फलन y lnx का व्युत्पन्न। आधार के लिए प्राकृतिक लघुगणक और लघुगणक का व्युत्पन्न a
आधार में प्राकृतिक लघुगणक और लघुगणक के व्युत्पन्न के लिए सूत्रों का प्रमाण और व्युत्पत्ति a. ln 2x, ln 3x और ln nx के व्युत्पन्नों की गणना के उदाहरण। गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा nवें क्रम लघुगणक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का प्रमाण।
आधार a . में प्राकृतिक लघुगणक और लघुगणक के व्युत्पन्न के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति
x के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न x द्वारा विभाजित एक के बराबर है:
(1)
(एलएनएक्स)′ =.
आधार a के लघुगणक का अवकलज, a के प्राकृतिक लघुगणक से गुणा किए गए चर x से विभाजित एक के बराबर होता है:
(2)
(लॉग एक्स)′ =.
सबूत
मान लीजिए कोई धनात्मक संख्या है जो एक के बराबर नहीं है। एक फ़ंक्शन पर विचार करें जो चर x पर निर्भर करता है, जो एक आधार लघुगणक है:
.
इस फ़ंक्शन के साथ परिभाषित किया गया है। आइए x के संबंध में इसका अवकलज ज्ञात करें। परिभाषा के अनुसार, व्युत्पन्न निम्नलिखित सीमा है:
(3)
.
आइए इस अभिव्यक्ति को ज्ञात गणितीय गुणों और नियमों में कम करने के लिए रूपांतरित करें। ऐसा करने के लिए, हमें निम्नलिखित तथ्यों को जानना होगा:
लेकिन)लघुगणक के गुण। हमें निम्नलिखित सूत्रों की आवश्यकता है:
(4)
;
(5)
;
(6)
;
बी)निरंतर कार्य के लिए लघुगणक और सीमाओं की संपत्ति की निरंतरता:
(7)
.
यहाँ, कुछ फ़ंक्शन है जिसकी एक सीमा है और यह सीमा धनात्मक है।
पर)दूसरी अद्भुत सीमा का अर्थ:
(8)
.
हम इन तथ्यों को अपनी सीमा तक लागू करते हैं। पहले हम बीजीय व्यंजक को रूपांतरित करते हैं
.
ऐसा करने के लिए, हम गुण (4) और (5) लागू करते हैं।
.
हम संपत्ति (7) और दूसरी उल्लेखनीय सीमा (8) का उपयोग करते हैं:
.
और अंत में, संपत्ति (6) लागू करें:
.
आधार लघुगणक इबुलाया प्राकृतिक. इसे इस तरह चिह्नित किया गया है:
.
फिर ;
.
इस प्रकार, हमने लघुगणक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र (2) प्राप्त किया है।
प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
एक बार फिर, हम आधार a में लघुगणक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लिखते हैं:
.
इस सूत्र में प्राकृतिक लघुगणक का सबसे सरल रूप है, जिसके लिए , . फिर
(1)
.
इस सरलता के कारण, प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग कैलकुलस और डिफरेंशियल कैलकुलस से संबंधित गणित के अन्य क्षेत्रों में बहुत व्यापक रूप से किया जाता है। अन्य आधारों के साथ लघुगणकीय कार्यों को संपत्ति (6) का उपयोग करके प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
.
लघुगणक का आधार व्युत्पन्न सूत्र (1) से पाया जा सकता है यदि स्थिरांक को विभेदन चिह्न से निकाला जाता है:
.
लघुगणक के व्युत्पन्न को सिद्ध करने के अन्य तरीके
यहाँ हम मानते हैं कि हम घातांक के व्युत्पन्न के सूत्र को जानते हैं:
(9)
.
तब हम प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, यह देखते हुए कि लघुगणक घातांक का व्युत्क्रम है।
आइए हम प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न के सूत्र को सिद्ध करें, व्युत्क्रम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करना:
.
हमारे मामले में । प्राकृतिक लघुगणक का विलोम घातांक है:
.
इसका व्युत्पन्न सूत्र (9) द्वारा निर्धारित किया जाता है। चरों को किसी भी अक्षर से निरूपित किया जा सकता है। सूत्र (9) में, हम चर x को y से प्रतिस्थापित करते हैं:
.
तब से
.
फिर
.
सूत्र सिद्ध हुआ है।
अब हम प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न के सूत्र को सिद्ध करते हैं यौगिक फलन को विभेदित करने के नियम. चूँकि फलन और एक दूसरे के प्रतिलोम हैं, तो
.
इस समीकरण को चर x के सन्दर्भ में अवकलित कीजिए :
(10)
.
x का व्युत्पन्न एक के बराबर है:
.
हम एक जटिल फलन के विभेदीकरण का नियम लागू करते हैं:
.
यहां । (10) में प्रतिस्थापित करें:
.
यहाँ से
.
उदाहरण
के डेरिवेटिव खोजें एलएन 2x, एलएन 3xतथा एलएन एनएक्स.
समाधान
मूल कार्यों का एक समान रूप है। इसलिए, हम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाएंगे वाई = लॉग एनएक्स. फिर हम n = 2 और n = 3 प्रतिस्थापित करते हैं। और, इस प्रकार, हम के डेरिवेटिव के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं एलएन 2xतथा एलएन 3x .
तो, हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं
वाई = लॉग एनएक्स
.
आइए इस फ़ंक्शन को दो कार्यों से युक्त एक जटिल फ़ंक्शन के रूप में प्रस्तुत करें:
1)
चर आश्रित कार्य : ;
2)
परिवर्तनीय निर्भर कार्य:।
फिर मूल कार्य कार्यों से बना है और:
.
आइए चर x के संबंध में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
.
आइए चर के संबंध में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
.
हम एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करते हैं।
.
यहां हमने स्थानापन्न किया है।
तो हमने पाया:
(11)
.
हम देखते हैं कि अवकलज n पर निर्भर नहीं करता है। यह परिणाम काफी स्वाभाविक है यदि हम उत्पाद के लघुगणक के सूत्र का उपयोग करके मूल कार्य को बदलते हैं:
.
- एक स्थिरांक है। इसका व्युत्पन्न शून्य है। फिर, योग के विभेदन के नियम के अनुसार, हमारे पास है:
.
उत्तर
; ; .
लघुगणक मॉड्यूल x . का व्युत्पन्न
आइए एक और बहुत महत्वपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें - x मॉड्यूल का प्राकृतिक लघुगणक:
(12)
.
आइए मामले पर विचार करें। तब फ़ंक्शन इस तरह दिखता है:
.
इसका व्युत्पन्न सूत्र (1) द्वारा निर्धारित किया जाता है:
.
अब मामले पर विचार करें। तब फ़ंक्शन इस तरह दिखता है:
,
कहाँ पे ।
लेकिन हमने उपरोक्त उदाहरण में इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न भी पाया। यह n पर निर्भर नहीं करता है और के बराबर है
.
फिर
.
हम इन दो मामलों को एक सूत्र में जोड़ते हैं:
.
तदनुसार, आधार a के लघुगणक के लिए, हमारे पास है:
.
प्राकृतिक लघुगणक के उच्च क्रम व्युत्पन्न
समारोह पर विचार करें
.
हमने इसका पहला ऑर्डर व्युत्पन्न पाया:
(13)
.
आइए दूसरा क्रम व्युत्पन्न खोजें:
.
आइए तीसरे क्रम का व्युत्पन्न खोजें:
.
आइए चौथे क्रम का व्युत्पन्न खोजें:
.
यह देखा जा सकता है कि nवें क्रम के व्युत्पन्न का रूप है:
(14)
.
आइए इसे गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध करें।
सबूत
आइए हम n = 1 के मान को सूत्र (14) में प्रतिस्थापित करें:
.
चूँकि , तब n = . के लिए 1
, सूत्र (14) मान्य है।
मान लीजिए कि n = k के लिए सूत्र (14) संतुष्ट है। आइए हम सिद्ध करें कि इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सूत्र n = k . के लिए मान्य है + 1 .
वास्तव में, n = k के लिए हमारे पास है:
.
x के सन्दर्भ में अंतर कीजिए :
.
तो हमें मिला:
.
यह सूत्र n = k + . के सूत्र (14) से मेल खाता है 1
. इस प्रकार, इस धारणा से कि सूत्र (14) n = k के लिए मान्य है, यह इस प्रकार है कि सूत्र (14) n = k + के लिए मान्य है 1
.
इसलिए, nवें कोटि के अवकलज के लिए सूत्र (14), किसी भी n के लिए मान्य है।
आधार a . के लघुगणक के उच्च-क्रम व्युत्पन्न
आधार लघुगणक a का nवां अवकलज ज्ञात करने के लिए, आपको इसे प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त करना होगा:
.
सूत्र (14) को लागू करने पर, हम n वां व्युत्पन्न पाते हैं:
.
परिभाषा।मान लें कि फ़ंक्शन \(y = f(x) \) को कुछ अंतराल में परिभाषित किया जाता है जिसमें बिंदु \(x_0 \) अंदर होता है। आइए तर्क में वृद्धि \(\Delta x \) करें ताकि इस अंतराल को न छोड़ें। फ़ंक्शन की संगत वृद्धि खोजें \(\Delta y \) (बिंदु \(x_0 \) से बिंदु \(x_0 + \Delta x \) तक जाते समय) और संबंध लिखें \(\frac(\Delta y) ) (\ डेल्टा एक्स) \)। यदि इस संबंध की सीमा \(\Delta x \rightarrow 0 \) पर है, तो निर्दिष्ट सीमा कहलाती है व्युत्पन्न कार्य\(y=f(x) \) बिंदु \(x_0 \) पर और \(f"(x_0) \) को निरूपित करें।
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
प्रतीक y का उपयोग अक्सर व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि y" = f(x) एक नया फ़ंक्शन है, लेकिन स्वाभाविक रूप से फ़ंक्शन y = f(x) से जुड़ा है, जो सभी बिंदुओं x पर परिभाषित है जहां उपरोक्त सीमा मौजूद है। इस फ़ंक्शन को इस तरह कहा जाता है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y \u003d f (x).
व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थनिम्नलिखित से मिलकर बनता है। यदि एक स्पर्शरेखा जो y अक्ष के समानांतर नहीं है, को फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ पर एब्सिसा x \u003d a के साथ एक बिंदु पर खींचा जा सकता है, तो f (a) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है:
\(के = एफ"(ए)\)
चूँकि \(k = tg(a) \), समानता \(f"(a) = tg(a) \) सत्य है।
और अब हम व्युत्पन्न की परिभाषा की व्याख्या सन्निकट समानता के रूप में करते हैं। मान लें कि फलन \(y = f(x) \) का एक विशेष बिंदु \(x \) पर एक अवकलज है:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
इसका मतलब है कि बिंदु x के पास, लगभग समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), यानी \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\)। प्राप्त अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता का गुणांक किसी दिए गए बिंदु x पर व्युत्पन्न का मान है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(y = x^2 \) के लिए अनुमानित समानता \(\Delta y \लगभग 2x \cdot \Delta x \) सत्य है। यदि हम व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करते हैं, तो हम पाएंगे कि इसमें इसे खोजने के लिए एक एल्गोरिथम शामिल है।
आइए इसे तैयार करें।
फ़ंक्शन y \u003d f (x) का व्युत्पन्न कैसे खोजें?
1. मान स्थिर करें \(x \), \(f(x) \) खोजें
2. वृद्धि \(x \) तर्क \(\Delta x \), एक नए बिंदु \(x+ \Delta x \) पर जाएं, \(f(x+ \Delta x) \) खोजें
3. फलन वृद्धि ज्ञात कीजिए: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. संबंध लिखें \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ की गणना करें
यह सीमा x पर फलन का अवकलज है।
यदि फलन y = f(x) का व्युत्पन्न बिंदु x पर है, तो इसे बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) के व्युत्पन्न को खोजने की प्रक्रिया को कहा जाता है भेदभावफलन y = f(x)।
आइए हम निम्नलिखित प्रश्न पर चर्चा करें: एक बिंदु पर एक फलन की निरंतरता और भिन्नता कैसे संबंधित हैं?
मान लीजिए फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है। फिर बिंदु M (x; f (x)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है और, याद रखें, स्पर्शरेखा का ढलान f "(x) के बराबर है। ऐसा ग्राफ "ब्रेक" नहीं कर सकता है बिंदु M, अर्थात् फलन x पर सतत होना चाहिए।
यह "उंगलियों पर" तर्क कर रहा था। आइए हम एक और कठोर तर्क प्रस्तुत करें। यदि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है, तो सन्निकट समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) शून्य है, फिर \(\Delta y \ ) भी शून्य हो जाएगा, और यह एक बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के लिए शर्त है।
इसलिए, यदि कोई फलन बिंदु x पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर भी सतत होता है.
इसका उलट सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन y = |x| हर जगह निरंतर है, विशेष रूप से बिंदु x = 0 पर, लेकिन "संयुक्त बिंदु" (0; 0) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव है, तो इस बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है।
एक और उदाहरण। फ़ंक्शन \(y=\sqrt(x) \) बिंदु x = 0 सहित संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है। और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा बिंदु x = 0 सहित किसी भी बिंदु पर मौजूद है। । लेकिन इस बिंदु पर स्पर्शरेखा y-अक्ष के साथ मेल खाती है, अर्थात यह भुज अक्ष के लंबवत है, इसके समीकरण का रूप x \u003d 0 है। ऐसी सीधी रेखा के लिए कोई ढलान नहीं है, जिसका अर्थ है कि \ ( f "(0) \) या तो मौजूद नहीं है
इस प्रकार, हम एक फलन के एक नए गुण - अवकलनीयता से परिचित हुए। आप कैसे बता सकते हैं कि कोई फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से भिन्न है या नहीं?
उत्तर वास्तव में ऊपर दिया गया है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है जो x-अक्ष के लंबवत नहीं है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन भिन्न होता है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है या यह x-अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय नहीं है।
विभेदन नियम
अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव. इस ऑपरेशन को करते समय, आपको अक्सर भागफल, योग, कार्यों के उत्पादों के साथ-साथ "फ़ंक्शन ऑफ़ फ़ंक्शंस", यानी जटिल फ़ंक्शंस के साथ काम करना पड़ता है। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम इस कार्य को सुविधाजनक बनाने वाले विभेदन नियम प्राप्त कर सकते हैं। यदि सी एक स्थिर संख्या है और f=f(x), g=g(x) कुछ अलग-अलग कार्य हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं भेदभाव नियम:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
कुछ कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) "= a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \बाएं(ई^x \दाएं) " = ई^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) "= \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) "= \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $अवकलज ज्ञात करने की क्रिया को विभेदन कहते हैं।
तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में व्युत्पन्न को परिभाषित करके सबसे सरल (और बहुत सरल नहीं) कार्यों के डेरिवेटिव खोजने की समस्याओं को हल करने के परिणामस्वरूप, डेरिवेटिव की एक तालिका और भेदभाव के सटीक परिभाषित नियम दिखाई दिए . आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज (1646-1716) ने डेरिवेटिव खोजने के क्षेत्र में काम करने वाले पहले व्यक्ति थे।
इसलिए, हमारे समय में, किसी भी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की उपर्युक्त सीमा की गणना तर्क की वृद्धि के लिए करना आवश्यक नहीं है, लेकिन केवल तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है डेरिवेटिव और भेदभाव के नियम। निम्नलिखित एल्गोरिदम व्युत्पन्न खोजने के लिए उपयुक्त है।
व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको स्ट्रोक साइन के तहत एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है सरल कार्यों को तोड़ोऔर निर्धारित करें कि क्या कार्रवाई (उत्पाद, योग, भागफल)ये कार्य संबंधित हैं। इसके अलावा, हम डेरिवेटिव की तालिका में प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न पाते हैं, और उत्पाद के डेरिवेटिव के लिए सूत्र, योग और भागफल - भेदभाव के नियमों में। पहले दो उदाहरणों के बाद व्युत्पन्न और विभेदन नियमों की तालिका दी गई है।
उदाहरण 1किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
समाधान। विभेदन के नियमों से हम पाते हैं कि कार्यों के योग का व्युत्पन्न कार्यों के व्युत्पन्न का योग है, अर्थात।
डेरिवेटिव की तालिका से, हम पाते हैं कि "एक्स" का व्युत्पन्न एक के बराबर है, और साइन का व्युत्पन्न कोसाइन है। हम इन मानों को डेरिवेटिव के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक व्युत्पन्न पाते हैं:
उदाहरण 2किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
समाधान। योग के व्युत्पन्न के रूप में अंतर करें, जिसमें एक स्थिर कारक के साथ दूसरा पद, इसे व्युत्पन्न के संकेत से निकाला जा सकता है:
यदि अभी भी प्रश्न हैं कि कुछ कहाँ से आता है, तो वे, एक नियम के रूप में, डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के सबसे सरल नियमों को पढ़ने के बाद स्पष्ट हो जाते हैं। हम अभी उनके पास जा रहे हैं।
सरल कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका
| 1. एक स्थिरांक (संख्या) का व्युत्पन्न। कोई भी संख्या (1, 2, 5, 200...) जो फलन व्यंजक में है। हमेशा शून्य। यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसकी बहुत बार आवश्यकता होती है | |
| 2. स्वतंत्र चर का व्युत्पन्न। सबसे अधिक बार "एक्स"। हमेशा एक के बराबर। यह भी याद रखना जरूरी है | |
| 3. डिग्री का व्युत्पन्न। समस्याओं को हल करते समय, आपको गैर-वर्गमूलों को एक शक्ति में बदलने की आवश्यकता होती है। | |
| 4. -1 . की घात के लिए एक चर का व्युत्पन्न | |
| 5. वर्गमूल का व्युत्पन्न | |
| 6. साइन व्युत्पन्न | |
| 7. कोसाइन व्युत्पन्न |  |
| 8. स्पर्शरेखा व्युत्पन्न |  |
| 9. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न |  |
| 10. आर्क्सिन का व्युत्पन्न |  |
| 11. चाप कोज्या का व्युत्पन्न |  |
| 12. चाप स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न |  |
| 13. व्युत्क्रम स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न |  |
| 14. प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न | |
| 15. एक लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न |  |
| 16. घातांक का व्युत्पन्न | |
| 17. घातीय फलन का व्युत्पन्न |
विभेदन नियम
| 1. योग या अंतर का व्युत्पन्न |  |
| 2. उत्पाद का व्युत्पन्न |  |
| 2ए. एक स्थिर कारक से गुणा किए गए व्यंजक का व्युत्पन्न | |
| 3. भागफल का व्युत्पन्न |  |
| 4. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न |  |
नियम 1यदि कार्य
किसी बिंदु पर अलग-अलग होते हैं, फिर उसी बिंदु पर कार्य
तथा
वे। फलनों के बीजीय योग का अवकलज इन फलनों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।
परिणाम। यदि दो अवकलनीय फलन एक अचर से भिन्न हैं, तो उनके अवकलज हैं, अर्थात।
नियम 2यदि कार्य
किसी बिंदु पर अवकलनीय होते हैं, तो उनका गुणनफल भी उसी बिंदु पर अवकलनीय होता है
तथा
वे। दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न इन कार्यों में से प्रत्येक के उत्पादों के योग और दूसरे के व्युत्पन्न के बराबर है।
परिणाम 1. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है:
परिणाम 2. कई अलग-अलग कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न प्रत्येक कारक और अन्य सभी के व्युत्पन्न के उत्पादों के योग के बराबर है।
उदाहरण के लिए, तीन गुणकों के लिए:
नियम 3यदि कार्य
किसी बिंदु पर अलग-अलग तथा , तो इस बिंदु पर उनका भागफल भी अवकलनीय है।यू/वी, और
वे। दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है जिसका अंश हर के उत्पादों और अंश और अंश के व्युत्पन्न और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और हर पूर्व अंश का वर्ग होता है .
अन्य पृष्ठों पर कहां देखें
वास्तविक समस्याओं में उत्पाद के व्युत्पन्न और भागफल को खोजने पर, एक साथ कई विभेदन नियमों को लागू करना हमेशा आवश्यक होता है, इसलिए इन डेरिवेटिव पर अधिक उदाहरण लेख में हैं।"एक उत्पाद और एक भागफल का व्युत्पन्न".
टिप्पणी।आपको एक स्थिरांक (अर्थात एक संख्या) को योग में एक पद के रूप में और एक स्थिर गुणनखंड के रूप में भ्रमित नहीं करना चाहिए! एक पद के मामले में, इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, और एक स्थिर कारक के मामले में, इसे डेरिवेटिव के संकेत से निकाल दिया जाता है। यह एक सामान्य गलती है जो डेरिवेटिव के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में होती है, लेकिन जैसा कि औसत छात्र कई एक-दो-घटक उदाहरणों को हल करता है, यह गलती अब नहीं होती है।
और यदि, किसी उत्पाद या भागफल में अंतर करते समय, आपके पास एक पद है तुम"वी, जिसमें तुम- एक संख्या, उदाहरण के लिए, 2 या 5, यानी एक स्थिर, तो इस संख्या का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होगा और इसलिए, पूरा पद शून्य के बराबर होगा (ऐसे मामले का विश्लेषण उदाहरण 10 में किया गया है) .
एक अन्य सामान्य गलती एक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का यांत्रिक समाधान है। इसीलिए एक जटिल कार्य का व्युत्पन्नएक अलग लेख के लिए समर्पित। लेकिन पहले हम सरल फलनों के अवकलज ज्ञात करना सीखेंगे।
साथ ही, आप भावों के परिवर्तन के बिना नहीं कर सकते। ऐसा करने के लिए, आपको नए विंडोज़ मैनुअल में खोलने की आवश्यकता हो सकती है शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियातथा भिन्न के साथ क्रिया .
यदि आप शक्तियों और जड़ों के साथ डेरिवेटिव के समाधान की तलाश में हैं, यानी, जब फ़ंक्शन जैसा दिखता है 
, फिर पाठ का पालन करें " शक्तियों और जड़ों के साथ अंशों के योग का व्युत्पन्न"।
यदि आपके पास कोई कार्य है जैसे 
, तो आप "सरल त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न" पाठ में हैं।
चरण-दर-चरण उदाहरण - व्युत्पन्न कैसे खोजें
उदाहरण 3किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
समाधान। हम फ़ंक्शन की अभिव्यक्ति के कुछ हिस्सों को निर्धारित करते हैं: संपूर्ण अभिव्यक्ति उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है, और इसके कारक योग होते हैं, जिनमें से दूसरे शब्दों में से एक में एक स्थिर कारक होता है। हम उत्पाद भेदभाव नियम लागू करते हैं: दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न इन कार्यों में से प्रत्येक के उत्पादों के योग और दूसरे के व्युत्पन्न के बराबर है:
इसके बाद, हम योग के विभेदन के नियम को लागू करते हैं: कार्यों के बीजीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्न के बीजीय योग के बराबर होता है। हमारे मामले में, प्रत्येक योग में, दूसरा पद एक ऋण चिह्न के साथ। प्रत्येक योग में, हम दोनों एक स्वतंत्र चर देखते हैं, जिसका व्युत्पन्न एक के बराबर होता है, और एक स्थिरांक (संख्या), जिसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है। तो, "x" एक में बदल जाता है, और माइनस 5 - शून्य में। दूसरे व्यंजक में, "x" को 2 से गुणा किया जाता है, इसलिए हम "x" के अवकलज के समान इकाई से दो गुणा करते हैं। हमें डेरिवेटिव के निम्नलिखित मूल्य मिलते हैं:
हम पाए गए डेरिवेटिव को उत्पादों के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक संपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:
उदाहरण 4किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
समाधान। हमें भागफल का अवकलज ज्ञात करना है। हम एक भागफल को अलग करने के लिए सूत्र लागू करते हैं: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है जिसका अंश हर के उत्पादों और अंश और अंश के व्युत्पन्न और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और भाजक पूर्व अंश का वर्ग है। हम पाते हैं:
हम पहले ही उदाहरण 2 में अंश में कारकों का व्युत्पन्न पा चुके हैं। आइए यह भी न भूलें कि उत्पाद, जो वर्तमान उदाहरण में अंश में दूसरा कारक है, को ऋण चिह्न के साथ लिया गया है:
यदि आप ऐसी समस्याओं के समाधान की तलाश में हैं जिसमें आपको किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता है, जहां जड़ों और डिग्री का निरंतर ढेर होता है, जैसे कि, उदाहरण के लिए, 
फिर कक्षा में स्वागत है "शक्तियों और जड़ों के साथ अंशों के योग का व्युत्पन्न" .
यदि आपको ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्नों के बारे में अधिक जानने की आवश्यकता है, अर्थात, जब फलन ऐसा दिखता है , तो आपके पास एक सबक है "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव" .
उदाहरण 5किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
समाधान। इस फ़ंक्शन में, हम एक उत्पाद देखते हैं, जिनमें से एक कारक स्वतंत्र चर का वर्गमूल है, जिसके व्युत्पन्न के साथ हमने खुद को डेरिवेटिव की तालिका में परिचित किया है। उत्पाद विभेदन नियम और वर्गमूल के व्युत्पन्न के सारणीबद्ध मान के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:
उदाहरण 6किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
समाधान। इस फलन में हम भागफल देखते हैं, जिसका लाभांश स्वतंत्र चर का वर्गमूल होता है। भागफल के विभेदन के नियम के अनुसार, जिसे हमने उदाहरण 4 में दोहराया और लागू किया, और वर्गमूल के व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान, हम प्राप्त करते हैं:
अंश में भिन्न से छुटकारा पाने के लिए अंश और हर को से गुणा करें।
