Sirge ja õige prisma. Prisma definitsioon ja omadused

Polyhedra

Stereomeetria peamine uurimisobjekt on kolmemõõtmelised kehad. Keha on mingi pinnaga piiratud ruumiosa.

hulktahukas Nimetatakse keha, mille pind koosneb lõplikust arvust tasapinnalistest hulknurkadest. Hulktahukat nimetatakse kumeraks, kui see asub oma pinnal oleva iga tasapinnalise hulknurga tasapinna ühel küljel. Sellise tasandi ja hulktahuka pinna ühisosa nimetatakse serv. Kumera hulktahuka tahud on lamedad kumerad hulknurgad. Nägude külgi nimetatakse hulktahuka servad, ja tipud hulktahuka tipud.

Näiteks kuubik koosneb kuuest ruudust, mis on selle tahud. See sisaldab 12 serva (ruutude külgi) ja 8 tippu (ruutude tippe).

Lihtsamad hulktahukad on prismad ja püramiidid, mida uurime edasi.

Prisma

Prisma definitsioon ja omadused

prisma nimetatakse hulktahukaks, mis koosneb kahest paralleeltasandil paiknevast tasapinnalisest hulknurgast, mis on kombineeritud paralleeltranslatsiooniga, ja kõigist nende hulknurkade vastavaid punkte ühendavatest lõikudest. Hulknurki nimetatakse prisma alused, ja hulknurkade vastavaid tippe ühendavad segmendid on prisma külgmised servad.

Prisma kõrgus nimetatakse kauguseks selle aluste tasapindade vahel (). Nimetatakse lõiku, mis ühendab prisma kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku prisma diagonaal(). Prismat nimetatakse n-kivisüsi kui selle alus on n-nurk.

Igal prismal on järgmised omadused, mis tulenevad sellest, et prisma alused ühendatakse paralleeltõlkega:

1. Prisma alused on võrdsed.

2. Prisma külgmised servad on paralleelsed ja võrdsed.

Prisma pind koosneb alustest ja külgmine pind. Prisma külgpind koosneb rööpkülikutest (see tuleneb prisma omadustest). Prisma külgpinna pindala on külgpindade pindalade summa.

sirge prisma

Prismat nimetatakse sirge kui selle külgmised servad on alustega risti. Vastasel juhul nimetatakse prismat kaldus.

Sirge prisma küljed on ristkülikud. Sirge prisma kõrgus on võrdne selle külgpindadega.

täisprisma pind on külgpinna ja aluste pindalade summa.

Õige prisma nimetatakse täisprismaks, mille põhjas on korrapärane hulknurk.

Teoreem 13.1. Sirge prisma külgpinna pindala on võrdne prisma perimeetri ja kõrguse korrutisega (või samaväärselt külgservaga).

Tõestus. Sirge prisma külgpinnad on ristkülikud, mille alused on prisma aluste hulknurkade küljed ja kõrgused on prisma külgmised servad. Siis definitsiooni järgi on külgpindala:

,

kus on sirge prisma aluse ümbermõõt.

Parallelepiped

Kui rööpkülikud asuvad prisma alustel, siis nimetatakse seda rööptahukas. Rööptahuka kõik tahud on rööpkülikukujulised. Sel juhul on rööptahuka vastasküljed paralleelsed ja võrdsed.

Teoreem 13.2. Rööptahuka diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja lõikepunkt jagatakse pooleks.

Tõestus. Mõelge näiteks kahele suvalisele diagonaalile ja . Sest rööptahuka tahud on rööptahukad, siis ja , mis tähendab, et vastavalt T-le umbes kaks sirget, mis on paralleelsed kolmandaga . Lisaks tähendab see, et jooned ja asuvad samal tasapinnal (tasapinnal). See tasapind lõikab paralleelseid tasapindu ja mööda paralleelseid jooni ja . Seega on nelinurk rööpkülik ja rööpküliku omaduse järgi lõikuvad selle diagonaalid ja lõikepunkt pooleks, mida oli vaja tõestada.

Nimetatakse parempoolset rööptahukat, mille alus on ristkülik risttahukas. Kõik risttahuka küljed on ristkülikud. Ristkülikukujulise rööptahuka mitteparalleelsete servade pikkusi nimetatakse selle lineaarseteks mõõtmeteks (mõõtmisteks). Seal on kolm suurust (laius, kõrgus, pikkus).

Teoreem 13.3. Ruutkujulises diagonaalis võrdub iga diagonaali ruut selle kolme mõõtme ruutude summaga (tõestatud Pythagorase T kahekordse rakendamisega).

Nimetatakse ristkülikukujulist rööptahukat, mille kõik servad on võrdsed kuubik.

Ülesanded

13.1 Mitu diagonaali teeb n- süsinikuprisma

13.2 Kaldkujulises kolmnurkprismas on külgservade vahelised kaugused 37, 13 ja 40. Leia kaugus suurema külgpinna ja vastaskülje serva vahel.

13.3 Läbi korrapärase kolmnurkse prisma alumise aluse külje tõmmatakse tasapind, mis lõikub külgpindadega mööda segmente, mille vaheline nurk on . Leidke selle tasandi kaldenurk prisma aluse suhtes.

Erinevad prismad on üksteisest erinevad. Samas on neil palju ühist. Prisma aluse pindala leidmiseks peate välja mõtlema, milline see välja näeb.

Üldine teooria

Prisma on iga hulktahukas, mille külgedel on rööpküliku kuju. Veelgi enam, iga hulktahukas võib olla selle aluses - kolmnurgast n-nurgani. Pealegi on prisma alused alati üksteisega võrdsed. Mis ei kehti külgpindade kohta - nende suurus võib oluliselt erineda.

Ülesannete lahendamisel ei puututa kokku mitte ainult prisma aluse pindalaga. Võib-olla on vaja teada külgpinda, st kõiki tahke, mis ei ole alused. Täispind on juba kõigi prisma moodustavate tahkude liit.

Mõnikord ilmuvad ülesannetes kõrgused. See on alustega risti. Hulktahuka diagonaal on segment, mis ühendab paarikaupa mis tahes kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku.

Tuleb märkida, et sirge või kaldprisma aluse pindala ei sõltu nende ja külgpindade vahelisest nurgast. Kui nende ülemises ja alumises küljes on samad näitajad, on nende pindalad võrdsed.

kolmnurkne prisma

Selle põhjas on kolme tipuga kujund, see tähendab kolmnurk. See on teatavasti erinev. Kui siis piisab meenutamisest, et selle pindala määrab pool jalgade korrutisest.

Matemaatiline tähistus näeb välja selline: S = ½ keskm.

Aluse pindala üldisel kujul väljaselgitamiseks on kasulikud valemid: Heron ja see, milles pool külge võetakse selle külge tõmmatud kõrgusele.

Esimene valem tuleks kirjutada järgmiselt: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). See kirje sisaldab poolperimeetrit (p), st kolme külje summa jagatud kahega.

Teiseks: S = ½ n a * a.

Kui soovite teada kolmnurkse prisma aluse pindala, mis on korrapärane, osutub kolmnurk võrdkülgseks. Sellel on oma valem: S = ¼ a 2 * √3.

nelinurkne prisma

Selle alus on mis tahes tuntud nelinurk. See võib olla ristkülik või ruut, rööptahukas või romb. Igal juhul vajate prisma aluse pindala arvutamiseks oma valemit.

Kui alus on ristkülik, siis määratakse selle pindala järgmiselt: S = av, kus a, b on ristküliku küljed.

Kui tegemist on nelinurkse prismaga, arvutatakse tavalise prisma aluspind ruudu valemi abil. Sest see on tema, kes asub baasis. S = 2.

Juhul, kui alus on rööptahukas, on vaja järgmist võrdsust: S \u003d a * n a. Juhtub, et on antud rööptahuka külg ja üks nurkadest. Seejärel peate kõrguse arvutamiseks kasutama täiendavat valemit: na \u003d b * sin A. Veelgi enam, nurk A külgneb küljega "b" ja kõrgus on selle nurga vastas.

Kui prisma põhjas asub romb, on selle pindala määramiseks vaja sama valemit nagu rööpküliku puhul (kuna see on selle erijuhtum). Kuid võite kasutada ka seda: S = ½ d 1 d 2. Siin on d 1 ja d 2 rombi kaks diagonaali.

Regulaarne viisnurkne prisma

See juhtum hõlmab hulknurga jagamist kolmnurkadeks, mille alasid on lihtsam välja selgitada. Kuigi juhtub, et kujundid võivad olla erineva arvu tippudega.

Kuna prisma põhi on korrapärane viisnurk, saab selle jagada viieks võrdkülgseks kolmnurgaks. Siis võrdub prisma aluse pindala ühe sellise kolmnurga pindalaga (valemit näete ülal), korrutatuna viiega.

Regulaarne kuusnurkne prisma

Viisnurkse prisma puhul kirjeldatud põhimõtte kohaselt on võimalik jagada aluse kuusnurk 6 võrdkülgseks kolmnurgaks. Sellise prisma aluse pindala valem on sarnane eelmisele. Ainult selles tuleks korrutada kuuega.

Valem näeb välja selline: S = 3/2 ja 2 * √3.

Ülesanded

Nr 1. Antud on korrapärane sirge, mille diagonaal on 22 cm, hulktahuka kõrgus 14 cm. Arvutage prisma aluse ja kogu pinna pindala.

Lahendus. Prisma alus on ruut, kuid selle külg pole teada. Selle väärtuse leiate ruudu diagonaalist (x), mis on seotud prisma diagonaaliga (d) ja selle kõrgusega (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. Teisest küljest on see segment "x" hüpotenuus kolmnurgas, mille jalad on võrdsed ruudu küljega. See tähendab, x 2 \u003d a 2 + a 2. Seega selgub, et a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Asendage d asemel arv 22 ja asendage "n" selle väärtusega - 14, selgub, et ruudu külg on 12 cm. Nüüd on aluspinda lihtne välja selgitada: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Kogu pinna pindala väljaselgitamiseks peate lisama kahekordse aluspinna väärtuse ja neljakordistama külje. Viimast on lihtne leida ristküliku valemiga: korruta hulktahuka kõrgus ja aluse külg. See tähendab, et 14 ja 12 on see arv 168 cm 2. Prisma kogupindala on 960 cm 2 .

Vastus. Prisma aluspind on 144 cm2. Kogu pind - 960 cm 2 .

Nr 2. Dana Alusel asub kolmnurk, mille külg on 6 cm. Sel juhul on külgpinna diagonaal 10 cm. Arvutage pindalad: põhi ja külgpind.

Lahendus. Kuna prisma on korrapärane, on selle alus võrdkülgne kolmnurk. Seetõttu osutub selle pindala võrdseks 6 ruuduga ¼ ja ruutjuur 3-ga. Lihtne arvutus annab tulemuse: 9√3 cm 2. See on prisma ühe aluse pindala.

Kõik külgpinnad on ühesugused ja on ristkülikud, mille küljed on 6 ja 10 cm. Nende pindala arvutamiseks piisab nende arvude korrutamisest. Seejärel korrutage need kolmega, sest prismal on täpselt nii palju külgi. Seejärel keritakse külgpinna pindala 180 cm2.

Vastus. Pindalad: alus - 9√3 cm 2, prisma külgpind - 180 cm 2.

Üldinfo sirge prisma kohta

Prisma külgpinda (täpsemalt külgpinda) nimetatakse summa külgmised näopiirkonnad. Prisma kogupind on võrdne külgpinna ja aluste pindalade summaga.

Teoreem 19.1. Sirge prisma külgpind on võrdne aluse perimeetri ja prisma kõrguse korrutisega, st külgserva pikkusega.

Tõestus. Sirge prisma külgpinnad on ristkülikud. Nende ristkülikute alused on prisma põhjas asuva hulknurga küljed ja kõrgused on võrdsed külgmiste servade pikkusega. Sellest järeldub, et prisma külgpind on võrdne

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kus a 1 ja n on aluse ribide pikkused, p on prisma aluse ümbermõõt ja I on külgribide pikkus. Teoreem on tõestatud.

Praktiline ülesanne

Ülesanne (22) . Kaldprismas osa, risti külgmiste servadega ja lõikuvad kõik külgmised servad. Leidke prisma külgpind, kui lõigu ümbermõõt on p ja külgservad on l.

Lahendus. Joonistatud lõike tasapind jagab prisma kaheks osaks (joonis 411). Alistame ühe neist paralleeltõlkele, mis ühendab prisma alused. Sel juhul saame sirge prisma, milles algse prisma osa on aluseks ja külgmised servad on võrdsed l-ga. Sellel prismal on sama külgpind, mis originaalil. Seega on algprisma külgpind võrdne pl.

Teema üldistus

Ja nüüd proovime teiega prisma teema kokku võtta ja meenutada, millised omadused prismal on.

Prisma omadused

Esiteks on prisma kõik alused võrdsed hulknurgad;
Teiseks on prisma kõik külgpinnad rööpkülikukujulised;
Kolmandaks, sellisel mitmetahulisel joonisel nagu prisma on kõik külgservad võrdsed;

Samuti tuleb meeles pidada, et sellised hulktahukad nagu prismad võivad olla sirged ja kaldu.

Mis on sirge prisma?

Kui prisma külgserv on risti selle aluse tasapinnaga, siis nimetatakse sellist prismat sirgeks.

Ei ole üleliigne meenutada, et sirge prisma külgpinnad on ristkülikud.

Mis on kaldus prisma?

Aga kui prisma külgserv ei asu selle aluse tasapinnaga risti, siis võib julgelt öelda, et tegemist on kaldprismaga.

Mis on õige prisma?

Kui sirge prisma põhjas asub korrapärane hulknurk, siis on selline prisma korrapärane.

Tuletame nüüd meelde tavalise prisma omadusi.

Tavaprisma omadused

Esiteks on korrapärased hulknurgad alati tavalise prisma alused;
Teiseks, kui arvestada tavalise prisma külgpindu, siis on need alati võrdsed ristkülikud;
Kolmandaks, kui võrrelda külgribide suurusi, siis õiges prismas on need alati võrdsed.
Neljandaks, tavaline prisma on alati sirge;
Viiendaks, kui tavalises prismas on külgpinnad ruutude kujul, siis sellist kujundit nimetatakse tavaliselt poolregulaarseks hulknurgaks.

Prisma sektsioon

Vaatame nüüd prisma ristlõiget:

Kodutöö

Ja nüüd proovime õpitud teemat ülesannete lahendamisega kinnistada.

Joonistame kaldu kolmnurkse prisma, mille servade vaheline kaugus on 3 cm, 4 cm ja 5 cm ning selle prisma külgpind on 60 cm2. Nende parameetritega leidke antud prisma külgserv.

Kas tead, et geomeetrilised kujundid ümbritsevad meid pidevalt mitte ainult geomeetriatundides, vaid ka igapäevaelus leidub esemeid, mis meenutavad üht või teist geomeetrilist kujundit.

Igas kodus, koolis või tööl on arvuti, mille süsteemiüksus on sirge prisma kujul.

Kui võtate kätte lihtsa pliiatsi, näete, et pliiatsi põhiosa on prisma.

Mööda linna peatänavat jalutades näeme, et meie jalge all lebab kuusnurkse prisma kujuga plaat.

A. V. Pogorelov, Geomeetria 7.-11. klassile, Õpik haridusasutustele

Definitsioon 1. Prismaatiline pind
Teoreem 1. Prismaatilise pinna paralleellõigetel
Definitsioon 2. Prismaatilise pinna ristilõige
Definitsioon 3. Prisma
Definitsioon 4. Prisma kõrgus
Definitsioon 5. Otsene prisma
Teoreem 2. Prisma külgpinna pindala

Parallelelepped :
Definitsioon 6. Parallelepped
Teoreem 3. Rööptahuka diagonaalide lõikepunktist
Definitsioon 7. Parempoolne rööptahukas
Definitsioon 8. Ristkülikukujuline rööptahukas
Definitsioon 9. Rööptahuka mõõtmed
Definitsioon 10. Kuubik
Definitsioon 11. Romboeeder
Teoreem 4. Ristkülikukujulise rööptahuka diagonaalidel
Teoreem 5. Prisma ruumala
Teoreem 6. Sirge prisma ruumala
Teoreem 7. Ristkülikukujulise rööptahuka ruumala

prisma nimetatakse hulktahuks, mille kaks tahku (alust) asetsevad paralleelsetes tasandites ja servad, mis nendel tahkudel ei asu, on üksteisega paralleelsed.
Nimetatakse muid nägusid peale aluste külgmine.
Külgpindade ja aluste külgi nimetatakse prisma servad, nimetatakse servade otsad prisma tipud. Külgmised ribid nimetatakse servadeks, mis ei kuulu aluste hulka. Külgpindade liitu nimetatakse prisma külgpind, ja kõigi nägude liitu nimetatakse prisma täispind. Prisma kõrgus nimetatakse risti, mis on langetatud ülemise aluse punktist alumise aluse tasapinnale või selle risti pikkusele. sirge prisma nimetatakse prismaks, mille külgservad on risti aluste tasanditega. Õige nimetatakse sirgeks prismaks (joon. 3), mille põhjas asub korrapärane hulknurk.

Nimetused:
l - külgribi;
P - baasi ümbermõõt;
S o - baaspindala;
H - kõrgus;
P ^ - risti lõigu ümbermõõt;
S b - külgpindala;
V - maht;
S p - prisma kogupinna pindala.

2. definitsioon . Prismaatilise pinna ristilõige on selle pinna läbilõige selle servadega risti oleva tasapinnaga. Eelneva teoreemi alusel on sama prismaatilise pinna kõik risti olevad lõigud võrdsed hulknurgad.

3. definitsioon . Prisma on hulktahukas, mida piirab prismaatiline pind ja kaks üksteisega paralleelset tasandit (kuid mitte paralleelsed prismaatilise pinna servadega).
Nendes viimastes tasapindades lebavaid nägusid nimetatakse prisma alused; prismaatilisele pinnale kuuluvad näod - külgmised näod; prismaatilise pinna servad - prisma külgmised servad. Eelmise teoreemi kohaselt on prisma alused võrdsed hulknurgad. Prisma kõik külgpinnad rööpkülikuid; kõik külgmised servad on üksteisega võrdsed.
On ilmne, et kui prisma ABCDE alus ja üks servadest AA" on antud suurusjärgus ja suunas, siis on võimalik prisma konstrueerida, tõmmates servad BB", CC", .., võrdsed ja paralleelsed sellega. serv AA".

4. definitsioon . Prisma kõrgus on selle aluste tasandite vaheline kaugus (HH").

Definitsioon 5 . Prismat nimetatakse sirgeks, kui selle alused on prismaatilise pinna risti lõigud. Sel juhul on prisma kõrgus loomulikult selle külgribi; külgmised servad ristkülikud.
Prismad saab klassifitseerida külgpindade arvu järgi, mis on võrdne selle aluseks oleva hulknurga külgede arvuga. Seega võivad prismad olla kolmnurksed, nelinurksed, viisnurksed jne.

2. teoreem . Prisma külgpinna pindala on võrdne külgserva ja ristlõike perimeetri korrutisega.
Olgu antud prisma ABCDEA"B"C"D"E" ja selle ristilõige abcde, nii et lõigud ab, bc, .. on risti selle külgservadega. Tahk ABA"B" on rööpkülik, selle pindala on võrdne aluse AA " korrutisega, mis vastab ab-le; näo pindala BCV "C" on võrdne aluse BB" korrutisega kõrgusega bc jne. Seetõttu on külgpind (st külgpindade pindalade summa) võrdne külgserva korrutisega, teisisõnu lõikude AA", BB", .. kogupikkusega summaga ab+bc+cd+de+ea.