Naći determinantu originalne matrice. Ako je determinanta matrice nula, onda njen inverz ne postoji.

Formulacija problema

Zadatak uključuje upoznavanje korisnika sa osnovnim konceptima numeričkih metoda, kao što su determinante i inverzne matrice, te različitim načinima njihovog izračunavanja. U ovom teorijskom izvještaju, jednostavnim i pristupačnim jezikom, najprije su predstavljeni osnovni pojmovi i definicije, na osnovu kojih se sprovode dalja istraživanja. Korisnik možda nema posebna znanja iz oblasti numeričkih metoda i linearne algebre, ali će lako moći da koristi rezultate ovog rada. Radi jasnoće, dat je program za izračunavanje determinante matrice nekoliko metoda, napisan u programskom jeziku C++. Program se koristi kao laboratorijski stalak za izradu ilustracija za izvještaj. Takođe se sprovodi studija metoda za rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina. Dokazana je beskorisnost izračunavanja inverzne matrice, pa se u radu daju optimalniji načini rješavanja jednadžbi bez njenog izračunavanja. Objašnjeno je zašto postoji toliko različitih metoda za izračunavanje determinanti i inverznih matrica i analizirani su njihovi nedostaci. Takođe se razmatraju greške u proračunu determinante i procjenjuje se postignuta tačnost. Pored ruskih termina, u radu se koriste i njihovi engleski ekvivalenti kako bi se razumelo pod kojim nazivima treba tražiti numeričke procedure u bibliotekama i šta znače njihovi parametri.

Osnovne definicije i jednostavna svojstva

Odrednica

Hajde da uvedemo definiciju determinante kvadratne matrice bilo kojeg reda. Ova definicija će ponavljajuća, odnosno da biste ustanovili koja je determinanta matrice reda, morate već znati koja je determinanta matrice reda. Imajte na umu da determinanta postoji samo za kvadratne matrice.

Determinanta kvadratne matrice će biti označena sa ili det .

Definicija 1. odrednica kvadratna matrica poziva se broj drugog reda .

odrednica kvadratna matrica reda, naziva se broj

gdje je determinanta matrice reda dobijena iz matrice brisanjem prvog reda i stupca sa brojem .

Radi jasnoće, zapisujemo kako možete izračunati determinantu matrice četvrtog reda:

Komentar. Stvarno izračunavanje determinanti za matrice iznad trećeg reda na osnovu definicije koristi se u izuzetnim slučajevima. U pravilu se proračun vrši prema drugim algoritmima, o kojima će biti riječi kasnije i koji zahtijevaju manje računskog rada.

Komentar. U definiciji 1, tačnije bi bilo reći da je determinanta funkcija definirana na skupu matrica kvadratnog reda i uzima vrijednosti u skupu brojeva.

Komentar. U literaturi se umjesto pojma determinanta koristi i termin determinanta, koji ima isto značenje. Od riječi "determinanta" nastala je oznaka det.

Razmotrimo neka svojstva determinanti koje formulišemo u obliku tvrdnji.

Izjava 1. Prilikom transponiranja matrice, determinanta se ne mijenja, tj.

Izjava 2. Determinanta proizvoda kvadratnih matrica jednaka je proizvodu determinanti faktora, odnosno, .

Izjava 3. Ako se dva reda u matrici zamijene, tada će njena determinanta promijeniti predznak.

Izjava 4. Ako matrica ima dva identična reda, tada je njena determinanta nula.

U budućnosti ćemo morati da dodajemo nizove i množimo niz brojem. Ove operacije ćemo izvoditi nad redovima (kolonama) na isti način kao i operacije nad matricama redova (matricama kolona), odnosno element po element. Rezultat će biti red (kolona), koji se po pravilu ne poklapa sa redovima originalne matrice. U prisustvu operacija sabiranja redova (kolona) i njihovog množenja brojem, možemo govoriti i o linearnim kombinacijama redova (kolona), odnosno zbirovima sa numeričkim koeficijentima.

Izjava 5. Ako se red matrice pomnoži brojem, tada će se njegova determinanta pomnožiti s tim brojem.

Izjava 6. Ako matrica sadrži nulti red, tada je njena determinanta nula.

Izjava 7. Ako je jedan od redova matrice jednak drugom pomnoženom s brojem (redovi su proporcionalni), tada je determinanta matrice nula.

Izjava 8. Neka i-ti red u matrici izgleda kao . Zatim, gdje se matrica dobija iz matrice zamjenom i-tog reda sa redom, a matrica se dobija zamjenom i-tog reda sa redom.

Izjava 9. Ako se jedan od redova matrice doda drugom, pomnožen brojem, tada se determinanta matrice neće promijeniti.

Izjava 10. Ako je jedan od redova matrice linearna kombinacija njegovih ostalih redova, tada je determinanta matrice nula.

Definicija 2. Algebarsko sabiranje elementu matrice naziva se broj jednak , gdje je determinanta matrice dobijena iz matrice brisanjem i-tog reda i j-te kolone. Algebarski komplement matričnom elementu se označava sa .

Primjer. Neka . Onda

Komentar. Koristeći algebarske sabiranja, definicija 1 determinante može se napisati na sljedeći način:

Izjava 11. Dekompozicija determinante u proizvoljan niz.

Determinanta matrice zadovoljava formulu

Primjer. Izračunati .

Rješenje. Koristimo proširenje u trećem redu, isplativije je, jer u trećem redu dva broja od tri su nule. Get

Izjava 12. Za kvadratnu matricu reda na , imamo relaciju .

Izjava 13. Sva svojstva determinante formulisana za redove (izjave 1 - 11) važe i za kolone, posebno je važeća dekompozicija determinante u j-toj koloni i jednakost u .

Izjava 14. Determinanta trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata njene glavne dijagonale.

Posljedica. Determinanta matrice identiteta jednaka je jedan, .

Zaključak. Gore navedena svojstva omogućavaju pronalaženje determinanti matrica dovoljno visokog reda sa relativno malom količinom proračuna. Algoritam proračuna je sljedeći.

Algoritam za kreiranje nula u koloni. Neka je potrebno izračunati determinantu reda. Ako je , tada zamijenite prvi red i bilo koji drugi red u kojem prvi element nije nula. Kao rezultat toga, determinanta , bit će jednaka determinanti nove matrice sa suprotnim predznakom. Ako je prvi element svakog reda jednak nuli, tada matrica ima nulti stupac i, prema izjavama 1, 13, njena determinanta je jednaka nuli.

Dakle, to smatramo već u originalnoj matrici. Ostavite prvi red nepromijenjen. Dodajmo drugom redu prvi red, pomnožen brojem. Tada će prvi element drugog reda biti jednak .

Preostali elementi novog drugog reda će biti označeni sa , . Determinanta nove matrice prema iskazu 9 jednaka je . Pomnožite prvi red brojem i dodajte ga trećem. Prvi element novog trećeg reda će biti jednak

Preostali elementi novog trećeg reda će biti označeni sa , . Determinanta nove matrice prema iskazu 9 jednaka je .

Nastavićemo proces dobijanja nula umesto prvih elemenata nizova. Na kraju, prvi red množimo brojem i dodajemo ga posljednjem redu. Rezultat je matrica, označena sa , koja ima oblik

i . Za izračunavanje determinante matrice koristimo proširenje u prvom stupcu

Od tada

Determinanta matrice reda je na desnoj strani. Na njega primjenjujemo isti algoritam, a izračunavanje determinante matrice će se svesti na izračunavanje determinante matrice reda. Proces se ponavlja dok ne dođemo do determinante drugog reda, koja se izračunava po definiciji.

Ako matrica nema nikakva specifična svojstva, tada nije moguće značajno smanjiti količinu proračuna u odnosu na predloženi algoritam. Još jedna dobra strana ovog algoritma je da je lako napisati program za kompjuter za izračunavanje determinanti matrica velikih redova. U standardnim programima za izračunavanje determinanti ovaj algoritam se koristi sa manjim izmenama koje se odnose na minimiziranje efekta grešaka zaokruživanja i grešaka u unosu podataka u računarskim proračunima.

Primjer. Izračunaj matričnu determinantu .

Rješenje. Prvi red ostaje nepromijenjen. U drugi red dodajemo prvi, pomnožen brojem:

Odrednica se ne mijenja. U treći red dodajemo prvi, pomnožen brojem:

Odrednica se ne mijenja. Četvrtom redu dodajemo prvi, pomnožen brojem:

Odrednica se ne mijenja. Kao rezultat, dobijamo

Koristeći isti algoritam, izračunavamo determinantu matrice reda 3, koja se nalazi na desnoj strani. Prvi red ostavljamo nepromijenjenim, u drugi red dodajemo prvi, pomnožen brojem :

U treći red dodajemo prvi, pomnožen brojem :

Kao rezultat, dobijamo

Odgovori. .

Komentar. Iako su u proračunima korišteni razlomci, rezultat je bio cijeli broj. Zaista, korištenjem svojstava determinanti i činjenice da su originalni brojevi cijeli brojevi, operacije sa razlomcima bi se mogle izbjeći. Ali u inženjerskoj praksi brojevi su izuzetno retko celi brojevi. Stoga će elementi determinante u pravilu biti decimalni razlomci i nije preporučljivo koristiti nikakve trikove za pojednostavljenje izračunavanja.

inverzna matrica

Definicija 3. Matrica se zove inverzna matrica za kvadratnu matricu ako .

Iz definicije slijedi da će inverzna matrica biti kvadratna matrica istog reda kao i matrica (u suprotnom jedan od proizvoda ili ne bi bila definirana).

Inverzna matrica za matricu je označena sa . Dakle, ako postoji, onda .

Iz definicije inverzne matrice slijedi da je matrica inverzna matrici, tj. Za matrice i može se reći da su inverzne jedna drugoj ili međusobno inverzne.

Ako je determinanta matrice nula, onda njen inverz ne postoji.

Budući da je za pronalaženje inverzne matrice važno da li je determinanta matrice jednaka nuli ili ne, uvodimo sljedeće definicije.

Definicija 4. Nazovimo kvadratnu matricu degenerisati ili posebna matrica, ako i nedegenerisan ili nesingularna matrica, ako .

Izjava. Ako postoji inverzna matrica, onda je jedinstvena.

Izjava. Ako je kvadratna matrica nedegenerirana, tada postoji njen inverz i (1) gdje su algebarski dodaci elementima .

Teorema. Inverzna matrica za kvadratnu matricu postoji ako i samo ako je matrica nesingularna, inverzna matrica je jedinstvena i formula (1) je važeća.

Komentar. Posebnu pažnju treba obratiti na mjesta koja zauzimaju algebarski dodaci u formuli inverzne matrice: prvi indeks pokazuje broj kolona, a drugi je broj linije, u koji treba upisati izračunati algebarski komplement.

Primjer. .

Rješenje. Pronalaženje determinante

Budući da je , tada je matrica nedegenerirana, a inverz za nju postoji. Pronalaženje algebarskih sabiranja:

Inverznu matricu sastavljamo postavljanjem pronađenih algebarskih sabiraka tako da prvi indeks odgovara stupcu, a drugi redu: (2)

Rezultirajuća matrica (2) je odgovor na problem.

Komentar. U prethodnom primjeru, tačnije bi bilo napisati odgovor ovako:
(3)

Međutim, oznaka (2) je kompaktnija i s njom je pogodnije izvršiti daljnje proračune, ako ih ima. Stoga je zapisivanje odgovora u obliku (2) poželjno ako su elementi matrice cijeli brojevi. I obrnuto, ako su elementi matrice decimalni razlomci, onda je bolje napisati inverznu matricu bez faktora ispred.

Komentar. Prilikom pronalaženja inverzne matrice morate izvršiti dosta proračuna i neobično pravilo za sređivanje algebarskih sabiranja u konačnoj matrici. Stoga postoji velika šansa za grešku. Da biste izbjegli greške, trebali biste izvršiti provjeru: izračunajte proizvod originalne matrice prema konačnoj u jednom ili drugom redu. Ako je rezultat matrica identiteta, tada je inverzna matrica ispravno pronađena. U suprotnom, morate potražiti grešku.

Primjer. Naći inverz matrice .

Rješenje. - postoji.

odgovor: .

Zaključak. Pronalaženje inverzne matrice po formuli (1) zahtijeva previše proračuna. Za matrice četvrtog reda i više, to je neprihvatljivo. Pravi algoritam za pronalaženje inverzne matrice biće dat kasnije.

Izračunavanje determinante i inverzne matrice Gaussovom metodom

Gaussova metoda se može koristiti za pronalaženje determinante i inverzne matrice.

Naime, determinanta matrice je jednaka det .

Inverzna matrica se nalazi rješavanjem sistema linearnih jednadžbi pomoću Gausove metode eliminacije:

Gdje je j-ti stupac matrice identiteta, je željeni vektor.

Rezultirajući vektori rješenja - formiraju, očigledno, stupce matrice, budući da .

Formule za determinantu

1. Ako je matrica nesingularna, onda i (proizvod vodećih elemenata).

Dat je sistem od N linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) sa nepoznanicama, čiji su koeficijenti elementi matrice, a slobodni članovi brojevi

Prvi indeks pored koeficijenata označava u kojoj se jednačini koeficijent nalazi, a drugi - na kojoj se od nepoznanica nalazi.

Ako determinanta matrice nije jednaka nuli

tada sistem linearnih algebarskih jednadžbi ima jedinstveno rješenje.

Rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina je takav uređeni skup brojeva , koji svaku od jednačina sistema pretvara u tačnu jednakost.

Ako su desne strane svih jednačina sistema jednake nuli, onda se sistem jednačina naziva homogenim. U slučaju kada su neki od njih različiti od nule, neujednačeni

Ako sistem linearnih algebarskih jednadžbi ima barem jedno rješenje, onda se naziva kompatibilnim, u suprotnom je nekompatibilan.

Ako je rješenje sistema jedinstveno, onda se sistem linearnih jednačina naziva definitivnim. U slučaju kada rješenje zajedničkog sistema nije jedinstveno, sistem jednačina se naziva neodređenim.

Dva sistema linearnih jednačina nazivaju se ekvivalentnim (ili ekvivalentnim) ako su sva rješenja jednog sistema rješenja drugog, i obrnuto. Ekvivalentni (ili ekvivalentni) sistemi se dobijaju korišćenjem ekvivalentnih transformacija.

Ekvivalentne transformacije SLAE

1) preuređenje jednačina;

2) množenje (ili deljenje) jednačina brojem različitom od nule;

3) dodavanje nekoj jednačini druge jednačine, pomnožene proizvoljnim brojem koji nije nula.

SLAE rješenje se može pronaći na različite načine.

CRAMEROVA METODA

CRAMEROVA TEOREMA. Ako je determinanta sistema linearnih algebarskih jednadžbi sa nepoznanicama različita od nule, onda ovaj sistem ima jedinstveno rešenje, koje se nalazi po Cramerovim formulama:

su determinante nastale zamjenom i-te kolone kolonom slobodnih članova.

Ako , i barem jedan od je različit od nule, tada SLAE nema rješenja. Ako , onda SLAE ima mnogo rješenja. Razmotrite primjere koristeći Cramerovu metodu.

—————————————————————

Dat je sistem od tri linearne jednačine sa tri nepoznate. Riješite sistem Cramerovom metodom

Naći determinantu matrice koeficijenata za nepoznate

Pošto je , tada je dati sistem jednačina konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Izračunajmo determinante:

Koristeći Cramerove formule, nalazimo nepoznanice

Dakle jedino rešenje za sistem.

Dat je sistem od četiri linearne algebarske jednačine. Riješite sistem Cramerovom metodom.

Nađimo determinantu matrice koeficijenata za nepoznate. Da bismo to učinili, proširimo ga za prvi red.

Pronađite komponente determinante:

Pronađene vrijednosti zamijenite u determinantu

Determinanta, dakle, sistem jednačina je konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Izračunavamo determinante koristeći Cramerove formule:

Proširimo svaku od determinanti za kolonu u kojoj ima više nula.

Po Cramerovim formulama nalazimo

Sistemsko rješenje

Ovaj primjer se može riješiti pomoću matematičkog kalkulatora YukhymCALC. U nastavku je prikazan fragment programa i rezultati proračuna.

——————————

C R A M E R METODA

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= deset

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000

x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000

x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000

x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000

Pogledajte materijale:

(jkomentari na)

U opštem slučaju, pravilo za izračunavanje determinanti th reda je prilično glomazno. Za determinante drugog i trećeg reda postoje racionalni načini za njihovo izračunavanje.

Proračuni determinanti drugog reda

Da bi se izračunala determinanta matrice drugog reda, potrebno je od umnoška elemenata glavne dijagonale oduzeti proizvod elemenata sekundarne dijagonale:

Primjer

Vježbajte. Izračunajte determinantu drugog reda

Rješenje.

Odgovori.

Metode za izračunavanje determinanti trećeg reda

Postoje pravila za izračunavanje determinanti trećeg reda.

pravilo trougla

Šematski, ovo pravilo se može predstaviti na sljedeći način:

Proizvod elemenata u prvoj determinanti koji su povezani linijama uzima se sa znakom plus; slično tome, za drugu odrednicu uzimaju se odgovarajući proizvodi sa predznakom minus, tj.

Primjer

Vježbajte. Izračunaj determinantu metoda trougla.

Rješenje.

Odgovori.

Sarus vlada

Desno od determinante dodaju se prva dva stupca, a proizvodi elemenata na glavnoj dijagonali i na dijagonalama paralelnim s njom uzimaju se sa znakom plus; i produkti elemenata sekundarne dijagonale i dijagonala paralelnih s njom, sa predznakom minus:

Primjer

Vježbajte. Izračunaj determinantu koristeći Sarrusovo pravilo.

Rješenje.

Odgovori.

Proširenje determinante u red ili kolonu

Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata reda determinante i njihovih algebarskih komplementa.

Obično izaberite red/kolona u kojoj/to ima nule. Red ili stupac na kojem se vrši dekompozicija će biti označen strelicom.

Primjer

Vježbajte. Proširujući prvi red, izračunajte determinantu

Rješenje.

Odgovori.

Ova metoda omogućava da se proračun determinante svede na izračunavanje determinante nižeg reda.

Primjer

Vježbajte. Izračunaj determinantu

Rješenje. Izvršimo sljedeće transformacije na redovima determinante: iz drugog reda oduzimamo prva četiri, a iz trećeg reda prvi red pomnožen sa sedam, kao rezultat, prema svojstvima determinante, dobijamo determinanta jednaka datoj.

Determinanta je nula jer su drugi i treći red proporcionalni.

Odgovori.

Za izračunavanje determinanti četvrtog reda i više, koristi se ili proširenje redova/stupaca, ili svođenje na trouglasti oblik, ili korištenje Laplaceove teoreme.

Dekompozicija determinante u smislu elemenata reda ili kolone

Primjer

Vježbajte. Izračunaj determinantu , razlažući ga po elementima nekog reda ili kolone.

Rješenje. Hajde da prvo izvršimo elementarne transformacije na redovima determinante tako što ćemo napraviti što više nula u redu ili u koloni. Da bismo to učinili, prvo od prve linije oduzmemo devet trećina, od druge pet trećine i od četvrte tri trećine, dobijemo:

Dobivenu determinantu proširujemo elementima prvog stupca:

Rezultirajuća determinanta trećeg reda se također proširuje elementima reda i stupca, nakon što su prethodno dobivene nule, na primjer, u prvoj koloni.

Da bismo to učinili, oduzimamo dvije druge linije od prve linije, a drugu od trećeg:

Odgovori.

Komentar

Posljednje i pretposljednje determinante se nisu mogle izračunati, ali se odmah zaključi da su jednake nuli, jer sadrže proporcionalne redove.

Dovođenje determinante u trouglasti oblik

Uz pomoć elementarnih transformacija nad redovima ili stupcima, determinanta se svodi na trokutasti oblik, a zatim je njena vrijednost, prema svojstvima determinante, jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

Primjer

Vježbajte. Izračunaj determinantu dovodeći ga do trouglastog oblika.

Rješenje. Prvo pravimo nule u prvom stupcu ispod glavne dijagonale.

4. Svojstva determinanti. Odrednica proizvoda matrica.

Sve transformacije će biti lakše izvesti ako je element jednak 1. Da bismo to učinili, zamijenit ćemo prvi i drugi stupac determinante, što će, prema svojstvima determinante, uzrokovati da promijeni predznak u suprotan :

Zatim dobijamo nule u drugom stupcu umjesto elemenata ispod glavne dijagonale. I opet, ako je dijagonalni element jednak , tada će proračuni biti jednostavniji. Da bismo to učinili, mijenjamo drugi i treći red (i istovremeno mijenjamo u suprotan predznak determinante):

Odgovori.

Laplaceov teorem

Primjer

Vježbajte. Koristeći Laplaceov teorem, izračunajte determinantu

Rješenje. Odaberemo dva reda u ovoj odrednici petog reda - drugi i treći, onda dobijemo (izostavljamo članove koji su jednaki nuli):

Odgovori.

LINEARNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE I

§ 31 Slučaj kada je glavna determinanta sistema jednačina jednaka nuli, a barem jedna od pomoćnih determinanti je različita od nule

Teorema.Ako je glavna determinanta sistema jednačina

(1)

jednaka nuli, a barem jedna od pomoćnih determinanti je različita od nule, tada je sistem nekonzistentan.

Formalno, dokaz ove teoreme nije teško dobiti kontradikcijom. Pretpostavimo da sistem jednačina (1) ima rješenje ( x 0 , y 0). Budući da, kao što je prikazano u prethodnom paragrafu,

Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)

Ali pod uslovom Δ = 0, i najmanje jedna od determinanti Δ x i Δ y različito od nule. Dakle, jednakosti (2) ne mogu vrijediti istovremeno. Teorema je dokazana.

Međutim, čini se zanimljivim detaljnije razjasniti zašto je sistem jednačina (1) nekonzistentan u slučaju koji se razmatra.

znači da su koeficijenti nepoznanica u sistemu jednačina (1) proporcionalni. Neka, na primjer,

a 1 = ka 2 ,b 1 = kb 2 .

znači da su koeficijenti at a slobodni članovi jednačina sistema (1) nisu proporcionalni. Zbog b 1 = kb 2, dakle c 1 =/= kc 2 .

Stoga se sistem jednačina (1) može zapisati u sljedećem obliku:

U ovom sistemu, koeficijenti za nepoznate su respektivno proporcionalni, ali koeficijenti za at (ili kada X ) i slobodni uslovi nisu proporcionalni. Takav sistem je, naravno, nedosledan. Zaista, da je imala rješenje ( x 0 , y 0), zatim numeričke jednakosti

k (a 2 x 0 + b 2 y 0) = c 1

a 2 x 0 + b 2 y 0 = c 2 .

Ali jedna od ovih jednakosti je u suprotnosti s drugom: na kraju krajeva, c 1 =/= kc 2 .

Razmotrili smo samo slučaj kada Δ x =/= 0. Slično, možemo razmotriti slučaj kada Δ y =/= 0."

Dokazana teorema se može formulisati na sljedeći način.

Ako su koeficijenti za nepoznate X i at u sistemu jednačina (1) su proporcionalni, a koeficijenti bilo koje od ovih nepoznanica i slobodnih članova nisu proporcionalni, onda je ovaj sistem jednačina nekonzistentan.

Lako je, na primjer, provjeriti da će svaki od ovih sistema biti nedosljedan:

Cramerova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina

Cramerove formule

Cramerova metoda se zasniva na korištenju determinanti u rješavanju sistema linearnih jednačina. Ovo uvelike ubrzava proces rješenja.

Cramerova metoda se može koristiti za rješavanje sistema od onoliko linearnih jednačina koliko ima nepoznatih u svakoj jednačini.

Cramerova metoda. Primjena za sisteme linearnih jednačina

Ako determinanta sistema nije jednaka nuli, onda se u rješenju može koristiti Cramerova metoda; ako je jednaka nuli, onda ne može. Osim toga, Cramerova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih jednačina koje imaju jedinstveno rješenje.

Definicija. Determinanta, sastavljena od koeficijenata nepoznatih, naziva se determinanta sistema i označava se sa (delta).

Odrednice

dobiju se zamjenom koeficijenata na odgovarajućim nepoznanicama slobodnim terminima:

;

.

Cramerova teorema. Ako je determinanta sistema različita od nule, onda sistem linearnih jednačina ima jedno jedino rešenje, a nepoznata je jednaka odnosu determinanti. Imenilac sadrži determinantu sistema, a brojilac sadrži determinantu dobijenu iz determinante sistema zamenom koeficijenata sa nepoznatim slobodnim članovima. Ova teorema vrijedi za sistem linearnih jednačina bilo kojeg reda.

Primjer 1 Riješite sistem linearnih jednačina:

Prema Cramerova teorema imamo:

Dakle, rješenje sistema (2):

Tri slučaja u rješavanju sistema linearnih jednačina

Kako se čini iz Cramerove teoreme, pri rješavanju sistema linearnih jednačina mogu se pojaviti tri slučaja:

Prvi slučaj: sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rješenje

(sistem je konzistentan i određen)

*

Drugi slučaj: sistem linearnih jednačina ima beskonačan broj rješenja

(sistem je konzistentan i neodređen)

**
,

one. koeficijenti nepoznatih i slobodnih članova su proporcionalni.

Treći slučaj: sistem linearnih jednačina nema rješenja

(sistem nedosljedan)

Dakle, sistem m linearne jednačine sa n varijable se poziva nekompatibilno ako nema rješenja, i joint ako ima barem jedno rješenje. Zove se zajednički sistem jednačina koji ima samo jedno rješenje siguran, i više od jednog neizvjesno.

Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina Cramer metodom

Pustite sistem

.

Na osnovu Cramerove teoreme

………….
,

gdje
—

identifikator sistema. Preostale determinante se dobiju zamjenom stupca s koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznate) sa slobodnim članovima:

Primjer 2

.

Dakle, sistem je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante

Po Cramerovim formulama nalazimo:

Dakle, (1; 0; -1) je jedino rješenje sistema.

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, Cramerovu metodu rješavanja.

Ako u sistemu linearnih jednadžbi nema varijabli u jednoj ili više jednačina, tada su u determinanti elementi koji im odgovaraju jednaki nuli! Ovo je sljedeći primjer.

Primjer 3 Rešite sistem linearnih jednačina Cramerovom metodom:

.

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pažljivo pogledajte sistem jednačina i determinantu sistema i ponovite odgovor na pitanje u kojim slučajevima je jedan ili više elemenata determinante jednak nuli. Dakle, determinanta nije jednaka nuli, dakle, sistem je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante za nepoznate

Po Cramerovim formulama nalazimo:

Dakle, rješenje sistema je (2; -1; 1).

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, Cramerovu metodu rješavanja.

Vrh stranice

Uradite kviz o Sistemima linearnih jednačina

Kao što je već spomenuto, ako je determinanta sistema jednaka nuli, a determinante za nepoznate nisu jednake nuli, sistem je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Ilustrirajmo sljedećim primjerom.

Primjer 4 Rešite sistem linearnih jednačina Cramerovom metodom:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Determinanta sistema je jednaka nuli, pa je sistem linearnih jednačina ili nekonzistentan i određen, ili nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Da pojasnimo, izračunavamo determinante za nepoznate

Odrednice za nepoznate nisu jednake nuli, dakle sistem je nekonzistentan, odnosno nema rješenja.

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, Cramerovu metodu rješavanja.

U zadacima o sistemima linearnih jednačina postoje i oni u kojima se pored slova koja označavaju varijable nalaze i druga slova. Ova slova označavaju neki broj, najčešće pravi broj. U praksi, takve jednačine i sistemi jednačina dovode do problema u pronalaženju općih svojstava bilo kojeg fenomena i predmeta. Odnosno, izmislili ste neki novi materijal ili uređaj, a da biste opisali njegova svojstva koja su uobičajena bez obzira na veličinu ili broj kopija, potrebno je riješiti sistem linearnih jednačina, gdje umjesto nekih koeficijenata za varijable postoje slova. Ne morate daleko tražiti primjere.

Sljedeći primjer je za sličan problem, samo se povećava broj jednačina, varijabli i slova koja označavaju neki realni broj.

Primjer 6 Rešite sistem linearnih jednačina Cramerovom metodom:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pronalaženje determinanti za nepoznate

Po Cramerovim formulama nalazimo:

,

,

.

I konačno, sistem od četiri jednačine sa četiri nepoznate.

Primjer 7 Rešite sistem linearnih jednačina Cramerovom metodom:

.

Pažnja! Metode za izračunavanje determinanti četvrtog reda ovdje neće biti objašnjene. Nakon toga - do odgovarajućeg dijela stranice. Ali biće nekih komentara. Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Mali komentar. U prvobitnoj odrednici, elementi četvrtog reda su oduzeti od elemenata drugog reda, elementi četvrtog reda pomnoženi sa 2 su oduzeti od elemenata trećeg reda, elementi prvog reda pomnoženi sa 2 su oduzeti od elemenata četvrtog reda.šema. Pronalaženje determinanti za nepoznate

Za transformacije determinante sa četvrtom nepoznatom, elementi četvrtog reda su oduzeti od elemenata prvog reda.

Po Cramerovim formulama nalazimo:

Dakle, rješenje sistema je (1; 1; -1; -1).

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, Cramerovu metodu rješavanja.

Oni najpažljiviji su vjerovatno primijetili da članak ne sadrži primjere rješavanja neodređenih sistema linearnih jednačina. A sve zato što je nemoguće riješiti takve sisteme Cramerovom metodom, možemo samo reći da je sistem neodređen. Rešenja ovakvih sistema data su Gaussovom metodom.

Nemate vremena da udubite u rješenje? Možete naručiti posao!

Vrh stranice

Uradite kviz o Sistemima linearnih jednačina

Ostalo na temu "Sistemi jednadžbi i nejednačina"

Kalkulator - rješavajte sisteme jednačina online

Programska implementacija Cramerove metode u C++

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi metodom zamjene i metodom sabiranja

Rješenje sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom

Uslov kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.

Kronecker-Capelli teorem

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom (inverzna matrica)

Sistemi linearnih nejednačina i konveksni skupovi tačaka

Početak teme "Linearna algebra"

Odrednice

U ovom članku ćemo se upoznati sa vrlo važnim konceptom iz dijela linearne algebre, koji se zove determinanta.

Odmah bih želio napomenuti važnu stvar: koncept determinante vrijedi samo za kvadratne matrice (broj redova = broj stupaca), druge matrice ga nemaju.

Determinanta kvadratne matrice(determinanta) — numerička karakteristika matrice.

Oznaka determinanti: |A|, det A, ∆ A.

odrednica"n" red naziva se algebarski zbir svih mogućih proizvoda njegovih elemenata koji zadovoljavaju sljedeće zahtjeve:

1) Svaki takav proizvod sadrži tačno "n" elemenata (tj. determinanta drugog reda je 2 elementa).

2) U svakom proizvodu postoji predstavnik svakog reda i svake kolone kao faktor.

3) Bilo koja dva faktora u svakom proizvodu ne mogu pripadati istom redu ili koloni.

Predznak proizvoda je određen redoslijedom izmjenjivanja brojeva stupaca, ako su elementi u proizvodu raspoređeni uzlaznim redoslijedom brojeva redova.

Razmotrimo nekoliko primjera pronalaženja determinante matrice:

Za matricu prvog reda (tj.

Linearne jednadžbe. Rješavanje sistema linearnih jednačina. Cramerova metoda.

postoji samo 1 element), determinanta je jednaka ovom elementu:

2. Razmotrimo kvadratnu matricu drugog reda:

3. Razmotrimo kvadratnu matricu trećeg reda (3×3):

4. A sada razmotrite primjere sa realnim brojevima:

Pravilo trougla.

Pravilo trokuta je način izračunavanja determinante matrice, što uključuje njeno pronalaženje prema sljedećoj shemi:

Kao što ste već shvatili, metoda je nazvana pravilo trokuta zbog činjenice da pomnoženi matrični elementi formiraju neobične trouglove.

Da bismo ovo bolje razumjeli, uzmimo primjer:

A sada razmotrite izračunavanje determinante matrice sa realnim brojevima koristeći pravilo trokuta:

Kako bismo konsolidirali obrađeni materijal, riješit ćemo još jedan praktični primjer:

Svojstva determinanti:

1. Ako su elementi reda ili kolone jednaki nuli, tada je determinanta jednaka nuli.

2. Odrednica će promijeniti predznak ako se bilo koja 2 reda ili stupca zamijene. Pogledajmo ovo na malom primjeru:

3. Determinanta transponovane matrice je jednaka determinanti originalne matrice.

4. Determinanta je nula ako su elementi jednog reda jednaki odgovarajućim elementima drugog reda (također za kolone). Najjednostavniji primjer ovog svojstva determinanti je:

5. Determinanta je nula ako su njena 2 reda proporcionalna (također za kolone). Primjer (red 1 i 2 su proporcionalni):

6. Zajednički faktor reda (kolone) može se izvaditi iz predznaka determinante.

7) Odrednica se neće promijeniti ako se elementi bilo kojeg reda (kolone) dodaju odgovarajućim elementima drugog reda (kolone), pomnožene istom vrijednošću. Pogledajmo ovo na primjeru:

Pregledi: 57258

Determinanta (tzv. determinanta (determinanta)) se nalazi samo u kvadratnim matricama. Determinanta nije ništa drugo do vrijednost koja kombinuje sve elemente matrice, koja se čuva pri transponovanju redova ili kolona. Može se označiti kao det(A), |A|, Δ(A), Δ, pri čemu A može biti i matrica i slovo koje je označava. Možete ga pronaći na različite načine:

Sve gore predložene metode biće analizirane na matricama veličine tri ili više. Determinanta dvodimenzionalne matrice se nalazi pomoću tri elementarne matematičke operacije, stoga pronalaženje determinante dvodimenzionalne matrice neće spadati ni u jednu od metoda. Pa, osim kao dodatak, ali o tome kasnije.

Pronađite determinantu matrice 2x2:

Da bismo pronašli determinantu naše matrice, potrebno je od druge oduzeti proizvod brojeva jedne dijagonale, tj.

Primjeri pronalaženja determinante matrica drugog reda

Dekompozicija redova/kolona

Odabire se bilo koji red ili stupac u matrici. Svaki broj u odabranom redu množi se sa (-1) i+j gdje je (i,j red, broj kolone tog broja) i množi se sa determinantom drugog reda koju čine preostali elementi nakon brisanja i - reda i j - kolona. Hajde da pogledamo matricu

1. Odaberite red/kolona

Na primjer, uzmite drugi red.

Bilješka: Ako nije eksplicitno naznačeno sa kojom linijom da se pronađe determinanta, izaberite liniju koja ima nulu. Biće manje kalkulacija.

1. Sastavite izraz

Nije teško utvrditi da se predznak broja mijenja svaki drugi put. Stoga, umjesto jedinica, možete se voditi sljedećom tablicom:

1. Promijenimo predznak naših brojeva

1. Nađimo determinante naših matrica

1. Mi to sve razmatramo

Rješenje se može napisati ovako:

Primjeri pronalaženja determinante proširenjem reda/stupca:

Metoda redukcije u trokutasti oblik (koristeći elementarne transformacije)

Odrednica se nalazi reduciranjem matrice na trokutasti (stepenasti) oblik i množenjem elemenata na glavnoj dijagonali

Trokutasta matrica je matrica čiji su elementi na jednoj strani dijagonale jednaki nuli.

Prilikom izrade matrice zapamtite tri jednostavna pravila:

1. Svaki put kada se nizovi zamijene, determinanta mijenja predznak u suprotan.
2. Prilikom množenja / dijeljenja jedne linije brojem različitom od nule, treba ga podijeliti (ako se množi) / pomnožiti (ako se dijeli) s njim ili izvršiti ovu radnju s rezultirajućom determinantom.
3. Prilikom dodavanja jednog niza pomnoženog brojem drugom nizu, determinanta se ne mijenja (pomnoženi niz preuzima svoju originalnu vrijednost).

Pokušajmo dobiti nule u prvom stupcu, a zatim u drugom.

Pogledajmo našu matricu:

Ta-a-ak. Da bi proračuni bili ugodniji, želio bih da imam najbliži broj na vrhu. Možete ga ostaviti, ali ne morate. U redu, imamo dvojku u drugom redu, a četiri u prvom.

Zamenimo ova dva reda.

Zamijenili smo linije, sada moramo ili promijeniti predznak jedne linije, ili promijeniti predznak determinante na kraju.

Odrednice. Izračunavanje determinanti (str. 2)

Uradićemo to kasnije.

Sada, da bismo dobili nulu u prvom redu, množimo prvi red sa 2.

Oduzmite prvi red od drugog.

Prema našem trećem pravilu, vraćamo originalni niz na početnu poziciju.

Sada napravimo nulu u 3. redu. Možemo pomnožiti prvi red sa 1,5 i oduzeti od trećeg, ali rad sa razlomcima donosi malo zadovoljstva. Stoga, pronađimo broj na koji se oba niza mogu smanjiti - to je 6.

Pomnožite treći red sa 2.

Sada množimo prvi red sa 3 i oduzimamo od trećeg.

Vratimo naš 1. red.

Ne zaboravite da smo 3. red pomnožili sa 2, pa ćemo onda determinantu podijeliti sa 2.

Postoji jedna kolona. Sada, da bismo dobili nule u drugom - zaboravimo na 1. red - radimo sa 2. linijom. Pomnožite drugi red sa -3 i dodajte ga trećem.

Ne zaboravite vratiti drugu liniju.

Tako smo napravili trouglastu matricu. Šta nam je ostalo? I ostaje da pomnožimo brojeve na glavnoj dijagonali, što ćemo i učiniti.

Pa, ostaje da zapamtimo da svoju determinantu moramo podijeliti sa 2 i promijeniti predznak.

Sarusovo pravilo (pravilo trouglova)

Sarrusovo pravilo se primjenjuje samo na kvadratne matrice trećeg reda.

Determinanta se izračunava dodavanjem prve dvije kolone desno od matrice, množenjem elemenata dijagonala matrice i njihovim sabiranjem te oduzimanjem sume suprotnih dijagonala. Od narandžastih dijagonala oduzmite ljubičastu.

Pravilo trouglova je isto, samo je slika drugačija.

Laplaceov teorem vidi dekompoziciju red/kolona

1.1. Sistemi dviju linearnih jednadžbi i determinanti drugog reda

Razmotrimo sistem od dvije linearne jednadžbe sa dvije nepoznate:

Odds sa nepoznatim i imaju dva indeksa: prvi označava broj jednačine, drugi - broj varijable.

Cramerovo pravilo: Rješenje sistema se nalazi dijeljenjem pomoćnih determinanti sa glavnom determinantom sistema

,

Napomena 1. Upotreba Cramerovog pravila je moguća ako je determinanta sistema nije jednako nuli.

Napomena 2. Kramerove formule se takođe mogu generalizovati na sisteme višeg reda.

Primjer 1 Riješite sistem:
.

Rješenje.

;
;

;

pregled:

zaključak: Sistem je ispravan:
.

1.2. Sistemi tri linearne jednačine i determinante trećeg reda

Razmotrimo sistem od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate:

Determinanta, sastavljena od koeficijenata nepoznatih, naziva se kvalifikator sistema ili glavni kvalifikator:

.

Ako a
tada sistem ima jedinstveno rješenje, koje je određeno Cramerovim formulama:

gdje su determinante
nazivaju se pomoćnim i dobijaju se iz determinante zamjenom njegove prve, druge ili treće kolone kolonom slobodnih članova sistema.

Primjer 2 Riješite sistem
.

Formiramo glavne i pomoćne odrednice:

Ostaje da razmotrimo pravila za izračunavanje determinanti trećeg reda. Postoje tri od njih: pravilo dodavanja stupaca, Sarrusovo pravilo i pravilo dekompozicije.

a) Pravilo za dodavanje prve dvije kolone glavnoj odrednici:

Proračun se vrši na sljedeći način: sa svojim predznakom su proizvodi elemenata glavne dijagonale i duž paralela na nju, sa suprotnim predznakom uzimaju proizvode elemenata sekundarne dijagonale i duž paralela na nju .

b) Sarus pravilo:

Svojim znakom uzimaju proizvode elemenata glavne dijagonale i paralele s njom, a treći element koji nedostaje uzima se iz suprotnog ugla. Sa suprotnim predznakom uzimaju proizvode elemenata sekundarne dijagonale i duž paralela s njom, treći element se uzima iz suprotnog kuta.

c) Pravilo proširenja elementima reda ili kolone:

Ako a
, zatim .

Algebarsko sabiranje je determinanta nižeg reda dobijena brisanjem odgovarajućeg reda i stupca i uzimanjem u obzir predznaka
, gdje - broj reda - broj kolone.

Na primjer,

,
,
itd.

Izračunajmo pomoćne determinante prema ovom pravilu i , proširujući ih elementima prvog reda.

Nakon što smo izračunali sve determinante, nalazimo varijable prema Cramerovom pravilu:

pregled:

zaključak: sistem je ispravan: .

Osnovna svojstva determinanti

Mora se imati na umu da je determinanta broj, pronađeno po nekim pravilima. Njegovo izračunavanje se može pojednostaviti ako koristimo osnovna svojstva koja vrijede za determinante bilo kojeg reda.

Nekretnina 1. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se svi njeni redovi zamijene odgovarajućim stupcima i obrnuto.

Operacija zamjene redova kolonama naziva se transpozicija. Iz ovog svojstva slijedi da će svaki iskaz koji je istinit za redove determinante također biti istinit i za njegove stupce.

Nekretnina 2. Ako se dva reda (kolone) zamijene u determinanti, onda će se predznak determinante promijeniti u suprotan.

Nekretnina 3. Ako su svi elementi bilo kojeg reda determinante jednaki 0, tada je determinanta jednaka 0.

Nekretnina 4. Ako se elementi niza determinante pomnože (podijele) nekim brojem , tada će se vrijednost determinante povećati (smanjiti) u jednom.

Ako elementi bilo kojeg reda imaju zajednički faktor, onda se on može izvaditi iz predznaka determinante.

Svojstvo 5. Ako determinanta ima dva identična ili proporcionalna reda, onda je takva determinanta jednaka 0.

Nekretnina 6. Ako su elementi bilo kojeg reda determinante zbir dva člana, tada je determinanta jednaka zbroju dvije determinante.

Nekretnina 7. Vrijednost determinante se ne mijenja ako se elementi jednog reda dodaju elementima drugog reda, pomnoženim istim brojem.

U ovoj odrednici, prvo je treći, pomnožen sa 2, dodan drugom redu, zatim je drugi oduzet od treće kolone, nakon čega je drugi red dodat prvom i trećem, kao rezultat toga dobili smo mnogo nula i pojednostavio proračun.

Osnovno transformacije determinante se nazivaju njenim pojednostavljenjima zbog upotrebe ovih svojstava.

Primjer 1 Izračunaj determinantu

Direktno brojanje prema jednom od gore navedenih pravila dovodi do glomaznih proračuna. Stoga je preporučljivo koristiti svojstva:

a) oduzmite drugi red, pomnožen sa 2, od prvog reda;

b) oduzmite treći red od drugog reda, pomnoženo sa 3.

Kao rezultat, dobijamo:

Proširimo ovu determinantu u smislu elemenata prve kolone, koja sadrži samo jedan element različit od nule.

.

Sistemi i determinante viših redova

sistem linearne jednačine sa nepoznanice se mogu napisati na sljedeći način:

Za ovaj slučaj također je moguće sastaviti glavne i pomoćne determinante, te odrediti nepoznanice prema Cramerovom pravilu. Problem je u tome što se determinante višeg reda mogu izračunati samo snižavanjem reda i svođenjem na determinante trećeg reda. To se može uraditi direktnom dekompozicijom na elemente reda ili stupca, kao i preliminarnim elementarnim transformacijama i daljom dekompozicijom.

Primjer 4 Izračunajte determinantu četvrtog reda

Rješenje pronaći na dva načina:

a) direktnim proširenjem preko elemenata prvog reda:

b) preliminarnim transformacijama i daljom dekompozicijom

Primjer 5 Izračunajte determinantu petog reda, uzimajući nule u trećem redu koristeći četvrti stupac

oduzmi treću od druge kolone:

oduzmite treći od drugog reda:

Primjer 6 Riješite sistem:

Rješenje. Sastavimo determinantu sistema i, primenjujući svojstva determinanti, izračunajmo je:

(od prvog reda oduzimamo treću, a zatim u rezultujućoj determinanti trećeg reda iz treće kolone oduzimamo prvu, pomnoženu sa 2). Odrednica
, dakle, Cramerove formule su primjenjive.

Izračunajmo ostale determinante:

Četvrta kolona se množi sa 2 i oduzima od ostatka

Četvrta kolona je oduzeta od prve, a zatim, pomnožena sa 2, oduzeta od druge i treće kolone.

.

Ovdje su izvršene iste transformacije kao za
.

.

Kada se nađe prvi stupac je pomnožen sa 2 i oduzet od ostatka.

Prema Cramerovom pravilu imamo:

Nakon zamjene pronađenih vrijednosti u jednačine, uvjeravamo se da je rješenje sistema ispravno.

2. MATRICE I NJIHOVA UPOTREBA

U RJEŠAVANJU SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA

Sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih zove sistem forme

gdje aij i b i (i=1,…,m; b=1,…,n) su neki poznati brojevi, i x 1 ,…,x n- nepoznato. U zapisu koeficijenata aij prvi indeks i označava broj jednačine, a drugi j je broj nepoznate na kojoj stoji ovaj koeficijent.

Koeficijenti za nepoznate biće zapisani u obliku matrice , koje ćemo nazvati sistemska matrica.

Brojevi na desnoj strani jednadžbe b 1 ,…,b m pozvao besplatni članovi.

Agregat n brojevi c 1 ,…,c n pozvao odluka ovog sistema, ako svaka jednadžba sistema postane jednakost nakon zamjene brojeva u nju c 1 ,…,c n umjesto odgovarajućih nepoznanica x 1 ,…,x n.

Naš zadatak će biti da pronađemo rješenja za sistem. U ovom slučaju mogu se pojaviti tri situacije:

Zove se sistem linearnih jednačina koji ima barem jedno rješenje joint. Inače, tj. ako sistem nema rješenja, onda se zove nekompatibilno.

Razmotrite načine za pronalaženje rješenja za sistem.

MATRIČNA METODA ZA RJEŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA

Matrice omogućavaju da se ukratko zapiše sistem linearnih jednačina. Neka je zadan sistem od 3 jednadžbe sa tri nepoznate:

Razmotrimo matricu sistema i matrične kolone nepoznatih i slobodnih članova

Hajde da pronađemo proizvod

one. kao rezultat proizvoda, dobijamo leve strane jednadžbi ovog sistema. Zatim, koristeći definiciju matrične jednakosti, ovaj sistem se može zapisati kao

ili kraće A∙X=B.

Evo matrice A i B poznati su i matrica X nepoznato. Treba je pronaći, jer. njegovi elementi su rješenje ovog sistema. Ova jednačina se zove matrična jednačina.

Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednačina rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednačine na lijevoj strani matricom A-1, inverzno od matrice A: . Zbog A -1 A = E i E∙X=X, tada dobijamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B .

Imajte na umu da budući da se inverzna matrica može naći samo za kvadratne matrice, metoda matrice može riješiti samo one sisteme u kojima broj jednačina je isti kao i broj nepoznatih. Međutim, matrična notacija sistema je moguća i u slučaju kada broj jednačina nije jednak broju nepoznatih, tada je matrica A nije kvadratna i stoga je nemoguće pronaći rješenje sistema u obliku X = A -1 B.

Primjeri. Rješavanje sistema jednačina.

CRAMEROVO PRAVILO

Razmotrimo sistem od 3 linearne jednadžbe sa tri nepoznate:

Determinanta trećeg reda koja odgovara matrici sistema, tj. sastavljen od koeficijenata na nepoznatim,

pozvao sistemska determinanta.

Sastavljamo još tri determinante na sljedeći način: zamjenjujemo sukcesivno 1, 2 i 3 stupca u determinanti D kolonom slobodnih članova

Tada možemo dokazati sljedeći rezultat.

Teorema (Cramerovo pravilo). Ako je determinanta sistema Δ ≠ 0, onda sistem koji se razmatra ima jedno i samo jedno rješenje, i

Dokaz. Dakle, razmotrite sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate. Pomnožite 1. jednačinu sistema sa algebarskim komplementom A 11 element a 11, 2. jednačina - na A21 i 3. - na A 31:

Dodajmo ove jednačine:

Razmotrimo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednačine. Po teoremi o proširenju determinante u smislu elemenata 1. stupca

Slično, može se pokazati da i .

Konačno, to je lako uočiti

Dakle, dobijamo jednakost: .

Shodno tome, .

Jednakosti i se izvode na sličan način, odakle slijedi tvrdnja teoreme.

Dakle, primjećujemo da ako je determinanta sistema Δ ≠ 0, onda sistem ima jedinstveno rješenje i obrnuto. Ako je determinanta sistema jednaka nuli, onda sistem ili ima beskonačan skup rješenja ili nema rješenja, tj. nekompatibilno.

Primjeri. Riješite sistem jednačina

GAUSSOVA METODA

Prethodno razmatrane metode mogu se koristiti za rješavanje samo onih sistema u kojima se broj jednačina poklapa sa brojem nepoznanica, a determinanta sistema mora biti različita od nule. Gaussova metoda je univerzalnija i pogodna je za sisteme s bilo kojim brojem jednačina. Sastoji se u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz jednačina sistema.

Razmotrimo ponovo sistem od tri jednačine sa tri nepoznate:

.

Prvu jednačinu ostavljamo nepromijenjenom, a iz 2. i 3. isključujemo članove koji sadrže x 1. Da bismo to učinili, drugu jednačinu podijelimo sa a 21 i pomnoži sa - a 11, a zatim saberite sa 1. jednačinom. Slično, dijelimo treću jednačinu na a 31 i pomnoži sa - a 11, a zatim ga dodajte prvom. Kao rezultat, originalni sistem će poprimiti oblik:

Sada, iz posljednje jednačine, eliminiramo pojam koji sadrži x2. Da biste to učinili, podijelite treću jednačinu sa , pomnožite sa i dodajte je drugoj. Tada ćemo imati sistem jednačina:

Stoga je iz posljednje jednačine lako pronaći x 3, zatim iz 2. jednačine x2 i konačno od 1. - x 1.

Kada se koristi Gaussova metoda, jednadžbe se mogu zamijeniti ako je potrebno.

Često, umjesto pisanja novog sistema jednačina, oni se ograničavaju na ispisivanje proširene matrice sistema:

a zatim ga dovedite u trouglasti ili dijagonalni oblik koristeći elementarne transformacije.

To elementarne transformacije matrice uključuju sljedeće transformacije:

1. permutacija redova ili kolona;
2. množenje niza brojem koji nije nula;
3. dodajući u jedan red druge redove.

primjeri: Riješite sisteme jednačina Gaussovom metodom.

Dakle, sistem ima beskonačan broj rješenja.

Sistem se naziva homogenim ako su svi slobodni članovi u njemu jednaki nuli. Ako takav homogeni sistem ima karakteristične determinante, onda se njihov zadnji stupac sastoji od nula, a sve su jednake nuli. Sasvim je očigledno da svaki homogeni sistem ima rešenje

koju ćemo u nastavku nazivati ​​nulom.

Za homogeni sistem, glavno pitanje je da li ima rješenja osim nule, i ako ima, koliki će biti skup svih takvih rješenja. Razmotrimo prvo slučaj kada je broj jednačina jednak broju nepoznatih. Sistem će izgledati ovako:

Ako je determinanta ovog sistema različita od nule, onda, prema Cramerovoj teoremi, ovaj sistem ima jedno definitivno rješenje, odnosno u ovom slučaju nulto rješenje. Ako je ova determinanta jednaka nuli, tada će rang k tablice koeficijenata biti manji od broja nepoznatih i stoga će vrijednosti (n - k) nepoznatih ostati potpuno proizvoljne, a imat ćemo nebrojiv skup rješenja koja se razlikuju od nule. Tako dolazimo do sljedeće glavne teoreme:

Teorema I. Da bi sistem (14) imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da njegova determinanta bude jednaka nuli.

Povučemo paralelu između rezultata koje smo dobili za nehomogeni sistem (1) i homogeni sistem (14). Ako je determinanta sistema različita od nule, onda nehomogen sistem (1) ima jedno definitivno rešenje, a homogeni sistem ima samo nulto rešenje. Ako je determinanta sistema jednaka nuli, onda homogeni sistem (14) ima rešenja različita od nule, ali pod ovim uslovom nehomogen sistem (1), uopšteno govoreći, nema nikakvo rešenje, jer da bi da bi se dobilo rješenje, potrebno je da su njegovi slobodni termini odabrani tako da nestanu sve karakteristične determinante. Gore navedeni paralelizam rezultata igrat će bitnu ulogu u onome što slijedi. U pitanjima fizike, homogeni sistemi će se susresti kada se razmatraju prirodne oscilacije, a nehomogeni sistemi kada se razmatraju prinudne oscilacije, a gornji slučaj jednakosti determinante sa nulom karakteriše prisustvo prirodnih oscilacija za homogeni sistem, te fenomen rezonancija za nehomogen sistem.

Sada prelazimo na detaljnije razmatranje rješenja sistema (14) kada je njegova glavna determinanta jednaka nuli. Neka je k rang tabele njegovih koeficijenata, i, očigledno, . Prema teoremi dokazanoj u prethodnom broju, moramo uzeti onih k jednačina koje sadrže glavnu determinantu i riješiti ih za k nepoznatih.

Pretpostavimo, bez gubitka općenitosti, da su ove nepoznanice . Rješenja će izgledati ovako:

gdje određeni brojčani koeficijenti i mogu uzeti proizvoljne vrijednosti.

Napominjemo jedno opšte svojstvo rješenja sistema (14), koje direktno slijedi iz linearnosti i homogenosti ovog sistema, a koje se može nazvati principom nametanja rješenja, naime, ako imamo više rješenja sistema:

zatim, množenjem ih proizvoljnim konstantama i sabiranjem, dobijamo i rješenje sistema

Postupajući na isti način kao što smo radili za linearne diferencijalne jednadžbe, rješenja (16) nazivamo linearno nezavisnim ako ne postoje vrijednosti konstanti Q, među kojima ima i onih različitih od nule, tako da za bilo koji s jednakosti uzimaju mjesto:

Nije teško konstruisati linearno nezavisna rješenja sistema tako da množenjem proizvoljnim konstantama i sabiranjem dobijemo sva rješenja sistema. Zaista, hajde da se okrenemo formulama (15), koje daju opšte rešenje sistema, i konstruišemo rešenja na osnovu ovih formula na sledeći način: u prvom rešenju postavljamo i sva ostala jednaka nuli; u drugom rješenju postavljamo a i sve ostale jednake nuli itd. i, konačno, u posljednjem rješenju postavljamo sve ostale jednake nuli. Lako je vidjeti da su konstruirana rješenja linearno nezavisna, jer svako od njih sadrži jednu od nepoznanica jednaku jedinici, koja je jednaka nuli u ostalim rješenjima. Označimo dobijena rješenja na sljedeći način.