार करें।

परिभाषा 2

समान समान भाववे भाव हैं जिनके मूल्य उनकी रचना में शामिल चर के किसी भी मान्य मान के लिए एक दूसरे के बराबर हैं। संख्यात्मक भाव समान रूप से एक दूसरे के बराबर होंगे, बशर्ते कि मान समान हों।

वाक्यांश "चर के किसी भी स्वीकार्य मूल्यों के लिए" चर के उन सभी मूल्यों को इंगित करता है जिनके लिए दोनों अभिव्यक्तियां समझ में आती हैं। हम इस स्थिति की व्याख्या बाद में करेंगे, जब हम समान रूप से समान व्यंजकों के उदाहरण देंगे।

आप निम्न परिभाषा भी निर्दिष्ट कर सकते हैं:

परिभाषा 3

समान समान व्यंजक वे व्यंजक होते हैं जो बाएँ और दाएँ पक्षों पर समान पहचान में स्थित होते हैं।

अभिव्यक्तियों के उदाहरण जो समान रूप से एक दूसरे के बराबर हैं

ऊपर दी गई परिभाषाओं का प्रयोग करते हुए, ऐसे व्यंजकों के कुछ उदाहरणों पर विचार कीजिए।

आइए संख्यात्मक अभिव्यक्तियों से शुरू करें।

उदाहरण 1

इस प्रकार, 2 + 4 और 4 + 2 समान रूप से एक दूसरे के बराबर होंगे, क्योंकि उनके परिणाम (6 और 6) के बराबर होंगे।

उदाहरण 2

उसी तरह, भाव 3 और 30 समान रूप से समान हैं: 10 , (2 2) 3 और 2 6 (अंतिम अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए, आपको डिग्री के गुणों को जानना होगा)।

उदाहरण 3

लेकिन व्यंजक 4 - 2 और 9 - 1 समान नहीं होंगे, क्योंकि उनके मान भिन्न हैं।

आइए शाब्दिक अभिव्यक्तियों के उदाहरणों पर चलते हैं। ए + बी और बी + ए समान रूप से समान होंगे, और यह चर के मूल्यों पर निर्भर नहीं करता है (इस मामले में अभिव्यक्तियों की समानता जोड़ की कम्यूटेटिव संपत्ति द्वारा निर्धारित की जाती है)।

उदाहरण 4

उदाहरण के लिए, यदि a 4 है और b 5 है, तो परिणाम अभी भी वही होंगे।

अक्षरों के साथ समान रूप से समान अभिव्यक्तियों का एक अन्य उदाहरण 0 · x · y · z और 0 है। इस स्थिति में वेरिएबल्स का मान जो भी हो, जब 0 से गुणा किया जाता है, तो वे 0 देंगे। असमान व्यंजक 6 x और 8 x हैं क्योंकि वे किसी भी x के बराबर नहीं होंगे।

इस घटना में कि चर के अनुमेय मूल्यों की सीमाएँ मेल खाएँगी, उदाहरण के लिए, भावों में a + 6 और 6 + a या a b 0 और 0, या x 4 और x, और भावों के मान स्वयं किसी भी चर के लिए समान होंगे, तो ऐसे भाव समान रूप से समान माने जाते हैं। तो, a + 8 = 8 + a, a के किसी भी मान के लिए, और a · b · 0 = 0 भी, क्योंकि किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है। व्यंजक x 4 और x अंतराल [ 0 , + ) से किसी भी x के लिए समान रूप से समान होंगे।

लेकिन एक व्यंजक में मान्य मान का दायरा दूसरे व्यंजक के दायरे से भिन्न हो सकता है।

उदाहरण 5

उदाहरण के लिए, आइए दो व्यंजक लें: x − 1 और x - 1 · x x । उनमें से पहले के लिए, स्वीकार्य x मानों की सीमा वास्तविक संख्याओं का पूरा सेट होगा, और दूसरे के लिए, शून्य को छोड़कर, सभी वास्तविक संख्याओं का सेट, क्योंकि तब हमें हर में 0 मिलेगा, और ऐसा विभाजन परिभाषित नहीं है। इन दो व्यंजकों में एक उभयनिष्ठ श्रेणी होती है, जो दो अलग-अलग श्रेणियों के प्रतिच्छेदन से बनती है। यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि दोनों व्यंजक x - 1 · x x और x - 1 0 को छोड़कर, चरों के किसी भी वास्तविक मान के लिए अर्थपूर्ण होंगे।

भिन्न का मूल गुण हमें यह निष्कर्ष निकालने की भी अनुमति देता है कि x - 1 x x और x - 1 किसी भी x के लिए बराबर होगा जो कि 0 नहीं है। इसका मतलब यह है कि स्वीकार्य मूल्यों की सामान्य सीमा पर ये अभिव्यक्ति समान रूप से एक दूसरे के बराबर होंगी, और किसी भी वास्तविक x के लिए समान समानता की बात नहीं की जा सकती है।

यदि हम एक व्यंजक को दूसरे व्यंजक से प्रतिस्थापित करते हैं जो उसके समान है, तो इस प्रक्रिया को पहचान परिवर्तन कहा जाता है। यह अवधारणा बहुत महत्वपूर्ण है, और हम इसके बारे में एक अलग लेख में विस्तार से बात करेंगे।

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