Napišite formule za razlikovanje osnovnih elementarnih funkcija. Formule i pravila za diferencijaciju (pronalaženje derivacije)
Tablica izvoda elementarnih funkcija
Definicija 1
Izračunavanje derivata se zove diferencijaciju.
Označite derivaciju $y"$ ili $\frac(dy)(dx)$.
Napomena 1
Da bi se pronašao izvod funkcije, prema osnovnim pravilima, diferencijacija se pretvara u drugu funkciju.
Razmotrite tabelu izvedenica. Obratimo pažnju na činjenicu da se funkcije nakon pronalaženja njihovih izvoda transformiraju u druge funkcije.
Jedini izuzetak je $y=e^x$, koji se pretvara u sebe.
Pravila diferencijacije izvoda
Najčešće, pri pronalaženju derivacije, potrebno je ne samo pogledati tablicu derivacija, već prvo primijeniti pravila diferencijacije i dokaz derivacije proizvoda, a tek onda koristiti tablicu izvoda elementarnih funkcija. .
1. Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije
$C$ je konstanta (konstanta).
Primjer 1
Razlikujte funkciju $y=7x^4$.
Rješenje.
Pronađite $y"=(7x^4)"$. Izvadimo broj $7$ za znak derivacije, dobijemo:
$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$
koristeći tablicu, morate pronaći vrijednost derivacije funkcije snage:
$=7 \cdot 4x^3=$
Rezultat transformiramo u oblik prihvaćen u matematici:
odgovor:$28x^3$.
2. Derivat zbira (razlike) jednak je zbiru (razlici) izvoda:
$(u \pm v)"=u" \pm v"$.
Primjer 2
Razlikujte funkciju $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$.
Rješenje.
$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$
primijeniti pravilo diferencijacije zbira i razlike izvedenica:
$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\cot x)"=$
imajte na umu da se prilikom diferenciranja sve potencije i korijeni moraju transformirati u oblik $x^(\frac(a)(b))$;
uzimamo sve konstante iz predznaka derivacije:
$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\cot x)"=$
$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$
nakon što smo se pozabavili pravilima diferencijacije, neka od njih (na primjer, kao posljednja dva) se primjenjuju istovremeno kako bi se izbjeglo ponovno pisanje dugog izraza;
dobili smo izraz iz elementarnih funkcija pod znakom derivacije; Koristimo tabelu izvedenica:
$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$
transformirati u formu prihvaćenu u matematici:
$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x)$
Imajte na umu da je pri pronalaženju rezultata uobičajeno pretvaranje pojmova s razlomcima u korijene, a s negativnim u razlomke.
Odgovori: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x )$.
3. Formula za derivaciju proizvoda funkcija:
$(uv)"=u" v+uv"$.
Primjer 3
Razlikujte funkciju $y=x^(11) \ln x$.
Rješenje.
Prvo primjenjujemo pravilo za izračunavanje derivacije proizvoda funkcija, a zatim koristimo tablicu derivacija:
$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnthx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$.
Odgovori: $x^(10) (11 \ln x-1)$.
4. Formula za izvod privatne funkcije:
$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.
Primjer 4
Razlikujte funkciju $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$.
Rješenje.
$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$
prema pravilima prvenstva matematičkih operacija prvo vršimo dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje, pa prvo primjenjujemo pravilo za izračunavanje izvoda količnika:
$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$
primijeni pravila derivacije zbira i razlike, otvori zagrade i pojednostavi izraz:
$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .
odgovor:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.
Primjer 5
Hajde da razlikujemo funkciju $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$.
Rješenje.
Funkcija y je količnik dvije funkcije, tako da možemo primijeniti pravilo za izračunavanje derivacije količnika, ali u ovom slučaju dobijamo glomaznu funkciju. Da biste pojednostavili ovu funkciju, možete podijeliti brojilac sa nazivnikom po članu:
$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.
Primijenimo na pojednostavljenu funkciju pravilo diferencijacije zbira i razlike funkcija:
$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$
$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.
Odgovori: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.
Neka je funkcija y = f(x) definirana u intervalu X. derivat funkcija y \u003d f (x) u tački x o naziva se granica
=
.
Ako je ova granica konačan, tada se poziva funkcija f(x). diferencibilan u tački x o; štaviše, ispostavlja se da je u ovom trenutku nužno i kontinuirano.
Ako je razmatrana granica jednaka (ili - ), onda pod uvjetom da je funkcija u tački X o je kontinuirana, reći ćemo da funkcija f(x) ima u tački X o beskonačni derivat.
Izvod je označen simbolima
y , f (x o), , .
Pronalaženje derivacije se zove diferencijaciju funkcije. Geometrijsko značenje izvedenice je da je derivacija nagib tangente na krivulju y=f(x) u datoj tački X o ; fizičko čulo - u tome što je vremenski izvod puta trenutna brzina pokretne tačke u pravolinijskom kretanju s = s(t) u trenutku t o .
Ako a With je konstantan broj, a u = u(x), v = v(x) su neke diferencibilne funkcije, tada vrijede sljedeća pravila diferencijacije:
1) (c) " = 0, (cu) " = cu";
2) (u+v)" = u"+v";
3) (uv)" \u003d u "v + v" u;
4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;
5) ako je y = f(u), u = (x), tj. y = f((x)) - složena funkcija, ili superpozicija, sastavljena od diferencijabilnih funkcija i f, zatim , ili
6) ako za funkciju y = f(x) postoji inverzna diferencijabilna funkcija x = g(y), i 0, onda .
Na osnovu definicije izvoda i pravila diferencijacije može se sastaviti lista tabelarnih izvoda osnovnih elementarnih funkcija.
1. (u )" = u 1 u" ( R).
2. (a u)" = a u lna u".
3. (e u)" = e u u".
4. (log a u)" = u"/(u ln a).
5. (ln u)" = u"/u.
6. (sin u)" = cos u u".
7. (cos u)" = - sin u u".
8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".
9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.
10. (arcsin u)" = u" / .
11. (arccos u)" = - u" / .
12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).
13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).
Izračunajmo izvod eksponencijalnog izraza y=u v , (u>0), gdje je u i v suštinu funkcije X imaju derivate u datoj tački u",v".
Uzimajući logaritam jednakosti y=u v, dobijamo ln y = v ln u.
Izjednačavanje izvedenica u odnosu na X iz oba dijela dobivene jednakosti korištenjem pravila 3, 5 i formule za izvod logaritamske funkcije imat ćemo:
y"/y = vu"/u + v" ln u, odakle je y" = y (vu"/u + v" ln u).
(u v)"=u v (vu"/u+v" log u), u > 0.
Na primjer, ako je y = x sin x, onda y" = x sin x (sin x / x + cos x ln x).
Ako je funkcija y = f(x) diferencijabilna u nekoj tački x, tj. ima konačan izvod u ovoj tački y", tada je = y "+, gdje je 0 na h 0; dakle y = y" h + x.
Glavni dio prirasta funkcije, linearan u odnosu na x, se poziva diferencijal funkcije i označeno je sa dy: dy = y "x. Ako u ovu formulu stavimo y = x, onda dobijamo dx = x" x = 1x = x, dakle dy \u003d y "dx, tj. simbol za notaciju derivacije može se smatrati razlomkom.
Povećanje funkcije y je prirast ordinate krive, a diferencijal d y je prirast ordinate tangente.
Nađimo za funkciju y=f(x) njen izvod y = f (x). Izvod ovog derivata se zove derivat drugog reda funkcije f(x), ili drugi derivat, i označeno 
.
Na isti način se definiraju i označavaju sljedeće:
derivat trećeg reda
-
,
derivat četvrtog reda -
i uopšteno govoreći derivat n-tog reda
-
.
Primjer 3.15. Izračunajte derivaciju funkcije y=(3x 3 -2x+1)sin x.
Rješenje. Po pravilu 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1) cos x.
Primjer 3.16 . Pronađite y", y = tg x + .
Rješenje. Koristeći pravila za razlikovanje zbira i količnika, dobijamo: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + 
=
.
Primjer 3.17. Naći derivaciju kompleksne funkcije y= , u=x 4 +1.
Rješenje. Prema pravilu diferencijacije složene funkcije, dobijamo: y "x \u003d y " u u" x = () " u (x 4 +1)" x = (2u +. Budući da je u \u003d x 4 +1, zatim (2 x 4 + 2+ 
.
U svim formulama ispod, slova u i v diferencibilne funkcije nezavisne varijable su označene x: , 
, ali slovima a, c, n- trajno:
1. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Preostale formule su napisane i za funkcije nezavisne varijable i za složene funkcije:
8. 
9. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
7a. 
8a. 
9a. 
11a. 
12a. 
13a. 
16a. 
17a. 
Prilikom rješavanja primjera u nastavku, prave se detaljne bilješke. Međutim, treba naučiti razlikovati bez srednjih unosa.
Primjer 1 Pronađite izvod funkcije 
.
Rješenje. Ova funkcija je algebarski zbir funkcija. Razlikujemo ga pomoću formula 3, 5, 7 i 8:
Primjer 2 Pronađite izvod funkcije 
Rješenje. Primjenom formula 6, 3, 7 i 1, dobijamo
Primjer 3 Pronađite izvod funkcije 
i izračunajte njegovu vrijednost na 
Rješenje. Ovo je složena funkcija sa srednjim argumentom. Koristeći formule 7a i 10, imamo
.
Primjer 4 Pronađite izvod funkcije 
.
Rješenje. Ovo je složena funkcija sa srednjim argumentom. Primjenom formula 3, 5, 7a, 11, 16a dobijamo
Primjer 5 Pronađite izvod funkcije 
.
Rješenje. Ovu funkciju razlikujemo formulama 6, 12, 3 i 1:
Primjer 6 Pronađite izvod funkcije 
i izračunajte njegovu vrijednost na .
Rješenje. Prvo transformiramo funkciju koristeći svojstva logaritama:
Sada razlikujemo po formulama 3, 16a, 7 i 1:
.
Izračunajmo vrijednost derivacije na .
Primjer 7 Pronađite derivaciju funkcije i izračunajte njenu vrijednost na .
Rješenje. Koristimo formule 6, 3, 14a, 9a, 5 i 1:
.
Izračunajte vrijednost derivata na:
.
Geometrijsko značenje izvedenice.
Izvod funkcije ima jednostavnu i važnu geometrijsku interpretaciju.
Ako je funkcija 
diferencibilan u jednoj tački X, tada graf ove funkcije ima tangentu u odgovarajućoj tački, a nagib tangente je jednak vrijednosti derivacije u tački koja se razmatra.
Nagib tangente povučene na graf funkcije 
u tački ( X 0 , at 0), jednak je vrijednosti derivacije funkcije at x = x 0 , tj. 
.
Jednačina za ovu tangentu ima oblik
Primjer 8. Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije 
u tački A (3.6).
Rješenje. Da bismo pronašli nagib tangente, nalazimo derivaciju ove funkcije:
X= 3:
Tangentna jednačina ima oblik
, ili 
, tj. 
Primjer 9 Sastaviti jednadžbu tangente povučene na graf funkcije u tački sa apscisom x=2.
Rješenje. Prvo pronađite ordinatu dodirne tačke. Pošto tačka A leži na krivoj, njene koordinate zadovoljavaju jednačinu krive, tj.
; 
.
Jednačina tangente povučene na krivu u tački ima oblik 
. Da bismo pronašli nagib tangente, nalazimo derivaciju:
.
Nagib tangente jednak je vrijednosti derivacije funkcije at X= 2:
Jednačina tangente je:
, 
, tj. 
Fizičko značenje izvedenice. Ako se tijelo kreće pravolinijski prema zakonu s=s(t), zatim na određeno vrijeme (od trenutka t do trenutka 
) proći će na neki način. Zatim postoji prosječna brzina kretanja za određeni vremenski period.
brzina pokreti tela u datom trenutku t naziva se granica omjera puta i priraštaja vremena, kada prirast vremena teži nuli:
.
Dakle, vremenski izvod puta s t jednaka brzini pravolinijskog kretanja tijela u datom trenutku:
.
Brzina fizičkih, hemijskih i drugih procesa takođe se izražava pomoću derivata.
Derivat funkcije jednaka je stopi promjene ove funkcije za datu vrijednost argumenta X:
Primjer 10 Zakon kretanja tačke duž prave dat je formulom 
(s - u metrima, t - u sekundama). Pronađite brzinu tačke na kraju prve sekunde.
Rješenje. Brzina tačke u datom trenutku jednaka je derivaciji putanje s po vremenu t:
,
Dakle, brzina tačke na kraju prve sekunde je 9 m/s.
Primjer 11. Tijelo bačeno vertikalno naviše kreće se prema zakonu , gdje v 0 - početna brzina, g je ubrzanje slobodnog pada. Pronađite brzinu ovog kretanja za bilo koji trenutak t. Koliko dugo će se tijelo dizati i na koju visinu će se podići ako v0= 40 m/s?
Rješenje. Brzina kojom se tačka kreće u datom trenutku t jednaka derivaciji putanje s po vremenu t:
.
Na najvišoj tački uspona, brzina tijela je nula:
, 
, , 
, 
With.
Preko 40/ g sekundi telo se podiže na visinu
, 
m.
Drugi derivat.
Derivat funkcije općenito je funkcija X. Ako izračunamo izvod ove funkcije, onda ćemo dobiti izvod drugog reda ili drugi izvod funkcije .
Drugi derivat funkcije naziva se derivat njegovog prvog izvoda 
.
Drugi izvod funkcije označava se jednim od simbola - , , . Na ovaj način, 
.
Derivati bilo kog reda se definišu i označavaju na sličan način. Na primjer, derivat trećeg reda:
ili 
,
Primjer 12. 
.
Rješenje. Prvo nađemo prvi izvod
Primjer 13 Pronađite drugi izvod funkcije 
i izračunajte njegovu vrijednost na x=2.
Rješenje. Prvo nalazimo prvi izvod:
Ponovo diferencirajući, nalazimo drugu derivaciju:
Izračunajmo vrijednost drugog izvoda at x=2; imamo
Fizičko značenje druge izvedenice.
Ako se tijelo kreće pravolinijski prema zakonu s = s(t), zatim drugi izvod putanje s po vremenu t jednako ubrzanju tijela u datom trenutku t:
Dakle, prvi izvod karakterizira brzinu nekog procesa, a drugi izvod karakterizira ubrzanje istog procesa.
Primjer 14 Tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom 
. Pronađite brzinu i ubrzanje kretanja 
.
Rješenje. Brzina tijela u datom trenutku jednaka je derivaciji putanje s po vremenu t, a ubrzanje je drugi izvod puta s po vremenu t. Mi nalazimo:
; onda ;
; onda 
Primjer 15 Brzina pravolinijskog kretanja proporcionalna je kvadratnom korijenu prijeđene putanje (kao, na primjer, u slobodnom padu). Dokažite da se ovo kretanje dešava pod dejstvom konstantne sile.
Rješenje. Prema Newtonovom zakonu, sila F koja uzrokuje kretanje proporcionalna je ubrzanju, tj.
ili 
Prema stanju 
. Razlikovanjem ove jednakosti nalazimo
Dakle, djelujuća sila 
.
Primjena derivacije na proučavanje funkcije.
1) Uslov za povećanje funkcije: Diferencijabilna funkcija y = f(x) monotono raste na intervalu X ako i samo ako je njen izvod veći od nule, tj. y = f(x) f'(x) > 0. Ovaj uslov geometrijski znači da tangenta na graf ove funkcije formira oštar ugao sa pozitivnim smerom prema x-osi.
2) Uslov da se funkcija smanji: Diferencijabilna funkcija y = f(x) monotono opada na intervalu X ako i samo ako je njen izvod manji od nule, tj.
y = f(x)↓ f'(x) Ovaj uslov geometrijski znači da tangenta na graf ove funkcije formira tupi ugao s pozitivnim smjerom ose oX)
3) Uslov konstantnosti funkcije: Diferencijabilna funkcija y = f(x) je konstantna na intervalu X ako i samo ako je njen izvod jednak nuli, tj. y = f(x) - konstanta f'(x) = 0. Ovaj uvjet geometrijski znači da je tangenta na graf ove funkcije paralelna s osom oX, tj. α = 0)
Ekstremi funkcije.
Definicija 1: Poziva se tačka x = x 0 minimalna tačka funkcija y = f(x), ako ova tačka ima susjedstvo, za sve točke koje (osim za samu tačku) vrijedi nejednakost f(x)> f(x 0)
2. definicija: Poziva se tačka x = x 0 maksimalni poen funkcija y = f(x) ako ova tačka ima susjedstvo za sve točke čije je (osim za samu tačku) nejednakost f(x)< f(x 0).
Definicija 3: Minimalna ili maksimalna tačka funkcije naziva se tačka ekstrem. Vrijednost funkcije u ovoj tački naziva se ekstremna.
Napomene: 1. Maksimalna (minimalna) nije nužno maksimalna (najmanja) vrijednost funkcije;
2. Funkcija može imati nekoliko maksimuma ili minimuma;
3. Funkcija definirana na segmentu može doseći ekstrem samo u unutrašnjim tačkama ovog segmenta.
5) Neophodan uslov za ekstrem: Ako funkcija y \u003d f (x) ima ekstrem u tački x = x 0, tada je u ovoj tački izvod jednak nuli ili ne postoji. Ove tačke se nazivaju kritične tačke 1. vrste.
6) Dovoljni uslovi za postojanje ekstremuma funkcije: Neka je funkcija y = f (x) kontinuirana na intervalu X i ima unutar ovog intervala kao kritičnu tačku 1. vrste x = x 0, tada:
a) ako ova tačka ima okolinu u kojoj je za x< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f’(x) > 0, tada je x = x 0 tačka minimum funkcije y = f(x);
b) ako ova tačka ima okolinu u kojoj je za x< х 0 f’(x) >0, a za x> x 0
f'(x)< 0, то х = х 0 является точкой maksimum funkcije y = f(x);
c) ako ova tačka ima takvu okolinu da su u njoj i desno i lijevo od tačke x 0 predznaci izvoda isti, onda u tački x 0 nema ekstrema.
Intervali opadajućih ili rastućih funkcija nazivaju se intervali. monotonija.
Definicija 1: Poziva se kriva y = f(x). konveksno nadole na intervalu a< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется konveksno gore na intervalu a< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
2. definicija: Pozivaju se intervali u kojima je graf funkcije konveksan prema gore ili prema dolje bubri u intervalima graf funkcije.
Dovoljan uslov da kriva bude konveksna. Graf diferencijabilne funkcije Y = f(x) je konveksno gore na intervalu a< х <в, если f”(x) < 0 и konveksno nadole, ako je f”(x) > 0.
Definicija 1: Pozivaju se tačke u kojima je drugi izvod nula ili ne postoji kritične tačke druge vrste.
2. definicija: Tačka grafa funkcije Y = f(x), koja razdvaja intervale konveksnosti suprotnih pravaca ovog grafa, naziva se tačka fleksija.
tačka pregiba
Primjer: Zadana funkcija y = x 3 - 2x 2 + 6x - 4. Istražite funkciju za intervale monotonosti i tačke ekstrema. Odredite pravac konveksnosti i pregibnih tačaka.
Rješenje: 1. Naći domenu funkcije: D(y) = ;
2. Pronađite prvi izvod: y’ = 3x 2 - 4x+ 6;
3. Rešimo jednačinu: y' = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0, tada ova jednačina nema rješenja, pa nema ekstremnih tačaka. y' , tada se funkcija povećava u cijeloj domeni definicije.
4. Naći drugi izvod: y” = 6x - 4;
5. Riješite jednačinu: y” = 0, 6x - 4 = 0, x =
Odgovor: ( ; - ) - tačka infleksije, funkcija je konveksna prema gore u x i konveksna prema gore u x
Asimptote.
1. Definicija: Asimptota krive je prava linija kojoj se graf date funkcije približava beskonačno.
2. Vrste asimptota:
1) Vertikalne asimptote. Graf funkcije y = f(x) ima vertikalnu asimptotu ako je . Jednačina vertikalne asimptote ima oblik x = a
2) Horizontalne asimptote. Graf funkcije y = f(x) ima horizontalnu asimptotu if 
. Jednačina horizontalne asimptote je y = b.
Primjer 1: Za funkciju y = pronađite asimptote.
3) Kose asimptote. Prava linija y = kx + b naziva se kosa asimptota grafa funkcije y = f(x) ako je . Vrijednosti k i b izračunavaju se po formulama: k = ; b = .
Rješenje: 
, tada je y = 0 horizontalna asimptota;
(pošto je x - 3 ≠ 0, x ≠ 3), tada je x = 3 vertikalna asimptota. 
,t. tj. k = 0, tada kriva nema kosu asimptotu.
Primjer 2: Za funkciju y = pronađite asimptote.
Rješenje: x 2 - 25 ≠ 0 sa x ≠ ± 5, tada su x \u003d 5 i x \u003d - 5 horizontalne asimptote;
y = , tada kriva nema vertikalnu asimptotu;
k = ; b = , tj. y = 5x - kosa asimptota.
Primjeri konstruiranja grafova funkcija.
Primjer 1.
Istražite funkciju i izgradite graf funkcije y \u003d x 3 - 6x 2 + 9x - 3
1. Odrediti domenu funkcije: D(y) = R
y (- x) = (- x) 3 - 6 (- x) 2 + 9 (-x) - 3 = - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 \u003d - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3), tj.
(y = x 5 - x 3 - neparno, y = x 4 + x 2 - parno)
3. Nije periodično.
4. Pronađite točke presjeka s koordinatnim osama: ako je x = 0, onda y = 3 (0; - 3)
ako je Y = 0, x je teško pronaći.
5. Pronađite asimptote grafa funkcije: Ne postoje vertikalne asimptote, jer nema x vrijednosti za koje je funkcija neodređena; y = , tj. ne postoje horizontalne asimptote;
k = , tj. nema kosih asimptota.
6. Ispitujemo funkciju za intervale monotonosti i njene ekstreme: y’ = 3x 2 - 12x + 9,
y'= 0, 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - kritične tačke 1. vrste.
Odredimo predznake izvoda: y'(0) = 9 > 0; y'(2) = - 3< 0; y’(4) = 9 > 0
y max = y(1) = 1, (1;1) - maksimalna tačka; y min \u003d y (3) = - 3, (3; - 3) - minimalna tačka, funkcija y za x i y 
.
7. Ispitujemo funkciju za intervale konveksnosti i pregibnih tačaka:
y” = (y’)’ = (3x 2 - 12x + 9)’ = 6x - 12, y” = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - kritična tačka 1. vrste.
Odredimo predznake drugog izvoda: y”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0
Y(2) = - 1 (2; - 1) - tačka pregiba, funkcija je konveksna na gore na x i konveksna na dole na x.
8. Dodatne točke:
| X | - 1 | |
| at | - 19 |
9. Napravimo graf funkcije:
Istražite funkciju i nacrtajte funkciju y =
1. Naći domenu funkcije: 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D(y) = .
2. Saznajte da li je data funkcija parna ili neparna: 
,
y(- x) ≠ y(x) nije paran i y(- x) ≠ - y(x) nije neparan
3. Nije periodično.
4. Pronađite točke presjeka s koordinatnim osa: x = 0, zatim y = 2; y = 0, onda 
, odnosno (0; - 2); ().
5. Naći asimptote grafa funkcije: pošto x ≠ 1, tada je prava x = 1 vertikalna asimptota;
Neka je funkcija y = f(x) definirana u intervalu X. derivat funkcija y \u003d f (x) u tački x o naziva se granica
Ako je ova granica konačan, tada se poziva funkcija f(x). diferencibilan u tački x o; štaviše, ispostavlja se da je u ovom trenutku nužno i kontinuirano.
Ako je razmatrana granica jednaka ¥ (ili - ¥), onda pod uvjetom da je funkcija u tački x o je kontinuirana, reći ćemo da funkcija f(x) ima u tački x o beskonačni izvod.
Izvod je označen simbolima
y ¢, f ¢(x o), , .
Pronalaženje derivacije se zove diferencijaciju funkcije. Geometrijsko značenje izvedenice je da je derivacija nagib tangente na krivulju y=f(x) u datoj tački x o; fizičko čulo - u tome što je derivacija putanje u odnosu na vrijeme trenutna brzina pokretne tačke tokom pravolinijskog kretanja s = s(t) u trenutku t o .
Ako a With je konstantan broj, a u = u(x), v = v(x) su neke diferencibilne funkcije, tada vrijede sljedeća pravila diferencijacije:
1) (c) " = 0, (cu) " = cu";
2) (u+v)" = u"+v";
3) (uv)" \u003d u "v + v" u;
4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;
5) ako je y = f(u), u = j(x), tj. y = f(j(x)) - složena funkcija, ili superpozicija, sastavljena od diferencijabilnih funkcija j i f, zatim , ili
6) ako za funkciju y = f(x) postoji inverzna diferencijabilna funkcija x = g(y), i ¹ 0, onda .
Na osnovu definicije izvoda i pravila diferencijacije može se sastaviti lista tabelarnih izvoda osnovnih elementarnih funkcija.
1. (u m)" = m u m - 1 u" (m O R).
2. (a u)" = a u lna × u".
3. (e u)" = e u u".
4. (log a u)" = u"/(u ln a).
5. (ln u)" = u"/u.
6. (sin u)" = cos u × u".
7. (cos u)" = - sin u × u".
8. (tg u)" = 1/ cos 2 u × u".
9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.
10. (arcsin u)" = u" / .
11. (arccos u)" = - u" / .
12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).
13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).
Izračunajte derivaciju eksponencijalnog izraza
y=u v , (u>0), gdje u i v suštinu funkcije X imaju derivate u datoj tački u",v".
Uzimajući logaritam jednakosti y=u v, dobijamo ln y = v ln u.
Izjednačavanje izvedenica u odnosu na X iz oba dijela dobivene jednakosti korištenjem pravila 3, 5 i formule za izvod logaritamske funkcije imat ćemo:
y"/y = vu"/u + v" ln u, odakle je y" = y (vu"/u + v" ln u).
(u v)"=u v (vu"/u+v" log u), u > 0.
Na primjer, ako je y = x sin x, onda y" = x sin x (sin x / x + cos x × ln x).
Ako je funkcija y = f(x) diferencijabilna u nekoj tački x, tj. ima konačan izvod u ovoj tački y", zatim \u003d y "+a, gdje je a®0 na Dx® 0; dakle D y \u003d y" Dx + a x.
Glavni dio prirasta funkcije, linearan u odnosu na Dx, se poziva diferencijalna funkcija i označava se dy: dy \u003d y "Dx. Ako u ovu formulu stavimo y = x, onda dobijamo dx = x" Dx = 1 × Dx = Dx, dakle dy = y "dx, tj. simbol za označavanje derivata može se smatrati kao razlomak.
D funkcija inkrement y je prirast ordinate krive, a diferencijal d y je prirast ordinate tangente.
Nađimo za funkciju y=f(x) njen izvod y ¢= f ¢(x). Izvod ovog derivata se zove derivat drugog reda funkcije f(x), ili drugi derivat, i označava se.
Na isti način se definiraju i označavaju sljedeće:
derivat trećeg reda - ,
derivat četvrtog reda -
i uopšteno govoreći derivat n-tog reda - .
Primjer 15 Izračunajte derivaciju funkcije y=(3x 3 -2x+1)×sin x.
Rješenje. Po pravilu 3, y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2) sinx + (3x 3 -2x+1) cos x.
Primjer 16. Pronađite y", y = tg x + .
Rješenje. Koristeći pravila za razlikovanje zbira i količnika, dobijamo: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .
Primjer 17. Pronađite izvod kompleksne funkcije y= ,
u=x 4 +1.
Rješenje. Prema pravilu diferencijacije složene funkcije, dobijamo: y "x \u003d y " u u" x = () " u (x 4 +1)" x = (2u +. Budući da je u \u003d x 4 +1, onda
(2 x 4 +2+ .
Primjer 18.
Rješenje. Predstavimo funkciju y= kao superpoziciju dvije funkcije: y = e u i u = x 2 . Imamo: y" x \u003d y " u u" x \u003d (e u)" u (x 2)" x \u003d e u ×2x. Zamjena x2 umjesto u, dobijamo y=2x .
Primjer 19. Naći derivaciju funkcije y=ln sin x.
Rješenje. Označimo u=sin x, tada se derivacija kompleksne funkcije y=ln u izračunava po formuli y" = (ln u)" u (sin x)" x = .
Primjer 20. Naći derivaciju funkcije y= .
Rješenje. Slučaj složene funkcije dobivene kao rezultat nekoliko superpozicija iscrpljuje se sukcesivnom primjenom pravila 5:
Primjer 21. Izračunajte derivaciju y=ln .
Rješenje. Uzimajući logaritme i koristeći svojstva logaritama, dobijamo:
y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.
Razlikovanjem oba dela poslednje jednakosti dobijamo:
2.2. Analiza granica u ekonomiji. Funkcija elastičnosti
U ekonomskim istraživanjima, specifična terminologija se često koristi za označavanje izvedenica. Na primjer, ako f(x) je proizvodna funkcija koja izražava ovisnost outputa bilo kojeg proizvoda o troškovima faktora x, onda f"(x) pozvao marginalni proizvod; ako g(x) je funkcija troškova, tj. funkcija g(x) izražava zavisnost ukupnih troškova od obima proizvodnje x, onda g"(x) pozvao marginalni trošak.
Marginalna analiza u ekonomiji- skup metoda za proučavanje promjene vrijednosti troškova ili rezultata kada se mijenjaju obim proizvodnje, potrošnje itd. na osnovu analize njihovih graničnih vrijednosti. Planski proračuni na osnovu uobičajenih statističkih podataka uglavnom se izvode u obliku zbirnih indikatora. U ovom slučaju, analiza se uglavnom sastoji od izračunavanja prosječnih vrijednosti. Međutim, u nekim slučajevima potrebna je detaljnija studija, uzimajući u obzir granične vrijednosti. Na primjer, prilikom utvrđivanja troškova proizvodnje žita na nekom području za budućnost, uzima se u obzir da troškovi mogu biti različiti u zavisnosti, pod svim ostalim stvarima, od očekivanog obima žetve žitarica, jer se opet na najlošijim zemljištima. uključeni u uzgoj, troškovi proizvodnje će biti veći nego na prosječnoj površini.
Ako je odnos između dva indikatora v i x je dato analitički: v = f(x) - tada prosječna vrijednost predstavlja odnos v/x, a krajnji- derivat.
Pronalaženje produktivnosti rada. Neka funkcija
u = u(t), izražavajući količinu proizvodnje u dok radite t. Izračunajmo količinu robe proizvedene tokom vremena
Dt = t 1 - t 0: Du = u (t 1) - u (t 0) \u003d u (t 0 + Dt) - u (t 0). Prosječna produktivnost rada je odnos količine proizvedene proizvodnje i utrošenog vremena, tj. z cf.= Du/Dt.
Produktivnost radnika z(t 0) u trenutku t 0 naziva se granica kojoj z teži up. za Dt®0: . Izračun produktivnosti rada, dakle, svodi se na izračun derivata: z (t 0) \u003d u "(t 0).
Troškovi proizvodnje K homogenih proizvoda su funkcija količine proizvodnje x. Stoga možemo napisati K = K(x). Pretpostavimo da se količina proizvodnje poveća za D X. Troškovi proizvodnje x + Dh odgovaraju troškovima proizvodnje K(x + Dh). Posljedično, povećanje količine proizvodnje D X odgovara prirastu troškova proizvodnje DK = K(x + Dh) - K(x).
Prosječno povećanje troškova proizvodnje je DK/Dh. Ovo je povećanje troškova proizvodnje po jediničnom prirastu količine proizvodnje.
Granica se zove granični trošak proizvodnje.
Ako je označeno sa u(x) prihod od prodaje x jedinice robe, tzv marginalni prihod.
Uz pomoć derivacije, možete izračunati prirast funkcije koji odgovara inkrementu argumenta. U mnogim problemima pogodnije je izračunati procentualno povećanje (relativno povećanje) zavisne varijable koje odgovara procentu povećanja nezavisne varijable. Ovo nas dovodi do koncepta elastičnosti funkcije (ponekad se naziva relativni derivat). Dakle, neka je data funkcija y = f(x) za koju postoji izvod y ¢ = f ¢(x). Funkcija elastičnosti y = f(x) u odnosu na promenljivu x pozovite limit
Označava se sa E x (y) = x/y f ¢ (x) = .
Elastičnost relativno x je približan postotak povećanja funkcije (povećanje ili smanjenje) koji odgovara povećanju nezavisne varijable od 1%. Ekonomisti mjere osjetljivost, ili osjetljivost, potrošača na promjene cijene proizvoda koristeći koncept cjenovne elastičnosti. Potražnju za nekim proizvodima karakteriše relativna osjetljivost potrošača na promjene cijena, male promjene cijene dovode do velikih promjena u kupljenoj količini. Potražnja za takvim proizvodima se zove relativno elastična ili samo fleksibilan. Kod ostalih proizvoda potrošači su relativno neosjetljivi na promjene cijena, odnosno značajna promjena cijene dovodi do samo male promjene u broju kupovina. U takvim slučajevima, potražnja relativno neelastična ili samo neelastična. Termin savršeno neelastična potražnja znači ekstremni slučaj u kojem promjena cijene ne rezultira bilo kakvom promjenom tražene količine. Primjer je potražnja pacijenata sa akutnim dijabetesom za inzulinom ili potražnja narkomana za heroinom. Obrnuto, kada pri najmanjem sniženju cijene kupci povećaju kupovinu do granice svojih mogućnosti, onda kažemo da je potražnja savršeno elastičan.
Ekstrem funkcije
Poziva se funkcija y=f(x). povećanje (opadanje) u nekom intervalu ako je za x 1< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).
Ako se diferencijabilna funkcija y = f(x) na segmentu povećava (smanjuje), tada je njen izvod na ovom segmentu f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).
Dot x o pozvao lokalna maksimalna tačka (minimum) funkcije f(x) ako postoji susjedstvo tačke x o, za sve tačke za koje je tačna nejednakost f(x) £ f(x o) (f(x) ³ f(x o)).
Pozivaju se maksimalne i minimalne tačke ekstremne tačke, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njene extrema.
Neophodni uslovi za ekstrem. Ako tačka x o je tačka ekstrema funkcije f(x), tada je ili f ¢(x o) = 0, ili f ¢(x o) ne postoji. Takve tačke se nazivaju kritičan, gdje je sama funkcija definirana u kritičnoj tački. Ekstreme funkcije treba tražiti među njenim kritičnim tačkama.
Prvi dovoljan uslov. Neka x o- kritična tačka. Ako je f ¢ (x) prilikom prolaska kroz tačku x o mijenja znak plus u minus, a zatim u tački x o funkcija ima maksimum, inače ima minimum. Ako derivacija ne promijeni predznak pri prolasku kroz kritičnu tačku, onda u tački x o ne postoji ekstrem.
Drugi dovoljan uslov. Neka funkcija f(x) ima izvod
f ¢ (x) u okolini tačke x o i drugi derivat u samoj tački x o. Ako je f ¢(x o) = 0, >0 (<0), то точка x o je lokalna tačka minimuma (maksimuma) funkcije f(x). Ako je =0, onda se mora koristiti ili prvi dovoljan uslov ili uključiti više izvode.
Na segmentu, funkcija y = f(x) može dostići svoju minimalnu ili maksimalnu vrijednost bilo u kritičnim tačkama ili na krajevima segmenta.
Primjer 22. Naći ekstreme funkcije f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Rješenje. Budući da je f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3), onda su kritične tačke funkcije x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstremne tačke mogu biti samo na ovim tačkama. Budući da prilikom prolaska kroz tačku x 1 \u003d 2 derivacija mijenja predznak s plusa na minus, tada funkcija u ovoj točki ima maksimum. Prilikom prolaska kroz tačku x 2 \u003d 3, derivacija mijenja predznak od minus do plus, dakle, u tački x 2 \u003d 3, funkcija ima minimum. Izračunavanje vrijednosti funkcije u bodovima
x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme funkcije: maksimum f(2) = 14 i minimum f(3) = 13.
Primjer 23. U blizini kamenog zida potrebno je izgraditi pravougaoni prostor tako da je sa tri strane ograđen žičanom mrežom, a sa četvrte strane uz zid. Za ovo postoji a linearnih metara mreže. U kom omjeru stranica će imati najveću površinu?
Rješenje. Označite strane stranice kroz x i y. Površina lokacije je S = xy. Neka y je dužina stranice uz zid. Tada, pod uslovom, mora vrijediti jednakost 2x + y = a. Dakle, y = a - 2x i S = x(a - 2x), gdje je 0 £ x £ a/2 (dužina i širina područja ne mogu biti negativne). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 za x = a/4, odakle
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Kako je x = a/4 jedina kritična tačka, provjerimo mijenja li se predznak derivacije pri prolasku kroz ovu tačku. Za x< a/4 S ¢ >0, a za x >a/4 S ¢<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).
Pošto je S kontinuirano i njegove vrijednosti na krajevima S(0) i S(a/2) jednake su nuli, tada će pronađena vrijednost biti najveća vrijednost funkcije. Dakle, najpovoljniji omjer stranica pod datim uslovima problema je y = 2x.
Primjer 24. Potrebno je izraditi zatvoreni cilindrični rezervoar kapaciteta V=16p » 50 m 3 . Koje bi trebale biti dimenzije rezervoara (radijus R i visina H) da bi se koristila najmanja količina materijala za njegovu izradu?
Rješenje. Ukupna površina cilindra je S = 2pR(R+H). Znamo zapreminu cilindra V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Dakle, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Nalazimo derivaciju ove funkcije:
S¢(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S ¢(R) = 0 za R 3 = 8, dakle,
R = 2, H = 16/4 = 4.
Video kurs "Osvoji A" obuhvata sve teme neophodne za uspešno polaganje ispita iz matematike za 60-65 poena. U potpunosti svi zadaci 1-13 Profila USE iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite da položite ispit sa 90-100 bodova, potrebno je da 1. dio riješite za 30 minuta i bez greške!
Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanista.
Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.
Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.
Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih tipova USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.
