Järgmiste avaldiste väärtused on identselt võrdsed. Identiteedi transformatsioonid
Teema "Isikutunnistused» 7. klass (KRO)
Õpik Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.
Tunni eesmärgid
Hariduslik:
tutvustada ja esialgu kinnistada mõisteid "identselt võrdsed väljendid", "identiteet", "identsed teisendused";
kaaluda identiteedi tõestamise viise, aidata kaasa identiteedi tõestamise oskuste arendamisele;
kontrollida õpilaste läbitud materjali omastamist, kujundada õpitu rakendamise oskused uue tajumiseks.
Arendamine:
Arendada õpilaste pädevat matemaatilist kõnet (rikastada ja raskendada sõnavara spetsiaalsete matemaatikaterminite kasutamisel),
arendada mõtlemist,
Hariduslik: kasvatada töökust, täpsust, harjutuste lahenduse fikseerimise korrektsust.
Tunni tüüp: uue materjali õppimine
Tundide ajal
1 . Aja organiseerimine.
Kodutööde kontrollimine.
Küsimused kodutööde kohta.
Debriifing laual.
Matemaatikat vaja
Ilma temata on see võimatu
Me õpetame, me õpetame, sõbrad,
Mida me hommikul mäletame?
2 . Teeme trenni.
Lisamise tulemus. (Summa)
Mitu numbrit sa tead? (Kümme)
Arvu sadakond. (protsent)
jagamise tulemus? (Privaatne)
Väikseim naturaalarv? (üks)
Kas naturaalarvude jagamisel on võimalik saada null? (Ei)
Mis on suurim negatiivne täisarv. (-üks)
Millise arvuga ei saa jagada? (0)
Korrutamise tulemus? (Töö)
Lahutamise tulemus. (Erinevus)
Kommutatiivne liitmise omadus. (Summa tingimuste kohtade ümberpaigutamisel ei muutu)
Korrutamise kommutatiivne omadus. (Korrutis ei muutu tegurite kohtade permutatsioonist)
Uue teema õppimine (definitsioon märkmega vihikusse)
Leidke avaldiste väärtused x=5 ja y=4
3(x+y)=3(5+4)=3*9=27
3x+3a=3*5+3*4=27
Saime sama tulemuse. Jaotusomadusest tuleneb, et üldiselt on muutujate mis tahes väärtuste puhul avaldiste 3(x + y) ja 3x + 3y väärtused võrdsed.
Vaatleme nüüd avaldisi 2x + y ja 2xy. Kui x=1 ja y=2 on neil võrdsed väärtused:
Siiski saate määrata x ja y väärtused nii, et nende avaldiste väärtused ei ole võrdsed. Näiteks kui x=3, y=4, siis
Definitsioon: Väidetakse, et kaks avaldist, mille väärtused on muutujate mis tahes väärtuste jaoks võrdsed, on identsed.
Avaldised 3(x+y) ja 3x+3y on identselt võrdsed, kuid avaldised 2x+y ja 2xy ei ole identselt võrdsed.
Võrdsus 3 (x + y) ja 3x + 3y kehtib kõigi x ja y väärtuste korral. Selliseid võrdsusi nimetatakse identiteetideks.
Definitsioon: Võrdsust, mis kehtib muutujate mis tahes väärtuste kohta, nimetatakse identiteediks.
Identiteetideks loetakse ka tõelisi arvulisi võrdusi. Oleme identiteetidega juba kohtunud. Identiteedid on võrdsused, mis väljendavad arvudega tehtavate toimingute põhiomadusi (Õpilased kommenteerivad iga omadust hääldades).
a + b = b + a
ab=ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
Tooge muid identiteetide näiteid
Definitsioon: Ühe avaldise asendamist teisega, sellega identselt võrdsega, nimetatakse identseks teisenduseks või lihtsalt avaldise teisendamiseks.
Muutujatega avaldiste identsed teisendused tehakse arvudega tehtavate tehtete omaduste põhjal.
Avaldiste identiteedi teisendusi kasutatakse laialdaselt avaldiste väärtuste arvutamisel ja muude probleemide lahendamisel. Te pidite juba tegema mõned identsed teisendused, näiteks sarnaste terminite vähendamine, sulgude laiendamine.
5 . nr 691, nr 692 (sulgude avamise, negatiivsete ja positiivsete arvude korrutamise reeglite hääldamisega)
Identiteedid ratsionaalse lahenduse valimiseks:(esitöö)
6 . Õppetunni kokkuvõte.
Õpetaja esitab küsimusi ja õpilased vastavad neile vastavalt oma soovile.
Milliseid kahte avaldist nimetatakse identselt võrdseks? Too näiteid.
Millist võrdsust nimetatakse identiteediks? Too näide.
Milliseid identseid teisendusi te teate?
7. Kodutöö. Õppige definitsioone, tooge näiteid identsetest väljenditest (vähemalt 5), kirjutage need vihikusse
See artikkel sisaldab initsiaali identiteetide mõiste. Siin defineerime identiteedi, tutvustame kasutatavat tähistust ja loomulikult toome erinevaid identiteetide näiteid.
Leheküljel navigeerimine.
Mis on identiteet?
Materjali esitlust on loogiline alustada sellest identiteedi määratlused. Yu. N. Makarychevi õpikus, algebra 7 klassi jaoks, on identiteedi määratlus antud järgmiselt:
Definitsioon.
Identiteet on võrdus, mis kehtib muutujate mis tahes väärtuste jaoks; iga tõeline arvuline võrdsus on ka identiteet.
Samas näeb autor kohe ette, et edaspidi see definitsioon täpsustub. See selgitamine toimub 8. klassis pärast muutujate aktsepteeritavate väärtuste ja ODZ definitsiooniga tutvumist. Määratlus muutub:
Definitsioon.
Identiteedid on tõelised arvulised võrdsused, aga ka võrdsused, mis kehtivad nendes sisalduvate muutujate kõigi lubatud väärtuste kohta.
Miks siis identiteedi määratlemisel räägime 7. klassis muutujate mis tahes väärtustest ja 8. klassis hakkame rääkima muutujate väärtustest nende DPV-st? Kuni 8. klassini tehakse tööd eranditult täisarvuliste avaldistega (eriti mono- ja polünoomidega) ning need on mõistlikud nendes sisalduvate muutujate mis tahes väärtuste puhul. Seetõttu ütleme 7. klassis, et identiteet on võrdsus, mis kehtib muutujate mis tahes väärtuste kohta. Ja 8. klassis ilmuvad väljendid, mis on juba mõttekad mitte kõigi muutujate väärtuste jaoks, vaid ainult nende ODZ väärtuste jaoks. Seetõttu hakkame identiteetide järgi nimetama võrdusi, mis kehtivad muutujate kõigi lubatud väärtuste puhul.
Seega on identiteet võrdsuse erijuhtum. See tähendab, et igasugune identiteet on võrdsus. Kuid mitte iga võrdsus ei ole identiteet, vaid ainult võrdsus, mis kehtib kõigi muutujate väärtuste kohta nende vastuvõetavate väärtuste vahemikust.
Isikumärk
Teadaolevalt kasutatakse võrdsuste kirjutamisel võrdusmärki kujul “=”, millest vasakul ja paremal on mingid arvud või avaldised. Kui lisame sellele märgile veel ühe horisontaalse joone, saame isikumärk"≡" või nagu seda nimetatakse võrdusmärk.
Identiteedimärki kasutatakse tavaliselt ainult siis, kui on vaja rõhutada, et meie ees pole mitte ainult võrdsus, vaid just identiteet. Muudel juhtudel ei erine identiteetide esitused vormilt võrdsustest.
Identiteedi näited
On aeg tuua identiteetide näited. Esimeses lõigus antud identiteedi määratlus aitab meid selles.
Numbrilised võrdsused 2=2 on identiteedi näited, kuna need võrdsused on tõesed ja iga tõeline arvuline võrdsus on definitsiooni järgi identsus. Neid saab kirjutada kui 2≡2 ja .
Arvulised võrrandid kujul 2+3=5 ja 7−1=2·3 on samuti identiteedid, kuna need võrdsused on tõesed. See tähendab, et 2+3≡5 ja 7−1≡2 3 .
Liigume edasi identiteetide näidete juurde, mis sisaldavad mitte ainult numbreid, vaid ka muutujaid.
Vaatleme võrdsust 3·(x+1)=3·x+3 . Muutuja x mis tahes väärtuse korral on kirjutatud võrdsus tõene liitmise jaotusomaduse tõttu, seega on algne võrdsus identiteedi näide. Siin on veel üks näide identiteedist: y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:y, siin on muutujate x ja y vastuvõetavate väärtuste vahemik kõik paarid (x, y) , kus x ja y on suvalised arvud peale nulli.
Kuid võrdsused x+1=x−1 ja a+2 b=b+2 a ei ole identsused, kuna on olemas muutujate väärtused, mille puhul need võrdsused on valed. Näiteks x=2 korral muutub võrdus x+1=x−1 valeks võrduseks 2+1=2−1 . Veelgi enam, võrdsust x+1=x−1 ei saavutata muutuja x ühegi väärtuse puhul. Ja võrrand a+2·b=b+2·a muutub valeks võrduseks, kui võtame muutujate a ja b erinevad väärtused. Näiteks a=0 ja b=1 korral jõuame valele võrrandile 0+2 1=1+2 0 . Võrdsus |x|=x , kus |x| - muutuja x , ei ole samuti identiteet, kuna see ei kehti x negatiivsete väärtuste puhul.
Tuntuimate identiteetide näited on sin 2 α+cos 2 α=1 ja a log a b =b .
Selle artikli lõpetuseks tahan märkida, et matemaatikat õppides puutume pidevalt kokku identiteetidega. Number action atribuudi kirjed on identiteedid, näiteks a+b=b+a , 1 a=a , 0 a=0 ja a+(−a)=0 . Samuti on identiteedid
Arvude liitmise ja korrutamise põhiomadused.
Liitmise kommutatiivne omadus: tingimuste ümberpaigutamisel summa väärtus ei muutu. Mis tahes arvu a ja b korral on võrdsus tõene
Liitmise assotsiatiivne omadus: kahe arvu summale kolmanda arvu liitmiseks saate esimesele arvule lisada teise ja kolmanda summa. Mis tahes arvu a, b ja c korral on võrdsus tõene
Korrutamise kommutatiivne omadus: tegurite permutatsioon ei muuda korrutise väärtust. Mis tahes arvu a, b ja c korral on võrdsus tõene
Korrutamise assotsiatiivne omadus: kahe arvu korrutise korrutamiseks kolmanda arvuga saate esimese arvu korrutada teise ja kolmanda korrutisega.
Mis tahes arvu a, b ja c korral on võrdsus tõene
Jaotusomadus: arvu korrutamiseks summaga saate selle arvu korrutada iga liikmega ja liita tulemused. Mis tahes arvu a, b ja c korral on võrdsus tõene
Liitmise kommutatiivsetest ja assotsiatiivsetest omadustest tuleneb, et suvalises summas saab termineid vastavalt soovile ümber paigutada ja suvaliselt rühmadesse kombineerida.
Näide 1 Arvutame summa 1,23+13,5+4,27.
Selleks on mugav ühendada esimene termin kolmandaga. Saame:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
See tuleneb korrutamise kommutatiivsetest ja assotsiatiivsetest omadustest: mis tahes korrutises saate tegurid mis tahes viisil ümber paigutada ja suvaliselt rühmadesse ühendada.
Näide 2 Leiame korrutise väärtuse 1,8 0,25 64 0,5.
Kombineerides esimese teguri neljanda ja teise kolmandaga, saame:
1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.
Jaotusomadus kehtib ka siis, kui arv korrutatakse kolme või enama liikme summaga.
Näiteks mis tahes arvu a, b, c ja d korral on võrdsus tõene
a(b+c+d)=ab+ac+reklaam.
Teame, et lahutamise saab asendada liitmisega, lisades minuendile lahutusosale vastupidise arvu:
See võimaldab pidada arvulist avaldist kujul a-b arvude a ja -b summaks, arvulist avaldist kujul a + b-c-d pidada arvude a, b, -c, -d jne summaks. Selliste summade puhul kehtivad ka tegevuste kaalutud omadused.
Näide 3 Leiame avaldise 3,27-6,5-2,5+1,73 väärtuse.
See avaldis on arvude 3,27, -6,5, -2,5 ja 1,73 summa. Lisaomadusi rakendades saame: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -neli.
Näide 4 Arvutame korrutise 36·().
Kordajat võib pidada arvude ja - summaks. Kasutades korrutamise jaotusomadust, saame:
36()=36-36=9-10=-1.
Identiteedid
Definitsioon. Kaks avaldist, mille vastavad väärtused on muutujate mis tahes väärtuste jaoks võrdsed, on identsed.
Definitsioon. Võrdsust, mis kehtib muutujate mis tahes väärtuste kohta, nimetatakse identiteediks.
Leiame avaldiste 3(x+y) ja 3x+3y väärtused x=5, y=4 korral:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3a=3 5+3 4=15+12=27.
Saime sama tulemuse. Jaotusomadusest järeldub, et üldiselt on muutujate mis tahes väärtuste korral avaldiste 3(x+y) ja 3x+3y vastavad väärtused võrdsed.
Vaatleme nüüd avaldisi 2x+y ja 2xy. Kui x=1, y=2 on neil võrdsed väärtused:
Siiski saate määrata x ja y väärtused nii, et nende avaldiste väärtused ei ole võrdsed. Näiteks kui x=3, y=4, siis
Avaldised 3(x+y) ja 3x+3y on identselt võrdsed, kuid avaldised 2x+y ja 2xy ei ole identselt võrdsed.
Võrdsus 3(x+y)=x+3y, mis kehtib kõigi x ja y väärtuste puhul, on identsus.
Identiteetideks loetakse ka tõelisi arvulisi võrdusi.
Seega on identiteedid võrdsused, mis väljendavad arvudega tehtavate toimingute peamisi omadusi:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Identiteedi kohta võib tuua ka teisi näiteid:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Avaldiste identiteedi teisendused
Ühe avaldise asendamist teisega, mis on sellega identne, nimetatakse identseks teisenduseks või lihtsalt avaldise teisendamiseks.
Muutujatega avaldiste identsed teisendused tehakse arvudega tehtavate tehtete omaduste põhjal.
Avaldise xy-xz väärtuse leidmiseks väärtuste x, y, z korral peate tegema kolm sammu. Näiteks kui x=2.3, y=0.8, z=0.2 saame:
xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.
Selle tulemuse saab ainult kahes etapis, kasutades avaldist x(y-z), mis on identselt võrdne avaldisega xy-xz:
xy-xz = 2,3 (0,8-0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.
Oleme arvutusi lihtsustanud, asendades avaldise xy-xz identselt võrdse avaldisega x(y-z).
Avaldiste identiteedi teisendusi kasutatakse laialdaselt avaldiste väärtuste arvutamisel ja muude probleemide lahendamisel. Mõned identsed teisendused on juba tehtud, näiteks sarnaste terminite taandamine, sulgude avamine. Tuletage meelde nende teisenduste teostamise reegleid:
sarnaste terminite toomiseks tuleb liita nende koefitsiendid ja tulemus korrutada ühise täheosaga;
kui sulgude ees on plussmärk, siis võib sulud ära jätta, jättes alles iga sulgudes oleva termini märgi;
kui sulgude ees on miinusmärk, siis saab sulud ära jätta, muutes iga sulgudes oleva termini märki.
Näide 1 Liidame sarnased terminid summas 5x+2x-3x.
Sarnaste terminite vähendamiseks kasutame reeglit:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
See teisendus põhineb korrutamise jaotusomadusel.
Näide 2 Laiendame sulgusid avaldises 2a+(b-3c).
Plussmärgiga eelnenud sulgude avamise reegli rakendamine:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Teostatud teisendus põhineb liitmise assotsiatiivsel omadusel.
Näide 3 Laiendame sulgusid avaldises a-(4b-c).
Kasutame sulgude laiendamise reeglit, millele eelneb miinusmärk:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Teostatud teisenduse aluseks on korrutamise jaotusomadus ja liitmise assotsiatiivne omadus. Näitame seda. Esitame selle avaldise teist liiget -(4b-c) korrutisena (-1) (4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Rakendades neid toimingute omadusi, saame:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Pärast identiteedi kontseptsiooni käsitlemist võime jätkata identselt võrdsete väljendite uurimist. Selle artikli eesmärk on selgitada, mis see on, ja näidetega näidata, millised väljendid on teistega identsed.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Identsed võrdsed avaldised: definitsioon
Identselt võrdsete avaldiste mõistet uuritakse tavaliselt koos identiteedi mõistega kooli algebra kursuse raames. Siin on põhimääratlus, mis on võetud ühest õpikust:
Definitsioon 1
identselt võrdsedüksteisele on sellised avaldised, mille väärtused on samad nende koosseisu kuuluvate muutujate võimalike väärtuste jaoks.
Samuti peetakse selliseid arvavaldisi identselt võrdseteks, mis vastavad samadele väärtustele.
See on üsna lai määratlus, mis kehtib kõigi täisarvu avaldiste puhul, mille tähendus muutujate väärtuste muutumisel ei muutu. Hiljem on aga vaja seda definitsiooni täpsustada, sest lisaks täisarvudele on ka teist tüüpi avaldisi, millel pole teatud muutujate puhul mõtet. Sellest tuleneb muutujate teatud väärtuste vastuvõetavuse ja vastuvõetamatuse kontseptsioon, samuti vajadus määrata lubatavate väärtuste vahemik. Sõnastame täpsustatud määratluse.
2. definitsioon
Identsed võrdsed väljendid on need avaldised, mille väärtused on nende koostises sisalduvate muutujate mis tahes kehtivate väärtuste jaoks võrdsed. Arvulised avaldised on üksteisega identsed, eeldusel, et väärtused on samad.
Fraas "muutujate lubatud väärtuste jaoks" tähistab kõiki neid muutujate väärtusi, mille puhul on mõlemal avaldisel mõtet. Selgitame seda seisukohta hiljem, kui toome näiteid identselt võrdsete avaldiste kohta.
Samuti saate määrata järgmise määratluse:
3. definitsioon
Identsed võrdsed avaldised on avaldised, mis asuvad samas identiteedis vasakul ja paremal küljel.
Näited avaldistest, mis on üksteisega identsed
Kasutades ülaltoodud definitsioone, vaadake mõnda näidet sellistest väljenditest.
Alustame numbriliste avaldistega.
Näide 1
Seega on 2 + 4 ja 4 + 2 üksteisega identselt võrdsed, kuna nende tulemused on võrdsed (6 ja 6).
Näide 2
Samamoodi on avaldised 3 ja 30 identselt võrdsed: 10 , (2 2) 3 ja 2 6 (viimase avaldise väärtuse arvutamiseks on vaja teada astme omadusi).
Näide 3
Kuid avaldised 4 - 2 ja 9 - 1 ei ole võrdsed, kuna nende väärtused on erinevad.
Liigume edasi sõnasõnaliste väljendite näidete juurde. A + b ja b + a on identselt võrdsed ja see ei sõltu muutujate väärtustest (avaldiste võrdsuse määrab sel juhul liitmise kommutatiivne omadus).
Näide 4
Näiteks kui a on 4 ja b on 5, on tulemused ikka samad.
Teine näide identselt võrdsetest tähtedega avaldistest on 0 · x · y · z ja 0 . Olenemata muutujate väärtusest sel juhul, kui korrutada 0-ga, annavad need 0. Ebavõrdsed avaldised on 6 x ja 8 x, kuna need ei ole ühegi x puhul võrdsed.
Juhul, kui muutujate lubatud väärtuste vahemikud langevad kokku näiteks avaldistes a + 6 ja 6 + a või a b 0 ja 0 või x 4 ja x ning avaldiste väärtused ise on mis tahes muutujate puhul võrdsed, siis loetakse selliseid avaldisi identselt võrdseteks. Niisiis, a + 8 = 8 + a mis tahes a väärtuse korral ja ka a · b · 0 = 0, kuna mis tahes arvu korrutamine 0-ga annab tulemuseks 0. Avaldised x 4 ja x on identselt võrdsed mis tahes x jaoks vahemikust [ 0 , + ∞).
Kuid ühe avaldise kehtiva väärtuse ulatus võib erineda teise avaldise ulatusest.
Näide 5
Näiteks võtame kaks avaldist: x − 1 ja x - 1 · x x . Neist esimese puhul on vastuvõetavate x väärtuste vahemik kogu reaalarvude kogum ja teise jaoks kõigi reaalarvude hulk, välja arvatud null, sest siis saame nimetajasse 0 ja sellist jaotust ei määratleta. Nendel kahel avaldisel on ühine vahemik, mis on moodustatud kahe erineva vahemiku lõikumisel. Võib järeldada, et mõlemad avaldised x - 1 · x x ja x - 1 on mõistlikud muutujate mis tahes tegelike väärtuste korral, välja arvatud 0 .
Murru põhiomadus võimaldab ka järeldada, et x-1 x x ja x-1 on võrdsed iga x puhul, mis ei ole 0. See tähendab, et need avaldised on lubatud väärtuste üldises vahemikus üksteisega identselt võrdsed ja ühegi reaalse x puhul ei saa rääkida identsest võrdsusest.
Kui asendame ühe avaldise teisega, mis on sellega identselt võrdne, siis nimetatakse seda protsessi identiteedi teisendamiseks. See kontseptsioon on väga oluline ja me räägime sellest üksikasjalikult eraldi artiklis.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
