Zakoni aritmetičkih operacija nad realnim brojevima. Aritmetičke operacije nad realnim brojevima

Razlika pozitivnih realnih brojeva a i b takav pravi broj se zove With, šta a= b + c.

Količnik pozitivnih realnih brojeva a i b takav pravi broj se zove With, šta a= b × s.

Unija skupa pozitivnih realnih brojeva sa skupom negativnih realnih brojeva i nulom je skup R svih realnih brojeva.

Poređenje realnih brojeva i operacije nad njima izvode se prema pravilima poznatim iz školskog predmeta matematika.

Problem 60. Pronađite prve tri decimale zbira 0,333… + 1,57079…

Rješenje. Uzmimo decimalne aproksimacije pojmova sa četiri decimale:

0,3333 < 0,3333… < 0,3334

1,5707 < 1,57079… < 1,5708.

Dodati: 1,9040 ≤ 0,333… + 1,57079…< 1,9042.

Dakle, 0,333… + 1,57079…= 1,904…

Zadatak 61. Pronađite prve dvije decimale proizvoda a x b, ako a= 1,703604… i b = 2,04537…

Rješenje. Uzimamo decimalne aproksimacije ovih brojeva sa tri decimale:

1,703 < a <1,704 и 2,045 < b < 2,046. По определению произведения действительных чисел имеем:

1.703 × 2.045 ≤ a x b < 1,704 × 2,046 или 3,483 ≤ ab < 3,486.

Na ovaj način, a x b= 3,48…

Vježbe za samostalan rad

1. Zapišite decimalne aproksimacije iracionalnog broja π = 3,1415 ... u smislu manjka i viška s tačnošću od:

a) 0,1; b) 0,01; c) 0,001.

2. Pronađite prve tri decimale zbroja a+ b, ako:

a) a = 2,34871…, b= 5,63724…; b) a = , b= π; u) a = ; b= ; G) a = ; b = .

REALNI BROJEVI II

§ 46 Sabiranje realnih brojeva

Do sada možemo samo da dodajemo racionalne brojeve jedni drugima. kao sto znamo,

Ali šta znači zbir dva broja, od kojih je barem jedan iracionalan, to još ne znamo. Sada moramo definisati šta se podrazumeva pod zbirom α + β dva proizvoljna realna broja α i β .

Na primjer, razmotrite brojeve 1 / 3 i √2. Hajde da ih predstavimo u obliku beskonačnih decimalnih razlomaka

1 / 3 = 0,33333...;

√2 =1,41421... .

Prvo, dodajemo odgovarajuće decimalne aproksimacije ovih brojeva sa nedostatkom. Ove aproksimacije, kao što je navedeno na kraju prethodnog odjeljka, jesu racionalno brojevi. I već znamo kako sabrati takve brojeve:

0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................

Zatim dodajemo odgovarajuće decimalne aproksimacije ovih brojeva sa viškom:

1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................

Može se dokazati* da postoji, štaviše, jedinstveni realan broj γ , što je veće od svih zbira decimalnih aproksimacija brojeva 1/3 i √2 sa nedostatkom, ali manje od svih zbira decimalnih aproksimacija ovih brojeva sa viškom:

* Strogi dokaz ove činjenice je izvan okvira našeg programa i stoga nije dat ovdje.

1 < γ < 3

1,7 < γ < 1,9

1,74 < γ < 1,76

1,747 < γ < 1,749

1,7475 < γ < 1,7477

1,74754 < γ < 1,74756

Po definiciji, ovaj broj γ i uzima se kao zbir brojeva 1 / 3 i √2:

γ = 1 / 3 + √2

Očigledno je da γ = 1,7475....

Zbir svih drugih pozitivnih realnih brojeva, od kojih je barem jedan iracionalan, može se definirati na sličan način. Suština stvari se neće promijeniti čak ni ako su jedan od pojmova, a možda i oba, negativni.

dakle, ako brojevi α i β su racionalni, onda se njihov zbir nalazi po pravilu sabiranja racionalnih brojeva(vidi § 36).

Ako je barem jedan od njih iracionalan, onda je zbir α + β naziva se realan broj koji je veći od svih suma odgovarajućih decimalnih aproksimacija ovih brojeva sa nedostatkom, ali manji od svih zbira odgovarajućih decimalnih aproksimacija ovih brojeva sa viškom.

Ovako definirana radnja sabiranja poštuje sljedeća dva zakona:

1) komutativni zakon:

α + β = β + α

2) zakon o udruživanju:

(α + β ) + γ = α + (β + γ ).

Nećemo to dokazivati. Učenici to mogu sami. Napominjemo samo da ćemo u dokazu morati koristiti već poznatu činjenicu: sabiranje racionalnih brojeva podliježe komutativnim i asocijativnim zakonima (vidi § 36).

Vježbe

327. Predstavite ove iznose kao decimalne razlomke, ukazujući na najmanje tri tačne cifre nakon zauzetog:

a) √2 + √3 ; d) √2 + (- √3 ) g) 3/4 + (-√5 );

b) √2 + 5/8; e) (- 1/3) + √5 h) 1/3 + √2 + √3.

c) (-√2) + √3; f) 11/9 + (- √5);

328. Pronađite prvih nekoliko decimalnih aproksimacija (sa i bez ekscesa) za realne brojeve:

a) 1 / 2 + √7 b) √3 + √7 c) √3 + (-√7)

329. Polazeći od definicije zbira realnih brojeva, dokazati to za bilo koji broj α

α + (- α ) = 0.

330. Da li je zbir dva beskonačna neperiodična razlomka uvijek neperiodični razlomak? Odgovor obrazložite primjerima.

1. Koncept iracionalnog broja. Beskonačni decimalni neperiodični razlomci. Skup realnih brojeva.

2. Aritmetičke operacije nad realnim brojevima. Zakoni sabiranja i množenja.

3. Proširenje realnih pozitivnih brojeva na skup realnih brojeva. Svojstva skupa realnih brojeva.

4. Približni brojevi Pravila zaokruživanja realnih brojeva i radnji sa približnim brojevima. Proračuni uz pomoć mikrokalkulatora.

5. Ključni nalazi

Realni brojevi

Jedan od izvora pojave decimalnih razlomaka je podjela prirodnih brojeva, drugi je mjerenje količina. Otkrijmo, na primjer, kako se decimalni razlomci mogu dobiti pri mjerenju dužine segmenta.

Neka X- segment čija se dužina meri, e- pojedinačni rez. Dužina rezanja X označiti slovom X, i dužina segmenta e- pismo E. Neka segment X obuhvata n segmenti jednaki e₁ i rezati X₁, što je kraće od segmenta e(Sl. 130), tj. n ∙E < X < (n + 1) ∙E. Brojevi n i n+ 1 su približne vrijednosti dužine segmenta X po jedinici dužine E sa nedostatkom i sa viškom do 1.

Da biste dobili odgovor sa većom preciznošću, uzmite segment e₁ je desetina segmenta e i stavićemo ga u segment X₁. U ovom slučaju moguća su dva slučaja.

1) Segment e₁ se uklapa u segment X₁ precizno n jednom. Zatim dužina n segment X izraženo kao konačna decimala: X = (n+n₁\10) ∙E= n, n₁∙E. Na primjer, X= 3,4∙E.

2) Cut X Ispostavilo se da se ₁ sastoji od n segmenti jednaki e₁ i segment X₂, što je kraće od segmenta e₁. Onda n,n₁∙E < X < n,n₁n₁′∙ E, gdje n,n₁ i n,n₁n₁′ - približne vrijednosti dužine segmenta X sa nedostatkom i sa viškom sa tačnošću od 0,1.

Jasno je da je u drugom slučaju proces mjerenja dužine segmenta X možete nastaviti uzimajući novi segment jedinice e₂ - stoti dio segmenta e.

U praksi, ovaj proces mjerenja dužine segmenta će se završiti u nekoj fazi. I tada će rezultat mjerenja dužine segmenta biti ili prirodan broj ili konačni decimalni razlomak. Ako zamislimo ovaj proces mjerenja dužine segmenta idealno (kao što to rade u matematici), onda su moguća dva ishoda:

1) Na k-tom koraku proces mjerenja će se završiti. Tada će dužina segmenata biti izražena kao konačni decimalni razlomak forme n,n₁… n k.

2) Opisani postupak za mjerenje dužine segmenta X nastavlja se u nedogled. Tada se izvještaj o tome može predstaviti simbolom n,n₁… n k..., što se naziva beskonačna decimala.

Kako biti siguran u mogućnost drugog ishoda? Da biste to učinili, dovoljno je izmjeriti dužinu takvog segmenta, za koji je poznato da je njegova dužina izražena, na primjer, racionalnim brojem 5. Ako se ispostavi da se kao rezultat mjerenja dužine takvog segmenta dobije konačni decimalni razlomak, onda bi to značilo da se broj 5 može predstaviti kao konačni decimalni razlomak, što je nemoguće: 5 = 5,666 . ...

Dakle, kada se mjere dužine segmenata, mogu se dobiti beskonačni decimalni razlomci. Ali da li su ovi razlomci uvijek periodični? Odgovor na ovo pitanje je negativan: postoje segmenti čije se dužine ne mogu izraziti beskonačnim periodičnim razlomkom (tj. pozitivnim racionalnim brojem) sa odabranom jedinicom dužine. Ovo je bilo najvažnije otkriće u matematici, iz kojeg je slijedilo da racionalni brojevi nisu dovoljni za mjerenje dužina segmenata.

Teorema. Ako je jedinica dužine dužina stranice kvadrata, onda se dužina dijagonale ovog kvadrata ne može izraziti pozitivnim racionalnim brojem.

Dokaz. Neka je dužina stranice kvadrata izražena brojem 1. Pretpostavimo suprotno od onoga što treba dokazati, tj. da je dužina dijagonale AC kvadrata ABCB izražena kao nesmanjivi razlomak. Tada bi, prema Pitagorinoj teoremi, jednakost vrijedila

1²+ 1² = . Iz toga slijedi da je m² = 2n². Dakle, m² je paran broj, tada je broj m paran (kvadrat neparnog broja ne može biti paran). Dakle, m = 2p. Zamenivši broj m sa 2p u jednačini m² = 2n², dobijamo da je 4p² = 2n², tj. 2p² = n². Iz toga slijedi da je n² paran broj, pa je n paran broj. Dakle, brojevi m i n su parni, što znači da se razlomak može smanjiti za 2, što je u suprotnosti sa pretpostavkom da je nesvodljiv. Utvrđena kontradikcija dokazuje da ako je jedinica dužine dužina stranice kvadrata, onda se dužina dijagonale ovog kvadrata ne može izraziti racionalnim brojem.

Iz dokazane teoreme proizilazi da postoje segmenti čije se dužine ne mogu izraziti pozitivnim brojem (sa odabranom jedinicom dužine), odnosno, drugim riječima, ne mogu se zapisati kao beskonačan periodični razlomak. To znači da beskonačni decimalni razlomci dobijeni mjerenjem dužina segmenata mogu biti neperiodični.

Vjeruje se da su beskonačni neperiodični decimalni razlomci zapis novih brojeva - pozitivno iracionalno brojevi. Budući da se koncepti broja i njegova notacija često poistovjećuju, kažu da su beskonačni neperiodični decimalni razlomci pozitivni iracionalni brojevi.

Do koncepta pozitivnog iracionalnog broja došli smo kroz proces mjerenja dužina segmenata. Ali iracionalni brojevi se također mogu dobiti izvlačenjem korijena iz nekih racionalnih brojeva. Dakle, √2, √7, √24 su iracionalni brojevi. Iracionalni su i lg 5, sin 31, brojevi π = 3,14..., e= 2,7828... i drugi.

Skup pozitivnih iracionalnih brojeva je označen simbolom J+.

Unija dva skupa brojeva: pozitivno racionalnog i pozitivno iracionalnog naziva se skup pozitivnih realnih brojeva i označava se simbolom R+. Dakle, Q+ ∪ J + = R+. Uz pomoć Ojlerovih krugova, ovi skupovi su prikazani na slici 131.

Svaki pozitivan realni broj može se predstaviti beskonačnim decimalnim razlomkom - periodičnim (ako je racionalan) ili neperiodskim (ako je iracionalan).

Radnje na pozitivne realne brojeve svode se na akcije na pozitivne racionalne brojeve.

Sabiranje i množenje pozitivnih realnih brojeva imaju svojstva komutativnosti i asocijativnosti, a množenje je distributivno u odnosu na sabiranje i oduzimanje.

Koristeći pozitivne realne brojeve, možete izraziti rezultat mjerenja bilo koje skalarne veličine: dužina, površina, masa itd. Ali u praksi je često potrebno izraziti brojem ne rezultat mjerenja količine, već njenu promjenu. Štaviše, njegova promjena može se dogoditi na različite načine - može se povećati, smanjiti ili ostati nepromijenjena. Dakle, da bi se izrazila promjena veličine, osim pozitivnih realnih brojeva, potrebni su i drugi brojevi, a za to je potrebno proširiti skup R + dodavanjem broja 0 (nula) i negativnih brojeva.

Unija skupa pozitivnih realnih brojeva sa skupom negativnih realnih brojeva i nulom je skup R svih realnih brojeva.

Poređenje realnih brojeva i operacije nad njima izvode se prema pravilima koja su nam poznata iz školskog kursa matematike.

Vježbe

1. Opišite proces mjerenja dužine segmenta, ako je izvještaj o njemu predstavljen kao razlomak:

a) 3,46; b) 3,(7); c) 3.2(6).

2. Sedmi dio jednog segmenta stane u segment a 13 puta. Hoće li dužina ovog segmenta biti predstavljena konačnim ili beskonačnim razlomkom? Periodični ili neperiodični?

3. Dat je skup: (7; 8; √8; 35,91; -12,5; -√37; 0; 0,123; 4136).

Može li se podijeliti u dvije klase: racionalnu i iracionalnu?

4. Poznato je da se bilo koji broj može predstaviti tačkom na koordinatnoj liniji. Da li tačke sa racionalnim koordinatama iscrpljuju celu koordinatnu liniju? Šta je sa tačkama sa stvarnim koordinatama?

99. Glavni zaključci § 19

Proučavajući materijal ovog paragrafa, razjasnili smo mnoge pojmove poznate iz školskog kursa matematike, povezujući ih sa mjerenjem dužine segmenta. To su koncepti kao što su:

razlomak (tačan i netačan);

jednaki razlomci;

nesmanjivi razlomak;

pozitivan racionalni broj;

jednakost pozitivnih racionalnih brojeva;

miješana frakcija;

beskonačna periodična decimala;

beskonačna neperiodična decimala;

iracionalni broj;

pravi broj.

Otkrili smo da je relacija jednakosti razlomaka relacija ekvivalencije i iskoristili to, definišući pojam pozitivnog racionalnog broja. Saznali smo i kako su sabiranje i množenje pozitivnih racionalnih brojeva povezani sa mjerenjem dužina segmenata i dobijene formule za pronalaženje njihovog zbira i proizvoda.

Definicija relacije "manje od" na skupu Q+ omogućila je imenovanje njegovih glavnih svojstava: uređena je, gusta, ne sadrži najmanji i najveći broj.

Dokazali smo da skup Q+ pozitivnih racionalnih brojeva zadovoljava sve uslove koji dozvoljavaju da se smatra produžetkom skupa N prirodnih brojeva.

Uvođenjem decimalnih razlomaka dokazali smo da se svaki pozitivan racionalni broj može predstaviti beskonačnim periodičnim decimalnim razlomkom.

Beskonačni neperiodični razlomci se smatraju zapisima iracionalnih brojeva.

Ako ujedinimo skupove pozitivnih racionalnih i iracionalnih brojeva, onda ćemo dobiti skup pozitivnih realnih brojeva: Q+ ∪ J + = R+.

Ako pozitivnim realnim brojevima dodamo negativne realne brojeve i nulu, onda ćemo dobiti skup R svih realnih brojeva.