स्थानीय अधिकतम। कई चर के एक समारोह के स्थानीय एक्स्ट्रेमा के बिंदुओं का निर्धारण

स्थानीय अधिकतम

स्थानीय अधिकतम

(स्थानीय अधिकतम)किसी फ़ंक्शन का मान जो उसके तर्क या तर्कों के सेट के किसी भी आसन्न मान से अधिक है, डाई/डीएक्स= 0 स्थानीय अधिकतम तक पहुँचने के लिए एक आवश्यक शर्त है वाई = एफ (एक्स);इस शर्त के तहत, स्थानीय अधिकतम प्राप्त करने के लिए पर्याप्त शर्त है d2y/dx2 0. यदि कोई मान नहीं है तो स्थानीय अधिकतम भी पूर्ण अधिकतम हो सकता है एक्स,जिसके अंतर्गत परअधिक। हालाँकि, यह हमेशा ऐसा नहीं हो सकता है। समारोह पर विचार करें y = x3–3x.dy/dx = 0 कब x2=एक; तथा d2y/dx2=6x। परपर अधिकतम है एक्स = - 1, लेकिन यह केवल एक स्थानीय है, पूर्ण अधिकतम नहीं है, क्योंकि परपर्याप्त बड़ा सकारात्मक मान दिए जाने पर असीम रूप से बड़ा हो सकता है एक्स. यह भी देखें: अधिकतम लेख के लिए आंकड़ा।

अर्थव्यवस्था। शब्दकोष। - एम .: "इन्फ्रा-एम", पब्लिशिंग हाउस "वेस मीर"। जे ब्लैक। सामान्य संपादकीय स्टाफ: अर्थशास्त्र के डॉक्टर ओसाचया आई.एम.. 2000 .

आर्थिक शब्दकोश. 2000 .

देखें कि "LOCAL MAXIMUM" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

स्थानीय अधिकतम- - [एएस गोल्डबर्ग। अंग्रेजी रूसी ऊर्जा शब्दकोश। 2006] विषय ऊर्जा सामान्य रूप से EN स्थानीय अधिकतम ... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

स्थानीय अधिकतम- लोकलुसिस मैक्सिमुमास स्थिति के रूप में टी sritis automatika atitikmenys: engl। स्थानीय अधिकतम वोक। लोकलमैक्सिमम, एन रूस। स्थानीय अधिकतम, एम प्रांक। अधिकतम स्थानीय, मी… Automatikos टर्मिन odynas

स्थानीय अधिकतम- वियतनामी स्मेल, स्थिति के रूप में टी sritis fizika atitikmenys: angl। स्थानीय अधिकतम; स्थानीय शिखर वोक। स्थान अधिकतम, n rus. स्थानीय अधिकतम, एम प्रांक। अधिकतम स्थानीय, मी; तस्वीर स्थानीय, मी ... फ़िज़िकोस टर्मिन, odynas

स्थानीय अधिकतम, स्थानीय न्यूनतम- (स्थानीय अधिकतम, स्थानीय न्यूनतम) फंक्शन एक्सट्रीमम देखें... आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

- (अधिकतम) फ़ंक्शन का उच्चतम मान जो इसके तर्कों के किसी भी मूल्य के लिए लेता है। अधिकतम स्थानीय या निरपेक्ष हो सकता है। उदाहरण के लिए, फलन y=1–x2 का अधिकतम अधिकतम y=1 x=0 पर है; x का कोई अन्य मान नहीं है कि ... ... आर्थिक शब्दकोश

- (स्थानीय न्यूनतम) फ़ंक्शन का मान, जो इसके तर्क या तर्कों के सेट के किसी भी पड़ोसी मान से कम है, dy/dx = 0, स्थानीय न्यूनतम y=f(x) प्राप्त करने के लिए एक आवश्यक शर्त है; इस शर्त के अधीन, पर्याप्त ...... आर्थिक शब्दकोश

गणित में चरम (लैटिन चरम चरम) किसी दिए गए सेट पर किसी फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान है। जिस बिंदु पर चरम पर पहुंच जाता है उसे चरम बिंदु कहा जाता है। तदनुसार, यदि न्यूनतम चरम बिंदु पर पहुंच गया है ... ... विकिपीडिया

स्थानीय खोज एल्गोरिदम एल्गोरिदम का एक समूह है जिसमें खोज केवल वर्तमान स्थिति के आधार पर की जाती है, और पहले से पारित राज्यों को ध्यान में नहीं रखा जाता है और याद नहीं किया जाता है। खोज का मुख्य लक्ष्य ... ... विकिपीडिया . के लिए इष्टतम पथ खोजना नहीं है

- (वैश्विक अधिकतम) फ़ंक्शन का मान, किसी अन्य तर्क मान के लिए लिए गए उसके मानों के बराबर या उससे अधिक। एक तर्क के अधिकतम कार्य के लिए एक पर्याप्त शर्त, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि इसका पहला व्युत्पन्न ... ... आर्थिक शब्दकोश

- (इंग्लैंड। प्रवृत्ति दिशा, प्रवृत्ति) दिशा, राजनीतिक प्रक्रिया के विकास की प्रवृत्ति, घटना। एक गणितीय अभिव्यक्ति है। प्रवृत्ति (प्रवृत्ति) की सबसे लोकप्रिय परिभाषा डॉव सिद्धांत की परिभाषा है। अपट्रेंड... ... राजनीति विज्ञान। शब्दकोष।

फ़ंक्शन तर्क वृद्धि में वृद्धि करता है, जो शून्य हो जाता है। इसे खोजने के लिए, डेरिवेटिव की तालिका का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, फलन y = x3 का अवकलज y' = x2 के बराबर होगा।

इस व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें (में ये मामला x2=0).

दिए गए चर का मान ज्ञात कीजिए। ये वे मान होंगे जब यह व्युत्पन्न 0 के बराबर होगा। ऐसा करने के लिए, एक्स के बजाय एक्सप्रेशन में मनमानी संख्याएँ बदलें, जिस पर संपूर्ण एक्सप्रेशन शून्य हो जाएगा। उदाहरण के लिए:

2-2x2 = 0
(1-एक्स)(1+एक्स) = 0
x1=1, x2=-1

प्राप्त मूल्यों को समन्वय रेखा पर लागू करें और प्रत्येक प्राप्त के लिए व्युत्पन्न के संकेत की गणना करें। निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं को अंकित किया जाता है, जिन्हें मूल बिंदु के रूप में लिया जाता है। अंतराल में मान की गणना करने के लिए, मानदंड से मेल खाने वाले मनमाना मानों को प्रतिस्थापित करें। उदाहरण के लिए, अंतराल -1 तक के पिछले फ़ंक्शन के लिए, आप मान -2 चुन सकते हैं। -1 से 1 के लिए, आप 0 चुन सकते हैं, और 1 से अधिक मानों के लिए 2 चुनें। इन संख्याओं को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और व्युत्पन्न के चिह्न का पता लगाएं। इस स्थिति में, x = -2 के साथ अवकलज -0.24 के बराबर होगा, अर्थात। ऋणात्मक और इस अंतराल पर ऋण चिह्न होगा। यदि x = 0 है, तो मान 2 के बराबर होगा, और इस अंतराल पर एक चिन्ह लगाया जाता है। यदि x=1, तो व्युत्पन्न भी -0.24 के बराबर होगा और एक ऋण लगाया जाएगा।

यदि, समन्वय रेखा पर एक बिंदु से गुजरते समय, व्युत्पन्न अपना चिह्न माइनस से प्लस में बदल देता है, तो यह एक न्यूनतम बिंदु है, और यदि प्लस से माइनस है, तो यह अधिकतम बिंदु है।

संबंधित वीडियो

उपयोगी सलाह

व्युत्पन्न खोजने के लिए, ऑनलाइन सेवाएं हैं जो आवश्यक मूल्यों की गणना करती हैं और परिणाम प्रदर्शित करती हैं। ऐसी साइटों पर, आप अधिकतम 5 ऑर्डर का व्युत्पन्न पा सकते हैं।

स्रोत:

• डेरिवेटिव की गणना के लिए सेवाओं में से एक
• समारोह का अधिकतम बिंदु

फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदुओं के साथ-साथ न्यूनतम बिंदुओं को चरम बिंदु कहा जाता है। इन बिंदुओं पर, फ़ंक्शन अपना व्यवहार बदलता है। एक्स्ट्रीमा सीमित संख्यात्मक अंतराल पर निर्धारित होते हैं और हमेशा स्थानीय होते हैं।

अनुदेश

स्थानीय एक्स्ट्रेमा को खोजने की प्रक्रिया को एक फ़ंक्शन कहा जाता है और फ़ंक्शन के पहले और दूसरे डेरिवेटिव का विश्लेषण करके किया जाता है। अन्वेषण शुरू करने से पहले, सुनिश्चित करें कि तर्क मानों की निर्दिष्ट श्रेणी अनुमत मानों से संबंधित है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन F=1/x के लिए, तर्क x=0 का मान अमान्य है। या फ़ंक्शन Y=tg(x) के लिए, तर्क का मान x=90° नहीं हो सकता।

सुनिश्चित करें कि पूरे दिए गए अंतराल में Y फ़ंक्शन अलग-अलग है। पहला व्युत्पन्न Y खोजें। यह स्पष्ट है कि स्थानीय अधिकतम के बिंदु तक पहुंचने से पहले, फ़ंक्शन बढ़ता है, और अधिकतम से गुजरते समय, फ़ंक्शन घट जाता है। इसके भौतिक अर्थ में पहला व्युत्पन्न परिवर्तन की दर को दर्शाता है फ़ंक्शन। जबकि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, इस प्रक्रिया की दर एक सकारात्मक मान है। स्थानीय अधिकतम से गुजरने पर, फ़ंक्शन घटने लगता है, और फ़ंक्शन के परिवर्तन की प्रक्रिया की दर नकारात्मक हो जाती है। दर का संक्रमण शून्य के माध्यम से फ़ंक्शन का परिवर्तन स्थानीय अधिकतम के बिंदु पर होता है।

उदाहरण के लिए, -1 से 1 के खंड पर फ़ंक्शन Y \u003d -x² + x + 1 में एक निरंतर व्युत्पन्न Y "\u003d -2x + 1 है। x \u003d 1/2 पर, व्युत्पन्न शून्य है, और जब इस बिंदु से गुजरते हुए, व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न "+" से "-" में बदल जाता है। फ़ंक्शन Y "=-2 का दूसरा व्युत्पन्न। फ़ंक्शन Y=-x²+x+1 का बिंदु-दर-बिंदु ग्राफ़ बनाएं और जांचें कि क्या एब्सिस्सा वाला बिंदु x=1/2 संख्यात्मक अक्ष के दिए गए खंड पर स्थानीय अधिकतम है।

कहा जाता है कि फ़ंक्शन में एक आंतरिक बिंदु होता है
क्षेत्रों डी स्थानीय अधिकतम(न्यूनतम) यदि बिंदु का ऐसा पड़ोस है
, प्रत्येक बिंदु के लिए
जो असमानता को संतुष्ट करता है

यदि फ़ंक्शन बिंदु पर है
स्थानीय अधिकतम या स्थानीय न्यूनतम, तो हम कहते हैं कि यह इस बिंदु पर है स्थानीय चरम(या बस चरम).

प्रमेय (एक चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त) यदि अवकलनीय फलन बिंदु पर चरम सीमा तक पहुँच जाता है
, फिर प्रत्येक प्रथम-क्रम फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न इस बिंदु पर गायब हो जाता है।

वे बिंदु जिन पर प्रथम कोटि के सभी आंशिक अवकलज लुप्त हो जाते हैं, कहलाते हैं समारोह के स्थिर बिंदु
. इन बिंदुओं के निर्देशांक को सिस्टम से हल करके पाया जा सकता है समीकरण

.

एक भिन्न कार्य के मामले में एक चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त को संक्षेप में निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

ऐसे मामले होते हैं जब कुछ बिंदुओं पर कुछ आंशिक डेरिवेटिव के अनंत मूल्य होते हैं या मौजूद नहीं होते हैं (जबकि बाकी शून्य के बराबर होते हैं)। ऐसे बिंदुओं को कहा जाता है समारोह के महत्वपूर्ण बिंदु।इन बिंदुओं को चरम सीमा के साथ-साथ स्थिर लोगों के लिए भी "संदिग्ध" माना जाना चाहिए।

दो चर के एक समारोह के मामले में, एक चरम के लिए आवश्यक शर्त, अर्थात् चरम बिंदु पर आंशिक डेरिवेटिव (अंतर) के शून्य की समानता, एक ज्यामितीय व्याख्या है: सतह पर स्पर्शरेखा विमान
चरम बिंदु पर विमान के समानांतर होना चाहिए
.

20. एक चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें

किसी बिंदु पर एक चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त की पूर्ति वहां एक चरम के अस्तित्व की गारंटी नहीं देती है। एक उदाहरण के रूप में, हम हर जगह अलग-अलग कार्य कर सकते हैं
. इसके आंशिक व्युत्पन्न और फ़ंक्शन दोनों ही बिंदु पर गायब हो जाते हैं
. हालांकि, इस बिंदु के किसी भी पड़ोस में, दोनों सकारात्मक (बड़े .) हैं
) और नकारात्मक (छोटा .)
) इस फ़ंक्शन के मान। इसलिए, इस बिंदु पर, परिभाषा के अनुसार, कोई चरम सीमा नहीं है। इसलिए, पर्याप्त परिस्थितियों को जानना आवश्यक है जिसके तहत एक चरम पर संदेहास्पद बिंदु अध्ययन के तहत कार्य का एक चरम बिंदु है।

दो चरों के एक फलन के मामले पर विचार करें। आइए मान लें कि फ़ंक्शन
परिभाषित, निरंतर, और कुछ बिंदु के पड़ोस में दूसरे क्रम तक और इसमें निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है
, जो फ़ंक्शन का स्थिर बिंदु है
, अर्थात्, शर्तों को पूरा करता है

,
.

आइए हम संकेतन का परिचय दें:

प्रमेय (एक चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें) चलो समारोह
उपरोक्त शर्तों को पूरा करता है, अर्थात्: स्थिर बिंदु के कुछ पड़ोस में अवकलनीय
और बिंदु पर ही दो बार अवकलनीय है
. तो अगर

यदि
फिर समारोह
बिंदु पर
पहुँचती है

स्थानीय अधिकतमपर
तथा

स्थानीय न्यूनतमपर
.

सामान्य तौर पर, एक समारोह के लिए
एक बिंदु पर अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थिति
स्थानीयन्यूनतम(ज्यादा से ज्यादा) है सकारात्मक(नकारात्मक) दूसरे अंतर की निश्चितता।

दूसरे शब्दों में, निम्नलिखित कथन सत्य है।

प्रमेय . यदि बिंदु पर
समारोह के लिए

किसी के लिए एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं
, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन है न्यूनतम(एक जैसा ज्यादा से ज्यादा, यदि
).

उदाहरण 18.किसी फ़ंक्शन के स्थानीय चरम बिंदु खोजें

समाधान. फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न खोजें और उन्हें शून्य के बराबर करें:

इस प्रणाली को हल करते हुए, हमें दो संभावित चरम बिंदु मिलते हैं:

आइए इस फ़ंक्शन के लिए दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

इसलिए, पहले स्थिर बिंदु पर, तथा
इसलिए, इस बिंदु के लिए और अधिक शोध की आवश्यकता है। समारोह मूल्य
इस बिंदु पर शून्य है:
आगे,

पर

एक

पर

इसलिए, बिंदु के किसी भी मोहल्ले में
समारोह
मानों को बड़ा लेता है
, और छोटा
, और इसलिए बिंदु पर
समारोह
, परिभाषा के अनुसार, कोई स्थानीय चरम सीमा नहीं है।

दूसरे स्थिर बिंदु पर



इसलिए, इसलिए, चूंकि
फिर बिंदु पर
फ़ंक्शन में स्थानीय अधिकतम है।

कई चरों के फलन f(x) के लिए, बिंदु x एक सदिश है, f'(x) फलन f(x) के प्रथम अवकलज (ग्रेडिएंट) का सदिश है, f (x) एक सममित आव्यूह है दूसरे आंशिक अवकलजों का (हेस्से मैट्रिक्स - हेसियन) फलन f(x)।
कई चर के एक समारोह के लिए, इष्टतमता की स्थिति निम्नानुसार तैयार की जाती है।
स्थानीय इष्टतमता के लिए एक आवश्यक शर्त। मान लीजिए f(x) बिंदु x * R n पर अवकलनीय है। यदि x * एक स्थानीय चरम बिंदु है, तो f'(x *) = 0.
पहले की तरह, ऐसे बिंदु जो समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान हैं, स्थिर कहलाते हैं। स्थिर बिंदु x * की प्रकृति हेसियन मैट्रिक्स f′ (x) की साइन-निश्चितता से संबंधित है।
मैट्रिक्स ए की साइन-निश्चितता द्विघात रूप के संकेतों पर निर्भर करती है Q(α)=< α A, α >सभी शून्येतर α∈R n के लिए।
यहाँ और आगे के माध्यम से सदिशों x और y के अदिश गुणन को निरूपित किया जाता है। परिभाषा से,

एक मैट्रिक्स ए सकारात्मक (गैर-नकारात्मक) निश्चित है यदि Q(α)>0 (Q(α)≥0) सभी गैर-शून्य α∈R n के लिए; नकारात्मक (गैर-सकारात्मक) निश्चित अगर Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 कुछ शून्येतर α∈R n और Q(α) के लिए<0 для остальных ненулевых α∈R n .
स्थानीय इष्टतमता के लिए पर्याप्त स्थिति। मान लीजिए f(x) बिंदु x * R n , और f'(x *)=0 पर दो बार अवकलनीय है, अर्थात। एक्स * - स्थिर बिंदु। फिर, यदि मैट्रिक्स f (x *) धनात्मक (ऋणात्मक) निश्चित है, तो x * एक स्थानीय न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु है; यदि मैट्रिक्स f′′(x *) अनिश्चित है, तो x * एक सैडल बिंदु है।
यदि मैट्रिक्स f′′(x *) गैर-ऋणात्मक (गैर-सकारात्मक) निश्चित है, तो स्थिर बिंदु x * की प्रकृति का निर्धारण करने के लिए, उच्च-क्रम डेरिवेटिव का अध्ययन आवश्यक है।
मैट्रिक्स की साइन-निश्चितता की जांच करने के लिए, एक नियम के रूप में, सिल्वेस्टर मानदंड का उपयोग किया जाता है। इस मानदंड के अनुसार, एक सममित मैट्रिक्स ए सकारात्मक निश्चित है यदि और केवल अगर उसके सभी कोणीय नाबालिग सकारात्मक हैं। इस मामले में, मैट्रिक्स ए का कोणीय नाबालिग मैट्रिक्स ए के तत्वों से निर्मित मैट्रिक्स का निर्धारक है, जो समान (और पहली) संख्याओं के साथ पंक्तियों और स्तंभों के चौराहे पर खड़ा होता है। नकारात्मक निश्चितता के लिए सममित मैट्रिक्स ए की जांच करने के लिए, सकारात्मक निश्चितता के लिए मैट्रिक्स (-ए) की जांच करनी चाहिए।
तो, कई चर के एक समारोह के स्थानीय एक्स्ट्रेमा के बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए एल्गोरिदम इस प्रकार है।
1. f′(x) ज्ञात कीजिए।
2. सिस्टम हल हो गया है

नतीजतन, स्थिर बिंदु x i की गणना की जाती है।
3. f′′(x) खोजें, i=1 सेट करें।
4. f′′(x i) ज्ञात कीजिए
5. मैट्रिक्स f′′(x i) के कोणीय अवयस्कों की गणना की जाती है। यदि सभी कोणीय अवयस्क गैर-शून्य नहीं हैं, तो स्थिर बिंदु x i की प्रकृति का निर्धारण करने के लिए, उच्च-क्रम डेरिवेटिव का अध्ययन आवश्यक है। इस मामले में, आइटम 8 में संक्रमण किया जाता है।
अन्यथा, चरण 6 पर जाएँ।
6. कोणीय अवयस्क f′′(x i) के संकेतों का विश्लेषण किया जाता है। यदि f′′(x i) धनात्मक निश्चित है, तो x i एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है। इस मामले में, आइटम 8 में संक्रमण किया जाता है।
अन्यथा, आइटम 7 पर जाएँ।
7. मैट्रिक्स -f′′(x i) के कोणीय अवयस्कों की गणना की जाती है और उनके संकेतों का विश्लेषण किया जाता है।
यदि -f′′(x i) - सकारात्मक निश्चित है, तो f′′(x i) ऋणात्मक निश्चित है और x i एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
अन्यथा, f′′(x i) अनिश्चित है और x i एक सैडल बिंदु है।
8. सभी स्थिर बिन्दुओं i=N की प्रकृति के निर्धारण की शर्त की जाँच की जाती है।
यदि यह संतुष्ट है, तो गणना पूरी हो गई है।
यदि शर्त पूरी नहीं होती है, तो i=i+1 मान लिया जाता है और चरण 4 में संक्रमण किया जाता है।

उदाहरण 1। फलन f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 के स्थानीय एक्स्ट्रेमा के बिंदु निर्धारित करें









चूँकि सभी कोने वाले अवयस्क गैर-शून्य हैं, x 2 का वर्ण f′′(x) द्वारा निर्धारित किया जाता है।
चूँकि आव्यूह f′′(x 2) धनात्मक निश्चित है, x 2 एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
उत्तर: फलन f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 का स्थानीय न्यूनतम बिंदु x = (5/3; 8/3) है।

$ई \ सबसेट \ mathbb (आर) ^ (एन) $। ऐसा कहा जाता है कि $f$ है स्थानीय अधिकतमबिंदु $x_(0) \in E$ पर यदि बिंदु $x_(0)$ का पड़ोस $U$ मौजूद है, जैसे कि सभी $x \in U$ के लिए असमानता $f\left(x\right) \leqslant f \बाएं(x_(0)\right)$.

स्थानीय अधिकतम कहा जाता है कठोर , अगर पड़ोस $U$ को इस तरह से चुना जा सकता है कि सभी $x \in U$ के लिए $x_(0)$ से अलग हो तो $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

परिभाषा
$f$ एक खुले सेट $E \subset \mathbb(R)^(n)$ पर एक वास्तविक कार्य होने दें। ऐसा कहा जाता है कि $f$ है स्थानीय न्यूनतमबिंदु $x_(0) \in E$ पर यदि बिंदु $x_(0)$ का पड़ोस $U$ मौजूद है, जैसे कि सभी $x \in U$ के लिए असमानता $f\left(x\right) \geqslant f \बाएं(x_(0)\दाएं)$.

एक स्थानीय न्यूनतम को सख्त कहा जाता है यदि पड़ोस $U$ को चुना जा सके ताकि सभी $x \in U$ के लिए $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ से अलग हो) (0)\दाएं)$.

एक स्थानीय चरम सीमा स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम की अवधारणाओं को जोड़ती है।

प्रमेय (एक भिन्न कार्य के चरम के लिए आवश्यक शर्त)
$f$ एक खुले सेट $E \subset \mathbb(R)^(n)$ पर एक वास्तविक कार्य होने दें। यदि बिंदु $x_(0) \in E$ पर फ़ंक्शन $f$ में इस बिंदु पर एक स्थानीय चरम सीमा भी है, तो $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ शून्य अंतर की समानता इस तथ्य के बराबर है कि सभी शून्य के बराबर हैं, अर्थात। $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

एक आयामी मामले में, यह . निरूपित $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, जहां $h$ एक मनमाना वेक्टर है। फ़ंक्शन $\phi$ को $t$ के पर्याप्त रूप से छोटे मॉड्यूल मानों के लिए परिभाषित किया गया है। इसके अलावा, के संबंध में, यह अलग-अलग है, और $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$।
मान लें कि $f$ का स्थानीय अधिकतम x $0$ है। इसलिए, फ़ंक्शन $\phi$ पर $t = 0$ का स्थानीय अधिकतम है और, Fermat के प्रमेय के अनुसार, $(\phi)' \left(0\right)=0$।
तो, हमें मिला कि $df \left(x_(0)\right) = 0$, यानी। फ़ंक्शन $f$ बिंदु पर $x_(0)$ किसी भी वेक्टर $h$ पर शून्य के बराबर है।

परिभाषा
जिन बिंदुओं पर अंतर शून्य के बराबर है, अर्थात। वे जिसमें सभी आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं, स्थिर कहलाते हैं। महत्वपूर्ण बिंदुफ़ंक्शन $f$ वे बिंदु हैं जिन पर $f$ अवकलनीय नहीं है, या यह शून्य के बराबर है। यदि बिंदु स्थिर है, तो यह अभी तक इस बात का पालन नहीं करता है कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का चरम है।

उदाहरण 1
चलो $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$। फिर $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, इसलिए $\बाएं(0,0\दाएं)$ एक स्थिर बिंदु है, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का कोई चरम नहीं है। वास्तव में, $f \बाएं(0,0\दाएं) = 0$, लेकिन यह देखना आसान है कि बिंदु के किसी भी पड़ोस में $\बाएं(0,0\दाएं)$ फ़ंक्शन सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान लेता है।

उदाहरण 2
फ़ंक्शन $f \left(x,y\right) = x^(2) - y^(2)$ में एक स्थिर बिंदु के रूप में निर्देशांक की उत्पत्ति होती है, लेकिन यह स्पष्ट है कि इस बिंदु पर कोई चरम नहीं है।

प्रमेय (एक चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति)।
एक खुले सेट $E \subset \mathbb(R)^(n)$ पर एक फ़ंक्शन $f$ को लगातार दो बार अलग-अलग होने दें। मान लीजिए $x_(0) \in E$ एक स्थिर बिंदु है और $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ तब

1. यदि $Q_(x_(0))$ – , तो फ़ंक्शन $f$ बिंदु पर $x_(0)$ में एक स्थानीय चरम सीमा होती है, अर्थात्, न्यूनतम यदि फॉर्म सकारात्मक-निश्चित है और अधिकतम यदि फॉर्म है नकारात्मक-निश्चित;
2. यदि द्विघात रूप $Q_(x_(0))$ अनिश्चित है, तो बिंदु $x_(0)$ पर फ़ंक्शन $f$ का कोई चरम नहीं है।

आइए टेलर सूत्र के अनुसार विस्तार का उपयोग करें (12.7 पृष्ठ 292)। इस बात को ध्यान में रखते हुए कि $x_(0)$ बिंदु पर पहला ऑर्डर आंशिक डेरिवेटिव शून्य के बराबर है, हमें $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) मिलता है )\दाएं) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ आंशिक x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ जहां $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, और $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ $h \rightarrow 0$ के लिए, तो दायां पक्ष पर्याप्त रूप से छोटी लंबाई के किसी भी वेक्टर $h$ के लिए सकारात्मक है।
इस प्रकार, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि बिंदु के कुछ पड़ोस में $x_(0)$ असमानता $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ संतुष्ट है यदि केवल $ x \neq x_ (0)$ (हम $x=x_(0)+h$\right डालते हैं)। इसका मतलब है कि बिंदु $x_(0)$ पर फ़ंक्शन का एक सख्त स्थानीय न्यूनतम है, और इस प्रकार हमारे प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है।
अब मान लीजिए कि $Q_(x_(0))$ एक अनिश्चित रूप है। फिर वेक्टर हैं $h_(1)$, $h_(2)$ जैसे कि $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \बाएं(h_(2)\दाएं)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$। फिर हमें मिलता है $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ बाएँ [ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ पर्याप्त रूप से छोटे $t>0$ के लिए, दाईं ओर है सकारात्मक। इसका मतलब यह है कि बिंदु के किसी भी पड़ोस में $x_(0)$ फ़ंक्शन $f$ मान लेता है $f \left(x\right)$ $f \left(x_(0)\right)$ से अधिक।
इसी तरह, हम प्राप्त करते हैं कि बिंदु $x_(0)$ के किसी भी पड़ोस में फ़ंक्शन $f$ $f \left(x_(0)\right)$ से कम मान लेता है। यह, पिछले एक के साथ, इसका मतलब है कि फ़ंक्शन $f$ में बिंदु $x_(0)$ पर एक चरम सीमा नहीं है।

आइए हम इस प्रमेय के एक विशेष मामले पर विचार करें $f \left(x,y\right)$ बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित दो चर के $f \left(x_(0),y_(0)\right) $ और पहले और दूसरे ऑर्डर के निरंतर आंशिक डेरिवेटिव। चलो $\left(x_(0),y_(0)\right)$ एक स्थिर बिंदु बनें और $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \बाएं(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right )। $$ फिर पिछला प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है।

प्रमेय
चलो $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) - a_(12)^2$। फिर:

1. यदि $\Delta>0$, तो फ़ंक्शन $f$ में बिंदु $\left(x_(0),y_(0)\right)$ पर एक स्थानीय चरम सीमा होती है, अर्थात्, न्यूनतम यदि $a_(11)> 0$ , और अधिकतम यदि $a_(11)<0$;
2. अगर $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

समस्या समाधान के उदाहरण

कई चर के एक समारोह के चरम को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम स्थिर बिंदु पाते हैं;
2. हम सभी स्थिर बिंदुओं पर दूसरे क्रम का अंतर पाते हैं
3. कई चर के एक फ़ंक्शन के चरम के लिए पर्याप्त स्थिति का उपयोग करते हुए, हम प्रत्येक स्थिर बिंदु पर दूसरे क्रम के अंतर पर विचार करते हैं

1. फ़ंक्शन को चरम $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ तक जांचें।
   समाधान

   पहले क्रम का आंशिक व्युत्पन्न खोजें: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial) f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ सिस्टम को लिखें और हल करें: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\ frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ दूसरे समीकरण से, हम $x=4 \cdot y^(2)$ व्यक्त करते हैं - पहले समीकरण में स्थानापन्न करें: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ दाएं )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) - 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) - y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ परिणामस्वरूप, 2 स्थिर अंक प्राप्त होते हैं:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \बाएं(0, 0\दाएं)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \बाएं(\frac(1)(2), 1\right)$
   आइए हम पर्याप्त चरम स्थिति की पूर्ति की जाँच करें:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) बिंदु के लिए $M_(1)= \बाएं(0,0\दाएं)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) बिंदु $M_(2)$ के लिए:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) - C_(2)^(2) = 108>0$, इसलिए बिंदु $M_(2)$ पर एक चरम सीमा है, और चूंकि $A_(2)>0 $, तो यह न्यूनतम है।
   उत्तर: बिंदु $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ फंक्शन $f$ का न्यूनतम बिंदु है।
   

2. चरम $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ के लिए फलन की जांच करें।
   समाधान

   स्थिर बिंदु खोजें: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x - 2.$$
   सिस्टम लिखें और हल करें: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ दायां तीर \ शुरू (केस) 2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(मामलों) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ एक स्थिर बिंदु है।
   आइए पर्याप्त चरम स्थिति की पूर्ति की जांच करें: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; बी=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   उत्तर: कोई एक्स्ट्रेमा नहीं हैं।
   

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आपके द्वारा अभी पढ़े गए विषय के बारे में अपने ज्ञान का परीक्षण करने के लिए इस प्रश्नोत्तरी में भाग लें, कई चर के कार्यों की स्थानीय चरम सीमा।

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1. उत्तर के साथ
2. बाहर की जाँच

4 का कार्य 1

1 .

अंकों की संख्या: 1

एक्स्ट्रेमा के लिए $f$ फ़ंक्शन की जांच करें: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

सही ढंग से


ठीक से नहीं


1. 4 का टास्क 2

   2 .

   अंकों की संख्या: 1

   क्या फ़ंक्शन $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ है