Odredite dužinu glavne ose elipsoida. Linije drugog reda. Elipsa i njena kanonska jednadžba. Circle

11.1. Osnovni koncepti

Razmotrimo linije definisane jednačinama drugog stepena u odnosu na trenutne koordinate

Koeficijenti jednačine su realni brojevi, ali barem jedan od brojeva A, B ili C nije nula. Takve linije se nazivaju linije (krive) drugog reda. U nastavku će biti utvrđeno da jednačina (11.1) definira kružnicu, elipsu, hiperbolu ili parabolu u ravni. Prije nego što pređemo na ovu tvrdnju, proučimo svojstva nabrojanih krivulja.

11.2. Circle

Najjednostavnija kriva drugog reda je krug. Podsjetimo da je krug polumjera R sa centrom u tački skup svih tačaka Μ ravni koje zadovoljavaju uvjet . Neka tačka u pravougaonom koordinatnom sistemu ima koordinate x 0, y 0 a - proizvoljna tačka kružnice (vidi sliku 48).

Tada iz uslova dobijamo jednačinu

(11.2)

Jednačina (11.2) je zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na datoj kružnici, a ne zadovoljavaju je koordinate nijedne tačke koja ne leži na kružnici.

Jednačina (11.2) se zove kanonska jednadžba kruga

Konkretno, uz pretpostavku i , Dobijamo jednačinu kružnice sa središtem na početku .

Jednačina kružnice (11.2) nakon jednostavnih transformacija poprimiće oblik . Kada se ova jednačina uporedi sa opštom jednačinom (11.1) krive drugog reda, lako je videti da su za jednačinu kružnice zadovoljena dva uslova:

1) koeficijenti kod x 2 i y 2 su međusobno jednaki;

2) ne postoji član koji sadrži xy proizvod trenutnih koordinata.

Razmotrimo inverzni problem. Stavljajući u jednačinu (11.1) vrijednosti i , dobijamo

Hajde da transformišemo ovu jednačinu:

(11.4)

Iz toga slijedi da jednačina (11.3) definira krug pod uslovom . Njegov centar je u tački , i radijus

.

Ako , tada jednačina (11.3) ima oblik

.

Zadovoljavaju ga koordinate jedne tačke . U ovom slučaju kažu: "krug se degenerirao u tačku" (ima nulti polumjer).

Ako a , tada jednačina (11.4), a samim tim i ekvivalentna jednačina (11.3), neće odrediti nijednu pravu, jer je desna strana jednačine (11.4) negativna, a lijeva strana nije negativna (recimo: „imaginarni krug“).

11.3. Elipsa

Kanonska jednadžba elipse

Elipsa je skup svih tačaka ravni, zbir rastojanja od svake od njih do dve date tačke ove ravni, tzv. trikovi , je konstantna vrijednost veća od udaljenosti između žarišta.

Označite žarišta sa F1 i F2, udaljenost između njih u 2 c, i zbir udaljenosti od proizvoljne tačke elipse do žarišta - kroz 2 a(vidi sliku 49). Po definiciji 2 a > 2c, tj. a > c.

Za izvođenje jednačine elipse biramo koordinatni sistem tako da su fokusi F1 i F2 leže na osi , a ishodište se poklapa sa središtem segmenta Ž 1 Ž 2. Tada će fokusi imati sljedeće koordinate: i .

Neka je proizvoljna tačka elipse. Tada, prema definiciji elipse, tj.

Ovo je, u stvari, jednačina elipse.

Jednačinu (11.5) transformiramo u jednostavniji oblik na sljedeći način:

Jer a>With, zatim . Hajde da stavimo

(11.6)

Tada posljednja jednadžba poprima oblik ili

(11.7)

Može se dokazati da je jednačina (11.7) ekvivalentna izvornoj jednačini. To se zove kanonska jednadžba elipse .

Elipsa je kriva drugog reda.

Proučavanje oblika elipse prema njenoj jednadžbi

Uspostavimo oblik elipse koristeći njenu kanonsku jednadžbu.

1. Jednačina (11.7) sadrži x i y samo u parnim stepenima, pa ako tačka pripada elipsi, tada joj pripadaju i tačke ,,. Iz toga slijedi da je elipsa simetrična u odnosu na ose i , kao i u odnosu na točku , koja se naziva središte elipse.

2. Naći tačke preseka elipse sa koordinatnim osa. Stavljajući , nalazimo dvije točke i , u kojima os siječe elipsu (vidi sliku 50). Stavljajući u jednačinu (11.7), nalazimo tačke preseka elipse sa osom: i . bodova A 1 , A2 , B1, B2 pozvao vrhove elipse. Segmenti A 1 A2 i B1 B2, kao i njihove dužine 2 a i 2 b nazivaju se respektivno velike i male ose elipsa. Brojevi a i b nazivaju se velikim i malim. osovinske osovine elipsa.

3. Iz jednačine (11.7) slijedi da svaki član na lijevoj strani ne prelazi jedan, tj. postoje nejednakosti i ili i . Dakle, sve tačke elipse leže unutar pravougaonika formiranog od pravih linija.

4. U jednačini (11.7), zbir nenegativnih članova i jednak je jedan. Shodno tome, kako se jedan član povećava, drugi će se smanjivati, odnosno ako se povećava, onda se smanjuje i obrnuto.

Iz rečenog proizilazi da elipsa ima oblik prikazan na sl. 50 (ovalna zatvorena kriva).

Više o elipsi

Oblik elipse zavisi od omjera. Kada se elipsa pretvori u krug, jednačina elipse (11.7) poprima oblik . Kao karakteristika oblika elipse češće se koristi omjer. Omjer polovice udaljenosti između žarišta i velike poluose elipse naziva se ekscentricitet elipse, a o6o se označava slovom ε ("epsilon"):

sa 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Ovo pokazuje da što je manji ekscentricitet elipse, to će elipsa biti manje sputana; ako stavimo ε = 0, onda se elipsa pretvara u krug.

Neka je M(x; y) proizvoljna tačka elipse sa fokusima F 1 i F 2 (vidi sliku 51). Dužine segmenata F 1 M=r 1 i F 2 M = r 2 nazivaju se žarišnim polumjerima tačke M. Očigledno,

Postoje formule

Prave linije se nazivaju

Teorema 11.1. Ako je udaljenost od proizvoljne tačke elipse do nekog fokusa, d je udaljenost od iste tačke do direktrise koja odgovara ovom fokusu, tada je omjer konstantna vrijednost jednaka ekscentricitetu elipse:

Iz jednakosti (11.6) slijedi da je . Ako je , tada jednačina (11.7) definira elipsu, čija glavna osa leži na Oy osi, a mala osa leži na Ox osi (vidi sliku 52). Fokusi takve elipse su u tačkama i , gdje .

11.4. Hiperbola

Kanonska jednadžba hiperbole

Hiperbola skup svih tačaka ravni se naziva, modul razlike udaljenosti od svake od njih do dve date tačke ove ravni, tzv. trikovi , je konstantna vrijednost, manja od udaljenosti između žarišta.

Označite žarišta sa F1 i F2 udaljenost između njih kroz 2s, i modul razlike u udaljenosti od svake tačke hiperbole do žarišta kroz 2a. Po definiciji 2a < 2s, tj. a < c.

Za izvođenje jednadžbe hiperbole biramo koordinatni sistem tako da su fokusi F1 i F2 leže na osi , a ishodište se poklopilo sa sredinom segmenta Ž 1 Ž 2(vidi sliku 53). Tada će žarišta imati koordinate i

Neka je proizvoljna tačka hiperbole. Zatim prema definiciji hiperbole ili , tj. Nakon pojednostavljenja, kao što je urađeno prilikom izvođenja jednadžbe elipse, dobijamo kanonska jednadžba hiperbole

(11.9)

(11.10)

Hiperbola je linija drugog reda.

Istraživanje oblika hiperbole prema njenoj jednačini

Uspostavimo oblik hiperbole koristeći njenu kakoničnu jednadžbu.

1. Jednačina (11.9) sadrži x i y samo u parnim stepenima. Dakle, hiperbola je simetrična u odnosu na ose i , kao i u odnosu na tačku , koja se zove centar hiperbole.

2. Naći presečne tačke hiperbole sa koordinatnim osa. Stavljajući u jednačinu (11.9), nalazimo dvije točke presjeka hiperbole sa osom : i . Stavljajući u (11.9), dobijamo , što ne može biti. Dakle, hiperbola ne siječe y-osu.

Pozivaju se tačke i vrhovi hiperbole i segment

realna osa , segment - realna poluosa hiperbola.

Segment linije koji povezuje tačke se zove imaginarne ose , broj b - imaginarne ose . Pravougaonik sa stranicama 2a i 2b pozvao glavni pravougaonik hiperbole .

3. Iz jednačine (11.9) slijedi da minus nije manji od jedan, tj. da ili . To znači da se tačke hiperbole nalaze desno od prave (desna grana hiperbole) i levo od prave (lijeva grana hiperbole).

4. Iz jednačine (11.9) hiperbole se vidi da kada raste, onda i ona raste. Ovo proizilazi iz činjenice da razlika održava konstantnu vrijednost jednaku jedan.

Iz rečenog slijedi da hiperbola ima oblik prikazan na slici 54 (kriva koja se sastoji od dvije neograničene grane).

Asimptote hiperbole

Prava L se naziva asimptota neograničene krive K ako rastojanje d od tačke M krive K do ove prave teži nuli dok se tačka M kreće duž krive K beskonačno od početka. Slika 55 ilustruje koncept asimptote: prava L je asimptota za krivu K.

Pokažimo da hiperbola ima dvije asimptote:

(11.11)

Budući da su prave (11.11) i hiperbola (11.9) simetrične u odnosu na koordinatne ose, dovoljno je razmotriti samo one tačke navedenih pravih koje se nalaze u prvom kvadrantu.

Uzmite na pravu tačku N koja ima istu apscisu x kao tačka na hiperboli (vidi sliku 56) i pronađite razliku ΜN između ordinata prave linije i grane hiperbole:

Kao što vidite, kako se x povećava, nazivnik razlomka se povećava; brojilac je konstantna vrijednost. Dakle, dužina segmenta ΜN teži nuli. Pošto je ΜN veće od udaljenosti d od tačke Μ do prave, onda d još više teži nuli. Dakle, prave su asimptote hiperbole (11.9).

Prilikom konstruisanja hiperbole (11.9), preporučljivo je prvo konstruisati glavni pravougaonik hiperbole (vidi sliku 57), nacrtati linije koje prolaze kroz suprotne vrhove ovog pravougaonika - asimptote hiperbole i označiti vrhove i , hiperbole .

Jednačina jednakostranične hiperbole.

čije su asimptote koordinatne ose

Hiperbola (11.9) se naziva jednakostranična ako su njene poluose jednake (). Njegova kanonska jednadžba

(11.12)

Asimptote jednakostranične hiperbole imaju jednačine i stoga su simetrale koordinatnih uglova.

Razmotrimo jednačinu ove hiperbole u novom koordinatnom sistemu (vidi sliku 58), dobijenom iz starog rotacijom koordinatnih osa za ugao. Koristimo formule za rotaciju koordinatnih osa:

Zamjenjujemo vrijednosti x i y u jednadžbu (11.12):

Jednačina jednakostranične hiperbole, za koju su osi Ox i Oy asimptote, imat će oblik .

Više o hiperboli

ekscentričnost hiperbola (11.9) je omjer udaljenosti između žarišta i vrijednosti realne ose hiperbole, označene sa ε:

Budući da je za hiperbolu , ekscentricitet hiperbole veći od jedan: . Ekscentricitet karakterizira oblik hiperbole. Zaista, iz jednakosti (11.10) slijedi da tj. i .

Ovo pokazuje da što je manji ekscentricitet hiperbole, to je manji omjer - njenih poluosi, što znači da je njen glavni pravougaonik više produžen.

Ekscentricitet jednakostranične hiperbole je . stvarno,

Fokalni radijusi i za točke desne grane hiperbole imaju oblik i , a za lijevu - i .

Prave se nazivaju direktrisama hiperbole. Budući da je za hiperbolu ε > 1, onda . To znači da se desna direktrisa nalazi između centra i desnog vrha hiperbole, a lijeva direktrisa između centra i lijevog vrha.

Directrise hiperbole imaju isto svojstvo kao i direktrise elipse.

Krivulja definirana jednadžbom je također hiperbola, čija se realna os 2b nalazi na osi Oy, a imaginarna osa 2 a- na osi Ox. Na slici 59 prikazan je kao isprekidana linija.

Očigledno, hiperbole i imaju zajedničke asimptote. Takve hiperbole se nazivaju konjugate.

11.5. Parabola

Kanonska parabola jednadžba

Parabola je skup svih tačaka u ravni, od kojih je svaka jednako udaljena od date tačke, koja se zove fokus, i date prave koja se zove direktrisa. Udaljenost od fokusa F do direktrise naziva se parametar parabole i označava se sa p (p > 0).

Za izvođenje jednadžbe parabole biramo Oxy koordinatni sistem tako da os Oxy prolazi kroz fokus F okomito na direktrisu u smjeru od direktrise do F, a ishodište O nalazi se u sredini između fokusa i direktrise (vidi sliku 60). U odabranom sistemu fokus F ima koordinate , a jednadžba direktrise ima oblik , ili .

1. U jednačini (11.13), varijabla y je uključena u parnom stepenu, što znači da je parabola simetrična oko ose Ox; x-osa je osa simetrije parabole.

2. Kako je ρ > 0, iz (11.13) slijedi da je . Dakle, parabola se nalazi desno od y-ose.

3. Kada imamo y \u003d 0. Dakle, parabola prolazi kroz ishodište.

4. Sa neograničenim povećanjem x, modul y se također povećava neograničeno. Parabola ima oblik (oblik) prikazan na slici 61. Tačka O (0; 0) naziva se vrh parabole, segment FM \u003d r naziva se žarišni radijus tačke M.

Jednadžbe , , ( p>0) također definiraju parabole, one su prikazane na slici 62

Lako je pokazati da je graf kvadratnog trinoma, gdje su , B i C bilo koji realni brojevi, parabola u smislu gornje definicije.

11.6. Opšta jednadžba linija drugog reda

Jednadžbe krivulja drugog reda sa osama simetrije paralelnim sa koordinatnim osa

Nađimo prvo jednačinu elipse sa središtem u tački čije su osi simetrije paralelne koordinatnim osama Ox i Oy, a poluose su jednake a i b. Postavimo u centar elipse O 1 ishodište novog koordinatnog sistema , čije ose i poluose a i b(vidi sliku 64):

I konačno, parabole prikazane na slici 65 imaju odgovarajuće jednačine.

Jednačina

Jednadžbe elipse, hiperbole, parabole i jednadžbe kruga nakon transformacija (otvorene zagrade, pomjeriti sve članove jednadžbe u jednom smjeru, donijeti slične članove, uvesti nove oznake za koeficijente) mogu se napisati pomoću jedne jednadžbe obrazac

pri čemu koeficijenti A i C nisu u isto vrijeme jednaki nuli.

Postavlja se pitanje: da li bilo koja jednačina oblika (11.14) određuje jednu od krivulja (krug, elipsa, hiperbola, parabola) drugog reda? Odgovor je dat sljedećom teoremom.

Teorema 11.2. Jednačina (11.14) uvijek definira: ili krug (za A = C), ili elipsu (za A C > 0), ili hiperbolu (za A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Opšta jednačina drugog reda

Razmotrimo sada opštu jednačinu drugog stepena sa dve nepoznanice:

Razlikuje se od jednačine (11.14) po prisustvu člana sa proizvodom koordinata (B¹ 0). Moguće je, rotiranjem koordinatnih osa za ugao a, transformisati ovu jednačinu tako da u njoj nema člana sa proizvodom koordinata.

Korištenje formula za okretanje osi

Izrazimo stare koordinate u terminima novih:

Ugao a biramo tako da koeficijent na x "y" nestane, tj. da jednakost

Dakle, kada se ose zarotiraju za ugao a koji zadovoljava uslov (11.17), jednačina (11.15) se svodi na jednačinu (11.14).

Zaključak: opšta jednačina drugog reda (11.15) definira na ravni (osim slučajeva degeneracije i propadanja) sljedeće krive: kružnica, elipsa, hiperbola, parabola.

Napomena: Ako je A = C, onda jednačina (11.17) gubi smisao. U ovom slučaju cos2α = 0 (vidi (11.16)), tada je 2α = 90°, tj. α = 45°. Dakle, pri A = C, koordinatni sistem treba rotirati za 45 °.

Definicija 7.1. Skup svih tačaka na ravni za koje je zbir udaljenosti do dvije fiksne tačke F 1 i F 2 zadana konstanta naziva se elipsa.

Definicija elipse daje sljedeći način njene geometrijske konstrukcije. Dve tačke F 1 i F 2 fiksiramo na ravni, a nenegativnu konstantnu vrednost označavamo sa 2a. Neka je udaljenost između tačaka F 1 i F 2 jednaka 2c. Zamislite da je nerastavljiva nit dužine 2a fiksirana u tačkama F 1 i F 2, na primjer, uz pomoć dvije igle. Jasno je da je to moguće samo za a ≥ c. Povlačeći nit olovkom, nacrtajte liniju koja će biti elipsa (slika 7.1).

Dakle, opisani skup nije prazan ako je a ≥ c. Kada je a = c, elipsa je segment sa krajevima F 1 i F 2, a kada je c = 0, tj. ako se fiksne tačke navedene u definiciji elipse poklapaju, to je krug poluprečnika a. Odbacujući ove degenerisane slučajeve, dalje ćemo pretpostavljati, po pravilu, da je a > c > 0.

Fiksne tačke F 1 i F 2 u definiciji 7.1 elipse (vidi sliku 7.1) nazivaju se elipse trikovi, rastojanje između njih, označeno sa 2c, - žižna daljina, i segmenti F 1 M i F 2 M, koji povezuju proizvoljnu tačku M na elipsi sa njenim fokusima, - žarišne radijuse.

Oblik elipse u potpunosti je određen žižnom daljinom |F 1 F 2 | = 2s i parametar a, a njegov položaj na ravni - parom tačaka F 1 i F 2 .

Iz definicije elipse proizilazi da je ona simetrična u odnosu na pravu liniju koja prolazi kroz žarišta F 1 i F 2, kao i na pravu liniju koja dijeli segment F 1 F 2 na pola i okomita je na njega (sl. 7.2, a). Ove linije se nazivaju elipse osi. Tačka O njihovog presjeka je centar simetrije elipse, a naziva se centar elipse, i tačke preseka elipse sa osama simetrije (tačke A, B, C i D na slici 7.2, a) - vrhove elipse.

Poziva se broj a velika poluosa elipse, i b = √ (a 2 - c 2) - its mala poluosovina. Lako je vidjeti da je za c > 0 glavna poluosa a jednaka udaljenosti od centra elipse do onih njenih vrhova koji su na istoj osi kao i žarišta elipse (vrhovi A i B na sl. 7.2, a), a mala poluosa b jednaka je udaljenosti od centralne elipse do njena druga dva vrha (vrhovi C i D na slici 7.2, a).

Jednadžba elipse. Posmatrajmo neku elipsu na ravni sa fokusima u tačkama F 1 i F 2, velika osa 2a. Neka je 2c žižna daljina, 2c = |F 1 F 2 |

Na ravni biramo pravougaoni koordinatni sistem Oxy tako da se njegovo ishodište poklapa sa centrom elipse, a fokusi su na apscisa(Sl. 7.2, b). Ovaj koordinatni sistem se zove kanonski za elipsu koja se razmatra, a odgovarajuće varijable su kanonski.

U odabranom koordinatnom sistemu fokusi imaju koordinate F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Koristeći formulu za rastojanje između tačaka, zapisujemo uslov |F 1 M| + |F 2 M| = 2a u koordinatama:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Ova jednadžba je nezgodna jer sadrži dva kvadratna radikala. Pa hajde da ga transformišemo. Drugi radikal u jednadžbi (7.2) prenosimo na desnu stranu i kvadriramo ga:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Nakon što otvorimo zagrade i smanjimo slične pojmove, dobijamo

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

gdje je ε = c/a. Ponavljamo operaciju kvadriranja da uklonimo i drugi radikal: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ili, s obzirom na vrijednost unesenog parametra ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Pošto je a 2 - c 2 = b 2 > 0, onda

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Jednačina (7.4) je zadovoljena koordinatama svih tačaka koje leže na elipsi. Ali pri izvođenju ove jednadžbe korištene su neekvivalentne transformacije izvorne jednadžbe (7.2) - dvije kvadrature koje uklanjaju kvadratne radikale. Kvadriranje jednadžbe je ekvivalentna transformacija ako obje strane sadrže količine s istim predznakom, ali to nismo provjerili u našim transformacijama.

Možda nećemo provjeriti ekvivalentnost transformacija ako uzmemo u obzir sljedeće. Par tačaka F 1 i F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, na ravni definiše familiju elipsa sa fokusima u ovim tačkama. Svaka tačka ravni, osim tačaka segmenta F 1 F 2 , pripada nekoj elipsi navedene porodice. U ovom slučaju se dvije elipse ne seku, jer zbir žarišnih radijusa jednoznačno određuje određenu elipsu. Dakle, opisana porodica elipsa bez preseka pokriva celu ravan, osim tačaka segmenta F 1 F 2 . Razmotrimo skup tačaka čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (7.4) sa datom vrijednošću parametra a. Može li se ovaj skup rasporediti na nekoliko elipsa? Neke od tačaka skupa pripadaju elipsi sa velikom poluosom a. Neka u ovom skupu postoji tačka koja leži na elipsi sa velikom poluosom a. Tada koordinate ove tačke odgovaraju jednadžbi

one. jednačine (7.4) i (7.5) imaju zajednička rješenja. Međutim, lako je provjeriti da li je sistem

za ã ≠ a nema rješenja. Da biste to učinili, dovoljno je isključiti, na primjer, x iz prve jednadžbe:

što nakon transformacija dovodi do jednačine

nema rješenja za ã ≠ a, jer . Dakle, (7.4) je jednadžba elipse sa velikom poluosom a > 0 i malom poluosom b = √ (a 2 - c 2) > 0. Zove se kanonska jednadžba elipse.

Pogled elipse. Geometrijska metoda konstruisanja elipse o kojoj smo gore govorili daje dovoljnu ideju o izgledu elipse. Ali oblik elipse može se istražiti i uz pomoć njene kanonske jednačine (7.4). Na primjer, uzimajući u obzir y ≥ 0, možete izraziti y u terminima x: y = b√(1 - x 2 /a 2) i, nakon ispitivanja ove funkcije, izgraditi njen graf. Postoji još jedan način da se konstruiše elipsa. Krug poluprečnika a sa centrom u početku kanonskog koordinatnog sistema elipse (7.4) opisuje se jednačinom x 2 + y 2 = a 2 . Ako je komprimiran sa koeficijentom a/b > 1 uzduž y-osa, onda dobijete krivulju koja je opisana jednadžbom x 2 + (ya / b) 2 = a 2, tj. elipsom.

Napomena 7.1. Ako je isti krug komprimiran sa koeficijentom a/b

Ekscentričnost elipse. Omjer žižne daljine elipse i njene glavne ose se naziva ekscentricitet elipse i označeno sa ε. Za datu elipsu

kanonska jednačina (7.4), ε = 2c/2a = s/a. Ako su u (7.4) parametri a i b povezani nejednakošću a

Za c = 0, kada se elipsa pretvara u krug, i ε = 0. U drugim slučajevima, 0

Jednačina (7.3) je ekvivalentna jednačini (7.4) jer su jednačine (7.4) i (7.2) ekvivalentne. Prema tome, (7.3) je i jednačina elipse. Osim toga, relacija (7.3) je zanimljiva po tome što daje jednostavnu formulu bez radikala za dužinu |F 2 M| jedan od fokalnih radijusa tačke M(x; y) elipse: |F 2 M| = a + εx.

Slična formula za drugi žarišni polumjer može se dobiti iz razmatranja simetrije ili ponavljanjem proračuna u kojem se, prije kvadriranja jednadžbe (7.2), prvi radikal prenosi na desnu stranu, a ne drugi. Dakle, za bilo koju tačku M(x; y) na elipsi (vidi sliku 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

i svaka od ovih jednačina je jednačina elipse.

Primjer 7.1. Nađimo kanonsku jednačinu elipse sa velikom poluosom 5 i ekscentricitetom 0,8 i konstruirajmo je.

Poznavajući veliku poluos elipse a = 5 i ekscentricitet ε = 0,8, nalazimo njenu malu poluos b. Budući da b = √ (a 2 - c 2), i c = εa = 4, onda b = √ (5 2 - 4 2) = 3. Dakle, kanonska jednadžba ima oblik x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Da biste konstruirali elipsu, prikladno je nacrtati pravougaonik sa središtem u ishodištu kanonskog koordinatnog sistema, čije su stranice paralelne s osi simetrije elipse i jednake njenoj odgovarajuće ose (slika 7.4). Ovaj pravougaonik se siječe sa

ose elipse u njenim vrhovima A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), i sama elipsa je upisana u nju. Na sl. 7.4 takođe prikazuje fokuse F 1.2 (±4; 0) elipse.

Geometrijska svojstva elipse. Prepišimo prvu jednačinu u (7.6) kao |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Imajte na umu da je vrijednost a / ε - x za a > c pozitivna, jer fokus F 1 ne pripada elipsi. Ova vrijednost je udaljenost do vertikalne linije d: x = a/ε od tačke M(x; y) lijevo od ove prave. Jednačina elipse se može napisati kao

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

To znači da se ova elipsa sastoji od onih tačaka M (x; y) ravni za koje je odnos dužine žarišnog radijusa F 1 M i udaljenosti do prave linije d konstantna vrijednost jednaka ε (Sl. 7.5).

Prava d ima "dvostruku" - vertikalnu liniju d", simetričnu na d u odnosu na centar elipse, koja je data jednadžbom x \u003d -a / ε. U odnosu na d, elipsa je opisana na isti način kao u odnosu na d. Oba pravca d i d" se zovu elipse direktrise. Direktrise elipse su okomite na os simetrije elipse na kojoj se nalaze njena žarišta, a odvojene su od centra elipse rastojanjem a / ε = a 2 / c (vidi sliku 7.5).

Udaljenost p od direktrise do njoj najbližeg fokusa naziva se fokalni parametar elipse. Ovaj parametar je jednak

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Elipsa ima još jedno važno geometrijsko svojstvo: žižni radijusi F 1 M i F 2 M čine jednake uglove sa tangentom elipse u tački M (slika 7.6).

Ovo svojstvo ima jasno fizičko značenje. Ako se izvor svjetlosti postavi u fokus F 1, tada će snop koji izlazi iz ovog fokusa, nakon refleksije od elipse, ići duž drugog žarišnog radijusa, jer će nakon refleksije biti pod istim kutom prema krivulji kao prije refleksije . Tako će svi zraci koji napuštaju fokus F 1 biti koncentrisani u drugom fokusu F 2 i obrnuto. Na osnovu ovog tumačenja, ovo svojstvo se zove optičko svojstvo elipse.

Linije drugog reda.
Elipsa i njena kanonska jednadžba. Circle

Nakon detaljnog proučavanja prave linije na ravni nastavljamo proučavati geometriju dvodimenzionalnog svijeta. Ulozi su udvostručeni i pozivam vas da posjetite slikovitu galeriju elipsa, hiperbola, parabola, koje su tipični predstavnici linije drugog reda. Obilazak je već počeo, a prvo kratke informacije o cjelokupnoj izložbi na različitim etažama muzeja:

Pojam algebarske linije i njen red

Prava na ravni se zove algebarski, ako je u afini koordinatni sistem njegova jednadžba ima oblik , gdje je polinom koji se sastoji od članova oblika ( je realan broj, su nenegativni cijeli brojevi).

Kao što vidite, jednadžba algebarske linije ne sadrži sinuse, kosinuse, logaritme i druge funkcionalne beaumonde. Samo "x" i "y" unutra cijeli broj nenegativan stepeni.

Redosled jednaka je maksimalnoj vrijednosti pojmova uključenih u njega.

Prema odgovarajućoj teoremi, koncept algebarske linije, kao ni njen red, ne zavise od izbora afini koordinatni sistem, stoga, radi lakšeg razumijevanja, smatramo da se svi naredni proračuni odvijaju u Kartezijanske koordinate.

Opća jednačina red drugog reda ima oblik , gdje su proizvoljni realni brojevi (uobičajeno je pisati sa množiteljem - "dva"), a koeficijenti nisu istovremeno jednaki nuli.

Ako je , tada se jednadžba pojednostavljuje na , a ako koeficijenti nisu istovremeno jednaki nuli, onda je to tačno opšta jednačina "ravne" prave linije, što predstavlja linija prve narudžbe.

Mnogi su shvatili značenje novih pojmova, ali, ipak, da bismo 100% asimilirali materijal, zabijamo prste u utičnicu. Da biste odredili redoslijed redova, ponovite svi uslovi njegove jednačine i za svaku od njih pronaći zbir moći dolazne varijable.

Na primjer:

izraz sadrži "x" do 1. stepena;
izraz sadrži "Y" na 1. stepen;
nema varijabli u terminu, tako da je zbir njihovih snaga nula.

Sada hajde da shvatimo zašto jednačina postavlja liniju sekunda red:

izraz sadrži "x" u 2. stepenu;
termin ima zbir stepena varijabli: 1 + 1 = 2;
izraz sadrži "y" u 2. stepenu;
svi ostali uslovi - manje stepen.

Maksimalna vrijednost: 2

Ako našoj jednadžbi dodatno dodamo, recimo, , tada će to već odrediti linija trećeg reda. Očigledno je da opći oblik jednadžbe trećeg reda sadrži "kompletan skup" pojmova, zbir stupnjeva varijabli u kojem je jednak tri:
, pri čemu koeficijenti nisu istovremeno jednaki nuli.

U slučaju da se doda jedan ili više odgovarajućih termina koji sadrže , onda ćemo razgovarati o tome Linije 4. reda, itd.

Morat ćemo se baviti algebarskim linijama 3., 4. i višeg reda više puta, posebno prilikom upoznavanja polarni koordinatni sistem.

Međutim, vratimo se općoj jednadžbi i prisjetimo se njenih najjednostavnijih školskih varijacija. Primjeri su parabola, čija se jednačina može lako svesti na opći oblik, i hiperbola s ekvivalentnom jednačinom. Međutim, nije sve tako glatko....

Značajan nedostatak opće jednačine je to što gotovo uvijek nije jasno koju liniju definira. Čak i u najjednostavnijem slučaju, nećete odmah shvatiti da je ovo hiperbola. Takvi rasporedi su dobri samo na maskenbalu, pa se u toku analitičke geometrije razmatra tipičan problem svođenje jednadžbe 2. reda na kanonski oblik.

Koji je kanonski oblik jednačine?

Ovo je općeprihvaćeni standardni oblik jednačine, kada za nekoliko sekundi postane jasno koji geometrijski objekt definira. Osim toga, kanonski oblik je vrlo pogodan za rješavanje mnogih praktičnih zadataka. Tako, na primjer, prema kanonskoj jednadžbi "ravno" ravno, prvo, odmah je jasno da je ovo prava linija, a drugo, tačka koja joj pripada i vektor smjera su jednostavno vidljivi.

Očigledno, bilo koji Linija 1. reda predstavlja pravu liniju. Na drugom spratu nas više ne čeka domar, već mnogo raznovrsnije društvo od devet statua:

Klasifikacija linija drugog reda

Uz pomoć posebnog skupa radnji, svaka jednačina drugog reda se svodi na jedan od sljedećih tipova:

(i pozitivni su realni brojevi)

1) je kanonska jednadžba elipse;

2) je kanonska jednačina hiperbole;

3) je kanonska jednadžba parabole;

4) – imaginarni elipsa;

5) - par linija koje se seku;

6) - par imaginarni linije koje se seku (sa jedinom stvarnom tačkom preseka u početku);

7) - par paralelnih pravih;

8) - par imaginarni paralelne linije;

9) je par podudarnih linija.

Neki čitaoci mogu steći utisak da je lista nepotpuna. Na primjer, u paragrafu broj 7, jednačina postavlja par direktno, paralelno s osi, i postavlja se pitanje: gdje je jednadžba koja određuje prave paralelne sa y-osi? Odgovor: to ne smatra se kanonom. Prave linije predstavljaju isto standardno kućište rotirano za 90 stepeni, a dodatni unos u klasifikaciji je suvišan, jer ne nosi ništa suštinski novo.

Dakle, postoji devet i samo devet različitih tipova linija 2. reda, ali su u praksi najčešći elipsa, hiperbola i parabola.

Pogledajmo prvo elipsu. Kao i obično, fokusiram se na one tačke koje su od velike važnosti za rješavanje problema, a ako vam je potrebno detaljno izvođenje formula, dokazi teorema, pogledajte, na primjer, udžbenik Bazylev/Atanasyan ili Aleksandrov.

Elipsa i njena kanonska jednadžba

Pravopis ... nemojte ponavljati greške nekih korisnika Yandexa koje zanima "kako napraviti elipsu", "razliku između elipse i ovala" i "ekscentričnost elebsa".

Kanonska jednadžba elipse ima oblik , gdje su pozitivni realni brojevi, i . Kasnije ću formulirati definiciju elipse, ali za sada je vrijeme da se odmorimo od razgovora i riješimo uobičajeni problem:

Kako napraviti elipsu?

Da, uzmi i samo nacrtaj. Zadatak je uobičajen, a značajan dio učenika se ne snalazi sasvim kompetentno sa crtežom:

Primjer 1

Konstruirajte elipsu zadanu jednačinom

Rješenje: prvo dovodimo jednačinu u kanonski oblik:

Zašto donijeti? Jedna od prednosti kanonske jednadžbe je ta što vam omogućava da odmah odredite vrhovi elipse, koji su na tačkama . Lako je vidjeti da koordinate svake od ovih tačaka zadovoljavaju jednačinu .

U ovom slučaju :


Segment linije pozvao glavna osovina elipsa;
linijski segment – sporedna os;
broj pozvao velika poluos elipsa;
broj – mala poluosovina.
u našem primjeru: .

Da biste brzo zamislili kako izgleda ova ili ona elipsa, samo pogledajte vrijednosti "a" i "be" njene kanonske jednadžbe.

Sve je u redu, uredno i lijepo, ali postoji jedno upozorenje: crtež sam napravio pomoću programa. A možete crtati bilo kojom aplikacijom. Međutim, u surovoj stvarnosti, kockasti komad papira leži na stolu, a miševi plešu oko naših ruku. Ljudi sa umetničkim talentom, naravno, mogu da se svađaju, ali imate i miševe (iako manje). Nije uzalud čovječanstvo izmislilo ravnalo, šestar, kutomjer i druge jednostavne uređaje za crtanje.

Iz tog razloga, malo je vjerovatno da ćemo moći precizno nacrtati elipsu, znajući samo vrhove. Ipak je u redu, ako je elipsa mala, na primjer, sa poluosama. Alternativno, možete smanjiti razmjer i, shodno tome, dimenzije crteža. Ali u općem slučaju, vrlo je poželjno pronaći dodatne točke.

Postoje dva pristupa konstruisanju elipse - geometrijski i algebarski. Ne volim da gradim šestarom i lenjirom zbog kratkog algoritma i značajnog nereda crteža. U hitnim slučajevima pogledajte udžbenik, ali u stvarnosti je mnogo racionalnije koristiti alate algebre. Iz jednadžbe elipse na nacrtu brzo izražavamo:

Jednačina se tada dijeli na dvije funkcije:
– definira gornji luk elipse;
– definira donji luk elipse.

Elipsa data kanonskom jednačinom je simetrična u odnosu na koordinatne ose, kao i u odnosu na ishodište. I to je sjajno - simetrija je gotovo uvijek predznaka besplatnog. Očigledno, dovoljno je pozabaviti se 1. koordinatnom četvrtinom, pa nam je potrebna funkcija . Predlaže pronalaženje dodatnih tačaka sa apscisama . Na kalkulatoru smo pogodili tri SMS-a:

Naravno, prijatno je i da ako se napravi ozbiljna greška u proračunima, onda će to odmah postati jasno tokom izgradnje.

Označite tačke na crtežu (crveno), simetrične tačke na ostalim lukovima (plave) i pažljivo povežite cijelo društvo linijom:


Bolje je početnu skicu nacrtati tanko i tanko, a tek onda pritisnuti olovku. Rezultat bi trebao biti sasvim pristojna elipsa. Usput, želite li znati koja je ova kriva?

Definicija elipse. Fokusi elipse i ekscentricitet elipse

Elipsa je poseban slučaj ovala. Riječ "oval" ne treba shvatiti u filistarskom smislu ("dijete je nacrtalo oval" itd.). Ovo je matematički termin sa detaljnom formulacijom. Svrha ove lekcije nije razmatranje teorije ovala i njihovih različitih tipova, kojima se praktički ne pridaje pažnja u standardnom kursu analitičke geometrije. I, u skladu sa aktuelnijim potrebama, odmah prelazimo na striktnu definiciju elipse:

Elipsa- ovo je skup svih tačaka ravni, zbir udaljenosti do svake od dvije date tačke, tzv. trikovi elipse, je konstantna vrijednost, numerički jednaka dužini glavne ose ove elipse: .
U ovom slučaju, udaljenost između žarišta je manja od ove vrijednosti: .

Sada će biti jasnije:

Zamislite da se plava tačka "vozi" po elipsi. Dakle, bez obzira koju tačku elipse uzmemo, zbir dužina segmenata će uvijek biti isti:

Uvjerimo se da je u našem primjeru vrijednost sume zaista jednaka osam. Mentalno stavite tačku "em" u desni vrh elipse, a zatim: , što je trebalo provjeriti.

Drugi način crtanja elipse zasniva se na definiciji elipse. Viša matematika je ponekad uzrok napetosti i stresa, pa je vrijeme za još jednu seansu rasterećenja. Uzmite komad papira ili veliki list kartona i pričvrstite ga na stol sa dva eksera. To će biti trikovi. Zavežite zeleni konac na izbočene glave noktiju i povucite ga do kraja olovkom. Vrat olovke će biti u nekom trenutku, koji pripada elipsi. Sada počnite voditi olovku preko lista papira, držeći zelenu nit vrlo zategnutom. Nastavite proces dok se ne vratite na početnu tačku...odlično...crtež se može predati na provjeru od strane doktora nastavniku =)

Kako pronaći fokus elipse?

U gornjem primjeru prikazao sam "spremne" fokusne tačke, a sada ćemo naučiti kako ih izvući iz dubine geometrije.

Ako je elipsa data kanonskom jednadžbom , tada njena žarišta imaju koordinate , gdje je udaljenost od svakog od fokusa do centra simetrije elipse.

Proračuni su lakši od repe na pari:

! Sa značenjem "ce" nemoguće je identificirati specifične koordinate trikova! Ponavljam, ovo je UDALJENOST od svakog fokusa do centra(koji u opštem slučaju ne mora da se nalazi tačno na početku).
Stoga se ni razmak između žarišta ne može vezati za kanonski položaj elipse. Drugim riječima, elipsa se može premjestiti na drugo mjesto i vrijednost će ostati nepromijenjena, dok će trikovi, naravno, promijeniti svoje koordinate. Imajte to na umu dok dalje istražujete temu.

Ekscentricitet elipse i njeno geometrijsko značenje

Ekscentricitet elipse je omjer koji može uzeti vrijednosti unutar .

u našem slučaju:

Hajde da saznamo kako oblik elipse zavisi od njenog ekscentriciteta. Za ovo popraviti lijevi i desni vrh elipse koja se razmatra, odnosno, vrijednost velike poluose će ostati konstantna. Tada će formula ekscentriciteta poprimiti oblik: .

Počnimo da aproksimiramo vrijednost ekscentriciteta na jedinicu. Ovo je moguće samo ako . Šta to znači? ...sećanje na trikove . To znači da će se žarišta elipse "raspršiti" duž ose apscise do bočnih vrhova. A kako „zeleni segmenti nisu gumeni“, elipsa će se neminovno početi spljoštavati, pretvarajući se u sve tanju i tanju kobasicu nanizanu na os.

Na ovaj način, što je ekscentricitet elipse bliži jedinici, to je elipsa duguljasta.

Sada simulirajmo suprotan proces: žarišta elipse išli jedan prema drugom, približavajući se centru. To znači da je vrijednost "ce" sve manja i, shodno tome, ekscentricitet teži nuli: .
U ovom slučaju, "zeleni segmenti", naprotiv, "postat će gužve" i počet će "gurati" liniju elipse gore-dolje.

Na ovaj način, što je vrijednost ekscentriciteta bliža nuli, to više izgleda elipsa... pogledajte granični slučaj, kada se žarišta uspješno ponovo ujedine u izvorištu:

Krug je poseban slučaj elipse

Zaista, u slučaju jednakosti poluosi, kanonska jednadžba elipse poprima oblik, koji se refleksivno transformira u dobro poznatu kružnu jednačinu iz škole sa centrom u početku poluprečnika "a".

U praksi se češće koristi notacija sa "govornim" slovom "er":. Poluprečnik se naziva dužina segmenta, dok je svaka tačka kružnice udaljena od centra za udaljenost poluprečnika.

Imajte na umu da definicija elipse ostaje potpuno ispravna: fokusi se poklapaju, a zbir dužina podudarnih segmenata za svaku tačku na kružnici je konstantna vrijednost. Budući da je udaljenost između žarišta ekscentricitet bilo koje kružnice je nula.

Krug se gradi lako i brzo, dovoljno je naoružati se kompasom. Ipak, ponekad je potrebno saznati koordinate neke od njegovih tačaka, u ovom slučaju idemo poznatim putem - dovodimo jednačinu u veseli Matanov oblik:

je funkcija gornjeg polukruga;
je funkcija donjeg polukruga.

Zatim nalazimo željene vrijednosti, diferencibilan, integrisati i činite druge dobre stvari.

Članak je, naravno, samo za referencu, ali kako se može živjeti bez ljubavi na svijetu? Kreativni zadatak za samostalno rješavanje

Primjer 2

Sastavite kanonsku jednačinu elipse ako su poznati jedno od njenih žarišta i mala poluosa (centar je u ishodištu). Pronađite vrhove, dodatne tačke i nacrtajte liniju na crtežu. Izračunajte ekscentricitet.

Rješenje i crtež na kraju lekcije

Dodajmo akciju:

Rotirajte i prevedite elipsu

Vratimo se kanonskoj jednadžbi elipse, odnosno uslovu čija zagonetka muči radoznale umove od prvog spominjanja ove krive. Ovdje smo razmatrali elipsu , ali u praksi ne može jednačina ? Ipak, i ovdje se čini da je kao elipsa!

Takva jednadžba je rijetka, ali se sreće. I definiše elipsu. Rastjerajmo mistiku:

Kao rezultat konstrukcije, dobija se naša izvorna elipsa, rotirana za 90 stepeni. To je, - ovo je nekanonski unos elipsa . Record!- jednačina ne specificira nijednu drugu elipsu, jer nema tačaka (fokusa) na osi koje bi zadovoljile definiciju elipse.

Predavanja iz algebre i geometrije. Semestar 1.

Predavanje 15. Elipsa.

Poglavlje 15

stavka 1. Osnovne definicije.

Definicija. Elipsa je GMT ravni, čiji je zbir udaljenosti do dvije fiksne tačke ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost.

Definicija. Udaljenost od proizvoljne tačke M ravni do fokusa elipse naziva se žarišnim radijusom tačke M.

Oznake:
su fokusi elipse,
su žarišni radijusi tačke M.

Po definiciji elipse, tačka M je tačka elipse ako i samo ako
je konstantna vrijednost. Ova konstanta se obično označava kao 2a:

. (1)

primeti, to
.

Po definiciji elipse, njena žarišta su fiksne tačke, tako da je i udaljenost između njih konstantna vrijednost za datu elipsu.

Definicija. Udaljenost između žarišta elipse naziva se žižna daljina.

Oznaka:
.

Iz trougla
sledi to
, tj.

.

Označite sa b broj jednak
, tj.

. (2)

Definicija. Stav

(3)

naziva se ekscentricitet elipse.

Hajde da uvedemo koordinatni sistem na datu ravan, koji ćemo nazvati kanonskim za elipsu.

Definicija. Osa na kojoj leže žarišta elipse naziva se fokalna osa.

Konstruirajmo kanonski PDSC za elipsu, vidi sl.2.

Odaberemo fokalnu osu kao apscisnu osu i povučemo os ordinate kroz sredinu segmenta
okomito na fokalnu osu.

Tada fokusi imaju koordinate
,
.

tačka 2. Kanonska jednadžba elipse.

Teorema. U kanonskom koordinatnom sistemu za elipsu, jednačina elipse ima oblik:

. (4)

Dokaz. Dokaz ćemo provesti u dvije faze. U prvoj fazi ćemo dokazati da koordinate bilo koje tačke koja leži na elipsi zadovoljavaju jednačinu (4). U drugoj fazi ćemo dokazati da svako rješenje jednadžbe (4) daje koordinate tačke koja leži na elipsi. Odavde će slijediti da jednačinu (4) zadovoljavaju one i samo one tačke koordinatne ravni koje leže na elipsi. Odavde i iz definicije jednačine krive slijedi da je jednačina (4) jednačina elipse.

1) Neka je tačka M(x, y) tačka elipse, tj. zbir njegovih žarišnih radijusa je 2a:

.

Koristimo formulu za udaljenost između dvije tačke na koordinatnoj ravni i pronalazimo žarišne polumjere date tačke M koristeći ovu formulu:

,
, odakle dobijamo:

Pomaknimo jedan korijen na desnu stranu jednakosti i kvadriramo ga:

Smanjenjem dobijamo:

Dajemo slične, smanjimo za 4 i izolujemo radikal:

.

We square

Otvorite zagrade i skratite
:

odakle dobijamo:

Koristeći jednakost (2) dobijamo:

.

Posljednju jednakost dijelimo sa
, dobijamo jednakost (4), p.t.d.

2) Neka sada par brojeva (x, y) zadovoljava jednačinu (4) i neka je M(x, y) odgovarajuća tačka na Oxy koordinatnoj ravni.

Tada iz (4) slijedi:

.

Ovu jednakost zamjenjujemo u izraz za žarišne polumjere tačke M:

.

Ovdje smo koristili jednakost (2) i (3).

Na ovaj način,
. Isto tako,
.

Zapazimo sada da iz jednakosti (4) slijedi da

ili
i zato
, onda slijedi sljedeća nejednakost:

.

Iz ovoga, pak, slijedi da

ili
i

,
. (5)

Iz jednakosti (5) slijedi da je
, tj. tačka M(x, y) je tačka elipse, itd.

Teorema je dokazana.

Definicija. Jednačina (4) se zove kanonska jednačina elipse.

Definicija. Kanonske koordinatne ose za elipsu nazivaju se glavne ose elipse.

Definicija. Porijeklo kanonskog koordinatnog sistema za elipsu se naziva središte elipse.

tačka 3. Svojstva elipse.

Teorema. (Svojstva elipse.)

1. U kanonskom koordinatnom sistemu za elipsu, sve

tačke elipse su u pravougaoniku

,
.

2. Tačke leže na

3. Elipsa je kriva simetrična oko sebe

njihove glavne ose.

4. Centar elipse je njen centar simetrije.

Dokaz. 1, 2) Odmah slijedi iz kanonske jednačine elipse.

3, 4) Neka je M(x, y) proizvoljna tačka elipse. Tada njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu (4). Ali tada i koordinate tačaka zadovoljavaju jednačinu (4) i, prema tome, one su tačke elipse, iz koje slijede tvrdnje teoreme.

Teorema je dokazana.

Definicija. Veličina 2a naziva se glavna osa elipse, a veličina a naziva se glavna poluosa elipse.

Definicija. Veličina 2b naziva se mala osa elipse, veličina b naziva se mala poluosa elipse.

Definicija. Točke preseka elipse sa njenim glavnim osama nazivaju se vrhovi elipse.

Komentar. Elipsa se može konstruisati na sledeći način. U avionu "zabijamo ekser" u trikove i na njih pričvršćujemo konac dužine
. Zatim uzmemo olovku i njome razvučemo konac. Zatim pomičemo olovku olovke duž ravnine, pazeći da je konac u zategnutom stanju.

Iz definicije ekscentriciteta slijedi da

Fiksiramo broj a i pustimo da c teži nuli. Zatim u
,
i
. U limitu koji dobijamo

ili
je jednačina kružnice.

Pokušajmo sada
. Onda
,
i vidimo da se u granici elipsa degeneriše u segment
u oznakama na slici 3.

tačka 4. Parametarske jednadžbe elipse.

Teorema. Neka
su proizvoljni realni brojevi. Zatim sistem jednačina

,
(6)

su parametarske jednačine elipse u kanonskom koordinatnom sistemu za elipsu.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da je sistem jednačina (6) ekvivalentan jednačini (4), tj. imaju isti skup rješenja.

1) Neka je (x, y) proizvoljno rješenje sistema (6). Podijelite prvu jednačinu sa a, drugu sa b, kvadrirajte obje jednadžbe i dodajte:

.

One. svako rješenje (x, y) sistema (6) zadovoljava jednačinu (4).

2) Obrnuto, neka je par (x, y) rješenje jednačine (4), tj.

.

Iz ove jednakosti slijedi da je tačka sa koordinatama
leži na kružnici jediničnog poluprečnika sa središtem u početku, tj. je tačka trigonometrijskog kruga, koja odgovara nekom uglu
:

Iz definicije sinusa i kosinusa, to odmah slijedi

,
, gdje
, odakle slijedi da je par (x, y) rješenje sistema (6) itd.

Teorema je dokazana.

Komentar. Elipsa se može dobiti kao rezultat ujednačenog "komprimiranja" kruga polumjera a na osu apscise.

Neka
je jednadžba kružnice sa središtem u početku. "Kompresija" kružnice na os apscise nije ništa drugo do transformacija koordinatne ravni, izvedena prema sljedećem pravilu. Svakoj tački M(x, y) stavljamo u korespondenciju tačku iste ravni
, gdje
,
je faktor "kompresije".

Ovom transformacijom svaka tačka kružnice "prelazi" u drugu tačku u ravni, koja ima istu apscisu, ali manju ordinatu. Izrazimo staru ordinatu tačke u terminima nove:

i zamijeni u jednadžbu kruga:

.

Odavde dobijamo:

. (7)

Iz ovoga slijedi da ako prije transformacije „kompresije“ tačka M(x, y) leži na kružnici, tj. njene koordinate su zadovoljile jednadžbu kružnice, a zatim je nakon transformacije "kompresije" ova tačka "prešla" u tačku
, čije koordinate zadovoljavaju jednačinu elipse (7). Ako želimo da dobijemo jednadžbu elipse sa malom poluosom b, onda moramo uzeti faktor kompresije

.

tačka 5. Tangenta na elipsu.

Teorema. Neka
- proizvoljna tačka elipse

.

Zatim jednačina tangente na ovu elipsu u tački
izgleda kao:

. (8)

Dokaz. Dovoljno je razmotriti slučaj kada tačka dodira leži u prvoj ili drugoj četvrtini koordinatne ravni:
. Jednačina elipse u gornjoj poluravni ima oblik:

. (9)

Koristimo jednadžbu tangente na graf funkcije
u tački
:

gdje
je vrijednost derivacije ove funkcije u tački
. Elipsa u prvoj četvrtini može se posmatrati kao grafik funkcije (8). Nađimo njegov derivat i njegovu vrijednost na tački kontakta:

,

. Ovdje smo iskoristili činjenicu da je dodirna tačka
je tačka elipse i stoga njene koordinate zadovoljavaju jednačinu elipse (9), tj.

.

Pronađenu vrijednost derivacije zamjenjujemo u tangentnu jednadžbu (10):

,

odakle dobijamo:

Ovo implicira:

Podijelimo ovu jednačinu na
:

.

Ostaje to primijetiti
, jer dot
pripada elipsi i njene koordinate zadovoljavaju njenu jednadžbu.

Jednačina tangente (8) dokazuje se slično u tački tangente koja leži u trećoj ili četvrtoj četvrtini koordinatne ravni.

I, konačno, lako možemo vidjeti da jednačina (8) daje jednačinu tangente u tačkama
,
:

ili
, i
ili
.

Teorema je dokazana.

tačka 6. Svojstvo ogledala elipse.

Teorema. Tangenta na elipsu ima jednake uglove sa žarišnim radijusima tangentne tačke.

Neka
- tačka kontakta
,
su žarišni radijusi tangentne tačke, P i Q su projekcije žarišta na tangentu povučenu na elipsu u tački
.

Teorema to kaže

. (11)

Ova jednakost se može protumačiti kao jednakost uglova upada i refleksije svjetlosnog snopa od elipse oslobođene svog fokusa. Ovo svojstvo se naziva svojstvom ogledala elipse:

Snop svjetlosti emitiran iz fokusa elipse, nakon refleksije od ogledala elipse, prolazi kroz drugi fokus elipse.

Dokaz teoreme. Da bismo dokazali jednakost uglova (11), dokazujemo sličnost trokuta
i
, u kojoj su strane
i
će biti slično. Budući da su trouglovi pravokutni, dovoljno je dokazati jednakost

Definicija. Elipsa je geometrijsko mjesto tačaka u ravni, zbir udaljenosti svake od njih od dvije date tačke ove ravni, koje se nazivaju fokusi, je konstantna vrijednost (pod uvjetom da je ta vrijednost veća od udaljenosti između žarišta).

Označimo žarišta kroz rastojanje između njih - kroz , i konstantnu vrijednost jednaku zbroju udaljenosti od svake tačke elipse do žarišta, kroz (uslovom ).

Izgradimo Dekartov koordinatni sistem tako da su fokusi na osi apscise, a ishodište koordinata se poklapa sa sredinom segmenta (Sl. 44). Tada će fokusi imati sljedeće koordinate: lijevi fokus i desni fokus. Izvedemo jednačinu elipse u koordinatnom sistemu koji smo odabrali. U tu svrhu razmotrite proizvoljnu tačku elipse. Po definiciji elipse, zbir udaljenosti od ove tačke do žarišta je:

Koristeći formulu za rastojanje između dve tačke, dobijamo, dakle,

Da bismo pojednostavili ovu jednačinu, zapisujemo je u obliku

Tada kvadriranje obje strane jednačine daje

ili, nakon očiglednih pojednostavljenja:

Sada ponovo kvadriramo obje strane jednadžbe, nakon čega ćemo imati:

ili, nakon identičnih transformacija:

Budući da je prema uvjetu u definiciji elipse , tada je pozitivan broj. Uvodimo notaciju

Tada će jednačina poprimiti sljedeći oblik:

Po definiciji elipse, koordinate bilo koje njene tačke zadovoljavaju jednačinu (26). Ali jednačina (29) je posljedica jednačine (26). Prema tome, ona takođe zadovoljava koordinate bilo koje tačke elipse.

Može se pokazati da koordinate tačaka koje ne leže na elipsi ne zadovoljavaju jednačinu (29). Dakle, jednačina (29) je jednačina elipse. Zove se kanonska jednadžba elipse.

Uspostavimo oblik elipse koristeći njenu kanonsku jednadžbu.

Prije svega, imajte na umu da ova jednadžba sadrži samo parne potencije x i y. To znači da ako bilo koja tačka pripada elipsi, onda uključuje i tačku koja je simetrična sa tačkom oko ose apscise i tačku koja je simetrična sa tačkom oko y-ose. Dakle, elipsa ima dvije međusobno okomite ose simetrije, koje se u našem odabranom koordinatnom sistemu poklapaju sa koordinatnim osa. Osi simetrije elipse zvaćemo osi elipse, a tačka njihovog preseka - centar elipse. Osa na kojoj se nalaze žarišta elipse (u ovom slučaju osa apscise) naziva se fokalna os.

Odredimo oblik elipse prvo u prvoj četvrtini. Da bismo to učinili, rješavamo jednačinu (28) s obzirom na y:

Očigledno je da ovdje , budući da y uzima imaginarne vrijednosti za . Sa povećanjem od 0 do a, y se smanjuje sa b na 0. Dio elipse koji leži u prvoj četvrtini bit će luk omeđen tačkama B (0; b) i koji leži na koordinatnim osa (slika 45). Koristeći sada simetriju elipse, zaključujemo da elipsa ima oblik prikazan na sl. 45.

Tačke preseka elipse sa osama nazivaju se vrhovi elipse. Iz simetrije elipse proizilazi da, pored vrhova, elipsa ima još dva vrha (vidi sliku 45).

Segmenti i spojni suprotni vrhovi elipse, kao i njihove dužine, nazivaju se velika i mala osa elipse, respektivno. Brojevi a i b nazivaju se glavna i mala poluos elipse, respektivno.

Omjer polovice udaljenosti između žarišta i velike poluose elipse naziva se ekscentricitet elipse i obično se označava slovom:

Budući da je , Tada je ekscentricitet elipse manji od jedan: Ekscentricitet karakterizira oblik elipse. Zaista, iz formule (28) proizlazi, iz ovoga se može vidjeti da što je manji ekscentricitet elipse, to se njena mala poluos b manje razlikuje od velike poluose a, tj. što je elipsa manje produžena (duž žarišta osa).

U graničnom slučaju, kada dobijete krug radijusa a: , ili . Istovremeno, žarišta elipse, takoreći, spajaju se u jednoj tački - centru kruga. Ekscentricitet kruga je nula:

Veza između elipse i kruga može se uspostaviti i sa druge tačke gledišta. Pokažimo da se elipsa sa poluosama a i b može smatrati projekcijom kružnice poluprečnika a.

Razmotrimo dvije ravni P i Q, koje između sebe formiraju takav ugao a, za koji (Sl. 46). Konstruirajmo koordinatni sistem u ravni P, i Oxy sistem u Q ravni sa zajedničkim ishodištem O i zajedničkom osom apscise koja se poklapa sa linijom preseka ravnina. Razmotrimo kružnicu u ravni P

sa središtem na ishodištu i poluprečniku a. Neka je proizvoljno odabrana tačka kružnice, njena projekcija na Q ravan i neka je projekcija tačke M na osu Ox. Pokažimo da tačka leži na elipsi sa poluosama a i b.