Perpendikulaarsete joonte omadused ristsirgete tõestuseks. Kaldus omadused

GEOMEETIA

II jaotis. STEREOMETIA

§ kaheksa. PERpendIULNE JA KALTU. LENNUKI KALDU EENDUMINE.

2. Risti ja kaldu omadused.

Mõelge risti ja kaldu omadustele.

1) Antud punktist tasapinnale langetatud rist on väiksem kui mis tahes samast punktist tasapinnale tõmmatud kaldus.

Joonis 411: AK.

2) Kui kaks antud punktist tasapinnale tõmmatud kaldjoont on võrdsed, siis on nende projektsioonid võrdsed.

K1 ja risti AN ja AK \u003d AK 1. Siis omaduse järgi: NK = NK 1 .

3) Kui kahel antud punktist antud tasapinnale tõmmatud kaldjoonel on võrdsed projektsioonid, siis on nad üksteisega võrdsed.

Joonisel 412 on punktist A tasapinnale a tõmmatud kaks kaldpunkti AK ja A K1 ja risti AH, pealegi KH = K 1 N. Siis omaduse järgi: AK = AK 1 .

4) Kui antud punktist tasapinnale tõmmatakse kaks kaldtasapinda, siis suurel kaldpinnal on suur projektsioon.

L ja risti AN, A K > AL . Siis vara järgi: H K > HL .

5) Kui antud punktist tasapinnale tõmmatakse kaks kaldjoont, siis suurim neist on see, millel on suur projektsioon sellele tasapinnale.

Joonisel 413 on punktist A tasapinnale a tõmmatud kaks kaldpunkti AK ja A L ja risti AN, NK> H L . Siis vara järgi: AK> A L.

Näide 1. Punktist tasapinnale tõmmatakse kaks kaldjoont, mille pikkused on 41 cm ja 50 cm Leidke kaldjoonte projektsioonid, kui need on seotud 3:10, ja kaugus punktist lennuk.

Lahendused. 1) A L = 41 cm; AK = 50 cm (joonis 413). Vara järgi on meil H L NK. Tähistage H L = 3 x cm, HK = 10 x cm, AH = h vaata AN - kaugus punktist A tasapinnaniα .

4) Võrdstades saame 41 2 - 9x 2 = 50 2 - 100 x 2; x 2 = 9; x = 3 (antud x> 0). Niisiis, Н L = 3 ∙ 3 = 9 (cm), NK = 10 ∙ 3 = 30 (cm).

Näide 2. Antud punktist kuni joonistatakse kaks kaldtasandit, kumbkisentimeetrites. Kaldnurkade vaheline nurk on 60 ° ja nende projektsioonide vaheline nurk on sirgjoon. Leia kaugus punktist tasapinnani.

1. Läbi punkti AGA(joonis 3) saab tõmmata ainult ühe risti AB sirgjoonele CD; muud punkti läbivad sirged AGA ja ületamine CD, kutsutakse kaldus sirgjooned (Joonis 3, sirge AE ja AF).

2. Punktist A võite langetada risti sirgjoonega CD; risti pikkus (lõigu pikkus AB) tõmmatud punktist AGA otse CD, on lühim kaugus A enne CD(joonis 3).

3. Mitu risti, mis on tõmmatud läbi sirge punktide sirgjoonele, ei ristu kunagi üksteisega (joonis 4).

Märgid: tasapinnal on üks märk – 4 täisnurka (90).
3-mõõtmelises ruumis: 2 joont on risti, kui need on resp. on paralleelsed 2 sirgjoonega, mis asuvad samal tasapinnal ja on üksteisega risti.
Tavaliselt räägitakse sirgjoone ja tasapinna perp-sti märkidest ...

Tasapinna perpendikulaarsus

Definitsioon Nimetatakse kahte ristuvat tasapinda risti kui kolmas tasapind, mis on risti nende tasandite lõikejoonega, lõikab neid piki ristsirge.
5. teoreem Kui tasapind läbib teise tasapinnaga risti olevat sirget, siis on need tasapinnad risti. Tõestus.
5. teoreem MÄRK TASANDI PERpendikulaarsusest. Kui tasapind läbib teise tasapinnaga risti olevat sirget, siis on need tasapinnad risti.
Tõestus: Olgu tasapind, b - sellega risti olev joon, - joont b läbiv tasapind ja c - joon, mida mööda tasapinnad ja lõikuvad. Tõestame, et tasapinnad ja on risti. Joonistame tasapinnale läbi sirge b ja tasapinna lõikepunkti sirge a, mis on risti sirgega c. Joonistame tasapinna läbi sirgete a ja b. See on risti sirgega c, kuna sirged a ja b on risti, tasapinnad ja on risti. Teoreem on tõestatud.

Sirge ja tasapinna risti

Definitsioon Tasapinnaga lõikuvat sirget nimetatakse risti see tasapind, kui see on risti iga sirgega, mis asub antud tasapinnal ja läbib lõikepunkti. Vaata ka viiteülesannet nr 1.
1. teoreem SIRG JA TASANDI PERpendISURSUSE MÄRK. Kui tasapinda lõikuva sirge on risti kahe sirgega sellel tasapinnal, mis läbivad antud sirge ja tasandi lõikepunkti, siis on see tasandiga risti. Tõestus.
2. teoreem 1. RISTIJOONTE JA TASANDITE OMADUS. Kui tasapind on risti ühega kahest paralleelsest sirgest, siis on see risti ka teisega. Tõestus.
3. teoreem 2. RISTIJOONTE JA TASANDIDE OMADUS. Kaks sama tasapinnaga risti olevat sirget on paralleelsed. Tõestus.

1. Rööpjooned ruumis

Kahte ruumis olevat sirget nimetatakse paralleelseks, kui nad asuvad samal tasapinnal ega ristu.

Sirgete a ja b paralleelsust tähistatakse järgmiselt: a∥b või b∥a.

Teoreem 1. Tasapinda on võimalik joonistada läbi kahe paralleelse sirge, kusjuures ainult ühe.

Teoreem 2. Läbi mis tahes punkti ruumis väljaspool antud sirget saab tõmmata antud sirgega paralleelse sirge ja ainult ühe.

Teoreem 3. Kui üks kahest paralleelsest sirgest lõikub antud tasapinnaga, siis lõikub seda tasandit ka teine ​​sirge.

Teoreem 4. Kaks kolmanda sirgega paralleelset sirget on paralleelsed.

Teoreem 3.2.

Kaks kolmandaga paralleelset sirget on paralleelsed.

Seda omadust nimetatakse transitiivsus paralleelsed jooned.

Tõestus

Paralleelsete sirgete omadus on antud järgmise teoreemiga, tagurpidi teoreemile 3.1.

Teoreem 3.4.

Kui kahte paralleelset sirget lõikab kolmas sirge, on ristuvad sisenurgad võrdsed.

Tõestus

Selle teoreemi alusel on järgmised omadused kergesti põhjendatavad.

• Kui kahte paralleelset sirget lõikub kolmas sirge, on vastavad nurgad võrdsed.
• Kui kahte paralleelset sirget lõikub kolmas sirge, on sisemiste ühepoolsete nurkade summa 180°.

Järeldus 3.2.

Kui sirge on risti ühe paralleelse sirgega, siis on see ka teisega risti.

Paralleelsuse mõiste võimaldab meil kasutusele võtta järgmise uue mõiste, mida läheb vaja hiljem 11. peatükis.

Kaks tala on nn võrdselt suunatud , kui on selline sirge, et esiteks on nad selle sirgega risti ja teiseks asuvad kiired selle sirge suhtes ühel pooltasandil.

Kaks tala on nn vastassuunas , kui igaüks neist on võrdselt suunatud teist täiendava kiirga.

samasuunalised talad AB ja CD tähistame: ja vastassuunas kiiri AB ja CD –

Tasapinnaline paralleelsus

©2015-2019 sait
Kõik õigused kuuluvad nende autoritele. See sait ei pretendeeri autorlusele, kuid pakub tasuta kasutamist.
Lehe loomise kuupäev: 2017-08-26

a) Läbi punkti AGA saab tõmmata ainult ühe risti AGAH sirgjoonele BT; muud punkti läbivad sirged AGA ja ületamine BT, kutsutakse kaldus(otsene AGAb,AC ja AGAT).

b) Perpendikulaari pikkus ( segmendi pikkus AGA H ) tõmmatud punktist AGA otse BT, on lühim kaugus A enne BT.

Kaugus punktist jooneni helistas risti pikkus tõmmatud sellest punktist sirgjoonele.

c) Mitu risti, mis on tõmmatud läbi erinevate punktide ühele sirgele, ei ristu kunagi üksteisega.

15. Kolmnurk- See on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest punktist, mis ei asu samal sirgel, ja kolmest neid punkte ühendavast segmendist. Punkte nimetatakse tipud ja segmendid kolmnurga küljed.

Tipud: A, B, C

Osapooled: AC, AB, BC või vastavalt b, c, a.

Perimeeter Kolmnurka, nagu iga teist kujundit, nimetatakse kõigi külgede pikkuste summaks. Perimeeter- kreeka sõna peri - "ümber", "umbes" ja metreo - "ma mõõdan".

16. Kui kaks kolmnurka on võrdsed, siis on ühe kolmnurga elemendid (st kolm külge ja kolm nurka) vastavalt võrdsed teise kolmnurga elementidega.

Võrdsete kolmnurkade kõik vastavad elemendid on võrdsed (küljed, nurgad, kõrgused, mediaanid, poolitajad, keskjooned jne)

Võrdsetel kolmnurkadel on võrdsed nurgad võrdsete külgede vastas ja võrdsed küljed võrdsete nurkade vastas.

17. Teoreem- väide, mille paikapidavus tehakse kindlaks põhjendusega. Arutluskäiku ennast nimetatakse teoreemi tõestus. Teoreem koosneb kahest väitest: väide-tingimus, väide-järeldus. Teoreemi saab alati kirjutada järgmiselt:

Kui "väide-tingimus", siis "väide-järeldus".

Märk on omadus, mille järgi objekti tuntakse või ära tuntakse, objekti omadus, mis määrab selle erinevuse või ühisuse teiste objektidega.

Märk matemaatikas on teoreem, mis ütleb, et teatud tingimused tagavad kujundi (kujundite) kuulumise kindlasse eelnevalt määratletud hulka (näiteks kolmnurkade hulka).

18. Teoreem. Kolmnurkade võrdsuse esimene märk. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed.

Kui a

siis

19. kolmnurga kõrgus nimetatakse risti, mis on tõmmatud kolmnurga tipust vastaskülge sisaldavale sirgele.

Kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse ortotsenter kolmnurk.

h a on tipust A külje a tõmmatud kõrgus,

h b - kõrgus tõmmatud tipust B küljele b,

h c - kõrgus tõmmatud tipust C küljele c.

20. mediaan(lat. mediana- keskmine) kolmnurk Nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga. Kolmnurga kolm mediaani lõikuvad ühes punktis.

21. Kolmnurga poolitaja helistas kolmnurga nurga poolitaja kolmnurga tipu ühendamine vastasküljel oleva punktiga.

l a on nurga A poolitaja, l b on nurga B poolitaja,

Definitsioon.1. Paralleelselt sirge
Definitsioon.2. Perpendikulaarsed jooned
Teoreem.1. Paralleelsete sirgete I omadus
Teoreem.2. Paralleelsete sirgete II omadus
Teoreem.3. Paralleeljoonte III omadus
Teoreem.4. Paralleeljoonte IV omadus
Teoreem.5. Paralleelsete sirgete V omadus
Teoreem.6. Märgistan paralleelsed sirged
Teoreem.7. Paralleelsete joonte II märk
Teoreem.8. Paralleelsete joonte III märk
Teoreem.9. Paralleelsete joonte IV märk
Teoreem 10. Paralleelsirgete V-kriteerium
Teoreem 11. Kaks kolmandikuga paralleelset sirget
Teoreem 11.1 Järeldus
Teoreem 12. Sirge, mis lõikab ühte paralleelsirgetest
Teoreem 13. Paralleelsirgete lõigud
Teoreem 14. Thalese teoreem
Teoreem 14.1. Nurga külgi lõikuvad paralleelsed sirged
Teoreem 15. Sirge, mis on risti ühe paralleelse sirgega
Teoreem 16. Kaks (või enam) sirget, mis on risti kolmanda sirgega

Definitsioon 1. Paralleelsed on sirged, mis ei ristu, hoolimata sellest, kui palju me neid jätkame.
Pildi peal a ja b. 2. definitsioon. Perpendikulaarsed on sirged, mis lõikuvad täisnurga all.
Pildi peal c ja d.
Kui sirge paar (antud juhul paralleelne) lõikub teatud sirgega (sellist sirget nimetatakse sekant sirgjoon) moodustuvad järgmised nurgad (lisaks teemas läbitud külgnevatele ja vertikaalnurkadele):
Sisemised risti asetsevad nurgad - 2 ja 8; 3 ja 5
Välised risti asetsevad nurgad - 1 ja 7; 4 ja 6
Sisemised ühepoolsed nurgad - 2 ja 5; 3 ja 8
Välised ühepoolsed nurgad - 1 ja 6; 4 ja 7
Vastavad nurgad on 1 ja 5; 2 ja 6; 3 ja 7; 4 ja 8
Nende nurkade vahelt saab tuletada mustreid. Paralleelsete joonte omadused:
1. teoreem. Ristuvad sisenurgad on võrdsed

Tõestus: Olgu a ja b kaks paralleelset sirget, c sekant, A ja B lõikepunktid nende sirgetega. Olgu teoreemi väide vale. Seejärel tõmmake läbi punkti A sirge d nii, et joonte b ja d sisemised ristnurgad ning sekant c on võrdsed. Siis sirged b ja d on sirged paralleelsuse esimese märgi järgi paralleelsed. Kuid sirged b ja a on paralleelsed. Seega läbib punkte A - a ja d paralleelselt sirgega b kaks sirget. See on vastuolus IX aksioomiga. Seega on teoreemi väide tõene. Teoreem on tõestatud.
2. teoreem. Välimised diagonaalnurgad on võrdsed

Tõestus:
3. teoreem. Sisemiste ühepoolsete nurkade summa on 180 kraadi

Tõestus: See on ilmne paralleelsete sirgete esimesest omadusest.
4. teoreem. Väliste ühepoolsete nurkade summa on 180 kraadi

Tõestus: See on ilmne paralleelsete sirgete esimesest omadusest.
5. teoreem. Vastavad nurgad on

Tõestus: See on ilmne paralleelsete sirgete esimesest omadusest.

Paralleelsete joonte märgid :

Tõestus:
8. teoreem. Kui kahe sirge ristumiskohas a ja b kolmas otsene Koos sisemiste ühepoolsete nurkade summa on 180 kraadi (üks paar), siis sellised sirged a ja b on paralleelsed

Tõestus: Ilmselgelt paralleelsete joonte esimesest märgist.
9. teoreem. Kui kahe sirge ristumiskohas a ja b kolmas otsene Koos väliste ühepoolsete nurkade summa võrdub 180 kraadiga (üks paar), siis sellised sirged a ja b on paralleelsed

Tõestus: Ilmselgelt paralleelsete joonte esimesest märgist.
10. teoreem. Kui kahe sirge ristumiskohas a ja b kolmas otsene Koos vastavad nurgad on võrdsed (üks paar), siis sellised jooned a ja b on paralleelsed

Tõestus: Ilmselgelt paralleelsete joonte esimesest märgist.
11. teoreem . Kaks kolmandikuga paralleelset sirget on paralleelsed.

Tõestus: Olgu sirged a ja b paralleelsed sirgega c. Oletame, et sirged a ja b ei ole paralleelsed. Siis kas sirged a ja b langevad kokku, mis on tingimusega vastuolus, või lõikuvad mingis punktis S. Seejärel läbivad kaks sirget S - a ja b paralleelselt sirgega c, mis on vastuolus IX aksioomiga. Nii et esialgne oletus on vale. Teoreem on tõestatud.
Teoreem 11.1 . Kui kolmas joon tõmmatakse paralleelselt ühega kahest paralleelsest sirgest, on teine ​​neist sirgest kas paralleelne kolmandaga või ühtib sellega.

Tõestus: See ilmneb sirgete paralleelsuse teoreemist 11.
12. teoreem . Kui sirge lõikab üht paralleelset sirget, siis lõikub ka teist.
13. teoreem . Teatud (teise) paralleeljoonte paari vahele jäävad paralleelsete joonte lõigud on võrdsed.
14. teoreem . (Thalese teoreem) Kui nurga külgi lõikuvad paralleelsed sirged lõikavad nurga ühelt küljelt võrdsed lõigud, siis nurga teisel küljel lõikavad nad võrdsed lõigud.

Tõestus: Olgu A 1 , A 2 , A 3 paralleelsete sirgete lõikepunktid nurga ühel küljel ja punkt A 2 asub punktide A 1 ja A 3 vahel. Olgu B 1 , B 2 , B 3 nende sirgete vastavad lõikepunktid nurga teise küljega. Tõestame, et kui A 1 A 2 = A 2 A 3 , siis B 1 B 2 = B 2 B 3 . Joondame läbi punkti B 2 sirge A 1 A 3 paralleelse sirge EF. Kolmnurgad EB 2 B 1 ja FB 2 B 3 on teise kolmnurga võrdsuse kriteeriumi järgi võrdsed. Nende küljed EB 2 ja FA 2 on tingimuselt võrdsed, nurgad B 1 B 2 E ja B 3 B 2 F on vertikaalsed ning nurgad B 1 EB 2 ja B 2 FB 3 on võrdsed sisemise risti asetsevate nurga all. sekant EF. Seega B 1 B 2 = B 2 B 3 . Q.E.D.
Teoreem 14.1. . Nurga külgi ristuvad paralleelsed jooned lõikavad ära proportsionaalsed segmendid.

15. teoreem . Kaks (või enam) sirget, mis on risti kolmanda sirgega, on paralleelsed.

Tõestus: Tõepoolest, sisemised ristnurgad on 90°. Seetõttu on paralleelsete joonte esimese märgi järgi need sirged paralleelsed.
16. teoreem . Kui sirge on risti ühe paralleelse sirgega, siis on see ka teisega risti.

Tõestus: Ilmselgelt teoreemist 15.