Tasapinnaga 2 risti olevat sirget nimetatakse. Perpendikulaarne sirge ja tasapind, sirge ja tasandi ristimärk ja tingimused

Selles artiklis räägime sirge ja tasandi ristist. Esiteks on antud tasapinnaga risti oleva sirge definitsioon, graafiline illustratsioon ja näide ning ristsirge ja tasandi tähistus. Pärast seda formuleeritakse sirge ja tasandi ristimärk. Edasi saadakse tingimused, mis võimaldavad tõestada sirge ja tasandi risti, kui sirge ja tasapind on antud mingi võrrandiga ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis kolmemõõtmelises ruumis. Kokkuvõtteks on näidatud tüüpiliste näidete ja probleemide üksikasjalikud lahendused.

Leheküljel navigeerimine.

Perpendikulaarne joon ja tasapind – põhiteave.

Soovitame esmalt korrata ristsirgete definitsiooni, kuna tasapinnaga risti oleva sirge definitsioon antakse läbi joonte risti.

Definitsioon.

Nad ütlevad seda tasapinnaga risti asetsev sirgjoon, kui see on risti mis tahes sellel tasapinnal asuva sirgega.

Võib ka öelda, et tasapind on joonega risti või sirge ja tasapind on risti.

Perpendikulaarsuse märkimiseks kasutage vormi ikooni "". See tähendab, et kui sirge c on tasapinnaga risti, siis saame lühidalt kirjutada .

Tasapinnaga risti oleva sirge näitena võib tuua sirge, mida mööda ruumi kaks külgnevat seina ristuvad. See joon on tasapinna ja lae tasapinnaga risti. Jõusaalis olevat köit võib vaadelda ka sirgjoonena, mis on risti põranda tasapinnaga.

Artikli selle lõigu kokkuvõtteks märgime, et kui joon on tasapinnaga risti, siis loetakse sirge ja tasapinna vaheliseks nurgaks üheksakümmend kraadi.

Sirge ja tasandi risti - märk ja perpendikulaarsuse tingimused.

Praktikas tekib sageli küsimus: "Kas antud sirge ja tasapind on risti?" Sellele vastamiseks on olemas sirge ja tasandi ristuvuse piisav tingimus, ehk selline tingimus, mille täitmine garanteerib sirge ja tasandi risti. Seda piisavat tingimust nimetatakse sirge ja tasandi perpendikulaarsuse märgiks. Sõnastame selle teoreemi kujul.

Teoreem.

Et antud sirge oleks tasapinnaga risti, piisab, kui sirge on risti kahe sellel tasapinnal paikneva lõikuva sirgega.

Sirge ja tasandi ristumärgi tõestust näed 10.-11.klasside geomeetriaõpikus.

Sirge ja tasandi perpendikulaarsuse määramise ülesannete lahendamisel kasutatakse sageli ka järgmist teoreemi.

Teoreem.

Kui üks kahest paralleelsest sirgest on tasapinnaga risti, siis on ka teine ​​sirge tasandiga risti.

Koolis käsitletakse palju ülesandeid, mille lahendamiseks kasutatakse sirge ja tasandi ristimärki ning viimast teoreemi. Siin me neil pikemalt ei peatu. Artikli selles osas keskendume sirge ja tasandi risti olemise järgmise vajaliku ja piisava tingimuse rakendamisele.

Selle tingimuse saab ümber kirjutada järgmisel kujul.

Lase on sirge a suunav vektor , ja on tasapinna normaalvektor. Sirge a ja tasapinna perpendikulaarsuse jaoks on vajalik ja piisav, et ja : , kus t on mingi reaalarv.

Selle sirge ja tasapinna risti olemise vajaliku ja piisava tingimuse tõestus põhineb sirge suunavektori ja tasandi normaalvektori definitsioonidel.

Ilmselgelt on seda tingimust mugav kasutada sirge ja tasapinna perpendikulaarsuse tõestamiseks, kui sirge suunavektori koordinaadid ja tasapinna normaalvektori koordinaadid fikseeritud kolmemõõtmelises ruumis on kergesti leitavad. . See kehtib juhtude kohta, kus on antud punktide koordinaadid, mida tasand ja sirge läbivad, kui ka juhtudel, kui sirge on määratud mõne sirge võrrandiga ruumis ja tasapind on antud mingi tasandi võrrand.

Vaatame mõnda näidet.

Näide.

Tõesta, et sirge on risti ja lennukid.

Lahendus.

Teame, et ruumi sirge kanooniliste võrrandite nimetajates olevad arvud on selle sirge suunamisvektori vastavad koordinaadid. Sellel viisil, - suunavektor sirge .

Tasapinna üldvõrrandi muutujate x, y ja z koefitsiendid on selle tasandi normaalvektori koordinaadid, st. on tasapinna normaalvektor.

Kontrollime sirge ja tasandi ristuvuse vajaliku ja piisava tingimuse täitmist.

Sest , siis vektorid ja on seotud seosega , see tähendab, et nad on kollineaarsed. Seetõttu sirgjoon tasapinnaga risti.

Näide.

Kas jooned on risti? ja lennuk.

Lahendus.

Leiame antud sirge suunavektori ja tasapinna normaalvektori, et kontrollida sirge ja tasandi risti olemise vajaliku ja piisava tingimuse täitmist.

Suunavektor sirge on

Hoone sirge, mis on risti antud tasapinnaga väljaspool seda tasapinda võetud punktist.
Lase a- tasapind, A - punkt, millest risti tuleks langetada. Joonistage tasapinnal sirgjoon a. Läbi punkti A ja sirge a joonistada lennuk b(joon ja punkt määratlevad tasapinna ja ainult üks). Lennukis b langeb punktist A sirgele a risti AB. Tasapinna punktist B a taastada risti ja tähistada joont, millel see risti asetseb Koos. Läbi lõigu AB ja sirge Koos joonistada lennuk g(kaks ristuvat joont määratlevad tasapinna ja ainult üks). Lennukis g langeb punktist A sirgele Koos risti vahelduvvoolu. Tõestame, et lõik AC on tasandiga risti b. Tõestus. Otse a risti sirgjoontega Koos ja AB (konstruktsiooni järgi), mis tähendab, et see on tasapinna endaga risti g, milles asuvad need kaks ristuvat sirget (sirge ja tasandi risti). Ja kuna see on risti selle tasapinnaga, siis on see ka risti mis tahes sirgega sellel tasapinnal, mis tähendab sirget a vahelduvvooluga risti. Sirge AC on risti kahe tasapinnal α asuva sirgega: Koos(ehituse järgi) ja a(vastavalt tõestatule) tähendab, et see on risti tasapinnaga α (joone ja tasandi risti)

1. teoreem . Kui kaks lõikuvat sirget on paralleelsed vastavalt kahe risti asetseva sirgega, siis on ka nemad risti.
Tõestus. Lase a ja b- risti asetsevad jooned a 1 ja b 1 - nendega paralleelsed ristuvad sirged. Tõestame, et read a 1 ja b 1 on risti.
Kui sirge a, b, a 1 ja b 1 asuvad samal tasapinnal, siis on neil teoreemis näidatud omadus, nagu on teada planimeetriast.
Oletame nüüd, et meie sirged ei asu samal tasapinnal. Siis jooned a ja b asuvad mingil tasapinnal α ja jooned a 1 ja b 1 - mingil tasapinnal β . Tasapindade paralleelsuse alusel on tasandid α ja β paralleelsed. Olgu C sirgete lõikepunkt a ja b, ja С 1 - joonte lõikekohad a 1 ja büks . Joonistage paralleelsete joonte tasapinnale a ja a a ja a 1 punktides A ja A 1 . Paralleelsete joonte tasapinnal b ja b 1 sirge, mis on paralleelne sirgjoonega SS 1 . Ta ületab jooned b ja b 1 punktides B ja B 1 .
Nelinurgad CAA 1 C 1 ja CBB 1 C 1 on rööpkülikukujulised, kuna nende vastasküljed on paralleelsed. Nelinurk ABB 1 A 1 on samuti rööpkülik. Selle küljed AA 1 ja BB 1 on paralleelsed, kuna kumbki on paralleelne sirgega CC 1. Seega asub nelinurk paralleelsirge AA 1 ja BB 1 läbival tasapinnal. Ja see lõikab paralleelseid tasapindu α ja β mööda paralleelseid sirgeid AB ja A 1 B 1.
Kuna rööpküliku vastasküljed on võrdsed, siis AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Kolmanda võrdusmärgi järgi on kolmnurgad ABC ja A 1 B 1 C 1 võrdsed. Niisiis, nurk A 1 C 1 B 1, mis on võrdne nurgaga DIA, on sirge, st. sirge a 1 ja b 1 on risti. Ch.t.d.

Omadused joone ja tasapinnaga risti.
2. teoreem . Kui tasapind on risti ühega kahest paralleelsest sirgest, siis on see risti ka teisega.
Tõestus. Lase a 1 ja a 2 - kaks paralleelset sirget ja α - tasapind, mis on joonega risti aüks . Tõestame, et see tasapind on sirgega risti a 2 .
Joonistage läbi punkti A 2 sirge lõikepunktid a 2 tasapinnaga α suvaline sirge Koos 2 α tasapinnal. Joonistame tasapinnale α läbi punkti A 1 sirge lõikepunkti a 1 tasapinnaga α sirge Koos 1 paralleelselt joonega Koos 2. Alates sirgjoonest a 1 on risti tasapinnaga α, siis joontega a 1 ja Koos 1 on risti. Ja teoreemi 1 järgi nendega paralleelsed ristuvad sirged a 2 ja Koos 2 on samuti risti. Seega otsene a 2 on mis tahes joonega risti Koos 2 α tasapinnal. Ja see tähendab, et otsene a 2 on risti tasapinnaga α . Teoreem on tõestatud.

3. teoreem . Kaks sama tasapinnaga risti olevat sirget on üksteisega paralleelsed.
Meil on tasapind α ja kaks sellega risti olevat sirget a ja b. Tõestame seda a || b.
Joonistage sirgjoon läbi tasapinna joonte lõikepunktide Koos. Märgi järgi saame a ^ c ja b ^ c. Läbi sirgjoonte a ja b joonestame tasapinna (tasapinna määratlevad kaks paralleelset sirget ja pealegi ainult üks). Sellel tasapinnal on meil kaks paralleelset sirget a ja b ja sekant Koos. Kui ühepoolsete sisenurkade summa on 180°, siis on sirged paralleelsed. Meil on just selline juhtum – kaks täisnurka. Sellepärast a || b.

Artiklis tutvustatakse sirge ja tasandi risti kontseptsiooni, antakse sirge, tasandi definitsioon, graafiliselt illustreeritud ning näidatakse risti ja tasandi tähistust. Sõnastame sirge perpendikulaarsuse märgi tasapinnaga. Mõelge tingimustele, mille korral sirgjoon ja tasapind on antud võrranditega tasapinnas ja kolmemõõtmelises ruumis risti. Kõike näidatakse näidetega.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definitsioon

Sirg on tasapinnaga risti kui see on risti mis tahes sellel tasapinnal asuva sirgega.

On tõsi, et tasapind on joonega risti, nagu ka joon tasapinnaga.

Perpendikulaarsust tähistab "⊥". Kui tingimus määrab, et sirge c on risti tasapinnaga γ, siis on tähistus c ⊥ γ.

Näiteks kui joon on tasapinnaga risti, siis on võimalik tõmmata ainult üks joon, mille tõttu ruumi kaks kõrvuti asetsevat seina ristuvad. Joon loetakse lae tasapinnaga risti. Jõusaalis asuvat köit loetakse sirgjooneliseks lõiguks, mis on tasapinnaga risti sel juhul pool.

Kui tasapinnaga on risti asetsev joon, loetakse sirge ja tasapinna vahelist nurka õigeks, see tähendab, et see on 90 kraadi.

Sirge ja tasandi risti - märk ja perpendikulaarsuse tingimused

Perpendikulaarsuse tuvastamise leidmiseks on vaja kasutada sirge ja tasandi ristuvuse piisavat tingimust. See tagab, et joon ja tasapind on risti. Seda tingimust peetakse piisavaks ja seda nimetatakse sirge ja tasandi risti olemise märgiks.

1. teoreem

Et antud sirge oleks tasapinnaga risti, piisab, kui sirge on risti kahe sellel tasapinnal paikneva lõikuva sirgega.

Üksikasjalik tõestus on toodud 10.-11.klassi geomeetriaõpikus. Teoreemi kasutatakse ülesannete lahendamiseks, kus on vaja kindlaks teha sirge ja tasandi risti.

2. teoreem

Eeldusel, et vähemalt üks sirgetest on tasapinnaga paralleelne, loetakse, et ka teine ​​sirge on selle tasapinnaga risti.

Sirge ja tasandi ristimärki on peetud juba kooliajast, mil on vaja lahendada ülesandeid geomeetrias. Vaatleme üksikasjalikumalt veel ühte vajalikku ja piisavat tingimust, mille korral joon ja tasapind on risti.

3. teoreem

Selleks, et sirge a oleks tasandiga γ risti, on vajalik ja piisav tingimus sirge a suunavektori ja tasapinna γ normaalvektori kollineaarsus.

Tõestus

Et a → = (a x , a y , a z) oleks sirge a vektor, kui n → = (n x , n y , n z) oleks tasandi γ normaalvektor, on vaja, et sirge a ja tasapind γ kuuluvad vektorite a → = (a x , a y , a z) ja n → = (n x , n y , n z) kollineaarsuse tingimuse täitmisele. Siit saame, et a → = t n → ⇔ a x = t n x a y = t n y a z = t n z , t on reaalarv.

See tõestus põhineb sirge ja tasandi risti, sirge suunavektori ja tasandi normaalvektori vajalikul ja piisaval tingimusel.

See tingimus on rakendatav sirge ja tasandi ristikujulisuse tõestamiseks, kuna piisab, kui leida sirge suunavektori koordinaadid ja normaalvektori koordinaadid kolmemõõtmelises ruumis ning seejärel teha arvutused. Seda kasutatakse juhtudel, kui sirgjoon on defineeritud ruumilise sirgjoone võrrandiga ja tasapind teatud tüüpi tasandi võrrandiga.

Näide 1

Tõesta, et antud sirge x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 on risti tasapinnaga x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z .

Lahendus

Kanooniliste võrrandite nimetajad on antud sirge suunavektori koordinaadid. Siit saame, et a → = (2 - 1 , 2 , 2 - 7) on sirge x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 suunav vektor.

Tasapinna üldvõrrandis on muutujate x, y, z ees olevad koefitsiendid antud tasandi normaalvektori koordinaadid. Sellest järeldub, et n → = (1 , 2 (2 + 1) , - (5 + 6 2)) on tasandi x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z - 4 = 0 normaalvektor

Tingimuse täitmist on vaja kontrollida. Me saame sellest aru

2 - 1 \u003d t 1 2 \u003d t 2 (2 + 1) 2 \u003d t (- (5 + 6 2)) ⇔ t \u003d 2 - 1, siis vektorid a → ja n → on seotud avaldis a → = ( ​​2 - 1) n → .

See on vektorite kollineaarsus. sellest järeldub, et sirge x 2 - 1 \u003d y - 1 2 \u003d y - 1 2 \u003d z + 2 2 - 7 on risti tasapinnaga x + 2 (2 + 1) y - (5 + 6 2) z - 4 \u003d 0 .

Vastus: joon ja tasapind on risti.

Näide 2

Tehke kindlaks, kas sirge y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 ja tasapind x 1 2 + z - 1 2 = 1 on risti.

Lahendus

Perpendikulaarsuse küsimusele vastamiseks on vajalik, et oleks täidetud vajalik ja piisav tingimus, st esmalt tuleb leida antud sirge vektor ja tasandi normaalvektor.

Sirgelt y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 on näha, et suunavektor a → on tasandi y - 1 = 0 ja x + 4 z - 2 = normaalvektorite korrutis. 0 .

Siit saame, et a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 i → - k → .

Vektori a → = (4 , 0 , - 1) koordinaadid.

Tasapinna võrrand lõikudes x 1 2 + z - 1 2 = 1 on võrdne tasandi 2 x - 2 võrrandiga z - 1 = 0 , mille normaalvektor on võrdne n → = (2 , 0 , -2) .

Peaksite kontrollima vektorite a → = (4 , 0 , - 1) ja n → = (2 , 0 , - 2) kollineaarsust.

Selleks kirjutame:

4 = t 2 0 = t 0 - 1 = t (- 2) ⇔ t = 2 t ∈ R ⇔ t ∈ ∅ t = 1 2

Sellest järeldame, et sirge suunav vektor ei ole kollineaarne tasandi normaalvektoriga. Seega y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 on sirge, mis ei ole tasandiga x 1 2 + z - 1 2 risti.

Vastus: joon ja tasapind ei ole risti.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Planimeetrias lähtutakse perpendikulaari konstrueerimisel sellest, et see ühendab antud punkti ja sellega vaadeldava sirge suhtes sümmeetrilise punkti. Kui tahame moodustada tasandiga risti mõiste, siis võime võtta suvalise punkti, mis asub väljaspool seda tasapinda, peegeldada seda punkti antud tasapinnal nagu peeglis ja ühendada antud punkti selle peegeldusega; siis saame tasapinnaga risti. Tuleb aga märkida, et sirgjoone suhtes peegelduse korral taandus kogu mateeria tasandi paindumiseks mööda etteantud sirget, st liikumiseks, kuigi see tekkis ruumis. Tasapinnas peegeldumine ei taandu enam liikumiseks. Seetõttu on tasandiga risti küsimuse esitamine keerulisem kui joonega risti küsimuse vastav esitamine planimeetrias, see tugineb lugejale teadaolevale.

Definitsioon. Sirget nimetatakse tasapinnaga risti, kui see on risti selle tasapinna mis tahes sirgega.

Kuna kahe ristuva sirge vaheline nurk on definitsiooni järgi võrdne andmetega paralleelsete lõikuvate sirgete vahelise nurgaga, siis sirge a (joonis 337), mis on risti kõigi K-tasandi sirgetega, mis läbivad ristmiku lõikepunkti. joon a K-tasandiga, on samuti risti K-tasandiga. Tõepoolest, see moodustab täisnurga tasapinna mis tahes sirgega, kuna see on risti sellel tasapinnal läbi b-ga paralleelse punkti tõmmatud sirge b.

Tegelikult on sirge ja tasandi risti olemise märk palju lihtsam. Tasapinna kahe ristuva sirgega risti olev sirge on selle tasapinnaga risti.

Tõestus. Laske sisse joonisel fig. 338 sirge a on risti kahe tasapinnal X paikneva lõikuva sirgega. Eespool tehtud märkust silmas pidades võime üldistust kaotamata eeldada, et sirge a läbib sirgetüübi lõikepunkti. Tuleb tõestada, et sirge a on ka risti mis tahes tasapinna sirgega.. Sama märkuse alusel võime eeldada, et sirge läbib punkti . Teeme järgmised abikonstruktsioonid: sirgel a võtame suvalise punkti M ja punkti M teisel pool tasapinda Y punktist kaugusel asuval jätkul. Kolm sirget tasapinnal X lõikame suvalise sirge c mis ei läbi ristumispunkte, tähistame vastavalt P, Q, R Ühendame punktid M ja M punktidega P, Q, R. Kolmnurgad on võrdsed, kuna need on ristkülikukujulised, jalad on ehituselt võrdsed ja jalg on tavaline; järelikult on ka nende hüpotenuusid võrdsed: (võib olla veelgi lihtsam märgata, et MP - MP, nagu kaldus võrdsete projektsioonidega). Segmendid MQ, MQ on samuti võrdsed. Seega on kolmnurgad MPQ ja MPQ kongruentsed (kolmel küljel). Sellest järeldame, et kolmnurgad MQR on võrdsed ja neil on võrdsed nurgad võrdsete külgede MQ ja MQ ning ühise külje QR vahel: (vastavad nurgad võrdsetes kolmnurkades). Nüüd on juba selge, et kolmnurgad on võrdsed kolme küljega). Seega on nurgad MMUR ja võrdsed ning kuna need külgnevad, on igaüks neist õige. Väide on tõestatud.

Mis tahes sirgele saab tõmmata risti tasapinna.

Tõepoolest, võtame suvalise sirge ja selle mis tahes punktis tõmbame sellega kaks perpendikulaari (mis asuvad kahel läbi selle sirge tõmmatud tasapinnal). Nende kaudu, nagu ka kahe ristuva sirge kaudu, läbib tasapind. Eelmise kohaselt toimib see joon selle tasapinnaga risti.

Ülaltoodud arutluskäigust järeldub ka järeldus: kõik sirged, mis on risti antud sirgega ühes selle punktis, asuvad selle sirgega risti ühel tasapinnal.

Tasapinna mis tahes punktis saate seadistada ka sellega risti.

Selleks piisab, kui tõmmata läbi tasapinnal antud punkti kaks sellel tasapinnal asuvat sirget ja seejärel konstrueerida samas punktis kaks joonestatud joontega risti olevat tasapinda. Omades ühist punkti, ristuvad need kaks tasapinda sirgjoonega, mis on samaaegselt risti kahe tasandi ristumisjoonega ja seega risti tasapinna endaga.

2. videotund: Teoreem kolmel ristil. teooria

3. videotund: Teoreem kolmel ristil. Ülesanne

Loeng: Sirge ja tasandi risti, märgid ja omadused; risti ja kaldu; kolme risti teoreem

Meenutagem, mis on üldiselt sirgete risti. Perpendikulaarsed jooned on need, mis lõikuvad 90 kraadise nurga all. Sel juhul võib nendevaheline nurk olla nii ristumiskohas teatud punktis kui ka ristumise korral. Kui mõned sirged lõikuvad täisnurga all, siis võib neid nimetada ka ristsirgeteks, kui paralleeltõlke tõttu kantakse joon teisel sirgel asuvasse punkti.

Definitsioon: Kui sirge on risti mis tahes tasapinnale kuuluva sirgega, siis võib seda lugeda selle tasapinnaga risti.

Tunnusjoon: Kui mingil tasapinnal on kaks risti asetsevat sirget ja mõni kolmas sirge on kummagiga risti, siis on see kolmas sirge tasapinnaga risti.

Omadused:

• Kui mõned sirged on ühe tasapinnaga risti, siis on nad üksteisega paralleelsed.

• Kui on kaks paralleelset tasapinda ja ka mõni sirge, mis on risti ühe tasapinnaga, siis on see ka teisega risti.
• Võib teha ka vastupidise väite: kui teatud sirge on risti kahe erineva tasandiga, siis on sellised tasapinnad tingimata paralleelsed.

kaldus

Kui mingi sirge ühendab suvalise punkti, mis ei asu tasapinnal, ühegi tasapinna punktiga, siis nimetatakse sellist sirget. kaldus.

Pange tähele, et see on kaldu ainult siis, kui selle ja tasapinna vaheline nurk ei ole 90 kraadi.

Joonisel AB on tasapinna suhtes kallutatud α. Sel juhul nimetatakse punkti B kalde aluseks.

Kui joonistada punktist A tasapinnale lõigu, mis moodustab tasapinnaga 90-kraadise nurga, nimetatakse seda lõiku risti. Perpendikulaarset nimetatakse ka väikseimaks kauguseks tasapinnaga.

AC on risti, mis on tõmmatud punktist A tasapinnale α. Punkti C nimetatakse risti aluseks.

Kui joonistame sellel joonisel lõigu, mis ühendab risti (C) aluse kalde (B) alusega, siis nimetatakse saadud lõiku. projektsioon.

Lihtsate konstruktsioonide tulemusena saime täisnurkse kolmnurga. Selles kolmnurgas nimetatakse nurka ABC nurgaks kaldnurga ja projektsiooni vahel.

Kolme risti teoreem