Lihtsamad trigonomeetriliste võrrandite valemid on erijuhud. Kuidas lahendada trigonomeetrilisi võrrandeid

Videokursus "Saada A" sisaldab kõiki matemaatika eksami edukaks sooritamiseks vajalikke teemasid 60-65 punktiga. Täielikult kõik profiili ülesanded 1-13 KASUTADA matemaatikas. Sobib ka matemaatika Basic USE läbimiseks. Kui soovid sooritada eksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus eksamiks 10-11 klassidele, samuti õpetajatele. Kõik vajalik matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei sajapalline tudeng ega humanist.

Kogu vajalik teooria. Eksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Kõik 1. osa asjakohased ülesanded FIPI ülesannete pangast on analüüsitud. Kursus vastab täielikult USE-2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad eksamiülesanded. Tekstülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad probleemide lahendamise algoritmid. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi USE ülesannete analüüs. Stereomeetria. Kavalad nipid lahendamiseks, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist – ülesandeni 13. Tuupimise asemel mõistmine. Keeruliste mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Eksami 2. osa keeruliste ülesannete lahendamise alus.

Tund ja ettekanne teemal: "Kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid! Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.

Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes "Integral" 10. klassile alates 1C
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ülesanded ruumi ehitamiseks
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical constructor 6.1"

Mida me uurime:
1. Mis on trigonomeetrilised võrrandid?

3. Kaks peamist trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodit.
4. Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.
5. Näited.

Mis on trigonomeetrilised võrrandid?

Poisid, me oleme juba uurinud arcsiini, arkosiini, arctangenti ja arkotangensi. Vaatame nüüd trigonomeetrilisi võrrandeid üldiselt.

Trigonomeetrilised võrrandid - võrrandid, milles muutuja sisaldub trigonomeetrilise funktsiooni märgi all.

Kordame lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise vormi:

1) Kui |а|≤ 1, siis on võrrandil cos(x) = a lahendus:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Kui |а|≤ 1, siis on võrrandil sin(x) = a lahendus:

3) Kui |a| > 1, siis võrrandil sin(x) = a ja cos(x) = a pole lahendusi 4) Võrrandil tg(x)=a on lahendus: x=arctg(a)+ πk

5) Võrrandil ctg(x)=a on lahendus: x=arcctg(a)+ πk

Kõigi valemite puhul on k täisarv

Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid on kujul: Т(kx+m)=a, T- mis tahes trigonomeetriline funktsioon.

Lahenda võrrandid: a) sin(3x)= √3/2

Lahendus:

A) Tähistame 3x=t, siis kirjutame oma võrrandi ümber kujul:

Selle võrrandi lahendus on: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Väärtuste tabelist saame: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Läheme tagasi meie muutuja juurde: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Siis x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Vastus: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kus n on täisarv. (-1)^n – miinus üks astmeni n.

Veel näiteid trigonomeetrilistest võrranditest.

Lahendus:

A) Seekord läheme kohe otse võrrandi juurte arvutamise juurde:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Siis x/5= πk => x=5πk

Vastus: x=5πk, kus k on täisarv.

B) Kirjutame kujul: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Teame, et arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Vastus: x=2π/9 + πk/3, kus k on täisarv.

Lahendage võrrandid: cos(4x)= √2/2. Ja leidke segmendi kõik juured.

Lahendus:

Lahendame oma võrrandi üldkujul: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X = ± π/16+ πk/2;

Nüüd vaatame, millised juured langevad meie segmendile. Kui k Kui k=0, x= π/16, oleme antud segmendis .
Kui k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, tabavad nad uuesti.
Kui k=2, x= π/16+ π=17π/16, aga siin me ei tabanud, mis tähendab, et me ei taba ka suure k puhul.

Vastus: x= π/16, x= 9π/16

Kaks peamist lahendusmeetodit.

Lahendame võrrandi:

Lahendus:
Võrrandi lahendamiseks kasutame uue muutuja sisseviimise meetodit, mida tähistatakse: t=tg(x).

Asenduse tulemusena saame: t 2 + 2t -1 = 0

Leia ruutvõrrandi juured: t=-1 ja t=1/3

Siis tg(x)=-1 ja tg(x)=1/3, saime lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi, leiame selle juured.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vastus: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Näide võrrandi lahendamisest

Lahendage võrrandid: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Lahendus:

Kasutame identiteeti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Meie võrrand on järgmine: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Tutvustame asendust t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=2 ja t=-1/2

Siis cos(x)=2 ja cos(x)=-1/2.

Sest koosinus ei saa võtta ühest suuremaid väärtusi, siis cos(x)=2-l pole juuri.

Kui cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Vastus: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Vormi võrrandid

teise astme homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Esimese astme homogeense trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks jagame selle cos(x)-ga: Koosinusega on võimatu jagada, kui see on võrdne nulliga, veenduge, et see nii poleks:
Olgu cos(x)=0, siis asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aga siinus ja koosinus ei võrdu korraga nulliga, saime vastuolu, seega võib julgelt jagada nulliga.

Lahendage võrrand:
Näide: cos 2 (x) + sin(x) cos (x) = 0

Lahendus:

Võtke välja ühine tegur: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Seejärel peame lahendama kaks võrrandit:

cos(x)=0 ja cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, kui x= π/2 + πk;

Vaatleme võrrandit cos(x)+sin(x)=0 Jagage võrrand cos(x)-ga:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Vastus: x= π/2 + πk ja x= -π/4+πk

Kuidas lahendada teise astme homogeenseid trigonomeetrilisi võrrandeid?
Poisid, pidage alati kinni nendest reeglitest!

1. Vaadake, millega võrdub koefitsient a, kui a \u003d 0, siis on meie võrrand kujul cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), mille lahendi näide on eelmisel libisema

2. Kui a≠0, siis tuleb mõlemad võrrandi osad jagada ruudukoosinusega, saame:

Muudame muutujat t=tg(x), saame võrrandi:

Lahendage näide #:3

Jagage võrrandi mõlemad pooled koosinusruuduga:

Muudame muutujat t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Leia ruutvõrrandi juured: t=-3 ja t=1

Siis: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Vastus: x=-arctg(3) + πk ja x= π/4+ πk

Lahendage näide #:4

Lahendus:
Muudame oma väljendit:

Saame lahendada sellised võrrandid: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Vastus: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Lahendage näide #:5

Lahendus:
Muudame oma väljendit:

Tutvustame asendust tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=-2 ja t=1/2

Siis saame: tg(2x)=-2 ja tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Vastus: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ja x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Lahenda võrrandid: sin(3x)= √3/2. Ja leida kõik juured lõigul [π/2; π].

3) Lahendage võrrand: ctg 2 (x) + 2 ctg (x) + 1 =0

4) Lahendage võrrand: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lahendage võrrand: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lahendage võrrand: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmete all peetakse silmas andmeid, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Trigonomeetrilised võrrandid pole just kõige lihtsam teema. Valusalt on need erinevad.) Näiteks need:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Jne...

Kuid neil (ja kõigil teistel) trigonomeetrilistel koletistel on kaks ühist ja kohustuslikku tunnust. Esiteks – te ei usu seda – võrrandites on trigonomeetrilised funktsioonid.) Teiseks: kõik x-iga avaldised on samade funktsioonide raames. Ja ainult seal! Kui kuskil ilmub x väljas, näiteks, sin2x + 3x = 3, see on segatüüpi võrrand. Sellised võrrandid nõuavad individuaalset lähenemist. Siin me neid ei arvesta.

Ka selles tunnis ei lahenda me kurje võrrandeid.) Siin käsitlemegi lihtsaimad trigonomeetrilised võrrandid. Miks? Jah, sest otsus ükskõik milline trigonomeetrilised võrrandid koosnevad kahest etapist. Esimeses etapis taandatakse kurja võrrand erinevate teisenduste abil lihtsaks. Teisel - see lihtsaim võrrand on lahendatud. Ei muud moodi.

Seega, kui teil on probleeme teises etapis, pole esimesel etapil erilist mõtet.)

Kuidas näevad välja elementaartrigonomeetrilised võrrandid?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Siin a tähistab mis tahes numbrit. Ükskõik milline.

Muide, funktsiooni sees ei pruugi olla puhas x, vaid mingisugune avaldis, näiteks:

cos(3x+π /3) = 1/2

jne. See muudab elu keeruliseks, kuid ei mõjuta trigonomeetrilise võrrandi lahendamise meetodit.

Kuidas lahendada trigonomeetrilisi võrrandeid?

Trigonomeetrilisi võrrandeid saab lahendada kahel viisil. Esimene viis: loogika ja trigonomeetrilise ringi kasutamine. Uurime seda teed siin. Teist võimalust - mälu ja valemite kasutamist - käsitletakse järgmises õppetükis.

Esimene viis on selge, usaldusväärne ja raskesti unustatav.) See on hea trigonomeetriliste võrrandite, võrratuste ja igasuguste keeruliste mittestandardsete näidete lahendamiseks. Loogika on tugevam kui mälu!

Võrrandid lahendame trigonomeetrilise ringi abil.

Sisaldame elementaarset loogikat ja trigonomeetrilise ringi kasutamise oskust. Kas sa ei saa!? Siiski... Trigonomeetrias saab sul raske olema...) Aga see ei loe. Heitke pilk õppetundidele "Trigonomeetriline ring ...... Mis see on?" ja "Nurkide loendamine trigonomeetrilisel ringil". Seal on kõik lihtne. Erinevalt õpikutest...)

Ah, tead!? Ja isegi meisterdatud "Praktiline töö trigonomeetrilise ringiga"!? Võtke õnnitlused vastu. See teema on teile lähedane ja arusaadav.) Eriti meeldiv on see, et trigonomeetrilisel ringil pole vahet, millise võrrandi te lahendate. Siinus, koosinus, puutuja, kotangent – ​​tema jaoks on kõik sama. Lahenduse põhimõte on sama.

Seega võtame mis tahes elementaarse trigonomeetrilise võrrandi. Vähemalt see:

cosx = 0,5

Ma pean leidma X. Inimkeeles rääkides on vaja leida nurk (x), mille koosinus on 0,5.

Kuidas me ringi varem kasutasime? Joonistasime sellele nurga. Kraadides või radiaanides. Ja kohe nähtud selle nurga trigonomeetrilised funktsioonid. Nüüd teeme vastupidi. Joonista ringile koosinus 0,5 ja kohe me näeme nurk. Jääb vaid vastus kirja panna.) Jah, jah!

Joonistame ringi ja märgime koosinuse väärtusega 0,5. Koosinusteljel muidugi. Nagu nii:

Nüüd joonistame nurga, mille see koosinus meile annab. Hõljutage kursorit pildi kohal (või puudutage pilti tahvelarvutis) ja vaata see sama nurk X.

Millise nurga koosinus on 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Mõni uriseb skeptiliselt, jah... Nad ütlevad, et kas tasus ringi tarastada, kui kõik on nagunii selge... Nuriseda võib muidugi...) Aga fakt on see, et see on ekslik vastama. Või õigemini, ebapiisav. Ringi asjatundjad saavad aru, et on veel terve hunnik nurki, mis annavad ka koosinuse 0,5-ga.

Kui keerate liikuva külje OA täispöördeks, punkt A naaseb algasendisse. Sama koosinusega 0,5. Need. nurk muutub 360° või 2π radiaani ja koosinus ei ole. Uus nurk 60° + 360° = 420° on ka meie võrrandi lahendus, sest

Selliseid täispöördeid on lõpmatu arv... Ja kõik need uued nurgad on meie trigonomeetrilise võrrandi lahendused. Ja need kõik tuleb kuidagi kirja panna. Kõik. Vastasel juhul otsust ei arvestata, jah ...)

Matemaatika saab seda teha lihtsalt ja elegantselt. Ühes lühikeses vastuses kirjutage üles lõpmatu hulk lahendusi. Meie võrrandi puhul näeb see välja järgmine:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

ma dešifreerin. Kirjuta ikka tähendusrikkalt kenam kui rumalalt mingeid salapäraseid tähti joonistada, eks?)

π /3 on sama nurk, mis meie Saag ringil ja kindlaks määratud koosinuste tabeli järgi.

2π on üks täispööre radiaanides.

n - see on täielike, s.o. terve revolutsioonid. On selge, et n võib olla 0, ±1, ±2, ±3.... ja nii edasi. Nagu näitab lühike sissekanne:

n ∈ Z

n kuulub ( ∈ ) täisarvude hulka ( Z ). Muide, kirja asemel n saab kasutada tähti k, m, t jne.

See märge tähendab, et võite võtta mis tahes täisarvu n . Vähemalt -3, vähemalt 0, vähemalt +55. Mida sa tahad. Kui ühendate selle numbri oma vastuse sisestusse, saate konkreetse nurga, mis on kindlasti meie karmi võrrandi lahendus.)

Või teisisõnu x \u003d π / 3 on lõpmatu hulga ainus juur. Kõigi teiste juurte saamiseks piisab, kui lisada π / 3-le suvaline arv täispöördeid ( n ) radiaanides. Need. 2πn radiaan.

Kõik? Ei. Venitan konkreetselt naudingut. Et paremini meeles pidada.) Saime vaid osa võrrandi vastustest. Kirjutan selle lahenduse esimese osa järgmiselt:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - mitte üks juur, see on terve rida juuri, mis on kirjutatud lühivormis.

Kuid on ka teisi nurki, mis annavad koosinuse 0,5-ga!

Tuleme tagasi oma pildi juurde, mille järgi vastuse kirja panime. Seal ta on:

Liigutage hiirt üle pildi ja vaata teine ​​nurk see annab ka koosinuse 0,5. Millega see teie arvates võrdub? Kolmnurgad on samad... Jah! See on võrdne nurgaga X , joonistatud ainult negatiivses suunas. See on nurk -X. Aga me oleme x juba välja arvutanud. π /3 või 60°. Seetõttu võime julgelt kirjutada:

x 2 \u003d - π / 3

Ja loomulikult lisame kõik nurgad, mis saadakse täispöördega:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

See on nüüd kõik.) Trigonomeetrilises ringis me Saag(kes mõistab muidugi)) kõik nurgad, mis annavad koosinuse 0,5. Ja nad kirjutasid need nurgad lühikeses matemaatilises vormis üles. Vastus on kaks lõpmatut juurte seeriat:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

See on õige vastus.

Loodan, trigonomeetriliste võrrandite lahendamise üldpõhimõte ringi abil on arusaadav. Märgime ringjoonele etteantud võrrandist koosinuse (siinus, puutuja, kotangens), joonistame vastavad nurgad ja kirjutame vastuse üles. Muidugi peate välja mõtlema, mis nurgad me oleme Saag ringi peal. Mõnikord pole see nii ilmne. Noh, nagu ma ütlesin, on siin vaja loogikat.)

Näiteks analüüsime teist trigonomeetrilist võrrandit:

Pange tähele, et arv 0,5 ei ole võrrandites ainus võimalik arv!) Minu jaoks on lihtsalt mugavam kirjutada see kui juured ja murded.

Töötame üldpõhimõtte järgi. Joonistame ringi, märgime (siinusteljel loomulikult!) 0,5. Joonistame korraga kõik sellele siinusele vastavad nurgad. Saame selle pildi:

Kõigepealt tegeleme nurgaga. X esimesel kvartalil. Tuletame meelde siinuste tabeli ja määrame selle nurga väärtuse. Asi on lihtne:

x \u003d π / 6

Tuletame meelde täispöördeid ja paneme puhta südametunnistusega kirja esimesed vastuste seeriad:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pool tööd on tehtud. Nüüd peame määratlema teine ​​nurk... See on keerulisem kui koosinused, jah... Aga loogika päästab meid! Kuidas määrata teist nurka läbi x? Jah Lihtne! Pildil olevad kolmnurgad on samad ja punane nurk X võrdne nurgaga X . Ainult seda loetakse nurgast π negatiivses suunas. Sellepärast on see punane.) Ja vastuseks vajame positiivsest poolteljelt OX õigesti mõõdetud nurka, s.t. 0 kraadise nurga alt.

Hõljutage kursorit pildi kohal ja näete kõike. Esimese nurga eemaldasin, et pilti mitte keeruliseks ajada. Meie jaoks huvipakkuv nurk (joonistatud rohelisega) on võrdne:

π - x

x me teame seda π /6 . Nii et teine ​​nurk on järgmine:

π - π /6 = 5π /6

Jällegi tuletame meelde täispöörete lisamist ja paneme kirja teise seeria vastused:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

See on kõik. Täielik vastus koosneb kahest juurte seeriast:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangensi ja kotangensiga võrrandeid saab hõlpsasti lahendada, kasutades trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel sama üldpõhimõtet. Kui te muidugi ei tea, kuidas joonistada trigonomeetrilisele ringile puutujat ja kotangenti.

Ülaltoodud näidetes kasutasin siinuse ja koosinuse tabeliväärtust: 0,5. Need. üks neist tähendustest, mida õpilane teab peab. Nüüd laiendame oma võimalusi kõik muud väärtused. Otsustage, nii et otsustage!)

Oletame, et peame lahendama järgmise trigonomeetrilise võrrandi:

Lühikestes tabelites sellist koosinuse väärtust pole. Me ignoreerime seda kohutavat tõsiasja jahedalt. Joonistame ringi, märgime koosinusteljele 2/3 ja joonistame vastavad nurgad. Me saame selle pildi.

Alustuseks saame aru esimese veerandi nurgaga. Et teada saada, millega x on võrdne, kirjutaksid nad vastuse kohe kirja! Me ei tea... Ebaõnnestumine!? Rahune! Matemaatika ei jäta oma hätta! Ta leiutas selle juhtumi jaoks kaarekoosinused. Ei tea? Asjatult. Uurige välja. See on palju lihtsam, kui arvate. Selle lingi järgi pole ühtegi keerulist loitsu "trigonomeetriliste pöördfunktsioonide" kohta ... See on siin teemas üleliigne.

Kui olete kursis, öelge endale: "X on nurk, mille koosinus on 2/3." Ja kohe, puhtalt arkosiini määratluse järgi, võime kirjutada:

Meenutame täiendavaid pöördeid ja kirjutame rahulikult üles oma trigonomeetrilise võrrandi esimesed juured:

x 1 = kaared 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ka teine ​​juurte seeria kirjutatakse peaaegu automaatselt, teise nurga jaoks. Kõik on sama, ainult x (arccos 2/3) on miinusega:

x 2 = - kaared 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ja kõik asjad! See on õige vastus. Isegi lihtsam kui tabeliväärtustega. Te ei pea midagi meeles pidama.) Muide, kõige tähelepanelikumad märkavad, et see pilt lahendusega läbi kaarekoosinuse ei erine sisuliselt pildil olevast võrrandi cosx = 0,5 korral.

Täpselt nii! Üldpõhimõte selle kohta ja üldine! Konkreetselt joonistasin kaks peaaegu identset pilti. Ring näitab meile nurka X koosinuse järgi. See on tabelikoosinus või mitte - ring ei tea. Mis nurk see on, π / 3 või milline kaarekoosinus on meie otsustada.

Siinusega sama laul. Näiteks:

Jällegi joonistame ringi, märgime siinuse, mis on võrdne 1/3-ga, joonistame nurgad. Selgub see pilt:

Ja jällegi on pilt peaaegu sama, mis võrrandi puhul sinx = 0,5. Taas alustame esimesel veerandajal nurgast. Millega võrdub x, kui selle siinus on 1/3? Pole probleemi!

Nii et esimene juurtepakk on valmis:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Heidame pilgu teise nurga alla. Näites tabeli väärtusega 0,5 oli see võrdne:

π - x

Nii et siin on see täpselt sama! Ainult x on erinev, arcsin 1/3. Mis siis!? Teise juurpaki võite julgelt kirjutada:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

See on täiesti õige vastus. Kuigi see ei tundu väga tuttav. Aga see on arusaadav, ma loodan.)

Nii lahendatakse ringi abil trigonomeetrilisi võrrandeid. See tee on selge ja arusaadav. Just tema salvestab trigonomeetrilistes võrrandites juurte valikuga antud intervallil, trigonomeetrilistes võrratustes - need lahendatakse üldiselt peaaegu alati ringis. Ühesõnaga kõigis tavapärastest pisut keerulisemates ülesannetes.

Kas teadmisi praktikas rakendada?

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine:

Alguses on see lihtsam, otse selle õppetüki kohta.

Nüüd on see keerulisem.

Vihje: siin tuleb mõelda ringi peale. Isiklikult.)

Ja nüüd väliselt tagasihoidlikud ... Neid nimetatakse ka erijuhtudeks.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Vihje: siin peate ringis välja mõtlema, kus on kaks vastuste seeriat ja kus üks ... Ja kuidas kahe vastuseseeria asemel üks üles kirjutada. Jah, nii et ükski juur lõpmatust arvust ei läheks kaotsi!)

Noh, üsna lihtne):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Vihje: siin peate teadma, mis on arcsiinus, arkosiinus? Mis on kaartangens, kaartangens? Kõige lihtsamad määratlused. Kuid te ei pea meeles pidama ühtegi tabeliväärtust!)

Vastused on loomulikult segased):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Kas kõik ei õnnestu? Tuleb ette. Lugege õppetund uuesti läbi. Ainult mõtlikult(on selline vananenud sõna...) Ja järgi linke. Peamised lingid on seotud ringiga. Ilma selleta trigonomeetrias - kuidas ületada teed kinniseotud silmadega. Mõnikord see töötab.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid

Sissejuhatus 2

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid 5

Algebraline 5

Võrrandite lahendamine samanimeliste trigonomeetriliste funktsioonide võrdsuse tingimuse abil 7

Faktooring 8

Taandamine homogeenseks võrrandiks 10

Abinurga sissejuhatus 11

Teisenda toode summaks 14

Universaalne asendus 14

Järeldus 17

Sissejuhatus

Kuni kümnenda klassini on paljude eesmärgini viivate harjutuste tegevuste järjekord reeglina üheselt määratletud. Näiteks lineaar- ja ruutvõrrandid ja võrratused, murd- ja ruutvõrrandid jne. Analüüsimata üksikasjalikult iga mainitud näite lahendamise põhimõtet, märgime üldist asja, mis on nende edukaks lahendamiseks vajalik.

Enamasti peate kindlaks määrama, mis tüüpi ülesanne on, meeles pidama eesmärgini viivate toimingute jada ja sooritama need toimingud. On ilmne, et õpilase edu või ebaõnnestumine võrrandite lahendamise meetodite omandamisel sõltub peamiselt sellest, kui palju ta suudab võrrandi tüübi õigesti määrata ja selle lahendamise kõigi etappide järjestust meeles pidada. See eeldab muidugi, et õpilasel on oskused teha identseid teisendusi ja arvutusi.

Hoopis teistsugune olukord tekib siis, kui õpilane puutub kokku trigonomeetriliste võrranditega. Samas pole raske kindlaks teha, et võrrand on trigonomeetriline. Raskused tekivad siis, kui leida tegevussuund, mis viiks positiivse tulemuseni. Ja siin seisab õpilane kahe probleemi ees. Tüüpi on võrrandi välimuse järgi raske määrata. Ja ilma tüüpi teadmata on peaaegu võimatu valida soovitud valemit mitmekümne olemasoleva hulgast.

Et aidata õpilastel läbi trigonomeetriliste võrrandite keerulise labürindi orienteeruda, tutvustatakse neile esmalt võrrandeid, mis pärast uue muutuja sisseviimist taandatakse ruudukujulisteks. Seejärel lahendage homogeensed võrrandid ja taandage neile. Kõik lõpeb reeglina võrranditega, mille lahendamiseks on vaja vasak pool faktoriseerida, seejärel võrdsustada kõik tegurid nulliga.

Mõistes, et tundides analüüsitud poolteisekümnest võrrandist selgelt ei piisa, et lasta õpilasel iseseisvalt trigonomeetrilisel "merel" seilata, lisab õpetaja endalt veel paar soovitust.

Trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks peame proovima:

Viige kõik võrrandis sisalduvad funktsioonid "samade nurkade alla";

Viige võrrand "samade funktsioonide" juurde;

Teguriseeri võrrandi vasak pool jne.

Kuid hoolimata teadmistest trigonomeetriliste võrrandite peamiste tüüpide ja nende lahenduse leidmise põhimõtete kohta, leiavad paljud õpilased end ikkagi iga võrrandi ees ummikseisust, mis erineb veidi varem lahendatutest. Jääb ebaselgeks, mille poole peaks ühe või teise võrrandi olemasolu korral püüdlema, miks ühel juhul on vaja rakendada topeltnurga valemeid, teisel poolnurka ja kolmandal liitmisvalemeid jne.

Definitsioon 1. Trigonomeetriline võrrand on võrrand, milles tundmatu sisaldub trigonomeetriliste funktsioonide märgi all.

2. definitsioon. Trigonomeetrilisel võrrandil on samad nurgad, kui kõigil selles sisalduvatel trigonomeetrilistel funktsioonidel on võrdsed argumendid. Väidetavalt on trigonomeetrilisel võrrandil samad funktsioonid, kui see sisaldab ainult ühte trigonomeetrilistest funktsioonidest.

3. määratlus. Trigonomeetrilisi funktsioone sisaldava monomi aste on selles sisalduvate trigonomeetriliste funktsioonide astmete summa.

4. määratlus. Võrrandit nimetatakse homogeenseks, kui kõik selles sisalduvad monomiaalid on ühesuguse astmega. Seda kraadi nimetatakse võrrandi järjekorraks.

Definitsioon 5. Trigonomeetriline võrrand, mis sisaldab ainult funktsioone patt ja cos, nimetatakse homogeenseks, kui kõigil trigonomeetriliste funktsioonide monoomidel on sama aste ja trigonomeetrilistel funktsioonidel endil on võrdsed nurgad ja monomialide arv on võrrandi järjekorrast 1 võrra suurem.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine koosneb kahest etapist: võrrandi teisendamine selle lihtsaima kuju saamiseks ja saadud lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi lahendamine. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks on seitse põhimeetodit.

I. algebraline meetod. See meetod on algebrast hästi tuntud. (Muutujate asendamise ja asendamise meetod).

Lahenda võrrandid.

1)

Tutvustame tähistust x=2 patt3 t, saame

Selle võrrandi lahendamisel saame:
või

need. saab kirjutada

Märkide olemasolu tõttu saadud lahenduse kirjutamisel kraadi
pole mõtet kirjutada.

Vastus:

Tähistage

Saame ruutvõrrandi
. Selle juured on numbrid
ja
. Seetõttu taandub see võrrand kõige lihtsamateks trigonomeetrilisteks võrranditeks
ja
. Neid lahendades leiame selle
või
.

Vastus:
;
.

Tähistage

tingimust ei rahulda

Tähendab

Vastus:

Teisendame võrrandi vasaku külje:

Seega saab selle algvõrrandi kirjutada järgmiselt:

, st.

Tähistades
, saame
Selle ruutvõrrandi lahendamiseks saame:

tingimust ei rahulda

Kirjutame üles algse võrrandi lahendi:

Vastus:

Asendamine
taandab selle võrrandi ruutvõrrandiks
. Selle juured on numbrid
ja
. Sest
, siis antud võrrandil pole juuri.

Vastus: pole juuri.

II. Võrrandite lahendamine samanimeliste trigonomeetriliste funktsioonide võrdustingimuse abil.

a)
, kui

b)
, kui

sisse)
, kui

Neid tingimusi kasutades kaaluge järgmiste võrrandite lahendust:

6)

Kasutades punktis a) öeldut, leiame, et võrrandil on lahendus siis ja ainult siis
.

Selle võrrandi lahendamisel leiame
.

Meil on kaks lahenduste rühma:

.

7) Lahendage võrrand:
.

Kasutades osa b) tingimust, järeldame, et
.

Lahendades need ruutvõrrandid, saame:

.

8) Lahenda võrrand
.

Sellest võrrandist järeldame, et . Selle ruutvõrrandi lahendamisel leiame selle

.

III. Faktoriseerimine.

Vaatleme seda meetodit näidetega.

9) Lahenda võrrand
.

Lahendus. Liigutame kõik võrrandi liikmed vasakule: .

Teisendame ja faktoriseerime võrrandi vasakul küljel oleva avaldise:
.

.

.

1)
2)

Sest
ja
ära võta väärtust null

samal ajal eraldame mõlemad osad

võrrandid jaoks
,

Vastus:

10) Lahendage võrrand:

Lahendus.

või

Vastus:

11) Lahenda võrrand

Lahendus:

1)
2)
3)

,

Vastus:

IV. Taandamine homogeenseks võrrandiks.

Homogeense võrrandi lahendamiseks on vaja:

Liigutage kõik selle liikmed vasakule küljele;

Pange kõik levinud tegurid sulgudest välja;

Võrdsusta kõik tegurid ja sulud nulliga;

Nulliga võrdsustatud sulud annavad väiksema astmega homogeense võrrandi, mis tuleks jagada
(või
) vanemas astmes;

Lahendage saadud algebraline võrrand jaoks
.

Mõelge näidetele:

12) Lahendage võrrand:

Lahendus.

Jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga
,

Tutvustame noodikirja
, nimi

selle võrrandi juured on:

siit 1)
2)

Vastus:

13) Lahendage võrrand:

Lahendus. Kasutades topeltnurga valemeid ja põhilist trigonomeetrilist identiteeti, taandame selle võrrandi pooleks argumendiks:

Pärast sarnaste tingimuste vähendamist on meil:

Homogeense viimase võrrandi jagamine arvuga
, saame

ma määran
, saame ruutvõrrandi
, mille juured on arvud

Sellel viisil

Väljendus
kaob kell
, st. juures
,
.

Meie võrrandi lahendus ei sisalda neid numbreid.

Vastus:
, .

V. Abinurga sissejuhatus.

Vaatleme vormi võrrandit

Kus a, b, c- koefitsiendid, x- teadmata.

Jagage selle võrrandi mõlemad pooled arvuga

Nüüd on võrrandi koefitsientidel siinuse ja koosinuse omadused, nimelt: nende kummagi moodul ei ületa ühtsust ja nende ruutude summa on võrdne 1-ga.

Siis saame need vastavalt märgistada
(siin - abinurk) ja meie võrrand on kujul: .

Siis

Ja tema otsus

Pange tähele, et kasutusele võetud tähistus on vahetatav.

14) Lahendage võrrand:

Lahendus. Siin
, seega jagame võrrandi mõlemad pooled arvuga

Vastus:

15) Lahenda võrrand

Lahendus. Sest
, siis on see võrrand võrdne võrrandiga

Sest
, siis on selline nurk, et
,
(need.
).

Meil on

Sest
, siis lõpuks saame:

.

Pange tähele, et vormi võrrandil on lahendus siis ja ainult siis

16) Lahendage võrrand:

Selle võrrandi lahendamiseks rühmitame trigonomeetrilised funktsioonid samade argumentidega

Jagage võrrandi mõlemad pooled kahega

Teisendame trigonomeetriliste funktsioonide summa tooteks:

Vastus:

VI. Teisenda toode summaks.

Siin kasutatakse vastavaid valemeid.

17) Lahendage võrrand:

Lahendus. Teisendame vasaku külje summaks:

VII.Universaalne asendus.

,

need valemid kehtivad kõigi kohta

Asendamine
nimetatakse universaalseks.

18) Lahendage võrrand:

Lahendus: asendage ja
nende väljendusele läbi
ja tähistada
.

Saame ratsionaalse võrrandi
, mis teisendatakse ruuduks
.

Selle võrrandi juurteks on arvud
.

Seetõttu taandati ülesanne kahe võrrandi lahendamiseks
.

Leiame selle
.

Vaadake väärtust
ei vasta algsele võrrandile, mida kontrollitakse kontrollimise teel - asendades antud väärtuse t algsele võrrandile.

Vastus:
.

Kommenteeri. Võrrandit 18 saab lahendada teistmoodi.

Jagage selle võrrandi mõlemad pooled 5-ga (st
):
.

Sest
, siis on number
, mida
ja
. Seega võrrand muutub:
või
. Siit leiame selle
kus
.

19) Lahenda võrrand
.

Lahendus. Kuna funktsioonid
ja
mille suurim väärtus on 1, siis on nende summa võrdne 2-ga, kui
ja
, samal ajal, see on
.

Vastus:
.

Selle võrrandi lahendamisel kasutati funktsioonide ja piiritust.

Järeldus.

Teemal "Trigonomeetriliste võrrandite lahendused" töötades on igal õpetajal kasulik järgida järgmisi soovitusi:

Süstematiseerida trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid.

Valige endale võrrandi analüüsi teostamise sammud ja märgid ühe või teise lahendusmeetodi kasutamise otstarbekuse kohta.

Mõelge meetodi rakendamisel tegevuse enesekontrolli viisidele.

Õppige koostama iga uuritud meetodi jaoks "oma" võrrandeid.

Taotlus nr 1

Lahendage homogeenseid või taandatavaid võrrandeid.