X. võrdelised lõigud täisnurkses kolmnurgas ja ringis. teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid. Täiendavad omadused

Vaatleme esmalt sekanti AC, mis on tõmmatud antud ringi välisest punktist A (joonis 288). Joonistage samast punktist puutuja AT. Punkti A ja sellele lähima lõikepunkti vahelist lõiku nimetame ringjoonega lõike välimiseks osaks (lõik AB joonisel 288), samas kui lõiku AC, mis jääb kahest ristumispunktist kõige kaugemale, on lihtsalt sekant. . Puutuja lõiku punktist A kokkupuutepunkti nimetatakse lühidalt ka puutujaks. Siis

Teoreem. Sekandi ja selle välimise osa korrutis on võrdne puutuja ruuduga.

Tõestus. Ühendame punkti. Kolmnurgad ACT ja BT A on sarnased, kuna neil on ühine nurk tipus A ning nurgad ACT ja on võrdsed, kuna mõlemat mõõdetakse poolega samast kaarest TB. Seetõttu saame siit vajaliku tulemuse:

Puutuja on võrdne samast punktist tõmmatud sekandi ja selle välimise osa vahelise geomeetrilise keskmisega.

Tagajärg. Iga läbi antud punkti A tõmmatud sekandi korral on selle pikkuse ja välimise osa korrutis konstantne:

Mõelge nüüd akordidele, mis lõikuvad sisepunktis. Õige väide:

Kui kaks kõõlu lõikuvad, siis on ühe kõõlu lõikude korrutis võrdne teise kõõlu lõikude korrutisega (see tähendab lõigud, milleks akord jagatakse lõikepunktiga).

Niisiis, joonisel fig. 289 akordid AB ja CD lõikuvad punktis M ja meil on Teisisõnu,

Antud punkti M puhul on nende lõikude korrutis, milleks see jagab mis tahes seda läbiva kõõlu, konstantne.

Selle tõestamiseks märgime, et kolmnurgad MBC ja MAD on sarnased: nurgad CMB ja DMA on vertikaalsed, nurgad MAD ja MCB põhinevad samal kaarel. Siit leiame

Q.E.D.

Kui antud punkt M asub tsentrist kaugusel l, siis tõmmates sellest läbi diameetri ja pidades seda üheks kõõluks, leiame, et läbimõõdu segmentide ja seega ka mis tahes muu kõõlu korrutis on võrdne See võrdub ka M-i läbiva minimaalse poolkõla ruuduga (mis on risti määratud läbimõõduga).

Teoreem akordi segmentide korrutise konstantsuse kohta ja teoreem sekandi korrutise püsivuse kohta selle välimise osa järgi on sama väite kaks juhtu, erinevus on ainult selles, kas sekantid tõmmatakse läbi välise või ringi sisemine punkt. Nüüd saate määrata veel ühe funktsiooni, mis eristab sissekirjutatud nelinurki:

Igas sisse kirjutatud nelinurgas on lõikekorrutised, millesse diagonaalid on jagatud nende lõikepunktiga, võrdsed.

Tingimuse vajalikkus on ilmne, kuna diagonaalid on piiritletud ringi akordid. Võib näidata, et ka see tingimus on piisav.

Matemaatika. Algebra. Geomeetria. Trigonomeetria

GEOMEETIA: Planimeetria

10. Teoreemid võrdelistel sirgetel

Tõestus. On vaja tõestada järgmised kolm proportsiooni: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Kolmnurgad ABD ja ADC on sarnased, kuna

Autoriõigus © 2005–2013 Xenoid v2.0

Saidi materjalide kasutamine on võimalik juhul, kui on märgitud aktiivne link

§ 11. Proportsionaalsed lõigud ringis.

1. Silla sõrestik on piiratud ringikaarega (joon. 38); sõrestiku kõrgus MK= h= 3 m; kaare raadius AMB sildeava R = 8,5 m. Arvutage sildeava pikkus AB.

2. Poolsilindrisse võlvkeldrisse tuleks asetada kaks posti, kumbki samale kaugusele lähimast seinast. Määrake riiulite kõrgus, kui keldri laius põhjas on 4 m ja riiulite vaheline kaugus on 2 m.

3. 1) Ringjoone punktist tõmmatakse risti läbimõõduga. Määrake selle pikkus järgmiste läbimõõduga segmentide pikkusega: 1) 12 cm ja 3 cm; 2) 16 cm ja 9 cm, 3) 2 m ja 5 dm.

2) Läbimõõdu punktist ringjoonega ristumiskohani tõmmatakse risti. Määrake selle risti pikkus, kui läbimõõt on 40 cm ja tõmmatud rist on 8 cm kaugusel läbimõõdu ühest otsast.

4. Läbimõõt on jagatud segmentideks: AC \u003d 8 dm ja CB \u003d 5 m ning punktist C tõmmatakse sellele risti etteantud pikkusega CD. Märkige punkti D asukoht ringi suhtes, kui CD on võrdne: 1) 15 dm; 2) 2 m; 3) 23 dm.

5. DIA-poolring; CD - risti läbimõõduga AB. Nõutud:

1) määrake DB, kui AD = 25 ja CD = 10;

2) määrake AB, kui AD: DB= 4:9 ja CD=30;

3) defineeri AD, kui CD=3AD ja raadius on r;

4) määrake AD, kui AB=50 ja CD=15.

6. 1) Ringjoone punktist 34 cm raadiusse langetatud risti jagab selle vahekorras 8:9 (alustades keskelt). Määrake risti pikkus.

2) Kõõlu BDC on raadiusega ODA risti. Määrake BC, kui OA = 25 cm ja AD = 10 cm.

3) Kahe kontsentrilise ringiga moodustatud rõnga laius on 8 dm; suurema ringi kõõl, mis puutub väiksemaga, on 4 m. Määrake ringide raadiused.

7. Lõike võrdlemisega tõesta, et kahe ebavõrdse arvu aritmeetiline keskmine on suurem nende geomeetrilisest keskmisest.

8. Koostage lõik, mille keskmine proportsionaalne segmentide vahel on 3 cm ja 5 cm.

9. Koostage lõik, mis on võrdne: √15; √10; √6; √3.

10. ADB-läbimõõt; AC-akord; CD on läbimõõduga risti. Määrake vahelduvvoolu kõõl: 1) kui AB = 2 m ja AD = 0,5 m; 2) kui AD = 4 cm ja DB = 5 cm; 3) kui AB=20m ja DB=15m.

11. AB läbimõõt; AC-akord; AD on selle projektsioon läbimõõdule AB. Nõutud:

1) määrake AD, kui AB=18 cm ja AC=12 cm;

2) määrab raadiuse, kui AC=12 m ja AD=4 m;

3) määrake DB, kui AC=24 cm ja DB = 7/9 AD.

12. AB läbimõõt; AC-akord; AD on selle projektsioon läbimõõdule AB. Nõutud:

1) määrake AC, kui AB = 35 cm ja AC = 5AD;

2) määrake vahelduvvool, kui raadius on võrdne r ja AC=DB.

13. Kaks akordi ristuvad ringi sees. Ühe akordi segmendid on 24 cm ja 14 cm; teise akordi üks lõikudest on 28 cm. Määrake selle teine ​​lõik.

14. Silla sõrestik on piiratud ringikaarega (joon. 38); silla pikkus AB = 6 m, kõrgus A = 1,2 m Määrake kaare raadius (OM = R).

15. Kaks segmenti AB ja CD lõikuvad punktis M nii, et MA \u003d 7 cm, MB \u003d 21 cm,
MC = 3 cm ja MD = 16 cm Kas punktid A, B, C ja D asuvad samal ringil?

16. Pendli pikkus MA = l= 1 m (joonis 39), selle tõstekõrgus nurga α võrra kõrvalekaldumisel CA = h\u003d 10 cm. Leidke punkti B kaugus BC-st MA (BC \u003d X).

17. Tõlkida raudtee rööpme laius b\u003d 1,524 m kohas AB (joonis 40) tehakse ümardamine; samas selgus, ; et BC= a= 42,4 m. Määrake kõverusraadius OA = R.

18. Kõõlu AMB pööratakse punkti M lähedale nii, et segment MA on suurenenud 2 1/2 korda. Kuidas on segment MB muutunud?

19. 1) Kahest lõikuvast akordist jagati üks 48 cm ja 3 cm suurusteks osadeks ning teine ​​pooleks. Määrake teise akordi pikkus.

2) Kahest lõikuvast akordist jagati üks 12 m ja 18 m osadeks ning teine ​​vahekorras 3:8. Määrake teise akordi pikkus.

20. Kahest lõikuvast akordist on esimene 32 cm ja teise akordi lõigud on
12 cm ja 16 cm Määrake esimese akordi lõigud.

21. Sekant ABC pööratakse välimise punkti A lähedale nii, et selle välimine segment AB on vähenenud kolm korda. Kuidas muutus sekandi pikkus?

22. Olgu ADB ja AEC kaks ringjoont lõikuvat sirget: esimene on punktides D ja B, teine ​​punktides E ja C. Nõutav:

1) määrake AE, kui AD = 5 cm, DB = 15 cm ja AC = 25 cm;

2) määrab BD, kui AB = 24 m, AC = 16 m ja EC = 10 m;

3) määrake AB ja AC, kui AB+AC=50 m, a AD: AE = 3:7.

23. Ringjoone raadius on 7 cm Keskpunktist 9 cm kaugusel asuvast punktist tõmmatakse sekant nii, et see jagatakse ringiga pooleks. Määrake selle sekandi pikkus.

24. MAB ja MCD on ühe ringi kaks sekanti. Nõutud:

1) määrake CD, kui MV = 1 m, MD = 15 dm ja CD = MA;

2) määrata MD, kui MA =18 cm, AB=12 cm ja MC:CD = 5:7;

3) määrake AB, kui AB = MC, MA = 20 ja CD = 11.

25. Kaks akordi on pikendatud vastastikuse ristumiskohani. Määrake saadud pikenduste pikkus, kui akordid on võrdsed a ja b ja nende laiendid on seotud kui t:p.

26. Ühest punktist tõmmatakse ringile sekant ja puutuja. Määrake puutuja pikkus, kui sekandi välimine ja sisemine segment on vastavalt väljendatud järgmiste arvudega: 1) 4 ja 5; 2) 2,25 ja 1,75; 3) 1 ja 2.

27. Puutuja on 20 cm ja samast punktist tõmmatud suurim sekant on 50 cm Määrake ringi raadius.

28. Sekant on 2 1/4 korda suurem kui selle välimine segment. Mitu korda suurem on see samast punktist tõmmatud puutujast?

29. Jätkatakse kahe ristuva ringi ühiskõla ja neile tõmmatakse jätkupunktist puutujad. Tõesta, et nad on võrdsed.

30. Nurga A ühele küljele asetatakse üksteise järel segmendid: AB \u003d 6 cm ja BC \u003d 8 cm; ja teisele küljele asetatakse lõik AD = 10 cm. Läbi punktide B, C ja D tõmmatakse ring. Uurige, kas sirge AD puudutab seda ringi ja kui mitte, siis kas punkt D on esimene (arvestades A-st) või teine ​​lõikepunkt.

31. Olgu see: sama ringi AB-tangens ja ACD-sekant. Nõutud:

1) määrake CD, kui AB = 2 cm ja AD = 4 cm;

2) määrake AD, kui AC:CD = 4:5 ja AB = 12 cm;

3) määrake AB, kui AB = CD ja AC = a.

32. 1) Kui kaugele näete õhupallist (joonis 41), mis on tõusnud maapinnast 4 km kõrgusele (maa raadius = 6370 km)?

2) Elbruse mägi (Kaukaasias) kõrgub 5600 meetrit üle merepinna.Kui kaugele te selle mäe tipust näete?

3) M - maapinnast A meetri kõrgusega vaatluspost (joonis 42); maa raadius R, МТ= d on suurim nähtav kaugus. Tõesta seda d= √2R h+ h 2

Kommenteeri. Sest h 2 oma väiksuse tõttu võrreldes 2R-ga h peaaegu ei mõjuta tulemust, siis võite kasutada ligikaudset valemit d≈ √2R h .

33. 1) Ühest punktist väljuv puutuja ja sekant on vastavalt 20 cm ja 40 cm; sekant asub tsentrist 8 cm kaugusel.Määrake ringi raadius.

2) Määrake kaugus keskpunktist punktini, kust puutuja ja sekant lähevad, kui need on vastavalt 4 cm ja 8 cm, ja sekant eemaldatakse keskelt
12 cm

34. 1) Ühispunktist tõmmatakse ringile puutuja ja sekant. Määrake puutuja pikkus, kui see on 5 cm pikem kui sekandi välimine segment ja sama palju väiksem kui sisemine segment.

2) Ühest punktist tõmmatakse ringile sekant ja puutuja. Sekant on a, ja selle sisemine segment on puutuja pikkuse võrra pikem kui välimine segment. Defineeri puutuja.

36. Ühest punktist tõmmatakse ühele ringile puutuja ja sekant. Puutuja on sekandi sisemisest ja välimisest segmendist vastavalt 2 cm ja 4 cm võrra suurem.Määrake sekandi pikkus.

36. Ühest punktist tõmmatakse ringile puutuja ja sekant. Määrake nende pikkus, kui puutuja on 20 cm väiksem kui sekandi sisemine segment ja 8 cm suurem kui välimine segment.

37. 1) Ringjoone ühest punktist tõmmatakse sekant ja puutuja. Nende summa on 30 cm ja sekandi sisemine segment on puutujast 2 cm väiksem. Defineeri sekant ja puutuja.

2) Ühest punktist tõmmatakse ringile sekant ja puutuja. Nende summa on 15 cm ja sekandi välimine segment on puutujast 2 cm väiksem. Defineeri sekant ja puutuja.

38. Lõik AB pikeneb kauguse BC võrra. AB-l ja AC-l, nagu ka läbimõõtudel, ehitatakse ringid. Lõigu AC külge punktis B tõmmatakse risti BD, kuni see lõikub suurema ringiga. Punktist C tõmmatakse väiksemale ringile puutuja SC. Tõesta, et CD = CK.

39. Antud ringile tõmmatakse kaks paralleelset puutujat ja kolmas puutuja, mis neid lõikuvad. Raadius on keskmine võrdeline kolmanda puutuja segmentide vahel. Tõesta.

40. Kaks paralleelset sirget on üksteisest 15 dm kaugusel; nende vahele antakse punkt M 3 dm kaugusel ühest neist. Läbi punkti M tõmmatakse ringjoon, mis puutub mõlema paralleeliga. Määrake kaugus keskpunkti ja punkti M projektsioonide vahel ühel neist paralleelidest.

41. Raadiusega ringis r Kirjutatakse võrdhaarne kolmnurk, mille kõrguse ja aluse summa on võrdne ringi läbimõõduga. Määrake kõrgus.

42. Määrake võrdhaarse kolmnurga ümber piiritletud ringi raadius: 1) kui alus on 16 cm ja kõrgus on 4 cm; 2) kui külg on 12 dm ja kõrgus on 9 dm; 3) kui külg on 15 m ja alus on 18 m.

43. Võrdhaarse kolmnurga põhi on 48 dm ja külg 30 dm. Määrake piiritletud ja sisse kirjutatud ringide raadiused ning nende keskpunktide vaheline kaugus.

44. Raadius on r, on selle kaare kõõl võrdne a. Määrake kahekordse kaare akord.

45. Ringjoone raadius on 8 dm; kõõl AB on 12 dm. Läbi punkti A tõmmatakse puutuja ja punktist B on puutujaga paralleelne kõõl BC. Määrake puutuja ja kõõlu BC vaheline kaugus.

46. ​​Punkt A eemaldatakse sirgelt MN kaugel Koos. antud raadius r Ringjoon on ümbritsetud nii, et see läbib punkti A ja puudutab sirget MN. Määrake vastuvõetud puutepunkti ja antud punkti A vaheline kaugus.

Vara 1 . Kui ringi akordid AB ja CD lõikuvad punktis S, siis AS BS = CS DS, st DS/BS = AS/CS.

Tõestus. Esmalt tõestame, et kolmnurgad ASD ja CSB on sarnased.

Sisestatud nurgad DCB ja DAB on võrdsed, kuna need põhinevad samal kaarel.

Nurgad ASD ja BSC on võrdsed vertikaalsetena.

Näidatud nurkade võrdsusest järeldub, et kolmnurgad ASD ja CSB on sarnased. Kolmnurkade sarnasusest tuleneb proportsioon

DS/BS = AS/CS või AS BS = CS DS,

Q.E.D.

Omadus 2. Kui punktist P tõmmatakse ringile kaks sekanti, mis lõikuvad ringjoone punktides A, B ja C, D, siis АР/СР = DP/BP.

Tõestus. Olgu A ja C punktile P lähima ringiga sekantide lõikepunktid. Kolmnurgad PAD ja RSV on sarnased. Neil on tipus P ühine nurk ning nurgad B ja D on sama kaare alusel võrdsed sissekirjutatutega. Kolmnurkade sarnasusest tuleneb proportsioon АР/СР = DP/BP, mida oli vaja tõestada.

Kolmnurga nurga poolitaja omadus

Kolmnurga nurgapoolitaja jagab vastaskülje segmentideks, mis on võrdelised kahe teise küljega.

Tõestus. Olgu CD kolmnurga ABC poolitaja. Kui kolmnurk ABC on võrdhaarne alusega AB, siis on poolitaja määratud omadus ilmne, kuna sel juhul on poolitaja ka mediaan. Mõelge üldisele juhtumile, kus AC ei ole võrdne BC-ga. Kujutagem ristid AF ja BE tippudest A ja B sirgele CD. Täisnurksed kolmnurgad ACF ja ALL on sarnased, kuna neil on tipus C võrdsed teravnurgad.

Kolmnurkade sarnasusest tuleneb külgede proportsionaalsus: AC / BC \u003d AF / BE. Sarnased on ka täisnurksed kolmnurgad ADF ja BDE. Nende nurgad tipus D on võrdsed vertikaalse nurgaga. Sarnasusest tuleneb: AF/BE = AD/BD. Võrreldes seda võrdsust eelmisega, saame: AC / BC \u003d AD / BD või AC / AD \u003d BC / BD, see tähendab, et AD ja BD on võrdelised külgedega AC ja BC.