Leidke ellipsoidi peatelje pikkus. Teise järgu read. Ellips ja selle kanooniline võrrand. Ring

11.1. Põhimõisted

Vaatleme teise astme võrranditega määratletud sirgeid praeguste koordinaatide suhtes

Võrrandi koefitsiendid on reaalarvud, kuid vähemalt üks arvudest A, B või C on nullist erinev. Selliseid jooni nimetatakse teist järku joonteks (kõverateks). Allpool tehakse kindlaks, et võrrand (11.1) defineerib tasapinnal ringi, ellipsi, hüperbooli või parabooli. Enne selle väite juurde asumist uurime loetletud kõverate omadusi.

11.2. Ring

Teist järku lihtsaim kõver on ring. Tuletame meelde, et punktis tsentreeritud ring raadiusega R on kõigi tasandi punktide Μ hulk, mis vastavad tingimusele . Olgu ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi punkti koordinaadid x 0, y 0 a - ringjoone suvaline punkt (vt joonis 48).

Seejärel saame tingimusest võrrandi

(11.2)

Võrrandit (11.2) rahuldavad antud ringi ühegi punkti koordinaadid ja mitte ühegi punkti koordinaadid, mis ei asu ringjoonel.

Nimetatakse võrrandit (11.2). ringi kanooniline võrrand

Eelkõige, eeldades ja , Saame võrrandi ringi tsentreeritud päritolu .

Ringvõrrand (11.2) saab pärast lihtsaid teisendusi kujul . Kui võrrelda seda võrrandit teist järku kõvera üldvõrrandiga (11.1), on lihtne näha, et ringi võrrandi jaoks on täidetud kaks tingimust:

1) koefitsiendid punktides x 2 ja y 2 on üksteisega võrdsed;

2) ei ole ühtegi liiget, mis sisaldab hetkekoordinaatide xy korrutist.

Vaatleme pöördprobleemi. Pannes võrrandisse (11.1) väärtused ja , saame

Teisendame selle võrrandi:

(11.4)

Sellest järeldub, et võrrand (11.3) määratleb tingimuse all oleva ringi . Selle keskpunkt on punktis ja raadius

.

Kui , siis on võrrandil (11.3) vorm

.

See rahuldatakse ühe punkti koordinaatidega . Sel juhul öeldakse: "ringkond on muutunud punktiks" (null raadiusega).

Kui a , siis võrrand (11.4) ja seega samaväärne võrrand (11.3) ei määra ühtegi sirget, kuna võrrandi (11.4) parem pool on negatiivne ja vasak pool ei ole negatiivne (ütleme: "kujuteldav ring").

11.3. Ellips

Ellipsi kanooniline võrrand

Ellips on tasandi kõigi punktide hulk, kauguste summa neist igaühest selle tasandi kahe antud punktini, nn. trikid , on konstantne väärtus, mis on suurem kui fookuste vaheline kaugus.

Tähistage fookusi tähega F1 ja F2, nendevaheline kaugus 2-s c ja kauguste summa ellipsi suvalisest punktist fookuseni - kuni 2 a(vt joonis 49). Definitsiooni järgi 2 a > 2c, st. a > c.

Ellipsi võrrandi tuletamiseks valime koordinaatide süsteemi nii, et fookused F1 ja F2 asetsevad teljel ja alguspunkt langeb kokku segmendi keskpunktiga F 1 F 2. Siis on fookustel järgmised koordinaadid: ja .

Laskma olema suvaline punkt ellipsi. Siis ellipsi definitsiooni järgi, s.o.

See on tegelikult ellipsi võrrand.

Teisendame võrrandi (11.5) lihtsamale kujule järgmiselt:

Sest a>Koos, siis. Paneme

(11.6)

Siis võtab viimane võrrand kuju või

(11.7)

Võib tõestada, et võrrand (11.7) on võrdne algvõrrandiga. Seda nimetatakse ellipsi kanooniline võrrand .

Ellips on teist järku kõver.

Ellipsi kuju uurimine võrrandi järgi

Määrame ellipsi kuju, kasutades selle kanoonilist võrrandit.

1. Võrrand (11.7) sisaldab x ja y ainult paarisastmetes, seega kui punkt kuulub ellipsisse, siis kuuluvad sinna ka punktid ,,. Sellest järeldub, et ellips on sümmeetriline telgede ja , samuti punkti suhtes, mida nimetatakse ellipsi keskpunktiks.

2. Leidke ellipsi lõikepunktid koordinaattelgedega. Pannes , leiame kaks punkti ja , kus telg lõikub ellipsiga (vt joonis 50). Pannes võrrandisse (11.7), leiame ellipsi lõikepunktid teljega: ja . punktid A 1 , A2 , B1, B2 helistas ellipsi tipud. Segmendid A 1 A2 ja B1 B2, samuti nende pikkused 2 a ja 2 b nimetatakse vastavalt suur- ja kõrvalteljed ellips. Numbrid a ja b nimetatakse vastavalt suureks ja väikeseks. telje võllid ellips.

3. Võrrandist (11.7) järeldub, et iga liige vasakul pool ei ületa ühte, s.o. on ebavõrdsust ja või ja . Seetõttu asuvad kõik ellipsi punktid sirgjoonte moodustatud ristküliku sees.

4. Võrrandis (11.7) on mittenegatiivsete liikmete summa ja võrdne ühega. Järelikult ühe liikme kasvades teine ​​kahaneb, ehk kui suureneb, siis väheneb ja vastupidi.

Öeldust järeldub, et ellipsil on joonisel fig. 50 (ovaalne suletud kõver).

Lisateavet ellipsi kohta

Ellipsi kuju sõltub suhtest. Kui ellips muutub ringiks, saab ellipsi võrrand (11.7) kuju . Ellipsi kuju tunnusena kasutatakse sagedamini suhet. Poole fookuste vahelise kauguse suhet ellipsi poolpeateljesse nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks ja o6o tähistatakse tähega ε ("epsilon"):

0-ga<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

See näitab, et mida väiksem on ellipsi ekstsentrilisus, seda vähem on ellips kõver; kui paneme ε = 0, siis muutub ellips ringiks.

Olgu M(x; y) ellipsi suvaline punkt fookustega F 1 ja F 2 (vt joonis 51). Lõikude F 1 M=r 1 ja F 2 M = r 2 pikkusi nimetatakse punkti M fookusraadiusteks. Ilmselgelt

Valemid on olemas

Sirgeid jooni nimetatakse

Teoreem 11.1. Kui on kaugus ellipsi suvalisest punktist mõne fookuseni, d on kaugus samast punktist sellele fookusele vastava suunajooneni, siis on suhe konstantne väärtus, mis on võrdne ellipsi ekstsentrilisusega:

Võrdsusest (11.6) tuleneb, et . Kui , siis võrrand (11.7) defineerib ellipsi, mille suurtelg asub Oy teljel ja kõrvaltelg Ox-teljel (vt joonis 52). Sellise ellipsi fookused on punktides ja , kus .

11.4. Hüperbool

Hüperbooli kanooniline võrrand

Hüperbool nimetatakse tasandi kõigi punktide hulka, millest igaühest selle tasandi kahe etteantud punktini kauguste erinevuse moodul, nn. trikid , on konstantne väärtus, mis on väiksem kui fookuste vaheline kaugus.

Tähistage fookusi tähega F1 ja F2 nendevaheline kaugus läbi 2s ja kauguste erinevuse moodul hüperbooli igast punktist läbiva fookuse vahel 2a. Definitsiooni järgi 2a < 2s, st. a < c.

Hüperboolvõrrandi tuletamiseks valime koordinaatide süsteemi nii, et fookused F1 ja F2 asetsevad teljel ja alguspunkt langes kokku segmendi keskpunktiga F 1 F 2(vt joonis 53). Siis saavad fookused koordinaadid ja

Laskma olema suvaline punkt hüperbool. Siis vastavalt hüperbooli definitsioonile või , st pärast lihtsustusi, nagu tehti ellipsi võrrandi tuletamisel, saame hüperbooli kanooniline võrrand

(11.9)

(11.10)

Hüperbool on teist järku rida.

Hüperbooli kuju uurimine võrrandi järgi

Määrame hüperbooli kuju selle kakoonilise võrrandi abil.

1. Võrrand (11.9) sisaldab x ja y ainult paarisastmetes. Seetõttu on hüperbool sümmeetriline telgede ja , samuti punkti suhtes, mida nn. hüperbooli keskpunkt.

2. Leia hüperbooli lõikepunktid koordinaattelgedega. Pannes võrrandisse (11.9), leiame kaks hüperbooli ja telje lõikepunkti: ja . Pannes sisse (11.9), saame , mis ei saa olla. Seetõttu ei ristu hüperbool y-teljega.

Punkte ja nimetatakse tipud hüperboolid ja segment

tegelik telg , joonelõik - tõeline semiaxis hüperbool.

Punkte ühendavat sirglõiku nimetatakse kujuteldav telg , number b - kujuteldav telg . Ristkülik külgedega 2a ja 2b helistas hüperbooli põhiristkülik .

3. Võrrandist (11.9) järeldub, et minuend ei ole väiksem kui üks, st et või . See tähendab, et hüperbooli punktid asuvad sirgest paremal (hüperbooli parem haru) ja joonest vasakul (hüperbooli vasak haru).

4. Hüperbooli võrrandist (11.9) on näha, et kui see suureneb, siis kasvab ka. See tuleneb asjaolust, et erinevus jätab konstantse väärtuse võrdseks ühega.

Öeldust järeldub, et hüperbool on joonisel 54 kujutatud kujuga (kahest piiramata harust koosnev kõver).

Hüperbooli asümptoodid

Sirget L nimetatakse asümptoodiks piiramata kõvera K, kui kaugus d kõvera K punktist M selle sirgeni kipub olema null, kui punkt M liigub piki kõverat K määramata alguspunktist. Joonis 55 illustreerib asümptoodi mõistet: joon L on kõvera K asümptoot.

Näitame, et hüperboolil on kaks asümptooti:

(11.11)

Kuna sirged (11.11) ja hüperbool (11.9) on koordinaatide telgede suhtes sümmeetrilised, siis piisab, kui arvestada ainult neid näidatud joonte punkte, mis asuvad esimeses kvadrandis.

Võtke sirgjoonel punkt N, millel on sama abstsiss x kui hüperbooli punktil (vt joonis 56) ja leidke vahe ΜN sirge ja hüperbooli haru ordinaatide vahel:

Nagu näete, suureneb x suurenedes murdosa nimetaja; lugeja on konstantne väärtus. Seetõttu lõigu pikkus ΜN kipub olema null. Kuna ΜN on suurem kui kaugus d punktist Μ sirgeni, siis d kaldub veelgi enam nulli. Seega on jooned hüperbooli (11.9) asümptoodid.

Hüperbooli (11.9) konstrueerimisel on soovitav esmalt konstrueerida hüperbooli põhiristkülik (vt joonis 57), tõmmata selle ristküliku vastandtippe läbivad jooned - hüperbooli asümptoodid ning märkida tipud ja , hüperbool .

Võrdkülgse hüperbooli võrrand.

mille asümptootideks on koordinaatteljed

Hüperbooli (11.9) nimetatakse võrdkülgseks, kui selle poolteljed on võrdsed (). Selle kanooniline võrrand

(11.12)

Võrdkülgse hüperbooli asümptootidel on võrrandid ja seetõttu on need koordinaatnurkade poolitajad.

Vaatleme selle hüperbooli võrrandit uues koordinaatsüsteemis (vt joonis 58), mis on saadud vanast koordinaatide telgede nurga võrra pööramisel. Koordinaatide telgede pööramiseks kasutame valemeid:

Asendame x ja y väärtused võrrandis (11.12):

Võrdkülgse hüperbooli võrrand, mille teljed Ox ja Oy on asümptoodid, on kujul .

Veel hüperboolist

ekstsentrilisus hüperbool (11.9) on fookuste vahelise kauguse ja hüperbooli tegeliku telje väärtuse suhe, mida tähistatakse ε-ga:

Kuna hüperbooli korral on hüperbooli ekstsentrilisus suurem kui üks: . Ekstsentrilisus iseloomustab hüperbooli kuju. Tõepoolest, võrdsusest (11.10) järeldub, et s.o. ja .

See näitab, et mida väiksem on hüperbooli ekstsentrilisus, seda väiksem on selle pooltelgede suhe, mis tähendab, et mida rohkem on selle põhiristkülik pikendatud.

Võrdkülgse hüperbooli ekstsentrilisus on . Tõesti,

Fookusraadiused ja sest hüperbooli parempoolse haru punktid on kujul ja , ja vasakpoolsed - ja .

Sirgeid jooni nimetatakse hüperbooli suunadeks. Kuna hüperbooli puhul ε > 1, siis . See tähendab, et parempoolne suund asub hüperbooli keskpunkti ja parema tipu vahel, vasakpoolne suund on keskpunkti ja vasaku tipu vahel.

Hüperbooli suundudel on sama omadus kui ellipsi suundtel.

Võrrandiga defineeritud kõver on samuti hüperbool, mille reaaltelg 2b asub Oy teljel ja imaginaartelg 2 a- härja teljel. Joonisel 59 on see näidatud punktiirjoonena.

Ilmselgelt on hüperboolidel ja ühised asümptoodid. Selliseid hüperboole nimetatakse konjugaatideks.

11.5. Parabool

Kanooniline parabooli võrrand

Parabool on kõigi tasapinna punktide kogum, millest igaüks on antud punktist võrdsel kaugusel, mida nimetatakse fookuseks, ja antud sirgest, mida nimetatakse suunavaks. Kaugust fookusest F suunani nimetatakse parabooli parameetriks ja seda tähistatakse p-ga (p > 0).

Paraboolvõrrandi tuletamiseks valime Oxy-koordinaadisüsteemi nii, et Oxy-telg läbib fookuse F, mis on risti otsesuunaga suunas, mis on suunatud otsesuunast F-i ja lähtepunkt O asub fookuse ja suuna vahel. (vt joonis 60). Valitud süsteemis on fookusel F koordinaadid ja suunavõrrandil on vorm või .

1. Võrrandis (11.13) on muutuja y kaasatud paarisastmesse, mis tähendab, et parabool on sümmeetriline Ox-telje suhtes; x-telg on parabooli sümmeetriatelg.

2. Kuna ρ > 0, siis (11.13) järeldub, et . Seetõttu asub parabool y-teljest paremal.

3. Kui meil on y \u003d 0. Seetõttu läbib parabool lähtepunkti.

4. X piiramatu suurenemisega suureneb ka moodul y määramatult. Parabooli kuju (kuju) on näidatud joonisel 61. Punkti O (0; 0) nimetatakse parabooli tipuks, lõiku FM \u003d r nimetatakse punkti M fookusraadiuseks.

Võrrandid , , ( p>0) määratlevad ka paraboolid, need on näidatud joonisel 62

Lihtne on näidata, et ruuttrinoomi graafik, kus , B ja C on mis tahes reaalarvud, on parabool selle ülaltoodud definitsiooni tähenduses.

11.6. Teist järku ridade üldvõrrand

Teist järku kõverate võrrandid koordinaattelgedega paralleelsete sümmeetriatelgedega

Leiame esmalt ellipsi võrrandi, mille keskpunkt on punkt, mille sümmeetriateljed on paralleelsed koordinaattelgedega Ox ja Oy ning poolteljed on vastavalt võrdsed a ja b. Asetame ellipsi O 1 keskmesse uue koordinaatide süsteemi alguspunkt, mille teljed ja poolteljed a ja b(vt joonis 64):

Ja lõpuks, joonisel 65 näidatud paraboolidel on vastavad võrrandid.

Võrrand

Ellipsi, hüperbooli, parabooli ja ringi võrrandi pärast teisendusi (avage sulud, viige võrrandi kõik liikmed ühes suunas, tooge sarnased terminid, sisestage koefitsientide jaoks uus tähistus) saab kirjutada ühe võrrandi abil vormi

kus koefitsiendid A ja C ei ole samal ajal võrdsed nulliga.

Tekib küsimus: kas mõni võrrand kujul (11.14) määrab ühe teist järku kõveratest (ring, ellips, hüperbool, parabool)? Vastuse annab järgmine teoreem.

Teoreem 11.2. Võrrand (11.14) määratleb alati: kas ringi (A = C puhul) või ellipsi (A C > 0 puhul) või hüperbooli (A C puhul< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Teist järku üldvõrrand

Mõelge nüüd teise astme üldvõrrandile kahe tundmatuga:

See erineb võrrandist (11.14) selle poolest, et on olemas liige koordinaatide korrutisega (B¹ 0). Koordinaatide telgede pööramisel nurga a võrra on võimalik seda võrrandit teisendada nii, et liige koordinaatide korrutisega selles puudub.

Telgede pööramise valemite kasutamine

Avaldame vanad koordinaadid uutega:

Valime nurga a nii, et koefitsient punktis x "y" kaob, st et võrdsus

Seega, kui telgi pöörata nurga a, mis vastab tingimusele (11.17), taandub võrrand (11.15) võrrandiks (11.14).

Järeldus: teist järku üldvõrrand (11.15) defineerib tasapinnal (välja arvatud degeneratsiooni ja lagunemise juhud) järgmised kõverad: ring, ellips, hüperbool, parabool.

Märkus. Kui A = C, siis võrrand (11.17) kaotab oma tähenduse. Sel juhul cos2α = 0 (vt (11.16)), siis 2α = 90°, st α = 45°. Seega, kui A = C, tuleks koordinaatide süsteemi pöörata 45 ° võrra.

Definitsioon 7.1. Nimetatakse kõigi tasandi punktide hulk, mille jaoks kahe fikseeritud punkti F 1 ja F 2 kauguste summa on antud konstant. ellips.

Ellipsi definitsioon annab selle geomeetriliseks konstrueerimiseks järgmise viisi. Kinnitame tasapinnal kaks punkti F 1 ja F 2 ning tähistame mittenegatiivset konstantset väärtust 2a-ga. Olgu punktide F 1 ja F 2 vaheline kaugus võrdne 2c. Kujutage ette, et punktides F 1 ja F 2 kinnitatakse näiteks kahe nõela abil venimatu niit pikkusega 2a. On selge, et see on võimalik ainult ≥ c korral. Pliiatsiga niiti tõmmates tõmmake joon, millest saab ellips (joonis 7.1).

Seega ei ole kirjeldatud hulk tühi, kui a ≥ c. Kui a = c, on ellips segment otstega F 1 ja F 2 ning kui c = 0, s.t. kui ellipsi definitsioonis määratud fikseeritud punktid langevad kokku, on tegemist ringiga raadiusega a. Kui need degenereerunud juhtumid kõrvale jätta, eeldame reeglina, et a > c > 0.

Fikseeritud punktid F 1 ja F 2 ellipsi definitsioonis 7.1 (vt joonis 7.1) on nn. ellipsi trikid, nendevaheline kaugus, tähistatud 2c, - fookuskaugus, ja segmendid F 1 M ja F 2 M, mis ühendavad ellipsi suvalise punkti M selle fookustega, - fookusraadiused.

Ellipsi kuju määrab täielikult fookuskaugus |F 1 F 2 | = 2с ja parameeter a ning selle asukoht tasapinnal - punktide F 1 ja F 2 paari võrra.

Ellipsi definitsioonist tuleneb, et see on sümmeetriline nii sirge suhtes, mis läbib fookusi F 1 ja F 2, kui ka sirge suhtes, mis jagab lõigu F 1 F 2 pooleks ja on sellega risti (joonis 1). 7.2, a). Neid ridu nimetatakse ellipsi teljed. Nende lõikepunkt O on ellipsi sümmeetriakese ja seda nimetatakse ellipsi keskpunkt, ja ellipsi lõikepunktid sümmeetriatelgedega (punktid A, B, C ja D joonisel 7.2, a) - ellipsi tipud.

Kutsutakse numbrit a ellipsi poolsuurtelg, ja b = √ (a 2 - c 2) - selle pool-minoortelg. On lihtne näha, et c > 0 korral on suur pooltelg a võrdne kaugusega ellipsi keskpunktist nende tippude vahel, mis asuvad samal teljel ellipsi fookustega (tipud A ja B joonisel fig. 7.2, a) ja väike pooltelg b on võrdne kaugusega keskellipsist selle kahe teise tipuni (tipud C ja D joonisel 7.2, a).

Ellipsi võrrand. Vaatleme mõnda ellipsit tasapinnal, mille fookused on punktides F 1 ja F 2, peatelje 2a. Olgu 2c fookuskaugus, 2c = |F 1 F 2 |

Valime tasapinnale ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi Oxy nii, et selle algus langeb kokku ellipsi keskpunktiga ja fookused on sisse lülitatud abstsiss(Joon. 7.2, b). Seda koordinaatsüsteemi nimetatakse kanooniline vaadeldava ellipsi jaoks ja vastavad muutujad on kanooniline.

Valitud koordinaatsüsteemis on fookuste koordinaadid F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Kasutades punktidevahelise kauguse valemit, kirjutame tingimuse |F 1 M| + |F 2 M| = 2a koordinaatides:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

See võrrand on ebamugav, kuna sisaldab kahte ruutradikaali. Nii et muudame selle. Teisaldame võrrandi (7.2) teise radikaali paremale ja ruudus:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Pärast sulgude avamist ja sarnaste terminite vähendamist saame

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

kus ε = c/a. Korrame ruudustamist, et eemaldada ka teine ​​radikaal: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 või, võttes arvesse sisestatud parameetri ε väärtust, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Kuna a 2 - c 2 = b 2 > 0, siis

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Võrrand (7.4) on täidetud kõigi ellipsil asuvate punktide koordinaatidega. Kuid selle võrrandi tuletamisel kasutati algse võrrandi (7.2) mitteekvivalentseid teisendusi – kahte ruudustamist, mis eemaldavad ruutradikaalid. Võrrandi kvadratuur on samaväärne teisendus, kui mõlemad pooled sisaldavad sama märgiga suurusi, kuid me ei kontrollinud seda oma teisendustes.

Me ei pruugi teisenduste samaväärsust kontrollida, kui võtame arvesse järgmist. Punktide paar F 1 ja F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, määratleb tasapinnal ellipside perekonna, mille fookused on nendes punktides. Tasapinna iga punkt, välja arvatud lõigu F 1 F 2 punktid, kuulub mõnda määratud perekonna ellipsi. Sel juhul ei ristu kaks ellipsi, kuna fookusraadiuste summa määrab üheselt konkreetse ellipsi. Niisiis hõlmab kirjeldatud ristikuteta ellipside perekond kogu tasapinda, välja arvatud segmendi F 1 F 2 punktid. Vaatleme punktide hulka, mille koordinaadid vastavad võrrandile (7.4) parameetri a etteantud väärtusega. Kas seda komplekti saab jagada mitme ellipsi vahel? Mõned hulga punktid kuuluvad ellipsile, mille poolsuurtelg on a. Olgu selles hulgas punkt, mis asub ellipsil, mille poolsuurtelg on a. Siis järgivad selle punkti koordinaadid võrrandile

need. võrranditel (7.4) ja (7.5) on ühised lahendid. Siiski on lihtne kontrollida, kas süsteem

ã ≠ a jaoks pole lahendusi. Selleks piisab, kui jätta esimesest võrrandist välja näiteks x:

mis pärast teisendusi viib võrrandini

millel ei ole ã ≠ a lahendusi, sest . Niisiis, (7.4) on ellipsi võrrand, mille poolsuurtelg a > 0 ja väikepooltelg b = √ (a 2 - c 2) > 0. Seda nimetatakse ellipsi kanooniline võrrand.

Ellipsi vaade. Eespool käsitletud geomeetriline ellipsi konstrueerimise meetod annab piisava ettekujutuse ellipsi välimusest. Kuid ellipsi kuju saab uurida ka selle kanoonilise võrrandi (7.4) abil. Näiteks kui võtta arvesse, et y ≥ 0, saate y väljendada x-iga: y = b√(1 - x 2 /a 2) ja, olles seda funktsiooni uurinud, koostage selle graafik. Ellipsi konstrueerimiseks on veel üks viis. Raadiusega a ringi, mille keskpunkt on ellipsi (7.4) kanoonilise koordinaatsüsteemi alguspunkt, kirjeldatakse võrrandiga x 2 + y 2 = a 2 . Kui see on kokku surutud koefitsiendiga a/b > 1 mööda y-telg, siis saate kõvera, mida kirjeldab võrrand x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, st ellips.

Märkus 7.1. Kui sama ring on kokku surutud koefitsiendiga a/b

Ellipsi ekstsentrilisus. Ellipsi fookuskauguse ja selle peatelje suhet nimetatakse ellipsi ekstsentrilisus ja tähistatakse ε-ga. Antud ellipsi jaoks

kanooniline võrrand (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Kui punktis (7.4) on parameetrid a ja b seotud võrratusega a

Kui c = 0, kui ellips muutub ringiks ja ε = 0. Muudel juhtudel 0

Võrrand (7.3) on samaväärne võrrandiga (7.4), kuna võrrandid (7.4) ja (7.2) on samaväärsed. Seetõttu on (7.3) ka ellipsi võrrand. Lisaks on seos (7.3) huvitav selle poolest, et annab lihtsa radikaalivaba valemi pikkusele |F 2 M| üks ellipsi punkti M(x; y) fookusraadiustest: |F 2 M| = a + εx.

Sarnase valemi teise fookusraadiuse jaoks võib saada sümmeetria kaalutlustest või arvutuste kordamisest, kus enne ruudustamist võrrandit (7.2) kantakse esimene radikaal paremale poole, mitte teine. Niisiis, ellipsi mis tahes punkti M(x; y) jaoks (vt joonis 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

ja kõik need võrrandid on ellipsi võrrandid.

Näide 7.1. Leiame 5. poolsuurtelje ja ekstsentrilisusega 0,8 ellipsi kanoonilise võrrandi ja konstrueerime selle.

Teades ellipsi peamist pooltelge a = 5 ja ekstsentrilisust ε = 0,8, leiame selle väiksema pooltelje b. Kuna b \u003d √ (a 2 - c 2) ja c \u003d εa \u003d 4, siis b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Seega on kanoonilise võrrandi vorm x 2 / 5 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Ellipsi konstrueerimiseks on mugav joonistada ristkülik, mille keskpunkt on kanoonilise koordinaatsüsteemi alguspunktis ja mille küljed on paralleelsed ellipsi sümmeetriatelgedega ja on võrdne selle ristkülikuga. vastavad teljed (joon. 7.4). See ristkülik lõikub

ellipsi teljed selle tippudes A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) ja ellips ise on sellesse sisse kirjutatud. Joonisel fig. 7.4 on näidatud ka ellipsi fookused F 1,2 (±4; 0).

Ellipsi geomeetrilised omadused. Kirjutame (7.6) esimese võrrandi ümber kujul |F 1 M| = (а/ε - x)ε. Pange tähele, et a / ε - x väärtus a > c korral on positiivne, kuna fookus F 1 ei kuulu ellipsi alla. See väärtus on kaugus vertikaaljoonest d: x = a/ε punktist M(x; y) sellest sirgest vasakul. Ellipsi võrrandi saab kirjutada järgmiselt

|F 1 M|/(а/ε - x) = ε

See tähendab, et see ellips koosneb tasandi punktidest M (x; y), mille fookusraadiuse F 1 M pikkuse ja sirgjoone d kauguse suhe on konstantne väärtus, mis on võrdne ε-ga (joonis 1). 7.5).

Joonal d on "kaksik" - vertikaalne joon d, mis on sümmeetriline d-ga ellipsi keskpunkti suhtes, mis saadakse võrrandiga x \u003d -a / ε. d suhtes on ellips kirjeldatakse samamoodi nagu d puhul. Mõlemad read d ja d" kutsutakse ellipsi suunarid. Ellipsi suunajooned on risti ellipsi sümmeetriateljega, millel paiknevad selle fookused, ja on ellipsi keskpunktist eraldatud vahemaaga a / ε \u003d a 2 / c (vt joonis 7.5) .

Nimetatakse kaugust p suunajoonest sellele lähima fookuseni ellipsi fookusparameeter. See parameeter on võrdne

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Ellipsil on veel üks oluline geomeetriline omadus: fookusraadiused F 1 M ja F 2 M moodustavad punktis M ellipsi puutujaga võrdsed nurgad (joonis 7.6).

Sellel omadusel on selge füüsiline tähendus. Kui fookusesse F 1 asetatakse valgusallikas, siis sellest fookusest väljuv kiir läheb pärast ellipsist peegeldumist mööda teist fookusraadiust, kuna pärast peegeldumist on see kõvera suhtes sama nurga all kui enne peegeldust. . Seega koonduvad kõik fookusest F 1 väljuvad kiired teise fookusesse F 2 ja vastupidi. Selle tõlgenduse põhjal nimetatakse seda omadust ellipsi optiline omadus.

Teise järgu read.
Ellips ja selle kanooniline võrrand. Ring

Pärast põhjalikku uurimist sirgjooned tasapinnal jätkame kahemõõtmelise maailma geomeetria uurimist. Panused on kahekordistunud ja kutsun teid külastama maalilist ellipside, hüperboolide, paraboolide galeriid, mis on tüüpilised esindajad. teise järgu read. Ringkäik on juba alanud ja esiteks põgus info kogu näitusest muuseumi erinevatel korrustel:

Algebralise sirge mõiste ja selle järjekord

Tasapinnal olevat sirget nimetatakse algebraline, kui sisse afiinne koordinaatsüsteem selle võrrandil on vorm , kus on polünoom, mis koosneb vormi ( on reaalarv, on mittenegatiivsed täisarvud).

Nagu näete, ei sisalda algebralise sirge võrrand siinusi, koosinusi, logaritme ega muid funktsionaalseid beau monde. Sisse ainult "x" ja "y". täisarv mittenegatiivne kraadid.

Rea järjekord on võrdne selles sisalduvate terminite maksimaalse väärtusega.

Vastava teoreemi kohaselt ei sõltu algebralise sirge mõiste, samuti selle järjekord valikust afiinne koordinaatsüsteem, seetõttu arvame olemise hõlbustamiseks, et kõik järgnevad arvutused toimuvad aastal Descartes'i koordinaadid.

Üldvõrrand teist järku real on vorm , kus on suvalised reaalarvud (on tavaks kirjutada kordajaga - "kaks"), ja koefitsiendid ei ole samaaegselt võrdsed nulliga.

Kui , siis võrrand lihtsustub , ja kui koefitsiendid ei ole samaaegselt võrdsed nulliga, siis see on täpselt nii "lame" sirge üldvõrrand, mis tähistab esimese järjekorra rida.

Paljud said uute mõistete tähendusest aru, kuid materjali 100% omastamiseks pistame sellegipoolest sõrmed pistikupessa. Reajärjestuse määramiseks korrake uuesti kõik tingimused selle võrrandid ja igaühe jaoks leida jõudude summa sissetulevad muutujad.

Näiteks:

mõiste sisaldab "x" 1. astmeni;
mõiste sisaldab "Y" 1. astmeni;
terminis pole muutujaid, seega on nende võimsuste summa null.

Nüüd selgitame välja, miks võrrand määrab sirge teiseks tellida:

mõiste sisaldab "x" 2. astmes;
liikmel on muutujate astmete summa: 1 + 1 = 2;
mõiste sisaldab "y" 2. astmes;
kõik muud tingimused - vähem kraadi.

Maksimaalne väärtus: 2

Kui lisame oma võrrandile lisaks, ütleme, , siis see juba määrab kolmanda järjekorra rida. On ilmne, et 3. järku reavõrrandi üldvorm sisaldab terminite "täielikku komplekti", mille muutujate astmete summa on võrdne kolmega:
, kus koefitsiendid ei ole samaaegselt võrdsed nulliga.

Juhul, kui lisatakse üks või mitu sobivat terminit, mis sisaldavad , siis räägime sellest 4. järjekorra read, jne.

3., 4. ja kõrgema järgu algebraliste ridadega peame tegelema rohkem kui korra, eriti tutvudes polaarkoordinaatide süsteem.

Pöördugem siiski tagasi üldvõrrandi juurde ja tuletagem meelde selle lihtsamaid koolkondlikke variatsioone. Näiteks on parabool, mille võrrandit saab hõlpsasti taandada üldkujuks, ja hüperbool samaväärse võrrandiga. Samas pole kõik nii sujuv....

Üldvõrrandi oluline puudus on see, et peaaegu alati ei ole selge, millist joont see määratleb. Isegi kõige lihtsamal juhul ei saa te kohe aru, et see on hüperbool. Sellised paigutused on head ainult maskeraadi korral, seetõttu käsitletakse analüütilise geomeetria käigus tüüpilist probleemi 2. järku joonvõrrandi taandamine kanoonilisele kujule.

Mis on võrrandi kanooniline vorm?

See on võrrandi üldtunnustatud standardvorm, kui mõne sekundiga saab selgeks, millise geomeetrilise objekti see määratleb. Lisaks on kanooniline vorm väga mugav paljude praktiliste ülesannete lahendamiseks. Nii näiteks kanoonilise võrrandi järgi "tasane" sirge, esiteks on kohe selge, et tegemist on sirgjoonega ja teiseks on lihtsalt nähtav selle juurde kuuluv punkt ja suunavektor.

Ilmselgelt ükskõik milline 1. järjekorra rida tähistab sirgjoont. Teisel korrusel ei oota meid enam korrapidaja, vaid hoopis mitmekesisem üheksast kujust koosnev seltskond:

Teist järku ridade klassifikatsioon

Spetsiaalse toimingute komplekti abil taandatakse mis tahes teist järku joone võrrand ühele järgmistest tüüpidest:

(ja on positiivsed reaalarvud)

1) on ellipsi kanooniline võrrand;

2) on hüperbooli kanooniline võrrand;

3) on parabooli kanooniline võrrand;

4) – kujuteldav ellips;

5) - ristuvate joonte paar;

6) - paar kujuteldav ristuvad sirged (ainukese reaalse lõikepunktiga alguspunktis);

7) - paralleelsete joonte paar;

8) - paar kujuteldav paralleelsed jooned;

9) on kokkulangevate joonte paar.

Mõnele lugejale võib jääda mulje, et nimekiri on puudulik. Näiteks lõigu number 7 võrrand määrab paari otsene, paralleelselt teljega ja tekib küsimus: kus on võrrand, mis määrab y-teljega paralleelsed sirged? Vasta sellele ei peeta kaanoniks. Sirged jooned tähistavad sama 90 kraadi võrra pööratud standardkorpust ja klassifikatsiooni lisakirje on üleliigne, kuna see ei sisalda midagi põhimõtteliselt uut.

Seega on 2. järku ridu üheksa ja ainult üheksa erinevat tüüpi, kuid praktikas on kõige levinumad ellips, hüperbool ja parabool.

Vaatame kõigepealt ellipsi. Nagu tavaliselt, keskendun neile punktidele, millel on ülesannete lahendamisel suur tähtsus, ja kui vajate üksikasjalikku valemite tuletamist, teoreemide tõestust, siis vaadake näiteks Bazylevi / Atanasjani või Aleksandrovi õpikut.

Ellips ja selle kanooniline võrrand

Õigekiri ... palun ärge korrake mõnede Yandexi kasutajate vigu, kes on huvitatud "ellipsi ehitamisest", "ellipsi ja ovaali erinevusest" ja "elebsi ekstsentrilisusest".

Ellipsi kanoonilisel võrrandil on vorm , kus on positiivsed reaalarvud ja . Ellipsi definitsiooni sõnastan hiljem, kuid praegu on aeg rääkida paus ja lahendada levinud probleem:

Kuidas ehitada ellipsi?

Jah, võtke see ja lihtsalt joonistage see. Ülesanne on tavaline ja märkimisväärne osa õpilastest ei tule joonistusega päris asjatundlikult toime:

Näide 1

Koostage võrrandiga antud ellips

Lahendus: kõigepealt toome võrrandi kanoonilisele kujule:

Miks tuua? Kanoonilise võrrandi üks eeliseid on see, et see võimaldab teil koheselt määrata ellipsi tipud, mis on punktides . On lihtne näha, et kõigi nende punktide koordinaadid vastavad võrrandile .

Sel juhul :


Joonelõik helistas suurtelg ellips;
joonelõik – väiketelg;
number helistas poolsuurtelg ellips;
number – pool-minoortelg.
meie näites: .

Et kiiresti ette kujutada, kuidas see või teine ​​ellips välja näeb, vaadake lihtsalt selle kanoonilise võrrandi "a" ja "be" väärtusi.

Kõik on korras, korralik ja ilus, kuid on üks hoiatus: joonistasin programmi abil joonise. Ja saate joonistada mis tahes rakendusega. Karmis reaalsuses lebab aga laual ruuduline paber ja meie käte ümber tantsivad hiired. Kunstiandega inimesed võivad muidugi vaielda, aga teil on ka hiiri (kuigi väiksemaid). Pole asjata, et inimkond leiutas joonlaua, sirkli, kraadiklaasi ja muid lihtsaid joonistusseadmeid.

Sel põhjusel ei suuda me tõenäoliselt ellipsi täpselt joonistada, teades ainult tippe. Ikka hästi, kui ellips on väike, näiteks pooltelgedega. Teise võimalusena saate vähendada joonise mõõtkava ja vastavalt sellele ka mõõtmeid. Kuid üldiselt on väga soovitav leida lisapunkte.

Ellipsi konstrueerimiseks on kaks lähenemisviisi – geomeetriline ja algebraline. Mulle ei meeldi kompassi ja joonlauaga ehitamine lühikese algoritmi ja joonise olulise segaduse tõttu. Hädaolukorras palume tutvuda õpikuga, kuid tegelikkuses on palju ratsionaalsem kasutada algebra vahendeid. Mustandil olevast ellipsivõrrandist väljendame kiiresti:

Seejärel jagatakse võrrand kaheks funktsiooniks:
– määrab ellipsi ülemise kaare;
– määrab ellipsi alumise kaare.

Kanoonilise võrrandiga antud ellips on sümmeetriline nii koordinaatide telgede kui ka lähtepunkti suhtes. Ja see on suurepärane – sümmeetria on peaaegu alati tasuta kingituse esilekutsuja. Ilmselgelt piisab 1. koordinaatide kvartaliga tegelemisest, seega vajame funktsiooni . See soovitab leida lisapunkte abstsissidega . Saime kalkulaatorisse kolm SMS-i:

Meeldiv on muidugi ka see, et kui arvutustes tehakse ränk viga, siis see selgub kohe ehituse käigus.

Märkige joonisele punktid (punane värv), teistele kaaredele sümmeetrilised punktid (sinine värv) ja ühendage kogu ettevõte hoolikalt joonega:


Parem on joonistada esialgne visand õhukeselt ja õhukeselt ning alles seejärel vajutada pliiatsile. Tulemuseks peaks olema üsna korralik ellips. Muide, kas soovite teada, mis see kõver on?

Ellipsi definitsioon. Ellipsi fookused ja ellipsi ekstsentrilisus

Ellips on ovaali erijuhtum. Sõna "ovaal" ei tohiks mõista vilisti tähenduses ("laps joonistas ovaali" jne). See on üksikasjaliku sõnastusega matemaatiline termin. Selle tunni eesmärk ei ole käsitleda ovaalide teooriat ja nende erinevaid tüüpe, millele analüütilise geomeetria standardkursusel praktiliselt tähelepanu ei pöörata. Ja vastavalt praegustele vajadustele läheme kohe ellipsi range määratluse juurde:

Ellips- see on tasandi kõigi punktide kogum, mille kauguste summa kahest antud punktist, nn. trikid ellips on konstantne väärtus, mis on arvuliselt võrdne selle ellipsi peatelje pikkusega: .
Sel juhul on fookuste vaheline kaugus väiksem kui see väärtus: .

Nüüd saab selgemaks:

Kujutage ette, et sinine täpp "sõidab" ellipsil. Seega, olenemata sellest, millise ellipsi punkti me võtame, on segmentide pikkuste summa alati sama:

Teeme kindlaks, et meie näites on summa väärtus tõesti võrdne kaheksaga. Asetage mõtteliselt punkt "em" ellipsi paremasse tippu, seejärel: , mida oli vaja kontrollida.

Teine viis ellipsi joonistamiseks põhineb ellipsi määratlusel. Kõrgem matemaatika põhjustab mõnikord pingeid ja stressi, seega on aeg korraldada veel üks mahalaadimise seanss. Palun võtke paber või suur papp ja kinnitage see kahe naelaga laua külge. Need saavad olema trikid. Siduge väljaulatuvate naelapeade külge roheline niit ja tõmmake see pliiatsiga lõpuni. Pliiatsi kael on mingil hetkel, mis kuulub ellipsi alla. Nüüd hakake pliiatsit üle paberilehe juhtima, hoides rohelist niiti väga pingul. Jätkake protsessi, kuni naasete alguspunkti ... suurepärane ... joonise saab esitada arstile kontrollimiseks õpetajale =)

Kuidas leida ellipsi fookust?

Ülaltoodud näites kujutasin "valmis" fookuspunkte ja nüüd õpime, kuidas neid geomeetria sügavustest eraldada.

Kui ellips on antud kanoonilise võrrandiga , siis on selle fookustel koordinaadid , kus see on kaugus igast fookusest ellipsi sümmeetria keskpunktini.

Arvutamine on lihtsam kui aurutatud naeris:

! Tähendusega "ce" on trikkide konkreetseid koordinaate võimatu tuvastada! Ma kordan, see on KAUGUS igast fookusest keskpunktini(mis üldjuhul ei pea asuma täpselt lähtekohas).
Ja seetõttu ei saa fookuste vahelist kaugust siduda ka ellipsi kanoonilise asendiga. Teisisõnu, ellipsi saab teisaldada teise kohta ja väärtus jääb muutumatuks, samas kui fookused muudavad loomulikult oma koordinaate. Pidage seda teemat edasi uurides meeles.

Ellipsi ekstsentrilisus ja selle geomeetriline tähendus

Ellipsi ekstsentrilisus on suhe, mis võib võtta väärtusi .

Meie puhul:

Uurime välja, kuidas sõltub ellipsi kuju selle ekstsentrilisusest. Selle jaoks fikseerige vasak ja parem tipp vaadeldava ellipsi väärtus, see tähendab, et poolsuurtelje väärtus jääb muutumatuks. Siis on ekstsentrilisuse valem järgmine: .

Alustame ekstsentrilisuse väärtust ühtsusele lähendamist. See on võimalik ainult siis, kui. Mida see tähendab? ...trikkide meeldejätmine . See tähendab, et ellipsi fookused "hajuvad" mööda abstsisstellge külgmiste tippudeni. Ja kuna "rohelised segmendid ei ole kummist", hakkab ellips paratamatult lamenduma, muutudes järjest õhemaks teljele nööritud vorstiks.

Sellel viisil, mida lähemal on ellipsi ekstsentrilisus ühele, seda piklikum on ellips.

Nüüd simuleerime vastupidist protsessi: ellipsi fookused läksid üksteise poole, lähenedes keskusele. See tähendab, et "ce" väärtus väheneb ja vastavalt sellele kipub ekstsentrilisus nulli: .
Sel juhul muutuvad "rohelised segmendid" vastupidi "rahvarohkeks" ja nad hakkavad ellipsi joont üles ja alla "tõukama".

Sellel viisil, mida lähemal on ekstsentrilisuse väärtus nullile, seda rohkem näeb ellips välja... vaata piirjuhtumit, kui fookused on lähtekohas edukalt taasühendatud:

Ring on ellipsi erijuht

Tõepoolest, pooltelgede võrdsuse korral saab kuju ellipsi kanooniline võrrand, mis muundub reflektoorselt üldtuntud ringvõrrandiks koolkonnast, mille keskpunkt on raadiuse "a" algpunktis.

Praktikas kasutatakse sagedamini märget "rääkiva" tähega "er":. Raadiust nimetatakse segmendi pikkuseks, samas kui ringi iga punkti eemaldatakse keskpunktist raadiuse kauguse võrra.

Pange tähele, et ellipsi definitsioon jääb täiesti õigeks: fookused sobivad ja iga ringi punkti sobitatud lõikude pikkuste summa on konstantne väärtus. Kuna fookuste vaheline kaugus on mis tahes ringi ekstsentrilisus on null.

Ring ehitatakse lihtsalt ja kiiresti, piisab, kui relvastada end kompassiga. Mõnikord on aga vaja välja selgitada mõne selle punkti koordinaadid, sel juhul läheme tuttavat teed - toome võrrandi rõõmsale Matani kujule:

on ülemise poolringi funktsioon;
on alumise poolringi funktsioon.

Seejärel leiame soovitud väärtused, eristatav, integreerida ja muud head teha.

Artikkel on muidugi ainult viitamiseks, aga kuidas saab elada ilma armastuseta maailmas? Loominguline ülesanne iseseisvaks lahenduseks

Näide 2

Koostage ellipsi kanooniline võrrand, kui üks selle fookustest ja pool-minoortelg on teada (keskpunkt on lähtepunktis). Otsige üles tipud, lisapunktid ja tõmmake joonisele joon. Arvutage ekstsentrilisus.

Lahendus ja joonistamine tunni lõpus

Lisame toimingu:

Ellipsi pööramine ja tõlkimine

Tuleme tagasi ellipsi kanoonilise võrrandi juurde, nimelt tingimuse juurde, mille mõistatus on piinanud uudishimulikke mõistusi selle kõvera esmamainimisest saadik. Siin oleme arvestanud ellipsiga , kuid praktikas ei saa võrrandit ? Ju tundub, et ka siin on nagu ellips!

Selline võrrand on haruldane, kuid see tuleb ette. Ja see määratleb ellipsi. Hajutame müstika:

Ehituse tulemusena saadakse meie loomulik ellips, mis on pööratud 90 kraadi. See on, - see on mittekanooniline kirje ellips . Rekord!- võrrand ei täpsusta ühtegi teist ellipsi, kuna teljel puuduvad punktid (fookused), mis rahuldaksid ellipsi definitsiooni.

Loengud algebrast ja geomeetriast. 1. semester.

Loeng 15. Ellips.

15. peatükk

punkt 1. Põhimääratlused.

Definitsioon. Ellips on tasapinna GMT, mille kauguste summa kahe tasandi fikseeritud punktini, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne väärtus.

Definitsioon. Kaugust tasapinna suvalisest punktist M ellipsi fookuseni nimetatakse punkti M fookusraadiuseks.

Nimetused:
on ellipsi fookused,
on punkti M fookusraadiused.

Ellipsi definitsiooni järgi on punkt M ellipsi punkt siis ja ainult siis
on konstantne väärtus. Seda konstanti tähistatakse tavaliselt kui 2a:

. (1)

Märka seda
.

Ellipsi definitsiooni järgi on selle fookused fikseeritud punktid, seega on ka nendevaheline kaugus antud ellipsi jaoks konstantne väärtus.

Definitsioon. Ellipsi fookuste vahelist kaugust nimetatakse fookuskauguseks.

Määramine:
.

Kolmnurgast
järgib seda
, st.

.

Tähistage b-ga võrdne arv
, st.

. (2)

Definitsioon. Suhtumine

(3)

nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks.

Tutvustame antud tasapinnal koordinaatide süsteemi, mida ellipsi puhul nimetame kanooniliseks.

Definitsioon. Telge, millel asuvad ellipsi fookused, nimetatakse fookusteljeks.

Koostame ellipsi jaoks kanoonilise PDSC, vt joonis 2.

Valime abstsissteljeks fookustelje ja joonistame ordinaattelje läbi segmendi keskosa
fookusteljega risti.

Siis on fookustel koordinaadid
,
.

punkt 2. Ellipsi kanooniline võrrand.

Teoreem. Ellipsi kanoonilises koordinaatsüsteemis on ellipsi võrrand järgmine:

. (4)

Tõestus. Tõestuse teostame kahes etapis. Esimeses etapis tõestame, et mis tahes ellipsil asuva punkti koordinaadid vastavad võrrandile (4). Teises etapis tõestame, et iga võrrandi (4) lahend annab ellipsil asuva punkti koordinaadid. Siit järeldub, et võrrandit (4) rahuldavad need ja ainult need koordinaattasandi punktid, mis asuvad ellipsil. Siit ja kõvervõrrandi definitsioonist järeldub, et võrrand (4) on ellipsi võrrand.

1) Olgu punkt M(x, y) ellipsi punkt, s.o. selle fookusraadiuste summa on 2a:

.

Kasutame koordinaattasandi kahe punkti vahelise kauguse valemit ja leiame antud punkti M fookusraadiused selle valemi abil:

,
, kust me saame:

Liigutame ühe juure võrdsuse paremale poole ja paneme selle ruutu:

Vähendades saame:

Anname sarnased, vähendame 4 võrra ja eraldame radikaali:

.

Me nelinurkne

Avage klambrid ja lühendage
:

kust me saame:

Võrdsust (2) kasutades saame:

.

Viimase võrdsuse jagamine
, saame võrdsuse (4), p.t.d.

2) Nüüd täidab arvupaar (x, y) võrrandit (4) ja olgu M(x, y) vastav punkt Oxy koordinaattasandil.

Seejärel punktist (4) järeldub:

.

Asendame selle võrdsuse punkti M fookusraadiuste avaldisega:

.

Siin oleme kasutanud võrdsust (2) ja (3).

Sellel viisil,
. Samamoodi
.

Nüüd pange tähele, et võrdsusest (4) tuleneb, et

või
ja sellepärast
, siis järgneb järgmine ebavõrdsus:

.

Sellest omakorda järeldub, et

või
ja

,
. (5)

Võrdsustest (5) tuleneb, et
, st. punkt M(x, y) on ellipsi punkt jne.

Teoreem on tõestatud.

Definitsioon. Võrrandit (4) nimetatakse ellipsi kanooniliseks võrrandiks.

Definitsioon. Ellipsi kanoonilisi koordinaattelgi nimetatakse ellipsi põhitelgedeks.

Definitsioon. Ellipsi kanoonilise koordinaatsüsteemi alguspunkti nimetatakse ellipsi keskpunktiks.

punkt 3. Ellipsi omadused.

Teoreem. (Ellipsi omadused.)

1. Ellipsi kanoonilises koordinaatsüsteemis kõik

ellipsi punktid on ristkülikus

,
.

2. Punktid asuvad

3. Ellips on sümmeetriline kõver

nende põhiteljed.

4. Ellipsi keskpunkt on selle sümmeetriakese.

Tõestus. 1, 2) Tuleneb kohe ellipsi kanoonilisest võrrandist.

3, 4) Olgu M(x, y) ellipsi suvaline punkt. Siis vastavad selle koordinaadid võrrandile (4). Kuid siis rahuldavad ka punktide koordinaadid võrrandit (4) ja järelikult on need ellipsi punktid, millest tulenevad teoreemi väited.

Teoreem on tõestatud.

Definitsioon. Suurust 2a nimetatakse ellipsi peateljeks, suurust a ellipsi suureks poolteljeks.

Definitsioon. Suurust 2b nimetatakse ellipsi väiketeljeks, suurust b ellipsi väikepoolteljeks.

Definitsioon. Ellipsi lõikepunkte selle põhitelgedega nimetatakse ellipsitippudeks.

Kommenteeri. Ellipsi saab konstrueerida järgmisel viisil. Lennukil lööme trikkide sisse “naela” ja kinnitame nende külge pikkusega niidi
. Seejärel võtame pliiatsi ja kasutame seda niidi venitamiseks. Seejärel liigutame pliiatsi juhet mööda tasapinda, veendudes, et niit on pingul.

Ekstsentrilisuse määratlusest järeldub, et

Fikseerime arvu a ja laseme c nullida. Siis kl
,
ja
. Limiit, mille saame

või
on ringi võrrand.

Püüdleme nüüd
. Siis
,
ja me näeme, et piirjoones taandub ellips joonelõiguks
joonise 3 tähistuses.

punkt 4. Ellipsi parameetrilised võrrandid.

Teoreem. Lase
on suvalised reaalarvud. Siis võrrandisüsteem

,
(6)

on ellipsi parameetrilised võrrandid ellipsi kanoonilises koordinaatsüsteemis.

Tõestus. Piisab, kui tõestada, et võrrandisüsteem (6) on samaväärne võrrandiga (4), s.t. neil on samad lahendused.

1) Olgu (x, y) süsteemi (6) suvaline lahend. Jagage esimene võrrand a-ga, teine ​​​​b-ga, ruudustage mõlemad võrrandid ja lisage:

.

Need. süsteemi (6) iga lahendus (x, y) rahuldab võrrandit (4).

2) Ja vastupidi, olgu paar (x, y) võrrandi (4) lahend, s.t.

.

Sellest võrdsusest järeldub, et punkt koordinaatidega
asub ühiku raadiusega ringil, mille keskpunkt on alguspunktis, st. on trigonomeetrilise ringi punkt, mis vastab mingile nurgale
:

Siinuse ja koosinuse definitsioonist järeldub kohe, et

,
, kus
, millest järeldub, et paar (x, y) on süsteemi (6) lahendus jne.

Teoreem on tõestatud.

Kommenteeri. Ellipsi võib saada raadiusega a ringi ühtlase "kokkusurumise" tulemusena abstsisstelje suhtes.

Lase
on lähtepunktis tsentreeritud ringi võrrand. Ringi "kokkusurumine" abstsissteljele pole midagi muud kui koordinaattasandi teisendamine, mis viiakse läbi vastavalt järgmisele reeglile. Igasse punkti M(x, y) paneme vastavusse sama tasandi punkti
, kus
,
on "kokkusurumise" tegur.

Selle teisendusega "läbib" iga ringi punkt teise tasandi punkti, millel on sama abstsiss, kuid väiksem ordinaat. Väljendame punkti vana ordinaati uue all:

ja asendage ringvõrrandiga:

.

Siit saame:

. (7)

Siit järeldub, et kui enne "kokkusurumise" teisendust asetseb ringjoonel punkt M(x, y), s.o. selle koordinaadid rahuldasid ringvõrrandit, siis pärast "kokkusurumise" teisendust läks see punkt punktiks
, mille koordinaadid rahuldavad ellipsi võrrandit (7). Kui tahame saada ellipsi võrrandit väiksema poolteljega b, siis peame võtma tihendusteguri

.

punkt 5. Ellipsi puutuja.

Teoreem. Lase
- suvaline ellipsi punkt

.

Seejärel selle ellipsi puutuja võrrand punktis
tundub, et:

. (8)

Tõestus. Piisab, kui arvestada juhtumiga, kui puutumispunkt asub koordinaattasandi esimeses või teises veerandis:
. Ülemise pooltasandi ellipsi võrrand on järgmine:

. (9)

Kasutame funktsiooni graafiku puutuja võrrandit
punktis
:

kus
on selle funktsiooni tuletise väärtus punktis
. Esimese kvartali ellipsit võib vaadelda funktsiooni (8) graafikuna. Leiame selle tuletise ja väärtuse kokkupuutepunktis:

,

. Siin oleme ära kasutanud asjaolu, et puutepunkt
on ellipsi punkt ja seetõttu rahuldavad selle koordinaadid ellipsi võrrandit (9), s.t.

.

Asendame tuletise leitud väärtuse puutuja võrrandiga (10):

,

kust me saame:

See tähendab:

Jagame selle võrrandi kaheks
:

.

Jääb üle märkida, et
, sest punkt
kuulub ellipsi alla ja selle koordinaadid vastavad selle võrrandile.

Puutuja võrrand (8) tõestatakse sarnaselt puutujapunktis, mis asub koordinaattasandi kolmandas või neljandas veerandis.

Ja lõpuks näeme lihtsalt, et võrrand (8) annab võrrandi puutuja võrrandis punktides
,
:

või
ja
või
.

Teoreem on tõestatud.

punkt 6. Ellipsi peegelomadus.

Teoreem. Ellipsi puutujal on puutepunkti fookusraadiustega võrdsed nurgad.

Lase
- kontaktpunkt
,
on puutujapunkti fookusraadiused, P ja Q on fookuste projektsioonid punktis ellipsile tõmmatud puutujale
.

Teoreem väidab, et

. (11)

Seda võrdsust võib tõlgendada kui fookusest vabanenud ellipsi valguskiire langemis- ja peegeldusnurkade võrdsust. Seda omadust nimetatakse ellipsi peegelomaduseks:

Ellipsi fookusest eralduv valgusvihk läbib pärast peegeldumist ellipsi peeglist läbi teise ellipsi fookuse.

Teoreemi tõestus. Nurkade (11) võrdsuse tõestamiseks tõestame kolmnurkade sarnasust
ja
, milles küljed
ja
saab olema sarnane. Kuna kolmnurgad on täisnurksed, siis piisab võrdsuse tõestamiseks

Definitsioon. Ellips on punktide asukoht tasapinnal, nende kõigi kauguste summa selle tasandi kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne väärtus (eeldusel, et see väärtus on suurem kui fookuste vaheline kaugus).

Tähistame fookused läbi nendevahelise kauguse - läbi , ja konstantse väärtuse, mis on võrdne kauguste summaga ellipsi igast punktist fookustesse, läbi (tingimuse järgi).

Koostame Descartes'i koordinaatsüsteemi nii, et fookused on abstsissteljel ja koordinaatide alguspunkt langeb kokku lõigu keskkohaga (joonis 44). Siis on fookustel järgmised koordinaadid: vasak fookus ja parem fookus. Tuletame ellipsi võrrandi valitud koordinaatsüsteemis. Selleks kaaluge ellipsi suvalist punkti. Ellipsi definitsiooni järgi on selle punkti ja fookuste vahekauguste summa:

Kasutades kahe punkti vahelise kauguse valemit, saame seega

Selle võrrandi lihtsustamiseks kirjutame selle vormile

Seejärel annab võrrandi mõlema külje ruudustamine

või pärast ilmseid lihtsustusi:

Nüüd paneme jällegi võrrandi mõlemad pooled ruutu, mille järel saame:

või pärast identseid teisendusi:

Kuna ellipsi definitsiooni tingimuse kohaselt on siis positiivne arv. Tutvustame tähistust

Siis võtab võrrand järgmise kuju:

Ellipsi definitsiooni järgi vastavad selle mis tahes punkti koordinaadid võrrandile (26). Kuid võrrand (29) on võrrandi (26) tagajärg. Seetõttu rahuldab see ka ellipsi mis tahes punkti koordinaate.

Võib näidata, et punktide koordinaadid, mis ei asu ellipsil, ei rahulda võrrandit (29). Seega on võrrand (29) ellipsi võrrand. Seda nimetatakse ellipsi kanooniliseks võrrandiks.

Määrame ellipsi kuju, kasutades selle kanoonilist võrrandit.

Kõigepealt pange tähele, et see võrrand sisaldab ainult x ja y paarisastmeid. See tähendab, et kui mõni punkt kuulub ellipsisse, siis sisaldab see ka punkti, mis on sümmeetriline punktiga abstsisstellje ümber, ja punkti, mis on sümmeetriline punktiga y-telje ümber. Seega on ellipsil kaks üksteisega risti asetsevat sümmeetriatelge, mis meie valitud koordinaatsüsteemis langevad kokku koordinaattelgedega. Ellipsi sümmeetriatelgi nimetatakse ellipsi telgedeks ja nende lõikepunkti - ellipsi keskpunktiks. Telge, millel paiknevad ellipsi fookused (antud juhul abstsisstellgi), nimetatakse fookusteljeks.

Esimesel veerandil määrame kõigepealt ellipsi kuju. Selleks lahendame võrrandi (28) y suhtes:

On ilmne, et siin , kuna y võtab imaginaarsed väärtused . Suurenemisel 0-lt a-le kahaneb y b-lt 0-le. Esimesel veerandil paiknev ellipsi osa on kaar, mis on piiratud punktidega B (0; b) ja asub koordinaattelgedel (joonis 45). Kasutades nüüd ellipsi sümmeetriat, järeldame, et ellipsil on joonisel fig. 45.

Ellipsi ja telgede lõikepunkte nimetatakse ellipsi tippudeks. Ellipsi sümmeetriast järeldub, et ellipsil on lisaks tippudele veel kaks tippu (vt joon. 45).

Ellipsi vastandtippe ja neid ühendavaid lõike ning nende pikkusi nimetatakse vastavalt ellipsi suur- ja väiketeljeks. Arve a ja b nimetatakse vastavalt ellipsi suur- ja väikepooltelgedeks.

Poole fookuste ja ellipsi poolpeatelje vahelise kauguse suhet nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks ja seda tähistatakse tavaliselt tähega:

Kuna , siis on ellipsi ekstsentrilisus väiksem kui üks: Ekstsentrilisus iseloomustab ellipsi kuju. Tõepoolest, valemist (28) järeldub, et mida väiksem on ellipsi ekstsentrilisus, seda vähem erineb selle väikepooltelg b suurest poolteljest a, st seda vähem on ellips pikenenud (piki fookuskaugust). telg).

Piiraval juhul, kui saate ringi raadiusega a: , või . Samal ajal ühinevad ellipsi fookused justkui ühes punktis - ringi keskpunktis. Ringi ekstsentrilisus on null:

Seost ellipsi ja ringi vahel saab luua ka teisest vaatenurgast. Näitame, et pooltelgedega a ja b ellipsi võib pidada ringjoone projektsiooniks raadiusega a.

Vaatleme kahte tasapinda P ja Q, mis moodustavad omavahel sellise nurga a, mille puhul (joon. 46). Konstrueerime P-tasandil koordinaatide süsteemi ja Q-tasandil Oxy-süsteemi, millel on ühine alguspunkt O ja ühine abstsisstelg, mis langeb kokku tasandite lõikejoonega. Vaatleme tasapinnal P ringi

tsentreeritud lähtepunkti ja raadiusega a. Olgu suvaliselt valitud ringi punkt, selle projektsioon Q-tasandile ja punkti M projektsioon Ox-teljele. Näitame, et punkt asub ellipsil, mille poolteljed on a ja b.