Harmooniline võrrand. Kõikumised. Harmoonilised vibratsioonid. Võnkumise karakteristikud: amplituud, periood, sagedus, tsükliline sagedus, faas

Harmooniline võnkumine on mingi suuruse perioodilise muutumise nähtus, mille puhul sõltuvus argumendist on siinus- või koosinusfunktsiooni iseloomuga. Näiteks kogus, mis ajas muutub harmooniliselt järgmiselt:

kus x on muutuva suuruse väärtus, t on aeg, ülejäänud parameetrid on konstantsed: A on võnkumiste amplituud, ω on võnkumiste tsükliline sagedus, on võnkumiste täisfaas, on võnke algfaas võnkumisi.

Üldistatud harmooniline võnkumine diferentsiaalkujul

(Selle diferentsiaalvõrrandi mis tahes mittetriviaalne lahendus on harmooniline võnkumine tsüklilise sagedusega)

Vibratsiooni tüübid

Vabavõnkumised toimuvad süsteemi sisejõudude mõjul pärast seda, kui süsteem on tasakaalust välja viidud. Et vabavõnkumised oleksid harmoonilised, on vajalik, et võnkesüsteem oleks lineaarne (kirjeldatud lineaarsete liikumisvõrranditega) ja selles ei tohiks toimuda energia hajumist (viimane põhjustaks sumbumist).

Sundvõnkumised tehakse välise perioodilise jõu mõjul. Et need oleksid harmoonilised, piisab, kui võnkesüsteem on lineaarne (kirjeldatakse lineaarsete liikumisvõrranditega) ja välisjõud ise muutub aja jooksul harmoonilise võnkumisena (st et selle jõu sõltuvus ajast on sinusoidaalne) .

Harmoonilise vibratsiooni võrrand

annab kõikuva väärtuse S sõltuvuse ajast t; see on vabade harmooniliste võnkumiste võrrand selgesõnalisel kujul. Kuid võnkumiste võrrandit mõistetakse tavaliselt selle võrrandi erineva kirjena diferentsiaalkujul. Kindluse mõttes võtame võrrandi (1) kujul

Eristage seda aja järgi kaks korda:

On näha, et kehtib järgmine seos:

mida nimetatakse vabade harmooniliste võnkumiste võrrandiks (diferentsiaalkujul). Võrrand (1) on diferentsiaalvõrrandi (2) lahendus. Kuna võrrand (2) on teist järku diferentsiaalvõrrand, on täieliku lahendi saamiseks (st võrrandis (1) sisalduvate konstantide A ja   määramiseks) vajalikud kaks algtingimust; näiteks võnkesüsteemi asukoht ja kiirus t = 0 juures.

Matemaatiline pendel on ostsillaator, mis on mehaaniline süsteem, mis koosneb materiaalsest punktist, mis asub kaaluta mittevenival niidil või kaaluta vardal ühtlases gravitatsioonijõudude väljas. l pikkusega l matemaatilise pendli väikeste omavõnkumiste periood, mis on liikumatult rippunud ühtlases gravitatsiooniväljas vaba langemise kiirendusega g, on võrdne

ja ei sõltu pendli amplituudist ja massist.

Füüsikaline pendel on ostsillaator, mis on jäik keha, mis võngub mis tahes jõudude väljas punkti ümber, mis ei ole selle keha massikese, või fikseeritud telje ümber, mis on jõudude suunaga risti ja ei läbi selle keha massikese.

Lihtsaim vibratsiooni tüüp on harmoonilised vibratsioonid- kõikumised, mille puhul võnkepunkti nihkumine tasakaaluasendist muutub ajas vastavalt siinus- või koosinusseadusele.

Niisiis, kui kuul pöörleb ühtlaselt ümber ümbermõõdu, teeb selle projektsioon (vari paralleelsetes valguskiirtes) vertikaalsel ekraanil harmoonilise võnkuva liikumise (joonis 13.2).

Harmooniliste vibratsioonide ajal tasakaaluasendist nihkumist kirjeldatakse võrrandiga (seda nimetatakse harmoonilise liikumise kinemaatiliseks seaduseks) kujul:

\(x = A \cos \Bigr(\frac(2 \pi)(T)t + \varphi_0 \Bigl)\) või \(x = A \sin \Bigr(\frac(2 \pi)(T) t + \varphi"_0 \Bigl)\)

kus X- segunemine - väärtus, mis iseloomustab võnkepunkti asukohta ajahetkel t tasakaaluasendi suhtes ja mõõdetuna kaugusega tasakaaluasendist punkti asukohani antud ajahetkel; AGA- võnkeamplituud - keha maksimaalne nihkumine tasakaaluasendist; T- võnkeperiood - ühe täieliku võnkumise aeg; need. väikseim ajavahemik, mille möödudes korratakse võnkumist iseloomustavate füüsikaliste suuruste väärtusi; \(\varphi_0\) - algfaas; \(\varphi = \frac(2 \pi)(T)t + \varphi"_0\) - võnkefaas ajahetkel t. Võnkefaas on perioodilise funktsiooni argument, mis antud võnkeamplituudi korral määrab keha võnkesüsteemi oleku (nihe, kiirus, kiirendus) igal ajahetkel.

Kui algsel ajal t0 = 0 võnkepunkt on tasakaaluasendist maksimaalselt nihkunud, siis \(\varphi_0 = 0\) ja punkti nihkumine tasakaaluasendist muutub vastavalt seadusele

\(x = A \cos \frac(2 \pi)(T)t.\)

Kui võnkepunkt t 0 = 0 on stabiilses tasakaaluasendis, siis muutub punkti nihkumine tasakaaluasendist vastavalt seadusele

\(x = A \sin \frac(2 \pi)(T)t.\)

väärtust V, nimetatakse perioodi pöördarvuks, mis võrdub 1 sekundi jooksul sooritatud täielike võnkumiste arvuga võnkesagedus:

\(\nu = \frac(1)(T) \)(SI-s on sagedusühikuks herts, 1Hz = 1s -1).

Kui õigel ajal t keha kohustub N täies hoos siis

\(T = \frac(t)(N) ; \nu = \frac(N)(t).\)

Väärtus \(\omega = 2 \pi \nu = \frac(2 \pi)(T)\) , mis näitab, kui palju võnkumisi keha teeb 2 \(\pi\) Koos, kutsus tsükliline (ringikujuline) sagedus.

Harmoonilise liikumise kinemaatilise seaduse saab kirjutada järgmiselt:

\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)

Graafiliselt kujutab võnkepunkti nihke sõltuvust ajast koosinus (ehk sinusoid).

Joonis 13.3, a näitab võnkepunkti nihke aja sõltuvust tasakaaluasendist juhul \(\varphi_0=0\), s.o. \(~x=A\cos \omega t.\)

Uurime, kuidas võnkepunkti kiirus ajas muutub. Selleks leiame selle avaldise ajatuletise:

\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac(\pi)(2) \Bigl) ,\)

kus \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\) on kiiruse projektsiooni amplituud teljel X.

See valem näitab, et harmooniliste võnkumiste ajal muutub ka keha kiiruse projektsioon x-teljel vastavalt harmoonilisele seadusele sama sagedusega, erineva amplituudiga ja on segunemisfaasist ees \(\frac(\pi) )(2)\) (joonis 13.3 , b).

Kiirenduse sõltuvuse väljaselgitamiseks a x (t) leidke kiiruse projektsiooni ajatuletis:

\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)

kus \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) on kiirenduse projektsiooni amplituud teljele X.

Harmooniliste vibratsioonide puhul projektsioon kiirendus faasinihet k võrra ees (joon. 13.3, c).

Samamoodi saate joonistada \(~x(t), \upsilon_x (t)\) ja \(~a_x(t),\), kui \(~x = A \sin \omega t\) koos \(\varphi_0 =0.\)

Arvestades, et \(A \cos \omega t = x\), saab kiirenduse valemi kirjutada

\(~a_x = - \omega^2 x,\)

need. harmooniliste võnkumiste puhul on kiirenduse projektsioon otseselt võrdeline nihkega ja vastandmärgiga, s.t. kiirendus on suunatud nihkele vastupidises suunas.

Seega on kiirenduse projektsioon nihke teine ​​tuletis ja x \u003d x "", siis saab saadud suhte kirjutada järgmiselt:

\(~a_x + \omega^2 x = 0\) või \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)

Viimast võrdsust nimetatakse harmooniliste võnkumiste võrrand.

Nimetatakse füüsikalist süsteemi, milles võivad eksisteerida harmoonilised võnkumised harmooniline ostsillaator, ja harmooniliste võnkumiste võrrand - harmoonilise ostsillaatori võrrand.

Kirjandus

Aksenovitš L. A. Füüsika keskkoolis: teooria. Ülesanded. Testid: Proc. toetus üldisi osutavatele asutustele. keskkonnad, haridus / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 368-370.

Maksimaalsed kiiruse ja kiirenduse väärtused

Pärast sõltuvuse võrrandite v(t) ja a(t) analüüsimist võib arvata, et kiiruse ja kiirenduse maksimumväärtused võetakse siis, kui trigonomeetriline tegur on 1 või -1. Määratakse valemiga

Kuidas saada sõltuvusi v(t) ja a(t)

7. Vaba vibratsioon. Võnkulise liikumise kiirus, kiirendus ja energia. Vibratsiooni lisamine

Vaba vibratsioon(või loomulikud vibratsioonid) on võnkesüsteemi vibratsioonid, mis tekivad ainult algselt teatatud energia (potentsiaalse või kineetilise) tõttu välismõjude puudumisel.

Potentsiaalset või kineetilist energiat saab edastada näiteks mehaanilistes süsteemides algnihke või algkiiruse kaudu.

Vabalt võnkuvad kehad suhtlevad alati teiste kehadega ja moodustavad koos nendega kehade süsteemi nn võnkesüsteem.

Näiteks vedru, kuul ja vertikaalpost, mille külge on kinnitatud vedru ülemine ots (vt joonist allpool), kuuluvad võnkesüsteemi. Siin libiseb pall vabalt mööda nööri (hõõrdejõud on tühine). Kui võtate palli paremale ja jätate selle endale, võngub see vabalt ümber tasakaaluasendi (punkt O) tasakaaluasendi poole suunatud vedru elastsusjõu toimel.

Teine klassikaline näide mehaanilisest võnkesüsteemist on matemaatiline pendel (vt joonist allpool). AT sel juhul pall võngub vabalt kahe jõu toimel: gravitatsioonijõud ja niidi elastsusjõud (võnkesüsteemi siseneb ka Maa). Nende resultant suunatakse tasakaaluasendisse.

Võnkusüsteemi kehade vahel mõjuvaid jõude nimetatakse sisemised jõud. Välised jõud nimetatakse jõududeks, mis mõjuvad süsteemile kehadest, mis sellesse ei kuulu. Sellest vaatenurgast võib vabavõnkumisi määratleda kui võnkumisi süsteemis sisejõudude mõjul pärast süsteemi tasakaalust välja viimist.

Vabade võnkumiste esinemise tingimused on järgmised:

1) nendes jõu tekkimine, mis viib süsteemi pärast selle seisundist väljaviimist tagasi stabiilsesse tasakaaluasendisse;

2) süsteemis puudub hõõrdumine.

Vabavõnkumiste dünaamika.

Keha vibratsioon elastsusjõudude mõjul. Keha võnkumise võrrand elastsusjõu mõjul F(vt joonis.) on võimalik saada, võttes arvesse Newtoni teist seadust ( F = ma) ja Hooke'i seadus ( F juhtimine= -kx), kus m on kuuli mass ja on kiirendus, mille kuul saavutab elastsusjõu mõjul, k- vedru jäikuse koefitsient, X- keha nihkumine tasakaaluasendist (mõlemad võrrandid on kirjutatud projektsioonis horisontaalteljele Oh). Võrdstades nende võrrandite paremad pooled ja võttes arvesse, et kiirendus a on koordinaadi teine ​​tuletis X(nihked), saame:

.

See on elastsusjõu mõjul võnkuva keha liikumise diferentsiaalvõrrand: koordinaadi teine ​​tuletis aja suhtes (keha kiirendus) on otseselt võrdeline selle koordinaadiga, võetud vastupidise märgiga.

Matemaatilise pendli võnkumised. Matemaatilise pendli võnke võrrandi (joonis) saamiseks on vaja gravitatsioonijõudu laiendada F T= mg normaalseks F n(suunatud piki niiti) ja tangentsiaalne F τ(palli trajektoori puutuja – ring) komponendid. Gravitatsiooni normaalne komponent F n ja niidi elastsusjõud Fynp kokku annavad nad pendlile tsentripetaalse kiirenduse, mis ei mõjuta kiiruse suurust, vaid muudab ainult selle suunda, ja tangentsiaalne komponent F τ on jõud, mis viib palli tagasi tasakaaluasendisse ja paneb selle võnkuma. Kasutades, nagu ka eelmisel juhul, tangentsiaalseks kiirenduseks Newtoni seadust ma τ = F τ ja seda arvestades F τ= -mg sinα, saame:

a τ= -g sinα,

Miinusmärk tekkis seetõttu, et jõud ja tasakaaluasendist kõrvalekaldumise nurk α on vastupidised märgid. Väikeste läbipaindenurkade jaoks sinα ≈ α. Omakorda α = s/l, kus s- kaar OA, I- keerme pikkus. Arvestades seda ja τ= s", lõpuks saame:

Võrrandi vorm on võrrandiga sarnane . Ainult siin on süsteemi parameetriteks keerme pikkus ja vaba langemise kiirendus, mitte vedru jäikus ja kuuli mass; koordinaadi rolli mängib kaare pikkus (st läbitud tee, nagu esimesel juhul).

Seega kirjeldatakse vabu võnkumisi sama tüüpi võrranditega (alluvad samadele seadustele), sõltumata neid võnkumisi põhjustavate jõudude füüsikalisest olemusest.

Võrrandite lahendamine ja on vormi funktsioon:

x = xmcos ω 0t(või x = xmsin ω 0t).

See tähendab, et vabavõnkumist teostava keha koordinaat muutub aja jooksul vastavalt koosinus- või siinusseadusele ja seetõttu on need võnked harmoonilised:

Võrrandis x = xmcos ω 0t(või x = xmsin ω 0t), x m- võnke amplituud, ω 0 - oma tsükliline (ringikujuline) võnkesagedus.

Tsükliline sagedus ja vabade harmooniliste võnkumiste periood on määratud süsteemi omadustega. Seega kehtivad vedru külge kinnitatud keha vibratsioonide korral järgmised seosed:

.

Omasagedus on seda suurem, mida suurem on vedru jäikus või väiksem koormuse mass, mida kogemused täielikult kinnitavad.

Matemaatilise pendli puhul kehtivad järgmised võrdsused:

.

Selle valemi hankis ja katsetas esmakordselt Hollandi teadlane Huygens (Newtoni kaasaegne).

Võnkeperiood pikeneb koos pendli pikkusega ega sõltu pendli massist.

Eriti tuleb märkida, et harmoonilised võnked on rangelt perioodilised (kuna nad alluvad siinuse või koosinuse seadusele) ja isegi matemaatilise pendli puhul, mis on reaalse (füüsikalise) pendli idealiseerimine, on need võimalikud ainult väikeste võnkenurkade korral. Kui läbipaindenurgad on suured, ei ole koormuse nihe proportsionaalne läbipaindenurgaga (nurga siinus) ja kiirendus ei ole proportsionaalne nihkega.

Vabavõnkumist teostava keha kiirus ja kiirendus teostavad ka harmoonilisi võnkumisi. Võttes funktsiooni () ajatuletise x = xmcos ω 0t(või x = xmsin ω 0t)), saame kiiruse avaldise:

v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

kus v m= ω 0 x m- kiiruse amplituud.

Samamoodi kiirenduse avaldis a saame eristamise teel ( v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0t,

kus olen= ω 2 0x m- kiirenduse amplituud. Seega on harmooniliste võnkumiste kiiruse amplituud võrdeline sagedusega ja kiirenduse amplituud võrdeline võnkesageduse ruuduga.

HARMOONILISED VÕNKED
Fluktuatsioonid, mille puhul toimuvad füüsikaliste suuruste muutused koosinuse või siinuse seaduse (harmoonilise seaduse) järgi, nn. harmoonilised vibratsioonid. Näiteks mehaaniliste harmooniliste vibratsioonide korral: Nendes valemites on ω võnkesagedus, x m on võnke amplituud, φ 0 ja φ 0 ’ on võnke algfaasid. Ülaltoodud valemid erinevad algfaasi määratluse poolest ja φ 0 ’ = φ 0 + π/2 juures langevad täielikult kokku.
See on perioodiliste võnkumiste lihtsaim vorm. Funktsiooni konkreetne vorm (siinus või koosinus) sõltub sellest, kuidas süsteem tasakaalust välja tuuakse. Kui väljatõmbamine toimub tõukega (kineetiline energia on teatatud), siis t=0 korral on nihe x=0, seetõttu on mugavam kasutada sinfunktsiooni, seades φ 0 '=0; tasakaaluasendist kõrvalekaldumisel (teatatakse potentsiaalne energia) juures t=0, nihe x=x m, seetõttu on mugavam kasutada funktsiooni cos ja φ 0 =0.
Väljend märgi cos või sin all, nn. võnkefaas:. Võnkumise faasi mõõdetakse radiaanides ja see määrab nihke väärtuse (kõikuva väärtuse) antud ajahetkel.
Võnkeamplituud sõltub ainult alghälbest (võnkesüsteemile antavast algenergiast).
Kiirus ja kiirendus harmoonilistes võnkumistes.
Kiiruse definitsiooni järgi on kiirus koordinaadi tuletis aja suhtes
Seega näeme, et harmoonilise võnkeliikumise ajal muutub ka kiirus harmoonilise seaduse järgi, kuid kiiruse kõikumised on faasis nihke kõikumisest π/2 võrra ees.
Väärtus on võnkuva liikumise maksimaalne kiirus (kiiruse kõikumiste amplituud).
Seetõttu on harmoonilise võnkumise kiiruse jaoks: , ja nulli algfaasi puhul (vt graafikut).
Kiirenduse definitsiooni kohaselt on kiirendus kiiruse tuletis aja suhtes: on koordinaadi teine ​​tuletis aja suhtes. Siis: . Harmoonilise võnkeliikumise ajal muutub ka kiirendus harmoonilise seaduse järgi, kuid kiirendusvõnkumised on kiirusvõnkumisest π/2 võrra ees ja nihkevõnkumised π võrra (nad ütlevad, et võnkumised tekivad faasist väljas).
Väärtus – maksimaalne kiirendus (kiirenduse kõikumiste amplituud). Seetõttu on meil kiirendamiseks: ja nulli algfaasi puhul: (vt graafikut).
Võnkulise liikumise protsessi, graafikute ja vastavate matemaatiliste avaldiste analüüsist on näha, et kui võnkuv keha läbib tasakaaluasendi (nihe on null), on kiirendus null, keha kiirus maksimaalne (keha läbib tasakaaluasend inertsi abil) ja kui nihke amplituudi väärtus on saavutatud, on kiirus võrdne nulliga ja kiirendus absoluutväärtuses maksimaalne (keha muudab oma liikumissuunda).
Võrrelgem harmooniliste võnkumiste nihke ja kiirenduse avaldisi: ja .
Võite kirjutada: - st. nihke teine ​​tuletis on otseselt võrdeline (vastandmärgiga) nihkega. Sellist võrrandit nimetatakse harmoonilise võnke võrrand. See sõltuvus on rahuldatud mis tahes harmoonilise võnkumise korral, olenemata selle olemusest. Kuna me pole kuskil konkreetse võnkesüsteemi parameetreid kasutanud, siis saab neist sõltuda vaid tsükliline sagedus.
Sageli on mugav kirjutada võnkumiste võrrandid kujul: , kus T on võnkeperiood. Seejärel, kui aega väljendatakse perioodi murdosades, siis arvutused lihtsustatakse. Näiteks kui teil on vaja leida nihe pärast 1/8 perioodi, saame: . Samamoodi kiiruse ja kiirenduse kohta.

Pole haruldane, et süsteem osaleb samaaegselt kahes või enamas sõltumatus võnkes. Nendel juhtudel moodustub kompleksne võnkuv liikumine, mis tekib üksteisele võnkumiste pealekandmisel (lisamisel). Ilmselgelt võivad võnkumiste liitmise juhtumid olla väga erinevad. Need ei sõltu ainult lisandunud võnkumiste arvust, vaid ka võnkeparameetritest, nende sagedustest, faasidest, amplituudidest, suundadest. Kõiki võimalikke erinevaid võnkumiste liitmise juhtumeid pole võimalik läbi vaadata, seetõttu piirdume vaid üksikute näidetega.
1. Vibratsioonide lisamine ühes suunas. Lisame kaks sama sagedusega, kuid erineva faasi ja amplituudiga võnkumist.

(4.40)
Kui võnkumised asetsevad üksteise peale


Tutvustame uued parameetrid A ja j vastavalt võrranditele:

(4.42)
Võrrandisüsteem (4.42) on lihtsalt lahendatav.

(4.43)

(4.44)
Seega saame x jaoks lõpuks võrrandi

(4.45)
Niisiis, sama sagedusega ühesuunaliste võnkumiste liitmise tulemusena saame harmoonilise (sinusoidaalse) võnkumise, mille amplituud ja faas määratakse valemitega (4.43) ja (4.44).
Vaatleme erijuhtumeid, kus kahe summeeritud võnkumise faaside suhted on erinevad:


(4.46)
Lisagem nüüd sama amplituudiga, samade faasidega, kuid erineva sagedusega ühesuunalised võnked.


(4.47)
Vaatleme juhtumit, kui sagedused on üksteise lähedal, st w1~w2=w
Siis eeldame ligikaudu, et (w1+w2)/2= w ja (w2-w1)/2 on väike. Saadud võnkevõrrand näeb välja järgmine:

(4.48)
Selle graafik on näidatud joonisel fig. 4.5 Seda võnkumist nimetatakse löögiks. Seda teostatakse sagedusega w, kuid selle amplituud võngub suure perioodiga.

2. Kahe vastastikku risti asetseva võnkumise liitmine. Oletame, et üks võnkumine toimub piki x-telge, teine ​​- piki y-telge. Saadud liikumine asub ilmselgelt xy tasapinnal.
1. Oletame, et võnkesagedused ja faasid on samad, kuid amplituudid erinevad.

(4.49)
Tekkinud liikumise trajektoori leidmiseks on vaja võrranditest (4.49) aeg välja jätta. Selleks piisab, kui jagada termini kaupa üks võrrand teisega, mille tulemusena saame

(4.50)
Võrrand (4.50) näitab, et sel juhul viib võnkumiste liitmine võnkumiseni mööda sirgjoont, mille kaldenurga puutuja määratakse amplituudide suhtega.
2. Olgu lisatud võnkumiste faasid üksteisest erinevad /2 võrra ja võrrandid on kujul:

(4.51)
Saadud liikumise trajektoori leidmiseks, välja arvatud aeg, on vaja võrrandid (4.51) ruudustada, jagades need esmalt vastavalt A1 ja A2-ga ning seejärel liites kokku. Trajektoori võrrand on järgmisel kujul:

(4.52)
See on ellipsi võrrand. Võib tõestada, et kahe sama sagedusega vastastikku liidetud risti võnkumise mis tahes algfaaside ja amplituudide korral toimub saadud võnkumine piki ellipsit. Selle orientatsioon sõltub lisatud võnkumiste faasidest ja amplituudidest.
Kui lisanduvad võnkumised on erineva sagedusega, siis tekkivate liikumiste trajektoorid on väga mitmekesised. Ainult siis, kui x ja y võnkesagedused on üksteise kordsed, saadakse suletud trajektoorid. Selliseid liikumisi võib seostada perioodiliste liikumiste arvuga. Sel juhul nimetatakse liikumiste trajektoore Lissajouse kujunditeks. Vaatleme üht Lissajouse kujundit, mis saadakse 1:2 sagedussuhetega võnkumiste liitmisel, millel on liikumise alguses samad amplituudid ja faasid.

(4.53)
Piki y-telge esineb võnkumisi kaks korda sagedamini kui piki x-telge. Selliste võnkumiste lisamine toob kaasa liikumistrajektoori kaheksakujulise kujuga (joonis 4.7).

8. Summutatud võnkumised ja nende parameetrid: vähenemine ja võnkekoefitsient, relaksatsiooniaeg

)Summutatud võnkumiste periood:

T = (58)

Kell δ << ω o vibratsioonid ei erine harmoonilistest: T = 2π/ o.

2) Summutatud võnkumiste amplituud väljendatakse valemiga (119).

3) summutuse vähenemine, võrdne kahe järjestikuse võnkeamplituudi suhtega AGA(t) ja AGA(t+T), iseloomustab amplituudi vähenemise kiirust perioodi jooksul:

= e d T (59)

4) Logaritmilise summutuse vähenemine- kahe järjestikuse võnkumise amplituudide suhte naturaalne logaritm, mis vastavad ajapunktidele, mis erinevad perioodi võrra

q \u003d ln \u003d ln e d T \u003d dT(60)

Logaritmilise summutuse vähenemine on antud võnkesüsteemi konstantne väärtus.

5) Lõõgastusaeg nimetatakse perioodiks ( t), mille jooksul summutatud võnkumiste amplituud väheneb e korda:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

Avaldiste (60) ja (61) võrdlusest saame:

q= = , (62)

kus ei - lõdvestusaja jooksul tehtud võnkumiste arv.

Kui aja jooksul t süsteem teeb Ν siis kõikumised t = Ν . Τ ja summutatud võnkumiste võrrandit saab esitada järgmiselt:

S \u003d A 0 e -d N T cos(w t+j)\u003d A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Võnkesüsteemi kvaliteeditegur(K) on tavaks nimetada võnkeperioodil süsteemi energiakadu iseloomustavat suurust:

Q= 2lk , (63)

kus W on süsteemi koguenergia, ∆W on perioodi jooksul hajutatud energia. Mida vähem energiat hajub, seda suurem on süsteemi kvaliteeditegur. Arvutused näitavad seda

Q = = pNe = = . (64)

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, kvaliteeditegur on pöördvõrdeline logaritmilise summutuse vähenemisega. Valemist (64) järeldub, et kvaliteeditegur on võrdeline võnkumiste arvuga N e mida süsteem lõdvestusajal teostab.

7) Potentsiaalne energia süsteemi ajahetkel t saab väljendada potentsiaalse energiana W 0 suurima kõrvalekalde korral:

W = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

Tavaliselt loetakse tinglikult, et võnkumised on praktiliselt lakanud, kui nende energia on vähenenud 100 korda (amplituud on vähenenud 10 korda). Siit saate avaldise süsteemi poolt tekitatud võnkumiste arvu arvutamiseks:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Sunnitud vibratsioon. Resonants. perioodilised kõikumised. Isevõnkumised.

Selleks, et süsteem teostaks summutamata võnkumisi, on vaja täiendada väljastpoolt tulevast hõõrdumisest tingitud võnkumiste energiakadusid. Tagamaks, et süsteemi võnkumiste energia ei väheneks, sisestatakse tavaliselt jõud, mis perioodiliselt süsteemile mõjub (nimetame sellist jõudu mõjuv ja sundvõnkumised).

MÄÄRATLUS: sunnitud nimetatakse selliseid vibratsioone, mis tekivad võnkesüsteemis välise perioodiliselt muutuva jõu toimel.

See jõud täidab reeglina kahte rolli:

esiteks raputab see süsteemi ja annab sellele teatud koguse energiat;

teiseks täiendab see perioodiliselt energiakadusid (energiatarbimist), et ületada takistus- ja hõõrdejõud.

Las liikumapanev jõud aja jooksul muutub vastavalt seadusele:

.

Koostagem sellise jõu mõjul võnkuva süsteemi jaoks liikumisvõrrand. Eeldame, et süsteemi mõjutavad ka keskkonna kvaasielastsusjõud ja tõmbejõud (mis kehtib väikeste võnkumiste eeldusel). Siis näeb süsteemi liikumisvõrrand välja järgmine:

Või .

Asendades süsteemi võnkumiste omasageduse , , – saame mittehomogeense lineaarse diferentsiaalvõrrandi 2 th tellida:

Diferentsiaalvõrranditeooriast on teada, et mittehomogeense võrrandi üldlahend on võrdne homogeense võrrandi üldlahendi ja mittehomogeense võrrandi erilahenduse summaga.

Homogeense võrrandi üldlahend on teada:

,

kus ; a 0 ja a– meelevaldne konst.

.

Vektordiagrammi abil saate veenduda, et selline eeldus on tõene, ja määrata ka väärtused " a" ja " j”.

Võnkumise amplituud määratakse järgmise avaldise abil:

.

Tähendus " j”, mis on sundvõnkumise faasiviivituse suurus selle põhjustanud liikumapanev jõud, määratakse samuti vektordiagrammi järgi ja on:

.

Lõpuks on ebahomogeense võrrandi konkreetne lahendus järgmine:

(8.18)

See funktsioon koos

(8.19)

annab üldlahenduse mittehomogeensele diferentsiaalvõrrandile, mis kirjeldab süsteemi käitumist sundvõngete mõjul. Termin (8.19) mängib olulist rolli protsessi algfaasis, nn võnkumiste loomisel (joonis 8.10). Aja jooksul kahaneb eksponentsiaalteguri mõjul teise liikme roll (8.19)-s üha enam ning piisava aja möödudes võib selle jätta tähelepanuta, jättes lahenduses vaid liikme (8.18).

Seega kirjeldab funktsioon (8.18) püsivaid sundvõnkumisi. Need on harmoonilised võnkumised, mille sagedus on võrdne liikumapaneva jõu sagedusega. Sundvõnkumiste amplituud on võrdeline liikumapaneva jõu amplituudiga. Antud võnkesüsteemi puhul (defineeritud w 0 ja b) sõltub amplituud liikumapaneva jõu sagedusest. Sundvõnkumised jäävad faasis liikuvast jõust maha ja viivituse "j" suurus sõltub ka liikumapaneva jõu sagedusest.

Sundvõnkumiste amplituudi sõltuvus liikumapaneva jõu sagedusest viib selleni, et antud süsteemi jaoks määratud teatud sagedusel saavutab võnkeamplituud maksimaalse väärtuse. Sellel sagedusel on võnkesüsteem eriti tundlik liikumapaneva jõu suhtes. Seda nähtust nimetatakse resonants, ja vastav sagedus on resonantssagedus.

DEFINITSIOON: nähtust, mille puhul täheldatakse sundvõnkumiste amplituudi järsku suurenemist nimetatakse nn. resonants.

Resonantssagedus määratakse sundvõnkumiste amplituudi maksimaalsest tingimusest:

. (8.20)

Seejärel, asendades selle väärtuse amplituudi avaldisega, saame:

. (8.21)

Keskmise takistuse puudumisel pöörduks resonantsi võnkumiste amplituud lõpmatuseni; resonantssagedus samadel tingimustel (b=0) langeb kokku omavõnkesagedusega.

Sundvõnkumiste amplituudi sõltuvust liikumapaneva jõu sagedusest (või, mis seesama, võnkesagedusest) saab kujutada graafiliselt (joonis 8.11). Eraldi kõverad vastavad "b" erinevatele väärtustele. Mida väiksem “b”, seda kõrgemal ja paremal asub selle kõvera maksimum (vt avaldist w res.). Väga suure sumbumise korral resonantsi ei täheldata – sageduse suurenemisega sundvõnkumiste amplituud monotoonselt väheneb (madalam kõver joonisel 8.11).

Nimetatakse esitatud graafikute komplekt, mis vastab b erinevatele väärtustele resonantskõverad.

Märkused resonantskõverate kohta:

nagu w®0 kaldub, jõuavad kõik kõverad samale nullist erinevale väärtusele, mis on võrdne . See väärtus tähistab nihkumist tasakaaluasendist, mille süsteem saab konstantse jõu mõjul F 0 .

kuna w®¥ kalduvad kõik kõverad asümptootiliselt nulli, kuna kõrgel sagedusel muudab jõud oma suunda nii kiiresti, et süsteemil ei ole aega tasakaaluasendist märgatavalt nihkuda.

mida väiksem b, seda tugevamini muutub resonantsi lähedal asuv amplituud sagedusega, seda "teravam" on maksimum.

Resonantsi nähtus on sageli kasulik, eriti akustikas ja raadiotehnikas.

Isevõnkumised- summutamata võnkumised dissipatiivses dünaamilises süsteemis mittelineaarse tagasisidega, mida toetab konstandi energia, st. mitteperioodiline välismõju.

Isevõnkumised erinevad sunnitud vibratsioonid sest viimased on põhjustatud perioodiline välismõju ja esinevad selle mõju sagedusega, samas kui isevõnkumiste esinemise ja nende sageduse määravad isevõnkuva süsteemi enda sisemised omadused.

Tähtaeg isevõnkumised võttis vene terminoloogiasse A. A. Andronov 1928. aastal.

Näited[

Isevõnkumiste näited on järgmised:

· kella pendli summutamatud võnked kellamehhanismi raskuse raskusjõu pideva toime tõttu;

viiulikeele vibratsioonid ühtlaselt liikuva poogna mõjul

vahelduvvoolu tekkimine multivibraatori ahelates ja muudes elektroonilistes generaatorites püsiva toitepinge juures;

õhusamba kõikumine oreli torus ühtlase õhu juurdevooluga sellesse. (vt ka seisev laine)

magneti külge riputatud ja väänatud terasteljega messingist kella hammasratta pöörlevad võnked (Gamazkovi eksperiment) (ratta kineetiline energia, nagu unipolaarsel generaatoril, muundatakse elektrivälja potentsiaalseks energiaks, elektriväli, nagu unipolaarsel mootoril, muundatakse ratta kineetiliseks energiaks jne)

Maklakovi haamer

Haamer, mis lööb vahelduvvoolu energia tõttu sagedusega, mis on mitu korda väiksem kui elektriahela voolu sagedus.

Võnkeahela mähis L asetatakse laua (või muu löömist vajava objekti) kohale. Altpoolt siseneb sellesse raudtoru, mille alumine ots on haamri löögiosa. Torul on Foucault voolude vähendamiseks vertikaalne pilu. Võnkuahela parameetrid on sellised, et selle võnkumiste omasagedus langeb kokku voolu sagedusega vooluringis (näiteks linna vahelduvvool, 50 hertsi).

Pärast voolu sisselülitamist ja võnkumiste tekkimist täheldatakse ahela ja välise vooluahela voolude resonantsi ning raudtoru tõmmatakse mähisesse. Mähise induktiivsus suureneb, võnkeahel läheb resonantsist välja ja vooluvõnkumiste amplituud mähises väheneb. Seetõttu naaseb toru raskusjõu mõjul algsesse asendisse - väljaspool mähist. Siis hakkavad voolukõikumised ahela sees kasvama ja taas tekib resonants: toru tõmmatakse uuesti mähisesse.

toru kohustab isevõnkumised, ehk siis perioodilised liigutused üles-alla ja samal ajal koputab kõvasti vastu lauda nagu haamer. Nende mehaaniliste isevõnkumiste periood on kümneid kordi suurem kui neid toetava vahelduvvoolu periood.

Haamer on oma nime saanud Moskva Füüsika ja Tehnoloogia Instituudi loenguassistendi M. I. Maklakovi järgi, kes pakkus välja ja viis läbi sellise katse isevõnkumiste demonstreerimiseks.

Isevõnkumiste mehhanism

Joonis 1. Isevõnkumiste mehhanism

Isevõnkumised võivad olla erineva iseloomuga: mehaanilised, termilised, elektromagnetilised, keemilised. Isevõnkumiste tekkimise ja säilimise mehhanism erinevates süsteemides võib põhineda erinevatel füüsika- või keemiaseadustel. Erinevate süsteemide isevõnkumiste täpseks kvantitatiivseks kirjeldamiseks võib vaja minna erinevaid matemaatilisi seadmeid. Sellegipoolest on võimalik ette kujutada skeemi, mis on ühine kõikidele isevõnkuvatele süsteemidele ja kirjeldab seda mehhanismi kvalitatiivselt (joonis 1).

Diagrammil: S- pideva (mitteperioodilise) mõju allikas; R- mittelineaarne kontroller, mis teisendab konstantse efekti muutujaks (näiteks ajaliselt katkendlikuks), mis "kiigub" ostsillaator V- süsteemi võnkuv element (elemendid) ja ostsillaatori võnked tagasiside kaudu B reguleerida regulaatori tööd R, seadistus faas ja sagedus tema tegudest. Hajumist (energia hajumist) isevõnkuvas süsteemis kompenseerib pideva mõju allikast sinna sisenev energia, mille tõttu isevõnkumised ei lagune.

Riis. 2 Pendelkella põrkmehhanismi skeem

Kui süsteemi võnkuv element on võimeline oma summutatud võnkumised(nn. harmooniline dissipatiivne ostsillaator), kehtestatakse isevõnkumised (võrdse hajumise ja energia sisendiga perioodi jooksul süsteemi) sagedusel, mis on lähedane kõlama selle ostsillaatori puhul muutub nende kuju harmoonilisele lähedaseks ja amplituud teatud väärtusvahemikus, mida suurem, seda suurem on konstantse välismõju suurus.

Sellise süsteemi näide on pendelkella põrkmehhanism, mille skeem on näidatud joonisel fig. 2. Põrkratta teljel A(mis selles süsteemis täidab mittelineaarse kontrolleri funktsiooni) on konstantne jõumoment M kandub üle käigukasti peavedrust või raskusest. Kui ratas pöörleb A selle hambad annavad pendlile lühiajalisi jõuimpulsse P(ostsillaator), tänu millele selle võnkumised ei tuhmu. Mehhanismi kinemaatika mängib süsteemis tagasiside rolli, sünkroniseerides ratta pöörlemise pendli võnkumistega selliselt, et kogu võnkeperioodi jooksul pöördub ratas läbi ühele hambale vastava nurga.

Isevõnkuvaid süsteeme, mis ei sisalda harmoonilisi ostsillaatoreid, nimetatakse lõõgastus. Nendes esinevad võnked võivad harmoonilistest väga erineda ja olla ristküliku-, kolmnurk- või trapetsikujulised. Relaksatsiooni isevõnkumiste amplituudi ja perioodi määrab konstantse löögi suuruse ning süsteemi inertsi ja hajumise karakteristikute suhe.

Riis. 3 Elektriline kell

Relaksatsiooni isevõnkumiste lihtsaim näide on elektrikella töö, mis on näidatud joonisel fig. 3. Pideva (mitteperioodilise) kokkupuute allikaks on siin elektriaku U; mittelineaarse kontrolleri rolli täidab chopper T, elektriahela sulgemine ja avamine, mille tagajärjel tekib selles katkendlik vool; võnkuvad elemendid on elektromagneti südamikus perioodiliselt indutseeritud magnetväli E, ja ankur A vahelduva magnetvälja mõjul liikumine. Armatuuri võnkumised käivitavad chopperi, mis moodustab tagasiside.

Selle süsteemi inertsi määravad kaks erinevat füüsikalist suurust: armatuuri inertsmoment AGA ja elektromagneti mähise induktiivsus E. Mis tahes nende parameetrite suurenemine põhjustab isevõnkumiste perioodi pikenemist.

Kui süsteemis on mitu elementi, mis võnguvad üksteisest sõltumatult ja mõjuvad samaaegselt mittelineaarsele kontrollerile või kontrolleritele (mida võib olla ka mitu), võivad isevõnkumised omandada keerukama iseloomu, näiteks perioodiline, või dünaamiline kaos.

Looduses ja tehnikas

Enesevõnkumised on paljude loodusnähtuste aluseks:

taimelehtede kõikumised ühtlase õhuvoolu mõjul;

· turbulentsete voolude teke jõgede kärestikel ja kärestikel;

Tavaliste geisrite tegevus jne.

Paljude erinevate tehniliste seadmete ja seadmete tööpõhimõte põhineb isevõnkumistel, sealhulgas:

kõikvõimalike, nii mehaaniliste kui elektriliste kellade tööd;

· kõikide puhkpillide ja keelpillide kõlamine;

©2015-2019 sait
Kõik õigused kuuluvad nende autoritele. See sait ei pretendeeri autorlusele, kuid pakub tasuta kasutamist.
Lehe loomise kuupäev: 2017-04-04

kõikumised nimetatakse liigutusteks või protsessideks, mida iseloomustab teatud kordus ajas. Looduses ja tehnikas on laialt levinud võnkeprotsessid, näiteks kella pendli kõikumine, vahelduv elektrivool jne. Pendli võnkumisel muutub selle massikeskme koordinaat, vahelduvvoolu korral pinge ja vool. vooluringis kõikuma. Võnkumiste füüsikaline olemus võib olla erinev, seetõttu eristatakse mehaanilisi, elektromagnetilisi jm võnkumisi, kuid erinevaid võnkeprotsesse kirjeldatakse samade tunnuste ja samade võrranditega. Sellest tuleneb teostatavus ühtne lähenemine vibratsiooni uurimisele erinev füüsiline olemus.

Kõikumisi nimetatakse tasuta, kui need on tehtud ainult süsteemi elementide vahel mõjuvate sisejõudude mõjul, siis pärast seda, kui süsteem on välisjõudude toimel tasakaalust välja viidud ja endale jäetud. Alati vaba vibratsioon summutatud võnkumised sest energiakaod on reaalsetes süsteemides vältimatud. Idealiseeritud juhul ilma energiakadudeta süsteemi puhul nimetatakse vabu võnkumisi (mis jätkub nii kaua kui soovitakse). oma.

Lihtsaim vabade summutamata võnkumiste tüüp on harmoonilised võnkumised - kõikumised, mille puhul kõikuv väärtus muutub ajas vastavalt siinus(koosinus)seadusele. Looduses ja tehnikas kohatud võnkumised on sageli harmoonilise lähedase iseloomuga.

Harmoonilised vibratsioonid kirjeldatakse võrrandiga, mida nimetatakse harmooniliste vibratsioonide võrrandiks:

kus AGA- kõikumiste amplituud, kõikuva väärtuse maksimaalne väärtus X; - omavõnkumiste ringikujuline (tsükliline) sagedus; - võnke algfaas teatud ajahetkel t= 0; - võnke faas ajahetkel t. Võnkumise faas määrab võnkuva suuruse väärtuse antud ajahetkel. Kuna koosinus varieerub vahemikus +1 kuni -1, siis X võib võtta väärtusi alates + A enne - AGA.

Aeg T, mille jaoks süsteem lõpetab ühe täieliku võnkumise, nimetatakse võnkeperiood. ajal T võnkefaasi suurendatakse 2 võrra π , st.

Kus. (14.2)

Võnkeperioodi pöördväärtus

st täielike võnkumiste arvu ajaühikus nimetatakse võnkesageduseks. Võrreldes (14.2) ja (14.3) saame

Sageduse ühik on herts (Hz): 1 Hz on sagedus, mille juures toimub üks täielik võnkumine 1 sekundi jooksul.

Nimetatakse süsteeme, milles võib tekkida vaba vibratsioon ostsillaatorid . Millised omadused peavad olema süsteemil, et selles tekiks vabavõnkumisi? Mehaaniline süsteem peab olema stabiilse tasakaalu asend, mis ilmub väljumisel jõu taastamine tasakaalu suunas. See asend vastab teadupärast süsteemi potentsiaalse energia miinimumile. Vaatleme mitut võnkesüsteemi, mis vastavad loetletud omadustele.

Väliste, perioodiliselt muutuvate jõudude mõjul tekkivad võnked (regulaarse energia tarnimisega väljastpoolt võnkesüsteemi)

Energia muundamine

Kevad pendel

Tsükliline sagedus ja võnkeperiood on vastavalt:

Täiuslikult elastse vedru külge kinnitatud materjalipunkt

Ø vedrupendli potentsiaalse ja kineetilise energia graafik x-koordinaadil.

Ø kineetilise ja potentsiaalse energia ajasõltuvuste kvalitatiivsed graafikud.

Ø Sunnitud

Ø Sundvõnkumiste sagedus on võrdne välisjõu muutumise sagedusega

Ø Kui Fbc muutub vastavalt siinus- või koosinusseadusele, on sundvõnkumised harmoonilised

Ø Isevõnkumiste korral on vajalik perioodiline energiavarustus omaenda allikast võnkesüsteemi sees

Harmoonilised võnked on võnked, mille võnkeväärtus muutub ajas vastavalt siinuse või koosinuse seadusele

harmooniliste võnkumiste võrrandid (punktide liikumisseadused) omavad kuju

Harmoonilised vibratsioonid nimetatakse selliseid võnkumisi, mille puhul võnkeväärtus muutub ajas vastavalt seaduselesinus võikoosinus .
Harmoonilise vibratsiooni võrrand tundub, et:

,
kus A - võnke amplituud (süsteemi suurima kõrvalekalde väärtus tasakaaluasendist); -ringikujuline (tsükliline) sagedus. Perioodiliselt muutuv koosinusargument – ​​nn võnkefaas . Võnkefaas määrab võnkuva suuruse nihke tasakaaluasendist antud ajahetkel t. Konstant φ on faasi väärtus ajahetkel t = 0 ja seda nimetatakse võnke algfaas . Algfaasi väärtus määratakse võrdluspunkti valikuga. X väärtus võib võtta väärtusi vahemikus -A kuni +A.
Ajavahemik T, mille järel korratakse võnkesüsteemi teatud olekuid, nimetatakse võnkeperioodiks . Koosinus on perioodiline funktsioon perioodiga 2π, seetõttu kordub ajaperioodi T jooksul, mille järel võnkefaas saab 2π-ga võrdse juurdekasvu, harmoonilisi võnkumisi teostava süsteemi olek. Seda ajaperioodi T nimetatakse harmooniliste võnkumiste perioodiks.
Harmooniliste võnkumiste periood on : T = 2π/.
Võnkumiste arvu ajaühikus nimetatakse võnkesagedus ν.
Harmooniliste vibratsioonide sagedus on võrdne: ν = 1/T. Sagedusühik hertsi(Hz) – üks võnkumine sekundis.
Ringsagedus = 2π/T = 2πν annab võnkumiste arvu 2π sekundis.

Üldistatud harmooniline võnkumine diferentsiaalkujul

Graafiliselt saab harmoonilisi võnkumisi kujutada kui x sõltuvust t-st (joonis 1.1.A) ja pöörleva amplituudi meetod (vektori diagrammi meetod)(Joonis 1.1.B) .

Pöörleva amplituudi meetod võimaldab visualiseerida kõiki harmooniliste võnkumiste võrrandis sisalduvaid parameetreid. Tõepoolest, kui amplituudivektor AGA asub x-telje suhtes nurga φ all (vt joonis 1.1. B), siis on selle projektsioon x-teljel võrdne: x = Acos(φ). Nurk φ on algfaas. Kui vektor AGA panna pöörlema ​​nurkkiirusega, mis on võrdne võnkumiste ringsagedusega, siis liigub vektori otsa projektsioon piki x-telge ja võtab väärtused vahemikus -A kuni +A ja selle projektsiooni koordinaat muutub aja jooksul vastavalt seadusele:
.
Seega on vektori pikkus võrdne harmoonilise võnke amplituudiga, vektori suund moodustab algmomendil x-teljega nurga, mis on võrdne võnke algfaasiga φ ja suunanurga muutus ajaga võrdub harmooniliste võnkumiste faasiga. Aeg, mille jooksul amplituudivektor teeb ühe täieliku pöörde, on võrdne harmooniliste võnkumiste perioodiga T. Vektori pöörete arv sekundis on võrdne võnkesagedusega ν.