Kirjutage valemid põhiliste elementaarfunktsioonide eristamiseks. Diferentseerimise valemid ja reeglid (tuletise leidmine)

Elementaarfunktsioonide tuletiste tabel

Definitsioon 1

Tuletise arvutamist nimetatakse eristamist.

Tähistage tuletist $y"$ või $\frac(dy)(dx)$.

Märkus 1

Funktsiooni tuletise leidmiseks teisendatakse põhireeglite kohaselt diferentseerimine teiseks funktsiooniks.

Vaatleme tuletisinstrumentide tabelit. Pöörame tähelepanu asjaolule, et funktsioonid pärast nende tuletiste leidmist muudetakse teisteks funktsioonideks.

Ainus erand on $y=e^x$, mis muutub iseendaks.

Tuletiste diferentseerimise reeglid

Kõige sagedamini tuleb tuletise leidmisel mitte ainult vaadata tuletisi tabelit, vaid kõigepealt rakendada diferentseerimisreegleid ja korrutise tuletise tõestust ning alles seejärel kasutada elementaarfunktsioonide tuletisi tabelit. .

1. Konstant võetakse tuletise märgist välja

$C$ on konstant (konstant).

Näide 1

Eristage funktsiooni $y=7x^4$.

Lahendus.

Otsige üles $y"=(7x^4)"$. Võtame tuletise märgiks välja arvu $7$, saame:

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

tabeli abil peate leidma võimsusfunktsiooni tuletise väärtuse:

$=7 \cdot 4x^3=$

Teisendame tulemuse matemaatikas aktsepteeritud kujule:

Vastus:$28x^3$.

2. Summa (erinevuse) tuletis võrdub tuletiste summaga (vahega):

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

Näide 2

Eristage funktsioon $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$.

Lahendus.

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$

rakendage tuletissumma ja vahe diferentseerimise reeglit:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\voodi x)"=$

pane tähele, et eristamisel tuleb kõik astmed ja juured teisendada kujule $x^(\frac(a)(b))$;

võtame tuletise märgist välja kõik konstandid:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\voodi x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\voodi x)"=$

olles käsitlenud eristamise reegleid, rakendatakse mõnda neist (näiteks nagu kaks viimast) üheaegselt, et vältida pika avaldise ümberkirjutamist;

tuletise märgi alla oleme saanud avaldise elementaarfunktsioonidest; Kasutame tuletiste tabelit:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$

teisenda matemaatikas aktsepteeritud vormile:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x) $

Pange tähele, et tulemuse leidmisel on tavaks teisendada murdarvuga terminid juurteks ja negatiivsetega murdudeks.

Vastus: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x )$.

3. Funktsioonide korrutise tuletise valem:

$(uv)"=u" v+uv"$.

Näide 3

Eristage funktsioon $y=x^(11) \ln x$.

Lahendus.

Kõigepealt rakendame funktsioonide korrutise tuletise arvutamise reeglit ja seejärel tuletiste tabelit:

$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnthx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$.

Vastus: $x^(10) (11 \ln x-1)$.

4. Privaatfunktsiooni tuletise valem:

$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.

Näide 4

Eristage funktsiooni $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$.

Lahendus.

$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$

matemaatiliste tehete ülimuslikkuse reeglite järgi teostame esmalt jagamise ning seejärel liitmise ja lahutamise, seega rakendame esmalt jagatise tuletise arvutamise reeglit:

$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$

rakendage summa ja vahe tuletiste reegleid, avage sulud ja lihtsustage avaldist:

$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .

Vastus:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.

Näide 5

Eristagem funktsiooni $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$.

Lahendus.

Funktsioon y on kahe funktsiooni jagatis, seega saame rakendada jagatise tuletise arvutamise reeglit, kuid sel juhul saame tülika funktsiooni. Selle funktsiooni lihtsustamiseks saate jagada lugeja nimetajaga terminiga:

$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.

Rakendame lihtsustatud funktsioonile funktsioonide summa ja erinevuse diferentseerimise reeglit:

$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$

$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.

Vastus: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.

Olgu funktsioon y = f(x) defineeritud intervallis X. tuletis funktsiooni y \u003d f (x) punktis x o nimetatakse piiriks

= .

Kui see piir piiratud, siis kutsutakse funktsioon f(x). eristatav punktis x o; pealegi osutub see siinkohal tingimata ja pidevaks.

Kui vaadeldav piirväärtus on võrdne  (või - ), siis tingimusel, et funktsioon punktis X o on pidev, siis ütleme, et funktsioonil f(x) on punkt X o lõpmatu tuletis.

Tuletist tähistatakse sümbolitega

y , f (x o), , .

Tuletise leidmist nimetatakse eristamist funktsioonid. Tuletise geomeetriline tähendus tuletis on kõvera y=f(x) puutuja kalle antud punktis X o ; füüsiline tunne - selles, et tee tuletis aja suhtes on liikuva punkti hetkkiirus sirgjoonelisel liikumisel s = s(t) hetkel t o .

Kui a Koos on konstantne arv ja u = u(x), v = v(x) on mõned diferentseeruvad funktsioonid, siis kehtivad järgmised diferentseerimisreeglid:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" \u003d u "v + v" u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) kui y = f(u), u = (x), s.o. y = f((x)) - keeruline funktsioon, või superpositsioon, mis koosneb diferentseeruvatest funktsioonidest  ja f, siis , või

6) kui funktsiooni y = f(x) jaoks on olemas pöörddiferentseeruv funktsioon x = g(y) ja  0, siis .

Tuletise definitsiooni ja diferentseerimisreeglite alusel saab koostada põhiliste elementaarfunktsioonide tabelituletisi loendi.

1. (u )" =  u  1 u" (  R).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Arvutame eksponentsiaalse avaldise y=u v , (u>0) tuletise, kus u ja v funktsiooni olemus X millel on antud punktis tuletised sina",v".

Võttes võrrandi y=u v logaritmi, saame ln y = v ln u.

Tuletiste võrdsustamine suhtes X saadud võrdsuse mõlemast osast, kasutades reegleid 3, 5 ja logaritmilise funktsiooni tuletise valemit, saame:

y"/y = vu"/u + v" ln u, kust y" = y (vu"/u + v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" log u), u > 0.

Näiteks kui y \u003d x sin x, siis y" \u003d x sin x (sin x / x + cos x ln x).

Kui funktsioon y = f(x) on punktis diferentseeruv x, st. on selles punktis lõplik tuletis y", siis = y "+, kus 0 juures х 0; seega  y = y" х +  x.

Funktsiooni juurdekasvu põhiosa, lineaarne x suhtes, nimetatakse diferentsiaal funktsioonid ja seda tähistatakse dy-ga: dy \u003d y "x. Kui paneme sellesse valemisse y \u003d x, siis saame dx \u003d x" x \u003d 1x \u003d x, seega dy \u003d x y "dx, st tuletise tähise sümbolit võib pidada murdarvuks.

Funktsiooni juurdekasv  y on kõvera ordinaadi juurdekasv ja diferentsiaal d y on puutuja ordinaadi juurdekasv.

Leiame funktsiooni y=f(x) jaoks selle tuletise y = f (x). Selle tuletise tuletist nimetatakse teist järku tuletis funktsioonid f(x), või teine tuletis, ja tähistatud .

Järgmised on määratletud ja tähistatud samal viisil:

kolmandat järku tuletis - ,

neljandat järku tuletis -

ja üldiselt n-ndat järku tuletis - .

Näide 3.15. Arvutage funktsiooni y=(3x 3 -2x+1)sin x tuletis.

Lahendus. Reegli 3 järgi y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1) cos x.

Näide 3.16 . Leia y", y = tg x + .

Lahendus. Kasutades summa ja jagatise eristamise reegleid, saame: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Näide 3.17. Leia kompleksfunktsiooni y= , u=x 4 +1 tuletis.

Lahendus. Kompleksfunktsiooni diferentseerimise reegli kohaselt saame: y "x \u003d y " u u" x \u003d () " u (x 4 +1)" x \u003d (2u +. Kuna u \u003d x 4 +1, seejärel (2 x 4 + 2+ .

Kõigis allolevates valemites tähed u ja v tähistatakse sõltumatu muutuja diferentseeruvaid funktsioone x: , , aga kirjadega a, c, n- alaline:

Ülejäänud valemid on kirjutatud nii sõltumatu muutuja funktsioonide kui ka keerukate funktsioonide jaoks:

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

7a.

8a.

9a.

11a.

12a.

13a.

16a.

17a.

Alltoodud näidete lahendamisel tehakse üksikasjalikud märkmed. Siiski tuleks õppida vahet tegema ilma vahepealsete sissekanneteta.

Näide 1 Leia funktsiooni tuletis .

Lahendus. See funktsioon on funktsioonide algebraline summa. Me eristame seda valemite 3, 5, 7 ja 8 abil:

Näide 2 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Rakendades valemeid 6, 3, 7 ja 1, saame

Näide 3 Leia funktsiooni tuletis ja arvutage selle väärtus

Lahendus. See on vahepealse argumendiga keerukas funktsioon. Kasutades valemeid 7a ja 10, saame

Näide 4 Leia funktsiooni tuletis .

Lahendus. See on vahepealse argumendiga keerukas funktsioon. Rakendades valemeid 3, 5, 7a, 11, 16a, saame

Näide 5 Leia funktsiooni tuletis .

Lahendus. Me eristame seda funktsiooni valemitega 6, 12, 3 ja 1:

Näide 6 Leia funktsiooni tuletis ja arvutage selle väärtus .

Lahendus. Esiteks teisendame funktsiooni logaritmide omaduste abil:

Nüüd eristame valemitega 3, 16a, 7 ja 1:

Arvutame tuletise väärtuse .

Näide 7 Leidke funktsiooni tuletis ja arvutage selle väärtus .

Lahendus. Kasutame valemeid 6, 3, 14a, 9a, 5 ja 1:

Arvutage tuletise väärtus kohas:

Tuletise geomeetriline tähendus.

Funktsiooni tuletis on lihtsa ja olulise geomeetrilise tõlgendusega.

Kui funktsioon punktis eristatav X, siis on selle funktsiooni graafikul puutuja vastavas punktis ja puutuja kalle on võrdne tuletise väärtusega vaadeldavas punktis.

Funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kalle punktis ( X 0 , juures 0), on võrdne funktsiooni tuletise väärtusega at x = x 0, st. .

Selle puutuja võrrandil on vorm

Näide 8. Kirjutage funktsioonigraafiku puutuja võrrand punktis A (3.6).

Lahendus. Puutuja kalde leidmiseks leiame selle funktsiooni tuletise:

X= 3:

Tangensvõrrandil on vorm

, või , st.

Näide 9 Koostage funktsiooni graafikule abstsissiga punktis tõmmatud puutuja võrrand x=2.

Lahendus. Esiteks leidke puutepunkti ordinaat. Kuna punkt A asub kõveral, rahuldavad selle koordinaadid kõvera võrrandit, s.t.

; .

Punktis kõverale tõmmatud puutuja võrrandil on vorm . Puutuja kalde leidmiseks leiame tuletise:

Puutuja kalle on võrdne funktsiooni tuletise väärtusega at X= 2:

Tangensi võrrand on järgmine:

, , st.

Tuletise füüsikaline tähendus. Kui keha liigub seaduse järgi sirgjooneliselt s=s(t), seejärel teatud aja jooksul (alates hetkest t hetkeni ) see läheb kuidagi. Siis on mingi aja keskmine liikumiskiirus .

kiirust keha liigutused teatud ajahetkel t nimetatakse tee ja aja juurdekasvu suhte piiriks, kui aja juurdekasv kipub olema null:

Seetõttu on tee s ajatuletis t võrdne keha sirgjoonelise liikumise kiirusega antud ajahetkel:

Füüsikaliste, keemiliste ja muude protsesside kiirust väljendatakse ka tuletise abil.

Funktsiooni tuletis on võrdne selle funktsiooni muutumiskiirusega argumendi antud väärtuse korral X:

Näide 10 Punkti piki sirgjoont liikumise seadus on antud valemiga (s - meetrites, t - sekundites). Leidke punkti kiirus esimese sekundi lõpus.

Lahendus. Punkti kiirus antud ajahetkel on võrdne tee tuletisega s aja järgi t:

Seega on punkti kiirus esimese sekundi lõpus 9 m/s.

Näide 11. Vertikaalselt üles visatud keha liigub vastavalt seadusele , kus v 0 - algkiirus, g on vabalangemise kiirendus. Leidke selle liikumise kiirus mis tahes ajahetkel t. Kui kaua kerkib ja millisele kõrgusele tõuseb, kui v0= 40 m/s?

Lahendus. Kiirus, millega punkt teatud ajahetkel liigub t võrdne tee tuletisega s aja järgi t:

Tõusu kõrgeimas punktis on keha kiirus null:

, , , , Koos.

üle 40/ g sekundit tõuseb keha kõrgusele

, m.

Teine tuletis.

Funktsiooni tuletis üldiselt on funktsioon X. Kui arvutame selle funktsiooni tuletise, siis saame funktsiooni teist järku tuletise või teise tuletise .

Teine tuletis funktsioonid nimetatakse selle esimese tuletise tuletiseks .

Funktsiooni teist tuletist tähistatakse ühe sümboliga - , , . Sellel viisil, .

Mis tahes järjestust tuletisinstrumente määratletakse ja tähistatakse sarnaselt. Näiteks kolmandat järku tuletis:

või ,

Näide 12. .

Lahendus. Kõigepealt leiame esimese tuletise

Näide 13 Leia funktsiooni teine tuletis ja arvutage selle väärtus x=2.

Lahendus. Kõigepealt leiame esimese tuletise:

Jällegi eristades leiame teise tuletise:

Arvutame teise tuletise väärtuse at x=2; meil on

Teise tuletise füüsikaline tähendus.

Kui keha liigub seaduse järgi sirgjooneliselt s = s(t), siis tee teine tuletis s aja järgi t võrdne keha kiirendusega antud ajahetkel t:

Seega esimene tuletis iseloomustab mõne protsessi kiirust ja teine tuletis sama protsessi kiirendust.

Näide 14 Punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele . Leidke liikumise kiirus ja kiirendus .

Lahendus. Keha kiirus antud ajahetkel on võrdne tee tuletisega s aja järgi t, ja kiirendus on tee teine tuletis s aja järgi t. Leiame:

; siis ;

; siis

Näide 15 Sirgjoonelise liikumise kiirus on võrdeline läbitud tee ruutjuurega (nagu näiteks vaba langemise korral). Tõesta, et see liikumine toimub konstantse jõu mõjul.

Lahendus. Newtoni seaduse järgi on liikumist põhjustav jõud F võrdeline kiirendusega, s.o.

või

Vastavalt seisundile . Seda võrdsust eristades leiame

Seega tegutsev jõud .

Tuletise rakendused funktsiooni uurimisel.

1) Funktsiooni suurenemise tingimus: Diferentseeruv funktsioon y = f(x) suureneb monotoonselt intervallil X siis ja ainult siis, kui selle tuletis on suurem kui null, s.t. y = f(x) f'(x) > 0. See tingimus tähendab geomeetriliselt, et selle funktsiooni graafiku puutuja moodustab teravnurga, mille suund on x-telje suhtes positiivne.

2) Funktsiooni vähenemise tingimus: Diferentseeruv funktsioon y = f(x) väheneb monotoonselt intervallil X siis ja ainult siis, kui selle tuletis on väiksem kui null, s.t.

y = f(x)↓ f'(x) See tingimus tähendab geomeetriliselt, et selle funktsiooni graafiku puutuja moodustab nürinurga oX-telje positiivse suunaga)

3) funktsiooni püsivuse tingimus: Diferentseeruv funktsioon y = f(x) on intervallil X konstantne siis ja ainult siis, kui selle tuletis on võrdne nulliga, s.t. y = f(x) – konstant f'(x) = 0. See tingimus tähendab geomeetriliselt, et selle funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne oX-teljega, st α \u003d 0)

Funktsiooni äärmused.

Definitsioon 1: kutsutakse punkt x \u003d x 0 miinimumpunkt funktsioon y = f(x), kui sellel punktil on naabrus, mille kõigi punktide jaoks (välja arvatud punkt ise) on võrratus f(x)> f(x 0)

Definitsioon 2: Nimetatakse punkti x \u003d x 0 maksimaalne punkt funktsioon y = f(x), kui sellel punktil on naabruskond, mille kõigi punktide jaoks (välja arvatud punkt ise) on võrratus f(x)< f(x 0).

Definitsioon 3: funktsiooni miinimum- või maksimumpunkti nimetatakse punktiks äärmus. Funktsiooni väärtust selles punktis nimetatakse äärmuslikuks.

Märkused: 1. Maksimaalne (minimaalne) ei pruugi olla funktsiooni maksimaalne (väikseim) väärtus;

2. Funktsioonil võib olla mitu maksimumi või miinimumi;

3. Lõigul defineeritud funktsioon võib jõuda ekstreemumini ainult selle lõigu sisemistes punktides.

5) Ekstreemumi vajalik tingimus: Kui funktsioonil y \u003d f (x) on ekstreemum punktis x \u003d x 0, siis on selles punktis tuletis võrdne nulliga või seda ei eksisteeri. Neid punkte nimetatakse kriitilised punktid.

6) Piisavad tingimused funktsiooni ekstreemumi olemasoluks: Olgu funktsioon y \u003d f (x) pidev intervallil X ja selle intervalli sees on 1. tüüpi kriitiline punkt x \u003d x 0, siis:

a) kui sellel punktil on naabruskond, kus x jaoks< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f’(x) > 0, siis x = x 0 on punkt miinimum funktsioonid y = f(x);

b) kui sellel punktil on naabruskond, kus x jaoks< х 0 f’(x) >0 ja x> x 0 korral

f'(x)< 0, то х = х 0 является точкой maksimaalselt funktsioonid y = f(x);

c) kui sellel punktil on selline naabrus, et selles nii punktist x 0 paremal kui ka vasakul on tuletise märgid samad, siis punktis x 0 ekstreemumit ei ole.

Vähenevate või suurenevate funktsioonide intervalle nimetatakse intervallideks. monotoonsus.

Definitsioon 1: Kutsutakse kõverat y = f(x). allapoole kumer intervallil a< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется kumer üles intervallil a< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Definitsioon 2: Nimetatakse intervalle, milles funktsiooni graafik on kumer üles või alla paisuma vahedega funktsiooni graafik.

Piisav tingimus, et kõver oleks kumer. Diferentseeruva funktsiooni Y = f(x) graafik on kumer üles intervallil a< х <в, если f”(x) < 0 и allapoole kumer, kui f”(x) > 0.

Definitsioon 1: Nimetatakse punkte, kus teine tuletis on null või puudub teist tüüpi kriitilised punktid.

Definitsioon 2: Funktsiooni Y = f(x) graafiku punkti, mis eraldab selle graafiku vastassuundade kumeruse intervalle, nimetatakse punktiks kääne.

pöördepunkt

Näide: antud funktsioon y \u003d x 3 - 2x 2 + 6x - 4. Uurige funktsiooni monotoonsuse intervallide ja äärmuspunktide jaoks. Määrake kumerus- ja käändepunktide suund.

Lahendus: 1. Leia funktsiooni domeen: D(y) = ;

2. Leidke esimene tuletis: y’ = 3x 2 - 4x+ 6;

3. Lahendame võrrandi: y' = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0, siis sellel võrrandil pole lahendit, seega pole ka ekstreemumpunkte. y' , siis funktsioon suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses.

4. Leia teine tuletis: y” = 6x - 4;

5. Lahendage võrrand: y” = 0, 6x - 4 = 0, x =

Vastus: ( ; - ) - käändepunkt, funktsioon on x-is ülespoole kumer ja x-is ülespoole kumer

Asümptoodid.

1. Definitsioon: Kõvera asümptoot on sirgjoon, millele antud funktsiooni graafik läheneb lõputult.

2. Asümptootide tüübid:

1) Vertikaalsed asümptoodid. Funktsiooni y = f(x) graafikul on vertikaalne asümptoot, kui . Vertikaalse asümptoodi võrrandi kuju on x = a

2) Horisontaalsed asümptoodid. Funktsiooni y = f(x) graafikul on horisontaalne asümptoot, kui . Horisontaalne asümptoodi võrrand on y = b.

Näide 1: funktsiooni y = jaoks leidke asümptoodid.

3) Viltused asümptoodid. Sirget y = kx + b nimetatakse funktsiooni y = f(x) graafiku kaldus asümptoodiks, kui . K ja b väärtused arvutatakse valemitega: k = ; b = .

Lahendus: , siis y = 0 on horisontaalne asümptoot;

(kuna x - 3 ≠ 0, x ≠ 3), siis x = 3 on vertikaalne asümptoot. ,t. st k = 0, siis kõveral puudub kaldus asümptoot.

Näide 2: funktsiooni y = jaoks leidke asümptoodid.

Lahendus: x 2 - 25 ≠ 0 koos x ≠ ± 5, siis x \u003d 5 ja x \u003d - 5 on horisontaalsed asümptoodid;

y = , siis kõveral puudub vertikaalne asümptoot;

k = ; b = , st y = 5x - kaldus asümptoot.

Funktsioonigraafikute koostamise näited.

Näide 1.

Uurige funktsiooni ja koostage funktsiooni y \u003d x 3 - 6x 2 + 9x - 3 graafik

1. Leia funktsiooni domeen: D(y) = R

y (- x) \u003d (- x) 3 - 6 (- x) 2 + 9 (-x) - 3 \u003d - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 \u003d - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3), st.

(y \u003d x 5 - x 3 - paaritu, y \u003d x 4 + x 2 - paaritu)

3. Ei ole perioodiline.

4. Leidke koordinaattelgede lõikepunktid: kui x \u003d 0, siis y \u003d - 3 (0; - 3)

kui Y = 0, on x raske leida.

5. Leia funktsiooni graafiku asümptoodid: Vertikaalseid asümptoote pole, sest pole x väärtusi, mille puhul funktsioon on määramata; y = , st horisontaalseid asümptoote ei ole;

k = , s.t. kaldus asümptoote ei ole.

6. Uurime funktsiooni monotoonsuse intervallidele ja selle äärmustele: y’ = 3x 2 - 12x + 9,

y' = 0, 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 – 1. tüüpi kriitilised punktid.

Määrame tuletise märgid: y'(0) = 9 > 0; y'(2) = -3< 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y(1) = 1, (1;1) - maksimumpunkt; y min \u003d y (3) \u003d - 3, (3; - 3) - miinimumpunkt, funktsioon y x ja y jaoks .

7. Uurime kumerus- ja käändepunktide intervallide funktsiooni:

y" = (y')' = (3x 2 - 12x + 9)' = 6x - 12, y" = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - 1. tüüpi kriitiline punkt.

Määrame teise tuletise märgid: y”(0) = -12< 0; y”(3) = 6 > 0

Y(2) = - 1 (2; - 1) - käändepunkt, funktsioon on kumer punktis x ja kumer alla punktis x.

8. Lisapunktid:

X	- 1
juures	- 19

9. Koostame funktsiooni graafiku:

Uurige funktsiooni ja joonistage funktsioon y =

1. Leidke funktsiooni domeen: 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D(y) = .

2. Uurige, kas antud funktsioon on paaris või paaritu: ,

y(- x) ≠ y(x) ei ole paaris ja y(- x) ≠ - y(x) ei ole paaritu

3. Ei ole perioodiline.

4. Leidke koordinaattelgede lõikepunktid: x \u003d 0, siis y \u003d - 2; y = 0, siis , st (0; - 2); ().

5. Leia funktsiooni graafiku asümptoodid: kuna x ≠ 1, siis sirge x = 1 on vertikaalne asümptoot;

Olgu funktsioon y = f(x) defineeritud intervallis X. tuletis funktsiooni y \u003d f (x) punktis x o nimetatakse piiriks

Kui see piir piiratud, siis kutsutakse funktsioon f(x). eristatav punktis x o; pealegi osutub see siinkohal tingimata ja pidevaks.

Kui vaadeldav piirmäär on võrdne ¥ (või - ¥), siis tingimusel, et funktsioon punktis x o on pidev, siis ütleme, et funktsioonil f(x) on punkt x o lõpmatu tuletis.

Tuletist tähistatakse sümbolitega

y ¢, f ¢(x o), , .

Tuletise leidmist nimetatakse eristamist funktsioonid. Tuletise geomeetriline tähendus tuletis on kõvera y=f(x) puutuja kalle antud punktis x o; füüsiline tunne - selles, et tee tuletis aja suhtes on liikuva punkti hetkkiirus sirgjoonelisel liikumisel s = s(t) hetkel t o .

Kui a Koos on konstantne arv ja u = u(x), v = v(x) on mõned diferentseeruvad funktsioonid, siis kehtivad järgmised diferentseerimisreeglid:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" \u003d u "v + v" u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) kui y = f(u), u = j(x), s.o. y = f(j(x)) - keeruline funktsioon, või superpositsioon, mis koosneb diferentseeruvatest funktsioonidest j ja f, siis , või

6) kui funktsiooni y = f(x) jaoks on olemas pöörddiferentseeruv funktsioon x = g(y) ja ¹ 0, siis .

Tuletise definitsiooni ja diferentseerimisreeglite alusel saab koostada põhiliste elementaarfunktsioonide tabelituletisi loendi.

1. (u m)" = m u m - 1 u" (m О R).

2. (a u)" = a u lna × u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u × u".

7. (cos u)" = - sin u × u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u × u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Arvutage eksponentsiaalse avaldise tuletis
y=u v , (u>0), kus u ja v funktsiooni olemus X millel on antud punktis tuletised sina",v".

Võttes võrrandi y=u v logaritmi, saame ln y = v ln u.

Tuletiste võrdsustamine suhtes X saadud võrdsuse mõlemast osast, kasutades reegleid 3, 5 ja logaritmilise funktsiooni tuletise valemit, saame:

y"/y = vu"/u + v" ln u, kust y" = y (vu"/u + v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" log u), u > 0.

Näiteks kui y \u003d x sin x, siis y" \u003d x sin x (sin x / x + cos x × ln x).

Kui funktsioon y = f(x) on punktis diferentseeruv x, st. on selles punktis lõplik tuletis y", siis \u003d y "+a, kus a®0 kohas Dx® 0; seega D y \u003d y" Dx + a x.

Funktsiooni juurdekasvu põhiosa, Dx suhtes lineaarne, nimetatakse funktsiooni diferentsiaal ja tähistatakse dy: dy \u003d y "Dx. Kui paneme sellesse valemisse y \u003d x, siis saame dx \u003d x" Dx \u003d 1 × Dx \u003d Dx, seega dy \u003d y "dx, i. tuletist tähistavat sümbolit võib pidada murdarvuks.

D funktsiooni juurdekasv y on kõvera ordinaadi juurdekasv ja diferentsiaal d y on puutuja ordinaadi juurdekasv.

Leiame funktsiooni y=f(x) jaoks selle tuletise y ¢= f ¢(x). Selle tuletise tuletist nimetatakse teist järku tuletis funktsioonid f(x), või teine tuletis, ja on tähistatud.

Järgmised on määratletud ja tähistatud samal viisil:

kolmandat järku tuletis - ,

neljandat järku tuletis -

ja üldiselt n-ndat järku tuletis - .

Näide 15 Arvutage funktsiooni y=(3x 3 -2x+1)×sin x tuletis.

Lahendus. Reegli 3 järgi y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1) × (sin x)" =
= (9x 2 -2) sinx + (3x 3 -2x+1) cos x.

Näide 16. Leia y", y = tg x + .

Lahendus. Kasutades summa ja jagatise eristamise reegleid, saame: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Näide 17. Leia kompleksfunktsiooni y= tuletis,
u = x 4 +1.

Lahendus. Kompleksfunktsiooni diferentseerimise reegli kohaselt saame: y "x \u003d y " u u" x \u003d () " u (x 4 +1)" x \u003d (2u +. Kuna u \u003d x 4 +1 siis
(2 x 4 +2+ .

Näide 18.

Lahendus. Esitame funktsiooni y= kahe funktsiooni superpositsioonina: y = e u ja u = x 2 . Meil on: y" x \u003d y " u u" x \u003d (e u)" u (x 2)" x \u003d e u × 2x. Asendades x2 selle asemel u, saame y=2x .

Näide 19. Leia funktsiooni y=ln sin x tuletis.

Lahendus. Tähistame u=sin x, siis kompleksfunktsiooni y=ln u tuletis arvutatakse valemiga y" = (ln u)" u (sin x)" x = .

Näide 20. Leia funktsiooni y= tuletis.

Lahendus. Mitme superpositsiooni tulemusel saadud keeruka funktsiooni juhtum ammendub reegli 5 järjestikuse kohaldamisega:

Näide 21. Arvutage tuletis y=ln .

Lahendus. Võttes logaritmid ja kasutades logaritmide omadusi, saame:

y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

Eristades viimase võrdsuse mõlemad osad, saame:

2.2. Piirianalüüs majandusteaduses. Funktsiooni elastsus

Majandusuuringutes kasutatakse tuletisinstrumentidele viitamiseks sageli spetsiifilist terminoloogiat. Näiteks kui f(x) on tootmisfunktsioon, mis väljendab mis tahes toote toodangu sõltuvust teguri kuludest x, siis f"(x) helistas marginaalne toode; kui g(x) on kulufunktsioon, st funktsioon g(x) väljendab kogukulude sõltuvust toodangu mahust x, siis g"(x) helistas piirkulu.

Marginaalanalüüs majandusteaduses- meetodite kogum kulude või tulemuste muutuvate väärtuste uurimiseks tootmismahtude, tarbimismahtude jms muutumisel. nende piirväärtuste analüüsi põhjal. Tavalistel statistilistel andmetel põhinevad planeerimisarvutused tehakse valdavalt koondnäitajate vormis. Sel juhul seisneb analüüs peamiselt keskmiste väärtuste arvutamises. Mõnel juhul on siiski vajalik põhjalikum uuring, võttes arvesse piirväärtusi. Näiteks piirkonna teravilja tootmise kulude määramisel tulevikuks arvestatakse, et kulud võivad olla erinevad olenevalt kõigi muude asjaolude võrdsuse juures eeldatavast teraviljasaagi kogustest, kuna kõige kehvematel maadel jälle kasvatamisega seotud tootmiskulud on kõrgemad kui pindalalt keskmiselt.

Kui seos kahe näitaja vahel v ja x on antud analüütiliselt: v = f(x) - siis keskmine väärtus esindab suhet v/x, a ülim- tuletis.

Tööviljakuse leidmine. Laske funktsioonil
u = u(t), väljendades toodangu kogust u töötamise ajal t. Arvutame aja jooksul toodetud kauba koguse
Dt \u003d t 1 - t 0: Du \u003d u (t 1) - u (t 0) \u003d u (t 0 + Dt) - u (t 0). Keskmine tööviljakus on toodetud toodangu koguse ja kulutatud aja suhe, s.o. z vrd = Du/Dt.

Töötajate tootlikkus z(t 0) hetkel t 0 nimetatakse piiriks, milleni z kaldub vrd. Dt®0 jaoks: . Seetõttu taandatakse tööviljakuse arvutamine tuletise arvutamiseks: z (t 0) \u003d u "(t 0).

Homogeensete toodete tootmiskulud K on funktsioon toodangu kogusest x. Seetõttu võime kirjutada K = K(x). Oletame, et toodangu kogus suureneb D võrra X. Tootmiskulud x + Dх vastavad tootmiskuludele K(x + Dх). Järelikult toodangu koguse juurdekasv D X vastab tootmiskulude kasvule DK = K(x + Dх) - K(x).

Tootmiskulude keskmine juurdekasv on DK/Dх. See on tootmiskulude juurdekasv toodangu koguse ühiku juurdekasvu kohta.

Limiit nimetatakse tootmise piirkulu.

Kui tähistatakse u(x) müügitulu x kaubaühikud, nimetatakse seda piirtulu.

Tuletise abil saab arvutada argumendi juurdekasvule vastava funktsiooni juurdekasvu. Paljude ülesannete puhul on mugavam arvutada sõltuva muutuja protsentuaalne suurenemine (suhteline suurenemine), mis vastab sõltumatu muutuja protsendi suurenemisele. See viib meid funktsiooni elastsuse mõisteni (mida mõnikord nimetatakse suhteline tuletis). Seega olgu antud funktsioon y = f(x), mille jaoks on olemas tuletis y ¢ = f ¢(x). Funktsiooni elastsus y = f(x) muutuja suhtes x helistage piirile

Seda tähistatakse E x (y) = x/y f ¢ (x) = .

Elastsus suhteliselt x on funktsiooni ligikaudne protsentuaalne suurenemine (üles või alla), mis vastab sõltumatu muutuja 1% suurenemisele. Majandusteadlased mõõdavad tarbijate tundlikkust või tundlikkust toote hinnamuutuste suhtes, kasutades hinnaelastsuse mõistet. Osade toodete nõudlust iseloomustab tarbijate suhteline tundlikkus hinnamuutuste suhtes, väikesed hinnamuutused toovad kaasa suuri muutusi ostetavas koguses. Nõudlust selliste toodete järele nimetatakse suhteliselt elastne või lihtsalt paindlik. Teiste toodete puhul on tarbijad hinnamuutuste suhtes suhteliselt vähetundlikud, st oluline hinnamuutus toob kaasa vaid väikese muutuse ostude arvus. Sellistel juhtudel nõudlus suhteliselt mitteelastne või lihtsalt mitteelastne. Tähtaeg täiesti mitteelastne nõudlus – äärmuslik juhtum, kus hinnamuutus ei too kaasa mingit muutust nõutavas koguses. Näiteks võib tuua ägeda diabeedihaigete nõudluse insuliini järele või narkomaanide nõudluse heroiini järele. Ja vastupidi, kui ostjad suurendavad väikseima hinnaalanduse korral oma oste oma võimaluste piirini, siis ütleme, et nõudlus on täiesti elastne.

Funktsiooni äärmus

Kutsutakse funktsioon y=f(x). suureneb (kahanev) mõnes intervallis, kui x 1 korral< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Kui lõigul diferentseeruv funktsioon y = f(x) suureneb (väheneb), siis selle tuletis sellel lõigul f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).

Punkt x o helistas kohalik maksimumpunkt (miinimum) funktsiooni f(x) korral, kui on olemas punkti naabrus x o, mille kõigi punktide puhul on tõene võrratus f(x) £ f(x o) (f(x) ³ f(x o)).

Nimetatakse maksimum- ja miinimumpunktid äärmuslikud punktid, ja funktsiooni väärtused nendes punktides on selle äärmuslik.

Ekstreemumiks vajalikud tingimused. Kui punkt x o on funktsiooni f(x) äärmuspunkt, siis kas f ¢(x o) = 0 või f ¢(x o) ei eksisteeri. Selliseid punkte nimetatakse kriitiline, kus funktsioon ise on määratletud kriitilises punktis. Funktsiooni äärmusi tuleks otsida selle kriitiliste punktide hulgast.

Esimene piisav tingimus. Lase x o- kriitiline punkt. Kui f ¢ (x) punkti läbimisel x o muudab plussmärgi miinusmärgiks, seejärel punktis x o funktsioonil on maksimum, muidu on miinimum. Kui tuletis kriitilist punkti läbides märki ei muuda, siis punktis x o ekstreemumit pole.

Teine piisav tingimus. Olgu funktsioonil f(x) tuletis
f ¢ (x) punkti läheduses x o ja teine tuletis just selles punktis x o. Kui f ¢(x o) = 0, >0 (<0), то точка x o on funktsiooni f(x) lokaalne miinimum (maksimaalne) punkt. Kui =0, siis tuleb kas kasutada esimest piisavat tingimust või kaasata kõrgemad tuletised.

Lõigul võib funktsioon y = f(x) saavutada oma minimaalse või maksimaalse väärtuse kas kriitilistes punktides või lõigu otstes.

Näide 22. Leidke funktsiooni f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 äärmuspunkt.

Lahendus. Kuna f ¢ (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), siis funktsiooni kriitilised punktid x 1 \u003d 2 ja x 2 \u003d 3. Äärmuslikud punktid võivad olla ainult nendes punktides. Kuna punkti x 1 \u003d 2 läbimisel muudab tuletis märgi plussist miinusesse, siis on sellel hetkel funktsioonil maksimum. Punkti x 2 \u003d 3 läbimisel muudab tuletis märgi miinusest plussiks, seetõttu on punktis x 2 \u003d 3 funktsioonil miinimum. Funktsiooni väärtuste arvutamine punktides
x 1 = 2 ja x 2 = 3, leiame funktsiooni ekstreemumid: maksimum f(2) = 14 ja miinimum f(3) = 13.

Näide 23. Kiviseina äärde on vaja rajada ristkülikukujuline ala nii, et see oleks kolmest küljest traatvõrguga piiratud ja neljandast küljest piirneks müüriga. Selle jaoks on olemas a võrgu lineaarsed meetrid. Millise kuvasuhtega on saidil suurim pindala?

Lahendus. Märgistage saidi küljed läbi x ja y. Saidi pindala on S = xy. Lase y on seinaga külgneva külje pikkus. Siis peab tingimuse järgi võrdus 2x + y = a kehtima. Seetõttu y = a - 2x ja S = x(a - 2x), kus 0 £ x £ a/2 (ala pikkus ja laius ei saa olla negatiivsed). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0, kui x = a/4, kust
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Kuna x = a/4 on ainus kriitiline punkt, siis kontrollime, kas selle punkti läbimisel tuletise märk muutub. x jaoks< a/4 S ¢ >0 ja x >a/4 S ¢ korral<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

Kuna S on pidev sees ja selle väärtused S(0) ja S(a/2) otstes on võrdsed nulliga, siis on leitud väärtuseks funktsiooni suurim väärtus. Seega on antud ülesande tingimustes saidi kõige soodsam kuvasuhe y = 2x.

Näide 24. Vajalik on teha kinnine silindriline paak mahuga V=16p » 50 m 3 . Millised peaksid olema paagi mõõtmed (raadius R ja kõrgus H), et selle valmistamiseks kuluks kõige vähem materjali?

Lahendus. Silindri kogupindala on S = 2pR(R+H). Teame silindri ruumala V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Seega S(R) = 2p(R2 +16/R). Leiame selle funktsiooni tuletise:
S¢(R) = 2p (2R-16/R2) = 4p (R-8/R2). S¢(R) = 0, kui R3 = 8, seega
R = 2, H = 16/4 = 4.

Videokursus "Saada A" sisaldab kõiki matemaatika eksami edukaks sooritamiseks vajalikke teemasid 60-65 punktiga. Täielikult kõik profiili ülesanded 1-13 KASUTADA matemaatikas. Sobib ka matemaatika Basic USE läbimiseks. Kui soovid sooritada eksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus eksamiks 10-11 klassidele, samuti õpetajatele. Kõik vajalik matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei sajapalline tudeng ega humanist.

Kogu vajalik teooria. Eksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Kõik 1. osa asjakohased ülesanded FIPI ülesannete pangast on analüüsitud. Kursus vastab täielikult USE-2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad eksamiülesanded. Tekstülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad probleemide lahendamise algoritmid. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi USE ülesannete analüüs. Stereomeetria. Kavalad nipid lahendamiseks, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist – ülesandeni 13. Tuupimise asemel mõistmine. Keeruliste mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Eksami 2. osa keeruliste ülesannete lahendamise alus.