Horisontaalne kiirusvalem. Kiirusega horisontaalselt visatud keha liikumine

Vaatleme horisontaalselt visatud ja ainult gravitatsiooni mõjul liikuva keha liikumist (jättes tähelepanuta õhutakistuse). Näiteks kujutage ette, et laual lebavale pallile antakse tõuge ja see veereb laua servani ja hakkab vabalt langema, kusjuures algkiirus on suunatud horisontaalselt (joonis 174).

Projekteerime palli liikumise vertikaalteljel ja horisontaalteljel. Kuuli projektsiooni liikumine teljele on liikumine ilma kiirenduseta kiirusega ; kuuli projektsiooni liikumine teljel on vabalangemine kiirendusega, mis ületab algkiirust gravitatsiooni mõjul. Teame mõlema liikumise seaduspärasusi. Kiiruse komponent jääb konstantseks ja võrdseks . Komponent kasvab proportsionaalselt ajaga: . Saadud kiirust on lihtne leida rööpkülikureegli abil, nagu on näidatud joonisel fig. 175. See kaldub allapoole ja selle kalle aja jooksul suureneb.

Riis. 174. Laualt maha veereva palli liikumine

Riis. 175. Kiirusega horisontaalselt visatud kuulil on hetkel kiirus

Leidke horisontaalselt visatud keha trajektoor. Tähtis on keha koordinaadid ajahetkel

Trajektoorivõrrandi leidmiseks väljendame alates (112.1) läbimise aja ja asendame selle avaldise väärtusega (112.2). Selle tulemusena saame

Selle funktsiooni graafik on näidatud joonisel fig. 176. Trajektooripunktide ordinaadid osutuvad võrdeliseks abstsisside ruutudega. Teame, et selliseid kõveraid nimetatakse paraboolideks. Parabool kujutas ühtlaselt kiirendatud liikumise teekonna graafikut (§ 22). Seega vabalt langev keha, mille algkiirus on horisontaalne, liigub mööda parabooli.

Vertikaalses suunas läbitav tee ei sõltu algkiirusest. Kuid horisontaalsuunas läbitud tee on võrdeline algkiirusega. Seetõttu on suure horisontaalse algkiiruse korral parabool, mida mööda keha langeb, horisontaalsuunas pikenenud. Kui veejuga lastakse horisontaalselt asetsevast torust (joonis 177), siis üksikud veeosakesed liiguvad sarnaselt palliga mööda parabooli. Mida avatum on kraan, mille kaudu vesi torusse siseneb, seda suurem on vee algkiirus ja mida kaugemale kraanist jõuab juga küveti põhja. Asetades joa taha ekraani, millele on eelnevalt joonistatud paraboolid, saab veenduda, et veejoal on tõesti parabooli kuju.

Riis. 176. Horisontaalselt paisatud keha trajektoor

Vaatleme horisontaalselt visatud ja ainult gravitatsiooni mõjul liikuva keha liikumist (jättes tähelepanuta õhutakistuse). Näiteks kujutage ette, et laual lebavale pallile antakse tõuge ja see veereb laua servani ja hakkab vabalt langema, kusjuures algkiirus on suunatud horisontaalselt (joonis 174).

Projekteerime palli liikumise vertikaalteljel ja horisontaalteljel. Kuuli projektsiooni liikumine teljele on liikumine ilma kiirenduseta kiirusega ; kuuli projektsiooni liikumine teljel on vabalangemine kiirendusega, mis ületab algkiirust gravitatsiooni mõjul. Teame mõlema liikumise seaduspärasusi. Kiiruse komponent jääb konstantseks ja võrdseks . Komponent kasvab proportsionaalselt ajaga: . Saadud kiirust on lihtne leida rööpkülikureegli abil, nagu on näidatud joonisel fig. 175. See kaldub allapoole ja selle kalle aja jooksul suureneb.

Riis. 174. Laualt maha veereva palli liikumine

Riis. 175. Kiirusega horisontaalselt visatud kuulil on hetkel kiirus

Leidke horisontaalselt visatud keha trajektoor. Tähtis on keha koordinaadid ajahetkel

Trajektoorivõrrandi leidmiseks väljendame alates (112.1) läbimise aja ja asendame selle avaldise väärtusega (112.2). Selle tulemusena saame

Selle funktsiooni graafik on näidatud joonisel fig. 176. Trajektooripunktide ordinaadid osutuvad võrdeliseks abstsisside ruutudega. Teame, et selliseid kõveraid nimetatakse paraboolideks. Parabool kujutas ühtlaselt kiirendatud liikumise teekonna graafikut (§ 22). Seega vabalt langev keha, mille algkiirus on horisontaalne, liigub mööda parabooli.

Vertikaalses suunas läbitav tee ei sõltu algkiirusest. Kuid horisontaalsuunas läbitud tee on võrdeline algkiirusega. Seetõttu on suure horisontaalse algkiiruse korral parabool, mida mööda keha langeb, horisontaalsuunas pikenenud. Kui veejuga lastakse horisontaalselt asetsevast torust (joonis 177), siis üksikud veeosakesed liiguvad sarnaselt palliga mööda parabooli. Mida avatum on kraan, mille kaudu vesi torusse siseneb, seda suurem on vee algkiirus ja mida kaugemale kraanist jõuab juga küveti põhja. Asetades joa taha ekraani, millele on eelnevalt joonistatud paraboolid, saab veenduda, et veejoal on tõesti parabooli kuju.

112.1. Kui suur on kiirusega 15 m/s horisontaalselt visatud keha kiirus pärast 2 sekundit lendu? Mis hetkel suunatakse kiirus horisontaaltasapinna suhtes 45° nurga all? Ignoreeri õhutakistust.

112.2. 1m kõrguselt laualt alla veerenud pall kukkus 2m kaugusele laua servast. Kui suur oli palli horisontaalne kiirus? Ignoreeri õhutakistust.

Kasutades mitut näidet (mille ma algselt lahendasin, nagu tavaliselt, saidil otvet.mail.ru), käsitleme elementaarse ballistika probleemide klassi: horisondi suhtes nurga all lastud keha lendu teatud algkiirusega, ilma võttes arvesse õhutakistust ja maapinna kumerust (st vabalangemise kiirendusvektorit g oletatakse muutumatuks).

Ülesanne 1. Keha lennuulatus on võrdne tema lennu kõrgusega Maa pinnast. Millise nurga all keha visatakse? (mõnes allikas antakse millegipärast vale vastus - 63 kraadi).

Tähistame lennuaega 2*t (siis t ajal keha tõuseb ja järgmise intervalli t ajal laskub). Olgu kiiruse horisontaalkomponent V1 ja vertikaalkomponent V2. Siis lennuulatus S = V1*2*t. Lennukõrgus H \u003d g * t * t / 2 \u003d V2 * t / 2. Võrdsusta
S=H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
Vertikaalse ja horisontaalse kiiruse suhe on nõutava nurga α puutuja, kust α = arctan(4) = 76 kraadi.

2. ülesanne. Keha paisatakse Maa pinnalt kiirusega V0 horisondi suhtes nurga α all. Leia keha trajektoori kõverusraadius: a) liikumise alguses; b) trajektoori tipus.

Mõlemal juhul on kõverjoonelise liikumise allikaks gravitatsioon ehk vertikaalselt allapoole suunatud vabalangemise kiirendus g. Siin on vaja vaid leida projektsioon g, mis on risti voolukiirusega V, ja võrdsustada see tsentripetaalse kiirendusega V^2/R, kus R on soovitud kõverusraadius.

Nagu jooniselt näha, võime liikumise alustamiseks kirjutada
gn = g*cos(a) = V0^2/R
kust soovitud raadius R = V0^2/(g*cos(a))

Trajektoori ülemise punkti jaoks (vt joonist) on meil
g = (V0*cos(a))^2/R
kus R = (V0*cos(a))^2/g

3. ülesanne. (variatsioon teemal) Mürsk liikus horisontaalselt kõrgusel h ja plahvatas kaheks identseks killuks, millest üks langes pärast plahvatust ajal t1 maapinnale. Kui kaua pärast esimese tüki kukkumist kukub teine?

Ükskõik, millise vertikaalkiiruse V esimene fragment omandab, omandab teine ​​​​absoluutväärtuses sama vertikaalse kiiruse, kuid on suunatud vastupidises suunas (see tuleneb fragmentide identsest massist ja impulsi jäävusest). Lisaks on V suunatud alla, sest muidu jõuab teine ​​kild maapinnale ENNE esimest.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g*t1^2/2)/t1
Teine lendab üles, kaotab vertikaalkiiruse aja V/g pärast ja lendab sama aja pärast alla algkõrgusele h ja selle hilinemise ajale t2 esimese fragmendi suhtes (mitte lennuaeg alates plahvatuse hetk) saab olema
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

uuendatud 2018-06-03

Tsitaat:
Kivi visatakse kiirusega 10 m/s horisontaali suhtes 60° nurga all. Määrake keha tangentsiaalne ja normaalkiirendus 1,0 s pärast liikumise algust, trajektoori kõverusraadius antud ajahetkel, lennu kestus ja ulatus. Millise nurga moodustab kogukiirenduse vektor kiirusvektoriga t = 1,0 s

1 sekundi pärast on vertikaalkiirus 8,66 - 9,8*1 = -1,14 m/s (allapoole). See tähendab, et kiiruse nurk horisondi suhtes on arctan(1,14/5) = 12,8° (alla). Kuna kogukiirendus on siin ainulaadne ja muutumatu (see on vabalangemise kiirendus g vertikaalselt allapoole suunatud), siis keha kiiruse ja vaheline nurk g sel ajahetkel on 90-12,8 = 77,2°.

Tangentsiaalne kiirendus on projektsioon g kiirusvektori suunas, mis tähendab, et see on g*sin(12,8) = 2,2 m/s2. Normaalkiirendus on projektsioon, mis on risti kiirusvektoriga g, on see võrdne g*cos(12,8) = 9,56 m/s2. Ja kuna viimane on seotud kiiruse ja kõverusraadiusega avaldisega V^2/R, on meil 9,56 = (5*5 + 1,14*1,14)/R, kust vajalik raadius R = 2,75 m.

Keha saab visata nii, et selle algkiirus v0 suunatakse horisontaalselt (α = 0). See on näiteks horisontaalselt lendavast lennukist eraldunud keha algkiiruse suund. On lihtne aru saada, millist trajektoori mööda keha liigub. Pöördume joonise 15 poole, mis näitab horisondi suhtes nurga α all paisatud keha paraboolset trajektoori. Parabooli trajektoori kõrgeimas punktis on keha kiirus täpselt horisontaalselt suunatud. Nagu me juba teame, liigub keha sellest punktist edasi mööda parabooli paremat haru. Ilmselgelt liigub iga horisontaalselt visatud keha ka mööda parabooli haru.

Horisontaalselt või horisondi suhtes nurga all paisatud kehade liikumistrajektoori saab visuaalselt uurida lihtsa katsega. Laua kohale asetatakse teatud kõrgusele veega täidetud anum ja ühendatakse kummitoruga kraaniga varustatud otsaga. Väljapaisatud veejoad näitavad otseselt veeosakeste liikumise trajektoore. Seega on võimalik jälgida trajektoore langemisnurga α ja kiiruse erinevate väärtuste juures v0.

Teatud algkõrguselt horisontaalselt visatud keha liikumisaega määrab ainult aeg, mis on vajalik keha vabaks langemiseks sellelt algkõrguselt. Seetõttu kukub näiteks tulistaja poolt püssist horisontaalsuunas tulistatud kuul maapinnale samal ajal kui lasu hetkel juhuslikult alla lastud kuul (eeldusel, et tulistaja kukub kuuli samast kõrgus, millel see lasu hetkel relvas on!. .). Kuid maha kukkunud kuul kukub tulistaja jalge ette ja püssitorust tulistatud kuul langeb temast sadade meetrite kaugusele.

Probleemilahenduse näide

See näide valiti põhjusel, et vaadeldav probleem on üsna üldist laadi ja võimaldab selle lahenduse näitel paremini mõista kõiki keha gravitatsiooni mõjul liikumise tunnuseid.

Esialgsed eeldused probleemi lahendamise tingimuste kohta

Selle probleemi lahendamisel kasutame ainult kahte esialgset eeldust:

1. jätame tähelepanuta gravitatsioonikiirendusvektori mooduli suuruse sõltuvuse kõrgusest, millel keha mis tahes liikumishetkel asub (vt joonis 11 ja selle kommentaar)
2. jätame keha liikumist analüüsides tähelepanuta maapinna kumeruse (vt joonis 11 ja selle kommentaarid)

Ülesanne:

• keha asend ja kiirus aja t järel;
• lennutrajektoori võrrand;
• normaal- ja tangentsiaalne kiirendus ning trajektoori kõverusraadius momendil t;
• kogu lennuaeg;
• kõrgeim tõstekõrgus;
• nurk, mille all keha tuleb visata nii, et selle tõusu kõrgus oleks võrdne lennukaugusega (eeldusel, et x 0 \u003d y 0 \u003d 0).

Lahendus

Suuname ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi X ja Y teljed piki punkti horisontaal- ja vertikaalnihke suundi. Kuna gravitatsioonikiirenduse vektoril ei ole X-teljega paralleelset komponenti, siis on keha liikumisvõrrandid järgmisel kujul:

Eksplitsiitsel kujul on esimeses võrrandis sisalduvate vektorkoguste projektsioonide avaldis koordinaatsüsteemi telgedel kujul, mis määrab keha asukoha ajahetkel t:

Kuna iga vektorit saab esitada selle projektsioonide (ka need on vektorid) summana koordinaattelgedel, saab iga vektori võrrandit esitada kahe vektorvõrrandina, kuid projektsioonide jaoks. Olles väljendanud teises võrrandis sisalduvate vektorsuuruste projektsioonid koordinaatsüsteemi telgedele, leiame kiiruse komponendid

Elimineerides t mõlemast võrrandist, mis määravad keha asukoha ajahetkel t, saame lennutrajektoori võrrandi

Keha tangentsiaalse ja normaalkiirenduse määramiseks punktis, mille koordinaadid on x, y, märgime, et keha kogukiirendus on alati suunatud allapoole ja kujutab endast ainult gravitatsioonikiirendust (muid jõude ja kiirendusi vastavalt sellele ei ole). probleemi seisund). Tangentsiaalne kiirendus on võrdne vektori projektsiooniga trajektoori puutujale (st −g sinγ , nagu on näha ülesande selgitaval joonisel) ja puutuja normaalkiirendus võrdub −g cosγ projektsiooniga. (vt joonis 16)

Leiame teelt trajektoori kõverusraadiuse (R) ligikaudse väärtuse hetkel t. Eeldades, et punkt liigub mööda ringjoont (see on lähendus, mis lihtsustab tulemuse lõplikku matemaatilist valemit, mida tegelikult ei toimu ja mida on kõige parem teostada keha maksimaalse tõstepunkti lähedal), kasutame valemit

Kui keha visata pinnale punktist, kus ja y = 0 , muutub probleem palju lihtsamaks. Vähendades (x max − x 0) võrra, leiame, et

Kogu lennuaja saab määrata valemist kus

Keha suurim tõstekõrgus saavutatakse hetkel t, kui v y = 0 . Kuna kiirusvektori komponent piki Y-telge on , siis keha maksimaalse tõusu punktis toimub võrdsus v y = 0, millest saame