Kako izračunati geometrijsku sredinu. Geometrijska sredina u statistici

U proračunu se gubi prosječna vrijednost.

Prosjek značenje skup brojeva jednak je zbiru brojeva S podijeljen sa brojem ovih brojeva. Odnosno, ispada da prosjek značenje jednako: 19/4 = 4,75.

Bilješka

Ako trebate pronaći geometrijsku sredinu za samo dva broja, onda vam neće trebati inženjerski kalkulator: možete izvući korijen drugog stepena (kvadratni korijen) bilo kojeg broja koristeći najčešći kalkulator.

Koristan savjet

Za razliku od aritmetičke sredine, na geometrijsku sredinu ne utiču tako snažno velika odstupanja i fluktuacije između pojedinačnih vrednosti u proučavanom skupu indikatora.

Izvori:

• Online kalkulator koji izračunava geometrijsku sredinu
• formula geometrijske sredine

Prosjek vrijednost je jedna od karakteristika skupa brojeva. Predstavlja broj koji ne može biti izvan raspona definiranog najvećim i najmanjim vrijednostima u ovom skupu brojeva. Prosjek aritmetička vrijednost - najčešće korištena vrsta prosjeka.

Uputstvo

Dodajte sve brojeve u skupu i podijelite ih brojem članova da dobijete aritmetičku sredinu. Ovisno o specifičnim uvjetima izračunavanja, ponekad je lakše podijeliti svaki od brojeva brojem vrijednosti u skupu i zbrojiti rezultat.

Koristite, na primjer, uključen u Windows operativni sistem, ako nije moguće izračunati aritmetičku sredinu u vašem umu. Možete ga otvoriti pomoću dijaloga pokretača programa. Da biste to učinili, pritisnite "vrući tasteri" WIN + R ili kliknite na dugme "Start" i izaberite komandu "Pokreni" iz glavnog menija. Zatim unesite calc u polje za unos i pritisnite Enter ili kliknite na dugme OK. Isto se može učiniti i kroz glavni meni - otvorite ga, idite na odjeljak "Svi programi" i u odjeljku "Standard" i odaberite liniju "Kalkulator".

Unesite sve brojeve u nizu uzastopno pritiskom na taster plus iza svakog od njih (osim poslednjeg) ili klikom na odgovarajuće dugme u interfejsu kalkulatora. Takođe možete unositi brojeve i sa tastature i klikom na odgovarajuća dugmad interfejsa.

Pritisnite taster kose crte ili kliknite na ovo u interfejsu kalkulatora nakon što unesete poslednju podešenu vrednost i odštampate broj brojeva u nizu. Zatim pritisnite znak jednakosti i kalkulator će izračunati i prikazati aritmetičku sredinu.

U istu svrhu možete koristiti uređivač proračunskih tablica Microsoft Excel. U tom slučaju pokrenite uređivač i unesite sve vrijednosti niza brojeva u susjedne ćelije. Ako nakon unosa svakog broja pritisnete Enter ili tipku sa strelicom dolje ili desno, sam uređivač će pomjeriti fokus unosa na susjednu ćeliju.

Kliknite na ćeliju pored posljednjeg broja koji ste unijeli, ako ne želite da vidite samo aritmetičku sredinu. Proširite padajući meni Grčka sigma (Σ) komandi za uređivanje na kartici Početak. Odaberite liniju " Prosjek” i uređivač će u odabranu ćeliju umetnuti željenu formulu za izračunavanje aritmetičke sredine. Pritisnite tipku Enter i vrijednost će biti izračunata.

Aritmetička sredina je jedna od mjera centralne tendencije, koja se široko koristi u matematici i statističkim proračunima. Pronalaženje aritmetičkog prosjeka od nekoliko vrijednosti je vrlo jednostavno, ali svaki zadatak ima svoje nijanse, koje je jednostavno potrebno znati kako bi se izvršili ispravni proračuni.

Šta je aritmetička sredina

Kako pronaći aritmetičku sredinu

Značajke rada s negativnim brojevima

1. Pronalaženje zajedničke aritmetičke sredine standardnom metodom;
2. Pronalaženje aritmetičke sredine negativnih brojeva.
3. Izračunavanje aritmetičke sredine pozitivnih brojeva.

Odgovori svake od radnji su napisani odvojeni zarezima.

Prirodni i decimalni razlomci

Kada radite s prirodnim razlomcima, treba ih svesti na zajednički nazivnik, koji se množi brojem brojeva u nizu. Brojač odgovora će biti zbir datih brojnika originalnih razlomaka.

Inženjerski kalkulator.

Uputstvo

Imajte na umu da se u opštem slučaju geometrijska sredina brojeva nalazi množenjem ovih brojeva i izvlačenjem iz njih korena stepena koji odgovara broju brojeva. Na primjer, ako trebate pronaći geometrijsku sredinu pet brojeva, tada ćete morati izvući korijen stepena iz proizvoda.

Da biste pronašli geometrijsku sredinu dva broja, koristite osnovno pravilo. Pronađite njihov proizvod, a zatim iz njega izvucite kvadratni korijen, jer su brojevi dva, što odgovara stepenu korijena. Na primjer, da biste pronašli geometrijsku sredinu brojeva 16 i 4, pronađite njihov proizvod 16 4=64. Iz rezultirajućeg broja izvucite kvadratni korijen √64=8. Ovo će biti željena vrijednost. Imajte na umu da je aritmetička sredina ova dva broja veća i jednaka 10. Ako korijen nije uzet u potpunosti, zaokružite rezultat na željeni redoslijed.

Da biste pronašli geometrijsku sredinu više od dva broja, koristite i osnovno pravilo. Da biste to učinili, pronađite proizvod svih brojeva za koje želite pronaći geometrijsku sredinu. Iz dobivenog proizvoda izvucite korijen stepena koji je jednak broju brojeva. Na primjer, da biste pronašli geometrijsku sredinu brojeva 2, 4 i 64, pronađite njihov proizvod. 2 4 64=512. Budući da trebate pronaći rezultat geometrijske sredine tri broja, izdvojite korijen trećeg stepena iz proizvoda. Teško je to učiniti usmeno, pa koristite inženjerski kalkulator. Da biste to učinili, ima dugme "x ^ y". Birajte broj 512, pritisnite dugme "x^y", zatim birajte broj 3 i pritisnite dugme "1/x", da biste pronašli vrednost 1/3, pritisnite dugme "=". Dobijamo rezultat podizanja 512 na stepen 1/3, što odgovara korijenu trećeg stepena. Dobijte 512^1/3=8. Ovo je geometrijska sredina brojeva 2,4 i 64.

Koristeći inženjerski kalkulator, možete pronaći geometrijsku sredinu na drugi način. Pronađite dugme za prijavu na tastaturi. Nakon toga uzmite logaritam za svaki od brojeva, pronađite njihov zbir i podijelite ga sa brojem brojeva. Od rezultirajućeg broja uzmite antilogaritam. Ovo će biti geometrijska sredina brojeva. Na primjer, da biste pronašli geometrijsku sredinu istih brojeva 2, 4 i 64, napravite skup operacija na kalkulatoru. Unesite broj 2, zatim pritisnite dugme za evidenciju, pritisnite dugme "+", unesite broj 4 i ponovo pritisnite log i "+", ukucajte 64, pritisnite logo i "=". Rezultat će biti broj jednak zbiru decimalnih logaritama brojeva 2, 4 i 64. Dobijeni broj podijelite sa 3, jer je to broj brojeva pomoću kojih se traži geometrijska sredina. Iz rezultata uzmite antilogaritam prebacivanjem ključa registra i koristite isti log ključ. Rezultat je broj 8, ovo je željena geometrijska sredina.

Prosječne vrijednosti u statistici igraju važnu ulogu, jer omogućavaju da se dobije generalizirajuća karakteristika analiziranog fenomena. Najčešći prosjek je, naravno, . Nastaje kada se agregirajući indikator formira pomoću zbira elemenata. Na primjer, masa nekoliko jabuka, ukupan prihod za svaki dan prodaje itd. Ali to nije uvijek slučaj. Ponekad se zbirni indikator formira ne kao rezultat zbrajanja, već kao rezultat drugih matematičkih operacija.

Razmotrite sljedeći primjer. Mjesečna inflacija je promjena nivoa cijena u jednom mjesecu u odnosu na prethodni. Ako su stope inflacije poznate za svaki mjesec, kako onda dobiti godišnju vrijednost? Sa statističke tačke gledišta, ovo je lančani indeks, pa je tačan odgovor: množenjem mjesečnih stopa inflacije. Odnosno, ukupna stopa inflacije nije zbir, već proizvod. I kako sada saznati prosječnu inflaciju za mjesec, ako postoji godišnja vrijednost? Ne, nemojte dijeliti sa 12, već uzmite korijen 12. stepena (stepen zavisi od broja faktora). U opštem slučaju, geometrijska sredina se izračunava po formuli:

To jest, to je korijen proizvoda originalnih podataka, gdje je stepen određen brojem faktora. Na primjer, geometrijska sredina dva broja je kvadratni korijen njihovog proizvoda

od tri broja - kubni korijen proizvoda

itd.

Ako se svaki originalni broj zamijeni njihovom geometrijskom sredinom, onda će proizvod dati isti rezultat.

Da biste bolje razumjeli šta je geometrijska sredina i kako se ona razlikuje od aritmetičke sredine, razmotrite sljedeću sliku. U krug je upisan pravougaoni trougao.

Medijan je izostavljen iz pravog ugla a(do sredine hipotenuze). Također iz pravog ugla visina je izostavljena b, što je u tački P dijeli hipotenuzu na dva dijela m I n. Jer hipotenuza je prečnik opisane kružnice, a medijana poluprečnik, očigledno je da je dužina medijane a je aritmetička sredina m I n.

Izračunaj koja je visina b. Zbog sličnosti trouglova ABP I GP pravedna jednakost

Odnosno, visina pravokutnog trougla je geometrijska sredina segmenata na koje dijeli hipotenuzu. Tako jasna razlika.

U MS Excel-u geometrijska sredina se može pronaći pomoću funkcije CPGEOM.

Sve je vrlo jednostavno: pozovite funkciju, odredite raspon i gotovi ste.

U praksi se ovaj indikator ne koristi tako često kao aritmetička sredina, ali se ipak javlja. Na primjer, postoji takav indeks humanog razvoja, koji upoređuje životni standard u različitim zemljama. Izračunava se kao geometrijska sredina nekoliko indeksa.

Postoje i drugi proseci. O njima drugi put.

Za razliku od aritmetičke sredine, geometrijska sredina mjeri koliko se varijabla promijenila tokom vremena. Geometrijska sredina je korijen n-tog stepena proizvoda n vrijednosti (u Excelu se koristi funkcija = CVGEOM):

G = (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n

Sličan parametar - geometrijska sredina stope povrata - određuje se formulom:

G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,

gdje je R i stopa povrata za i-ti vremenski period.

Na primjer, pretpostavimo da je početna investicija 100 000 USD. Do kraja prve godine padne na 50 000 USD, a do kraja druge godine se oporavlja na prvobitnih 100 000 USD. Stopa povrata na ovu investiciju tokom dvije- godišnji period je jednak 0, pošto su početni i konačni iznos sredstava međusobno jednaki. Međutim, aritmetički prosjek godišnjih stopa prinosa je = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 ili 25%, budući da je stopa prinosa u prvoj godini R 1 = (50.000 - 100.000) / 100.000 = -0.5, i u drugom R 2 = (100.000 - 50.000) / 50.000 = 1. Istovremeno, geometrijska sredina stope prinosa za dvije godine je: G = [(1-0,5) * (1+1 )] 1 /2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. Dakle, geometrijska sredina preciznije odražava promjenu (tačnije, odsustvo promjene) ulaganja u periodu od dvije godine od aritmetičke sredine.

Zanimljivosti. Prvo, geometrijska sredina će uvijek biti manja od aritmetičke sredine istih brojeva. Osim u slučaju kada su svi uzeti brojevi međusobno jednaki. Drugo, razmatrajući svojstva pravokutnog trougla, može se razumjeti zašto se srednja vrijednost naziva geometrijskom. Visina pravokutnog trokuta spuštenog na hipotenuzu je prosječna proporcionalna između projekcija kateta na hipotenuzu, a svaka kateta je prosječna proporcionalna između hipotenuze i njene projekcije na hipotenuzu. Ovo daje geometrijski način konstruisanja geometrijske sredine dva (dužina) segmenta: potrebno je da napravite krug na zbiru ova dva segmenta kao prečnik, zatim visinu, vraćenu od tačke njihove veze do preseka sa krug, dat će željenu vrijednost:

Rice. 4.

Drugo važno svojstvo numeričkih podataka je njihova varijabilnost, koja karakteriše stepen disperzije podataka. Dva različita uzorka mogu se razlikovati i u srednjim vrijednostima i u varijacijama.

Postoji pet procjena varijacije podataka:

interkvartilni raspon,

disperzija,

standardna devijacija,

koeficijent varijacije.

Raspon je razlika između najvećeg i najmanjeg elementa uzorka:

Raspon \u003d X Max - X Min

Opseg uzorka koji sadrži prosječne godišnje prinose 15 vrlo rizičnih investicijskih fondova može se izračunati korištenjem uređenog niza: Raspon = 18,5 - (-6,1) = 24,6. To znači da je razlika između najvećeg i najnižeg prosječnog godišnjeg prinosa za vrlo rizične fondove 24,6%.

Opseg mjeri ukupno širenje podataka. Iako je raspon uzorka vrlo jednostavna procjena ukupnog širenja podataka, njegova slabost je u tome što ne uzima u obzir tačno kako su podaci raspoređeni između minimalnih i maksimalnih elemenata. B skala pokazuje da ako uzorak sadrži barem jednu ekstremnu vrijednost, raspon uzorka je vrlo netačna procjena raspršenosti podataka.

Primijenjena geometrijska sredina u onim slučajevima kada su pojedinačne vrijednosti atributa relativne vrijednosti dinamike, izgrađene u obliku lančanih vrijednosti, kao omjer prema prethodnom nivou svakog nivoa u nizu dinamike, tj. karakteriše prosječni rast faktor.

Mod i medijan se vrlo često računaju u statističkim problemima i oni su dodatne karakteristike populacije i koriste se u matematičkoj statistici za analizu tipa distributivnih serija, koje mogu biti normalne, asimetrične, simetrične itd.

Kao i medijan, izračunavaju se i vrijednosti atributa, dijeleći populaciju na četiri jednaka dijela - kvartela, na pet delova - quintels, na deset jednakih dijelova - usporava, na sto jednakih dijelova - procenata. Upotreba distribucije razmatranih karakteristika u statistici u analizi varijacionih serija omogućava dublju i detaljniju karakterizaciju populacije koja se proučava.

Tema aritmetičke i geometrijske sredine je uključena u program matematike za 6-7 razred. Pošto je paragraf prilično jednostavan za razumevanje, brzo se prođe, a do kraja školske godine učenici ga zaborave. Ali za polaganje ispita, kao i za međunarodne SAT ispite, potrebno je znanje iz osnovne statistike. A za svakodnevni život razvijeno analitičko mišljenje nikada ne škodi.

Kako izračunati aritmetičku i geometrijsku sredinu brojeva

Pretpostavimo da postoji niz brojeva: 11, 4 i 3. Aritmetička sredina je zbir svih brojeva podijeljen brojem datih brojeva. To jest, u slučaju brojeva 11, 4, 3, odgovor će biti 6. Kako se dobija 6?

Rješenje: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Imenilac mora sadržavati broj jednak broju brojeva čiji prosjek treba pronaći. Zbir je djeljiv sa 3, jer postoje tri člana.

Sada se moramo pozabaviti geometrijskom sredinom. Recimo da postoji niz brojeva: 4, 2 i 8.

Geometrijska sredina je proizvod svih zadatih brojeva koji se nalazi ispod korena sa stepenom jednakim broju datih brojeva, odnosno u slučaju brojeva 4, 2 i 8 odgovor je 4. Evo kako se to desilo :

Rješenje: ∛(4 × 2 × 8) = 4

U obje opcije dobijeni su cijeli odgovori, jer su za primjer uzeti posebni brojevi. To nije uvijek slučaj. U većini slučajeva, odgovor se mora zaokružiti ili ostaviti u korijenu. Na primjer, za brojeve 11, 7 i 20, aritmetička sredina je ≈ 12,67, a geometrijska sredina je ∛1540. A za brojeve 6 i 5, odgovori će biti 5,5 i √30.

Može li se dogoditi da aritmetička sredina postane jednaka geometrijskoj sredini?

Naravno da može. Ali samo u dva slučaja. Ako postoji niz brojeva koji se sastoji samo od jedinica ili nula. Također je vrijedno napomenuti da odgovor ne ovisi o njihovom broju.

Dokaz sa jedinicama: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetička sredina).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrijska sredina).

Dokaz sa nulama: (0 + 0) / 2=0 (aritmetička sredina).

√(0 × 0) = 0 (geometrijska sredina).

Druge opcije nema i ne može biti.